Modelos de optimización deportafolios: un estudio comparativo

basado en simulacionescomputacionales

Jaime Fernandez R.jefr@andinanet.net

I Jornadas de Modelizacion en Economıa y FinanzasEscuela Politecnica Nacional

Quito, EcuadorJulio 2008

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CONTENIDOIntroducción a la Teoría de PortafoliosModelo de MarkowitzModelos linealesModelo con restricciones de dominación estocásticaEstudio comparativo: resultados fundamentalesConclusiones

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Teoría de PortafoliosPortafolios de inversión: Asignar un monto decapital a un conjunto de activos.Activos financieros:

Renta fija: pólizas, cédulas, bonos.Renta variable: acciones.

El problema de optimizar un portafolio:Problema bicriterio.Dos objetivos contrapuestos:

Maximizar la ganancia esperada.Minimizar el riesgo.

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Técnicas de Análisis BursátilAnálisis Fundamental

Hipótesis: El mercado puede no ser eficiente a cortoplazo, pero lo es a largo plazo.Objetivo: estudiar toda la información disponible enel mercado.

Macroeconómica: condiciones generales delmercado.Microeconómica: estados financieros, balances,resultados de ventas, flujos de efectivo, etc.

No existe una única metodología de análisisfundamental, sino varias en función del sector que seanalice.

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Técnicas de Análisis BursátilAnálisis Técnico

Hipótesis: La información que se tiene en elpresente, casi seguramente se conservará en elfuturo.Objetivo: Pronosticar variaciones futuras de un valorbursátil basándose en la evolución histórica de suscotizaciones.Conjunto de modelos o métodos utilizados paraconstruir un portafolio óptimo en base al precio,tiempo y volumen negociable de los activos.

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Técnicas de Análisis BursátilCríticas al Análisis Técnico

El precio de un activo puede no reflejar toda lainformación existente en el mercado.Lo que sucedió en el pasado puede no volver asuceder en el futuro.No es útil en mercados que no son competitivos, oque tienen información reservada a un pequeñogrupo de inversionistas privilegiados.

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El problema

Markowitz, 1952. Primera gran revolución en lateoría de portafolios. Modelo cuadrático.Diversificación.Simplifica el Análisis Fundamental al estudio de tresestadísticos básicos:

MediaVarianzaCovarianzas

de las tasas de rendimiento de los activos.

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Enfoque media-varianza

Permite deducir combinaciones de activos quesimultáneamente cumplen con dos condiciones:

tienen la varianza mínima dentro de todas lascombinaciones posibles que tienen un rendimientoesperado dado, ytienen el rendimiento esperado máximo dentro detodas las combinaciones posibles que tienen unavarianza dada.

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Frontera eficienteAquellas combinaciones que cumplen lascondiciones anteriores se denominan portafolioseficientes.El conjunto de portafolios eficientes se conoce comofrontera eficiente.Si un portafolio se encuentra en la frontera eficiente,se dice que domina a los que no lo están.

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Frontera eficiente

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RetornoMedida de la ganancia obtenida sobre una inversiónen un período de tiempo dado.Consideremos una acción S en los períodos 0, ..., T.

Sean S(0) y S(T ) los precios de la acción en losinstantes 0 y T , respectivamente.

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RetornoLa cantidad

pT =S(T ) − S(0)

S(0)(1)

se denomina retorno simple o aritmético en el período0, ..., T.La cantidad

rT = lnS(T )

S(0)(2)

se denomina log retorno o retorno geométrico en elperíodo 0, ..., T.

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Riesgo

Sistemático, de mercado o no diversificable.Factores externos, coyuntura económica general. Nodepende de las características individuales delactivo.No sistemático, específico o diversificable.Depende exclusivamente de las característicasespecíficas del activo; solvencia, liquidez, naturalezade sus actividades, etc.

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Riesgo diversificable

Existen varios métodos para estimar el riesgodiversificable:

Varianza,Funciones de desviación absoluta,Valor en Riesgo (VaR),Rango de variación,etc.

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Riesgo no diversificable

El modelo más conocido para estimar el riesgo nodiversificable es el llamado “modelo de mercado” deSharpe.Criterio de clasificación de activos en base al riesgo:coeficiente Beta de Sharpe, o coeficiente devolatilidad.Este coeficiente indica cuánto varía el rendimientode un activo en función de las variacionesproducidas en el rendimiento del mercado en el queeste se negocia, de manera que:

β < 1 refleja activos poco volátiles,β > 1, muy volátiles yβ = 1, activos neutros.

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Valor en Riesgo (VaR)

Es un estadístico que cuantifica, con determinadonivel de significancia, el monto de pérdida que unportafolio enfrentará en un período predefinido detiempo.Es común en el ámbito financiero calcular el VaRcon un nivel de significancia del 95%, suponiendoque los retornos siguen distribución normal.En el contexto de la optimización de portafolios, secalcula el VaR como una medida del riesgodiversificable.

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Valor en Riesgo (VaR)

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Modelo de MarkowitzSean R1, R2, ..., Rn las variables aleatorias querepresentan los retornos de las acciones 1, 2, ..., n.Se asume que E[|Rj|] = rj < ∞ para j = 1, ...n.El retorno total está dado por:

R(x) = R1x1 + R2x2 + ... + Rnxn. (3)

Claramente, el conjunto de todas las posiblesasignaciones para las acciones, al que llamaremosconjunto factible es:

X =

{

x ∈ Rn :

n∑

j=1

xj = 1, xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n

}

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Modelo de MarkowitzNotemos por µ ∈ R

n al vector de los retornosesperados rj de las acciones, Σ ∈ R

n×n la matriz devarianzas-covarianzas de dichos retornos.Sea R0 el retorno mínimo aceptado, el modelocuadrático de Markowitz es:

(MM)

min xtΣxs.a.µtx ≥ R0

n∑

j=0

xj = 1

x ≥ 0, x ∈ Rn

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Modelos linealesKonno y Yamazaki, 1991. Segunda gran revoluciónen Teoría de Portafolios. Medidas alternas de riesgo.Una de ellas con la capacidad de “linealizar” elmodelo de Markowitz.Otras medidas de riesgo:

Semi-varianza inferior,Desviación absoluta media,Desviación absoluta máxima,etc.

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Modelo de KonnoFunción de desviación absoluta media:

l1(x) = E

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

i=1

Rixi − E

[

n∑

i=1

Rixi

]∣

∣

∣

∣

∣

(4)

El riesgo del portafolio está medido por ladesviación absoluta de la tasa de retorno de lasacciones en lugar de su varianza.El problema de optimización de portafolios con estamedida de riesgo l1 puede ser formulado como unproblema de programación lineal.

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Modelo de KonnoNotemos por:

S = {x = (x1, ..., xn) :n

∑

j=1

rjxj ≥ ρM0,

0 ≤ xj ≤ µj, j = 1, 2, ..., n}

El modelo consiste en minimizar l1(x) sobre S:

(MK)

min w(x) = E

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

j=1

Rjxj − E

[

n∑

j=1

Rjxj

]∣

∣

∣

∣

∣

s.a.

x ∈ SJ.E.F.R. – p. 22

Modelo de KonnoEl modelo linealizado:

(MKL)

min w(x) = 1

T

T∑

t=1

yt

s.a. yt ≥

n∑

j=1

(rjt − rj)xj, t = 1, ...T

yt ≥ −

n∑

j=1

(rjt − rj)xj, t = 1, ...T

x ∈ S

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Modelo de KonnoDonde

rj es el retorno esperado del j-ésimo activo yrjt es la tasa de retorno del j-ésimo activo durante elperíodo t.

El número de restricciones es proporcional al número deperíodos de análisis.

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Modelo de CaiFunción de desviación absoluta máxima:

l∞(x) = max1≤i≤n

E|Rixi − E(Ri)xi| (5)

Esta función mide el máximo de los riesgosindividuales de cada activo.

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Modelo de Cai

El modelo consiste en minimizar l∞(x) sobre S:

(MC)

min l∞(x) = max1≤i≤n

E|Rixi − E(Ri)xi|

s.a.

x ∈ S

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Modelo de CaiModelo linealizado de Cai:

(MCL)

min y

s.a.

qjxj ≤ y, j = 1, ..., n

x ∈ S

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Modelo de CaiDondeqj = E|Rj − rj|, j = 1, ..., n, el cual es ladesviación absoluta esperada de Rj de su media.Si la distribución Rj es dada, qj está determinada.Los datos históricos también pueden ser utilizadospara estimar rj y qj.El número de restricciones de este modelo estádeterminado por el número de activos.

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Modelo de Teo

La función de riesgo alternativa HT∞(x):

HT∞(x) =

1

T

T∑

t=1

max1≤i≤n

E|Ritxi − ritxi| (6)

DondeRit es una variable aleatoria que representa elretorno del activo i en el instante t, y rit suesperanza, t = 1, 2, ..., T , i = 1, 2, ..., n.

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Modelo de Teo

HT∞(x) es una extensión de l∞(x), asumiendo que se

tienen datos históricos disponibles de T períodos detiempo.En cada período se calcula la desviación absolutaindividual con respecto al valor esperado en eseperíodo.El riesgo total del portafolio es el promedio de losmáximos de las desviaciones absolutas individualesde las acciones en todos lo períodos.

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Modelo de Teo

El modelo consiste en minimizar HT∞(x) sobre S:

(MT )

min HT∞(x) = 1

T

T∑

t=1

max1≤i≤n

E|Ritxi − ritxi|

s.a.

x ∈ S.

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Modelo de TeoSu transformación lineal es:

(MTL)

min 1

T

T∑

t=1

yt

s.a.

ajtxj ≤ yt, t = 1, ..., T, j = 1, ..., n

x ∈ S

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Modelo de TeoDondeajt = E|Rjt − E(Rjt)|, j = 1, ..., n, t = 1, ..., T .El número de restricciones está determinado por elnúmero de activos y el número de períodos.Si n o T son demasiado grandes, el tiempo derespuesta, en términos computacionales, también sehace grande.

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Modelo modificado de KonnoOptimiza una combinación lineal parametrizada delretorno esperado del portafolio y la función dedesviación absoluta media l1(x), propuesta porKonno.No requiere de una cota inferior para el rendimiento.El nivel de aversión al riesgo está cuantificado por elparámetro.

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Modelo modificado de KonnoEl modelo:

(MKM)

min −E[R(x)] + λl1(x)

s.a.∑n

j=1xj = M0

0 ≤ xj ≤ µ, j = 1, ..., n

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Modelo modificado de KonnoBasado en la transformación lineal de Konno, elmodelo lineal es:

(MKML)

min−∑n

j=1rjxj + λ 1

T

T∑

t=1

yt

s.a. yt ≥

n∑

j=1

(rjt − rj)xj, t = 1, ...T

yt ≥ −

n∑

j=1

(rjt − rj)xj, t = 1, ...T

∑nj=1

xj = M0

0 ≤ xj ≤ µ, j = 1, ..., n

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Modelo modificado de KonnoDonde

M0 es el capital total disponible yµ es el capital máximo a destinarse a una acciónindividual.

El parámetro λ se escogió por medio de exploraciónexhaustiva con el criterio de maximizar elrendimiento promedio del portafolio. Se simularonvalores entre 0.05 y 1, incrementando en 0.05 suvalor en cada paso.

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Dominación estocásticaComparar variables utilizando funciones derendimiento construidas a partir de sus funciones dedistribución de probabilidad.Para una variable aleatoria V , la función derendimiento F2 está dada por áreas bajo la curva dela función de distribución F ,

F2(V ; η) =

∫ η

−∞

F (V ; ξ)dξ, η ∈ R. (7)

F2 define la relación de dominación estocástica desegundo orden (SSD).

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Dominación estocásticaSe dice que una variable aleatoria V dominaestocásticamente en segundo orden a otra variablealeatoria S, y se nota V �SSD S, si:

F2(V ; η) ≤ F2(S; η), ∀η ∈ R.

La relación de dominación estricta correspondiente�SSD se define en la forma usual: V �SSD S si ysolo si V �SSD S y S 6�SSD V .

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Dominación estocásticaEn este contexto, se consideran variables aleatoriasque representan retornos de la forma:

R(x) = R1x1 + R2x2 + ... + Rnxn.

Se dice que un portafolio x domina estocásticamenteen segundo orden a un portafolio y(R(x) �SSD R(y)), si:

F2(R(x); η) ≤ F2(R(y); η), ∀η ∈ R. (8)

y (8) se cumple con desigualdad estricta para algúnη.

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Dominación estocásticaUn portafolio x se llama SSD-eficiente en unconjunto de portafolios X si no existe y ∈ X tal queR(y) �SSD R(x).SeaX = {x ∈ R

n :∑n

i=1xi = 1, xi ≥ 0, i = 1, ..., n}.

Sea Y una variable aleatoria con esperanza finita querepresenta el retorno de un portafolio referencial z,i.e. Y = R(z).

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El problema restringido

Se plantea el problema como la búsqueda de unnuevo portafolio x que sea preferible sobre Y en elsentido de la dominación estocástica de segundoorden:

(ME)

max E[R(x)]s.a.R(x) �SSD Y

x ∈ X

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Modelo discretizadoSe asume que Y tienen una distribución discreta conescenarios posibles yi, i = 1, 2, ...,m y que losretornos tienen distribuciones discretas conescenarios posibles rjt, t = 1, ..., T, j = 1, ..., n,cada uno con una probabilidad asociada pt.Introduciendo variables sit que representan el déficitde R(x) por debajo de yi en el escenario t,i = 1, ..,m, t = 1, ..., T, se tiene el siguientemodelo discretizado:

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Modelo discretizado

(MED)

max E[R(X)]s.a.

n∑

j=1

xjrjt + sit ≥ yi, i = 1, ...,m, t = 1, ..., T

T∑

t=1

ptsit ≤ F2(Y ; yi), i = 1, ...,m

sit ≥ 0, i = 1, ...,m, t = 1, ..., T

x ∈ X

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Estudio comparativo

1. Selección de modelos2. Implementación3. Selección de instancias4. Pruebas computacionales

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Selección de modelosSe escogieron aquellos considerados de mayorimportancia, bien sea por su contenido teórico, su valorhistórico o porque son los más utilizados hoy en día:

MarkowitzKonnoCaiTeoKonno modificadoRestricciones de dominación estocástica

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Implementación

Se decidió emplear el entorno de programación Matlab:solvers incorporados.Pruebas:

Estabilidad de los algoritmosDepurar erroresVerificar consistencia en resultados

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Selección de InstanciasNYSE (DJIA): Bolsa de valores de Nueva York. 30más grandes empresas del sector industrial, e.g.Boeing, HP, Chevron, GM, etc.NASDAQ-TEC: Bolsa electrónica más grande deEstados Unidos. 14 de las más grandes empresas delsector tecnológico, e.g. IBM, Intel, Google, Apple,etc.NASDAQ-FIN: 12 de las más grandes empresas delsector financiero, e.g. Altera Corp., Arch CapitalGroup, Bankfirst, etc.Se seleccionaron 6 instancias, dos por cada uno deestos conjuntos de activos divididas entre Enero2005 y Diciembre 2007.

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Dow Jones Sep-Dic 2006

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NASDAQ-TEC Sep-Dic 2006

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NASDAQ-FIN Sep-Dic 2006

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Dow Jones Sep-Dic 2007

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NASDAQ-TEC Sep-Dic 2007

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NASDAQ-FIN Sep-Dic 2007

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Pruebas computacionales

Formar portafolios iniciales al final del mes deseptiembre del segundo año.Estrategia en-línea para reestructurar el portafoliodiariamente durante el último trimestre, tomando encuenta los costos transaccionales.Se evalúa la calidad calculando 5 estadísticos:

PROM: Valor neto promedioD.E.: Desviación estándarMAX: Valor neto máximoMIN: Valor neto mínimoRANG: Rango

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Estrategia en-línea

Cada día se corren los 6 modelos con la nuevainformación.Se halla el nuevo portafolio óptimo x∗.Si

V NP ∗− γ

n∑

i=1

[x∗i − xi]+Pi − δ

n∑

i=1

[xi − x∗i ]+Pi > V NP

entonces x −→ x∗, caso contrario, el portafolio x semantiene.

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Estrategia en-línea

Dondex es el portafolio previo a la reestructuración.V NP es el valor del portafolio x.V NP ∗ es el valor del portafolio x∗.Pi es el precio del activo i al momento de lareestructuración.γ es la tasa que una casa de valores comisiona encompra de acciones.δ es la tasa que casa una de valores comisiona enventa de acciones.[a]+ = max{0, a}.

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Tabla de resultados

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VNP Dow Jones Oct-Dic 2006

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VNP NASDAQ-TEC Oct-Dic 2006

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VNP NASDAQ-FIN Oct-Dic 2006

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VNP Dow Jones Oct-Dic 2007

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VNP NASDAQ-TEC Oct-Dic 2007

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VNP NASDAQ-FIN Oct-Dic 2007

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ConclusionesLas medidas de riesgo específico utilizadascuantifican implícitamente el riesgo de mercado.La consideración o no de los costos transaccionalescambia radicalmente los criterios de calidad de losmodelos, obtenidos en base a los estadísticos yamencionados.El modelo de Markowitz ha perdido terreno encuanto a su aplicabilidad.El modelo de Teo es el único en el cuál el tiempo derespuesta es un factor a tomar en cuenta. Un corridaen-línea (aproximadamente 63 iteraciones) toma 693minutos.

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ConclusionesSi bien el modelo estocástico es muy ricoteóricamente, y obtiene rendimientos altos, es elmodelo que más dispersión arroja en sus resultados.El modelo de Konno modificado es el único queobtiene, en al menos una instancia de prueba, losmejores resultados respecto a todos los indicadoresanalizados. En general se comporta mejor que losdemás modelos bajo tendencias a la baja en lascotizaciones.

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Preguntas

?

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