Modelos de Resolución de Problemas y más…

Un recorrido histórico

Santiago FernándezAsesor matemáticas Berritzegune Nagusia- Bilbao

Analizando los escritos de Gauss, Poincaré, Hamilton, etc. el investigador G. Wallas llegó a una serie de conclusiones respecto al acto de resolución de problemas y de creación matemática, que están recogidas en su libro Art of Thought (1926).

1. INCUBACIÓN2. PREPARACIÓN3. ILUMINACIÓN4. VERIFICACIÓN

G.Wallas, in Art of Thought (1926),

1. PREPARACIÓN Recolección de información e intento preliminares de

solución

2. INCUBACIÓN Dejar el problema de lado para realizar otras actividades o

descansar

3. ILUMINACIÓN Aparece la clave de la solución ( el !! AJA!!)

4. VERIFICACIÓN Se comprueba la solución para estar seguros de que

funciona

Dewey(1888)

Mayer(1983)

Wallas(1926)

Polya (1945)

Newell y Simon(1972))

Lakatos(1960)

Schoenfeld (1985)

Miguel de Guzmán(1991)

Mason-Burton-Stacey(1972)

IDEAL

Descartes( XVII)

Reglas para la dirección del espíritu R. Descartes (Son XXI Reglas, las doce primeras nos pueden ayudar a comprender mejor el asunto; veamos algunas de ellas)

• Conviene estimar la magnitud de los problemas con los que nos enfrentamos• Ante un problema conviene ensayar herramientas propias• El método es necesario para la resolución de problemas• Conviene reducir lo complicado a lo simple.• Para progresar en la resolución conviene tener una visión unitaria de todo el proceso.•Es necesario examinar atentamente el proceso seguido.• Hay que estar atentos a cómo otros han resuelto problemas…

Método de POLYA I. Comprender el problema II. Concebir un plan . III. Ejecución del plan IV. Examinar la solución obtenida

Comprender el problema

• Cuál es la incógnita? • Cuáles son los datos? • Cuál es la condición? • Es la solución suficiente para determinar la incógnita? Es insuficiente? Redundante? Contradictoria? • Entiendo el problema en su totalidad• Puedo contárselo a otra persona con mis palabras?

Concebir un plan

• Se ha encontrado con un problema semejante? • O ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? • Conoce un problema relacionado con éste? Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. • He aquí un problema relacionado con el suyo y que se ha resuelto ya. Podría usted utilizarlo? Podría emplear su método? Le haría a usted falta introducir algún elemento auxiliar a fin de utilizarlo? • Podría enunciar el problema en otra forma? Podría plantearlo en forma diferente nuevamente?

• Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún problema similar. • Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? Un problema más general? Un problema más particular? Un problema análogo? Puede resolver una parte del problema? • Considere sólo una parte de la condición; descarte la otra parte; en qué medida la incógnita queda ahora determinada? • En que forma puede variar? Puede usted deducir algún elemento útil de los datos? • Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? • Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí? • Ha empleado todos los datos? Ha empleado toda la condición? • Ha considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Ejecución del plan

• Al ejecutar su plan de la solución, compruebe cada uno de los pasos. • Puede usted ver claramente que el paso es correcto? • Puede usted demostrarlo?

Examinar la solución obtenida

• Puede usted verificar el resultado? • Puede verificar el razonamiento? • Puede obtener el resultado en forma diferente? • Puede verlo de golpe? • Puede usted emplear el resultado o el método en algún problema?

MASON, BURTON y STACEY Pensar matemáticamente

POLYA Cómo plantear y resolver un problema

BRANSFORD, STEIN, y BARRY Solución I.D.E.A.L.

M. De GUZMÁN Para pensar mejor

Cuatro modelos para resolver problemas

Las ayudas didácticas y psicológicas

-Las sugerencias heurísticas (Polya) constituyen una lista de preguntas que pueden ayudar al individuo que intenta resolver un problema y que son

independientes del tema del que éste trate. Ej: ¿Conoces un problema relacionado con éste?, ¿puedes cambiar la incógnita?.

- El rotulado (B, S y M) consiste en dejar por escrito todos los procesos que se producen durante el proceso de resolución de un problema (lo que

pensamos, lo que sentimos y lo que hacemos), con unos códigos de escritura breve (¡Atascado!, ¡Ajá!, etc). Ayuda a recordar. a no abandonar, a estructurar

el pensamiento.

-El monitor interior (B, S y M) o tutor, consiste en la autoobservación del proceso por el propio individuo, su evaluación y control permanente, en un

desglose de su consciencia - El autorretrato heurístico (Guzmán) se basa en el examen comparado de

protocolos de resolución real de problemas propios y de otras personas (incluyendo descripciones del uso del tiempo), como medio para el

autoconocimiento y la mejora. Se constata (Guzmán) en los protocolos de expertos mayor número de idas y venidas que en los novatos, quienes

suelen conformarse con un único intento.

Heurística Descripción informal

Analogía formal

Analogía ¿Puedes encontrar un problema análogo a tu problema y resolverlo?

Aplicación matemática

Generalización ¿Puedes encontrar un problema más general que tu problema?

Generalización

Inducción ¿Puedes resolver un problema a partir de una generalización de algunos ejemplos?

Inducción

Variación del problema ¿Puedes modificar o cambiar el problema para crear un nuevo problema (o un conjunto de problemas) cuya solución pueda ayudarte a resolver el problema original?

Búsqueda de algoritmo

Problema auxiliar ¿Puedes encontrar un subproblema o problema colateral cuya solución te ayudaría a resolver tu problema?

Meta parcial

Aquí aparece un problema relacionado con el tuyo y previamente resuelto

¿Puedes encontrar un problema relacionado con el tuyo que ya haya sido resuelto?

Reducción de la complejidad

Heurística Descripción informal Analogía formal

Especialización ¿Puedes considerar un problema más restringido o especializado?

Especialización

Descomposición y recombinación

Divide y vencerás De lo general a lo concreto

Trabajando hacia atrás a partir del objetivo

¿Puedes empezar con el objetivo y trabajar de manera inversa hasta algo conocido?

Realizar el camino inverso

Dibuja un esquema ¿Puedes trazar un esquema del problema?

Razonamiento esquemático

Elementos auxiliares ¿Puedes agregar algún elemento nuevo a tu problema para acercarte a una solución?

Extensión

MODELO POLYA BRANSFORD

(IDEAL)

MASON, BURTON

y STACEY

GUZMÁN

  FAS ES 

Comprender el problema

IdentificaciónAbordaje FamiliarizaciónDefinición y

representación

Concebir un planExploración de

posibles estrategias Ataque

Búsqueda de estrategias

Ejecutar el plan Actuación, según una estrategia

Llevar adelante la estrategia

Examinar la solución

Logros. Observación y

evaluación de los efectos de

nuestra actuación

Revisión

Revisar el proceso y

sacar consecuencias

de élAYUDAS

didácticas y

psicológicas

Sugerencias heurísticas  

RotuladoMonitor interior

Autorretrato heurístico

Algunas recomendaciones a la hora de resolver problemas.

1.- Si queremos resolver problemas sólo hay un camino: resolver problemas. No vale teorizar sobre estrategias heurísticas.

2.- Además de resolver problemas hay que reflexionar sobre el proceso de resolución. De varios modos se puede estimular esta reflexión operativa: - ejercitando en las técnicas de escritura de protocolos o rótulos que ayuden al autoconocimiento. - ofreciendo guías de acción (modelos de resolución). - identificando las estrategias más usuales.

3.- La mejor manera de avanzar rápidamente en la resolución de problemas es observar a los expertos cómo ellos resuelven los problemas.

1) Una actitud inicial sana, libre en lo posible de bloqueos y barreras previas... 2) Una preparación adecuada, para afrontar el problema, que debe contemplar múltiples aspectos: afectivos, físicos, cognoscitivos... 3) La disponibilidad de estrategias variadas, de entre las que se pueden elegir aquellas que conduzcan al tratamiento más eficaz del problema. 4) Una cierta capacidad de incubación, que permita involucrar a los mecanismos subconscientes de la mente en las tareas de resolución de problemas... 5) Una constante atención a la posible iluminación, inspiración o intuición que pueden surgir en cualquier momento en el dinamismo mental como fruto de esta tensión preparatoria. 6) Una juiciosa evaluación de la situación del proceso a medida que se realiza, a fin de distribuir correctamente el esfuerzo que se debe emplear en las diferentes tareas de la resolución del problema.7) Una perseverancia tenaz, la cual viene a ser el motor que pone en conseguir tensión todos los resortes disponibles de la mente.

D. Miguel de Guzmán, en su libro Para Pensar Mejor dice que: ”Al observar el proceder de los expertos se pueden entresacar unos cuantos rasgos característicos de su actuación de tipo general”, son éstos:

Condiciones iniciales para resolver problemas

Para abordar la resolución de un problema matemático se precisa: 

1. Conocimientos matemáticos adecuados a los problemas propuestos. ¿ Cuáles son éstos Conocimientos? (diapositiva siguiente)

2. Conocimientos de algunas estrategias heurísticas. Se trata ante todo familiarizarse con los métodos y estilos de trabajo antes

que conocer muchos resultados dispersos; en definitiva, aprender a pensar y aprender a actuar. Es un aprendizaje de procedimientos de “alto rango”.

3.  Deseos de resolver el problema. El problema debe escogerse adecuadamente, ni muy fácil ni muy difícil, y debe

dedicarse cierto tiempo a exponerlo de un modo natural e interesante, esto aumentará el deseo de resolverlo( Polya)

Conocimientos matemáticos adecuados de cara a la enseñanza secundaria.¿ Cuáles son éstos Conocimientos?

Una posible lista.

Teorema de PitágorasTeorema de Thales, semejanzaConocimiento proporcionalSuma de términos de una progresión aritméticaPropiedades elementales de la circunferenciaPropiedades básicas de los triángulosRelación entre las fracciones, números decimales y números racionalesUna cierta destreza en el manejo del lenguaje algebraicoConocimientos elementales de matemática discreta.Conocimientos de probabilidad…..….

¿ Cómo plantear problemas en el aula? ¿ Cuándo? ¿ Qué problemas?

Tipos de problemas

• Para comenzar• Para practicar• Para investigar

En qué momento ?Siempre

¿ Cómo trabajar los problemas?

• Individualmente• Por parejas• En grupo• En clase• Para casa

Un enfermo tiene que tomar un tratamiento crucial para su salud, consiste en tomar una pastilla de cada bote (los dos botes son iguales, la pastillas son aparentemente iguales pero su composición es distinta) Un día se da cuenta que únicamente le quedan dos pastillas en cada bote, pero al tomarlos se le caen al suelo y se rompen; las cuatro pastillas ahora están mezcladas y no sabemos de que bote provienen. ¿ qué puede hacer?Podría resolverlo si hay tres pastillas en cada bote? Y cuatro?

Problemas para comenzarLas pastillas

Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer: -¿Cantidad de hijos? -Tres, dice ella. -¿Edades? -El producto de las edades es 36, y la suma es igual al número de la casa vecina, dice ella.

El encuestador se va pero al rato vuelve y le dice a la mujer que los datos que le dio no son suficientes; la mujer piensa y le dice: tiene razón, la mayor estudia piano. Esto es suficiente para que el encuestador sepa las edades de los hijos. ¿Cuáles son esas edades?

Problemas para comenzarLas tres edades

E K 4 7

¿Qué tarjetas deben girarse para averiguar si la regla es verdadera?

“Si una tarjeta tiene una VOCAL en una cara, entonces tiene un número PAR en la otra”.

Comprobación de Hipótesis

Problemas para comenzar

TARJETAS PORCENTAJE

E y 4 46%

E 32%

E, 4 y 7 7%

E y 7 4%

Otros 10%

Lo que las personas contestanLo que las personas contestan……

Tiempo de tostadas          

Los Herrera tienen una anticuada tostadora que sólo admite dos rebanadas de pan por vez y que tuesta sólo un lado de la rebanada por vez. Para tostar el otro lado, hay que sacar las rebanadas, darlas vuelta y volverlas a poner en la tostadora. La tostadora tarda exactamente un minuto para tostar un lado de cada rebanada.                    Una mañana, el señor Herrera deseaba tostar ambas caras de tres rebanadas. La señora Herrera le observaba por encima de su periódico y sonrió al ver el procedimiento de su marido. Tardó cuatro minutos."Podrías haber tostado esas tres rebanadas en menos tiempo, querido", dijo. "y hubieras gastado menos electricidad.“

            ¿Tenía razón la señora Herrera?

Problemas para comenzar