modelos y estrategias de resolucion_de_problemas

Por: Santiago Fernández

Método de G. Polya

El primer paso debe ser leer cuidadosamente el problema. Asegúrate de que lo entiendes con claridad y de que no se te escapa ningún detalle. Hazte a tí mismo estas preguntas:

¿Cuáles son las incógnitas? ¿Qué datos nos dan? ¿Qué relaciones existen? ¿Qué condiciones nos imponen?

En muchos problemas es útil: Dibujar un diagrama o un esquema, e identificar en él los datos e

incógnitas del problema. También puede ser de mucha ayuda Introducir la notación adecuada (En la elección de símbolos para las

incógnitas a menudo usamos letras como a, b, c, x e y; pero en muchos casos ayuda usar iniciales como V para el volumen o t para el tiempo. Usa marcas (primas, barras, ), subíndices o superíndices cuando sea necesario, pero intenta no recargar la notación.

Para calcular la incógnita debes encontrar una conexión entre la información que se te ofrece y aquello que se te pregunta. A menudo te ayudará preguntarte explícitamente: “¿Cómo puedo relacionar los datos y la incógnita?”. Si no ves una conexión inmediatamente, las siguientes ideas pueden ayudarte a trazar un plan:

Establece objetivos parciales (divide el problema en subproblemas) .En un problema complejo suele ser de gran ayuda dividirlo en problemas

Apuntes elaborados por Santiago Fernández, asesor de Matemáticas del Berritzegune Nagusia - BILBAO([email protected])

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1. Comprender el problema (identificar el objetivo)

2. Traza un Plan (una estrategia de trabajo)

MÉTODOS Y ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

más pequeños. Si podemos resolver objetivos parciales tal vez seamos capaces de llegar, a través de ellos, a la solución completa.

Intenta reconocer algo familiar. Busca alguna relación entre la situación que se te plantea y tu conocimiento anterior. Intenta recordar un problema conocido con incógnitas o datos parecidos o que involucre una idea similar.

Mira si existe un patrón en el problema. Algunos problemas quedan resueltos cuando identificamos en él un patrón que se repite. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si puedes distinguir alguna regularidad o repetición en el problema, tal vez sea esa la clave de su resolución. (Si haces muchos problemas desarrollarás tu ca-pacidad para reconocer patrones).

Usa analogías. Intenta pensar en un problema similar que esté relacionado con el que tienes que resolver pero que tenga una solución más simple. Un problema sencillo pero similar puede darte pistas para llegar a la solución final.

Si tu problema es de tipo general, intenta en primer lugar un caso particular. (Hay que hacer cuantos más problemas, mejor. Así tendrás una buena base para encontrar analogías)

Introduce algo extra. En ocasiones puede ser necesario introducir algo nuevo, una ayuda auxiliar, que facilite encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. Por ejemplo, en un problema geométrico puede ayudar trazar líneas adicionales o en un problema algebraico introducir una nueva variable relacionada con la incógnita.

Separa en casos. A veces un problema puede ser troceado en varios casos, de forma que sea sencillo encontrar una solución diferente para cada caso. Por ejemplo, separar entre valores positivos y negativos o entre valores enteros y decimales. Si haces esto, cuida de no dejar por estudiar ninguna posibilidad (por ejemplo, el valor cero).

Trabaja hacia atrás (asume que la respuesta ya la conoces). A menudo es útil imaginar que ya ha sido resuelto el problema y, a partir de la solución, ir pensando hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos originales. Entonces bastará recorrer la secuencia de pasos al contrario para ir de los datos a la solución.

Razonamiento indirecto. Hay otros casos en los que resulta apropiado cambiar de estrategia. Por ejemplo, intentar resolver algebraicamente un problema geométrico o al revés. También puede ser interesante el método de reducción al absurdo: Si quieres probar que P implica Q, podrías intentar probar que es imposible que se dé al mismo tiempo que P es cierto y Q falso.


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3. Llevar a cabo el Plan

Una vez trazado el plan, hay que ponerlo en práctica. Al llevarlo a cabo debe chequearse cada paso y escribir los detalles que lo hacen correcto. Una ristra de ecuaciones no es suficiente, comenta lo que haces y por qué lo haces. Procura además escribir con orden y claridad, poniendo apartados y obser-vaciones si eso hace más comprensible tu trabajo. Puede ser útil numerar las ecuaciones intermedias o poner marcas (asteriscos, etc.). Cuando llegues a la solución destácala (encuadrándola por ejemplo).

Debes ser meticuloso con tus resultados, buscando posibles errores (inconsistencias, ambigüedades, incorrecciones) en tus soluciones. Tú mismo debes ser tu crítico más duro. En la medida de lo posible deberías chequear el resultado. Aquí tienes una lista de posibilidades:

¿Existe un método de resolución alternativo que dé al menos una respuesta parcial?

Intenta una aproximación similar para algún problema parecido aunque sea más simple.

Comprueba los signos y las unidades (dos veces mejor que una sola). Si la respuesta fue numérica, ¿es razonable el orden de magnitud? ¿Varía la respuesta numérica de la forma esperable si cambias uno o

más parámetros? Chequea los casos límite en los que la respuesta sea fácil o conocida. Chequea los casos especiales en los que la respuesta tenga alguna

peculiaridad. Comprueba si tu solución refleja las posibles simetrías del problema. Haz algún experimento (mental, al menos) para ver que la respuesta

tiene sentido.

Nota: de cara a presentar tu trabajo, esfuérzate por redactar de forma clara, ordenada, elegante, que pueda ser comprendida con facilidad por otra persona. Es frecuente que al hacerlo te des cuenta de que hay algún punto que no sabes explicar bien o alguna dificultad que tú habías pasado por alto. Aunque no hubieras llegado a resolverlo, hacer una buena redacción describiendo el proceso que has seguido, los sucesivos intentos, el porqué crees que no sale, etc., te ayudará a mejorar. Además, puede resultar muy útil para que quien te lo propuso pueda darte orientaciones que sean más adecuadas para ti.


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4. Revisar y Mirar hacia atrás (comprobaciones finales)

Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:

1. Acepta el reto de resolver el problema.2. Reescribe el problema en tus propias palabras.3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...4. Habla contigo mismo. Házte cuantas preguntas creas necesarias.5. Si es apropiado, trata el problema con números simples.6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes

frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.

7. Analiza el problema desde varios ángulos.8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar

a empezar9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se

necesitas encontrar una para tener éxito.10. No tengas miedo de hacer cambios en las estrategias.11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con

montones de ellos, tu confianza crecerá.12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y

asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.

13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución.

14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees tiempo después.


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Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito (expertos) en resolver problemas:

15. Ayuda a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.

16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.


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Diez Mandamientos para los Profesores de Matemáticas (G.Polya)

1.- Interesarse por su materia.2.- Conocer su materia.3.- Tratar de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos.4.- Dése cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno mismo.5.- Dé a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.6.- Permítales aprender a conjeturar.7.- Permítales aprender a comprobar.8.- Advierta que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que yace bajo la presente situación concreta.9.- No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes; déjelos encontrar por ellos mismos tanto como sea posible.10.- Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza.

Método de M.de Guzmán

El primer paso para resolver un problema es comprender el enunciado, disponer de una idea clara de los datos que intervienen, las relaciones entre ellos y lo que se pide. Ser capaces de contar el problema con nuestras palabras (película del problema). En definitiva familiarizarnos con el problema.

Trata de entender a fondo la situación Con paz, con tranquilidad a tu ritmo Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del

problema, piérdele el miedo

Empieza por lo fácil Experimenta y busca regularidades, pautas Hazte un esquema, una figura, un diagrama Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada Busca un problema semejante Inducción Supongamos el problema resuelto Supongamos que no Piensa en técnicas generales: inducción, descenso, p. del palomar,..


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1. Familiarización

2. Búsqueda de estrategias

Explota la simetría Modifica el problema, cambia algo del enunciado, para ver si se te

ocurre algo interesante.

Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior

Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea

Si las cosas se complican demasiado trata de buscar otra vía. ¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.

...

Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución?

O bien, ¿por qué no llegaste? Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona. Mira si encuentras un camino más simple Mira hasta dónde llega el método Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca

consecuencias para el futuro


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3. Llevar adelante la estrategia

4. Revisar el proceso y saca conclusiones

Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones.

1.- La actitud inicial es importanteCuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante él. ¿Estás ansioso por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc..) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el reto?

2.-Ten confianza en tus capacidadesCon frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.

3.-Sé paciente y constanteNo abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo.

4.-Concéntrate en lo que hacesResolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensión todos nuestros resortes mentales.

5.- Busca el éxito a largo plazoAprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.


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ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR

Buscar semejanzas con otros problemas ¿A qué te recuerda la situación? ¿No intuyes que tal vez sea como aquella otra?

Reducir lo complicado a lo simpleNormalmente el camino correcto para la resolución de un problema complicado es la división de este en otros más sencillos.

Considerar casos particularesEn algunas ocasiones, experimentar con casos particulares te pone en la pista correcta para resolver el caso general.

Hacer un dibujoA veces, una imagen vale más que mil palabras. En el dibujo o esquema que hagas debes incorporar los datos realmente importantes y prescindir de lo demás. No necesitas hacer un dibujo muy preciso. El objetivo es que sirva de apoyo para avanzar en la resolución.

Estudiar todos los casos posiblesSe trata de ver todas y cada una de las posibilidades y analizar si se pueden aceptar o descartar y por qué.

Elegir una buena notaciónEligiendo una buena notación, un problema se puede simplificar notablemente. El objetivo es relacionar los datos con las variables elegidas y tratar de hacer los cálculos de la mejor manera posible. A la hora de elegir una buena notación, debemos tener presente que ésta sea clara, concisa y sin ambigüedades. La notación mejor es la que expresa abreviadamente la función misma de los elementos que representa.

Incorporar algo adicionalA veces, al incorporar un elemento nuevo, por ejemplo, una línea o una


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ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

incógnita, se ponen de manifiesto relaciones que de otra forma pueden pasar desapercibidas

Ensayo y errorEs una estrategia muy utilizada en nuestra vida: obramos de una determinada manera, observamos qué pasa, decidimos otras alternativas, etc. Estamos procediendo por ensayo y error. En matemáticas se suele emplear en multitud de ocasiones.

Trabajar hacia atrásA veces es de gran ayuda imaginar que el problema está resuelto y trabajar paso a paso hacia atrás hasta llegar a la información conocida. Sólo entonces estarás en condiciones de recorrer en sentido contrario el camino y construir una solución.

Razonamiento indirecto

Ocasionalmente será apropiado atacar el problema de manera indirecta. Supongamos que no... ¿a dónde nos lleva? Esto es el argumento que se llama indirecto o por reducción al absurdo. Para demostrar que P implica Q se puede suponer que P es verdadera y Q es falsa, y tratar de ver por qué esto es imposible.

Aprovechar la simetríaEn algunos problemas existen, a veces encubiertas, ciertas regularidades o simetrías que pueden aprovecharse para resolverlos.

Usar técnicas generalesPor ejemplo, para demostrar resultados que involucran un entero positivo n, es de utilidad valerse del Principio de Inducción matemática. Otras veces, puede ser útil el llamado principio del palomar que se expresa así: si tienes n objetos que repartir en menos de n cajas, entonces en alguna de las cajas tienes que poner al menos dos objetos.

Usar programas de cálculo simbólicoSi puedes hacerlo ¿por qué no? Programas como Geogebra, Mathematica, Maple,o Derive pueden proporcionarte una gran ayuda en muchas situaciones pues permiten hacer un tratamiento gráfico o numérico preciso.


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