modelovanje - izdvojene lekcije
DESCRIPTION
Ova skripta sadrzi izdvojene lekcije iz predmeta "Modelovanje u elektroenergetici". Skripta je dovoljna za polaganje predmeta na Master studijama na FTN-u u Novom Sadu.TRANSCRIPT
-
Savremeni trendovi u eksploataciji elektroenergetskih sistema (EES) orijentisani su na sve
intenzivnije iskorienje postojeih proizvodnih i prenosnih kapaciteta, umesto na izgradnju novih. Kao
uzrok tome mogu se navesti: ve dugotrajna recesija u svetskoj privredi; iscrpljivanje postojeih
energetskih izvora ! zaliha fosilnih goriva i vodotokova pogodnih za eksploataciju (pri emu se
nuklearna energija pokazala kao ekoloki neprihvatljiva alternativa); oteano dobijanje koridora za
proirivanje prenosne mree usled sve intenzivnije urbanizacije i rasta cena zemljita. Stoga se kao
neophodnost namee razvoj novih koncepta u upravljanju, regulaciji i odravanju postojeih resursa.
Pored statike sigurnosti elektroenergetskih sistema, od sve veeg znaaja je i praenje dinamike
stabilnosti odnosno ponaanja sistema u prelaznim procesima koji nastaju kao posledica poremeaja i
visokog relativnog nivoa optereenja u sistemu. Celokupni sistem regulacije u EES mora biti na
visokom nivou, kako bi se pri uslovima sve intenzivnije eksploatacije garantovala stabilnost sistema.
Raspadi elektroenergetskih sistema se deavaju vrlo retko, ali tete koje nastaju pri tim
raspadima su ogromne. U dananje vreme ivot bez elektrine energije je nezamisliv. Svaki prekid u
njenoj isporuci, posebno na nivou itavog EES, moe dovesti do nesagledivih materijalnih posledica pa
i posledica po ljudske ivote. Pod tim okolnostima prouavanje dinamike stabilnosti EES dobija sve
vei znaaj.
Da bi se mogla projektovati regulacija za jedan EES, neophodno je poznavati ponaanje
sistema tokom prelaznih procesa. Zato je potrebno razviti odgovarajue modele sistema, koji uvaavaju
dinamiku pojedinih elemenata. Ovaj zadatak nije nimalo jednostavan jer se u modelu EES sa samo 3
generatora i 10 vorova matematiki model ima pedesetak diferencijalnih i tridesetak algebarskih
jednaina, i to ako se uvedu odreena uproenja. Za realne EES od nekoliko stotina vorova sloenost
matematikog modela prevazilazi mogunosti postojeih raunarskih platformi, bar za rad u realnom
vremenu.
U ovoj knjizi predstavljni su modeli svih osnovnih elemenata elektroenergetskog sistema i na
primeru jednostavnog EES izvrene su simulacije nekih dinamikih procesa. Posebna panja posveena
je modelima regulacionih resursa: primarnih turbinskih regulatora snage i uestanosti, automatskih
regulatora napona na generatorima i statikih VAr sistema. Na taj nain dato je polazite za
modelovanje i ispitivanje ponaanja sloenijih EES, a time i za istraivanje novih regulacionih i
stabilizacionih rjeenja.
Svi modeli dati su u tri oblika: blok!dijagram, na kojem se uoavaju veze izmeu pojedinih
elemenata; matematiki model u prostoru stanja, koji je najjednostavniji za primenu u raunarskim
paketima za simulaciju; te modeli prilagoeni za programski paket MATLAB, odnosno njegov modul
Simulink, u kojem su izvrene simulacije nekih prelaznih procesa. Takoe, obraena su i neka
uproenja koja se mogu primijeniti u tim modelima, tj. njihova opravdanost i ogranienja u njihovoj
upotrebi. Posebna panja obraena je na to da se modeli prikau u to jezgrovitijem obliku, to
pogoduje razumevanju fizikih osobina pojedinih elemenata, olakava izradu raunarskih programa na
osnovu datih matematikih modela i ubrzava izvravanje tih programa. Tako, u modelima za
MATLAB/Simulink koritene su osobine tog programskog paketa: jednostavan rad sa matricama i
vektorima (nasuprot upotrebi skalarnih jednaina); dosledno korienje numerike integracije umesto
numerikog diferenciranja (ime se poboljava numerika stabilnost); rad sa optim brojevima, ime se
obezbeuje fleksibilnost modela, odnosno jednostavna izmena parametara i poetnih uslova za
simulaciju.
EES na kojem su vrene simulacije prikazan je na sl. 1.1. Sastoji se od svega tri vora: u
jednom je generator, u drugom potroa sa statikim VAr sistemom i u treem je kruta mrea.
R+jX VAr
P M G
G
Slika 1. Jednopolna ema EES na kojem su vrene simulacije
Iako je razmatrani EES jednostavan, na njemu su konstruisani modeli i metode za njihovo
povezivanje koji omoguuju jednostavno proirivanje na sloenije strukture.
-
1. Uvod
2
Materija je organizovana u deset poglavlja: nakon uvoda, u drugom delu izloen je model
sinhronih generatora; u treem poglavlju dati su modeli primarnih turbinskih regulatora, a u etvrtom
modeli naponskih regulatora. U petom poglavlju opisani su modeli statikih VAr sistema, koji
predstavljaju vrlo efikasno sredstvo za unapreenje naponske stabilnosti sistema. Zatim su dati modeli
prenosne mree i potroakih vorova. U sedmom poglavlju dati su rezultati simulacija ponaanja
jednog jednostavnog elektroenergetskog sistema, realizovanih u programskom paketu
MATLAB/Simulink. U osmom i devetom poglavlju, dat je zakljuak i koritena literatura. Konano, u
desetom poglavlju nalaze se prilozi, u kojima se dopunjava ili pojanjava sadraj prethodnih poglavlja.
U drugom delu ove knjige detaljno je izveden, uz sve potrebne idealizacije i uproenja,
matematiki model sinhrone maine. Matematiki model je tretiran potrebnim transformacijama
rasprezanja i obrtanja. Kako potpun model, tako i redukovani model sa zanemarenim efektom
U petom delu uspostavljen je matematiki model asinhrone maine, uz sve potrebne
transformacije, koji se koristi pri prouavanju regulacije i stabilnosti EES. Matematiki model dat je u
prostoru stanja, pri emu su kao promenljive stanja izabrani fluksevi. Potpuni matematiki model je
redukovan da bi se dobio E model asinhrone maine. Pokazano je i ekvivalentiranje veeg broja
asinhronih maina u jednu ekvivalentnu mainu. Simulirani su karakteristini radni reimi asinhronog
motora (pokretanje, revers, promena smera momenta radne maine) kako primenom potpunog tako i
redukovanog modela.
Matematiki model dvonamotajnog i tronamotajnog regulacionog transformatora je
uspostavljen analogijom sa asinhronim motorom, to je prikazano u estom poglavlju kao i model
regulatora napona. U ovom delu prikazani su i statiki transformatori pomerai faze koji zajedno sa
statikim pretvaraem napona utiu na tokove aktivnih i reaktivnih snaga u sistemu poboljavajui
performanse sistema, statiku i dinamiku stabilnost, balans optereenja po vodovima i naponske
prilike. I ovo poglavlje je praeno sa adekvatnim simulacijama karakteristinih pogonskih stanja.
U osmom delu obraeni su modeli prenosnih vodova sa raspodeljenim parametrima koji su od
interesa u sluaju analilze veoma dugih vodova.
Uloga primarnih turbinskih regulatora uestanosti i aktivnih snaga je da zavisno od
optereenja u sistemu, odnosno frekvencije poveavaju ili smanjuju dotok radnog fluida u turbinu.
Menjajui time mehaniki momenat na vratilu generatora. Regulacija frekvencije zadatak je
sekundarne P!f regulacije. Matematiki modeli primarnih turbinskih regulatora uestanosti i aktivne
snage kako u hidro tako i u termopostrojenju prikazani su u treem poglavlju ove knjige.
Takoe, uproeni model naponske regulacije koji se sastoji iz modela pobude i modela
generatora prikazan je u ovom delu. Kako se modeli pojedinih komponenata EES mogu predstaviti u
formi prostora stanja, to se i matematiko model celog EES moe dati u toj istoj formi. Analizirana je
posledica debalansa snage u EES. I u ovom poglavlju su ponovo simulirani karakteristini radni reimi.
Osnovna funkcija pobudnog sistema generatora je da obezbedi pobudnu struju za pobudni
namotaj. U ovom poglavlju opisana su sva tri karakteristina tipa pobudnih sistema (pobudni sistem sa
mainama jednosmerne struje, sa mainama naizmenine struje i statiki pobudni sistemi).jednostavni
matematiki modeli vodova i potroakih vorova nakon primenjene Blondelove transformacije.
Modeli su dati u impedantnoj i admitantnoj formi sa naponima i strujama kao ulaznim i izlaznim
veliinama. Ovi modeli su pogodni za modelovanje malih prenosnih mrea. Takoe, dati su i modeli
cele mree jednog EES, kako dinamiki tako i statiki.
U devetom delu je formiran je matematiki model kompletnog EES objedinjujui modele svih
elemenata sistema koji se detaljno obraeni u prethodnim poglavljima. Opisan je nain odreivanja
ravnotene take koji se sastoji iz prorauna tokova snaga i odreivanja dinamikih parametara
elektrana pri emu su unapred definisani poetni uslovi(proizvodnja generatora i snaga potroaa).
U prilozima su dati detalji izvoenja matematikog modela sinhrone i asinhrone maine, kao i
proraun poetnih uslova sinhrone maine.
Analiza stabilnosti elektroenergetskih sistema je dio analize EES!a koji se bavi ponaanjem sistema
u uslovima kada je dolo do promena proizvodnje ili potronje u sistemu ili do pojave kvarova na elementima
sistema pre svega prenosnim vodovima. Stabilnost elektroenergetskog sistema se moe definisati kao
svojstvo sistema koje mu omoguava da ostane u ravnotei u normalnim pogonskim uslovima ili dostigne
prihvatljivo stacionarno stanje kada se desi neki od moguih poremeaja u sistemu.
-
1. Uvod
3
Nestabilnost se moe manifestovati na nekoliko naina ali tradicionalno se pojam nestabilnosti vee
za odravanje sinhronizma sinhronih generatora(eng. in step), meutim sistem moe postati nestabilan i bez
gubitka sinhronizma sto je sluaj kod naponske nestabilnosti.
Svi poremeaji u sistemu se mogu podeliti u dve kategorije:
! mali poremeaji i
! veliki poremeaji.
Mali poremeaji su oni poremeaji koji se mogu analizirati pomou linearizovanih modela koji su po
definiciji u vanosti samo ako ne dolazi do velikih promena reima elektroenergetskog sistema.
Male(sluajne) promene u potronji ili proizvodnji se mogu smatrati malim poremeajima dok ispad ili
iskljuenje voda moe biti smatran za mali poremeaj ali samo ako je tok snage pre iskljuenja bio relativno
mali ili zanemariv. U svakom sluaju, kvarovi koji izazivaju iznenadne propade napona na sabirnicima i koji
zahtjevaju neku vrstu eliminacije kvara(relejna zastita) spadaju u kategoriju velikih poremecaja. Duina
trajanja kvara ima presudan uticaj na stabilnost itavog elektroenergetskog sistema.
Generalno analiza stabilnosti se deli na ugaonu i naponsku stabilnost. Iz klasine analize
elektroenergetskih sistema, je dobro poznato da pojave vezane za aktivne snage i fazne stavove sa jedne, i
reaktivne snage i napone sa druge, karakterie vrlo slaba uslovljenost. U sluaju dinamikih pojava situacija
moe biti dosta drugaija. Poremeaj koji praktino izaziva promenu samo aktivne snage moe imati za
posledicu propad napona na nekim vorovima u sistemu, takoe poremeaji naponske prirode mogu za
posledicu imati gubitak sinhronizma nekog ili grupe generatora. Jedan karakteristian primer je vod koji spaja
dva generatora ije su ose rotora razmaknute za 180 , u ovom sluaju na sredini spojnog voda napon e biti
jednak nuli iako je poremeaj isto posledica debelansa aktivnih snaga. Uprkos ovoj injenici podela na
ugaonu i naponsku stabilnost se zadrala i u analizi dinamikih pojava to daje uvid u pravu prirodu
nestabilnosti
Analiza ovog tipa nestabilnosti obuhvata analizu kako elektrinih tako i mehanikih pojava u
sistemu. Presudan uticaj na ovu vrstu stabilnosti imaju karakteristike izlazne snage pojedinih generatora u
zavisnosti od poloaja rotora.
Odravanje generatora u sinhronizmu se moe posmatrati kroz prizmu analognog problema.
Ukoliko imamo voz sastavljen lokomotiva, meusobno povezanim elastinim uetom moemo smatrati da je
svaka lokomotiva pandan jednom sinhronom generatoru. Brzina ove kompozicije analogna je frekvenciji
EES!a dok je razmak izmeu pojedinih lokomotiva analogan faznom pomaku rotora odgovarajuih
generatora. Vagoni zakaeni na kraj kompozicije mogu se tumaiti kao aktivno optereenje u EES!u. Ukoliko
doe do ispada jednog generatora odnosno ukoliko jedna lokomotiva prestane da predaje snagu doi e do
usporenja itave kompozicije odnosno do pada frekvencije. Sistem e nastaviti da bude stabilan sve dok sila
koja deluje na elastine konce bude manja od prekidne sile tog konca. Prekidanje veze izmeu lokomotiva
znai i gubitak sinhronizma izmeu generatora u EES!u.
Kada doe do gubitka sinhronizma dolazi do velike fluktuacije izlazne snage generatora. Ovakav
gubitak sinhronizma se moe desiti kako za pojedinu izolovanu mainu tako i za grupu sinhronih maina i on
se uobiajeno deava izmeu maina koje su slabo povezane odnosno mrea koja ih povezuje nije dovoljno
velikog elektrinog kapaciteta.
Iako model same sinhrone maine moe biti dosta komplikovan uvek se mogu uoiti dve
komponente momenta konverzije sinhrone maine:
+= Dsc mmm
Gde je:
sm !sinhronizacioni moment. Ova komponenta momenta deluje tako da pokuava da smanji
razliku faznih stavova izmeu ose rotora i fazora napona to znai da ova komponenta direktno utie
smanjenje mogunosti gubitka sinhronizma posmatrane maine.
Dm !priguni moment. Ova komponenta srazmjerna je promeni brzine i njen uticaj je
prevashodno usmeren ka smanjenju oscilacija u sistemu. Nedostatak bilo koje komponente moe
-
1. Uvod
4
uzrokovati nestabilnost u sistemu. U modernim EES!ima, zbog velikog broja generatora, razlog zbog
kojeg nastaje raspad sistema je uobiajeno nedostaak prigune komponente momenta pa se u tom
smeru kreu i istraivanja kako bi se oscilacije u sistemu svele na sto manju meru. Sve oscilacije koje
nastaju u EES!u mogu se naelno podeliti u etiri kategorije:
! Lokalni modovi oscilacija(maina!sistem mod). Ovakve oscilacije podrazumevaju ljuljanje pojedinane maine u odnosu na ostatak sistema. Ovaj tip oscilacija je lokalnog
karaktera odnosno u dubini sistema se ove oscilacije ne oseaju kao poremeaj.
! Meusistemski modovi oscilacija(eng.interarea mode). Ovi modovi nastaju izmeu razliitih grupa generatora koji su najee slabo elektrino spregnuti to je karakteristika
ranijih regulisanih sistema gdje su spojni vodovi izmeu razliitih sistema bili dosta
slabog kapaciteta odakle sledi i ime ovog tipa oscilacija.
! Kontrolni modovi oscilacija. Oscilacije ovog tipa su posledice loe podeenih kontrolnih ureaja kao to su pobudni sistemi, turbinski regulatori, HVDC konvertori, sistemski
stabilizatori, statiki VAR komezatori i sl. Loe podeavanje ovih ureaja moe izazvati
ili uveati postojee oscilacije u sistemu. Iz ovog razloga sve vea panja se daje razvoju
algoritama za podeavanje ovakvih ureaja sa ciljem smanjenja oscilacija u sistemu.
! Torzioni modovi oscilacija.Ovi modovi nastaju kao posledica interakcije vratila maine, turbine i drugih obrtnih delova vezanih za vratilo. Ovakve oscilacije mogu doi naroiito
do izraaja u sluaju neadekvatno podeenih pobudnih sistemima i drugih kontrolnih
ureaja koji svojim delovanjem mogu pojaati ovaj tip oscilacija.
Mada je stabilnost sistema globalno svojstvo elektroenergetskog sistema, u cilju sistemske analize
stabilnost stabilnost se uobiajeno deli u dve klase:
1. Statika stabilnost ili stabilnost usled malih poremeaja
Sistem je statiki stabilan ako se stacionarno stanje posle malog poremeaja ne razlikuje ili vrlo malo
razlikuje od poetnog stacionarnog stanja prije nastanka poremeaja. Mali poremeaji se konstantno deavaju
u sistemu kako zbog promene opterecenja tako i zbog raznih akcija koje se preduzimaju u sistemu. Kako se
posmatraju mali poremeaji za ovu vrstu analize stabilnosti dovoljno je koristiti linearizovane modele to
omoguuje korienje poznatih, robustnih i pouzdanih matematikih alata linearne algebre. Ovaj vid
nestabilnosti praktino nastaje kada se neki od polova sistema nau u desnoj poluravni.
2. Tranzijentna stabilnost ili stabilnost usled velikih poremeaja
Sistem je tranzijentno stabilan ako za odreeno poetno stacionarno stanje i odreeni veliki
poremeaj(ili niz poremeaja) sistem dolazi u novo ali prihvatljivo stacionarno stanje.
Karakteristini odzivi usled velikog poremeaja
Vrlo bitno je uoiti da je statika stabilnost funkcija samo poetnog stacionarnog stanja(reima) dok
je tranzijentna stabilnost funkcija i poetnog stacionarnog stanja i tipa poremeaja. Ovo u principu komplikuje
analizu tranzijentne stabilnosti. Ne samo da se zbog prirode poremeaja ne moe koristiti linearizovani model
nego je potrebno vriti vei broj analiza za razliite poremeaje. Iz tog razloga uobiajeno se tranzijentna
stabilnost provera na ispade iz unapred definisane liste kritinih ispada.
-
1. Uvod
5
Druga bitna osobina koju treba primetiti je sistem moe ,,normalno funkcionisati i u sluaju da je
tranzijentno nestabilan, dok je statika stabilnost neophodna u svakom trenutku ekspolatacije sistema.
Uopteno govorei, stabilnost zavisi od optereenja u sistemu. Poveanje potronje u principu
dovodi do smanjenja rezerve stabilnosti, to znai da posebnu panju treba usmeriti odravanju stabilnosti u
sluaju velikih optereenja u sistemu.
Na predhodnoj slici su prikazana tri karakteristicna odziva ugla optereenja sinhrone maine posle
velikog poremeaja u sistemu[27]. U prvom sluaju dolo do takozvane nestabilnosti usled prvog
njihanja(eng. first swing). Do ovog tipa nestabilnosti tipino dolazi kada je u pitanju veliki poremeaj ili kada
maina nema dovoljno sinhronizacionog momenta to dovodi do konstantnog poveavanja odnosno
usporavanja rotora generatora. Drugi tip nestabilnosti nastaje kada je novo stacionarno stanje koje bi trebalo
da se uspostavi nakon poremeaja samo po sebi statiki nestabilno pa dalja i najmanja promena dovodi do
raspada sistema. Ovo se moe zakljuiti iz injenice da sistem bez problema preiveo analizirani poremeaj
ali je posle odreenog vremena ipak dolo do nekontrolisanog ponaanja. I na treem dijagramu je prikazano
ponaanje jednog stabilnog sistema. Analize ovoga tipa se obino rade za vremenske intervale od 3 do 5
sekundi pa do ak 10 sekundi za velike elektroenergetske sisteme.
Naponska stabilnost se moe definisati kao svojstvo sistema da odri prihvatljive napone u svim
vorovima sistema kako u normalnim tako i u uslovim posle poremeaja. U principu naponska stabilnost je
lokalnog karaktera ali takva nestabilnost po pravilu ima i posledice za itav sistem.
Slino kao i kod ugaone stabilnosti analiza naponske stabilnosti se moe podeliti na nestabilnost
usled malih poremeaja i na nestabilnost usled velikih poremeaja u sistemu. Analiza velikih poremeaja
mora u sebi ukljuiti i uticaj nelinearnih elemenata kao sto su teretni menjai transformatora zasienja
pobudnih sistema generatora i sl. Ovakve analize se rade za neto dui vremenski period koji se protee i do
10min.
Kada se radi o naponskoj nestabilnosti usled malih poremeaja moe se definisati jasan kriterijum
naponske stabilnosti koji sledi iz karaktera funkcije napona pojedinog vora i reaktivne energije injektovane u
taj vor. U normalnim pogonskim uslovima svako poveanje proizvodnje reaktivne energije za posledicu ima
i poveanje napona u mrei. Ukoliko ova osobina nije ispotovana to je jasan znak da je sistem naponski
nestabilan. Ovaj uslov naponske nestabilnosti se moe i matematiki opisati preko izvoda funkcije napona u
voru od injektovane reaktivne energije u sistem.
Ukoliko se radi o stabilnom sistemu tada su je sledea jednaina zadovoljena za sve vorove u sistemu:
0i
i
dQ
dV , za },....,2,1{ ni gde je n broj vorova u posmatranom sistemu. Ovo znai da ako uslov
nije zadovoljen makar za jedan vor u sistemu tada se smatra da itav sistem nije naponski stabilan.
Pored nabrojane podele stabilnosti elektroenergetskih sistema esto se vri podela i na osnovu
duine analiziranog perioda posle poremaja. Grubo govorei,analize po duini trajanja, se mogu
svrstati u jednu od tri grupe gde je akcenat stavljen na tip dinamikih pojava koje se analiziraju a ne na
samu duinu trajanja simulacija:
! Analize kratkog trajanja(0!10 sekundi). Ovaj tip pre svega anlizira elektromehanike pojave ije vremenske konstante upadaju u posmatrani opseg.
! Anlize srednjeg trajanje(10 sekundi do nekoliko minuta). U ovom tipu analize akcenat je pre svega na oscilacijama izmeu razliitih grupa sinhronih maina.
! Analize dugog trajanja(nekoliko minuta pa do nekoliko desetina minuta). Polazna pretpostavka u ovom tipu analize je da su sve elektromehanike oscilacije iezle a
akcenat se baca na ustaljen nedostatak aktivne ili reaktivne snage u sistemu. Analiziraju
se sporije fenomeni kao to je dinamika kotla parnih termoelektrana, sekundarna
regulacija uestanosti, promena potronje usled nenominalne frekvencije sistema,
zasienje transformatora i slino.
Na kraju ovog poglavlja data je slika koja prikazuje podelu i najbitnije stavke vezane za
stabilnost elektroenergetskih sistema.
-
1. Uvod
6
Tranzijentna
stabilnost
Stabilnost
EESa
Ugaona
stabilnost
Naponska
stabilnost
Lokalni modovi
oscilacija
Meusistemski
modovi oscilacija
Kontrolni modovi
oscilacija
Torzioni modovi
oscilacija
Analiza naponske
stabilnosti usled
malih poremeaja
Analiza naponske
stabilnosti usled
velikih poremeaja
Statika
stabilnost
Aperiodicna
nestabilnost
Oscilatorna
nestabilnost
Slika 1. Blok dijagram tipova analize stabilnosti
Ve u ranim fazama razvoja elektroenergetskih sistema, pre vie od 50 godina, pojavila se i potreba
za analizom kako statike tako i tranzijentne stabilnosti. Razvoj brzih pobudnih sistema generatora sa
elektronskim regulatorima naponima, kao i brzih prekidaa koji su u stanju da za kratko vreme prekinu struju
kratkog spoja su znatno unapredili stabilnost elektroenergetskog sistema.
Potreba za kvalitetnom regulacijom uestanosti sistema dovela je do razvoja brzih turbinskih
regulatora sa vrlo malom mrtvom zonom reagovanja. Sama regulacija uestanosti se uobiejeno posmatra
kroz tri vremenski raspregnuta dejstva: 1) primarna(spontano dejstvo turbinskog regulatora). 2)
sekundarna(regulacija uestanosti i aktivnih snaga razmjene). 3) tercijarana regulacija(ekonomska raspodjela
optereenja po generatorima).
Kvalitetni turbinski regulatori i adekvatan sistem automatske sekundarne regulacije
uestanosti(AGC!Automatic Generation Control) predstavljaju vrlo vaan faktor u obezbeivanju stabilnosti
itavog elektroenergetskog sistema.
Povezivanjem velikih elektroenergetskih sistema u jedinstvene elektroenergetske interkonekcije do
izraaja su doli problemi vezani za niskofrekventne oscilacije koje su u opsegu od 0.2 Hz do 2.0 Hz. Ova
vrsta problema se prevazilazi dodatnom kontrolom pobudnih sistema u vidu stabilizatora elektroenergetskih
sistema(PSS!Power system stabilizer). Oblast projektovanja stabilizatora elektroenergetskog sistema je i dalje
vrlo aktuelna oblast istraivanja.
Drugi veliki problem sa kojim se sreu operateri modernih elektroenergetskih sistema je problem
naponske nestabilnosti i naponskih kolapsa, koji je manifestacija statike nestabilnosti. Istorijski gledano, u
prvom periodu je statika stabilnost bila posmatrana iskljuivo u smislu gubitka sinhronizma generatora(eng.
angle instability). Kolaps napona na potroakim vorovima u periodu velikih optereenja i ogranienja tipa
reaktivnih snaga je problem relativno skorog datuma.
Zaguenja u prenosnoj mrei je jo jedan problem sa kojim se susreu operatori sistema, ova
zaguenja se deavaju ak i u sistemima koji poseduju velike koliine proizvodne rezerve. Ekonomski,
ekoloki i drugi faktori uslovili su neophodnost da se proizvodni kapaciteti grade na lokacijama koje su
-
1. Uvod
7
udaljene od potroakih centara to je dalje vodilo do potrebe za prenosom elektrine energije na velike
udaljenosti pri emu dolazi i do neeljenog kruenja elektrine energije. Ovakvi sistemi mogu imati
nepredvieno i neeljeno dinamiko ponaanje pa je za efikasno upravljanje potrebno razviti kako dovoljno
dobre modele tako i kontrolere koji e pomoi u prevazilaenju problema. Tako je dolo do razvoja statikih
VAR kompezatora(SVC!Static VAR compensator) i drugih FACTS(Flexible AC Transmission System)
ureaja ije podeavanje i koordinacija otvara nove inenjerske izazove.
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
U ovom delu prikazan je matematiki model sinhrone maine koji se koristi pri izuavanju regulacije i stabilnosti elektroenergetskih sistema. Matematiki model sinhrone maine dat je u prostoru stanja, pri emu su kao promenljive stanja izabrani fluksevi. Ako se zanemari efekat (prisustvo) prigunog namotaja dobija se redukovani model (E'q model) [10]. Pri izvoenju dinamikih jednaina modela strogo se vodilo rauna o tome da se uobiajeno dostupni podaci o parametrima maine lako uklapaju u strukturu modela.
2.1. MODEL IDEALIZOVANE SINHRONE MAINE
Sinhrona maina se posmatra kao dinamiki sistem sa trofaznim namotajem na statoru (faze a, b, c) i dva namotaja na rotoru (pobudni namot f i trofazni priguni namot koji se ekvivalentira sa dva namota: jednim u podunoj osi Q i jednim u poprenoj osi D). Svih est namota su magnetski spregnuti. Magnetna sprega izmeu pojedinih namota zavisi od relativne pozicije rotora prema statoru, pa je i fluksni obuhvat svakog namotaja takoe funkcija poloaja rotora, odnosno vremena. Na slici 2.1. prikazan je izgled razmatrane trofazne sinhrone maine sa rotorom sa istaknutim polovima. Meusobni poloaj rotora u odnosu na stator definisan je uglom .
Da bi se izveo matematiki model sinhrone maine usvojene su sledee idealizacije: 1. Parametri maine su koncentrisane veliine. 2. Zanemaruju se sve parazitne kapacitivnosti. 3. Fazni namoti statora su identini i meusobno su pomereni po obodu maine za 120o
elektrinih. 4. Omski otpori namota statora i rotora kao i sve rasipne induktivnosti su konstantni. 5. Zanemaruje se uticaj zubaca i lebova statora. 6. Efekat zasienja se zanemaruje, odnosno karakteristika magneenja je linearna. 7. Zanemaruju se gubici u gvou. 8. Magnetnopobudna sila namota, kao i fluks, su sinusno raspodeljeni po obodu zazora.
Uvoenjem navedenih pretpostavki zanemarene su promene otpornosti usled temperature, promene rasipnih induktivnosti usled zasienja i promene induktivnosti magneenja usled zasienja glavnog fluksa.
a'
c"
c' b'
a"
b"
ravan namotajafaze a
D' f'
Q'
q:osa
d:osa
osa faze aQ"
D"
f"
Slika 2.1. Ilustracija namotaja i poloaja pojedinih osa sinhrone maine.
U ovako definisanom modelu matrina jednaina naponske ravnotee glasi:
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
9
dt
diRu += , (2.1)
gde je vektor fluksnih obuhvata definisan kao:
iL = . (2.2)
Razvijeni oblik vektora u, i, i matrica R i L korienih u jednainama (2.1) i (2.2) glasi:
[ ]QDfcbaT uuuuuu=u , (2.3) [ ]QDfcba iiiiii=Ti , (2.4) [ ]QDfcba =T , (2.5)
=
Q
D
f
c
b
a
R
R
R
R
R
R
00000
00000
00000
00000
00000
00000
R , (2.6)
=
QQQDQfQcQbQa
DQDDDfDcDbDa
fQfDfffcfbfa
cQcDcfcccbca
bQbDbfbcbbba
aQaDafacabaa
LLLLLL
LLLLLL
LLLLLL
LLLLLL
LLLLLL
LLLLLL
L , (2.7)
pri emu su koriene sledee oznake:
au , bu , cu : naponi faza a, b i c trofaznog statorskog namota respektivno,
ai , bi , ci : struje faza a, b i c trofaznog statorskog namota respektivno,
fu , fi : napon i struja rotorskog pobudnog namota respektivno,
Du , Di : napon i struja ekvivalentnog prigunog rotorskog namota po D : osi, respektivno,
Qu , Qi : napon i struja ekvivalentnog prigunog rotorskog namota po Q : osi, respektivno,
a , b , c : fluksni obuhvati trofaznih statorskih namota faza a, b i c respektivno,
f , D , Q : fluksni obuhvati rotorskog pobudnog namota i ekvivalentnih rotorskih prigunih namota po D i Q osi, respektivno,
L : matrica sopstvenih i meusobnih induktivnosti svih est namota razmatrane sinhrone maine,
R : dijagonalna matrica sopstvenih omskih otpornosti svih est namota razmatrane sinhrone maine.
Jednaina mehanike ravnotee glasi:
dt
dJ
Kmm mc
+
=+ , (2.8)
gde su koriene sledee oznake:
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
10
cm : elektromagnetni momenat maine, odnosno momenat konverzije,
mm : spoljni mehaniki momenat koji deluje na vratilu sinhrone maine,
K : koeficijent trenja sinhrone maine,
: broj pari polova sinhrone maine,
: elektrina ugaona brzina obrtanja sinhrone maine, koja je definisana kao m = , gde je
m mehanika brzina rotora,
J : momenat inercije sinhrone maine.
Uobiajeno se za opis induktivnosti sinhrone maine koriste sinhrone induktivnosti po d (podunoj) i
q(poprenoj) osi koje se oznaavaju sa dL i qL i koje su definisane u Prilogu 1 a ovde e se samo prikazati jednaina koja opisuje vezu izmeu sopstvene induktivnosti statora i sinhronih induktivnosti:
2cos22qdqd LLLLL
+
+= (2.9)
U jednaini (2.8) momenat konverzije moe se izraziti kao:
iL
i
=2 d
dm Tc , (2.9)
Gde je elektrina koordinata rotora koja jednaka proizvodu broja pari polova i mehanike koordinate rotora m :
m = . (2.10)
Ugao se, takoe, moe definisati kao += tn , gde su i n ugao optereenja i nominalna elektrina sinhrona ugaona brzina, pa se jednaina promene ugla optereenja, koristei poznatu
vezu dt
d = moe napisati:
ndt
d= . (2.11)
Navedeni skup jednaina (2.1), (2.8) i (2.11) je sistem nelinearnih diferencijalnih jednaina sa vremenski promenljivim koeficijentima. Naime, neki elementi matrice induktivnosti (jednaina (2.7)) koji definiu meusobne induktivnosti su vremenski promenljivi, jer zavise od poloaja rotora u odnosu na stator. Taj poloaj se menja u vremenu, stoga meusobne induktivnosti postaju funkcije vremena. Ovakva vremenska zavisnost velikog broja koeficijenata koji moraju biti izraunati u svakom koraku prorauna ini ovaj model neefikasnim za potrebe raunarske simulacije.
Drugi nedostatak prikazanog matematikog modela sinhrone maine je to, usled magnetne sprege izmeu namota, matrica induktivnosti ima mnogo nenultih elemenata, to takoe model ini neefikasnim za numerike raunarske analize.
U cilju prevazilaenja navedenih nedostataka matematikog modela sinhrone maine vre se linearne matrine transformacije. Matematiki, gledano transformacije koje se primenjuju spadaju u klasu linearnih transformacija koje vre promenu baze vektorskog prostora. Osnovni cilj ovih linearnih matrinih transformacija je da se dobije to jednostavniji model sinhrone maine koji e pri tome i dalje zadrati njene osnovne fizike karakteristike. Ove transformacije, iako se mogu posmatrati sa isto matematikog stanovita, imaju jasan fiziki smisao koji inenjerima omoguava jednostavnu primenu izvedenih modela. Ove matrine transformacije, transformacije rasprezanja i transformacije obrtanja se primenjuju uzastopno jedna za drugom.
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
11
2.2. TRANSFORMACIJA RASPREZANJA
Osnovni cilj transformacije rasprezanja je da obezbedi efekat rasprezanja namota na taj nain to e matrica induktivnosti posle transformacije sadrati minimalan broj nenultih elemenata. Primenom ove transformacije originalni trofazni spregnuti statorski namotaj se transformie u dvofazni ekvivalentni statorski namotaj kao to je prikazano na slici 2.2. Ova transformacija je mogua zahvaljujui injenici da je rang matrice induktivnosti trofaznih namotaja realnih maina jednak dva. Trei ekvivalentni statorski namotaj, takozvani nulti namotaj, nastao nakon transformacije rasprezanja, izostavlja se u sluajevima simetrinih prelaznih pojava. Ovo zanemarenje je mogue jer su veliine nultog namotaja potpuno raspregnute tj. ni jedna jednaina koja bi se dobila ovom transformacijom ne sadri veliine i nultog i ostalih namotaja, pored toga nulte veliine najee nisu od interesa jer ne uestvuju momentnoj jednaini odnosno u elektromehanikoj konverziji energije. S obzirom da su ekvivalentni namotaji na rotoru ve raspregnuti, na njih se ne primenjuje transformacija rasprezanja.
a,
q
d
u i
qu
udu
qi
idi
Slika 2.2. Dvofazni raspregnuti model sinhrone maine.
Da bi nakon primene transformacije rasprezanja bila zadovoljena invarijantnost (nepromenljivost) snage u originalnom (trofaznom) i transformisanom (dvofaznom) podruju potrebno je da transformaciona matrica rasprezanja C zadovolji sledei uslov:
Tss CC =1 . (2.12)
Ovakve matrice se u teoriji matrica nazivaju unitarne ili ortogonalne ukoliko se kao u ovom sluaju radi sa realnom domenu. Ovaj uslov zadovoljava Klarkova transformaciona matrica C , koja je data sledeim izrazom:
=
=
2
1
2
3
2
12
1
2
3
2
12
101
3
2
2
1
3
4sin
3
4cos
2
1
3
2sin
3
2cos
2
10sin0cos
3
2
sC , (2.13)
a inverzna transformaciona matrica, koja se primenjuje pri povratku u originalni (vremenski) domen je:
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
12
==
2
1
2
1
2
12
3
2
30
2
1
2
11
3
21 Tss CC . (2.14)
Matrica C transformacije u (2.12)(2.14) je prikazana za sluaj trofaznog statorskog namotaja pa otuda indeks s.
U ovom trenutku potrebno je skrenuti panju je matricu transformacije C mogue definisati i na druge naine koji mogu imati prednosti u nekim specijalnim primenama. Ove razlike u definisanju transformacione matrice su posledica razliitog referentnog rasporeda namotaja faza kako u faznom tako i u Blondelovom d:q domenu, kao i definisanja meusobnog odnosa namotaja. Pored toga, neki autori naruavaju princip invarijantnosti snage ime se dobija model u kojem figuriu veliine kojima se mogu dodijeliti fizika objanjenja [27], meutim ovaj pristup ima i jednu negativnu posledicu a to je da je transformisana matrica induktivnosti vie ne poseduje osobinu simetrije a samim tim onemoguena je predstava maine preko ekvivalentnog kola.. Ovaj problem se reava pogodno odabranim baznim vrednostima prilikom normalizacije koja ovu matricu ponovo prevodi u simetrinu matricu U ovoj knjizi je usvojeno da se ugao meri od ose a ka osi d rotorskog namotaja koji prednjai kvadraturnoj osi q.
Veza izmeu originalnih vektora u , i , i transformisanih vektora Cu , Ci , C data je sledeim izrazima:
CCuu = , (2.15) CCii = , (2.16) CC = . (2.17)
Sada matrica C transformacije ima oblik blok dijagonalne matrice:
=
33
33
I
CC s ,
sa submatricama dimenzija 33 gde je 33I jedinina matrica.
Koristei jednainu (2.12) sada se moe jednostavno pokazati da Klarkova transformaciona matrica zadovoljava uslov invarijantnosti po snazi:
CCTCTCTCTCabc
Tabcp iuiCCuiCuCiu ==== )()()(
Uvrtavanjem (2.15)(2.17) u osnovni matematiki model maine (2.1), (2.2), (2.8) i (2.10) dobijaju se sledee jednaine:
( )CCCdt
dCRCiCu += , (2.18)
CC LCiC = , (2.19)
dt
d
J
Kmm mc +=+ , (2.20)
CTCc d
dm i
L )(
2= . (2.21)
Kako elementi matrice C nisu funkcije vremena i ukoliko se jednaine (2.18) i (2.19) pomnoe sa
leve strane sa matricom TC ( 1= CCT ), dobija se ekvivalentni raspregnuti model sinhrone maine u dvofaznom C podruju:
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
13
CCCC
dt
diRu += , (2.22)
CCC iL = , (2.23)
dt
d
J
Kmm mc
+=+ , (2.24)
CC
CTc d
dm i
Li
2= . (2.25)
gde su matrice otpornosti i induktivnosti CR i CL u dvofaznom (transformisanom) C podruju definisane kao:
LCCL TC = , (2.26) RCCR TC = . (2.27)
Razvijeni oblik vektora Cu , Ci , C i matrica CR i CL korienih u modelu (2.22)(2.25) glasi:
[ ]QDfCT uuuuu =u , (2.28) [ ]QDfCT iiiii =i , (2.29) [ ]QDfCT = , (2.30)
=
Q
D
fC
R
R
R
R
R
0000
0000
0000
0000
0000
R , (2.31)
+
+
=
QqQqQ
DfDdDdD
fDffdfd
qQdDfdqdqd
qQdDfdqdqd
C
LMM
LMMM
MLMM
MMMLLLL
MMMLLLL
00cossin
0sincos
0sincos
cossinsincossincossin)(
sincoscoscossin)(sincos22
22
L .(2.32)
Kompletno izvoenje matrice rasprezanja, kao i koriene oznake, dati su u Prilogu 1 (glava 11). U literaturi se esto uvodi pojam svoenja viepolne maine na dvopolnu kako u jednainama ne bi figurisao broj pari polova. U tom sluaju potrebno je primeniti sledee transformacije
21
'
= JJ ,
21
'
= KK ,
=1
' mm .
U ovim jednainama veliine sa leve strane oznaavaju veliine ekvivalentne dvopolne maine dok su sa desne strane veliine originalnog modela. Ove transformacije imaju uticaj na momentnu jednainu (2.25) i na Njutnovu jednainu kretanja (2.24) koje posle transformacije glase:
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
14
dt
dJKmm mc '''' +=+ ,
CTCc d
dm i
L )(
2
1' = .
2.3. TRANSFORMACIJA OBRTANJA
Osnovni cilj transformacije obrtanja je da se obezbedi nezavisnost elemenata transformisane matrice induktivnosti od ugaonog poloaja rotora, odnosno vremena. Zavisnost elemenata matrice induktivnosti od poloaja rotara se implicitno javlja u vidu dodatnih lanova u jednainama naponske ravnotee, tzv. elektromotornih sila rotacije. Transformacija obrtanja se kod sinhronih maina uobiajeno izvodi takozvanim svoenjem statorskih osa na rotorske, odnosno promenom baze vektorskog prostora. Promenu vektorskog prosotora mogue je izvesti i na druge naine koji e detaljnije biti obraeni u poglavlju o asinhronim mainama ali kod analize sinhronih obrtnih maina uobiajeno se bira referentni sistem vezan za rotor jer drugim izborom referentne ose, u sluaju sinhrone maine sa isturenim polovima, nije mogue postii traenu vremensku nepromenljivost elemenata matrice induktivnosti [22].
Da bi i nakon transformacije obrtanja bila zadovoljena invarijantnost (nepromenljivost) snage, kao i u sluaju Klarkove transformacione matrice potrebno je da transformaciona matrica obrtanja D zadovolji sledei uslov, koji se u teoriji naziva ortogonalnost matrice:
TDD =1 . (2.33)
Transformaciona matrica prilikom svoenja na rotorske ose oznaena je oznakom rD i data je
sledeim izrazom:
=
10000
01000
00100
000cossin
000sincos
rD , (2.34)
dok inverzna transformaciona matrica glasi:
==
10000
01000
00100
000cossin
000sincos
1
Trr DD . (2.35)
Primenom transformacije obrtanja diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiku sinhrone maine postaju jednaine sa konstantnim koeficijentima.
Veza izmeu vektora u C podruju Cu , Ci , C i transformisanih vektora u Dr podruju Dru , Dri i Dr data je sledeim izrazima:
DrrC uDu = , (2.36)
DrrC iDi = , (2.37)
DrrC D = . (2.38)
Nakon primene transformacija rasprezanja i obrtanja matematiki model sinhrone maine se nalazi u
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
15
Blondelovom podruju, a transformaciona matrica koja ga povezuje sa originalnim podrujem je:
rr CDB = . (2.39)
U daljem razmatranju indeksi CDr e biti zamenjeni indeksom Br ime je naznaeno da su primenjene transformacije rasprezanja i obrtanja tj. da su te veliine u Blondelovom podruju. Veza izmeu
originalnih vektora u , i i i vektora nakon primene transformacija rasprezanja i obrtanja CDru , CDri i CDr data je sledeim izrazima:
BrrCDr
r uBuCDu == , (2.40)
BrrCDr
r iBiCDi == , (2.41)
BrrCDr
r BCD == . (2.42)
Uvrtavanjem (2.36)(2.38) u (2.22)(2.25) dobija se:
( )BrrBrrBrr dtd
DiRDuD += , (2.43)
BrrCBr
r iDLD = , (2.44)
dt
d
J
Kmm mc +=+ , (2.45)
Brr
CTr
BrTc d
dm iD
LDi
2 = . (2.46)
Kada se jednaine (2.43) i (2.44) pomnoe sa leve strane matricom TrD (1= r
Tr DD ) dobija se
ekvivalentni model sinhrone maine u dvofaznom Br podruju:
( )BrrCTrBrBrBr dtd
iDLDiRu += , (2.47)
BrBrBr iL = , (2.48)
dt
d
J
Kmm mc +=+ , (2.49)
Brr
CTr
BrTc d
dm iD
LDi
2= . (2.50)
Daljim razvojem jednaina (2.47)(2.50), na nain kao to je uraeno u Prilogu 1, ekvivalentni model sinhrone maine u Br podruju glasi:
BrBr
BrBrBr
dt
dY
iRu ++= , (2.51)
BrBrBr iL = , (2.52)
dt
d
J
Kmm mc +=+ , (2.53)
( ) dqqdc iim = , (2.54) gde su matrice BrR , BrL i Y u Br podruju definisane kao:
rCT
rBr DLDL = , (2.55)
CrTr
Br RRDDR == , (2.56)
d
d rTr
DDY = . (2.57)
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
16
Razvijeni oblik vektora Bru , Bri , Br i matrica BrR , BrL i Y korienih u modelu
(2.51)(2.54) glasi:
[ ]QDfqdBrT uuuuu=u , (2.58) [ ]QDfqdBrT iiiii=i , (2.59) [ ]QDfqdBrT = , (2.60)
==
Q
D
fBr
R
R
R
R
R
0000
0000
0000
0000
0000
RR , (2.61)
=
QqQ
DfDdD
fDffd
qQq
dDfdd
Br
LM
LMM
MLM
ML
MML
000
00
00
000
00
L , (2.62)
=
00000
00000
00000
00001
00010
Y (2.63)
Detalji izvoenja koja su izostavljena u ovom delu prikazani su u Prilogu 1. Mnoenjem matrice transformacije rasprezanja i matrice transformacije obrtanja dobija se matrica transformacije koja fazni abc domen direktno prevodi u B domen, ova matrica se u literaturi uobiajeno obiljeava slovom B:
++
++=
)3
4sin()
3
4cos(
)3
2sin()
3
2cos(
sincos
B .
2.4. TRANSFORMACIJA SVOENJA
Ovom transformacijom ostvareno je svoenje parametara rotorskih namotaja na statorski broj navojaka. Cilj ove transformacije da sve veliine u maini predstave preko veliina jednog namotaja kako bi se mogle lake meusobno uporeivati i analizirati, pored toga ovom transformacijom je ponekad mogue izbaciti iz razmatranja pojedine magnetne sprege. Ovo svodjenje veliina jednog namotaja na drugi mogue je izvesti na vie naina i ovde e biti pokazana transformacija nivoa koja se zasniva na tzv. principu jednakih meuinduktivnosti[22]. Ovaj nain je veoma popularan jer koristi razumljivu prestavu o rasipnim i zajednikim fluksevima. Transformaciona matrica svoenja T je definisana sledeom dijagonalnom matricom:
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
17
=
qQ
q
dD
d
fd
d
M
M
M
M
M
Mdiag 11T . (2.64)
Matrica transformacije svoenja T nije ortogonalna te stoga ne poseduje osobinu T1 TT = , pa je inverzna matrica:
=
q
qQ
d
dD
d
fd
M
M
M
M
M
Mdiag 111T . (2.65)
gde su dM i qM meusobne induktivnosti, tako da su ukupne sopstvene induktivnosti:
+= dd ML , += qq ML ,
fdf ML += , (2.66)
DdD ML += , QqQ ML += .
U jednainama (2.66) , f , D , Q su rasipne induktivnosti odgovarajuih namota (pri emu vai qd == ).
Veza izmeu vektora Bru , Bri i Br i tih vektora posle primene transformacija svoenja BrTu , BrTi i BrT data je sledeim izrazima:
BrTBr uTu 1= , (2.67) BrTBr Tii = , (2.68) BrTBr T 1= . (2.69)
Nakon primene T transformacije matrica induktivnosti BrTL u BrT podruju glasi:
TTLL BrBrT = , (2.70)
a u razvijenom obliku:
=
Qq
Ddd
dfd
qq
ddd
BrT
LM
LMM
MLM
ML
MML
000
00
00
000
00
L . (2.71)
Primenom T transformacije mogue je uvesti predstavu o zajednikom fluksu (magneenja) i fluksu rasipanja. Matematiki model sinhrone maine je samo jedna predstava maine. Druga predstava bi bila ekvivalentna ema sinhrone maine koja podsea na ekvivalentnu emu jednosmerne maine.
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
18
q
id ig s R
Mq
Q
RQ R
s D RD f Rf
uf Md
uq
ud d
uD
uQ
iD
ig
if iQ
id
Slika 2.3. Ekvivalentna ema sinhrone maine.
2.5. POTPUN MATEMATIKI MODEL SINHRONE MAINE U PROSTORU STANJA
Nakon primene transformacije rasprezanja C, transformacije obrtanja D i transformacije svoenja rotorskog na statorski broj navojaka dobija se model sinhrone maine u Blondelovom (BrT) podruju. Taj model sinhrone maine predstavljen u prostoru stanja, pri emu su za promenljive stanja izabrani fluksevi, definisan je sledeim jednainama:
:jednaine naponske ravnotee:
q
++=dt
dRiu ddd , (2.72)
d
+=dt
dRiu qqq , (2.73)
dt
diRu ffff
+= , (2.74)
dt
diRu DDD
D+= , (2.75)
dt
diRu QQQ
Q+= , (2.76)
gde su fluksni obuhvati:
Ddfdddd iMiMiL ++= , (2.77)
Qqqqq iMiL += , (2.78)
Ddddfff iMiMiL ++= , (2.79)
fdddDD iMiMiL ++=D , (2.80)
qqQQQ iMiL += , (2.81)
:jednaina mehanike ravnotee:
dt
d
J
Kmm mc +=+ , (2.82)
gde je momenat konverzije:
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
19
( ) dqqdc iim = , (2.83) :jednaina promene ugla optereenja je:
dt
dn= . (2.84)
Matematiki model sinhrone maine (2.72)(2.84) napisan je uz pretpostavku da i elektrina i mehanika snaga ulaze u mainu. Za sluaj generatorskog reima rada, struje id i iq u svim jednainama treba uzeti sa negativnim predznakom, kao i cm , dok je za motorski reim rada dovoljno uzeti samo mm sa
negativnim predznakom.
Izvedeni matematiki model je nelinearan jer postoji mnoenje ugaone brzine i fluksova u jednainama naponske ravnotee statora, pored toga momentna jednaina sadri i proizvod struja i napona. Ovaj matematiki model se esto pojednostavljuje uvodei pretpostavku da je ugaona brzina konstanta u toku prelaznog procesa. Ovim se dobija mogunost rada sa linearnim modelom jer je momentna jednaina raspregnuta od ostalih jednaina i samim tim njena nelinearnost ne utie na smanjenje brzine reavanja kompletnog sistema jednaina.
U uobiajenim analizama sinhronih maina cilj je da se odrede veliine statorskih struja koje u tom sluaju predstavljaju izlazne promenljive sistema. Kao ulazne promenljive sistema smatraju se naponi na statorskim krajevima i moment na vratilu maine dok je stanje same maine u potpunosti opisano statorskim i rotorskim fluksevima, ugaonom brzinom i eventualno pozicijom rotora ako je ona od interesa za analizu.
2.6. REDUKOVANI MODEL SINHRONE MAINE & E'Q MODEL
Matematiki model trofazne sinhrone maine prikazan sa (2.72)(2.84) uvaava fizike efekte namotaja statora (fazni namoti) i rotora (pobudni namotaj i priguni namoti po uzdunoj D i poprenoj Q osi). Na taj nain sinhrona maina je opisana sistemom od 7 diferencijalnih jednaina (modelom sedmog reda).
Pri razmatranju prelaznih pojava u EES neophodne su jednaine pomou kojih se opisuje dinamika sinhrone maine i jednaine mree na koju je maina prikljuena. Takoe, u sistemu postoji vie maina u paralelnom radu. Na taj nain, kompletan matematiki model jednog EES postaje izuzetno sloen, pa se pri njegovom modelovanju sistemske dinamike moraju uvesti nova uproenja. Ova uproenja, kad je re o sinhronoj maini, mogu se posmatrati u kontekstu izvoenja redukovanih matematikih modela maine gde se, zavisno od primene, uproavaju ili zanemaruju manje vani efekti, u prvom redu efekti prigunog namotaja.
2.6.1. Izvoenje redukovanog matematikog modela sinhrone maine
Model sinhrone maine koji se koristi dobija se iz originalnog modela transformacijama rasprezanja, obrtanja i svoenjem rotorskih veliina na statorski broj navojaka. Model je definisan jednainama naponske ravnotee, jednainom mehanike ravnotee i jednainom promene ugla optereenja. Jednaine naponske ravnotee uvaavaju fizike efekte namotaja statora (fazni namotaj i po poprenoj i po uzdunoj osi) i rotora (pobudni namotaj i priguni namotaj i po poprenoj i uzdunoj osi). Na taj nain sinhrona maina je opisana matematikim modelom sedmog reda.
U ovom delu se prouava stabilnost tokom tranzijentnog kvazistacionarnog perioda (tranzijentna stabilnost), tako da se uvaava tranzijentna dinamika dok je subtranzijentni prelazni proces zanemaren. Kako su u subtranzijentnom prelaznom procesu dominantni efekti prigunog namota, matematiki model sinhrone maine se redukuje u model sa zanemarenim efektom prigunog namota.
Ako se model sinhrone maine sa kompaktnim cilindrinim rotorom redukuje u model sa zanemarenim efektom prigunog namotaja, treba uzeti u obzir da se u tom sluaju sam rotor ponaa kao priguni namotaj po Q:osi (usled vrtlonih struja u masivnom feromagnetnom rotoru), bez obzira da li fiziki postoji ili se zanemaruje priguni namotaj (u D:osi). U tranzijentnom kvazistacionarnom periodu dominantni
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
20
su efekti rotorskih namotaja (pobudni f namotaj i Q namotaj kompaktnog cilindrinog rotora).
Prilikom izvoenja ovog modela uvode se sledea uproenja:
1. U naponskim jednainama statora zanemaruje se promena statorskih fluksnih obuhvata tj. zanemaruje se ems transformacije ( dtdd i dtdq ) kao brojano male u poreenju sa ems
rotacije ( d i q ).
2. Zanemaruje se promena brzine obrtanja, tj. pretpostavlja se da su lanovi tipa u naponskim jednainama statora i optereenja jednaki n.
3. Zanemaruju se aktivne otpornosti namotaja statora.
Uvaavajui navedena uproenja, dinamiki model sinhrone maine (2.72)(2.84) postaje:
: jednaine naponske ravnotee:
qndu = , (2.85)
dqu n= , (2.86)
dt
diRu
f
fff
+= , (2.87)
dt
diR QQQ
0 += , (2.88)
gde su fluksni obuhvati izraeni kao:
fdddd iMiL += , (2.89)
Qqqqq iMiL += , (2.90)
ddfff iMiL += , (2.91)
qqQQQ iMiL += , (2.92)
: jednaina mehanike ravnotee glasi:
dt
dJKmm mc
+
=+ , (2.93)
gde je momenat konverzije:
( ) dqqdc iim = , (2.94) : jednaina promene ugla optereenja glasi:
dt
dn= . (2.95)
Matematiki model sinhrone maine (2.85)(2.95) napisan je uz istu pretpostavku o referentnim smerovima elektrine i mehanike snage kao i model (2.72)(2.84) tj. referentni smerovi su odabrani tako da i mehanika i elektrina snaga ulaze u mainu.
Zanemarenje promene statorskih fluksnih obuhvata u jednainama statorske ravnotee ima za posledicu i zanemarenje jednosmerne komponente struje u statorskim namotajima u toku prelaznog procesa.
U literaturi [27] je pokazano da je ovo zanemarenje ,,na stranu sigurnosti to e rei da u sluaju analiza kratkih spojeva na sinhronoj maini ovim zanemarenjem dobijamo struje statorskih namotaja koje su neto vee stvarnih. Drugo zanemarenje koje je korieno u izvoenju redukovanog matematikog modela sinhrone maine, odnosno zanemarenje promene elektrine brzine rotora u jednainama statorske ravnotee ima takav uticaj na odziv modelovane maine koji tei da poniti uticaj prvog napravljenog zanemarenja to ova zanemarenja ini potpuno opravdanim.
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
21
2.6.2. Bazne vrednosti u sistemu relativnih jedinica
Prethodno naveden matematiki model sinhrone maine (2.85)(2.95) nije napisan u formi pogodnoj za praktina inenjerska izraunavanja. Posebna tekoa je to to su statorski naponi u jednom opsegu (reda veliine deset kV), a rotorski u drugom opsegu (reda veliine deset V). Takoe, u razliitim delovima EES vladaju razliiti naponski nivoi. Ovaj problem se moe reiti normalizacijom jednaina, gde se sve promenljive i parametri dele sa pogodno odabranim baznim veliinama i izraavaju u relativnim jedinicama (r.j.).
Bira se sledei sistem osnovnih baznih veliina:1
nb SS = : nominalna prividna snaga maine u VA,
nb VV = : nominalna efektivna meufazna vrednost napona u V,
100 sb == : nominalna (sinhrona) ugaona brzina u rad/s.
Izvedene bazne veliine su:
b
b
nb
V
SII == 3 : bazna struja,
b
bb
I
VZ = : bazna impedansa,
b
b
ZY
1= : bazna admitansa,
b
bb ZL
= : bazna induktivnost,
b
bb V
= : bazni fluks,
b
bt1
= :bazna vrednost vremena
bb
b
bb
b
bb I
IVSm
=== : bazni momenat,
Redukovani model sinhrone maine (2.85)(2.95) nakon normalizacije glasi (sve veliine i parametri su u r.j.):
:jednaine naponske ravnotee:
qdu = (r.j.), (2.96)
dqu = (r.j.), (2.97)
1 Ponekad je za pobudni namotaj potrebno je usvojiti neto drugaiji sistem baznih veliina. Naime, modeli automatskih
regulatora napona zahtevaju sistem baznih veliina u kojem je bazna pobudna struja ona struja koja u praznom hodu generatora daje nominalni napon na statorskim prikljunicama [2,3]:
db
bbf
M
VI = : bazna pobudna struja,
dok je bazni pobudni napon onaj koji u stacionarnom stanju u pobudnom namotaju stvara baznu pobudnu struju.
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
22
dt
diRu ffff
+= (r.j.), (2.98)
dt
diR QQ
Q0 += (r.j.), (2.99)
gde su fluksni obuhvati:
fdddd iMiL += (r.j.), (2.100)
Qqqqq iMiL += (r.j.), (2.101)
ddfff iMiL += (r.j.), (2.102)
qqqQQ iMiL += (r.j.), (2.103)
:jednaina mehanike ravnotee:
dt
dDmm jmc
+=+ (r.j.), (2.104)
u jednaini (2.104) pojavljuje se 1/3 mc iz razloga to su pri normalizaciji za bazne veliine izabrane pofazne vrednosti,
gde je
( ) bb
b
j HS
J
2'3
== : mehanika vremenska konstanta,
( )b
b
SKD
2
'
= : normalizovani koeficijent trenja,
: ugaona brzina.
a momenat konverzije:
dqqdc iim = (r.j.), (2.105)
:jednaina promene ugla optereenja:
1= dt
d (r.j.). (2.106)
U anglosaksonskoj literaturi se esto umesto momenta inercije J koristi inerciona konstanta H koja se definie kao kinetika energija tela pri baznoj brzini podeljenoj sa trofaznom baznom snagom odnosno
nominalnom snagom maine(B
B
SJH
2
2
1 = ).
Za dalje izvoenje redukovanog matematikog modela sinhrone maine potrebno je sve rotorske
veliine ( f , Q , fu , fi , Qi ) eliminisati iz jednaina (2.96)(2.106) na taj nain to e se ove veliine, izraziti preko adekvatnih statorskih veliina.
Fluksni obuhvat pobudnog namota f moe se pretvoriti u odgovarajuu ems na statoru koja se
indukuje u praznom hodu [10]. Pri otvorenom namotu statora u stacionarnom stanju ( 0=di ) vai da je
ff iL=f (jednaina (2.91)). Kada se vrednost pobudne struje fi pomnoi sa dn M dobija se
odgovarajua ems statora qe .
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
23
qdnf
f eML
=
, (2.107)
odnosno nakon normalizacije:
qd
f
f eM
L = (r.j.). (2.108)
Fluksni obuhvat namota rotora po Q:osi Q moe se pretvoriti u odgovarajuu ems na statoru. Pri
otvorenom kolu namota statora u stacionarnom stanju vai da je QQQ iL = (jednaina (2.92)). Kada se
vrednost struje iQ pomnoi sa qn M dobija se odgovarajua ems statora de :
dqnQ
Q eML
=
(2.109)
odnosno, nakon normalizacije:
dq
Q
Q eM
L = (r.j.). (2.110)
Takoe se i pobudni napon fu moe izraziti preko odgovarajue ems na statoru [10]. U
stacionarnom stanju struja pobude fi izraena preko napona i otpora pobude je fff Rui = . Kada se ta
vrednost struje pomnoi sa dn M dobija se odgovarajua ems statora fde :
fddnf
f eMR
u= , (2.111)
odnosno, nakon normalizacije:
fdd
ff eM
Ru = (r.j.). (2.112)
Iz jednaina (2.102) i (2.108) moe se izraziti pobudna struja fi :
df
dq
d
f iL
Me
Mi =
1 (r.j.), (2.113)
a iz jednaina (2.103) i (2.110) moe se dobiti komponenta struje Qi po Q osi:
qQ
q
d
q
Q iL
Me
Mi =
1 (r.j.). (2.114)
Na taj nain su sve rotorske veliine izraene preko statorskih veliina. Sledei korak predstavlja eliminaciju svih tako izraenih rotorskih veliina iz modela (2.96)(2.106). Nakon uvrtavanja jednaina (2.108), (2.112) i (2.113) u naponsku jednainu (2.98) dobija se:
fdf
fd
f
d
f
fq
f
fq eL
Ri
L
M
L
Re
L
R
dt
ed++=
2 (r.j.). (2.115)
Uvrtavanjem jednaina (2.110) i (2.114) u naponsku jednainu (2.99) dobija se:
qQ
q
Q
Qd
Q
Qd iL
M
L
Re
L
R
dt
ed2
=
(r.j.). (2.116)
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
24
Nakon uvrtavanja jednaina (2.100), (2.101), (2.113) i (2.114) u jednainu za momenat konverzije (2.105) dobija se:
iiL
MLeii
L
MLem qd
f
ddqdq
Q
qqdc
+
+=
22
'' (r.j.). (2.117)
Uvaavajui standardne oznake za vremenske konstante:
R
LT
f
fd = 0 , (2.118)
R
TQ
Qq
L0 = , (2.119)
kao i ekvivalentnu emu za tanzijentnu uzdunu sinhronu induktivnost (slika 2.4a), gde je:
Ld Md
Md Lf Md Ld'
Slika 2.4a. ematski prikaz za odreivanje tranzijentne uzdune induktivnosti.
L
MLL
f
ddd
2
= , (2.120)
odnosno emu za prelaznu poprenu sinhronu induktivnost (slika 2.4b):
Lq:Mq
Mq LQ:Mq L'q
Slika 2.4b. ematski prikaz odreivanja tranzijentne poprene induktivnosti.
L
MLL
Q
qqq
2
= , (2.121)
novouvedene oznake su:
0dT : vremenska konstanta tranzijentnog perioda po uzdunoj osi (d) pri otvorenom kolu statora,
0qT : vremenska konstanta tranzijentnog perioda po poprenoj osi (q) pri otvorenom kolu statora,
dL : tranzijentna induktivnost u podunoj osi,
qL : tranzijentna induktivnost u poprenoj osi.
Sada se moe pisati konacni oblik normalizovanog redukovanog modela sinhrome maine:
( ) eiLLeeT fddddqqd ++= ''0 (r.j.), (2.123) ( ) qqqddq iLLeeT = ''0 (r.j.), (2.124) ( )[ ]iiLLieiem qdqdddqqc ++= '' (r.j.). (2.125) Uvrtavanjem jednaine (2.125) u momentnu jednainu (2.104) dobija se:
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
25
( ) DiiLLieiem qdqdddqqmj +++= '' (r.j.). (2.126) U dosadanjem izlaganju koriene su veliine koje su dobijene posle transformacija svoenja i obrtanja. Ukoliko se model izvodi sa apsolutnim jedinicama dobijaju se veliine(naponi, struje i fluksevi) koje
kvantitativno odgovaraju faznim veliinama koje su pomnoene sa 3 odnosno odgovaraju meufaznim vrednostima. Kada se radi u apsolutnom domenu esto je jednostavnije baratati sa faznim vrednostima pa se
sve veliine dele sa 3 kako bi se dobile vrednosti koje odgovaraju faznim veliinama. U nastavku je ispisan i model u apslutnom domenu gde su koriena velika slova kako bi se oznaile fazne vrednosti u apsolutnom domenu:
( ) EILLEET fddddqqd ++= 0 (2.123a)
( ) qqqddq ILLEET = 0 (2.124a) ( )[ ]IILLIEIEm qdqdddqqc ++= (2.125a)
dt
dJKmm mc
+
=+ (2.126a)
Jednaine (2.123), (2.124), (2.125), (2.126) predstavljaju redukovani matematiki model sinhrone maine. Tranzijentna indukovana ems po d : osi ed je zanemariva u poreenju sa tranzijentnom
indukovanom ems po q : osi qe' ( qd ee ''
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
26
D [r.j.].
3. sluaj: [r.j.] i t [r.j.],
0dT [r.j.] = '0dT [sec] n [rad/sec],
j [r.j.] = j [sec] n [rad/sec], D [r.j.].
Matematiki model sinhrone maine (2.127)(2.129) moe se predstaviti strukturnom emom prikazanom na slici 2.5.
Ld L'd sT1
1
0d+
sD
1
j+
X
1
mm
: +
+
+
+
+ id
ulaz:
iq
e'q
s
1
izlaz:
efd
qq ie '
Slika 2.5. Strukturna ema modela sinhrone maine.
1.1 2.7. MULTIMAINSKI SISTEM SVOENJE NA REFERENTNI SISTEM OSA
U optem sluaju EES sadri vie vorova u kojima su prikljuene sinhrone maine. Pri tome se smatra da je mrea kruta, tj. beskonane snage. U ovom delu svim veliinama e biti pridodat indeks i koji oznaava broj vora u kome je prikljuena maina. Na slici 2.6 prikazan je fazorski dijagram sinhrone maine prikljuene na mreu beskonane snage. Uobiajeni pristup pri crtanju faznih dijagrama d i q komponenti napona i struje sinhrone maine je da q osa prednjai d osi. Meutim, u literaturi [10], u multimainskoj predstavi maina prikljuenih na mreu d osa prednjai q osi.
uqi
udi
referentna osa
d : osa
q : osa
iV3
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
27
Slika 2.6. Fazorski dijagram sinhrone maine prikljuene na mreu beskonane snage u i
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
28
2.8. LINEARIZOVANI MATEMATIKI MODEL SINHRONE MAINE SA FLUKSEVIMA KAO PROMENLJIVIM STANJA
U ovom delu izveden je linearizovan matematiki model sinhrone maine. Polazi se od matematikog modela sinhrone maine u BrTs transformaciji, koji glasi:
: jednaine naponske ravnotee
q
++=dt
dRiu ddd , (2.142)
d
+=dt
dRiu qqq , (2.143)
dt
diRu ffff
+= , (2.144)
dt
diRu DDD
D+= , (2.145)
dt
diRu QQQ
Q+= , (2.146)
gde su fluksni obuhvati:
Ddfdddd iMiMiL ++= , (2.147)
Qqqqq iMiL += , (2.148)
Ddddfff iMiMiL ++= , (2.149)
fdddDD iMiMiL ++=D , (2.150)
qqQQQ iMiL += , (2.151)
: jednaina mehanike ravnotee:
cm mdt
dJKm
+
=
, (2.152)
gde je momenat konverzije:
( ) dqqdc iim = . (2.153) Prethodne dve jednaine u normalizovanom domenu izgledaju :
[N:]
dt
dDmm jmc
+=+ , (2.154)
dqqdc iim = , (2.155)
: jednaina promene ugla optereenja:
ndt
d= , (2.156)
ili u normalizovanom domenu:
[N:]
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
29
1dt
d= . (2.157)
Cilj je da se napravi matematiki model oblika BUAXX +=
, kako bi se on linearizovao
standardnim postupkom i dobio model oblika UBXAX +=
. Ovo se postie tako to se iz modela pomou algebarskih jednaina eliminiu sve promenjive koje nisu promenjive stanja.
Prvi korak je da se struje namotaja koje figuriu u jednainama naponske ravnotee (2.1422.146) izraze preko flukseva. Iz jednaina (2.147), (2.148) i (2.149) se dobija:
( )mddd
di 1
=
, (2.158)
( )mdff
fi 1
=
, (2.159)
( )mdDD
Di 1
=
, (2.160)
gde je md fluks magneenja po d:osi
( ) dDfdmd Miii ++= , (2.161) ddd ML += , dff ML += ,
dDD ML += .
Kada se (2.158), (2.159) i (2.160) uvrstiti u (2.161) dobija se:
D
D
f
f
d
d
Dfddmd M
1111 ++=
+++ . (2.162)
Uvoenjem ekvivalentne podune induktivnosti:
DfddMD ML
11111+++= , (2.163)
fluks md je:
DD
MDf
f
MDd
d
MDmd
LLL
++= . (2.164)
Na slian nain kao za md , moe se napisati za fluks magneenja u poprenoj osi:
QQ
MQq
q
MQmq
LL
+= , (2.165)
gde je induktivnost MQL definisana kao:
QqqMQ ML 1111
++= . (2.166)
Struje po poprenoj osi su:
( )mqqq
qi 1
=
, (2.167)
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
30
( )mqQQ
Qi 1
=
. (2.168)
Kada se zanemari efekat zasienja sinhrone maine, induktivnosti dM , qM , MDL i MQL su
konstantne.
Zamenom md iz jednaine (2.164) u jednaine (2.158), (2.159) i (2.160), posle ureenja ovih
poslednjih, dobijaju se sledei izrazi za struje u podunoj osi:
D
D
d
MD
f
f
d
MD
d
dd
LLi
L1
d
MD
= , (2.169)
D
D
f
MD
f
f
f
MD
d
d
f
MDf
LLLi
1
+= , (2.170)
D
D
D
MD
f
f
D
MD
d
d
D
MDD
LLLi
1
+= . (2.171)
Zamenom (2.169), (2.170) i (2.171) u jednaine (2.142), (2.144) i (2.145) respektivno, dobijaju se sledee diferencijalne jednaine:
dqD
D
d
MD
f
f
d
MD
d
d
d
MDd uL
RL
RL
Rdt
d++++
=
1
,(2.172)
fD
D
f
MDf
f
f
f
MDf
d
d
f
MDf
f uL
RL
RL
Rdt
d++
=
1
, (2.173)
D
D
D
MDD
f
f
D
MDD
d
d
D
MDD
D LRL
RL
Rdt
d
1
+= . (2.174)
Slino tome, eliminacijom mq , iz jednaine (2.167) i (2.168) i zamenom dobijenih izraza za struje
qi i Qi u jednaine (2.143) i (2.146) respektivno, dobijaju se diferencijalne jednaine za flukseve u poprenoj
osi:
qdQ
Q
q
MQ
q
q
q
MQq uL
RL
Rdt
d++
=
1
, (2.175)
Q
Q
Q
MQQ
q
q
Q
MQQ
Q LRL
Rdt
d
1
= . (2.176)
Odgovarajue zamene daju za jednainu momenta konverzije (2.155) izraz:
Dd
MDDq
fd
MDfq
Qq
MQQd
d
MDMQqdc
LLLLLm
2+
= . (2.177)
Nelinearni matematiki model sinhrone maine u prostoru stanja sa fluksevima kao promenljivim stanja prikazan u obliku matrine jednaine:
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
31
+
+
=
1
m0
u
0
u
u
0100000
0D
L
L
L
L
L
00
L1
R
LR000
00
RL
L1
R00
0000
L1
R
LR
LR
0000
LR
L1
R
LR
000
RL
RL
L1
R
dt
ddt
ddt
ddt
ddt
ddt
ddt
d
m
q
f
d
Q
q
D
f
d
dQq
MQd2
q
MQq
Dd
MDq
fd
MDq2
d
MD
Q
MQ
Q
Q
qQ
MQQ
Qq
MQ
q
MQ
q
D
MD
D
D
fD
MDD
dD
MDD
Df
MDf
f
MD
f
f
df
MDf
Dd
MD
fd
MD
d
MD
d
Q
q
D
f
d
QqDfd
j
jjjjjj
dt
d
Ovaj matematiki model je nelinearan jer se u matrici sistema nalaze elementi koji nisu konstantni nego zavise od promenljivih stanja.
Sada se pristupa postupku linearizacije jednaina (2.172) : (2.177). Vektor stanja x
u nelinearnom fluksnom modelu i poetno stanje )t(x oo su:
T
QqDfdx ],,,,,,[=
,
TQoqoDofodoox ],,,,,,[ oo=
.
U sluaju malih poremeaja, neposredno posle poetnog trenutka t + t*o koordinate stanja se menjaju za x
' tako da se moe napisati:
xxx o
'+= . (2.178)
Opta nelinearna forma modela glasi:
( ) oo x)t(x ;t,z,u,xfdtxd
== , (2.179)
gde su )t(x
, )t(u
, i )t(z
vektori stanja, ulaza i poremeaja respektivno, ox
poetni uslov, a f(*) skup
nelinearnih funkcija od naznaenih vektorskih promenljivih.
Kada se zameni (2.178) u (2.179) dobija se:
( )t,zz,uu,xxfdt
)x(d
dt
xdooo
o
'+'+'+='
+ . (2.180)
Razvojem desne strane jednaine (2.183) u Tejlorov red u okolini stanja ( )ooo z,u,x
, uz
zadravanje linearnog i zanemarivanja lanova vieg reda uz 0dt
xd o =
, dobija se linearizovani model
sistema: 0)t(x , z(*)Fu(*)Bx(*)Adt
)x(doooo =''+'+'=
'
,(2.181)
sa novim koordinatama stanja, upravljanja i poremeaja, dobijenim kao promene u odnosu na odgovarajue stacionarne vrednosti u trenutku t = to.
Matrice linearnog sistema A , B , F koje zavise od poetnog stanja ( ooo z,u,x
), izraunavaju se
prema sledeim relacijama:
o
o
o
o
o
o )t(z
(*)f(*) ,
)t(u
(*)f(*) ,
)t(x
(*)f(*)
=
=
= FBA , (2.182)
gde simbol "o
" oznaava vrednost naznaenog parcijalnog izvoda za t + to; oxx
= , ouu
= i ozz
= , a
simbol "(*)o" oznaava zavisnost oznaenih matrica od poetnog stanja varijabli )t,z,u,x( oooo
.
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
32
Linearizacijom jednaina (2.172)(2.177) dobijaju se sledee linearne diferencijalne jednaine sa fluksevima kao promenljivim stanja:
: Jednaine fluksa u podunoj osi:
( )( )dqoqoD
Dd
MDf
fd
MDd
d
MD
d
d _u___
LR_
LR_
L1
R
dt
_d+++++
= ,(2.183)
( )fD
Df
MDff
f
MD
f
fd
df
MDf
f uL
RLRL
Rdt
d'+'+'
'=
'1
, (2.184)
( )D
D
MD
D
Df
fD
MDDd
dD
MDD
D LRLRL
Rdt
d1
'
'+'=
'
. (2.185)
: Jednaine fluksa u poprenoj osi:
( )qdodoQ
Qq
MQq
q
MQ
q
q uL
RLR
dt
d'+'''+'
=
'
1
, (2.186)
( )Q
Q
MQ
Q
Qq
qQ
MQQ
Q LRLRdt
d1
'
'=
'
. (2.187)
: Jednaina konverzije:
,
2
2
QdoQq
MQqDo
Dd
MDfo
fd
MDdo
d
MQMD
DqoDd
MDfqo
fd
MDdQo
Qq
MQqo
d
MQMDc
LLLLL
LLLLLm
''
++
+
+'+'+'
='
(2.188)
: Jednaina mehanike ravnotee:
( )
,1
3
1
2
2
mjj
QdoQq
MQqDo
Dd
MDfo
fd
MDdo
d
MQMD
DqoDd
MDfqo
fd
MDdQo
Qq
MQqo
d
MQMD
j
mDLLLLL
LLLLL
dt
d
'+''
'
++
+
+'+'+'
=
'
(2.189)
: Jednaina promene ugla optereenja:( )
_dt
_d= . (2.190)
+
+
=
'
'
'
0mTm_m
0q_u
0f_ud_u
_
_Q_q_D_f_d_
0100000
0mT
Ddo
Qqm3T
MQLBqo
Ddm3TMDL
qofdm3T
MDLA
00)Q
MQL(1
Q
QR
qQ
MQLQR000
0doQq
MQRL)
q
MQL(1
q
R00o
0000)D
MDL(1DDR
fDMDLDR
dDMDLDR
0000Df
MDLfR)f
MDL(1ffR
dfMDLfR
0qo0oDd
MDRL
fdMDRL)
dMDL(1
d
R
dt
)d(dt
)d(dt
)Qd(_dt
)qd(dt
)Dd(_dt
)fd(_dt
)dd(_
_ _Q_q_D_f_d_
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
33
A =
Qo
Qq
MQLqo2
d
MQLMDL
j3
1
B =
+
+
Do
Dd
MDLfo
fd
MDLdo2
d
MQLMDL
j3
1
2.9. MODEL SINHRONE MAINE SA KONSTANTNOM EMS IZA SUBTRANZIJENTNE REAKTANSE
(E&MODEL)
Model sinhrone maine sa konstantnom EMS iza subtranzijentne reaktanse omoguuje analizu i subtranzijentnog perioda jer se uvaavaju i fenomeni vezani za prigune namotaje koji su bili zanemareni kod formiranja redukovanog modela sinhrone maine. Kako je zanemarena dinamika pobudnog namotaja ovaj model je u vanosti vrlo kratko nakon nastanka poremeaja(subtranzijeni period). Za formiranje ovog modela
u jednainama naponske ravnotee statora (2.142) i (2.143) zanemaruju se ems transformacije )dt
d( , kao
numeriki male vrednosti u odnosu na EMS rotacije ( ). Osim toga jo uzima se da je qd LL = i
n = .
Posmatra se situacija kada su rotorski namotaji kratko spojeni i sluaj kada se iznenada na krajeve statorskih namotaja nametenu trofazni prostoperiodini simetrini naponi. Neposredno posle dovoenja napona fluksevi pobudnog i prigunog namotaja ostaju nepromenjeni tj. imaju nultu vrednost to se moe zapisati na sledei nain:
ffDdddf iLiMiMt ++==+ 0)( (2.191)
fdDDddD iMiLiMt ++==+ 0)( (2.192)
na osnovu ega se mogu izraziti struje fi i Di :
ddDf
dDdf iMLL
MLMi
=2
2
, ddDf
dfdD iMLL
MLMi
=
2
2
(2.193)
kada se ove jednaine uvrste u jednainu 2.77 dobija se:
ddDf
dfDdd iMLL
MLLLt
+=+ )1)/(
2()(
2 (2.194)
U ovom trenutku mogue je definisati subtranzijentnu induktivnost po d:osi kao:
Ddd2 M1)/(
2+=
+=
dDf
dfDdd
MLL
MLLLL (2.195)
pa se jednaina 2.94 moe zapisati i u kompaktnijoj formi
ddd iLt =+")( (2.196)
to daje vrednost fluksnog obuhvata po d:osi neposredno posle dovoenja napona na statorske namotaje.
Na slian nain se moe definisati i subtranzijentna induktivnost po q:osi.
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
45
2.10.2.2. TROPOLNI KRATAK SPOJ NA KRAJEVIMA GENERATORA
Na krajevima generatora u 0.1 sekundi dolazi do "metalnog" (zanemaruje se otpornost elektrinog luka) tropolnog kratkog spoja pa krajevi generatora dolaze na nulti potencijal. Zanemarenje elektrinog luka je opravdano, jer se na taj nain dobijaju neto kritiniji rezultati, poto prelazni otpori na mestu kvara doprinose brem priguenju jednosmerne komponente struje kvara. Kratak spoj je modelovan dovoenjem dodatne impedanse pZ na nultu vrednost. Narednom jednainom dat je teorijski izraz za struju tropolnog kvara u
jednoj fazi npr. fazi a:
( )
( ( )
( ( )
( ) .e)cos(X
1
X
12cos
X
1
X
1
2
U2
tsineX
1
X
1Usin2
tcos)eX
1
X
1(e
X
1
X
1Ucos2
tcosX
E2i
a
q
dd
T
t
0qd
0qd
0T
t
qqi
0T
t
dd
T
t
dd0
0d
qa
+
+++
+
+
++
+
+
++=
(2.279)
Na sledeim slikama su dati dijagrami struja sve tri faze i pobudne struje tokom tropolnog kratkog spoja. Ovi dijagrami dobijeni su pomou potpunog matematikog modela, jednaine (2.253) : (2.265).
0 2 4 6 8 10 :4
:3
:2
:1
0
1
2
3 x 104 ia [A]
t [s]
0 2 4 6 8 10 :3
:2
:1
0
1
2
3
4 x 104 ib [A]
t [s]
Slika 2.19. Struja faze a. Slika 2.20. Struja faze b.
0 2 4 6 8 10 :4
:3
:2
:1
0
1
2
3 x 104 ic [A]
t [s]
0 2 4 6 8 10 1
1.2
1.4
1.6
1.8 2
2.2
2.4
2.6
2.8 x 104 if [A]
t [s]
Slika 2.21. Struja faze c. Slika 2.22. Pobudna struja.
Sa slika se moe videti da su struje nesimetrine, to je uobiajen sluaj zbog pojave aperiodine komponente. Simetrinost bi postojala samo u sluaju da se kratak spoj desi u trenutku, kada je fluks kroz posmatrani fazni namotaj jednak nuli, to bi uslovilo izostanak aperiodine komponente. U jednaini (2.279)
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
46
figurie ugao 0 , koji predstavlja ugao, koji u trenutku nastanka kratkog spoja zahvataju osa namotaja
pobude i osa namotaja faze a. Ovaj ugao je dakle sluajna veliina, pa je i oblik statorskih struja sluajan.
Jedino prvi lan iz (2.279) nema priguenje sa nekom vremenskom konstantom i on predstavlja trajnu struju kratkog spoja. Ustaljeno stanje poinje oko desete sekunde. Uoavaju se takoe subtranzijentni (0.10.5 s) i tranzijentni (0.510 s) period.
U poslednjem, etvrtom sabirku jednaine (2.279), mogu se razlikovati dve komponente: prva sa dvostrukom uestanou i druga koja je aperiodina. Aperiodina komponenta je posledica elektromagnetne inercije namotaja faza, koja ne dozvoljava skokovitu promenu struje kroz njega i moe biti objanjena teoremom o odranju fluksa. Za ilustraciju ove teoreme polazi se od opte naponske jednaine, npr. faze a:
dt
dRiu aaa += , (2.280)
Kada se zanemari omska otpornost (poto u odnosu na induktivnost ima malog uticaja), a napon postavi na nultu vrednost (dolo je do kratkog spoja), sledi da se nakon kratkog spoja u kolu uspostavlja jednosmerna struja, koja ne dozvoljava promenu fluksa. Ova struja sa svoje strane obrazuje polje magnetne indukcije, koje je nepokretno u odnosu na stator i koje u rotoru indukuje elektromotorne sile i struje krune uestanosti. Stvara se pulsirajue polje, koje se moe rastaviti na dva polja, koja se obru u suprotnim smerovima brzinom . Polje, koje se obre u smeru u kome i rotor, preseca statorske namotaje brzinom 2 i u njima indukuje struje iste uestanosti. Drugo rotorsko polje je nepokretno u odnosu na stator i uravnoteava se sa izvornim stojeim poljem.
Prema teoremi o odranju fluksa u pobudnom namotaju mora doi do indukovanja struje, koja e odrati konstantnim pobudni fluks uprkos demagnetiuem delovanju struja kratkog spoja statora. Ovo se moe videti sa slike 2.22. Ova indukovana komponenta pobudne struje, praktino, pojaava pobudu, pa i struje statora u tranzijentnom periodu moraju biti vee. Indukovana komponenta pobudne struje opada sa vremenskom konstantom pobudnog kola fT .
I za priguni namotaj vai teorema o odranju fluksa, pa se i u njemu indukuje struja koja praktino jo jae pobuuje rotor u odnosu na tranzijentni period. Ona odreuje ponaanje struje statora u subtranzijentnom periodu.
Poveanjem statorske struje dolazi do prelaznih pojava i u direktnoj i u poprenoj osi maine, jer su one magnetno spregnute i meusobno i sa namotom statora. Na sledeim slikama prikazane su promene uzdune i poprene komponente struje.
0 2 4 6 8 10 0 0.5
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4 4.5
5 x 104 id [A]
t [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 :2.5
:2
:1.5
:1
:0.5
0 0.5
1
1.5
2 x 104 iq [A]
t [s]
Slika 2.23. Poduna komponenta struje. Slika 2.24. Poprena komponenta struje.
Drugi lan jednaine (2.279) posledica je prelaznih procesa u namotajima, koji deluju po d osi, a trei procesa, koji deluju po q osi. U poprenoj osi nema pobudnog namota, pa je qq XX = , te se prelazne
pojave u poprenoj osi zavravaju u subtranzitnom periodu. Zato se struja qi bre smiruje na stalnu vrednost
u odnosu na struju di , koja opada sa istom vremenskom konstantom kao i pobudna struja. Kako su u sluaju
"metalnog" kratkog spoja svi aktivni otpori jednaki nuli, moe se smatrati da je generator isto reaktivno optereen, pa zato struja qi pada priblino na nulu kao i cm (potrebno je zadovoljiti samo aktivne gubitke u
namotajima), to se moe videti i na slici 2.25.
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
47
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 :1.5
:1
:0.5
0
0.5
1
1.5
2 x 104 mc [kNm]
t [s]
Slika 2.25. Moment konverzije.
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
49
Qudt
dRiu d
qqq ++= . (2.293)
Odnosno, u matrinoj formi matematiki model voda glasi:
+
+
+
=
Q
D
q
d
Y
s
s
q
d
q
d
R
q
d
u
u
0:
0
dt
di
i
R
R
u
u
vv
, (2.294)
=
q
d
L
v
v
q
d
i
i
L
L
v
. (2.295)
2.11.1. Simulacije na modelu bloka generator&transformator
Simulink model bloka G:T je dat na slici 2.26.
Slika 2.26. Simulink model bloka G
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
50
0 5 10 15 20 25 30 0
5
10
15
20
25 Q [MW]
t [s]
0 5 10 15 20 25 30 58.415
58.42
58.425
58.43
58.435
58.44
58.445
58.45
58.455
58.46 P [MW]
t [s]
Slika 2.27. Reaktivna snaga. Slika 2.28. Aktivna snaga.
Na slici 2.27 se vidi porast reaktivne snage Q , koja je na kraju prelaznog procesa pozitivna to znai da blok isporuuje reaktivnu energiju mrei, odnosno da je generator u natpobuenom reimu.
U isto vreme, aktivna snaga se takorei ne menja. Sposobnost sinhrone maine da promenom pobude proizvodi, odnosno troi Q pri 0P je direktna posledica postojanja dve posebne skupine namota koje proizvode odgovarajua elektrina polja. Trofazne struje statora u statorskom namotu generiu tzv. Teslino obrtno polje, a jednosmerna pobudna struja generie rotorsko polje koje se zajedno sa njim obre sinhronom brzinom. Ova sposobnost se vidi i iz poznatih jednaina za reaktivnu i aktivnu snagu sinhrone maine sa isturenim polovima u stacionarnom reimu:
))2cos(1)(X
1
X
1(
2
U3)cosEU(
X
U3Q
dq
2
qd
+= , (2.296)
)X
1
X
1(
2
)2sin(U3sin
X
UE3P
qd
2
d
q
+= , (2.297)
vidi se da Q zavisi i od ugla optereenja , koje je direktno vezano sa P jednainom (2.295), i od
elektromotorne sile qE pri emu je:
fdfq iMifE == )( . (2.298)
Na slici 2.28 se vidi da pri poveanju pobude ipak dolazi do malog pada aktivne snage. Do ovoga pada dolazi jer u modelu nije zanemaren otpor statorskog namota, odnosno nisu zanemareni Dulovi gubici snage u bakru statora:
2cu RI3P = . (2.299)
Na slici 2.29 je prikazan vektorski dijagram pre i posle poveanja pobude.
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
51
q
d
I
U
XqIq
RI
Eq
Iq
Id d
q
Eq
XqIq
Xd
RI
U
I
XdId
a) b) Slika 2.29. Promena vektorskog dijagrama pri promeni pobude
a) pre poveanja, b) nakon poveanja.
Poveanjem pobude raste i elektromotorna sila E. Da bi bio zadovoljen vektorski zbir, mora porasti
poprena komponenta struje dI , to dovodi do zakretanja vektora stuje, a time vektora IR pa se mora
smanjiti i ugao optereenja . Kako je:
2q2d
2 III += , (2.300)
dolazi do poveanja modula struje, a time i do porasta Dulovih gubitaka. Ove promene direktne i poprene komponente struje se mogu videti i na slikama 2.30 i 2.31.
0 5 10 15 20 25 30 0
50
100
150
200
250 id [A]
t [s]
0 5 10 15 20 25 30 507.95
508
508.05
508.1
508.15
508.2
508.25
508.3
508.35 iq [A]
t [s]
Slika 2.30. Poduna komponenta struje. Slika 2.31. Poprena komponenta struje.
Na slici 2.32 je prikazano smanjenje ugla optereenja. Treba imati na umu da se radi o generatorskom reimu i da se menja od 0 do 2 . Na slici 2.33 prikazana je pobudna struja.
0 5 10 15 20 25 30 :47.1
:47
:46.9
:46.8
:46.7
:46.6
:46.5
:46.4 []
t [s]
0 5 10 15 20 25 30 1.38
1.4
1.42
1.44
1.46
1.48
1.5
1.52
1.54 x 104 if [A]
t [s]
Slika 2.32. Ugao optereenja. Slika 2.33. Pobudna struja.
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
52
Moe se videti da do promene pobudne struje ne dolazi trenutno, ve da ona raste po eksponencijalnoj funkciji. U pobudnom namotu nagomilava se energija i potrebno je odreeno vreme da bi dolo do njene promene.
Do funkcije ( )ti f dolazi se reavanjem jednaine pobudnog kola:
dt
diLiRu fffff += , (2.301)
)eC(1i fTt
f
= , (2.302)
gde je:
f
ff R
LT = : vremenska konstanta pobude,
[ ]AC : konstanta koja se dobija iz poetnih uslova.
Na slikama 2.34 i 2.35 su prikazane brzina obrtanja i momenat konverzije.
0 5 10 15 20 25 30 314.154
314.155
314.156
314.157
314.158
314.159
314.16 [rad/s]
t [s]
4 5 6 7 8 9 10 3.7235
3.724
3.7245
3.725
3.7255
3.726 x 10
3 mc [kNm]
t [s]
Slika 2.34. Brzina obrtanja. Slika 2.35. Momenat konverzije.
Izraz za momenat konverzije je dat sledeom jednainom:
)X
1
X
1(
2
)sin(2U
P3sin
X
UE
P3mmm
qd
i2
sd
q
srsc
+=+= , (2.303)
gde je:
sm sinhroni moment,
rm reluktantni moment.
Na rotoru maine postoji priguni namotaj. Ovaj namotaj je kratko spojen i praktino analogan kaveznom namotu asinhronog motora. U ustaljenom stanju on ne igra nikakvu ulogu, ali zahvaljujui njemu pri svakom odstupanju od sinhrone brzine pored sinhronog i reluktantnog momenta javlja se i asinhroni momenat, i to uvek u smeru povratka na sinhronu brzinu. Asinhroni momenat u stacionarnom stanju je dat jednainom (2.302) .
-
2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE
53
2
r1
s2r
1
s
r1
s
2nf
a
)cX(X)s
Rc(R
s
R
3Um
+++
= , (2.304)
gde je:
s klizanje,
c Hopkinsov sainilac,
rs,X Reaktanse rasipanja statora, odnosno rotora.
Poveanjem pobude poveava se i sinhroni moment, odnosno i moment konverzije, dolazi do pada brzine i pojave asinhronog momenta. Zbog toga, kao to se vidi na slici 2.34, nakon poetnog usporenja rotor vrlo brzo ponovo dostie si