modelovanje-predavanje 10 - novoelektron.tmf.bg.ac.rs/mod/predavanja/modelovanje... ·...

10. POPULACIONI BILANSI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 1

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA

10. Populacioni bilansi u stohastičkom pristupu

modelovanju

http://elektron.tmf.bg.ac.rs/modProf. dr Nikola Nikačević

BILANSI POPULACIJE

• Koriste se za stohastičko opisivanje partikulativnih (disperznih) sistema – sačinjenih od konstitutivnih elemenata.

• Opis ponašanja populacije elemenata (čestica) i njihovog okruženja na osnovu ponašanja pojedinačnog elementa u njegovom lokalnom okruženju.

• Osim u hemijskom inženjerstvu i bliskim oblastima: kristalizaciji, materijalima, aerosol inženjerstvu, koristi se u različitim naučnim disciplinama: astrofizika, biologija, geofizika i dr.



BILANSI POPULACIJE U HEMIJSKOM INŽENJERSTVU

• U hemijskom inženjerstvu se najčešće koriste za opisivanje realnog proticanja u sudovima, jer se detaljni fundamentalni (mezoskopski, CFD) modeli teže rešavaju u dužem vremenskom periodu.

• Populaciono bilansni modeli koriste funkcije verovatnoće (kumulativne, gustine raspodele), eksperimentalne rezultate i teorijske osnove iz fizike kombinacija stohastičkog, empirijskog i fundamentalnog pristupa.

• Prvi je funkcije raspodele vremena boravka fluida u sudu definisao hemijski inženjer Danckwerts.

PRIMER 1 – MODELOVANJE PROCESA ŠARŽNE KRISTALIZACIJE i POPULACIONI BILANSI

Kristalizacija – operacija separacije supstance očvršćava-njem iz rastvora (velika primena u farmaceutskoj industriji)Osnovni procesi (iz prezasićenog rastvora): a) nukleacija i b) rast kristala, u sudu sa mešanjem u šaržnoj operaciji

Brzina nukleacije (B ): 𝐵 = = 𝑘 𝑐 − 𝑐∗

Gde je N broj nukleusa po zapremini, kn konstanta brzine nukleacije, ckoncentracija supstance u rastvoru, c* koncentracija zasićenja, a nstepen brzine nukleacije (u rasponu od 1 do 10)

Brzina rasta kristala (G ): 𝐺 = = 𝑘 𝑐 − 𝑐∗

Gde je L karakteristična dužina kristala, kg konstanta prenosa mase, a m stepen brzine rasta (u rasponu od 0 do 2.5)



PRIMER 1 – KRIVE PROCESA KRISTALIZACIJE i PRIMENA BILANSA POPULACIJE

Populacioni bilansi -promena i opseg veličine kristala u toku procesa se opisuje gustinom raspodele verovatnoće p(L,t) i momentima.Za šaržni, idealno izmešani sistem bilans populacije je:https://syrris.co.jp/

Brz

ina

nu

kle

aci

je -

B

Brz

ina

ra

sta

-G

nukleacijaRast kristala

Vreme

𝜕𝑝(𝐿, 𝑡)

𝜕𝑡+ 𝐺

𝜕𝑝(𝐿, 𝑡)

𝜕𝐿= 0Promena raspodele

veličina kristala p(L,t) tokom vremena

NEIDEALNO PROTICANJE FLUIDA• Određivanje realne slike proticanja – odstupanje od dva

granična tipa: idealnog klipnog ili potpunog mešanja.• Razlozi odstupanja:

– Neuformni profil brzina,– Fluktuacije brzine

zbog turbulencije,– Kanalisanje i zaobi-

laženje glavnog toka...

Prisustvo mrtvih zona zbog geometrije,

Povratno mešanje zbog razlike u brzinikretanja faza,

Recirkulacija fluida usled mešanja.



RASPODELA STAROSTI FLUIDA KOJI NAPUŠTA SUD – E(t)

• Gustina raspodele verovatnoće, p(t) ≡ E(t)E(t) jedinice:[vreme-1]

U bezdimenzionom obliku, za bezdimenziono vreme : →

dttdotodvremenuusistemuu

boraviojekojiizlazunafluidaudeodttE )(

),0(0)( tzatE

1)(0

tdtE

t

t

dEdttE )()( )()()(

tEtd

dttEE

1)(0

dE

RASPODELA VREMENA ZADRŽAVANJA FLUIDA (RVZ) – F(t)

• Kumulativna raspodela verovatnoće, P(t) ≡ F(t)• Verovatnoća da element fluida na izlazu ima vreme

zadržavanja manje od t :

• Dobija se sabiranjem svih udela na izlazu u vremenu između 0 i t :

todmanjejeazadržavanj

vremečijeizlazunafluidaudeotF )(

t

dttEtF0

)()(



RVZ – funkcija ispiranja W(t)

• Suprotno F(t), funkcija “ispiranja” – W(t) predstavlja verovatnoću da element fluida na izlazu ima vreme zadržavanja veće od t :

• U bezdimenzionom obliku, za bezdimenziono vreme:

t

dttEtFtW )()(1)(

)()( tFF )()( tWWt

t

UNUTRAŠNJA STAROSNA RASPODELA – I(t)

• Ako se posmatraju elementi fluida u sistemu u nekom trenutku t = , starost elementa je vreme koje je proteklo od njegovog ulaska u sistem.

• Funkcija unutrašnje starosne raspodele:

• Veza sa raspodelom vremena zadržavanja:

• U bezdimenzionom obliku:

ddoodstarostje

čijasistemuufluidaudeodI )(

)(1

)(11

)( Wt

Ft

I

)()( tItI

1 1 1dI dW dFE

dt t t dt t dt



SREDNJE VREME ZADRŽAVANJA (SVZ) FLUIDA

Za diskretna merenja u ti:

• Vreme kontakta fluida je srednje vreme zadržavanja, V/Q

• Srednja vreme zadržavanja fluida = prvi moment• Rasipanje raspodele starosti fluida na izlazu –

varijansa = drugi centralni moment

t

vreme zadržavanja t udeo elemenata saSrednje vreme zadržavanja

za element fluida vremenom zadržavanja t

0

( )V

t t E t dtQ

0

( ) i i i

i i

t C tt t E t dt

C t

FUNKCIJE RASPODELE ZA IDEALNA PROTICANJA

• Idealno klipno (IK)Svi elementi fluida na izlazu imaju isto vreme zadržavanja jednako SVZ:

- Dirac

Heaviside

• Idealno mešanje (IM)Zbog potpunog mešanja, raspodela starosti na izlazu je jednaka unutrašnjoj:

( ) ( )IKE t t t

( ) ( )IKF t H t t

1( ) 1 ( )IKI t H t t

t

( ) ( )IM IME t I t

1dIE

dt t 1dI

Idt t

/1( ) ( )t t

IM IMI t e E tt

/( ) 1 1 ( )t tIM IMF t e W t



KRIVE RASPODELE ZA RAZLIČITE TIPOVE PROTICANJA

EKSPERIMENTALNO ODREĐIVANJE FUNKCIJA RASPODELE

• Funkcije F(t), Е(t), W(t) i I(t) se mogu odrediti direktno iz eksperimentata sa obeleženom supstancom – trejserom, eksperimenti tipa pobuda na ulazu – odziv na izlazu.

• Na ulazu u sistem se uvede promena obeležene supstance – OS (stepenasta, impulsna i dr.), na izlazu se detektuje konc. OS i na osnovu toga se određuje RVZ.

• Merenje signala na izlazu koji je proporcionalan sa koncentracijom OS, kao na pr.: kolorimetrija, kondukto-metrija, refraktometrija, spektrofotometrija, i dr...

• Idealan trejser – merljiv (detektabilan) pri jako velikom razblaženju, a ima iste karakteristike kao osnovni fluid.

• Primeri OS: radioaktivne čestice, elektroliti, obojeni fluid ili čestice.



EKSPERIMENTI SA OBELEŽENOM SUPSTANCOM (OS) – USLOVI

1. Sistem zatvoren – celokupna količina OS koja ulazi, izlazi iz sistema glavnim tokom fluida (nema disperzije kroz ulazne i izlazne površine).

2. Injekcija OS je paralelna sa tokom fluida.3. Sistem je u stacionarnom stanju, izuzev za konc. OS.4. Sistem je linearan, kriva odziva proporcionalna sa

injektovanom masom OS.5. Trejser je inertan i ponaša se skoro identično kao i

osnovni fluid.6. Kroz sistem protiče samo jedna faza, ako ima više faza

OS ne sme da prelazi iz jedne u drugu fazu.7. Sistem ima samo jedan ulaz i jedan izlaz (fizički).

EKSPERIMENTI SA OS – DOBIJANJE FUNKCIJA RASPODELE

• Stepenasta - F(t) i W(t)

gde su:C0 - konc. OS na ulazu, C - konc. OS na

izlazu, K - odnos količina osnovnog fluida i OS, Q - protok

• Impulsna - E(t) i I(t)

Određivanjenepoznatog

mT – masa protoka Qinjektove OS

( . ) ( . )( )

( )

el trejsera el osnovnog fluida iste RVZF t

svi elementi na izlazu

0 0

( )( )

(1 )

QC KQC C tF t

K QC C

(1 )( )

(1 )T T T

QCdt KQCdt QC K dtE t dt

m Km m K

( )T

QCE t

m

0

( )

TmQ

C t dt



INTERPRETACIJA ODZIVA –ODREĐIVANJE MODELA STRUJANJA

• Na osnovu dobijenih eksperimentalnih krivih raspodele vremena boravka i poznatih oblika krivih za idealna proticanja, formiraju se modeli realnog proticanja.

Model realnog proticanja u sudu

POSTUPAK ZA ODREĐIVANJE REALNIH MODELA PROTICANJA

1. Eksperimenti sa obeleženom supstancom: izbor trejsera, tipa eksperimenta i metode za određivanje; izvođenje i ponavljanje eksperimenata; određivanje E ili F krive

2. Analiza dobijenih krivih E ili F, uočavanje neidealnosti 3. Izbor pristupa (segmentni ili disperzioni) i modela (na pr.

kaskadni) i postavka modela4. Određivanje parametara modela na osnovu minimizacije

greške između eksperimentalne krive i krive po modelu (optimizacija)

5. Provera modela, eksperimentalna validacija6. Upotreba modela, integracija u materijalne i energentske

bilanse modela uredjaja (reaktora, separatora i dr.)



SEGMENTNI MODELI• Nastaju kombinovanjem osnovnih elemenata idealnog

proticanja – segmenata (mešanja, čistog kašnjenja, prespajanja toka...)

• Gradivni elementi se biraju na osnovu poređenja eksperimentalnih krivih raspodele i poznatih raspodela za osnovne elemente.

• U vremenskom domenu model za kretanje OS čine obične diferencijalne jednostavnije se rešavaju.

• Pogodni za opis proticanja koji je blizak idealnom mešanju.

• Za strujanje u dugačkim uređajima i značajnom disperzijom (odstupanjem od klipnog kretanja), model može da bude nedovoljno precizan pri određivanju parametara koji definišu disperziju.

PRIMER 2 – SUD SA MEŠANJEM, MRTVOM ZONOM I PRESPAJANJEM

Odstupanje od idealnog mešanja zbog prespajanja fluida (“kratak spoj”) i postojanja “mrtve” zapremine kroz koju ne protiče fluid.

Na osnovu eksperimenta i oblika F / E krive se postavlja dinamički model za idealno mešanje u zapremini V i prespajanje osnovnog toka protoka (1-)Q

(1- )V

V

Q

(1- )Q

Q



KASKADNI MODEL – 1 • Kaskada – veza istih sudova sa idealnim mešanjem u nizu.• Manji broj sudova – bliže proticanju sa potpunim

mešanjem (za 1 sud), veći broj sudova – bliže klipnom. • Jedan parametar modela: N – broj sudova u nizu.

N=1 za N

N=2

N=3

/( ) it tit E t e

/( ) / it ti it E t t t e

2 /( ) 1/ 2 / it ti it E t t t e

1

/1( )

( 1)!i

N

t ti

i

tt E t e

t N

i

tt

N

tNtNN

eN

N

t

ttEt /

1

)!1()(

KASKADNI MODEL – 2• Za bezdimenziono vreme:

Za F krivu:

1

( ) ( )( 1)!

i

i

Ni

iE t E t eN

1( )( ) ( ) ( )

( 1)!

NN

i

N NE Nt E t e

N

/i it t /t t i N

2

1

1 ...2!

1

...( 1)!

i

ii

Ni

F e

N

2

1

( )1 ...

2!1

( )...

( 1)!

NN

NN

F eN

N



DISPERZIONI MODELI• Nastaju postavljanjem kontinualnih funkcija proticanja

analognih Fick-ovom zakonu difuzije i/ili modelima međufaznog prenosa mase.

• Izbor oblika jednačine proticanja na osnovu oblika eksperimentalne krive raspodele zadržavanja.

• Jednačine realnog kretanja obeležene supstance su parcijalne diferencijalne jednačine teže se rešavaju.

• Pogodni za opis strujanja blizak klipnom, sa manjom aksijalnom disperzijom.

• Preciznije može da se odredi koeficijent disperzije u odnosnu na kaskadni model, jer se on ovde dobija na osnovu kontinulane funkcije.

• Nedostatak modela sa aksijalnom disperzijom – kroz graničnu ulaznu površinu predviđa povratan tok (mešanje) što nije realno.

MODEL AKSIJALNE DISPERZIJE (AD) –1

• Klipno proticanje sa uzdužnim mešanjem (disperzijom).• Opisuje se jednim parametrom – koeficijentom aksijalne

disperzije (D ), analognim sa koeficijentom difuzije.

• Materijalni bilans za OS:

• Granični i početni uslovi – Dankwerts:

2

2

C C CD u

x x t

0 00

Cx uC uC D

x

0

Cx L

x

0 0t C



MODEL AKSIJALNE DISPERZIJE – 2

• U bezdimenzionom obliku, ako je:

gde je bezdimenzioni broj suda = 1 / Pe

Pe – Peclet-ov broj klipno kretanje idealno mešanje

• Dankwersts-ovi granični uslovi u bezdimenzionom obliku:

/x L / /t t t u L 2

2

D C C C

uL

0D

PeuL

2

2

1 C C C

Pe

D

uL

0D

PeuL

0 0

10

CC C

Pe

1 0

C

0 0C

E() KRIVE ZA MODEL AD



MODEL AKSIJALNE DISPERZIJE I RAZMENE MASE (ADM)

• Izduženi rep E i F krive – postojanje stagnantnih zona fluida.• Klipni tok sa uzdužnim mešanjem u dinamičkoj zoni i

razmena mase fluida između dinamičke i stagnantne zone.• Materijalni bilans za OS za dinam. (Cd) i stagn. zonu (Cs):

gde je K volumetrijski koef. prenosa mase između zona, a udeo dinamičke zone u zapremini.

• Za dinam. zonu Dankwerts-ovi granični,a za statičku samo početni uslovi

2

2d d d

d d s

C C C KD u C C

t x x V

(1 )

sd s

C KC C

t V

MODEL ADM – BEZDIMENZIONI • Ako se uvedu smene:

model ADM u bezdimenzionom obliku:

Granični uslovi:

• Tri parametra: Pe – aksijalna disperzija, - brzina razmene mase između zona, - udeo dinamičke zone u ukupnoj zapremini.

/dPe u L D

/d dt u L /x L /K V

2

2

1d d dd s

d

c c cc c

Pe

(1 )

sd s

d

cc c

0 0

10 d

dd

cc c

Pe

1 0dc

0 0 0d d sc c

0/d dc C C

0/s sc C C



METODE ZA ODREĐIVANJE PARAMETARA – FUNKCIJE CILJA

• Određivanje parametara P modela realnih proticanja minimum funkcije cilja g, koja predstavlja razliku eksperimentalnih Eeks i izračunatih Erac krivih po modelu za optimalne vrednosti parametara P

• Postoji više metoda, za različite funkcija cilja:

- Metoda najmanjih kvadrata u vremenskom domenu:

- Metoda momenata:

- Metoda integralne kvadratne greške u kompleksnom domenu:

20

min ( ) ( , )P eks racE t E t P dt

0

( ) ( , ) 0neks racE t E t P t dt

20

min ( ) ( , )P eks racE s E s P ds

modelovanje-predavanje 10 - novoelektron.tmf.bg.ac.rs/mod/predavanja/modelovanje... ·...

Documents