LA DIVISION HARMONIQUELA DIVISION HARMONIQUE

LE NOMBRE LE NOMBRE D´ORD´OR

Gloria RuizGloria Ruiz Mª Sol MartínezMª Sol Martínez

2º C.A.L. FRANÇAIS2º C.A.L. FRANÇAIS

Combien de fois t'es-tu demandé … … À quoi me

servent les Mathématiques ?

• Bien maintenant tu verras, comment cette merveilleuse science est liée à ta vie quotidienne …

• Par le numéro le plus étonnant du monde

• Pendant longtemps, les artistes et les dessinateurs se sont demandé quelle est la plus parfaite et harmonieuse forme de diviser en deux parties un objet.

• Ils se sont aussi demandés quelle est la relation entre les mesures des parties qui constituent un objet pour que celui-ci soit beau.

• Nous pouvons diviser un objet par la moitié, ou en faisant qu'une partie soit le double de l'autre, ou de telle manière qu'une partie soit le triple de l'autre, ... avec un objectif déterminé, nous pouvons faire tout partage ou division d'un objet.

• Dans l'antiquité classique, le grec Platón a observé une forme de diviser un segment de forme harmonique et agréable à la vue, qu´il a appelé La Section.

• Après, un autre grec, Euclides, a trouvé géométriquement la forme de diviser en deux parties un segment de forme harmonique et agréable à la vue.

• Le segment divisé ,il l'a appelésection d´Or

Euclides

Voyons le partage d'un segment de forme harmonique, comme il l'a rendu Euclides :

Ici nous avons un segment AB qui a été divisé en deux parties : la partie AC et la partie CB (nous supposons qu'AC> CB)

Eculides a découvert qu'un segment est divisé en deux parties d'une forme harmonique ou agréable à la vue chaque fois qu´ on accomplit que : la raison entre le segment et la plus grande partie est égale à la raison entre la plus grande partie et le mineur c'est-à-dire

CB

AC

AC

AB =

Cette façon de diviser un segment a constitué la base sur laquelle s´est fondé l´art et l´architecture des grecs

Le Partenón, temple des dieux grecs

Déterminons la valeur de la Division Harmonique

• Toute raison est une comparaison de deux grandeurs grâce à son quotient

• Par conséquent nous pouvons trouver le quotient ou la valeur qui dérive de leurs divisions

• Nous déterminons la valeur de la Division Harmonique grâce à l'Algèbre (Quand on résout une équation)

• Nous avons un segment AB, n'importe lequel, avec AC = a, CB = b, AB = a + b. Où CB est le segment moindre.

• Le segment doit être divisé dans la Division Harmonique, par conséquent il doit donner:

b

a

a

ba =+

Pour le Théorème Fondamental des proportions (en multipliant croisé), on reste,

b

a

a

ba =+

aabba ⋅=⋅+ )(

22 abba =+⋅

en multipliant et réduisant ,

Nous résolvons cette équation

022 =−⋅+ abab

2

)(14 22 aaab

−⋅⋅−±−=

2

)41(2 +±−=

aab

2

52aab

±−=

2

)51( ±−=ab

2

)51( ±−=a

b

)51(

2

±−=

b

a

nous avons deux solutions)51(

2

+−=

b

a

ou

)51(

2

−−=

b

a)51(

2

±−=

b

a

Nous choisissons la valeur positive de la Raison puis les distances négatives n´existent pas.

Le numéro est approximativement 2,236067… donc

...1,618033..)51(

2 ≈+−

=b

a

Cette valeur trouvée par la Division Harmonique s´appelle φ(on écrit Phi et on prononce Fi)On l´a ainsi nommée en honneur à Fidias, l'architecte grec qui a construit le Partenón en utilisant la Division Harmonique

5

Le Frère petit• Nous avons vu que, si nous déterminons la

raison entre le côté le plus grand “b” et le moindre “a” nous obtenons le numéro d´or Phi. Alors, il est aussi possible de faire l´inverse: déterminer la raison qui existe entre le moindre et le plus grand:

a

b

• Cette valeur est appellée phi (dans des minuscules), et c´est l´inverse du numéro d´or.

• Malgré tout, la seule chose qui différencie les deux numéros c´est la partie entier: Phi est 1,618... et phi est 0,618...

• Le reste des décimales sont les mêmes!• Phi est le seul numéro réel qui vérifie cette

caractéristique, outre d´autres très intéressants.

Maintenant, nous allons voir quelques exemples.

Où trouvons-nous la Division Harmonique?

La raison entre la distance du nombril aux pieds

et la distance de la tête au nombril est φ,

ainsi qu'aussi la raison entre la hauteur d'un homme

et la distance du nombril aux pieds

L'Homme de Vitrubio- Leonardo Da Vinci-

• Nous pouvons aussi l´observer dans le corps et le visage d´une belle femme…

φ≈≈= 6908,14,96

163

... piedsauxnombrildist

hauteur φ≈≈= 6666,112

20

...

.

yeuxauxmentondist

visagelongueur

φ≈≈= 625,14

5,6

....

...

bouchelaàmentondist

nezaumentondist

•ALORS, NOUS ALLONS VOIR LE RECTANGLE D´OR, LE SPIRALE MIRABILIS ET AUSSI LA SUCCESION DE FIBONACCI, ET QUELQUES EXEMPLES OÙ ILS SONT TROUVÉS

Rectangle d´Or

• Un Rectangle d´Or est simplement celui où la raison entre le côté plus grande et le moindre est φ

a

b

φ=b

a

La Spirale Mirabilis (Merveilleuse) ou Spirale d´Or

• C´est une courbe qui surgit en dessinant des arcs de circonférence dans l´intérieur des carrés successifs qui s´obtiennent en construisant des rectangles d´Or successifs.

Où pouvons nous trouver les Rectangles d´Or?

Généralement, les cartes de crédit,les cartes d´identité et les permis scolaires ont une forme de rectangle d´or, c´est-à-dire, la raison entre leur côté le plus grand et le moindre est φ

Dans la vie quotidienne:

Les téléviseurs de large écran, les cartes postales et les photographies ressemblent aussi les rectangles dór

La Gioconda-Leonardo Da Vinci-

Section d´Or-Piet Mondrian-

Dans l´artDans l´art

Dans les oeuvres de beaucoup d´autres artistes de la Renaissance les relations d´Or ont été trouvées.

Sir Theodore Cook (s XIX) a décrit une échelle simple de divisions d'or

applicables à la figure humaine, qu´il réunit

d'une façon surprenante tout comme dans les oeuvres de quelques

peintres, comme Boticelli.

La Naissance de Vénus-Boticelli-

Le Parthénon Pour les grecs, la Raison d´Or constituaient la base du dessin

de monuments et constructions en honneur de ses dieux.

Le Parthénon, temple desDieux grecs

Sur la façade du Parthénon on peut inscrire un rectangle d'or

Dans Monuments:

Où trouverons nous la Spirale Mirabilis?

Dans l´Art:

" « Une semi tasse géante en faisant sauter avec une annexe inexplicable de

cinq mètres de longueur" - Salvador Dalí-

Observez comme la spirale d´Or s´ajuste aux éléments importants de la

peinture

Dans la Nature:

La coquille du cefalopode marin Nautilus

Nous allons voir, maintenant, une Nous allons voir, maintenant, une série surprenantesérie surprenante

… … C´est la série de Fibonacci…C´est la série de Fibonacci…

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

A partir des deux premiers numéros, 1 et 1, le suivant est obtenu en ajoutant les deux précédentes

L´histoire de comment Fibonanacci essayait d´expliquer et comment il arrivait à la série, il l´a fait observant des lapins…

Si vous enfermez un couple de lapins au bout d´un mois ils auront un lapin qui à partir du mois suivante aura aussi des lapins tous les mois,et il voulait savoir combien de lapins il y en avait par an, par ainsi dire. Voila, c´est comme ça qu´on a obtenu la séquence de 1, 1, 2, 3, 5, etc., sur laquelle chaque numéro, en commençant par le troisième équivaut à l´addition des deux numéros précédents.

  Les raisons entre eux sontLes raisons entre eux sont::

;....34

55;

21

34;

13

21;

8

13;

5

8;

3

5;

2

3;

1

2;

1

1

Et ces raisons s´approchent de plus en plus du numéro d´or, 1,61803…

Bien, ce qui était une curiosité Bien, ce qui était une curiosité surprenantesurprenante …  … 

… Ce critère aussi… apparaît dans beaucoup....... Beaucoup..... de lieux!

Par exemple, comme la disposition des feuilles Par exemple, comme la disposition des feuilles des plantesdes plantes. .

Les propriétés qui pressentent une symétrie de pentamère ont toujours la section d´Or. Par exemple, dans la cas des plantes, ils ont besoin de capturer la lumière, la pluie, etcetera. Il faut trouver l´angle qui profite de l´espace avec une plus grande efficacité. Et il en ressort que cet angle est relatif à la proportion d´or, parce que c´est seulement ainsi que la feuille survit…

21 Spirales

34 Spirales

55 Spirales

Dans les marguerites… Dans les Roses…et Dans les marguerites… Dans les Roses…et encore beaucoup de fleurs … même dans lencore beaucoup de fleurs … même dans l

´artichaut´artichaut

La même chose se passe … leurs pétales ont toujours un numéro de Fibonacci…

……Et… les plantes ne savent Et… les plantes ne savent que les mathématiques, que les mathématiques,

…tu sais…tu sais????

Elles ont besoin de survivre.

•En plus de musicien, Mozart était un mathématicien authentique, il possédait une facilité incroyable pour manier des concepts abstraits mathématiques de forme inconsciente, de fait, une bonne partie de son oeuvre a été étudiée en trouvant des relations avec le numéro d´or, Phi

La musique que nous ecoutons est de lui.

Parlons de la musiqueParlons de la musique

Comme tu peux voir, nous pouvons parler longtemps de la Proportion d´Or… Divine… Mathématique.

Nous utilisons les mathématiques pour expliquer l´univers; nous nous servons de formules mathématiques. D´une certaine manière, c'était un mystère que plusieurs se sont posés le long des siècles. Depuis Galilé à Eugene Wigner, tous se demandaient : pourquoi ont-elles tant de force les mathématiques, car, si nous voulons expliquer l'univers, si nous voulons expliquer la nature, la sociologie, la musique, l'art, la photographie, le cinéma, les fossiles … etc., etc. … nous utilisons pour cela les mathématiques? C´est une question très compliquée.

Nous ne pouvons que dire ...!!!

Les Mathématiques: Les Mathématiques: une Merveilleune Merveille! !