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Modélisation des moteurs à aimant permanentavec saturation magnétique

Al-Kassem Jebai 1 Philippe Martin1 Pierre Rouchon1

François Malrait2

1Mines ParisTechCentre Automatique et Systè[email protected]

2Schneider Toshiba Inverter [email protected]

23 juin 2011

Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 1 / 22

Plan

1 Modèle linéaire

2 Modèle de saturation


Introduction

Moteur synchrone à aimant permanant MSAP - PMSM.Variation de vitesse.Contrôle sans capteur de position à basse vitesse.Problème d’observabilité autour de vitesse nulle.Estimation de position par l’ajout des signaux hautes fréquences.Saturation magnétique et contrôle du moteur à basse vitesse.Modèle paramétrique de saturation avec validation expérimentale.


1 Modèle linéaire



Principe de fonctionnement du PMSM


Equations du PMSM dans le repère fixe (α, β)

Changement de repère : ia + ib + ic = 0

[ iα iβ ] = C[ ia ib ic ]

Courant et flux complex

i = iα + iβ, φ = 12(Ld + Lq)i − 1

2(Lq − Ld )i∗e2θ + ϕmeθ

Equations dynamiques

dφdt

= u − Ri

Jnp

dωdt

= np= (φ∗i)− τL

dθdt

= ω,


Equations du PMSM dans le repère du rotor (d ,q)

[ id iq ] = R(θ)[ iα iβ ]

φd = Ld id , φq = Lq iq

Equations dynamiques

Lddiddt

= ud − Rid + ωLq iq

Lqdiqdt

= uq − Riq − ωLd id − ωϕm

Jnp

dωdt

= np

(ϕmiq − (Lq − Ld )id iq

)− τL

dθdt

= ω

drotor

bq

a

w

q

repère fixe

Pas d’observabilité autour de ω = 0 au premier ordre dans lerepère (α, β).


Injection d’une tension haute fréquence

Ajout d’une tension haute fréquence dans le repère (α, β)

u = u + uf (Ωt).

u est la tension de commande du moteur.u est l’amplitude de la tension HF.f (Ωt) est un signal HF rectangulaire de moyenne nulle où Ω R

Ld.

Ainsi, d’après l’équation de tension :

dφdt

= u + uf (Ωt)− Ri

Le flux totale φ est la somme des deux composantes

φ = φ+ φ.


Expression du flux haute fréquence

La moyennisation de second ordre permet de séparer la partiehaute fréquence et la partie basse fréquence d’un signal.Ce qui permet d’établir

dφdt

= u − Ri

d φdt

= uf (Ωt)

Finalement, le flux s’écrit par

φ = φ+ uΩF (Ωt) +O( 1

Ω2 )

F est l’intégral de f , elle est triangulaire et de moyenne nulle.


Estimation de position par les tensions HF

A partir de la relation courant-flux

φ = 12(Ld + Lq)i − 1

2(Lq − Ld )i∗e2θ + ϕmeθ,

on établit quei = i + iF (Ωt) +O( 1

Ω2 )

Amplitudes des courants

iα = u2ΩLd Lq

(Lq + Ld + (Lq − Ld ) cos 2θ

)

iβ = u2ΩLd Lq

(Lq − Ld ) sin 2θ

où i = iα + iβ .

L’information de position est multipliée par (Lq − Ld ).

Ld et Lq ne sont pas constantes à cause de la saturation magnétique.


1 Modèle linéaire



Modèle générale du PMSM dans (d ,q)

Equations de tension

dφd

dt= ud − Rid + ωφq

dφq

dt= uq − Riq − ω(φd + ϕm)

Les courants s’expriment d’une façon non linéaire

id = Id (φd , φq)

iq = Iq(φd , φq)

Les fonctions Id et Iq doivent respecter l’égalité suivante

∂Id

∂φq=∂Iq

∂φd


Principe énergétique

Énergie magnétiqueSoit H(φd , φq) l’énergie magnétique total du moteur

id =∂H∂φd

(φd , φq), iq =∂H∂φq

(φd , φq).

Cas linéaire

Hl(φd , φq) = 12Ld

φ2d + 1

2Lqφ2

q

id =∂H∂φd

(φd , φq) =φd

Ld

iq =∂H∂φq

(φd , φq) =φq

Lq


Modèle de saturation

Énergie avec saturation : développement limitée à l’ordre 4

H(φd , φq) = Hl(φd , φq) +3∑

i=0

α3−i,iφ3−id φi

q +4∑

i=0


q.

C’est un modèle paramétrique de perturbation avec des termesd’ordre supérieur qui corrigent le terme dominant Hl .

On peut le simplifier grâce à une symétrie par rapport à l’axe d

H(φd ,−φq) = H(φd , φq)

Énergie magnétique avec 5 paramètres

H(φd , φq) = 12Ld

φ2d + 1

2Lqφ2

q

+α3,0φ3d +α1,2φdφ

2q+α4,0φ

4d +α2,2φ

2dφ

2q+α0,4φ

4q.

d

q


Modèle de saturation

Énergie avec saturation : développement limitée à l’ordre 4

H(φd , φq) = Hl(φd , φq) +3∑

i=0


q +4∑

i=0


q.

C’est un modèle paramétrique de perturbation avec des termesd’ordre supérieur qui corrigent le terme dominant Hl .On peut le simplifier grâce à une symétrie par rapport à l’axe d

H(φd ,−φq) = H(φd , φq)

Énergie magnétique avec 5 paramètres

H(φd , φq) = 12Ld

φ2d + 1

2Lqφ2

q

+α3,0φ3d +α1,2φdφ

2q+α4,0φ

4d +α2,2φ

2dφ

2q+α0,4φ

4q.

d

q


Expressions des courant

id =∂H∂φd

(φd , φq) = φdLd

+ 3α3,0φ2d + α1,2φ

2q + 4α4,0φ

3d + 2α2,2φdφ

2q

iq =∂H∂φq

(φd , φq) =φqLq

+ 2α1,2φdφq + 2α2,2φ2dφq + 4α0,4φ

3q

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Flux

Ene

rgie

mag

nétiq

ue to

tale

LinéaireSaturé

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−300

−200

−100

0

100

200

300

iq in A

φqin

mW

b

id=−1

id=0

id=1.5

id=2.5


Principe d’estimation des paramètres de saturation (1)

Tensions rectangulaires hautes fréquences à rotor bloqué

ud (t) = ud + ud f (Ωt), uq(t) = uq + uqf (Ωt),

Les flux correspondants sont (moyennisation second ordre)

φd = φd + udΩ F (Ωt) +O( 1

Ω2 ), φq = φq +uqΩ F (Ωt) +O( 1

Ω2 )

Le courant de l’axe d devient

id = Id (φd , φq) = Id

(φd + ud

Ω F (Ωt)+O( 1Ω2 ), φq +

uqΩ F (Ωt)+O( 1

Ω2 ))

Développement à l’ordre 2 en 1Ω

id = id + idF (Ωt) = id +F (Ωt)

Ω

(ud

Ld+ 6α3,0φd ud + 2α1,2φquq

+ 12α4,0φ2d ud + 2α2,2(2φdφquq + φ

2qud )

)+O( 1

Ω2 )


Principe d’estimation des paramètres de saturation (2)

Amplitude du courant de l’axe d

id =1Ω

(ud

Ld+6α3,0φd ud +2α1,2φq uq+12α4,0φ

2d ud +2α2,2(2φdφq uq+φ

2q ud )

)

La relation flux-courant en première ordre en αi,j

φd = Ld id +O(|αi,j |), φq = Lq iq +O(|αi,j |)

Amplitudes des courants en fonction des paramètres de saturation

id =1Ω

(udLd

+ 2α2,2Lq iq(2Ld id uq + Lq iq ud ) + 12α4,0L2d i

2d ud

+ 6α3,0Ld id ud + 2α1,2Lq iq uq

)

iq =1Ω

(uqLq

+ 2α2,2Ld id (2Lq iq ud + Ld id uq) + 12α0,4L2q i

2q uq

+ 2α1,2(Ld id uq + Lq iq ud ))


Procédure d’estimation par moindre carré linéaire

Estimation des inductances : id = iq = 0, ud 6= 0 et uq 6= 0

Ld = 1Ω

ud

id, Lq = 1

Ω

uq

iq

Estimation des α3,0 et α4,0 : id 6= 0, iq = 0, ud 6= 0 et uq = 0

id = udΩ

(1Ld

+ 6α3,0Ld id + 12α4,0L2d i

2d

)

Estimation des α1,2 et α2,2 : id = 0, iq 6= 0, ud 6= 0 et uq = 0

id = udΩ

(1Ld

+ 2α2,2L2q i

2q

), iq = 2ud

Ω α1,2Lq iq

Estimation de α0,4 : id = 0, iq 6= 0, ud = 0 et uq 6= 0

iq =uqΩ

(1Lq

+ 12α0,4L2q i

2q

).


Résultats expérimentaux - estimation

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10200

300

400

500

600

700

800

id in A

i din

mA

Measured valueEstimated value

−6 −4 −2 0 2 4 6−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

iq in A

i qin

mA



Résultats expérimentaux - validation

0 1 2 3 4 5400

450

500

550

600

|i| in A

i din

mA


0 1 2 3 4 5−20

0

20

40

60

80

100

|i| in A

i qin

mA


ud = 12 u et uq =

√3

2 u

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Time in s

i d in in

A

Measured valueSimulation value with saturationSimulation value without saturation

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3250

300

350

400

450

500

550

id in A

φdin

mW

b

Measured fluxEstimated flux with saturation modelLinear flux

Echelons de tension


Ouverture sur le moteur asynchrone

Pas de saillance géométrique (Ld = Lq).

Estimation de la position du flux par la saillance magnétique.

Modélisation de cette saillance magnétique par une fonction d’énergie.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180200

400

600

800

1000

1200

1400

θ in degre

I d in m

A

i=1i=1.5i=2.8i=4i=0


Conclusion

Modèle paramétrique de saturation des moteurs PMSM basée sur unefonction d’énergie.

Estimation des paramètres du modèle par l’injection des tensions hautesfréquences.

Validation expérimentale sur un moteur synchrone.

Verification par échelon de tension.

Le but est d’utiliser ce modèle pour trouver une méthode robusted’estimation de la position à basse vitesse.

On poursuit le travail sur le moteur asynchrone qui n’a pas de saillancegéométrique.


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