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13 décembre 2011, Belfort

Modélisation par éléments finis d'un système asymétrique

de type plaque avec des patchs piézoélectriques

H.Hariri Laboratoire de Génie Electrique de Paris (LGEP) / SPEE-Labs, CNRS UMR 8507; SUPELEC;

Université Pierre et Marie Curie P6; Université Paris-Sud 11; 11 rue Joliot Curie, Plateau de Moulon F91192 Gif sur Yvette CEDEX

Résumé

Le système étudié dans le présent document est une structure constituée d’une plaque encastrée à une extrémité munie de plusieurs patches piézoélectriques collés sur une même face. Les patches sont utilisés comme des actionneurs et de capteurs à la fois. Considérant l'hypothèse de Love-Kirchhoff, les relations linéaires constitutives, la formulation de contrainte plane et le principe d’Hamilton, nous avons développé un modèle élément fini 2D de la structure. L’objectif du travail présenté est de valider expérimentalement le modèle élément fini. L'amortissement structural est inclus dans le modèle élément fini pour tenir compte des pertes mécaniques. L’originalité du travail réside dans l’utilisation de la notion du plan neutre pour modéliser ce système asymétrique, ce qu’il le rend le premier article qui traite ce genre de problème dans la littérature. Cette technique permet de gagner du temps de calcul. Mots-clés : système asymétrique, matériaux piézoélectriques, Love-Kirchhoff, contrainte plane, plan neutre.

1. Introduction Les structures de type plaque contenant des matériaux piézoélectriques sont très utilisées pour le contrôle de vibrations de la plaque [1,2] ainsi que pour la détection de dommages dans la plaque [3,4]. Deux approches sont utilisées pour modéliser par éléments finis une telle structure. L’approche 3D où on utilise des éléments volumiques, ou l’approche 2D où on utilise des éléments surfaciques en introduisant le troisième paramètre géométrique dans la formulation des équations du modèle. Il est évident que la deuxième approche est plus rapide mais un peu plus compliquée au niveau de la formulation du modèle. L’approche 2D est aussi plus difficile pour une structure asymétrique qu’une structure symétrique car le plan neutre de la structure n’est pas confondu avec son plan milieu. Plusieurs articles de la littérature sont consacrés à la modélisation en 2D par éléments finis de systèmes de type plaque avec des patchs piézoélectriques. Cependant, classiquement, la symétrie du système est conservée lors de la disposition des patchs [1,5-9], ce qu’il permet de simplifier les équations et prendre le plan neutre comme étant le plan milieu du système. La modélisation en 2D des systèmes asymétriques est étudiée dans la littérature en supposant que l’épaisseur des patches piézoélectriques est petite devant l’épaisseur de la plaque [10], en conséquence, le plan neutre est supposé être à la mi-surface de la plaque. D’où la nécessité de traiter le cas des systèmes asymétriques où les patches piézoélectriques sont collés sur la même face de la plaque sans négligés l’épaisseur des patches devant celle de la plaque. Ainsi tous les logiciels commerciaux utilisent l’approche 3D pour simuler une structure asymétrique et ces logiciels sont souvent utilisés pour explorer les données de simulation et mettre en œuvre une application donnée [2,11]. Cet article sera donc le premier dans la littérature qui calcul le plan neutre pour un tel système. La considération du plan milieu confondu avec le plan neutre dans des systèmes asymétriques idem l’épaisseur de patches est petite devant celle de la plaque, elle nous ne permet pas de varier l’épaisseur des patches et d’étudier l’épaisseur optimale. L’épaisseur de patches piézoélectriques qui donne un maximal déplacement de la plaque est

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considérée comme étant l’épaisseur optimale et qu’elle était recherché dans l’article en se basant dans l’analyse sur de principe physique de la rigidité et du moment de flexion de système. L’objectif de notre étude est de développer un modèle élément fini 2D permettant de modéliser des systèmes asymétriques de type plaque avec de patchs piézoélectriques collés sur une même face, en utilsant la notion du plan neutre idem sans négliger l’épaisseur de patches devant celui de la plaque et de le valider expérimentalement. Deux cas seront traités, le premier cas est le cas dit ‘’actionneur-capteur’’ où quelques patches sont utilisés en capteurs et les autres en actionneurs, le deuxième cas est dit ‘’actionneur-actionneur’’, où tous les patches sont utilisés en actionneurs. Dans cet article, on va présenter le dispositif étudié. Dans la deuxième partie, on présentera les hypothèses du modèle et la mise en équation utilisant le principe d’Hamilton. On présentera ensuite le modèle en utilisant la méthode des éléments finis et en traitant les deux cas déjà mentionnés. Dans la quatrième partie, on présentera la validation du modèle en comparant les résultats du modèle avec des résultats expérimentaux. La comparaison se fera sur les fréquences de résonnance, ainsi que sur la déformation du système sous l’action d’une tension appliquée aux patchs piézoélectriques.

2. Présentation du dispositif étudié Le dispositif étudié est représenté sur la figure 1. Il est constitué d’une plaque en aluminium encastrée à une extrémité, l’autre étant laissée libre. Deux patches de céramique PZT sont collés sur une face de la plaque et ils sont polarisés suivant l’axe z. Compte tenu de la géométrie du système où l’épaisseur est très petit devant les deux autres dimensions, La contrainte suivant l’axe z est négligée, et donc la formulation de contrainte plane est adopté.

Figure 1 : dispositif d’étude

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3. Mise en équations

L'équation du système est établie d'après les hypothèses de Love Kirchhoff. La contrainte est supposée plane dans les directions x et y. Avec l’hypothèse des petites déformations (déformation moins qu’un cinquième de l’épaisseur), la section droite reste perpendiculaire au plan neutre après déformation (figure 2). Le champ électrique est supposé être uniformément réparti dans la direction z. Ainsi, le champ de déplacement devient

{u} = (1)

Où est le déplacement suivant z du plan neutre du système. Le plan neutre peut être déterminé en annulant la somme de toutes les forces dans les directions x et y sur la totalité de la section droite, ici est calculée à partir du bas du système selon le système de coordonnées prises dans la figure 3, et donc

= 0 (2)

= 0 (3) Où et représentent respectivement la contrainte dans la direction de x et y. Elles sont obtenues en utilisant les conditions linéaires élastiques des matériaux et la formulation de contrainte plane. Pour les composants minces les contraintes ‘’dans-plan’’ sont beaucoup plus élevés que celles ‘’hors-plan’’. Il est commode d'assumer les contraintes ‘’hors-plan’’ égal à zéro. C'est ce qu'on appelle une formulation de contrainte plane.

Figure 2 : Cinématique de la déformation d'une plaque de Love-Kirchhoff

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Figure 3 : description du plan neutre

Selon les conditions linéaires élastiques des matériaux et la formulation de contrainte plane on peut écrire :

= =

(4)

=

(5)

Avec = = (6)

Neutral plane

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Où , , , , et sont les contraintes axiales suivant x et y et les contraintes de cisaillements dans le plan (x, y ) pour la couche élastique l’aluminium et les patches piézoélectrique respectivement. et sont le module de Young et le coefficient de Poisson pour la couche élastique. , et sont les déformations axiales suivant x, y et la déformation de cisaillement dans le plan (x, y). , et sont les compilances élastiques et le coefficient piézoélectrique pour les patches piézoélectriques. Propriétés et paramètres géométriques pour le PZT et la couche d’aluminium sont présentés au tableau 1. En intégrant successivement les équations (2) et (3), on obtient :

+

= 0 (7)

+

= 0 (8)

Les équations (7) et (8) donnent :

= (9) Et après simplification, le plan neutre est

(10) En appliquant le principe d’Hamilton tel que décrit dans [12], on obtient l’équation variationnelle qui représente la partie mécanique et piézoélectrique du système.

{ }- { } + [e]t {E} + [e]{ } + [ ]{E}+ { })dV + tp{ E}Q = 0 (11)

Tableau 1 : propriétés et géométries du système

PZT Aluminium Young’s modulus (Pa) / Em = 69 109 Poison’s ratio / = 0.33 Volume density (Kg.m-3) = 7900 = 2700 Relative permittivity = 1282 / Piezoelectric constant (m.V-1) d31 = - 1.3 10-10 / Elastic compliances (Pa-1) S11 = 1.3 10-11 / S12 = -4.76 10-12 / Max peak to peak electric field(V.mm-1) Emax = 300 / Max compressive strength (Pa) = 600 106 / Length width thickness (mm3) 32 17 0.27 100 60 0.5

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4. Modèle éléments finis en 2D Dans une formulation par éléments finis, les inconnues sont les valeurs de la solution aux nœuds du maillage et le champ de déplacement {u} est lié aux valeurs du nœud correspondant {ui} par la moyenne des fonctions d’interpolation. Les fonctions Lagrangiennes ne sont pas utilisées dans ce problème parce que la solution w(x, y, t) doit être C1-continue tandis que Lagrange n’assure qu’une continuité-C0. Le choix des éléments d’Hermite vérifie cette condition. Ainsi, avec les éléments d’Hermite, la solution {u} qui dépend seulement de w(x, y, t) dans ce cas s’écrit de la façon suivante sur un triangle i : W(x, y, t) = [ ]{ui} (12)

Où [ ] = [ ] sont les fonctions d’interpolations [13] et {ui} = sont les

inconnues sur le triangle i. Intégrant l’équation (11) sur la totalité du volume du système, on obtient une équation qui décrit le système par des intégrales surfacique suivant x et y. Intégrer cette équation dans le plan (x, y) du système revient à intégrer sur chaque triangle et à en faire la somme. Les conditions aux limites sont prises en compte lors de l'assemblage des matrices et l’équation numérique s’écrit alors sous la forme suivante

+ + = (13)

Où [M] est la matrice de masse, [K] celle de rigidité. Il doit être noté que la formulation variationnelle ne prend pas en compte l'amortissement mécanique du système. Ce phénomène est ajouté dans l'équation globale du système avec une matrice d’amortissement [C]. , , et sont les champs électriques et les charges électriques pour les deux patches piézoélectriques. Fi sont les forces ponctuelles sur chaque nœud.

4.1. Actionneur-capteur

Le premier cas traité est le cas actionneur-capteur où le patche actionneur se déforme sous l’effet d’un champ électrique et le patche capteur se comporte comme un circuit ouvert ( ). Prenant le cas où deux patches piézoélectriques sont collés sur la plaque. L’équation numérique sera

+ +

=

(15)

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4.2. Actionneur- actionneur

Dans ce cas le modèle du système de deux patches piézoélectriques collés sur la même face de la plaque est régi par l’équation suivante

+ +

=

(16)

5. Validation du modèle La matrice d’amortissement [C] est déterminée expérimentalement [14]. L’amortissement de Rayleigh est considéré comme une voie classique pour modéliser l'amortissement de la structure. Il utilise l'hypothèse que la matrice d'amortissement est proportionnelle à une combinaison linéaire de la matrice de masse et de celle de rigidité [15-16]. On commence le processus de validation du modèle par une comparaison des fréquences de résonnance du modèle avec celles du dispositif expérimental.

5.1. Comparaison des fréquences de résonnances

En court-circuit, la tension est nulle. Dans le cas d’un circuit ouvert, c’est la charge qui est nulle. Les fréquences de résonnances et les modes des déformations du système dans le cas où les deux électrodes des patches piézoélectriques sont court-circuitées ( ) sont données par : ([ – [M]){U} = 0 (17) La figure 4, présente les quinze premières fréquences de résonnance déterminées expérimentalement et par une modélisation par éléments finis. La figure montre un bon accord entre le modèle et les mesures expérimentales. Les modes des résonnances sont donnés par la figure 5.

Figure 4: comparaison des fréquences de résonnances en Hz

Mode FE code (2D) Expérimentale 1 50.28 43.5 2 202.02 190 3 303.32 271 4 664.2 629 5 841.1 905 6 1060.4 951 7 1105.9 1132 8 1214 1332 9 1374.8 1676

10 1807.1 1855 11 2041.1 1952 12 2587.7 2122 13 2626.1 2602 14 2823.5 2750 15 3095.5 2817

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First bending mode : mode order (1) First twisting mode : mode order (2)

2nd bending mode : mode order (3) 2nd twisting mode : mode order (4)

Figure 5 : Modes propres du système

5.2. Comparaison des déplacements

On traite ici le cas capteur-actionneur où l’actionneur est alimenté par une tension sinusoïdale

d’amplitude 20 V, et de fréquence égale successivement à la première, deuxième et quatrième

fréquence de résonnance du système. Des mesures de déplacements suivant l’axe z effectuées sur une

partie du dispositif (figure 6) sont comparées avec les résultats du modèle donné par l’équation

suivante :

= (18)

La figure 7, montre une comparaison des déplacements entre les mesures expérimentales et les

résultats de simulation.

Width (m)

Length (m) Length (m)

Width (m)

eigen vectors

eigen vectors

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Figure 6 : Points des mesures expérimentaux

Figure 7 : Comparaison des déplacements

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6. Conclusions et perspectives Dans le présent article, on a développé pour la première fois une modélisation par éléments finis pour un système asymétrique de type plaque avec de patchs piézoélectriques collés sur une face. L’utilisation de la notion du plan neutre dans notre système asymétrique nous permet de le modéliser en deux dimensions en tenant compte de la troisième dimension dans le calcul. Cela permet de gagner du temps de calcul en regard d’une simulation tridimensionnelle. L’utilité d’un tel modèle est de nous permettre d’optimiser l’épaisseur des patches piézoélectriques puisqu’on ne le néglige pas en considérant une modélisation 2D d’une part et d’autre part en considérant une modélisation tridimensionnelle, d’une façon beaucoup plus rapide. Aussi, le modèle nous permet d’optimiser au niveau de la position des patches selon les applications. Des techniques d’amortissements particulières peuvent être appliquées au modèle développé en connectant de circuits électriques au système [12]. Ce système peut être utilisé pour détecter l’endommagement sur la plaque ou pour diminuer les vibrations inutiles. Références [1] M. Y. Yasin, N. Ahmad, M.N. Alam, ’’Finite element analysis of actively controlled smart plate with patched actuators and sensors’’, Latin American Journal of Solids and Structures, Vol 7, No 3, pp. 227-247, 2010. [2] J. Becker, O. Fein, M. Maess, L. Gaul, ‘’Finite element-based analysis of shunted piezoelectric structures for vibration damping’’, Journal of Computers & Structures,Vol 84, Issues 31-32, pp. 2340-2350, 2006. [3] Y.J. Yan, L.H. Yam, ’’Online detection of crack damage in composite plates using embedded piezoelectric actuators/sensors and wavelet analysis’’, Journal of Composite Structures, Vol 58, Issue 1, pp. 29-38, 2002. [4] G.M. Qu, Y.Y. Li, L. Cheng, B. Wang, ‘’analysis of a piezoelectric composite plate with cracks’’, Journal of composite structures, vol. 72, no1, pp. 111-118, 2006. [5] G.R. Liu,’’Vibration control simulation of laminated composite plates with integrated piezoelectrics’’, Journal of sound and vibration, Vol 220, Issue 5, pp. 827-846, 1999. [6] G. L. C. M. de Abreu; J. F. Ribeiro; V. Steffen, Jr.,’’Finite element modeling of a plate with localized piezoelectric sensors and actuators’’, Journal of Brazilian society of mechanical sciences and engineering, Vol.26, no.2, 2004. [7] S. Y. Wang, ‘’Dynamic stability analysis of finite element modeling of piezoelectric composite plates’’, International Journal of Solids and Structures, Vol.41, Issue: 3-4, pp: 745-764, 2003. [8] R. Corcolle, F. Bouillault, Y. Bernard, ’’Modeling of a plate with piezoelectric patches: Damping application’’, Computation of Electromagnetic Fields (COMPUMAG), vol. 44, no.6 , pp. 798- 801, 2008. [9] N. Jalili,’’ Piezoelectric-Based Vibration Control, From Macro to Micro-Nano Scale Systems’’, Springer 2009. [10] M. tawfik, ‘’ vibration control of plates using periodically distributed shunted piezoelectric patches’’ thesis 2005. [11] S. Tliba, H.A. KANDIL, ’’Modélisation et contrôle actif des vibrations d’une structure intelligente’’, Actes du septième Colloque National en Calcul des Structures, Giens (Var), 2005. [12] H. Hariri, Y. Bernard, A. Razek,’’ Finite element model of a beam structure with piezoelectric, patches using RL shunt circuits’’, AC2011, 14th International Conference on active systems for dynamics markets, Darmstadt, Germany, pp.124-131, 07–08 septembre 2011. [13] G. Dhatt, G. Touzot, E. Lefrançois, ‘’ Méthode des elements finis’’, Lavoisier, 2005. [14] S.O. Reza Moheimani and Andrew J. Fleming, ‘’ Piezoelectric Transducers for Vibration Control and Damping’’, Springer 2006. [15] M. Liu, D.G. Gorman, “Formulation of Rayleigh damping and its extensions”, Journal of computers and structures, Vol.57, Issue 2, pp. 277-285,1995. [16] L.Pons, H.Rodríguez, E.Rocon, J.F. Fernández, M. Villegas, “Practical consideration of shear strain correction factor and Rayleigh damping in models of piezoelectric transducers”, Journal of Sensors and Actuators A 115, pp. 202–208, 2004.