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Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur – Champs-sur-Marne 2018

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Modélisation tridimensionnelle des rideaux de palplanches par la méthode des coefficients de

réaction MISS-CR-PLQ THREE DIMNENSIONNAL ANALYSIS OF SHEET PILE WALL BY USING PLATE WITH SUBGRADE REACTION MISS-CR-PLQ

Abdelhammid MOKEDDEM1, Sidi Mohammed ELACHACHI1, Humberto YANEZ GODOY1 1 Université de Bordeaux, I2M, UMR 5295, département GCE, France,

RÉSUMÉ – On présente dans cette communication la méthode d’interaction sol-structure par plaque et coefficients de réaction que l’on appelle MISS-CR-PLQ. Celle-ci constitue l’extension de la méthode MISS-CR habituellement utilisée pour le calcul des écrans de soutènement en section droite par un système de poutre et appuis élastoplastique. Cette extension procure les avantages de la méthode aux coefficients de réaction rapidité et simplicité tout en intégrant de plus les avantages de la modélisation 3D.

ABSTRACT – In this paper we focused on the modelling of soil-structure interaction of flexible retaining wall (sheet pile) as a system of plate and subgrade reaction of soil (called here “MISS-CR-PLQ” model). This is an extension of the MISS-CR method used for the calculation of retaining wall on the cross section by a system of beam and elastoplastic supports. This method gives the advantages of both the MISS-CR method and of 3D modelling.

1. Introduction

La modélisation tridimensionnelle d’un ouvrage géotechnique à l’exemple des rideaux de palplanches procure une vision plus réaliste du comportement de l’ouvrage dans la mesure où des éléments comme les sollicitations extérieures, les conditions aux limites et les conditions géologiques (stratigraphie, variabilité, …) sont décrits de manière aussi fidèle que possible par rapport aux conditions du site. Le meilleur moyen pour reproduire cela reste sans doute les méthodes MISS-EF (méthode d’interaction sol-structure avec massif en éléments finis) en 3D. Ce type d’analyse permet de reproduire les conditions de site de manière assez fidèle, cependant un niveau de maîtrise est parfois indispensable concernant les hypothèses de calcul comme les lois de comportement et la modélisation de l’interface. De plus à cause de la taille du problème il est de nos jours difficile d’intégrer une telle méthode dans le cadre d’une démarche mécano-fiabiliste.

On présente dans cette communication la méthode MISS-CR-PLQ qui a pour but de reproduire le comportement tridimensionnel d’un rideau de palplanches. Cette méthode a tous les avantages des calculs par coefficients de réaction en 2D (MISS-CR) à savoir la simplicité, l’efficacité des résultats, de plus elle procure aussi les avantages de la modélisation tridimensionnel.

2. Modélisation par MISS-CR-PLQ

La Figure 1 schématise le passage d’une configuration "réelle" (ouvrage dans son environnement) à une modélisation numérique par MISS-CR-PLQ. Cette modélisation s’inspire comme toute autre méthode du comportement géomécanique qu’adopte chaque élément le constituant. Par exemple, l’ISS est modélisée par des coefficients de rection en


2

supposant un comportement élastoplastique. Les tirants ou les butons qui sont également modélisés par des ressorts élastiques avec possibilité d’intégrer un critère à la rupture en cas de glissement d’ancrage. Il existe néanmoins quelques différences par rapport à une approche basée sur les coefficients de réaction en section droite, celles-ci se résument principalement à la modélisation de :

La palplanche, qui est représentée en élément coque quadrilatère (COQ4). La discrétisation du maillage est faite de manière uniforme afin de mieux organiser l’application des conditions aux limites et des forces mobilisées par la loi de réaction (LR).

Les liernes sont représentées en élément poutre aux profondeurs et aux nombres choisis. Des conditions aux limites entre la plaque et les liernes sont imposées pour assurer la continuité mécanique entre eux (la plaque et les liernes), faisant ainsi participer localement les liernes dans la rigidification de la palplanche.

2.1. Modélisation de la palplanche

La modélisation tridimensionnelle d’un rideau de palplanches exige des données supplémentaires par rapport à une approche en section droite. Cela est lié à la géométrie de la palplanche qui n’est pas rectangulaire conduisant à une sorte d’orthotropie géométrique. Pour des raisons de commodités numériques, le choix se porte souvent pour une plaque rectangulaire avec un matériau de comportement supposé orthotrope. Dans le cadre de la méthode MISS-CR-PLQ, nous avons opté pour un calcul d’équivalence par la méthode de (Samanta & Mukhopadhyay, 1999) en supposant une plaque mince avec prise en compte du cisaillement traverse (Mokeddem, 2018). Cette orthotropie a pour but d’associer un comportement différent selon la direction considérée. On peut résumer la matrice des moments fléchissants et des efforts tranchants par les équations (1) et (2) :

[

𝑀𝑥𝑥

𝑀𝑦𝑦

𝑀𝑥𝑦

] =ℎ3

12(1−𝜐𝑥𝜐𝑦)[

𝐸𝑥 𝜐𝑦𝑥𝐸𝑦 0

𝜐𝑥𝑦𝐸𝑥 𝐸𝑦 0

0 0 2𝐺𝑥𝑦(1 − 𝜐𝑥𝜐𝑦)] [

𝜅𝑥𝑥

𝜅𝑦𝑦

𝜅𝑥𝑦

] (1)

Sol

x

yz

Configuration "réelle" MISS-CR-PLQ

Lierne

Palplanche

Tirant

Partie

librePartie

scellée

Amont AvalAmont Aval

Figure 1. Schématisation du passage de la configuration réelle au modèle MISS-CR-PLQ.


3

[𝑄𝑥

𝑄𝑦] = 𝜅ℎ [

𝐺𝑥𝑧 00 𝐺𝑦𝑧

] [𝛾𝑥𝑧

𝛾𝑦𝑧] (2)

Avec : Mxx, Myy et Mxy : moment fléchissant selon l’axe x, y et selon le plan xy respectivement, 𝜅𝑥𝑥, 𝜅𝑦𝑦, 𝜅𝑥𝑦 : la courbure selon l’axe x, y et sur le plan xy respectivement,

Gxy : représente le module de cisaillement ; Gxz et Gyz : représentent les rigidités de cisaillement. Il est difficile d’estimer analytiquement ces rigidités pour une plaque orthotrope, on suppose alors que leurs valeurs restent égales à la valeur de 𝐺𝑥𝑦 comme cela est le cas en isotrope.

𝑄𝑥 et 𝑄𝑦 : correspondent aux efforts tranchant selon l’axe x et y respectivement,

𝜅 : correspond au facteur de correction géométrique du cisaillement égale à 5/6 pour les sections rectangulaires. Le passage d’une plaque à géométrie réelle à une plaque à géométrie équivalente suscite à ce jour beaucoup de curiosité de la part de la communauté mécanique. On a opté pour la méthode de (Samanta & Mukhopadhyay, 1999) qui est basée sur des équivalences énergitiques ce qui conduit aux expressions suivantes :

𝐸𝑥 =𝑐(1−𝜐𝑥𝜐𝑦)

𝑠𝐸 (3)

𝐸𝑦 =12𝐼𝑦(1−𝜐𝑥𝜐𝑦)

ℎ3 𝐸 (4)

𝐺𝑥𝑦 =2𝑠

𝑐(1+𝜐)𝐸 (5)

2.2. Modélisation de l’interaction sol-structure (ISS) et résolution

La méthode MISS-CR-PLQ est basée sur l’utilisation des lois de réaction (LR), dont le rôle est de reproduire le comportement global de l’ISS. Le principe de ce type d’approche consiste à relier les forces mobilisées au déplacement de l’ouvrage, ce qui est connu par la relation P-Y. Une loi de réaction est décrite par une branche élastique et deux paliers de plasticité comme le décrit la Figure 3. où : 𝜎𝑎

′ et 𝜎𝑝′ : représentent respectivement les contraintes de poussées et de butées effectives,

𝜎0′ : la contrainte du sol au repos. Notons que le calcul se fait en contrainte effective en

appliquant directement la pression hydrostatique sur l’écran. La détermination de la pente élastique se fait ici par l’intermédiaire de la méthode Ménard (Ménard et Bourdon, 1965). Par ailleurs, les paliers nécessitent le calcul des coefficients de poussées et de butée (𝐾𝑎 et 𝐾𝑝) estimés ici par les expressions de (Coulomb, 1776).

Figure 2. Repérage sur section réelle.

Domaine de butée limite

Domaine élastique

en butéeDomaine de poussée limite

w(x)

σ'p

σ'0

σ'a

wa wp0Domaine élastique

en poussée

σ'

Figure 3. Représentation d’une loi de réaction.


4

L’équation différentielle décrivant le comportement du système et impliquant l’orthotropie de la plaque se résume à l’équation (6) :

𝐷𝑥𝜕2𝜅𝑥𝑥

𝜕𝑥2 + 2𝐵𝜕2𝜅𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝐷𝑦

𝜕2𝜅𝑦𝑦

𝜕𝑦2 + 𝜅ℎ𝐺𝑥𝑧𝜕𝛾𝑥𝑧

𝜕𝑥+ 𝜅ℎ𝐺𝑦𝑧

𝜕𝛾𝑦𝑧

𝜕𝑦= 2[𝑝(𝑥, 𝑦) − 𝐾𝑆𝑆(𝑥, 𝑦)𝑤] (6)

𝑤 : déplacement en un point selon la direction de la sollicitation, c.-à-d. selon l’axe z

correspondant au repère locale de la plaque, alors que 𝐵 = 0,5(4𝐷𝑡 + 𝜐𝑥𝑦𝐷𝑦𝑦 + 𝜐𝑦𝑥𝐷𝑥𝑥).

𝐾𝑆𝑆(𝑥, 𝑦) : la valeur du coefficient de réaction appliquée au nœud de coordonnées x et y, La résolution de cette équation passe par le code de calcul aux éléments finis (Cast3m, 2015). Une procédure itérative externe a été développée permettant de prendre en charge la non-linéarité du problème décrit par les lois de réaction. A chaque nouvelle itération le programme vérifie l’état de comportement de chaque coefficient de réaction par rapport aux seuils de plasticité (poussée et butée). Ceci enclenche une actualisation de la valeur de rigidité KSS ainsi que l’effort appliqué au droit du nœud concerné. La vérification de l’état de convergence du système se fait par la somme au carrée des déplacements en chaque nœud entre deux itérations successives.

2.3. Exploitation des résultats de MISS-CR-PLQ

Habituellement l’utilisation de la méthode MISS-CR permet de décrire le comportement global de l’ouvrage manifesté par le moment fléchissant, l’effort tranchant, le déplacement et l’effort dans les tirants ou butons. Il est également possible de compléter cette analyse par une estimation de la contrainte de Von-Mises dans le plaque. On peut également faire une estimation du tassement se produisant derrière l’ouvrage en se basant sur le déplacement de l’ouvrage. Pour ce dernier post-traitement on a opté pour la méthode semi analytique initié par (Peck, 1969) en apportant une extension de l’analyse voir (Mokeddem, et al. 2017) et (Mokeddem, 2018).

3. Analyse du comportement géomécanique d’un rideau de palplanche par MISS-CR-PLQ

La méthode MISS-CR-PLQ a été validé dans le cadre de (Mokeddem, 2018). On présente ici uniquement quelques résultats pouvant être obtenus suite à un calcul déterministe où les propriétés du sol sont supposées homogènes. On présente également dans un second temps l’allure des résultats en cas de prise en compte de la variabilité spatiale du sol par l’intermédiaire des champs aléatoires. L'objectif visé ici étant de montrer l’intérêt d’une analyse tridimensionnel et la souplesse de la méthode MISS-CR-PLQ vis-à-vis de la prise en compte de la variabilité spatiale du sol.

3.1. Présentation du cas d’étude

L’ouvrage de soutènement traité ici est un rideau de palplanches de type AU 16 implanté dans un sol bicouches (Figure 4) argileux-sableux en présence d’une nappe phréatique. On considère que le substratum rigide se trouve à 13 m. Un dispositif de tirants précontraints d’une force admissible de 240 kN et d’une section de 560 mm² est mis en place. Ces tirants sont inclinés de 40° par rapport à l’horizontale et espacés de 4 m. Des liernes longeant l’écran et formées de deux UPE 270 sont mises à la profondeur des têtes d’ancrage. L’ouvrage s’étend sur un linéaire de 25 m. La description géométrique de cet ouvrage ainsi que les profondeurs de la nappe phréatique sont indiquées à la (Figure 4).

Une surcharge d’exploitation est appliquée par une fondation sur la surface du sol à proximité de la palplanche. Elle applique sur sa largeur B (égale à 0,75m) une surcharge uniformément répartie tout au long du linéaire Q= 50kN/m².


5

Tableau 1. Caractéristiques géotechniques moyennes.

3.2. Calcul déterministe

Le calcul mené ici est basée sur les valeurs moyennes correspondant aux propriétés géotechniques. On présente dans un premier temps le déplacement Depx et le moment fléchissant Myy.

La Figure 5 montre peu de différences le long de l’ouvrage (entre les différentes sections droite). En hypothèse d’homogénéités du sol, ces résultats justifient d’ailleurs le choix de mener une analyse en section droite uniquement. Le déplacement maximal est de l’ordre de -1,8cm, celui-ci se trouve à une profondeur de 4,5 m. Par ailleurs, en tête palplanche le déplacement est de l’ordre de -0,47 cm. En pied de palplanches le déplacement est plutôt positif signifiant une sorte d’encastrement mobilisé par la contre butée. S’agissant du

Couche Type Profondeur [m] γ [kN/m3] γ' [kN/m3] φ [°] c [kPa] Ep [Mpa]

1 Argile [0, 9] 13,1 12,1 17,5 15,00 2,00

2 Sable [0, 11] 20,0 12,0 35,0 0 25,00

2,0

m

2.125m 0.75m Q =50kN/m²

4,0

m5

,0m

11

,0m

±0,00

-2,00

-6,00

-9,00

±0,00

-5,00

Longueur du rideau de palplanches [m]

Pro

fon

de

ur

du

rid

ea

u [m

]

0 5 10 15 20 25-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Déplacement horizontal du rideau de palplanches [cm]

Pro

fon

de

ur

du

rid

ea

u [m

]


Pro

fon

de

ur

du

rid

ea

u [m

]

0 5 10 15 20 25-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

-150 -100 -50 0 50 100-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Moment fléchissant [kNm]

Pro

fon

de

ur

du

rid

ea

u [m

]

Figure 4. Cas d’étude, dimension en plan.

Figure 5. Quelques résultats du calcul déterministe a) cartographie des Depx b) coupes transversales sur Depx, c) cartographie représentant Myy et c) coupes transversale sur Myy.


6

moment fléchissant Myy, le moment maximum négative -145 kNm conduisant à une contrainte de Von-Mises de 89 MPa. On observe par ailleurs un moment fléchissant positif en fiche et un moment positif quasi nul en appui.

L’estimation du tassement se produisant derrière l’ouvrage est résumé à la Figure 6. La zone d’influence DINFL représentée dans cette figure la zone sur laquelle on considère que le tassement va se produire. Pour ce cas de sol homogène on constate uniquement un tassement homogène le long de l’ouvrage, aucun tassement différentiel n’est observé. Au niveau de l’axe de la semelle filante, c.-à-d. à une distance de 2,50 m (Figure 4), le tassement absolu est en moyenne de -1,36cm , celui-ci est lié au déplacement du rideau de palplanche.

3.3. Prise en compte de la variabilité

On montre à ce niveau l’intérêt de prendre en considération le comportement tridimensionnel. La démarche suivie consiste à générer des champs aléatoires en utilisant la Circulante Embedding. Trois paramètres sont supposés hétérogènes (c, φ et Es) décrit avec une fonction d’autocorrélation de type exponentielle simple avec des longueurs de corrélation 𝛿𝑣 et 𝛿ℎ égales à 5 m et 50 m respectivement. Ces propriétés sont ensuite projetée sur le modèle de calcul Figure 7.

De la même manière que pour le cas déterministe, on ne présente que quelques résultats comme le déplacement horizontale Depx, le moment fléchissant Myy et le tassement estimé derrière l’ouvrage.

Figure 6. Estimation du tassement pour la cas déterministe a) cartographie du tassement en 3D, b) coupes transversales sur le tassement.

Figure 7. Projection des champs aléatoires sur le modèle MISS-CR-PLQ.

Longueur d’ouvrage [m]

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Zone de tassement DINFL

[m]

Ta

sse

me

nt d

u s

ol [c

m]

a) b)


7

En prenant en compte la variabilité spatiale du sol on constate des écarts assez importants pour le même rideau de palplanches. En effet, un déplacement différentiel (Figure 8.a et b) est observé de l’ordre de 0,94 cm au niveau du ventre de la déformée (avec -2,68 cm comme valeur maximale et -1,74 cm comme valeur minimal), rappelons que dans le cas déterministe le déplacement maximal était de l’ordre de -1,8 cm observée de manière uniforme le long de l’ouvrage. Des différences sont également observées en tête de palplanches et au niveau de l’ancrage.

Le même constat peut également être fait concernant le moment fléchissant Myy (Figure 8.c et d) où la valeur maximal de celui-ci passe d’une valeur 90 – 175 kNm. Ceci va avoir un effet sur la valeur de la contrainte développée dans la palplanche passe de 58 MPa à 113 MPa (ce résultat n’est pas montré ici). La Figure 9 correspond au tassement de la surface du sol se produisant derrière l’ouvrage. Cette figure montre clairement l’effet de la prise en compte de la variabilité spatiale du sol et de l’analyse tridimensionnelle. Pour cet exemple, un tassement différentiel est observé de l’ordre de de 0,73 cm sous la semelle filante (Figure 9.b) ceci est engendré par la déplacement différentiel de l’ouvrage observée (Figure 8.a et b). On peut également comparer sur ce même profil longeant la semelle filante avec le résultat du calcul déterministe de la Figure 6. Ce tassement vient estimée ici vient s’ajouter au tassement que subirait le sol en prenant en compte l’interaction sol-semelle filante.


Pro

fon

de

ur

du

rid

ea

u d

e p

alp

lan

ch

es [m

]

0 5 10 15 20 25-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Déplacement horizontal du rideau de palplanches [cm]

Pro

fon

de

ur

du

rid

ea

u d

e p

alp

lan

ch

es [m

]


Pro

fon

de

ur

du

rid

ea

u d

e p

alp

lan

ch

es [m

]

0 5 10 15 20 25-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-150

-100

-50

0

50

-200 -150 -100 -50 0 50 100-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Moment fléchissant [kNm]

Pro

fon

de

ur

du

rid

ea

u [m

]

Figure 8. Quelques résultats du calcul déterministe a) cartographie des Depx b) coupes transversales sur Depx, c) cartographie représentant Myy et c) coupes transversale sur Myy.

a) b)

c) d)


8

4. Conclusion

Une présentation synthétique a été faite dans le cadre de cette communication de la méthode MISS-CR-PLQ. Celle-ci a été développée le but de reproduire le comportement tridimensionnel d’un rideau de palplanche tout en ralliant simplicité et rapidité à l’efficacité de la méthode. Ce qui permet d’ailleurs de l’intégrer facilement dans le cadre d’une démarche mécano-fiabiliste afin d’estimer les effets de la variabilité spatiale du sol sur le comportement géomécanique du rideau de palplanches d’autant plus qu’à ce jour les méthodes MISS-EF en 3D ne sont pas adaptées pour une analyse intégrant la variabilité spatiale du sol sur des milliers de simulations. Notons que l’analyse du tassement et en particulier tassement différentiel est résultat intéressant qui mérite davantage d’intérêt à cause des applications que cela pourrait avoir par la suite (e.g. estimation du tassement à proximité d’une voie ferrée).

5. Référence

Cast3m. (2015). CEA. Récupéré sur http://www-cast3m.cea.fr/ Coulomb, C. (1776). Essai sur application des regles de maximis et minimis a quelques problèmes

de statique, relatifs à l’architecture. Mem. Roy. des sciences, Paris, 3.

Ménard, L. & Bourdon, G., (1965). Calcul des rideaux de soutènement. Méthode nouvelle prenant

en compte les conditions. Sols-Soils, Volume 12, pp. 18-32.

Mokeddem A. (2018) Modélisation probabiliste du comportement géomécanique des rideaux de

palplanches tenant compte de l'interaction sol structure et de la variabilité spatiale du sol.

Thèse de doctorat (Soutenance prévue pour avril 2018).

Mokeddem, A., Elachachi, S., & Yanez, G. (2017). Influence de la variabilité spatiale du sol sur les

structures voisines d'un ouvrage de soutènement. S3-Fiabilité et robustesse des systèmes

mécaniques

Peck, R. B. (1969). Deep excavations and tunneling in soft ground. Proc. 7th Int. Con. SMFE, State of

the Art, 225-290.

Samanta, A., & Mukhopadhyay, M. (1999). Finite element static and dynamic analyses of folded

plates. Engineering Structures, 21(3), 277-287

Position de

la fondation

0 5 10 15 20 25-2.2

-2.1

-2

-1.9

-1.8

-1.7

-1.6

-1.5

-1.4

-1.3

Longueur de l'ouvrage [m]

Ta

sse

me

nt [c

m]

Avec variabilité spatiale du sol

Sans variabilité spatiale du sol

Figure 9. Estimation du tassement pour le calcul avec variabilité : a) cartographie du tassement en 3D, b) coupes longitudinale sous la fondation.

Longueur d’ouvrage [m]

a) b)

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