procesos.ppt [modo de compatibilidad] · procesos estocásticos 1i t d ió t bá i1 introducción y...

Procesos EstocásticosProcesos Estocásticos

1 I t d ió t bá i1 Introducción y conceptos básicos

2 Estadísticos de un proceso estocástico

3 Estacionariedad de un proceso estocástico

4 Ergodicidad de un proceso estocástico

5 Ejemplos

Estadística. Profesora María Durbán1

Procesos EstocásticosReferencias:

Procesos Estocásticos

Capítulo 8 de Introducción a los Sistemas de Comunicación. Stremler, C.G. (1993)Apuntes de la Universidad de Vigo (página Web)Capítulo 6 de Principios de Probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias

Al final del tema el alumno será capaz de:

Capítulo 6 de Principios de Probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias

Entender el concepto de proceso estocástico

Interpretar y calcular los estadísticos de los procesos estocásticos: t i t l ióesperanza, autocovarianza y autocorrelación

Interpretar y comprobar la estacionariedad de los procesos estocásticosestocásticos

Interpretar y determinar si un proceso es ergódico

Saber calcular probabilidades en procesos estocásticos formados a


Saber calcular probabilidades en procesos estocásticos formados a través de distribuciones estudiadas en los temas anteriores


1 I t d ió t bá i


1 Introducción y conceptos básicos




5 Ejemplos



En los temas anteriores hemos estudiado procesos que no varían con el


p qtiempo o sólo dependen de una variable.

Por ejemplo estudiamos el número de llamadas que se producen en unaPor ejemplo, estudiamos el número de llamadas que se producen en una central telefónica.

Si definimos X como el número de llamadas que se reciben en una horaSi definimos X como el número de llamadas que se reciben en una hora, podemos decir que X sigue una distribución de Poisson de media λ.

¿Pero, qué pasa si queremos definir ahora otra variable que corresponda al número de llamadas recibidas en la misma centralita

durante todo el día de trabajo (8 horas)?j ( )

Podríamos definir una nueva X’, variable que seguiría una distribución de Poisson definida como número de llamadas recibidas en la centralita


Poisson, definida como número de llamadas recibidas en la centralita durante 8 horas, con una nueva λ’ que sería igual a 8·λ.

1 Introducción y conceptos básicosLas representaciones serían (si λ=2, por ejemplo):


λ=2

λ’=16



Definición


Así, para cada tiempo que fijemos, tendríamos una variable aleatoria.

Se define entonces una familia de variables aleatorias que dependen de una variable determinista, (en este caso el tiempo).

PROCESO ESTOCÁSTICO

Se define el proceso estocástico X(t) como el número de llamadas d l t lit l ti (0 t)que se producen en la centralita en el tiempo (0,t).

Así, para cada valor de t que se elija, tendremos una variable aleatoria distinta con forma similar pero distinto valordistinta, con forma similar pero distinto valor.

En los temas anteriores definimos X(x), en este caso X(λ).Ahora debemos representar X(x t) en este caso X(λ t)


Ahora debemos representar X(x,t), en este caso, X(λ,t).En general, diremos X(t) igual que antes llamábamos X y no X(λ).

1 Introducción y conceptos básicos1 Introducción y conceptos básicos

EjemplosEn los sistemas de comunicaciones aparecen señales aleatorias como:

La señal de información tiene pulsos de voz de duraciónLa señal de información, tiene pulsos de voz de duraciónaleatoria y posición aleatoria.

Una interferencia en el canal que es debida a la presenciacercana de otros sistemas de comunicacionescercana de otros sistemas de comunicaciones.

El ruido en un receptor es debido al ruido térmico enresistencias y componentes del receptor.

Así, la señal recibida va ser una señal con varias componentes aleatorias.Aunque no es posible describir este tipo de señales con una expresiónmatemática se pueden utilizar sus propiedades estadísticasmatemática, se pueden utilizar sus propiedades estadísticas

Son señales aleatorias en el sentido de que antes de realizar eli t ibl d ibi f t


experimento no es posible describir su forma exacta


Proceso EstocásticoEs una función de dos variables, t y x, una determinista y otra aleatoria

a) X(x t) es una familia de funciones temporalesa) X(x,t) es una familia de funciones temporales.

b) Si se fija x, tenemos una función temporal X(t) llamada realización del procesodel proceso.

c) Si se fija t, tenemos una Variable Aleatoria.

d) Si se fijan t y x, tenemos un número real o complejo (muy normal en teoría de la señal).


1 Introducción y conceptos básicosEspacio de tiempos, T


Conjunto de los posibles valores de tiempo que puede tomar el proceso estocástico.

Espacio de estados, S

Conjunto de los posibles valores del proceso estocástico (resultadoConjunto de los posibles valores del proceso estocástico (resultado numérico, real o complejo).

TDiscreto

Continuo

Proceso discreto en el tiempo.

Proceso continuo en el tiempo.

SDiscreto Proceso discreto en el espacio de estados.


SContinuo Proceso continuo en el espacio de estados.

1 Introducción y conceptos básicosEjemplo 1


Distintas realizaciones del proceso X(t) = N·cos((2π/24)t+φ) siendo N y φ VA con distribuciones P(10) y U(0,2π), respectivamente.



En general:


1 Introducción y conceptos básicosEjemplo 2


Caracterice la continuidad del número de llamadas que llegan a lacentralita.

Es continuo en el tiempo, porque puede tomar cualquier valor real:p p q p qt =1 horat =1,67 horast = 8 horast 8 horast = 35 horas, etc.

Es discreto en el espacio de estadosX(λ t t ) i ú tX(λ, t=t0) es siempre un número entero

Ejemplo 3El tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una VA Y~Exp(λ). Para hacer un estudio de la evolución temporal del sistema se construye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que resta para completar la tarea sabiendo que ya ha consumido t minutos.


pa a co p eta a ta ea sab e do que ya a co su do t utos

Dibuje una realización del proceso y especifique los espacios T y S.


6

λ=1/36

4

x

2

0 20 40 60

0


tiempo

1 Introducción y conceptos básicosFunción de distribución


Dado un proceso estocástico cualquiera, si fijamos un tiempo t=t0tendremos una V.A. X(t0) que tendrá una función de distribuciónasociadaasociada.

Si, para el mismo proceso, fijamos otro instante t=t1 tendremosotra VA, en principio, distinta a la anterior, con una función deotra VA, en principio, distinta a la anterior, con una función dedistribución diferente.

Se define la función de distribución de primer orden delSe define la función de distribución de primer orden delproceso X(t) como

))((),( xtXPtxFX ≤= ))((),(X

Y, por tanto, se tiene también lafunción de densidad de primer txdFf X ),()(


función de densidad de primerorden derivando la función dedistribución respecto a x

dxtxf X ),(),( =

1 Introducción y conceptos básicosFunción de distribución de segundo orden


De igual modo:

Se define la función de distribución de segundo ordenSe de e a u c ó de d st buc ó de segu do o dedel proceso X(t) como

))()(()( xtXxtXPttxxF ≤∩≤=

Se puede obtener la función de densidad de segundo

))()((),,,( 22112121 xtXxtXPttxxF ≤∩≤=

orden derivando la función de distribución parcialmenterespecto a x1 y a x2

21

21212

2121),,,(),,,(

xxttxxFttxxf

∂∂∂

=


21∂∂

1 Introducción y conceptos básicosAplicación de la función de distribución y función de densidad


Realización de un proceso continuo en el tiempo con función de densidad de primer orden gaussiana.







5 Ejemplos


2 Estadísticos de un proceso estocásticoMedia


La media de un proceso estocástico corresponde a:

En el caso real: [ ] ∫+∞

⋅== dxtxfxttXE )()()( μEn el caso real: [ ] ∫∞−

== dxtxfxttXE x ),()()( μ

En el caso complejo: [ ] [ ] [ ])()()( tYEjtXEtZE ⋅+=En el caso complejo: [ ] [ ] [ ])()()( tYEjtXEtZE +

Se puede entender gráficamente como el centro de gravedad de la función densidad de probabilidad

Característica:

función densidad de probabilidad

Para cada t, se tiene una VA distinta → una media distinta

La media es en general una función dependiente del tiempo


La media es, en general, una función dependiente del tiempo

2 Estadísticos de un proceso estocásticoEjemplo 4


Considere la oscilación aleatoria X(t) = cos (2Π·f·t + B·Φ), donde f es unaconstante real, Φ es una variable aleatoria uniforme en [− Π/2, Π/2], y B es unavariable aleatoria discreta, independiente de Φ, tal que P(B=0)=p y P(B=1)=q.

Defina y calcule la esperanza de la variable aleatoria X(t).

[ ] [ ]( ) cos(2 )E X t E ft Bπ φ= +[ ] [ ]( ) ( )f φ

[ ] [ ][ ]

cos(2 ) | 0 Pr( 0) cos(2 ) | 1 Pr( 1)

(2 ) (2 )

E ft B B B E ft B B B

f E ft

π φ π φ

φ

= + = = + + = =

+ +t

Para cada t, cos (2Π·f·t+Φ) es una variable aleatoria función de φ. Podemos escribir:

[ ]cos(2 ) cos(2 )p f qE ftπ π φ= + +t

escribir:

[ ]/ 2

/ 2

1 2cos(2 ) cos(2 ) cos(2 )E ft ft ftπ

ππ φ π φ φ π

π π−+ = + ∂ =∫

⎛ ⎞


( )2( ) cos 2x t p q f tμ ππ

⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

2 Estadísticos de un proceso estocásticoEjercicio 1


Un transmisor envía pulsos rectangulares de altura y posiciónaleatorias. Cada pulso transmitido corresponde a una realización delproceso estocásticop

X(t) = V·h(t − T), t > 0,

Donde la altura V del pulso es una variable aleatoria uniforme en [0,v0],Donde la altura V del pulso es una variable aleatoria uniforme en [0,v0],y T es una variable aleatoria exponencial de parámetro λ,independiente de V, y la función determinista h(t) es

1, 0<t<1,h(t)=

0, en el resto.

Calcule la función valor medio del proceso estocástico X(t)


2 Estadísticos de un proceso estocásticoVarianza


La media de un proceso estocástico corresponde a:

En el caso real: [ ] ( )∫+∞

⋅−== dxtxftxttXVar )()()()( 22 μσ[ ] ( )22( ) ( ) ( ) ( )Var X t t x t f x t dxσ μ+∞

= = − ⋅∫Recordamos:

En el caso real: [ ] ( )∫∞−

⋅== dxtxftxttXVar xx ),()()()( μσ[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( , )x xVar X t t x t f x t dxσ μ−∞

= = − ⋅∫

[ ] [ ]( )22V X E X E X⎡ ⎤⎣ ⎦[ ] [ ]( )2Var X E X E X⎡ ⎤= −⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ] [ ]22222 )()()()()( ttXEtXEtXEt xx μσ −=−=

En el caso de que la media del proceso estocástico sea siempre cero, lavarianza y el valor cuadrático medio coincidirían.


y

2 Estadísticos de un proceso estocásticoCorrelación


O esperanza del producto de Variables Aleatorias como función de dos variables temporales tk y ti dada por:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 212121212121 dd,;,, xxttxxfxxtXtXEttRX ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−==

En el caso de que t1 = t2 se tiene el valor cuadrático medio del proceso estocástico que es una función de una variable temporal:

( ) ( )( )[ ] ( ) xtxfxtXEttRX d;, 22 ∫∞

∞−==


Potencia del proceso

2 Estadísticos de un proceso estocásticoCovarianza


Covarianza del proceso X(t) como una función de dos variablestemporales tk y ti dada por:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )∫ ∫∞+ ∞+

=

=−⋅−=

dxdyyxftytx

ttXttXEttC xxX

)()()(

)()()()(),( 221121

μμ

μμ

E l d t t ti l i d l t á ti

( ) ( )∫ ∫∞− ∞−

−⋅−= dxdyyxftytxtXtXXX ),()()(

)2(),1(21 μμ

En el caso de que tk = ti se tiene la varianza del proceso estocástico.

De las definiciones de correlación y covarianza, se puede obtener:

)()(),(),( 212121 ttttRttC xxXx μμ ⋅−=


En el caso de que la media del proceso estocástico sea siempre cero,la función de correlación y la de covarianza coincidirían.

2 Estadísticos de un proceso estocásticoMatriz de Correlación de dos procesos


Dados dos procesos X(t) e Y(t). Todas las propiedades de correlación sepueden colocar de forma matricial según una matriz de funciones de dosdimensiones temporalesdimensiones temporales.

( , ) ( , )( , ) X XYR t u R t u

R t u ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ [ ]( , ) ( ) ( )XYR t u E X t Y u=( , )

( , ) ( , )YX Y

R t uR t u R t u⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]( , ) ( ) ( )XY

En el caso de que t=u la matriz de correlación tiene la expresión siguiente,siendo una matriz de funciones de una variable temporal y simétrica.

⎡ ⎤[ ][ ]

2

2

( ) ( ) ( )( , )

( ) ( ) ( )

E X t E X t Y tR t t

E Y t X t E Y t

⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥=⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦


[ ]( ) ( ) ( )E Y t X t E Y t⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

2 Estadísticos de un proceso estocásticoEjemplo 4


Si X(t) representa un proceso estocástico de media μx(t) = 3 y función decorrelación RX(t1, t2) = 9 + 4exp{−0,2·|t1−t2|}. Calcule la esperanza, lavarianza y la covarianza de las variables aleatorias Z = X(5) y T = X(8)varianza y la covarianza de las variables aleatorias Z X(5) y T X(8).

1) Esperanzas E(Z) = E(X(5)) = μx(5) = 3E(T ) = E(X(8)) = μ (8) = 3E(T ) E(X(8)) μx(8) 3

2) Varianzas E(Z2) = E(X(5)·X(5)) = RX(5,5) = 13E(T2) = E(X(8)·X(8)) = RX(8 8) = 13E(T ) E(X(8) X(8)) RX(8,8) 13Var(Z) = E(Z2) − (E(Z))2 = 4Var(T) = E(T2) − (E(T))2 = 4

3) Covarianzas E(ZT) = E(X(5)X(8)) = RX(5, 8) = 9+4e−0.6

Cov(Z,T) = E(ZT) − E(Z)E(T ) = 4·e−0.6


( , ) ( ) ( ) ( )

O también como, Cov (Z,T) = CX(5, 8) = RX(5, 8) −μx(5)·μx(8) = 4·e−0.6

2 Estadísticos de un proceso estocásticoIndependencia


Dos procesos X(t) e Y(t) son independientes si su función de densidadconjunta de cualquier orden se puede descomponer como el producto dedos funciones de densidad marginales una conteniendo términos sólodos funciones de densidad marginales, una conteniendo términos sólodependientes del proceso X(t) y la otra dependientes de Y(t).

[ ] [ ] [ ])()()()( tYEtXEtYtXE ⋅=⋅Incorrelación

Dos procesos X(t) e Y(t) son incorrelados si CXY(t1, t2) = 0 para cualquier

[ ] [ ] [ ])()()()( tYEtXEtYtXE

valor de t1 y t2. )()(),( 2121 ttttR YXXY μμ ⋅=

OrtogonalidadDos procesos X(t) e Y(t) son ortogonales si RXY(t1, t2)=0 para cualquier valorde t y t


de t1 y t2. )()(),( 2121 ttttC YXXY μμ ⋅−=

2 Estadísticos de un proceso estocásticoEjercicio


Calcule la función de correlación del proceso X(t) = A·cos (2Π·f·t+Φ), donde A y Φ son variables aleatorias independientes, siendo Φ una variable aleatoria uniforme en [− Π Π] y A exponencial de parámetro λvariable aleatoria uniforme en [ Π, Π], y A exponencial de parámetro λ.

EjercicioEl tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una v.a. Y ~Exp(λ). Para hacer un estudio de la evolución temporal del sistema seconstruye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que restaconstruye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que restapara completar la tarea sabiendo que ya ha consumido t minutos.

a) Determine E[X(t)] Var[X(t)] E[X(t)2]a) Determine E[X(t)], Var[X(t)], E[X(t)2].b) Indique si cada una de las funciones del aparatado anterior

depende del tiempo o no e interprete el resultado.







5 Ejemplos



Cuando utilizamos un modelo estocástico, generalmente vamos a estar


, ginteresados en predecir el comportamiento del proceso en el futuro y paraello nos basamos en la historia del proceso. Estas predicciones no serán correctas a menos que las condiciones futuras sean análogas a lascorrectas a menos que las condiciones futuras sean análogas a las pasadas

Un proceso estocástico es estacionario si sus propiedades estadísticasUn proceso estocástico es estacionario si sus propiedades estadísticas son invariantes ante una traslación del tiempo

El mecanismo físico que genera el experimento no cambia con el tiempo


3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEjemplo 5


El número de llamadas que llegan a una centralita hasta el instante t

20

25x2x1

El número medio de

15

El número medio dellamadas no esconstante, depended t

10de t

0

5

No estacionario


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20tiempo



Distintas realizaciones del proceso X(t) = N·cos((2π/24)t+φ) siendo N y φ VA con distribuciones P(10) y U(0,2π) respectivamente.


La media del proceso se mantiene constante puede serestacionario

3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEstacionariedad (en sentido estricto o fuerte)


Un proceso X(t) es estacionario en sentido estricto si la función de densidad de densidad conjunta, de cualesquiera de sus n v.a. medidas en instantes t1 t permanece constante cuandomedidas en instantes t1,…,tn, permanece constante cuando transcurre cualquier intervalo de tiempo ε

( ; ) ( ; )f x x t t f x x t tε ε= + +

Esta es una condición muy fuerte ya que implicaría estudiar

1 1 1 1( ,.... ; ,..., ) ( ,.... ; ,..., )n n n nf x x t t f x x t tε ε= + +

Esta es una condición muy fuerte ya que implicaría estudiar infinitas funciones de densidad conjunta

Estacionariedad en sentido débil o amplioEstacionariedad en sentido débil o amplio


pp

3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEstacionariedad (en sentido débil)


Un proceso X(t) es débilmente estacionario si:

[ ]( ) E X t μ= (independiente del tiempo)

1 2( , ) ( ) X XR t t R τ=

[ ]( ) μ

2 1 (depende solo de la distancia t tτ = −

( p p )

Propiedades:

entre los tiempos considerados)

Propiedades:

La potencia no depende de t

ya que

2( )E X t⎡ ⎤⎣ ⎦2( ) (0)E X t R⎡ ⎤⎣ ⎦ya que

a q e

( ) (0)XE X t R⎡ ⎤ =⎣ ⎦( ) ( )X XR Rτ τ= −


ya que [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X XR E X t X t E X t X t Rτ τ τ τ= − = − = −

3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEstacionariedad (en sentido débil)


Un proceso X(t) es débilmente estacionario si:

[ ]( ) E X t μ= (independiente del tiempo)

1 2( , ) ( ) X XR t t R τ=

[ ]( ) μ

2 1 (depende solo de la distancia t tτ = −

( p p )

Propiedades:

entre los tiempos considerados)

Propiedades:

Estacionario en sentido estricto débil

Si el proceso es gaussiano: estricto = débil


3 Estacionariedad de un proceso estocástico3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEjemplo 7

Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A constante y φ una VA con distribución U(-π, π).¿Es X(t) débilmente estacionario?¿Es X(t) débilmente estacionario?

105

0-5

Estadística. Profesora María Durbán350 20 40 60

tiempo

-10




[ ] [ ] 1( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 0E X t AE t A t dπ

π φ π φ φ+ +∫[ ] [ ]( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 02

E X t AE t A t dπ

π φ π φ φπ−

= + = + =∫

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )( )[ ]φτπφπττ +++=+=+ ttEAtXtXEttR 24/2cos24/2cos2

Utilizando:( ) ( ) ( ) ( ) ( )β β β± m

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )( )[ ]φτπφπττ +++=+=+ ttEAtXtXEttRX 24/2cos24/2cos,

cos( ) cos( )cos( ) sen( )sen( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )

α β α β α β

β β β

± =

⇓+ +

m


2cos( ) cos( ) cos( ) cos( )α β α β α β= + + −




[ ] [ ] 1( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 0E X t AE t A t dπ

π φ π φ φ+ +∫

2cos( )cos( ) cos( ) cos( )α β α β α β= + + −

[ ] [ ]( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 02

E X t AE t A t dπ

π φ π φ φπ−

= + = + =∫( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )( )[ ]φτπφπττ 24/2cos24/2cos, 2 ttEAtXtXEttRX +++=+=+

( )( )( ) ( )( )[ ]τπφτπ 24/2cos2224/2cos2

2

2

A

tEA+++=

( )( )τπ 24/2cos2

2A=

Estadística. Profesora María Durbán37Es débilmente estacionario

3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEjercicio


Sea U una VA uniforme en [0,1], a partir de ella se construye el procesoX(t)=exp(-Ut)

a) Para cada valor de t, determine el rango de X(t)b) Calcule E[X(t)] y Rx(t1,t2)c) Estudie la estacionariedad en sentido amplio (es decir en sentidoc) Estudie la estacionariedad en sentido amplio (es decir, en sentido

débil)

Si X Y VA l i d di t di 0 i 1Ejercicio

Si X e Y son VA normales, independientes, con media 0 y varianza 1, se define el proceso Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)

a) Determine la función de probabilidad conjunta de Z(t1) y Z(t2)b) Calcule la media y la autocovarianza del proceso Z(t)c) Estudie la estacionariedad en sentido débil y estricto


c) Estudie la estacionariedad en sentido débil y estricto






5 Ejemplos


3 Ergodicidad de un proceso estocástico3 Ergodicidad de un proceso estocástico

En muchas ocasiones, sólo disponemos de una realización del proceso (es decir, disponemos de una función temporal), en este caso, para conocer el proceso calculamos sus promedios temporalesconocer el proceso calculamos sus promedios temporales.

Sea X(t) un proceso estocásticoLa media temporal o valor medio en el tiempo se define como:La media temporal o valor medio en el tiempo se define como:

1lim ( ) lim2

T

X T T TTM X t dt

Tμ∞ ∞−

= =∫uuur uuur

La autocorrelación temporal se define como:2 TT

1 T

∫Ambas son VA ya que toman valores distintos para cada realización del

1lim ( ) ( )2

T

X T TA X t X t dt

Tτ∞ −

= +∫uuur


y q pproceso.


Diremos que un proceso es ergódico si sus promedios estadísticos coinciden con los temporales sólo necesitamos una realización del proceso para conocer los promedios estadísticosdel proceso para conocer los promedios estadísticos

Ergodicidad en media : Dado que la media temporal μT no depende del tiempo para que un proceso sea ergódico en media es necesario que latiempo, para que un proceso sea ergódico en media, es necesario que la media del proceso μX sea constante, esto se cumple si el proceso es estacionario

Ejemplo 8Sea A una VA N(0,1), definimos el proceso X(t)=A. ¿Es ergódico en media?

No es ergódico en media[ ] 0

1X

T

E Aμ = =


g1 02

T

T TA t A

Tμ

−= ∂ = ≠∫


Ergodicidad en autocorrelación : Sea . Si construimos el proceso , entonces , por lo tanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media

[ ]( ) ( ) ( )XR E X t X tτ τ= +( ) ( ) ( )Z t X t X tτ τ= + [ ]( ) ( )XE Z t Rτ τ=

( )Z t( )X ttanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media

Ejemplo 7Se considera el proceso X(t)=a cos(wt)+b sin(wt) donde a y b son dos VA

( )Z tτ( )X t

Se considera el proceso X(t)=a cos(wt)+b sin(wt), donde a y b son dos VA independientes uniformemente distribuidas en [-1,1], estudie la ergodicidad en media y autocorrelación.

[ ] ( ) [ ] ( )

( ) ( )( ) ( ) 0limsinsincos21

000sincos

=→=+=

=+=+=

∞→∫ TT

T

T

X

wTadtwtbwta

wtbEwtaE

μμ

μ

[ ] 1( ) ( ) ( ) cos( )3XR E X t X t wτ τ τ= + =

Es ergódico en media

( ) ( )( )2 ∞→−∫ TTTT wTT

μμ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )βββ iii


31 ( ) ( )

2T

TX t X t t

Tτ

−+ ∂∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )βαβαβα sincoscossinsin ±=±


( ) ( ) ( )Z t X t X tτ τ= + [ ]( ) ( )XE Z t Rτ τ=

( )Z t( )X t

Ergodicidad en autocorrelación : Sea . Si construimos el proceso , entonces , por lo tanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media

[ ]( ) ( ) ( )XR E X t X tτ τ= +

( )Z tτ( )X ttanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media

Ejemplo 7Ejemplo 7Sea considera el proceso X(t)=a cos(wt)+b sin(wt), donde a y b son dos VA independientes uniformemente distribuidas en [-1,1], estudiar la

di id d di t l ióergodicidad en media y autocorrelación.

[ ] ( ) [ ] ( )( )sin1

000sincos =+=+=T

X

wTawtbEwtaEμ

[ ] 1( ) ( ) ( ) cos( )3XR E X t X t wτ τ τ= + =

N ódi

( ) ( )( ) ( ) 0limsinsincos21

=→=+= ∞→−∫ TT

T

TT wTwTadtwtbwta

Tμμ


[ ]

2 2

( ) ( ) ( ) ( )3

1 1lim ( ) ( ) ( ) cos( )2 2

X

T

T TX t X t t a b w

Tτ τ∞ −

+ ∂ = +∫uuur

No es ergódico en autocorrelación


1 I t d ió t bá i






5 Ejemplos


5 EjemplosProceso de Poisson

5 Ejemplos

Es un proceso de tiempo continuo y estado discreto.X(t)= número de sucesos en [0,t]X(t)~P(λt)X(t) P(λt)μX=λtCX(t1,t2)=λmin{t1,t2}

“Ruido”= señales indeseables que constituyen una interferencia en un i t d i i H d ti d id id t l

Ruido

sistema de comunicaciones. Hay dos tipos de ruido: ruido externo al sistema (atmosférico), ruido interno al sistema (fluctuaciones aleatorias debidas a dispositivos). Generalmente se representan las interferencias mediante un ruido blanco.Ruido blanco: Un proceso es un ruido blanco si las variables X(t1), X(t2) están incorreladas para todo t.


pSi las variables son gaussianas, incorreladas = independientes

5 EjemplosProcesos Gaussianos

5 Ejemplos

Diremos que un proceso es gaussiano, si cualquier colección de VA del proceso tiene distribución conjunta gaussianaEl proceso está totalmente descrito si conocemos su función media y suEl proceso está totalmente descrito si conocemos su función media y su autocovarianza (o auticorrelación)

Estacionariedad en sentido débil = estacionariedad en sentido estrictoUn proceso es independiente C(ti,tj)=0 Ej i i F b 2003

Sean X e Y dos VA independientes y normales con media 0 y varianza 1, se define el proceso gaussiano:

Ejercicio. Febrero 2003

2

Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)

01

x1


-3 -2 -1 0 1 2 3

tiempo

-2-1

5 EjemplosProcesos Gaussianos

5 Ejemplos

Diremos que un proceso es gaussiano, si cualquier colección de VA del proceso tiene distribución conjunta gaussianaEl proceso está totalmente descrito si conocemos sufunción media y suEl proceso está totalmente descrito si conocemos sufunción media y su autocovarianza (o auticorrelación)

Estacionariedad en sentido débil = estacionariedad en sentido estrictoUn proceso es independiente C(ti,tj)=0 Ej i i F b 2003

Sean X e Y dos VA independientes y normales con media 0 y varianza 1, se define el proceso gaussiano:

Ejercicio. Febrero 2003

Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)

a) Determine la función de probabilidad conjunta de Z(t1) y Z(t2).


) p j ( 1) y ( 2)b) Estudie la estacionariedad en sentido débil y estricto.

5 EjemplosProcesos Autorregresivos

5 Ejemplos

Un proceso autorregresivo de orden 1, AR(1), tiene la siguiente forma:2( ) ( 1) ~ (0, )t tX t c X t Nα ε ε σ= + − +

( )[ ] ( )[ ] ( ) 2

2

2

2

11Var

1 ασατ

ασ

α

τ

−=

−=

−= XCtXctXE

-20

2 α = 0 . 7

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0-4

-10

12

3 α − 0 . 5


0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

-3-2

procesos.ppt [modo de compatibilidad] · procesos estocásticos 1i t d ió t bá i1 introducción y...

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