Fakultät für Wirtschafts­wissenschaft

Univ.­Prof. Dr. Wilhelm RödderUniv.­Prof. Dr. Hermann SingerDr. Peter Zörnig

Modul 32741Vertiefung der Wirtschafts­mathematik und Statistik

Kurs 42220Vertiefung der Linearen Algebra und AnalysisKurs 42221Vertiefung der Statistik

LESEPROBE

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Fakultät für Wirtschafts­wissenschaft

Kurs 42220

Vertiefung der Linearen Algebraund Analysis

Inhaltsverzeichnis i

Inhaltsverzeichnis

KE 1 Ausgewählte Instrumente der Linearen Algebra

1 Determinante ........................................................................................... 1

1.1 Die 2- und die 3-reihige Determinante ...................................................... 1

1.2 Die n-reihige Determinante ...................................................................... 6

1.3 Anwendungen der Determinantenrechnung ............................................ 16

2 Eigenwerte und quadratische Formen ................................................ 23

2.1 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen ....................... 23

2.2 Quadratische Formen und ihre Definitheit .............................................. 28

2.3 Diagonalisierung durch quadratische Ergänzung .................................... 35

3 Spezielle Teilmengen des 𝑹𝒏 und ihre Eigenschaften ........................ 43

3.1 Der ökonomische Sachbezug .................................................................. 43

3.2 Polyeder ................................................................................................... 44

3.3 Kegel ....................................................................................................... 52

4 Grundlagen der linearen Planungsrechnung ..................................... 57

4.1 Die Deckungsbeitragsrechnung .............................................................. 57

4.2 Basislösungen und Polyederecken .......................................................... 60

4.3 Graphische Lösung einer Planungsaufgabe ............................................ 67

4.4 Der Simplexalgorithmus ......................................................................... 70

Lösungen zu den Übungsaufgaben .................................................................... 83

Stichwortverzeichnis ........................................................................................... 99

Kapitel 1

1 Determinante

1.1 Die 2- und die 3-reihige Determinante Die Determinante eines 2 × 2 Zahlenschemas a11 a12 a21 a22

oder eines 3 × 3 Zahlenschemas a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

ist jeweils eine reelle Zahl. Sie wird mit

mit bzw. oder det2221

1211

2221

1211aaaa

aaaa

333231

232221

131211

333231

232221

131211 oder det

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

bezeichnet.

Geometrisch bedeutet die 2-reihige Determinante die Fläche des Parallelogramms der Zeilenvektoren

).,( ),,( 2221T2

1211T1 aaaa == aa

Ebenso bedeutet die 3-reihige Determinante das Volumen des Parallelepipeds der Zeilenvektoren

).,,( ),,,( ),,,( 333231T3

232221T2

131211T1 aaaaaaaaa === aaa

Die folgende Abbildung trägt zur Visualisierung des bisher Gesagten bei.

Determinante

det

2 1 Determinante

Abb. 1.1.1: 2- und 3-reihige Determinante

Ein wenig genauer ist die Determinante die Fläche bzw. das Volumen „bis auf das Vorzeichen“. Das Vorzeichen hängt dabei von der Orientierung der Vektoren a1T, a2T bzw. a1T, a2T, a3T ab, d. h. von der Reihenfolge ihrer Anordnung.

Am besten vergegenwärtigt man sich die Sache mit der Orientierung an der Ein-heitsfläche bzw. dem Einheitswürfel als einfachstem Parallelogramm bzw. Paral-lelepiped.

Im zweidimensionalen Fall gibt es die beiden Orientierungen

1 2 und 2 1.

Im dreidimensionalen Fall gibt es die sechs Orientierungen

1 2 3 , 2 1 3 , 2 3 1 , 3 2 1 , 3 1 2 , 1 3 2.

Der Einfachheit halber wurden nur die Indizes der Einheitsvektoren e1, e2 bzw. e1, e2, e3 hingeschrieben. Die Zahlentupel bzw. -tripel heißen bekanntlich Permu-tationen der Zahlen 1 2 bzw. 1 2 3.

Eine solche Permutation heißt gerade (+), falls sie aus einer geraden Zahl von Vertauschungen benachbarter Zahlen entsteht – so genannter Inversionen – sonst heißt sie ungerade (–). Achtung! Dieser Inversionsbegriff hat mit der Matrixinver-sion nichts gemein!

Im zweidimensionalen Fall sind die Permutationen 1 2 bzw. 2 1 gerade bzw. ungerade; im dreidimensionalen Fall hat man in der obigen Reihenfolge +, –, +, –, +, – .

Orientierung von Vektoren

Permutationen

gerade Permutation

ungerade Permutation

1.1 Die 2- und die 3-reihige Determinante 3

Nun ist es so, dass die Einheitswürfel gerader Permutationen und die Einheitswürfel ungerader Permutationen gar nicht untereinander unterscheidbar sind, wohl aber voneinander:

Der Einheitswürfel aus e1, e2, e3 im Koordinatenkreuz links

ist gleich dem aus e2, e3, e1 im

identischen Koordinatenkreuz

rechts,

2 3 1 ist eine gerade Permutation von 1 2 3; die Orientierung ist gleich. Der Würfel wurde nur gedreht, vergewissern Sie sich mit der „Rechte-Hand-Regel“ (s. o.).

Einheitswürfel mit gleicher Orientierung sollen gleiches, solche mit verschiedener Orientierung aber verschiedenes Vorzeichen haben.

Vertauscht man zwei Einheitsspalten, so ist stets eine ungerade Anzahl von Inver-sionen nötig, um das zu erreichen.

Übungsaufgabe 1.1.1

Vertauschen Sie in 1 2 3 die Vektoren 1 und 3 und stellen Sie diese Vertauschung als Folge von Inversionen dar!

Beispiel 1.1.1

Als Folge des bisher über Einheitsquadrat und Einheitswürfel Gesagten gilt also z. B. für deren Vorzeichen:

x1

x2

1

11

x3

4 1 Determinante

i) 10110

det ;11001

det −=

=

;

ii) 1001100010

det ;1100001010

det ;1100010001

det =

−=

=

.

Wie bei Einheitswürfeln wird nun auch allgemein bei Determinanten die Reihen-folge der Zeilenvektoren bestimmend für das Vorzeichen. So haben die Fläche bzw. das Volumen in Abb. 1.1.1 positives Vorzeichen. Die jeweils aufspannenden Vektoren folgen der Orientierung nach der „Rechte-Hand-Regel“.

Zwei andere Eigenschaften der Determinante visualisieren wir im R2, im R3 wird das schon ein wenig unübersichtlich:

• die Determinante ist homogen in der ersten Zeile • die Determinante ist additiv in der ersten Zeile.

Homogenität und Additivität zusammen machen gerade die Linearität aus.

Homogenität bedeutet und 2221

1211

2221

1211aaaa

aaaa

λ=λλ

Additivität bedeutet 2221

21

2221

21

2221

2211 + aabb

aaaa

aababa

=++

.

λ ist hier eine reelle Zahl und a, a1, a2, b sind Vektoren, vgl. Abb. 1.1.2.

Abb. 1.1.2: Homogenität und Additivität der Determinante im R2

Linearität von det

1.1 Die 2- und die 3-reihige Determinante 5

Die etwas langatmigen Betrachtungen dieses Abschnitts werden zu den folgenden Determinanteneigenschaften zusammengefasst.

Determinanten im R2

Zu zwei Vektoren ),( 1211T1 aa=a , ),( 2221

T2 aa=a ist

=

2221

1211

2221

1211 detaaaa

aaaa

(D0) eine Zahl.

Für die Determinante det gilt ferner

(D1) ;det detdet T2

T

2T

T

T2

TT

β+

α=

β+αab

aa

aba

det ist linear in der ersten Zeile.

(D2) ;detdet T1

T2

T2

T1

−=

aa

aa

det ist alternierend. D. h. bei Vertauschung zweier Zeilen ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

(D3) ;11001

det =

bei richtiger Orientierung ist die Fläche des Einheitsquadrats gleich 1.

Determinanten im R3

Zu drei Vektoren ),,( 131211

T1 aaa=a , ),,( 232221T2 aaa=a , ),,( 333231

T3 aaa=a ist

=

333231

232221

131211

333231

232221

131211det

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

(D0) eine Zahl.

alternierend

6 1 Determinante

Für die Determinante det gilt ferner

(D1) ;det detdetT3

T2

T

3T

2T

T

T3

T2

TT

β+

α=

β+α

aab

aaa

aa

ba

det ist linear in der ersten Zeile.

(D2) ;detdetT

T

T

T

−=

i

k

k

i

a

a

a

a

det ist alternierend. D. h. bei Vertauschung zweier Zeilen ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

(D3) ;1100010001

det =

bei richtiger Orientierung ist das Volumen des Einheitswürfels gleich 1.

Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass man auch zu einer reellen Zahl eine einreihige Determinante det a definieren kann. Diese (entartete) Determi-nante erfüllt natürlich auch (D0), (D1) und (D3); (D2) entfällt.

Es ist nun an der Zeit, auf die allgemeinere Frage der Determinante im Rn überzu-gehen.

1.2 Die n-reihige Determinante

Angesichts des vorigen Abschnitts erscheinen einige Passagen des folgenden Textes redundant. Dennoch scheuen wir aus Gründen der mathematischen Vollständig-keit Wiederholungen nicht.

Definition 1.2.1 (Determinante)

Unter der Determinante der n-Zeilenvektoren TT1 ,, naa (oder auch

−×][

]1[

nnn

a

aMatrix ) versteht man

einreihige Determinante

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Kapitel 1

Übungsaufgabe 1.1.1

Aus 123 soll also 321 entstehen. Das geschieht mittels folgender ungeraden –nämlich 3 – Zahl von Inversionen:

123 132 312 321

Übungsaufgabe 1.2.1

Zu zeigen: Addiert man zu einer Zeile das λ -fache einer anderen, so bleibt der Zahlenwert unverändert:

a

a a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

1 1 1T

T T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

i k

k

n

i

k

n

k

k

n

Linearität+

=+

λλ

.Behauptung diefolgt hat, 0den Wert eilen gleichen Z zwei

mit teDeterminan eine da und

Übungsaufgabe 1.2.2

Nach der Sarrus-Regel gilt

A =aaa

aaa

aaa

11

21

31

12

22

32

13

23

33

332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++= .

Fakultät für Wirtschafts­wissenschaft

Kurs 42221

Vertiefung der Statistik

Inhaltsverzeichnis

I Induktive Statistik 15

1 Grundlagen der induktiven Statistik 17

2 Punkt-, Intervallschatzung, Hypothesentests 41

3

3 Tests bei speziellen Parametern

3.1 Gesichtspunkte bei statistischen Tests . . . . . . . . . . .

3.2 Ein-Stichproben-Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

85

86

3.3 Zwei-Stichproben-Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4 Zusammenhangsanalyse 125

5 Regressionsanalyse137

6 Varianz-Analyse165

II Empirische Sozialforschung 181

7 Statistik und Empirische Forschung 183

8 Qualitative vs. quantitative Methoden 187

9 Der Forschungsprozeß 191

10 Falsifikation und statistische Hypothesenprufung 215

11 Hypothesenprufung mit Pradiktionsregeln 219

III Computergestutzte Datenanalyse 235

12 Fallstudien 239

13 Erste Auswertungsschritte 265

14 Gesichtspunkte bei statistischen Analysen 289

15 Fallstudie: Filialgestaltung und Kundenzufriedenheit 393

IV Anhang 451

16 Aufgaben 453

17 Tabellen 485

18 Notation und Rechenregeln 519

Seite: 104 KAPITEL 3. TESTS BEI SPEZIELLEN PARAMETERN

3.3 Zwei-Stichproben-Fall

3.3.1 Unabhangige Stichproben

3.3.1.1 Quantitative Merkmale:Vergleich von Erwartungswerten

In vielen Anwendungen kann die Stichprobe in zwei oder mehrere un-abhangige Untergruppen aufgeteilt werden.

Beispiele:

• Zufriedenheit in Bankfilialen mit unterschiedlichem Gestaltungs-konzept

• Umsatze mit/ohne Werbemaßnahme

• Arbeitslosenzahlen in alten/neuen Bundeslandern

• BIP-Wachstum Europa/Ubersee

• Unterschiede im Kaufverhalten zwischen Mannern/Frauen

• Anderung von Prozentwerten bei Wahlumfragen.

Test desErwartungswerts

(2-Stichproben-

fall)

Auch hier ergeben sich wieder unterschiedliche Test-Hypothesen fur dieErwartungswerte der Merkmale X (Stichprobe 1) und Y (Stichprobe 2):

2-seitiger Test:

H0 : µx − µy = δ0 (3.90)

H1 : µx − µy 6= δ0 (3.91)

1-seitiger Test; kritischer Wert rechts:

H0 : µx − µy ≤ δ0 (3.92)

H1 : µx − µy > δ0 (3.93)

1-seitiger Test; kritischer Wert links:

H0 : µx − µy ≥ δ0 (3.94)

H1 : µx − µy < δ0. (3.95)

Die kritischen Bereiche sind wiederum Abb. 3.1 zu entnehmen.

3.3. ZWEI-STICHPROBEN-FALL Seite: 105

Als Prufgroße ist die Mittelwertsdifferenz

X − Y − δ0 (3.96)

naheliegend, wobei

X =1

N

∑Xn (3.97)

Y =1

M

∑Ym (3.98)

die Mittelwerte in Stichprobe 1 und 2 sind (Stichprobenumfange N undM).

Wie im Einstichprobenfall lassen sich verschiedene Konstellationen un-terscheiden:

1. X ∼ N(µx, σ2x), Y ∼ N(µy, σ

2y)

σ2x und σ2

y bekannt

Varianzterm: S =

√σ2x

N+

σ2y

M

2. X ∼ N(µx, σ2x), Y ∼ N(µy, σ

2y)

σ2x = σ2

y, aber unbekannt

Varianzterm: S =√

( 1N

+ 1M

)(N−1)S2

x+(M−1)S2y

N+M−2

3. X ∼ N(µx, σ2x), Y ∼ N(µy, σ

2y)

σ2x 6= σ2

y und unbekannt (Behrens-Fisher-Problem)

Varianzterm: S =

√S2x

N+

S2y

M

Freiheitsgrade: k ≈

(S2xN

+S2yM

)2

(S2xN

)2

/(N−1)+

(S2yM

)2

/(M−1)

(gerundet)

Behrens-Fisher-

Problem

Seite: 106 KAPITEL 3. TESTS BEI SPEZIELLEN PARAMETERN

4. X, Y beliebig verteilt, N,M > 30

Varianzterm: S =

√S2x

N+

S2y

M

Die Prufgroße hat die einheitliche Form

X − Y − δ0

S, (3.99)

wobei die Varianzterme oben aufgefuhrt wurden.

Fall Prufgroße Prufverteilung

1 Z = X−Y−δ0S

Z ∼ N(0, 1)

2 T = X−Y−δ0S

T ∼ t(N +M − 2)

3 T = X−Y−δ0S

T ∼ t(k)

4 T = X−Y−δ0S

Ta∼ N(0, 1) fur N,M > 30

Tabelle 3.6: 2-Stichproben-Tests fur Erwartungswerte.

Begrundung fur die Varianzterme:

1. Var(X − Y − δ0) = Var(X) + Var(Y ) = σ2x

N+

σ2y

M,

da δ0 eine Konstante ist und die Stichproben unabhangig sind (an-sonsten ware bei abhangigen Stichproben noch ein Kovarianzterm−2 Cov(X, Y ) zu berucksichtigen.

2. falls σ2x = σ2

y = σ2, aber unbekannt:

durch gepooltes (alle Daten zusammenfassen)

S2 = [(N − 1)S2x + (M − 1)S2

y ]/(N +M − 2) schatzen.

SSQ = (N − 1)S2x + (M − 1)S2

y =∑

n(Xn − X)2 +∑

m(Ym − Y )2,

daher ist SSQ/σ2 ∼ χ2(N +M − 2)-verteilt.

3.3. ZWEI-STICHPROBEN-FALL Seite: 107

Normiert man den Nenner X − Y − δ0 mit seiner Varianz (Ziffer 1,gleiche Varianzen), so ergibt sich die t-Variable

T =(X − Y − δ0)/

√σ2

N+ σ2

M√(N−1)S2

x+(M−1)S2y

σ2(N+M−2)

∼ t(N +M − 2)

Dies ist aber der Varianzterm aus Fall 2 (oben). Bitte nachrechnen.

3. Wenn die Varianzen unbekannt und auch nicht gleich sind, so istdas Testproblem fur die Differenzen nur naherungsweise losbar [eineexakte Losung ist im Bayesianischen Paradigma moglich (Behrens-Fisher-Verteilung; vgl. Box und Tiao 1973, Kap. 2.5)]. Eine Appro-ximation der Verteilung der Prufgroße durch die t-Verteilung istoben angegeben.

4. Schließlich sind bei großen Stichprobenumfangen die MittelwerteX, Y approximativ normalverteilt (zentraler Grenzwertsatz) unddie Varianz-Schatzungen S2

x, S2y streben gegen die Parameter σ2

x, σ2y.

Daher ist die Teststatistik approximativ normalverteilt.

Beispiel 3.6 (Werbemaßnahme)

In einem Teil einer Supermarktkette (X,N = 20) wurde eine Werbemaß-nahme durchgefuhrt. Nun soll die Wirksamkeit der Maßnahme anhandeines Vergleichs der Umsatze untersucht werden. Es ergaben sich folgendeStatistiken (in TEuro):

x = 12.34, y = 3.38

sx = 5.08, sy = 2.07

N = 20,M = 20.

Die Werbemaßnahme erhoht also offenbar stark den Umsatz, jedoch sindauch die Streuungen sehr unterschiedlich.

Es ist nicht bekannt, ob die Varianzen gleich sind.

Daher ist Fall 3 relevant.

Varianzterm: s =

√s2xN

+s2yM

=√

5.082

20+ 2.072

20= 1.23

Teststatistik: t = x−y−δ0S

= 7.30

Freiheitsgrade: k ≈

(S2xN

+S2yM

)2

(S2xN

)2

/(N−1)+

(S2yM

)2

/(M−1)

= 25.14 ≈ 25

Hypothesen:

Seite: 108 KAPITEL 3. TESTS BEI SPEZIELLEN PARAMETERN

H0 : µx ≤ µy

H1 : µx > µy (Werbung starkt den Umsatz)

kritischer Wert: t(1− α, k) = t(.95, 25) = 1.708

Testentscheidung: da t > t(1 − α, k), wird H1 angenommen (Werbungstarkt den Umsatz).

�

3.3.1.2 Dichotome Merkmale:Vergleich von Anteilswerten

Haufig mussen Prozentwerte einer Eigenschaft in verschiedenen Popula-tionen verglichen werden, etwa A = Zugehorigkeit zur Mittelschicht imVergleich Hauptschule/Gymnasium oder Prozentwerte von Parteien inden alten/neuen Bundeslandern.

In diesem Fall werden als Stichprobenvariablen die Indikatoren Xn, Ymbetrachtet, die das Vorliegen der Eigenschaft A in Stichprobe (Gruppe)1 oder 2 anzeigen:

Xn =

{1 wenn A in Stichprobe 10 sonst

(3.100)

Ym =

{1 wenn A in Stichprobe 20 sonst

(3.101)

(Bsp.: Xn = 1, wenn die n-te Person die A-Partei in Westdeutschlandwahlt, 0 sonst).

Als Hypothesen formuliert man fur die unbekannten Wahrscheinlichkei-ten πx = P (A|1) = E[X], πy = P (A|2) = E[Y ]:Test von

Anteilswerten (2-

Stichprobenfall)2-seitiger Test:

H0 : πx − πy = δ0 (3.102)

H1 : πx − πy 6= δ0 (3.103)

1-seitiger Test; kritischer Wert rechts:

H0 : πx − πy ≤ δ0 (3.104)

H1 : πx − πy > δ0 (3.105)

1-seitiger Test; kritischer Wert links:

H0 : πx − πy ≥ δ0 (3.106)

H1 : πx − πy < δ0. (3.107)

3.3. ZWEI-STICHPROBEN-FALL Seite: 109

Die kritischen Bereiche sind Abb. 3.1 zu entnehmen.

Die Testgroße ist die Differenz der empirischen Anteilswerte

πx = Px = X =1

N

∑n

Xn (3.108)

πy = Py = Y =1

M

∑m

Ym. (3.109)

Die Streuung der Anteilswerte kann durch

S2x =

πx(1− πx)N

(3.110)

S2y =

πy(1− πy)M

(3.111)

geschatzt werden.

Die Testgroße

Z =πx − πy − δ0√

S2x + S2

y

a∼ N(0, 1), N,M > 30 (3.112)

ist fur genugend große Stichproben asymptotisch normalverteilt.

Beispiel 3.7 (Politbarometer, Veranderung)

Die Prozentwerte der Parteien fur den April 2009 sind in Abb. 3.4 zusehen. Gegenuber der letzten Umfrage vom Marz 2009 (Abb. 2.3) ergebensich Unterschiede.

Sind diese aber auch relevant bzw. signifikant (statistisch bedeutsam)?

In der Teststatistik und dem kritischen Wert mischen sich Effektstarke(Unterschiede), Stichprobengroße und Signifikanzniveau. Praktische Re-levanz bzw. statistische Signifikanz mussen daher strikt unterschiedenwerden (etwa Signifikanz durch hohere Fallzahl bei gleicher Differenz).

Die Prozentwerte im Marz waren:

πy = {0.4, 0.25, 0.14, 0.08, 0.09, 0.04}Im April ergab sich

πx = {0.41, 0.27, 0.11, 0.08, 0.09, 0.04}

Seite: 110 KAPITEL 3. TESTS BEI SPEZIELLEN PARAMETERN

Abbildung 3.4: Politbarometer vom 24.4.2009.

3.3. ZWEI-STICHPROBEN-FALL Seite: 111

Differenz:

πx − πy = {0.01, 0.02,−0.03, 0., 0., 0.}(FDP verlor 3 Prozentpunkte)

Diese Differenzen mussen aber in Relation zu den Schatzfehlern gesehenwerden:

sx = {0.0129, 0.0117, 0.0082, 0.0071, 0.0075, 0.0052}sy = {0.0139, 0.0123, 0.0098, 0.0077, 0.0081, 0.0056}s =

√s2x + s2

y = {0.019, 0.0169, 0.0128, 0.0105, 0.0111, 0.0076}Die Schatzfehler liegen somit im Prozentbereich, etwa bei CDU/CSU1.9%. Daher ist eine Steigerung von 1% vermutlich nicht statistisch be-deutsam.

Hypothesen (2-seitiger Test)

H0 : πx − πy = 0

H1 : πx − πy 6= 0

Teststatistik:

z =πx − πy√s2x + s2

y

= {0.5269, 1.1806,−2.3393, 0, 0, 0}

Kritischer Wert: z(.975) = 1.96 (z(.995) = 2.58).

Auf dem 5%-Niveau ist nur die Veranderung des FDP-Werts (–0.03) si-gnifikant.

�

3.3.1.3 Stetige Merkmale:Vergleich von Varianzen

Meistens wird bei Gruppenvergleichen nur der Mittelwertsunterschiedgetestet. Jedoch konnen sich auch andere Parameter der Verteilungenfx(x), fy(y) in den Gruppen geandert haben (etwa die Streuung oder dieKurtosis bei Renditen vor und nach der Finanzkrise).

Auch konnen Interventionseffekte (Werbemaßnahmen, Trainingseffekte)auch auf der Ebene der Streuungen sichtbar sein (großere Heterogenitatdurch die Maßnahme).

Dies fuhrt auf das Testproblem