modul geometri - hmtppolman.weebly.com · satu sisi dan dua sudut sama besar 2. ... dua segitiga...
TRANSCRIPT
MODUL GEOMETRI
Mengerti, memahami, dan memiliki pengetahuan serta kemampuan untuk menerapkan ilmu matematika dalam memecahkan masalah di bidang teknik
Standar Kompetensi
Pertemuan ke 10
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 1
1. Mampu melakukan pengukuran sudut dengan berbagai cara2. Mampu menghitung kll dan luas bidang datar 3. Dapat menggambar bangun ruang4. Dapat menghitung luas permukaan dan isi bangun ruang
Kompetensi Dasar
Indikator Hasil Belajar
1. Mampu menunjukan hubungan antara satuan derajat dengan radian2. Mengetahui sifat-sifat segitiga3. Menghitung luas luas segitiga4. Mengetahui sifat-sifat segi empat5. Menghitung luas segi empat6. Mengitung:kll,luas, dan luas bagian lingkaran 7. Menghitung luas daerah dengan aturan Trapesium8. Mampu menggambar betuk prisma, limas dan elipsoida9. Mampu menghitung luas permukaan prisma kubus,baluk,tabung,
limas, kerucut dan bola10. Mampu menghitung volume sebuah: prisma balok,tabung, kerucut,
bola dan elipsoida
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 2
1. Pengukuran sudut2. Segi tiga3. Segi empat4. Segi – n5. Lingkaran6. Elips7. Bidang tak beraturan
Materi PokokDasar-Dasar Geometri Bidang
Geometri Ruang
1. Bujursangkar , Kubus, Selinder,dan kerucut2. Prisma3. Limas4. Bola
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 3
Dasar-Dasar Geometri Bidang
Sudut Datar dan Garis
O
B
A
AOB
Arah
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 4
Satuan sudutderajat radian
1 putaran = 3600 (derajat)1 derajat = 60’ (menit)1 menit = 60 “ (detik)
lingkaranjarijarilingkaranbusurPanjangradiandalamSudut
Sudut dalam radian = 2 2r
r
1 putaran = 3600 ( sama dengan keliling limgkaran), berarti 2 radian = 3600
radian = 1800
1 radian = 0
0
3,57180
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 5
Nyatakan sudut 1100 kedalam radian
.92,1180
110110 000 rad
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 6
Perpotongan Dua Garis Lurus
Jika dua garis lurus berpotongan, ada dua sudut bertolak belakang yang sama
A1
A4A3A2
belakangbertolak sudut Sudut42
31
AAAA
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 7
Jika ada dua garis sejajar dipotong oleh satu garis lurus, maka ada sudut-sudut yang sama, yaitu:
Sudut sehadapSudut dalam berseberanganSudut luar bersebrangan
A31
B
42
31
2
anbersebrangluar sudut Sudut
anbersebrang dalamsudut Sudut
sehadapsudut Sudut
13
42
24
31
44
33
22
11
BABA
BABA
BABABABA
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 8
Bidang Datar
Segitiga
Setiap segitiga berlaku sifat-sifat
a). Jumlah sudut dalamnya sama dengan 1800.( + + = 1800)b). Jumlaj sudut luar sama dengan 3600 (.( 1+ 1 + 1 = 3600)c). Hubungan antara sudut luar denga dalam
1=. +
1 = +
1 = +
1
1
1
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 9
Segitiga sama dan sebangun ( )
Dua buah segitiga disebut sama dan sebangun , jika:
1. Satu sisi dan dua sudut sama besar2. Dua sisi dan sudut antara dua sisi tersebut sama
besar3. Ketiga sisinya sama
Segitiga Sebangun ( )
Dua segitiga adalah sebagun, jika ketiga sudut yang seletak sama besar
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 10
A
D
C
E
B
sebangunadalah dan ABCDECCBACDECABCDEACBDCE
Untuk segitiga sebangun berlaku perbandingan
CBCE
CACD
ABDE
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 11
Luas daerah segitiga dan keliling segitiga
A
t
B
C
c
ab
Keliling segitiga s = a + b + c
2
))()((2
cbas
csbsassL
tinggixalasL
CabBacAbcL sin21sin
21sin
21
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 12
Teorema Phytagoras pada segitiga
cb
c2 = a2 + b2
a
s s
a
300
600600
300
321 s
s21
s21
s
s2
21 s
450
450
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 13
Sebuah baji yang simetris mempunyai panjang ( dari alas kepuncaknya 100 mm). Lebar alasnya 20 mm. Bila baji tersebut ditempatkan pada celah yang lebarnya 8 mm, berapakah panjang baji tersebut dari celah
Penyelesaian: Misalkan panjang baji dari celah = x mm
20 mm8 mm
100 mm
x (100 –x) mm
100 : (100-x) = 20 : 8
x = 60 mm
Contoh 1
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 14
Contoh 2
Sebuah kerucut mempunyai diameter 48 mm dengan tinggi 60 mm. Dari kerucut ini dibentuk kerucut yang lebih kecil yang tingginya 20 mm. Hitung diameter dari kerucut yang lebih kecil tersebut.
Penyelesaian:
20
60
B
20
ED
A
CG
F
2424
AFE AGC
8243/1
246020
FEXFE
FEGCFE
AGAF
Jadi diameter kerucut yang lebih kecil 2.8 mm =16 mm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 15
Sebuah segitiga mempunyai panjang sisi 15 mm, 24 mm, 36 mm, panjang sisi terpendek segitiga sebangunnya adalah 20 mm. Hitunglah panjang kedua sisi yang lainnya.
Sabuk penggerak bersilangan menghubungkan pully yang berdiameter 100 mm dan 240 mm. Hitung jarak di mana sabuk bersilangan diukur dari pusat pully yang terbesar.
1
2
240 mm 100 mm
400 mm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 16
Tiga kabel melalui lubang berbentuk lingkaran. Bila kabel berdiameter 8 mm. Tentukan kemungkinan terkecil diameter lubang (D)Gambar.
3
Dua buah lingkaran masing-masing berdiameter 78 mm dan 50 mm berpotongan pada A dan B. Jika tali busur AB mempunyaipanjang 30 mm, sedangkan C dan D masing-masing adalahlingkaran yang besar dan kecil . Hitunglah:a. Jarak pusat lingkaran – lingkaran tersebut ( CD)b. Luas setiga CAD
4
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 17
Ke 11Ke 11
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 18
Segiempat
Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup
A
DC
B
Empat persegi panjang
E
D C
BA a
d
c
b
AB = CD dan AB // CDAD = BC dan AD // BC
A = B = C = D =90o
AC dan BD diagonalKeliling = 2 ( panjang + lebar )Luas = panjang x lebar
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 19
Bujur Sangkar
AB = CD dan AB // CDAD = BC dan AD // BC
A = B = C = D =90o
AC dan BD diagonal AC = BDAE=EC=DE=EBDE AC Keliling = 4aLuas = a2
A
DDA
B
E
a
a
a
a
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 20
Jajaran Genjang
Sifat-sifat jajaran genjang:Dua buah pasang sisinya sejajarSudut yang berhadapan sama besar.
AC = DC; AD = BCAE = EC ; DE = EB
A = C ; B = DKll = ( AB + BC ).2Luas = alas x tinggi atauLuas = ½ ( hasil kali diagonal)
A B
D C
E
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 21
Belah Ketupat
AB = BC = CD = DAAB//CDAD//BCDE ACLuas = ½ ( AC x BD )Luas = alas x tinggi
Sifat-sifat belah ketupat-. Panjang semua sisi adalah sama-. Sisi yang berhadapan adalah sejajar-. Sudut-sudut yang berhadapan adalah sama besar.
A B
D C
E
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 22
Trapesium
Sifat-sifat dari trapesium yaitu mempunyai satu pasang sisi yang sejajar
AB//CD+ + + = 3600
Kll = AB + BC + CD + DA
x tinggi2
sejajar sisiJumlah Luas
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 23
CONTOH 1
Sebuah jajaran genjang dengan panjang sisi yang berdekatannya masing-masing 5 mm dan 8 mm, sudut apitnya sebesar 600 . Hitunglah:a). Panjang diagonal-diagonalnyab). Luas jajaran genjang c). Jarak antara garis-garis yang sejajar.
1
Penyelesaian
A FE
G
CD
B60O
BE = ½ BCBE = ½ x 5 =2,5
mmBD
FBDFBD
mmAC
CEAEAC
749)5,28()35,2(
36,11)35,2()5,28(
22
22
22
22
Jadi BD = 7 mmGeometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 24
Luas = alas x tinggiL = AB x DFL = 8 x 2,5 3=34,64 mm
DF = 2,5 3 = 4,33 mmBG = ½ AB= ½ . 8= 4
6,93mm4848AG
BGABAG22
22
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 25
Hitunglah luas belah ketupat dengan sisi 7,2 mm dan diagonal terpanjang 10,5 mm
CONTOH 2
10,5
A
B
D
D
7,2
Penyelesaian
Luas belah ketupat adalah jumlah luas 2 buah setiga ABC dengan panjang sisi 7,2, 7,2 dan 10,5
a = 7,2; b = 10,5 dan c = 7,2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 26
287,25)2,745,12)(5,1045,12)(2,745,12(45,12 Luas
))()(( Luas
45,122
2,75,102,72
mmABC
csbsassABC
cbas
L = 2 x 25,87 = 51,7 mm2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 27
Soal 5Soal 5
Diketahui segitiga OAB seperti pada gambar
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 28
O A
B
DC
T
2y
y
x
3x
Titik C pada garis AB dan titik D pada garis OB. Titik T
perpotongan OC dan AD sedemikian hingga AC:CB = 2 : 1 dan
OD : DB = 1 : 3. Tentukan OT : TC !
PenyelesaianPenyelesaian
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 29
Panjang OA tidak ditentuka n maka berlaku untuk semua segitiga. Diambil Segitiga OAB siku-siku di B, panjang OA = 5, BO = 4 dan AB = 3
O A
B
DC
T 2
1
1
3
G H FE5
Perhatikan segitiga ABO
Kesamaan luas segitiga OAB = Luas segitiga ABO
BOABEBOA .21.
21
5.EB = 3 . 4
512EB
Perhatikan segitiga OBE siku-siku di E
516
5124
)()(2
2
22
OE
BEBOOE AE = AO – OE
59
5165
AE
AE
Perhatikan OBE ODG
53
512
14
DG
DG
DGBE
ODOB
54
516
14
OG
DG
OGOE
ODOB
Jadi Koordinat Titik D 53,
54
O A
B
DC
T 2
1
1
3
G H FE5
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 30
O A
B
DC
T 2
1
1
3
G H FE5
Perhatikan ABE ACF
58
512
23
CF
CF
CFBE
ACAB
519
565
56
59
23
OF
CF
AF
AFAE
ACAB
Jadi Koordinat Titik C
Dan
58,
519
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 31
O A
B
DC
T 2
1
1
3
G H FE5
Persamaan grs OC: grs melalui titik O(0,0) dan C( 19/5, 8/5)
Pers. grs OC:
58
519
058
0
05
190
yx
yx
xy198
1Jadi pers. grs OC:Persamaan grs AD: grs melalui titik O(5,0) dan C( 4/5, 3/5)
53
521
5
053
0
554
5
yx
yx
Jadi pers. grs AD:75
2xy
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 32
O A
B
DC
T 2
1
1
3
G H FE5
xy198
1
75
2xy
Titik T titik tengah perpotongan daris OC dan AD, akibatnya:
y1 = y2
1519
51975
51956
75
198
x
x
xx
xx
Jadi OH =
1519
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 33
O A
B
DC
T 2
1
1
3
G H FE5
Perhatikan OHT OFC
31
5191519
OCOT
OCOT
OFOH
OCOT
Akibatnya:
21
131
TCOTTCOT
OTOCOT
TCOT
Jadi OT : TC = 1 : 2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 34
Soal 10Soal 10
Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar 1
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 35
Gambar 1
Luas daerah yang diarsir =
Penyelesaian
Luas ABD + Luas ABE 2 Luas ABC
= ½ 4 6 + ½ 4 9 2 ½ 4 3 = (12 + 18 12) cm2
Jadi luas daerah yg diarsir 18 cm2
Soal 11Soal 11ABC adalah sebuah segitiga dengan panjang AB
= 6. Dibuat sebuah lingkaran dalam yang menyinggung sisi AB di K, AC di L dan BC di M (lihat gambar 2). Jika panjang LC = 5, tentukan keliling segitiga ABC.
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 36
Gambar 2
Soal 12Soal 12
Pada segitiga ABC diketahui panjang AC = 5, AB = 6 dan BC = 7. Dari titik C dibuat garis tegak lurus sisi AB memotong sisi AB di titik D. Tentukan panjang CD.
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 37
Soal 13Soal 13
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 38
Perhatikan gambar. AB dan CD adalah diameter lingkaran dengan AB = CD = 8 serta AB dan CD saling tegak lurus. Busur AC, CB, BD dan DA adalah 4 busur yang kongruen dengan dua busur yang berdekatan saling bersinggungan. Tentukan luas daerah yang diarsir. (Jawaban boleh dinyatakan dalam . Ingat bahwa 22/7 maupun 3,14.)
E F
GH
C
A B
DBuat persegi EFGH dengan A, B, C dan D adalah pertengahan sisi-sisinya. Luasarsir = Luaspersegi EFGH 4 Luas1/4 lingkaran
Luasarsir = 8 8 4 (¼ 42)
Luasarsir = 64 16
A O
CE
Cara Lain :
Misal perpotongangaris AB dan CD dititik O
Luastembereng AC = Luas1/4 lingkaran Luas AOC = 4 8 Luas arsir = Luas lingkaran 8 Luas tembereng
Luas arsir = 42 8 (4 8)
Luas arsir = 64 16Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 39
Alternatif 2 :Misal perpotongan garis AB dan CDdi titik OLuastembereng AC = Luas1/4 lingkaranLuas AOCLuastembereng AC = ¼ 42 ½ 44Luastembereng AC = 4 8Luas arsir = Luas lingkaran 8Luas temberengLuas arsir = 42 8 (4 8)Luas arsir = 64 16
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 40
SoalSoal 44
Pada segitiga ABC, titik F membagi sisi AC dalam perbandingan 1: 2. Misalkan, G titik tengah BF dan E titik perpotongan antara sisi BC dengan AG. Tentukan perbandingan, titik E membagi sisi BC
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 41
Penyelesaian:Teori:Perbandingan seharga dan segitiga sebangun
Karena segita ABC berlaku untu semua segitiga termasuk segitiga siku-siku. Ambil segitiga ABC siku-siku dan siku-siku di AMisalkan AC = 3 dan AB = 4
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 42
AB
C
F G
HD
E
1
2
4
3
Y
X
Karena segitiga ABF dan DBG sebangun berlaku:
12 maka BFngah G titik te Karena
BGBF
BGBF
DGAF
Akibatnya:
21121
DG
DG
BGBF
DGAF
Jika DG = ½ AF maka; AD = ½ AB = ½.4 = 2
Jadi Koordinat titik )212,2(G
343 y
12 4y 3x :BC grspers,an Sedangkank
x41y:AG grsPersamaan
41
221
ADDGtg
AG garis Kemiringan
xGeometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 43
343 y
12 4y 3x :BC grspers,an Sedangkank
x41y :AG grsPersamaan
41
221
ADDGtg
AG garis Kemiringan
2
1
x
Titik E berpotongan garis AG dan BC, maka y1 = y2
31
31BE :Akibatnya
1HBdan 3AHMaka,3 xmaka
343
41
BCBE
BC
xx
Jawaban: BGeometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 44
Ke 12Ke 12
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 45
Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik- titik yang berjarak tetap terhadap satu titik. Jarak yang tetap itu disebut jari-jari (r) sedangkan titiknya disebut pusat lingkaran.. Sebuah lingkaran yang berjari-jari r dengan pusat P dinyatakan dengan (P,r).
Pr
Unsur-Unsur Lingkaran
tali busur diameter
Jari-jari
Ruas garis yang menghubungkan dua titik di lingkaran dinamakan talibusur. Talibusur yang melalui pusat lingkaran dinamakan garis tengah/diameter
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 46
Diameter suatu lingkaran yang tegak lurus sebuah tali busur, membagi dua tali bususr itu
Diameter lingkaran yang melalui titik tengah ebuah tali busur, tentu tegak lurus talibusur itu
Setiap diameter lingkaran adalah sumbu simetri lingkaran itu
BA M
O
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 47
Keliling, luas , busur, sudut pusat dan juring
busur
rO
= sudut pusat
Keliling lingkaran C = 2 .r = .d ; d = diameter lingkaran
Luas lingkaran L = r2 = ¼ d2 = 3,14
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 48
Panjang busur
) 2(360360
00) rkelilingxL busur bila dinyatakan dalam derajat
2.22
x ) rrkelilingL busur dinyatakan dalam radian
Luas sektor/juring:
Lbusur
r
O
derajat dalam ), (360
20 rAsektor
2 ) (
2
22 rrAsektor
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 49
Luas Segmen lingkaran
B
rO
A Luas segmen = luas juring – luas AOB
sin21
360 22
0 rrsegmenLuas
Sifat-Sifat Lingkaran
Sudut yang terletak dipusat besarnya dua kali sudut yang terletak dikelilinglingkaran dan semua sudut yang terletak di keliling lingkaran dan semua sudut yang terletak dikeliling lingkaran pada busur yang sama adalah sama besar
Sebua sudut yang yang terletak pada segmen yang sama adalah sama besar, sehingga sudut yang terletak di kekeling setengah lingkaran adalah siku-siku.
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 50
AOB = 2 AOC
CAO = 2 CBO
PMR = RNP =900
C
O
AB
N
PO R
M
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 51
Bila dua buah tali busur sebuah lingkaran berpotongan, baik di dalam maupun di luar lingkaran tersebut, hasil kali ke dua segmen tali busur yang satu sama dengan hasil kali kedua segmen tali busur yang lain
C B
O
D A
A
O B
C
D
D
C
O
A
OA x OB = OD x OC (berpotongan di dalam)
OA x OB = OC x OD (berpotongan di luar) OAxOA = OD x OC
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 52
Dua buah garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran adalah sama panjang, dan sudut yang terletak antara garis singgung dan garis singgung dan garis garis yang ditarik dari titik itu ke pusat lingkaran tersebut adalah sama besar.
Bila dua buah lingkaran berpotongan, maka garis antar pusat akan memotong tegak lurus tali busur persekutuannya di tengah-tengah
A
B
CO
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 53
Tentukan lebar potongan bila sebuah batang bulat berdiameter 74 mm dipotong sedalam 2 mm. ( lihat gambar).
Penyelesaian
A B
C2mm
74 mm
E
Kedalaman pemotongan CO = 2 mm
O
Lebar pemotongan = x
x21OBOA
OA x OB = CO x OE
24x
144x41
2.72x21x
21
2
Jadi lebar pemotongannya adalah 24 mm
1
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 54
2. Diketahui seperti gambar
AB
600
Jika diameter lingkaran 12 mm, hitunglah MA
M
Penyelesaian
363
18
33
630630 0
0
AM
tgAM
AMOAtg
Jadi MA = 6 3
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 55
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 56
Pada gambar berikut adalah segitiga siku-siku ABC dengan lingkaran dalamnya
B
C
E
D
F A
a. Hitunglah BC dan CA jika AD = 2 cm dan BE = 3 cmb. Hitunglah diameter lingkaran dalamnya jika AB = 6 cm
dan BC = 10 cm
3
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 57
Penyelesaian
B
C
E
D
F A
109292
25x4x4x6x95x)(2x)(3
ABACBC
22
222
222
xx
AF = AD = 2BE = BD = 3AB = 5Misalkan CF = x maka CE = CF = x
Jadi BC = 13 cm dan CA = 12 cm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 58
b. Misalkan AD = y cm
A
BE
D
DF
M
y836100AC
ADBCAC 22
BE = BD = 6 – yAF = AD = yCE = CF = 8 – yBC = 10(6 – y ) + (8 – y) = 102y = 4 y = 2 = r
Jadi diameter lingkaran d = 4
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 59
Latihan
Jari-jari ketiga lingkaran berikut adalah sama.
t
1
a. Jika jari-jari ketiga lingkaran itu adalah 12cm hitunglah harga tb. Htunglah jari-jari lingkaran yang menyinggung ketiga lingkaran
itu untuk didalam dan diluar.
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 60
Empat bola timah dengan jari-jari 12 cm akan diikat bersama-sama ke dalam lak band platik seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Berapakah panjang lak band plastik yang diperlukan agar ke empat bola tersebut dapat terikat secara bersama-sama.
2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 61
Tentukanlah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut2
(a)
(b)
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 62
Pada gambar berikut hitunglah R jika p = 4,25 cm4
D
M
N
3,75
C
B A
PertemuanPertemuan keke 1313
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 63
Volume dan Luas PermukaanBenda Berdimensi 3
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 64
Balok
t
a
b
V = a.b.t
Luas permukaan A = 2 (ab + at + bt)
Kubus
x
xx
V = x3
Luas permukaan A = 6 x2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 65
Selinder
t
rVolume V = .r2.t = ¼ .d2t
Luas permukaan A = 2. .r2 + 2 .r.t = 2 .r( r + t )
h
d
D
Volume sebuah pipa dengan diameter luar D dan diameter dalam d dan tinggi h
hdDV ).(4
22
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 66
Kerucut.
t
r
i
Volume V = 1/3 .r2.t
Luas selimut = .r.i
Luas total permukaan = .r2 + .r.i
22 tri
)(hypothema pelukis garisi
Kerucut Terpancung.
r
i t
R
Volume V = 1/3 .t (R2 + R.r + r2)Luas selimut = . i ( R + r )Luas total permukaan = r2 + R2 + . i ( R + r )
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 67
Piramid.
t
Volume V = 1/3 A. t. A = luas bidang alast = tinggi.Luas total permukaan
= luas bidang alas + jumlah luas segitiga.
Prisma.Volume V = A.t
A = luas bidang alast = tinggi.
Luas total permukaan = luas bidang alas + jumlah luas bidang dimensi dua
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 68
Bola
r
Volume V = 4/3. .r3
Luas permukaan = 4 .r2
Tembereng Bola
R
r h )h(3r
6h Vatau
h)(R3h V Volume
22
2
Luas permukaan = luas permukaan lengkung + luas alas
= 2 .R.h + r2.atau= (r2 +h2) + .r2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 69
Gambar berikut menunjukkan paku keling dengan memotong batang berdiameter 5 mm, lalu ditempa kepalanya (ujungnya). Berapa panjang batang yang dibutuhkan
Contoh
1
85
318
Penyelesaian
Kepala (ujungnya) merupakan kerucut terpancung
25,32
)5,25,2.44(3
3
)(3
22
22 rRrRhVolume
Benda ini ditempa dari selindris berdiameter 5 mm. Misalkan panjang selindris = l
Maka
16,525,625,32
25,324
.5. 2
l
l Tambahan panjang yang dibutuhkan = 5,16 – 3 = 2,16
Sehingga potongannya = 18 + 2,16 = 20,16
Jadi panjang batang diperlukan adalah 20,16 mm
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 70
2 Sebuah tangki penyimpanan air panas terlihat pada gambar . Jari-jarinya 400 mm dan tingimginya 900 mm. Tentukan luasnya dalam meter persegi yang dibutuhkan untuk memutup seluruh tanggi.
r
h
r
Jari-jari selinder r = 400 mm = 0,4 m
Penyelesaian
Tinggi tangki = 900 mm = 0,9 m
Tingginya selinder h = 0,9 m – 0,4 m = 0,5 m
Luas permukaan total A = luas lingkaran + luas selimut selinder + luas permukaan setngah bola.
2,76A2.0,5).0,43,14.0,4(3A
)23( Ar.h 2r 3A
r 2r.h 2r A2
r 4r.h 2r A
2
22
22
hrrJadi luas bahan diperlukan 2,76 m2
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 71
Latihan:
1Panjang 250 mm dipotong dari batang empat persegi panjang120 mm dan 40 mm. Balok kemudian dikerjakan mesin menjadi prisma 117 mm x 36 mm x 240 mm. Berapa persen dari batang terbuang oleh pengerjaan mesin.
2 Sebuah terdiri dari batang besi 40 mm x 5 mm yang berpenampangsegi empat dengan panjang 120 mm. Pada permukaan yang besar, 4 lubang dengan diameter 20 mm di bor lurus menenbus pelat (5 mm). Berapa persen metal yang terbuang karena pengboran.
Billet logam yang berdiameter 30 mm dan panjang 80 mm yang diproses menjadi potongan yang berdiameter 10 mm dan tebal 1 mm. Perkiraran tidak ada logan yang terbuang, hitunglah jumlah potongan yang dihasilkan.
3
Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali 72
4 Bejana dengan penampang lingkaran berdiameter 50 mm, mengandung air sedalam 60 mm. Bila bola dengan diameter 40 mm, dimasukkan ke dalam air, berapakah penambahan ketinggian air dalam bejana tersebut ?
5 Tutup sebuah cabin berbentuk setengah silinder seperti ditunjukkan pada gambar berikut.
a. Berapakah luas permukaan tutup kabinb. Berapa luas total tutup dan bagian luar cabin