modul pd bab i
DESCRIPTION
persamaan diffrensial R.h. riogilangTRANSCRIPT
BAB I
PERSAMAAN DIFFERENSIAL TINGKAT SATU DERAJAT SATU
1.1 Persamaan-persamaan Differensial Yang Mudah
Bentuk umum : dydx
=φ ( x ); . . . . . . . . . . . . . (1)
φ ( x )= fungsi dari x
Dapat diubah menjadi :
dy=φ ( x )dx
y=∫φ ( x )dx+C ; (C = konstanta integrasi)
Atau : y=f ( x )+C ; (adalah jawab umum dari persamaan differensial (1)).
Contoh soal :
1. Tentukan jawab persamaan differensial :
dydx
=2 x3+3 x+1
Jawab :
dydx
=2 x3+3 x+1 . . . . . . . . . . . . . (1)
boleh ditulis : dy=¿ (2 x3+3 x+1¿dx
maka y= ∫ (2 x¿¿3+3 x+1)dx+C ¿
¿23
x3+ 32
x2+x+C
∴ y ¿23
x3+ 32
x2+x+C (adalah jawab umum dari pers. diff (1) ).
2. Tentukan jawab persamaan differensial :
dydx
= 1
a2−x2
Jawab :
dydx
= 1
a2−x2. . .. . . .. . .(1)
1
boleh ditulis : dy=¿ 1
a2−x2dx
maka y= ∫1
a2−x2x . . .. . . .. . .(2)
untuk menyelesaikan (2), integran dipisahkan sebagai berikut :
1
a2−x2= 1
(a+x )(a−x)= A
a+x+ B
a−x
¿A (a−x)
a+x+
B(a+x)a−x
→ 1≡ A (a−x )+B (a+x )
1 ≡ ( A+B ) a+( B−A ) x
⟶ ( A+B ) a=1 , B−A=0
A+B=1a
B=A⟶ A=B= 12 a
(2 )menjadi : y=∫ [ 12 a (a+ x )
+ 12a (a−x ) ]dx
¿ 12 a
ln (a+ x )− 12 a
ln (a−x )+C1
¿ 12 a
ln Ca+ xa−x
⟶¿
∴ jawab P.D. ; y = 1
2 alnC
a+xa−x
3. Tentukan jawab persamaan differensial :
dydx
=sin3 xcos x
Jawab :
dydx
=sin3 xcos x
Boleh ditulis : dy=sin3 x cos x dx
Maka y= ∫ sin3 xcos x dx+C
¿ ∫ sin3 x d sin x+C
2
¿ 14
sin4 x+C
∴ jawab P.D. ; y = 14
sin4 x+C
1.2 Variabel – variabel Yang Dapat Dipisahkan
Bentuk umum: P (x, y)dx + Q (x, y)
Dapat dijadikan bentuk- bentuk:
1) M (x)dx + N (y)dy = 0 dan
∫M (x )dx +∫N ( y)dy = C
M(x) = suatu fungsi hanya dari x
N (y) = suatu fungsi hanya dari y
2) M(x) . R(y)dx + N(x) . S(y)dy = 0
Dibagi dengan R(y) . N(x)
Menjadi:
M (x)N (x )
dx+S ( y )R( y )
dy=0. dan
∫ M (x)N ( x)
dx+∫ S( y)R( y)
dy=C . atau
∫ S( y )R( y )
dy=−∫ M (x )N (x)
dx+C
M(x) & N(x) adalah fungsi-fungsi dari x
S(y) & R(y) adalah fungsi-fungsi dari y
Contoh soal:
Carilah jawab persamaan differensial:
1. ( x3+2 x ) dx+(3 y2+ y+1 ) dy=0
Jawab:
( x3+2 x ) dx+(3 y2+ y+1 ) dy=0, maka
3
: (1 – x2)(4 + y2)
∫ ( x3+2 x ) dx+∫ ( 3 y2+ y+1 ) dy=C1
14
x4+x2+ y3+ 12
y2+ y=C1 atau
C=4 C1
x4+4 x2+4 y3+2 y2+4 y=C
2.dydx
=x2 y4
Jawab: dydx
=x2 y4
boleh ditulis : dy=x2 y4 dx
dipisahkan menjadi : dy
y4=x2dx , atau
dy
y4−x2dx=0
maka ∫ dy
y 4−∫ x2 dx=C1
−1
3 y3−1
3x2=C1 atau
−13 (x
3+1
y3 )=C1
C=−3 C1
Jawab : x3+ 1
y3=C
3.dydx
= 4 x+xy2
y−x2 y
Jawab : dydx
= 4 x+xy2
y−x2 y
boleh ditulis : (y – x2y)dy = (4x + xy2)dx
(y – x2y)dy - (4x + xy2)dx = 0
y(1 – x2)dy – x(4 + y2)dx = 0
y
4+ y2dy− x
1−x2dx=0
4
maka ∫ y
4+ y2dy+∫ x
x2−1dx=C1
12
ln (y2+4 ¿+ 12
ln (x2−1¿=C1
C = ln e2C1
atau ( y2+4 ¿ (x2−1¿=C
4. (x2+4¿ dydx
=( y+2 ) ¿ )
Jawab :
(x2+4¿ dydx
=( y+2 ) ¿ )............................................... (1)
(x2+4¿ dydx
=( y+2 ) ¿ )dx
1y+2
dy= x+√ x2+4x2+4
dx
maka ∫ 1y+2
dy=∫ xx2+4
dx+∫ √ x2+4x2+4
dx+C1
atau ∫ 1y+2
dy=12∫ d (x2+4)
x2+4+¿∫ 1
√ x2+4dx+C1 ¿
ln ( y + 2 )= 12
ln ( x2+4 )+∫ 1
√x2+4dx+C1................................... (2)
untuk ∫ 1
√ x2+4dx=¿ mis: x = 2z
dx = 2 dz
∴∫ 1
√ x2+4dx=¿ ∫ 2dz
2√z2+1dz=ln ¿¿¿ )
= ln ¿¿ )
(2) menjadi ln ( y + 2 )= 12
ln ( x2+4 )+ln ¿¿ )+ ln C
y+2 = (√ x2+4¿¿¿ )C
y = 12
C(x √x2+4+x2+4¿−2
5
: (x2+4¿ ( y+2 )
5. dydx
=cotg x tg y
Jawab; dydx
=cotg x tg y
dy=cotg x tg y dy
dy
tg y=cotg x dx
Maka ∫ dytg y
=∫ cotg x dx+C
ln sin y=ln sin x+ ln C
∴sin y=C sin x
6. Hitunglah : xdydx
+2 y2=2
Jawab: xdydx
+2 y2=2
xdydx
=2−2 y2
x dy=(2−2 y2 ) dx→
: x (2−2 y2)
dy
2−2 y2=dy
x
Maka 12∫
dy
1− y2=∫ dx
x+C
12
ln1+ y1− y
+ ln C=2 ln x (C=C2)
atau x4=C
1+ y1− y
1.3. Persamaan Differensial Homogen
Bentuk umum:P ( x , y ) dx+Q (x , y ) dy=0 . . .. . .(1)
6
dinamakan Persamaan Differensial Homogen bila P(x , y) dan Q(x , y) homogen
dan berderajat sama. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan substitusi v=yx
atau
y=vx
dy=v dx+xdv
P ( x , y ) P ( x , vx )=xm(R (v ))
Hingga
Q ( x , y ) Q ( x , vx )=xm(S (v ))
(1) menjadi :
xm . R ( v )dx+xm S (v ) (v dx+x dv )=0
atau [ R (v )+v S ( v ) ]dx+S ( v ) x dv=0.
dxx
+S(v )
R (v )+v S(v )dv=C .
Maka ∫ dxx
+∫ S (v )R ( v )+v S (v )
dv=C . ( adalah P.D. variabel terpisah)
Contoh soal :
Carilah jawab Persamaan Deferensial :
1. dydx
=4 x2+3 y2
2xy
Jawab : dydx
=4 x2+3 y2
2 xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 1 )
Boleh ditulis : 2 xy dy=¿ ( 4 x2+3 y2 ) dx
(homogen dengan derajat 2).
( 4 x2+3 y2 ) dx−2xy dy=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( 2 )
Substitusikan v=yx
y=vx
dy=v dx+xdv
Pers. (2) menjadi
( 4 x2+3 v2 x2 ) dx−2vx2 (v dx+x dv )=0
( 4 x2+3 v2 x2−2v2 x2) dx−2vx2 dv=0
7
: x2
: xm
dipisahkan
( 4+3 v2−2 v2 ) dx−2vx dv=0
Atau ¿
dxx
− 2 v
4+v2 dv=0
maka ∫ dxx
−∫ 2 dv2
v2+4=C1
ln x−ln ( v2+4 )=C1
ln x+ln C=ln (¿v2+4 )¿
C x=v2+4 tukar v=yx
∴C x= y2
x2 +4
C x2= y2+4 x2
2. dydx
= xe y / x+ yx
Jawab : dydx
= xe y / x+ yx
………….………………………...(1)
Boleh ditulis : x dy=( x e y / x+ y ) dx……………………(2)
(Homogen dengan derajat 1)
substitusi : v= yx
, y=vx
dy=v dx+xdv
Ke dalam (2) : x (v dx+ xdv )=( xe− v+vx ) dx
x (v dx+ xdv )−( xe− y+vx ) dx=0
( xv− xe−v−vx ) dx+x2dv=0
−x e−v dx+x2 dv=0
−1x
dx+ev dv=0
maka− ∫1x
dx+ ∫ ev dv=C1
8
: x (4+v¿¿2)¿
: x2 e−v
−ln x+ev=C1
ev=ln x+C1
ln ev=ln ¿¿
v=ln ¿
∴ yx=ln ¿
y=x ln ¿¿
3. dydx
=√x2+ y2+ yx
Jawab:dydx
=√x2+ y2+ yx
Boleh ditulis : (√x2+ y2+ y )dx=x dy
(√x2+ y2+ y )dx−x dy=0
substitusi : v= yx
,atau y=vx
dy=v dx+xdv
Pers (2) menjadi :
(√x2+v2 x2+vx )dx−x (vdx+x dv)=0
(√x2+v2 x2+vx−vx )dx−x2dv=0
¿
1x
dx− 1
√1+v2dv=0
maka ∫1x
dx− ∫1
√1+v2dv=C1
ln x−ln ¿¿
ln (v+√v2+1 )=ln x+ ln C
v+√v2+1=C x
9
ganti v= yx
maka :yx+√ y2
x2+1=Cx
yx+ 1
x√ y2+x2=Cx
y+√ x2+ y2=C x2
1.4 Persamaan Differensial Dengan Koefisien-Koefisien Linear
A. Bentuk Umum :
(ax+by+c ) dx+( px+qy+r ) dy=0 …… …………………… ..(1)
1) Bila c = 0 , r = 0, maka (1) menjadi:
(ax+by+c ) dx+( px+qy+r ) dy=0 adalah Persamaan Differensial Homogen
dengan substitusi
t= yx
2) Bila ( px+qy )=k (ax+by ) ; ( k = bil.konstanta) maka (1) menjadi:
(ax+by+c ) dx+[k (ax+by )+r ]dy=0 ………… ..…………….(2)
Misalkan ax+by=z atau a dx+b dy=dz
(2) menjadi ( z+c ) dx+ (kz+r )( dz−a dxb )=0 atau
(z+c− kaz+rab )dx+ kz+r
bdz=0 ( adalah P.D variabel-variabel terpisah).
3) Bila ap
≠bq
, c ≠0 ,r ≠ 0
I. Dengan menggunakan variable baru.
ax+by+c=u dengan |a bp q|≠ 0
px+qy+r=v
Dan didapat : a dx+b dy=du
p dx+qdy=dv
10
Maka dx=|du bdv q||a bp q|
= q du−b dv
aq−bp
dy = |a dup dv||a bp q|
=a dv−p duaq−bp
Masukkan harga-harga dx dan dy ke dalam persamaan (2), didapat persamaan
differensial homogen.
(qu−pv )du+ (av+bu ) dv=0 , substitusi z=uv
.
II. Dengan mengambil bentuk-bentuk.
ax+by+c=0
px+qy+r=0 adalah persamaan 2 garis yang berpotongan.
Misalkan titik potong kedua garis itu (x1,y1), dengan substitusi :
X= x-x1 atau x = X+ x1 ; dx= dX
Y = y-y1 atau y = Y + y1 ; dy = dY
ke dalam persamaan (1) didapat:
(aX+bY)dX +(pX+qY)dY = 0. (adalah persamaan differensial homogen,
dengan substitusi v=YX
).
Contoh Soal :
Hitunglah jawab Persamaan Differensial.
1. (x+y+1)dx + (2x+2y+1) dy = 0
Jawab:
(x+y+1)dx + (2x+2y+1) dy = 0 ………………………………..(1)
Ternyata : 2x+2y= 2(x+y) ; (dalam hal ini k = 2)
(1) Boleh ditulis
(x+y+1)dx + [2(x+y)+1] dy = 0 ……………………………..(2)
Misalkan : x+y = z dx+dy=dz
dy= dz – dx
11
persamaan (2) menjadi:
(z+1)dx + (2z+1)(dz-dx) = 0
(z+1-2z-1)dx + (2z+1)dz =0
-z dx+(2z+1)dz = 0
: z
-dx +2 z+1
zdz=0
-dx +(2+1z¿dz = 0
Maka −∫dx+∫(2+¿ 1z)dz=C ¿
−x+2 z+ ln z=C ganti z=x+ y
−x+2 x+2 y+ln ( x+ y )=C
x+2 y+ ln ( x+ y )=¿C
2. (x + 2y – 1 ) dx + (2x – y – 7 ) dy = 0
jawab :
a. (x + 2y – 1 ) dx + (2x – y – 7 ) dy = 0……………………………..(1)
mis : x + 2y – 1 = u dx + 2 dy = du
maka
2x – y – 7 = v 2 dx – dy = dv
dx = |du +2dv −1||1 22 −1|
= −du−2 dv
−1−4 =
du+2 dv5
dy = |1 du2 dv|
|1 22 −1|
= dv−2 du
−5 =
2 du−dv5
harga – harga dx dan dy dimasukan kedalam persamaan (1)
u ( du+2 dv5 )+v ( 2 du−dv
5 )=0
x 5
12
u (du+2dv )+v (2 du−dv )=0
(u+2v )du+ (2u−v ) dv=0………………………… (2)
( P.D Homogen )
subtitusi : u=v . z
maka du=v dz+z dv .
(2) menjadi
( vz+2v ) ( v dz+z dv )+(2 vz−v ) dv=0
( v2 z+2 v2 ) dz+( v z2+2 vz+2 vz−v ) dv=0
v2 ( z+2 ) dz+v ( z2+4 z−1 ) dv=0
: v2 ( z2+4 z−1 )z+2
z2+4 z−1dz+ dv
v=0
maka ∫ z+2
z2+4 z−1dz+∫ dv
v=C1
12∫ d ( z2+4 z )
z2+4 z−1+∫ dv
v=C1
12
ln ( z2+4 z−1 )+ln v=C1
ln ( z2+4 z−1 )+ln (v )2=2C1
z=uv
ln v2( u2
v2 +4uv−1)=2C1
ambil 2 C1 = ln C
u2+4 uv−v2 = C ganti harga – harga u dan v
( x+2 y−1 )2+4 (x+2 y−1 ) (2 x− y−7 )−(2 x− y−7 )2=C
( x2+4 y2+1+4 xy−2 x−4 y ) (8 x2−4 xy−28 x+16 xy−8 y2−56 y−8x+4 y+28 ) (−4 x2− y2−49+4 xy+28 x−14 y )=C1
5 x2+20 xy−5 y2−10 x−70 y−20=C1
x2+4 xy− y2−2 x−14 y=C (C=15
C1+4)13
b. ( x+2 y−1 ) dx+ (2x− y−7 ) dy=0
Penyelesaian dengan cara II.
( x+2 y−1 ) dx+ (2x− y−7 ) dy=0………………………………………( 1 )
Ambil bentuk-bentuk :
x+2 y−1=0
2 x− y−7=0Pers. 2 garis yang berpotongan
Maka x=|1 27 −1||1 22 −1|
= −1−14−1−4
=3
y=|1 12 7|
|1 22 −1|
=7−2−5
=−1
∴ titik potong kedua garis (3,-1)
Mis : X=x−3 x=X+3 dx=dX
Y= y+1 y=Y−1 dy=dY
Masukan dalam persamaan ( 1 )
( X+3+2Y −2−1 ) dX+(2 X+6−Y +1−7 ) dY=0
( X+2 Y ) dX+(2 X−Y ) dY=0
Adalah persamaan differensial homogen.
Subtitusikan y=vX .
Dan seterusnya.
Didapat jawaban : x2+4 xy− y2−2 x−14=0
1.5. Persamaan Differensial Exact
Bentuk umum :
P ( x , y ) dx+Q (x , y ) dy=0 . . .. . . . (1 )
Adalah persamaan differensial exact, bila ruas kiri adalah differensial dari f ( x , y )= 0
df ( x , y )=ϑfϑx
dx+ ϑfϑy
dy=0
14
P=ϑfϑx
;Q= ϑfϑy
Maka ϑPϑy
= ϑ 2 fϑx ϑy
; ϑQϑx
= ϑ 2 fϑy ϑx
Bila persamaan (1) adalah P.D. exact, berlakulah : ϑPϑy
=¿ ϑQϑx
Sebaliknya : bila ϑPϑy
=¿ ϑQϑx
, maka P dx+Q dy=0 adalah P.D exact.
Contoh soal :
Hitunglah jawab dari Persamaan Differensial
1. (2 x+3 y )dx+(3 x+4 y )dy=0
Jawab :
(2 x+3 y )dx+(3 x+4 y )dy=0 .. . . .. . (1 )
P= (2 x+3 y );Q=(3 x+4 y )
Tinjau: ϑPϑy
=3 ; ϑQϑx
= 3. Ternyata ϑPϑy
=¿ ϑQϑx
Maka persamaan (1) adalah P.D exact
p=ϑfϑx
=(2 x+3 y ) ;Q=ϑfϑy
(3 x+4 y )
Tentu f ( x , y )¿∫ (2 x+3 y ) dx+C ( y )
¿ x2+3xy+C ( y )
Didapat ϑfϑy
= 3 x+C' ( y )≡ 3x+4 y
C ' ( y )=4 y
C ( y )=∫ 4 y dy=2 y2+C1
∴ Jawab: f ( x , y )=x2+3xy+2 y2=C
2. 2 xy dx+( x2+1 ) dy=0
Jawab :
15
2 xy dx+( x2+1 ) dy=0 .. . . .. . (1 )
P=2 xy ; Q=x2+1
Tinjau :∂ P∂ y
=2 x ;∂ Q∂ x
=2x ternyata ∂ P∂ y
=∂ Q∂ x
=2 x
Maka pers. (1) adalah P.D. exact.
P= ∂ f∂ x
=2xy , Q= ∂ f∂ y
=x2+1
Tentu f ( x , y )=∫2 xy dx+C ( y )
¿ x2 y+C ( y )
Didapat :∂ f∂ y
=x2+C ' ( y )=x2+1.
C ' ( y )=1 C ( y )=∫ dy= y+C1
∴Jawab: f ( x , y )=x2 y+ y=C .
3. (2 x y2+2 x ye2 x+e2x y)dx+(2 x2 y+x e2 x ) dy=0
Jawab :
(2 x y2+2 x ye2 x+e2x y)dx+(2 x2 y+x e2 x ) dy=0 .. . . .. . (1 )
P=2 x y2+2 x ye2 x+e2 x y ; Q=2 x2 y+x e2 x
Tinjau :∂ P∂ y
=4 xy+2 x e2 x+e2 x ;
∂ Q∂ x
=4 xy+e2x+2 xe2 x
Ternyata ∂ P∂ y
=∂ Q∂ x
Ternyata pers. (1) adalah P.D. exact.
P= ∂ f∂ x
=2 xy , Q= ∂ f∂ y
=x2+1
Maka f ( x , y )=∫(4 xy+2 x e2 x+e2 x )dx+C ( y )
¿(x¿¿2 y2+x ye2x− ye2 x+ 12
ye2 x )+C ( y )¿
¿(x¿¿2 y2+x ye2x−12
ye2 x )+C ( y ) ¿
16
Didapat : Q= ∂ f∂ y
=2 x2 y+xe2 x+C' ( y )−12
e2 x ≡ 2 x2 y+ xe2 x
C ' ( y )=12
e2 x C ( y )=1
2ye2 x+C1
∴Jawab: f ( x , y ) ¿ x2 y2+x ye2 x−12
ye2 x+ 12
ye2 x
¿ x2 y2+x ye2 x
¿C
1.6. Faktor Integrasi
Jika P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0……….(1)
tidak exact, maka kita selalu menjadikannya persamaan differensial exact, dengan
memperbanyak persamaan (1) dengan suatu fungsi u(x , y), sehingga:
u P dx + u Q dy = 0……….(2)
Adalah persamaan differensial exact dan berlakulah:
∂(u P)∂ y
= ∂(uQ)
∂ x atau
u ∂ P∂ y
+ P ∂u∂ y
= u ∂Q∂ x
+ Q ∂u∂ x
u (∂ P∂ y
- ∂ Q∂ x
) = Q ∂ u∂ x
- P
∂u∂ y
Dari persamaan ini harga u dapat dicari. Dan setelah harga u dimasukkan dalam
persamaan (2) terjadilah Persamaan Differensial Exact, dan dapat diselesaikan
seperti bab 1.5.
Contoh soal:
Carilah jawab Persamaan Defferensial:
1. (x+ y)dx + dy = 0 mempunyai factor integrasi hanya fungsi dari x.
Jawab:
(x+ y)dx + dy = 0 ……….(1)
faktor integrasi u = u(x);
maka ∂ u∂ x
+ d udx
, ∂u∂ y
= 0.
17
hingga u(∂ P∂ y
- ∂ Q∂ x
) = Q ∂ u∂ x
- P ∂u∂ y
P = x+ y, Q = 1.
menjadi u(1-0) = 1. d udx
- 0
u = d udx
---- d uu
= dx
ln u = x = ln ex
∴u = ex
persamaan (1) dikalikan dengan ex
ex (x+ y)dx + ex dy = 0 ……….(2)
∴P’ = ex (x+ y) dan Q’ = ex
tinjau ∂ P '∂ y
= ex, ∂ Q'∂ x
= ex
∴ ∂ P'∂ y
= ∂ Q'∂ x
benar (2) sudah exact.
tentu ƒ (x , y) = ∫ ex dy+C (x ) .
= y ex + C(x)
didapat : P’ = ∂ f∂ x
= y ex + C’(x) ≡ x ex + y ex
maka C’(x) = xex
C(x) = ∫ x ex dx = ∫ xd ex
= x ex –ex + C
∴Jawab/pendapaatan P.D. (1)
ƒ (xy) = ex y + x ex- ex = C.
2. (xy 2 + y)dx + x dy = 0
Mempunyai factor integrasi hanya tergantung dari (xy).
Jawab: (xy2 + y)dx + x dy = 0 ……….(1)
factor integrasi fungsi dari xy atau u = u(z) = u(xy).
∴ ∂ u∂ x
= ∂ u∂ z
. ∂ z∂ x
= u’ (z) . y.
18
∂u∂ y
= ∂ u∂ z
. ∂ z∂ y
= u’ (z) . x.
Maka: u(∂ P∂ y
- ∂ Q∂ x
) = Q ∂ u∂ x
- P ∂u∂ y
= Qy . u’ (z) – Px .u’ (z)
u' (z)u
= ∂ P∂ y
−∂ Q∂ x
Qy−Px =
(2 xy−1 )−1
xy−( x2 y+xy )
=2 xy
−x2 y2 = −2xy
= −2
z
∂ uu
= −2
z dz ln u = -2 ln z
= 1
z2 = 1
x2 y2
Persamaan (1) dikali 1
x2 y2
1
x2 y2 (xy 2 + y)dx + 1
x2 y2 x dy = 0. Atau ( 1x
+ 1
x2 y )dx +
1
x y2 dy = 0
ƒ = ∫( 1x¿
+1
x2 y)dx+C( y )¿
= ln x - 1xy
+ C(y).
∂ f∂ y
= 1
x y2 + C’(y) ≡ 1
x y2
C’(y) ≡ 1
x y2 -1
x y2 = 0
C’(y) ≡ C.
∴ƒ ≡ ln x - 1xy
= C. atau x y ln x – 1 =C x y.
3. (5x2y + y3)dx + (5xy2 + x3) dy = 0
Mempunyai faktor integrasi hanya tergantung dari x 2 + y 2.
Jawab: (5x2y + y3)dx + (5xy2 + x3) dy = 0 …(1)
19
Faktor integrasi: u = u (z)
= u (x2 + y2)
∂ u∂ x
= ∂ u∂ z
. ∂ z∂ x
= u’ (z) . 2x.
∂u∂ y
= ∂ u∂ z
. ∂ z∂ y
= u’ (z) . 2y.
Maka u (∂ P∂ y
- ∂ Q∂ x
) = Q .u’(z). 2x – P .u’ (z) .2y atau
u' (z)u
= ∂ P∂ y
−∂Q∂ x
2 xQ−2 yP =
(5 x2+3 y2 ) – (5 y2+3 x2)(10 x2 y2+2x 4 ) – ¿¿
= 2 x2 – 2 y2
2 x4 – 2 y 4 = x2− y2
( x2+ y2 ) (x2− y2)
= 1
x2+ y2 = 1z
.
Maka ∂ uu
= 1z
dz; ln u = ln z
u = z = x2+ y2
persamaan (1) dikalikan dengan (x2+ y2¿.
¿¿ + y2 ¿ (5 x¿¿2 y+ y3)dx¿ + ¿ 5 x y3+x3 ¿dy = 0.
(5 x¿¿4 y+x2 y3+5 x2 y3+ y5)dx¿ + (5 x¿¿3 y2+5 x y4+x5+ x3 y2)dy ¿ = 0.
(5 x¿¿4 y+6 x2 y3+ y5)dx ¿ + (5 x y 4+6 x3 y2+x5)dy = 0.
ƒ (x , y) = ƒ (5 x¿¿4 y+6 x2 y3+ y5)dx ¿ + C(y)
= x5 y+2 x3 y3+ y5 x+C( y)
∂ƒ∂ y
= x5+6 x3 y2+5 y4 x+C' ( y ) ≡ 5 xy4+6 x3 y2+x5 ¿dx
C’(y) = 0 C(y) = C1
∴ ƒ (x , y) = x5 y+2 x3 y3+ y5 x=C
= xy ( x4+2 x2 y2+ y4 )=C . C=−C1
20
∴ ƒ (x , y) = xy ¿
Pada penyelesaian soal-soal mengenai faktor integrasi ada 2 hal yang harus
diperhatikan.
a. Pada soa-soal mengenai factor integrasi telah dicantumkan / ditentukan
faktor-faktor integrasinya.
Misalnya : mempunyai faktor integrasi hanya fungsi dari x,
Mempunyai factor integrasi tergantung dari y, atau
u(y), u(x y ), u(x2+ y2¿, dan lain-lain.
b. Pada soal-soal mengenai faktor integrasi tidak dicantumkan mengenai
jenis dari factor integrasinya sehingga kita harus mencari sendiri, jenis
apa yang sesuai dengan soal tersebut.
Dalam hal (a), kita boleh langsung masukan jenis dari factor integrasinya ke dalam
persamaan.
u( ∂ P∂ y
−∂ Q∂ x )=Q
∂ u∂ x
−P∂u∂ y
Hingga harga diri factor integrasi u dapat diperoleh (seperti contoh soal 1, 2, 3).
Dalam hal (b) kita belum mempunyai rumus untuk langsung memperoleh jenis dan
harga faktor integrasi yang sesuai. Sungguhpun demikian kita bisa mencari jenis dan
harga dari factor integrasi dengan memperhatikan ketentuan yang tercantum di
bawah ini.
1) Bila faktor integrasinya hanya tergantung dari x maka :
u = u(x), ∂ u∂ x
= dudx
dan ∂u∂ y
= 0
maka rumus factor integrasiya menjadi :
u( ∂ P∂ y
−∂ Q∂ x )=Q
dudx
−0
atau duu
= ( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
Qdx
sebaliknya bila suatu soal, harga dari
21
( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
Q terdapat fungsi, adalah fungsi dari x saja maka factor
integrasinya hanya funsi dari x
2) Bila faktor integrasinya hanya tergantung dari y maka
u = u(y), ∂ u∂ x
=0 dan ∂u∂ y
= dudy
maka rumus facktor integrasinya menjadi
u( ∂ P∂ y
−∂ Q∂ x )=¿ 0 - P
dudy
atau duu
= ( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
−Pdy.
Sebaliknya bila suatu soal harga dari
( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
−P terdapat fungsi adalah suatu fungsi dari y saja. Maka factor
integrasi hanya fungsi dari y.
3) Bila faktor integrasinya hanya tergantung dari (x±y).
Maka u = u(z) = (x±y).
∂ u∂ x
= ∂ u∂ z
.∂ z∂ x
= u'(z).dzdx
= u’(z)
∂u∂ y
= ∂ u∂ z
.∂ z∂ y
= u'(z).dzdy
= ± u’(z)
Maka rumus factor integrasi menjadi
u( ∂ P∂ y
−∂ Q∂ x )=¿ Q.u’(z) – P.u’(z)
= (Q±P). u’(z)
Atau duu
= ( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
Q ± Pdz
Sebaliknya bila suatu soal harga dari
22
( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
Q ± P tedapat fungsi adalah suatu fungsi dari (x±y) saja maka factor
integrasi hanya tergantung dari (x±y).
4) Bila faktor integrasi hanya tergantung dari (x,y) atau u= u(z) = x(xy) maka
∂ u∂ x
= ∂ u∂ z
.∂ z∂ x
= u'(z).dzdx
= u’(z).y
∂u∂ y
= ∂ u∂ z
.∂ z∂ y
= u'(z).dzdy
= u’(z).x
Maka rumus factor integrasi menjadi
u( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x ) = Q.y.u’(z) – P.x.u’(z)
= (Qy-Px)u’(z).
Maka u' (z)
u = ( ∂ P
∂ y−∂Q
∂ x )Qy−Px
jadikan fungsi dari z
Atau duu
= ( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
Qy−Px dz
Sebaliknya bila suatu soal harga dari
( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
Qy−Px terdapat fungsi, adalah sesuatu fungsi dari (x y) saja. Maka factor
integrasi hanya tergantung dari ( x y).
Bila faktor integrasi hanya tergantung dari ( x2+y2) atau u = u(z) = ( x2+y2)
maka
∂ u∂ x
= ∂ u∂ z
.∂ z∂ x
= u'(z).dzdx
= u’(z).2x
∂u∂ y
= ∂ u∂ z
.∂ z∂ y
= u'(z).dzdy
= u’(z).2y
Maka rumus factor integrasi menjadi :
u( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x ) = Q. u’(z).2x – P.u’(z).2y
= (2x.Q-2y.P)u’(z).
23
Atau u' (z)
u = ( ∂ P
∂ y−∂Q
∂ x )2 xQ−2 yP
jadikan fungsi z
duu
= ( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
2 xQ−2 yP dz
Sebaliknya bila suatu soal harga dari
( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
2 xQ−2 yP terdapat fungsi adalah suatu fungsi dari ( x2+y2) saja, maka
factor integrasi hanya tergantung dari ( x2+y2)
Berdasarkanrumus di atas ternyata yang memedakan factor integrasinya
tergantung dari :
( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x ) ………………………………………..(1)
α dan β yang harus dicari demikian hingga (1) dapat membentuk sama
dengan salah satu dari ketentuan (rumus diatas).
Contoh soal :
Hitunglah factor integrasi dan jawaban dari P.D :
1. ( x3+x y4 ¿dx+2 y3 dy=Q
Jawab :
(x¿¿3+xy4)dx+2 y3 dy=¿¿ 0 ………………………………………(1)
∂ P∂ y
= xy4 , ∂ Q∂ x
= 0
∂ P∂ y
−∂ Q∂ x
= xy4
faktor integrasinya dapat ditentukan dari bentuk
( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
αQ−βP = xy4
αQ−βP dengan memperhatikan hara dari P dan Q , α dan β
dapat ditentukn demikian hingga dapat memenuhi salah satu dari rumus
factor integrasi :
24
Yaitu ( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
Q =
xy 4
2 y3 = 2x ( α = 1, β = 0)
Maka duu
= ( ∂ P∂ y
−∂Q∂ x )
Q dx = 2xdx
Ln u = ∫2 xdx+C=x2=ln ex2
Faktor integrasinya u = ln e x2
( fungsi dari x).
Persamaan (1) dikalikan dengan ex2
ex2
(x¿¿3+xy4)dx+2 y3dy=¿¿ 0
Tinjau ∂ P '∂ y
= 4 xy3e x2
(exact)
∂ Q'∂ x
= 4 xy3e x2
maka f(x,y) = ∫ ex2
2 y3dy +C(x)
¿ 12
ex2
y4+C(x)
P’ = ∂ f∂ x
= xy4 ex2
+C(x) = x3 ex2
+xy4 ex2
C(x)= x3 ex2
C(x) = x3 ex2
dx = ∫ x3
2 x dex2
= 12∫ x2d ex2
Mis : z = x2
= 12
∫ zd ez = 12
( zez−ez) + C1
= 12
( x2 ex2
−ex2
¿ + C1
f(x,y) = 12
ex2
y4+ 12
ex2
( x2−1 )=C
= 12
ex2
( y4+x2−1 )=C
= y4+x2−1=C e− x2
25
2. (y3−2 x2 y ¿dx+(2 xy2−x3 ) dy=0
Jawab :
(y3−2 x2 y ¿dx+(2 xy2−x3 ) dy=0 ………………(1)
∂ P∂ y
= 3y2 – 2x2
∂ Q∂ x
= 2 y2−3 x2
x2+ y2
Faktor integrasinya dapat ditentukan dari
∂ P∂ y
−∂ Q∂ x
αQ−βP = x2+ y2
αQ−βP
Dengan memperlihatkan harga P dan Q, αdan β ditentukan sedemikian hingga
memenuhi salah satu dari rumus faktor integrasi yaitu
∂ P∂ y
−∂ Q∂ x
αP−βQ= x2+ y2
yQ−xP =
x2+ y2
(2 xy3−x3 y )−(x y3−2 x3 y )
= x2+ y2
x y3+x3 y = x2+ y2
xy (x2+ y2) =
1xy
Maka duu
= ∂ P∂ y
−∂ Q∂ x
yQ−xP dz =
1z
dz ( z = xy)
Ln u = ln z u = z = (x,y)
∴Faktor integral adalah u = u (z) = u (xy) = xy.
( 1 ) dikalikan dengan u = xy.
xy ( y3 −¿ 2 x3 y ¿dx + xy (2xy2 −¿ x3¿dy = 0
f ( x , y ) = f (xy4 −¿ 2x2 y2 )dx + C(y)
= 12
x2 y 4 −¿ 12
x4 y4 + C(y)
∂ f∂ y
= 2x3 y3 −x4 + C '(y) = 2x2 y3−x4 y
C ' (y) = 0 C(y) = C1
26
f (x , y ) = 14
x2 y 4 −¿ 12
x4 y3 = -c1
atau ≡ x2 y 4−x4 y2 = C.
3. ( 2 + 2 y3 )dx + ( 3xy2)dy = 0
Jawab :
( 2 + 2y3)dx + 3xy2 dy = 0
∂ P∂ y
−¿ ∂ Q∂ x
= 6y2 −¿ 3y3 3y2.
Faktor integrasinya dapat ditentukan dari :
∂ P∂ y
−∂ Q∂ x
αQ−βP = 3 y2
αQ−βP
Dengan memperhatikan harga P dan Q. α dan β dapat ditentukan sedemikian,
hingga memenuhi ialah satu rumus faktor integrasi.
Maka duu
= ∂ P∂ y
−∂ Q∂ x
Q dx =
1x
dx
Ln u = ln x u = x.
∴ Faktor integrasinya u = x.
Persamaan (1) dikalikan dengan u = x.
x ( 2 + 2y3)dx + x ( 3xy2 )dy = 0
∴ f (x,y) = ∫3 x2 y2 dy+C (x).
¿ x2 y3+C (x)
∂ f∂ x
= 2xy3 + C ' (x) = 2x + 2xy3
C '(x) = 2x
C '(x) = ∫2 x dx+C1
= x2 + C1
27
∴ f (x,y) = x2y3 + x2 = C
¿ x2 ( y3 + 1) = C
4. ( 3xy + y2 )dx + ( 3xy + x2 )dy = 0
Jawab :
( 3xy + y2 )dx + ( 3xy + x2 ) dy = 0 ………………………(1)
∂ P∂ y
−¿ ∂ Q∂ x
= ( 3x + 2y ) – ( 3y + 2x ) = x – y
Faktor integrasinya dapat ditentukan dari
∂ P∂ y
−∂ Q∂ x
Q−P = x− y
¿¿ =
x− y
x2+ y2 = 1
x+ y
Maka :
duu
= ∂ P∂ y
−∂ Q∂ x
Q−P dz =
1z
dz. Atau ln u = ln z
u = z = x + y
(1) Dikalikan dengan ( x + y )
( x + y ) ( 3xy + y2 )dx + ( x + y ) ( 3xy + x2 )dy = 0
( 3x2y + 3xy2 + xy2 + y3 )dx + ( 3x2y + 3xy2 + x3 + x2y )dy = 0.
f = ∫¿¿x2y + 3xy2 + xy2 + y3 )dx + C(y).
x3y + 42
x2 y2 + xy3 + C (y).
∂ f∂ y
= x3 + 4x2y + 3xy2 + C '(y) = 4x2y + 3xy2 + x3
C ' (y) = 0 C(y) = C.
∴ f = ( x3y + 2x2y2 + xy3 = C
≡ xy ( x2 + 2xy + y2 ) = C.
atau ( x + y )2 xy = C.
5. ( 5x2y + 4x + y3 )dx + ( 5xy2 + 4y + x3 )dy = 0
28
Jawab :
( 5x2y + 4x + y3 )dx + ( 5xy2 + 4y + x3 0dy = 0 …………..(1)
∂ P∂ y
−¿ ∂ Q∂ x
= ( 5x2 + 3y2 ) – ( 5y2 + 3x2 ) = 2 ( x2 – y2 )
Faktor integrasi ditentukan dari
∂ P∂ y
−∂ Q∂ x
αQ−βP Dengan memperlihatkan harga P dan Q. α dan β dapat ditentukan
sedemikian hingga memenuhi salah satu rumus dari faktor integrasi.
yaitu :
∂ P∂ y
−∂Q∂ x
2 xQ−2 yP = 2(x2− y2)
¿¿
= 2(x2− y2)2(x4− y4)
= x2− y2
( x2+ y2 ) (x2− y2) =
1
x2+ y2
Maka u' (z)
u =
∂ P∂ y
−∂Q∂ x
2 xQ−2 yP =
1
x2+ y2 , u = u (z) = u ( x2+ y2¿.
duu
= 12
dz u = u (x2+ y2¿.
∴ faktor integrasinya u = u (x2+ y2) = x2+ y2
Persamaan (1) dikalikan dengan ( x2+ y2¿.
( x2+ y2¿ ( 5x2y + 4x + y3 )dx + ( x2+ y2¿ ( 5xy2 + 4x + x3 )dy = 0
( 5x2y + 4x3 + x2y3 + 5x2y3 + 4xy2 + y5 )dx + 5 x3y2 + 4x2y + x4 + 5xy4 + 4y3 +
x3y2 ) dy = 0.
(5x4y + 6x2y3 + 4x3 + 4xy2 + y5 ) dx + ( 5xy4 + 6x3y2 + 4y3 + 4x2y + x3 )dy = 0
f (x,y) = f (5x4y + 6x2y3 + 4x3 + 4xy2 + y3)dx + C(y)
¿ x5y + 2x3y3 + x4 + 2x2y2 + xy3 + C(y)
∂ f∂ y
=¿ x5 + 6x3y2 + 4x2y + 5xy4 + C '( y)
¿ 5xy4 + 6x3y2 + 4y3 + 4x2y + x5 C ' ( y ) = 4y3
C (y) = y4 + C1
29
∴ f (x , y ) = x5y + 2x3y3 + x4 + 2x2y2 + xy2 + y4 = C.
= xy ( x4 + 2x2y3 + y2 ) + (x4 + 2x3y2 + y4) = C
= (xy + 1 ) (x2 + y2 )2 = C
1.7 Persamaan Differensial Linear
Bentuk umum:
y '+P y=Q ……………………………… ……………………………………… (1)
P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x.
Cara pemecahan:
I. Cara Bernaulli.
Misalkan y=u . v :u , vmasing-masing fungsi dari x
→ y '=u' . v+u . v'
Maka persamaan (1) menjadi:
u' . v+u . v '+P . uv=Q
v (u'+P . u )+u . v '=Q
Syarat ambil (u'+P .u )=0 atauu . v '=Q ………… ..(2)
Maka: u'u
=−P atau
dudxu
=−P
→duu
=−P dx;∫ duu
=−∫P dx
ln u=−P dx=ln e−∫ Pdx
∴u=e−∫ Pdx
(2) menjadi u v '=Q → e−∫ Pdx
. v '=Q
→ v '=Q .e−∫P dx
∴ v=∫e−∫ Pdx
.Q dx+C
y=u . v=e−∫ Pdx [∫e
−∫ Pdx. Q dx+C]
II. Cara Lagrange (merubah konstanta integrasi)
30
dydx
+P y=Q …… ………………………………………… ………… (1 )
Ambil dydx
+P y=Q → dy=−P . y dx ataudyy
=−P dx
ln y=−∫ p dx+C1=ln e−∫Pdx+ln C
∴ y=C e−∫ P dx
→ pandang C sebagai fungsi x
→ y=C ( x ) e−∫ P dx…………………… ……………………………(2)
Maka ln y=−∫P dx+ lnC ( x )
Diff. ke x→1y
dydx
=−P+ 1C (x )
.d C(x )
dx
Maka dydx
= yC (x )
.d C( x)
dx−Py
dydx
+Py=C ( x ) . e
−∫Pdx
C (x ).
d C (x)dx
¿e−∫ Pdx
.d C (x)
dx≡Q
Di dapat : d C (x )
dx=e∫
PdxQ
Maka C ( x )=∫ e∫Pdx
. Q dx+D
(2) menjadi: y=e−∫P dx
.[∫ e∫Pdx
.Q dx+D ]
Contoh soal :
1.dxdy
− yx=x
Jawab :
dxdy
− yx=x ,(P=−1
x,Q=x)
Dengan rumus : y=e−∫P dx . [ e∫Pdx .Q dx+C ]
¿e−∫ 1
xdx
.[ e∫ 1x
dx
. x dx+C ]¿ x [∫ 1
x. x dx+C ]=x ( x+C )
∴ y=x2+Cx
31
Dengan cara lagrange :
dxdy
− yx=x …………………… .. (1 )
ambil dxdy
− yx=0→
dyy
=dxx
,
didapat ln y=¿ ln x+ ln C ¿
atau y=Cx atau y=C ( x ) . x… …………… .. (2 )
pandang C sebagai fungsi dari x.
Maka : ln y=¿ ln x+ ln C ¿ (Diff. ke x)
1y
dydx
= 1C (x )
.dC ( x )
dx+ 1
x
→dydx
= yC ( x )
.dC ( x )
dx+ y
x
dydx
− yx=
C ( x ) . xC ( x )
.dC ( x )
dx≡ x
→ xdC ( x )
dx=x .maka d C ( x )=dx
C ( x )=x+C
2. y= (x+C ) . x=x2+Cx
y=x2+Cx (adalah kumpulan parabola yang melalui titik
pusat sumbu koordinat).
32
Gambar 1
3. (sin2 x− y ) dx−tg x dy=0.
Jawab :
a. (sin2 x− y ) dx−tg x dy=0
Dapat ditulis (sin2 x− y ) dx=tg x dy
→dydx
= sin2 x− ytg x
= sin2 xtg x
− ytg x
∴ dydx
+ ytg x
=sin x cos x
(P= 1tg x
, Q=sin x cos x¿¿).y=e
−¿∫ P dx [∫e∫Pdx
.Qdx+C ]¿
¿e−∫ 1
tg xdx
. [∫e∫ 1
tg xdx
. sinx cos x dx+C ]∫ 1
tg xdx=∫ cos x
sin xdx= lnsin x
→ ∫ e−∫ 1
tg xdx=e−ln sin x
¿1
sin x
∴ y= 1sin x [∫ sin x , sin xcos x dx+C ]
¿1
sin x [∫ sin2 xd sin x+C ]
y=C
sin x+ 1
3sin2 x
Atau 3 y sin x=sin3 x+C .(C=3 C)
b. Dengan cara Lagrange
(sin2 x− y ) dx−tg x dy=0
Jawab :
33
(sin2 x− y ) dx−tg x dy=0………………. (1)
(sin2 x− y ) dx=tg x dy .
dydx
= sin2 x− ytg x
= sin2 xtg x
− ytg x
atau dydx
+ ytg x
=sin x cos x
ambil : dydx
+ ytg x
=0 → dydx
=− ytg x
dyy
=−1tg x
dx
Maka ln y=−ln sin x+C ;C=ln C
¿ lnC(x )sin x
→ atau y=C (x)sin x
….(2)
ln y=ln C(x )−lnsin x
→1y
dydx
= 1C( x)
.dC (x)
dx− 1
tg x
. y
dydx
+ ytg x
= yC( x)
.d (Cx)
dx,( y=
C ( x )sin x
)
=C(x )sin x
.1
C (x).d C(x )
dx
¿ sin x cos x
→1
sin x.
dC (x)dx
=sin x cos x
d C (x )dx
=sin2 x cos x
C ( x )=∫sin2 x cos x dx+C
=13
sin2 x+C
(2) menjadi : y=
13
sin2 x+C
sin xatau3 y sin x=sin3 x+C
34
1.8 Persamaan Bernaulli
Bentuk Umum:
y '+Py=Q yn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x ,n ≠ 0 , n ≠ 1.
Cara Pemecahan:
a. (1) dibagi dengan yn →y '
yn +P
yn−1 =Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
Misalkan z= y1−n →dzdx
=(1−n ) y−n dydx
Maka dydx
= 1(1−n )
yn dzdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)
(3) ke dalam (2) 1
(1−n ).
yn
yn
dzdx
+Pz=Q
Atau : dzdx
+(1−n ) Pz= (1−n ) Q
Adalah P.D. linier
Selanjutnya dengan cara Bernaulli dan Lagrange
b. y '+Py=Q yn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
Dengan memisalkan:
y=u . v (u , v=fungsi−fungsidari x)
→ y '=u' v+uv ' ;
(1) Menjadi : u' v+uv '+Puv=Q un vn
u ( v'+Pv )+u' v=Q un vn . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
Syarat ambil : v '+Pv=0 atau u' v=Q un vn
→∫ dvv
=−∫P dx
35
ln v=ln e−∫ Pdx
∴ v=e−∫ Pdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)
(2 ) menjadi u' v=Q un vn atau u'
un =vn−1 Q
∫ du
un=∫ y n−1 Q dx
¿ 1(1−n )
u1−n=∫ e (1−n)∫ Pdx Q dx+C
atau u1−n=(1−n )∫ e(1−n )∫P dx
Q dx+C
sedang y=u . v→ y1−n=u1−n v1−n
Contoh Soal:
1. xdydx
+ y=x y3
Jawab : xdydx
+ y=x y3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
1
y3
dydx
+ 1
xy2=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2)
(P= 1x
, Q=1)
Mis: z=1
y3 dzdx
=−2
y3
dydx
Atau 1
y3
dydx
=12
dzdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)
(3) Ke dalam (2) −12
dzdx
+ zx=1
36
→ y1−n=(1−n )e (n−1 )∫Pdx [∫ e(1−n)∫ Pdx
Q dx+C]
: x y3
dzdx
−2 zx
=−2 (adalah P.D. Linier)
a. Dengan rumus
z=e−∫ Pdx [∫ e∫P dx .Q dx+C ]
∫P dx=∫ 2x
dx=2 ln x e+¿∫ Pdx=e ln x2
= x2
¿
e−¿∫Pdx=e lnx−2
= 1x2¿
z=x2[∫−2
x2dx+C]
¿ x2[∫−2x
+C]1
y2=2 x+C x2 atau y2 (2 x+C x2 )=1
b. Dengan lagrange
dzdx
−2 zx
=−2
Ambil : dzdx
−2 zx
=0dzdx
=2 zx
dzz
=2dxx
ln z=2 ln x+C1
ln z=lnC x2 z=C ( x ) . x2
Pandang C suatu fungsi dari x
Atau ln z=lnC ( x )+ ln x2
Diff. ke x
1z
dzdx
= 1C (x)
d C(x )dx
+ 2x
37
dzdx
−2 zx
= zC (x)
.d C(x )
dx=
C (x )x2
C (x).d C (x)
dx
¿ x2 d C(x )dx
=−2
Maka d C ( x )=−2 dx
x2
C ( x )=2x+C2
∴ z=( 2x+C2) . x2= 1
y2(C2=C)
y2 (C x2+2 x )=1
Penyelesaian dengan cara II (Rumus)
xdydx
+ y=x y3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
Jawab : xdydx
+ y=x y3
Boleh ditulis dydx
+ yx= y3(P=1
x,Q=1 , n=3)
Rumus
y1−3=(1−3 ) .e(3−1)∫ 1
xdx[e
(1−3 )∫ 1x
dx.1dx+C ]
1
y2=−2. x2 .[∫ 1
x2dx+C ]
¿−2x2 .[−1x
+C] y2 (2x−2C x2 )=1
(C=−2c )
∴ y2 (2 x−2C x2)=1
2. x dy+ y dx=xy2 dx
Jawab :
x dy+ y dx=xy2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
38
y1−n=(1−n ) . e(n−1 )∫Pdx [e (1−n)∫ Pdx
. Q dx+C]
: x dx
dydx
+ yx= y2(P=1
x,Q=1)
: y2
1
y2
dydx
+ 1x . y
=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2)
Misalkan y−1=z dzdx
= 1
y2
dydx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)
(3) Ke dalam (2) dzdx
+ zx=1atau
dzdx
− zx=−1
Didapat z=e−∫ Pdx [∫ e∫P dx .Q dx+C ] ∫P dx=−∫ 1
xdx=−ln x=ln
1x
∴ e−∫Pdx=e ln x=x , e∫ Pdx= 1x
∴ z=x .[∫ 1x
.−dx+C ]¿−x ln x+Cx
¿1y=−x ln x+Cx
maka pendapatan : y (– x ln x+Cx )=1
atau xy ln x+1=Cxy
penyelesaian dengan cara (II) atau rumus:
x dy+ y dx=x y2 dx
Jawab:
x dy+ y dx=x y2 dx
Atau dydx
+ yx= y2(P=1
x,Q=1 , n=2)
39
Rumus : y1−n=(1−n ) . e(n−1 )∫Pdx [e (1−n)∫ Pdx
. Q dx+C]
y1−2=(1−2 ) . e(2−1)∫ 1
xdx[e
(1−2)∫ 1x
dx.1 dx+C ]
1y=−x (∫ 1
xdx+C )
¿−x ( ln x+C )
−xy (ln x+C )=1
xy ln x+1=C xy
3. xdydx
+ y=(x3+x ) y3
jawab : xdydx
+ y=( x3+ x ) y3
ataudydx
+ yx=( x2+1 ) y3
P=1x
, Q=x2+1 , n=3
Rumus:
∴ y1−3= (1−3 ) . e(3−1 )∫ 1
xdx[e
(1−3 )∫ 1x
dx.(x2+1)dx+C ]
1
y2=−2 e2 ln x [∫e−2 ln x . ( x2+1 ) dx+C ]
¿−2 x2 .[∫ 1
x2( x2+1 ) dx+C ]
¿−2x2(x−1x+C )
−1=2 y2 ( x3−x+C x2 )
y2 (2x+C x2−2 x3 )=1
40
C=−C
y1−n=(1−n ) . e(n−1 )∫Pdx [e (1−n)∫ Pdx
. Q dx+C]
(C=−2C)