modul praktikum aljabar linier - sigmasejati08 · pdf filecakupan pembahasan dalam penuntun...
TRANSCRIPT
2012
MODUL PRAKTIKUM ALJABAR LINIER
LABORATORIUM MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM NIVERSITAS NEGERI GORONTALO
KATA PENGANTAR
Penuntun Praktikum dirancang untuk memberikan tuntunan kepada para
mahasiswa Matematika,MIPA atau pengguna Matematika yang sedang mempelajari
dan menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan menggunakan suatu sistem
software matematis yaitu Maple.
Di dalam penuntun ini telah disediakan Algoritma Umum yang memberikan
langkah-langkah secara sistematis dan praktis untuk menyelesaikan persamaan
diferensial biasa dengan menggunakan Maple, juga dilengkapi dengan contoh soal dan
penyelesaiannya serta Latihan praktikum.
Cakupan pembahasan dalam Penuntun ini meliputi Pengenalan Maple, Penulisan
Matriks, Operasi Dasar Matriks, dan Solusi Persamaan Linear dengan berbagai metode.
Setiap saran dan kritik yang berguna untuk perbaikan dan pengembangan
penuntun ini akan diterima dengan senang hati.
Gorontalo, November 2012
Lab. Komputer Matematika,UNG
�
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
BAB I
PENGENALAN MAPLE
1.1 Sekilas tentang MAPLE
Maple adalah perangkat lunak matematika berbasis komputer, yaitu sistem komputer
aljabar yang mampu menyelesaikan persamaan dalam bentuk solusi numerik dan simbolik.
Maple dibuat oleh Wateloo Maple Software (WMS) yang cikal bakalnya berasal dari para
peneliti dari University of Wateloo, Canada, di tahun 1988.
Maple merupakan Computer Algebra System (CAS) yang dapat memanipulasi pola,
prosedur, dan perhitungan algoritma, baik untuk analisis maupun sintesis. Hasil perhitungan
Maple mampu menjadi solusi matematika dengan metode numerik dan simbolik. Di dalamnya
terdapat simbol, sintak, dan semantik mirip seperti bahasa pemrograman. Maple mampu
menyajikan
Pemrosesan simbolik dan visualisasi. Visualisasi persamaan matematika dapat disajikan
dalam berbagai variasi grafik simulasi modeling, bahkan animasi. Semuanya dapat dengan
mudah dilakukan.
Maple berjalan pada system operasi keluarga Windows dan cukup mudah untuk
digunakan. Perintah-perintah seperti cut, copy, dan paste bias menggunakan hotkey seperti di
Windows. Sebelum masuk ke perintah-perintah yang akan digunakan untuk menyelesaikan
masalah, khususnya untuk Aljabar Linier, terlebih dahulu kita harus memahami lingkungan
Maple.
1.2 Bagian-Bagian MAPLE
a) Menu Bar, seperti File, Edit, dll, pada bagian paling atas.
b) Toolbar berisi ikon yang akan digunakan dalam Maple.
�
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
c) Worksheet atau Lembar kerja.
d) Palettes adalah digunakan untuk mempermudah dalam menulis di worksheet
�
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
e) Prompt biasanya muncul di worksheet sebagai penanda bahwa maple siap menerima
perintah.
1.3 Aturan Penulisan MAPLE
a. Aturan Dasar MAPLE
Setiap akhir baris perintah harus diakhiri dengan tanda titik koma (;) dan untuk eksekusi
perintah digunakan tombol enter. Selanjutnya dalam Maple setiap perintah akan
berbentuk “perintah( );” perintah disini menyesuaikan perintah yang digunakan. Didalam
kurung berisi permasalahan matematika dan parameter yang diperlukan.
b. Aturan Penulisan Matematika dengan MAPLE
Operasi Penulisan Biasa Penulisan Maple
Penjumlahan + +
Pengurangan - -
Perkalian x *
Pembagian : atau / /
Pangkat 2b3
2*b^3
Pi � pi
Akar Pangkat Dua �� sqrt(9)
Nilai Mutlak ��� abs(9)
Pendefinisian f(x)=2x+3 f(x):=2*x+3
c. Matematika dengan MAPLE
1. Pada Maple Worksheet Environment, tuliskan ekspresi :
> 7+2;
2. Setiap perintah pada Maple haru diakhiri dengan semicolon (;). Tanda colon (:) hanya
akan menghasilkan sementara.
> hasil:=3^2+5:
> hasil;
�
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
3. Maple bekerja dengan hirarki operasi scientific seperti layaknya aturan-aturan yang baku.
> 3+3*4+5^2;
4. Maple juga mampu bekerja secara simbolik dan mampu melakukan operasi aljabar, baik
perkalian, penguraian maupun pemfaktoran.
> (x+y)^4;
> expand(%);
Tanda % menunjukan hasil yang terakhir (last output) versi sebelumnya.
Expand menunjukan penguraian perkalian aljabar.
5. Maple juga mampu bekerja secara simbolik dan mampu melakukan operasi aljabar, baik
perkalian, penguraian maupun pemfaktoran.
> P:=x^2+3*x+2;
> Q:=x+1;
> simplify(P/Q);
6. Untuk menghitung dalam bentuk pecahan desimal, ketik evalf(“)
7. Perintah Sqrt menunjukkan akar, misal 2
8. Penentuan faktor suatu fungsi. misal akar-akar x dari fungsi 322 −+= xxp
9. Apabila dimasukkan nilai x =4, ketik subs
10. Ekspresi pembagian polynomial dan penyederhanaannya, misal 1
322
−
−+=
x
xxq
�
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
11. perintah subs , eval, dan evalf misal 4
,sinπ
=xx
12. Perintah solve , misal 2
1sin =x
13. Perintah fsolve, misal 2
1sin =x
14. Fungsi Khusus
15. Perintah expand dan combine,
16. Mengenakan suatu nilai, misal untuk suatu nilai x= 4
�
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
Apabila2xef = ,
Jika 2xr =
17. Memanggil suatu nilai,
Fungsi juga dapat ditulis dalam bentuk :
�
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
BAB II
MATRIKS
2.1 Penulisan Matriks
Ada beberapa cara yang digunakan untuk penulisan matriks dalam maple antara lain:
a) Mengunakan palettes
• Klik tab Matriks pada bagian palettes sehingga muncul tampilan berikut:
• Ketikkan jumlah baris dan kolom pada bagian rows dan columns sesuai dengan
yang dibutuhkan. Setelah itu akan muncul tampilan worksheet berikut:
• Ganti m1,1 m1,2, m2,1, m2,2 dengan angka-angka yang dibutuhkan.
b) Mengetik Langsung
Caranya dengan mengetikkan perintah pada prompt yaitu:
>
Atau
>
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
Cara kedua hanya bisa digunakan untuk matriks yang ukurannya di atas 3x3
2.2 Operasi dalam Matriks
Maple sudah menyediakan bayak paket (packages) yang bisa digunakan untuk membantu
komputasi kita, karena dialamnya sudah disediakan function atau perintah yang bisa langsung
digunakan. Satu paket yang ditujukan untuk Aljabar linear adalah Paket “linalg”. Secara umum,
untuk memanggil paket, digunakan perintah with(nama_paket).
a. Operasi Dasar Matriks
Untuk penjumlahan dan pengurangan matriks kita akan menggunakan paket “linalg”
dengan perintah “evalm()”.
1. Gunakan paket “linalg” yang disediakan untuk menyelesaikan masalah aljabar linear
dengan mengetikkan:
> with(linalg): 2. Definisikan dua buah matriks dengan ordo yang sama, Misalnya:
>
>
3. Untuk penjumlahan dan pengurangan perintahnya:
> P+Q;
Atau menggunakan perintah “evalm()”
> evalm(P+Q);
4. Sedangkan untuk operasi perkalian perintahnya:
> evalm(P&*Q);
atau
> evalm(P.Q);
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
b. Determinan
Sama seperti operasi dasar matriks, untuk determinan kita juga menggunakan
paket”linalg”. Langkah – langkahnya sebagai berikut:
1. Gunakan paket “linalg” yang disediakan untuk menyelesaikan masalah aljabar linear
dengan mengetikkan:
> with(linalg): 2. Definisikan sebuah matriks , Misalnya:
>
3. Untuk Determinan perintahnya:
> det(P);
c. Transpose Matrik
Langkahnya sebagai berikut:
1. Gunakan paket “linalg” yang disediakan untuk menyelesaikan masalah aljabar linear
dengan mengetikkan:
> with(linalg): 2. Definisikan sebuah matriks , Misalnya:
>
3. Untuk Transpose perintahnya:
> transpose(P);
d. Adjoin
Langkahnya sebagai berikut:
1. Gunakan paket “linalg” yang disediakan untuk menyelesaikan masalah aljabar linear
dengan mengetikkan:
> with(linalg):
��
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
2. Definisikan sebuah matriks , Misalnya:
>
3. Untuk Transpose perintahnya:
> adj(P);
e. Invers
Langkahnya sebagai berikut:
1. Gunakan paket “linalg” yang disediakan untuk menyelesaikan masalah aljabar linear
dengan mengetikkan:
> with(linalg):
2. Definisikan sebuah matriks , Misalnya:
>
3. Untuk mencari invers perintahnya:
> inverse(P);
��
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
BAB III
SISTEM PERSAMAAN LINIER
3.1 Mencari Solusi Persamaan Linier
a. Invers Matriks
Rorres (2004: 66), Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik atau dapat
dicari inversenya , maka untuk setiap matriks b, n x 1, sistem persamaan Ax=b memiliki
tepat satu solusi, yaitu x = A-1 b. A dapat dibalik (det (A)�0).
Contoh:
Perhatikan persamaan linear berikut:
3 5 9
5 2 3 3
2 6 17
x y z
x y z
x z
+ + =
+ + =
+ =
Dalam Bentuk matriks persamaan ini dapat di tulis sebagai Ax=b, dimana:
1 3 5 9
5 2 3 3
2 0 6 17
x
A x y b
z
= = =
Penyelesaian persamaan linier di atas dapat diselesaikan dengan maple.
> restart:
> with(linalg):
> A:=Matrix([[ 1 , 3 , 5 ], [ 5 , 2 , 3 ],[ 2 , 0 , 6 ]]);
> det(A);
> b:=Vector[column]([ 9 , 3 , 17 ]);
��
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
> INV_A:=inverse(A);
> Solusi:=evalm(INV_A&*b);
b. Metode Cramer
Rorres (2004: 123), Jika Ax = b adalah suatu sistem dari n persamaan linier dengan n
faktor yang tidak diketahui sedemikian sehingga det (A)�0, maka sistem ini
memiliki solusi yang unik, solusinya adalah
1 21 2
det( )det( ) det( ), , ......
det( ) det( ) det( )
nn
AA Ax x x
A A A= = =
di mana An adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom
ke-n dari A dengan entri-entri pada matriks.
Contoh:
Perhatikan persamaan linear berikut:
3 5 9
5 2 3 3
2 6 17
x y z
x y z
x z
+ + =
+ + =
+ =
Penyelesaian:
> restart: > with(linalg): > with(LinearAlgebra): > soal:={x+3*y+5*z=9, 5*x+2*y+3*z=3, 2*x+6*z=17};
> p:=genmatrix(soal,[x,y,z],flag);
> M:=Matrix(3, 4, {(1, 1) = 2, (1, 2) = 0, (1, 3) = 6, (1, 4) = 17, (2, 1) = 1, (2, 2) = 3, (2, 3) = 5, (2, 4) = 9, (3, 1) = 5, (3, 2) = 2, (3, 3) = 3, (3, 4) = 3});
��
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
> A:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,2,3]);
> A_1:=SubMatrix(M,[1,2,3],[4,2,3]);
> A_2:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,4,3]);
> A_3:=SubMatrix(M,[1,2,3],[1,2,4]);
> x:=det(A_1)/det(A);
> y:=det(A_2)/det(A);
> z:=det(A_3)/det(A);
c. Metode Gauss Jordan
Eliminasi Gauss diperkenalkan Karl Friendrich Gauss (1777 1855) dengan melakukan
mengubah matriks diperbesar dari suatu sistem persamaan linear menjadi matriks eselon
baris tereduksi. Rorres (2004: 13) setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi
yang unik; artinya kita akan memperoleh eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks
yang tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan.
Contoh 3:
Dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan:
2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ − =
��
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
Penyelesaian:
> restart: > with(linalg): > with(LinearAlgebra): > Gauss:={x+y+2*z=9,2*x+4*y-3*z=1,3*x+6*y-5*z=0};
> A:=genmatrix(Gauss,[x,y,z],flag);
> addrow(A,1,2,-2);
> addrow(%,1,3,-3);
> mulrow(%,2,1/2);
> addrow(%,2,3,-3);
> mulrow(%,3,-2);
> addrow(%,3,2,7/2);
> addrow(%,3,1,-2);
��
Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan Penuntun Praktikum Aljabar Linier dengan MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16MAPLE 16
> addrow(%,2,1,-1);
> gausselim(A);
> gaussjord(A);