modul praktikum knt
DESCRIPTION
Modul untuk praktikum KNT Teknik Kimia ITSTRANSCRIPT
＼
BUKU PETUNJUK PRAKTIKUM
LABORATORIUM SIMULASI DAN KOMIPUTASI
JURUSAN TEKNIK KIMIA
FAKULTAS TEKNOLOGIINDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGISEPULUH NOPEMBER
20012
DAFTAR ISI BUKU PETUNJUK PRAKTIKUM KNT
Daftar isi buku petunjuk praktikum KNT
Peraturan dan Tata Tertib Lab. Komputasi & Simulasi
Peraturan dan Tata Tertib Praktikum KNT
Format Jurnal Tes Awal dan Laporan Praktikum
Format Laporan Akhir Praktikum
Pelatihan Matlab
Modul I : Persamaan Nonlinier
Bisection, Interpolasi Linier, Secant
Modul II : Persamaan Nonlinear
Successive Approximation, Newton Raphson
Modul III : Persamaan Aljabar (Metode Langsung)
Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan, LU Decomposition
Modul IV : Persamaan Aljabar (Metode tak Langsung)
Jacobi, Gauss Siedel
Modul V : Pendekatan Polinomial (Interpolasi)
NGB, NGF
Modul VI : Pendekatan polynomial (Integrasi Numerik)
Trapezoidal, Aturan Simpson l/3. Aturan Simpson 3/8
Modul VII : Pcrsamaan Differensial Biasa
Metode Taylor, Euler, Runge Kutta
Modul YIII : Persamaan Differensial Biasa
ODE 45, ODE 23
Sekilas Tentarrg Flowchart
Contoh-contoh listing
Halaman
15
ｉ
ｌ
２
４
５
６
‐０
12
●Ｄ
14
16
17
18
19
Sem Genap 20lll20l2Pefunjuk Praktikum KNT
't t
PERATURAN DAN TATA TERTIB LAB. KOMPUTASI
Untuk lebih dapat menjaga ketertiban dan keutuhan Laboratorium Komputasi, Makapara pemakai/ pengguna komputer wajib mentaati tata tertib yang ada dibawah ini,sebagai berikut :
l. Berpakaian rapi dan sopan.2. Dilarang memakai kaos oblong, celana jeans robek (bolong), sandal.3. Dilarang merokok dan membuang sampah sembarangan di dalam ruangan
Laboratorium Komputasi.4. Dilarang memakai topi, kacamata hitam dan jaket selama berada dalam
ruangan Laboratorium, barang-barang tersebut diletakkan pada tempat yangtelah disediakan.Dilarang telepon via Handphone selama berada dalam Laboratorium,handphone harap dimatikan.Dilarang makan dan minum serta membawa perangkat elektronik(walkman, tape, dll ) selama berada dalam ruangan LaboratoriumKomputasi.
7. Pemakai Laboratorium wajib menjaga ketenangan dan kebersihan ruanganLaboratorium serta menjaga keutuhan barang-barang yang ada di dalamLaboratorium.
8. Wajib melaporkan setiap kerusakan yangada, baik pada komputer maupunalat-alat penunjang lainnya kepada Assisten, Kalab. atau petugas jaringan.
9. Segala sanksi yang ada akibat pelanggaran diatas adalah wewenang assisten/KaLab.
10. Segala bentuk perusakan pada peralatan Laboratorium ( Hardware /Scftware ) yang dilakukan oleh pemakai Laboratorium Komputer, maka akandiproses sesuai dengan peraturan yang berlaku.
ll.Dilarang melakukan perubahan pada Software Komputer, menambahprogram Aplikasi dan share (bagi pakai) data tanpa sepengetahuan Kalab.,Petugas Jaringan.
l2.Penggunaan/pemakaian Laboratorium Komputer diluar waktu kegiatanperku I iahan/praktikum harus atas seij in Kalab.
Pengguna Laboratorium Komputasi adalah seluruh civitasakademik Jurusan Teknik Kimia dimana Keutuhan dan
Kenyamanan pemakaian Komputer tidak lepas daribagaimana anda menjaga dan merawatnya.
<rg)g) Terima Kasih atas kerjasamanya CACRAa
ξ′
6.
ヽ
Pelu4iuk Pral<tikun KNT Sem Genap 20lll20l2
TATA TERTIB PRAKTIKUM KNT
LABORATORIUM KOMPUTASI DAN SIMULASI
KETENTUAN UMUM
1. Seluruh praktikan diharapkan hadir tepat waktu.
2. Berpakaian rapi dan sopan.
3. Melaksanakan tes awal dan praktikum dengan sebaik-baiknya.
4. Hanya diperkenankan membawa jurnal, alat tulis, lentb+r tapg!_
-99!09nla++selama praktikum berlangsung.
5. Mengumpulkan tugas dan-laporan tepat pada waktunya.
6. Tidak diperkenankan membawa makanan dan minuman saat praktikum.
7. Peraturan lainnya akan ditetapkan kemudian.
JENIS PELANGGARAN DAN SANKSI
I. Pelanggaran Ringan , !jl. Terlambat masuk Praktikum antara 5 sampai l5 menit.
2. Terlambat tes awal antara 5 sampai 15 menit.
3. Tidak berpakaiarr rapi dan tidak bersepatu.
4. Terbukti berpindah tempat selama praktikum.
5. Terbukti melanggar poin 4 ketentuan umum
Sanksi !po,n ; ' \
1. Membuat paper sebanyak 5 sampai l0 halaman yang didapatkan dari
internet ([JRL dicantumkan), sesuai kesepakatan dengan asisten. \ z
2. Tidak diperkenankan mengikuti praktikum sebelum berpakaian rapi dan
bersepatu, dan ditambah sanksi nomor satu.
II. Pelanggaran Sedang
,1. ferbukti membawa "Baceman" dalam bentuk printout, tulisan tangan,
fotocopy, disket, dll. -)bt.r,it
2. Menggunakan komputer untuk keperluan lain di luar praktikum.
3. Terlambat masuk Praktikum antara l5 menit sampai 30 menit.
4. Terlambat tes awal antara l5 sampai 30 menit.
5. Terbukti melakukan "sharing" jaringan antar komputer.
lノ
た″ μ 物 綱 笏 rrv「 Sem Genap 201112012
6. Terbukti melanggar poin 5 ketentuan umum.
7. Melakukan kesalahan pada pelanggaran ringan sebanyak dua kali.
Sanksi to fortt -- 'r /'' ''- ' i r'' ' ' ' I
1. Membuat paper sebanyak l0 sampai 20 halaman yang didapatkan dari
intemet (URL dicantumkan).
2. Khusus untuk pelanggaran no. 3 sanksinya ditambah dengan presentasi di
ilI. Pelanggaran Berat
l. Terlambat masuk Praktikum lebih dari 30 menit.
2. Terlambat tes awal lebih dari 30 menit.
3. Tidak mengumpulkan laporan pada waktu yang telah ditentukan,
tenrrasuk laporan yang sudah di ACC.
4. Mengcopy atau dengan sengaja mencontoh program dari praktikan lain
selama praktikum.
5. Tidak melakukan tes awal.
6. Melakukan kesalahan pada pelanggaran sedang sebanyak dua kali
Sanksi
1. Tidak diperkenankan mengikuti praktikum.
2. Membuat paper sebanyak l0 sampai 20 halaman yang didapatkan dari
intt'met (URL dicantumkan). .i
IV. Pelanggaran Khusus
Tidak menyelesaikan soal yang diberikan pada waktu praktikum (listing tidak
jalan) : , ,
Sanksi : membuat'listing yang benar di luar praktikum dan memperbandingkannya
dengan yang salah (dikumpulkan dalam bentuk disket dan cerak)
Catatan Penting:
o Apabila melakukan pelanggaran berat dua kali dengan kesalahan yang sama,
praktikan akan dibatalkan praktikumnya.
o Apabila praktikan berhalangan hadir dalam kegiatan praktikum (tes awal,
praktikum, dan tes akhir) karena bekerja, wajib ijin kepada asisten yang
bersangkutan paling lambat dua (2) hari sebelum kegiatan praktikum.
ル″ μ 助 初 b rJv「 4
FORMAT JURNAL TES AWAL
Jurnaltes awal berisi:
1. Modul ke berapa
2. Tema / judul praktikum
3. Identitas ( Tanggal praktikum, group, nama praktikan, nrp, nama asisten )
4. Tujuan praktikum
5. Algoritma
6. Penyelesaian soal/tugas dengan cara manual
7. Membuat Flowchart
Ketentuan :
l. Ditulis tangan pada kertas folio bergaris
2. Dikumpulkan pada waktu tes awal.
3. Dibuat perorangan.
FORMAT LAPORAN PRAKTIKUM
Laporan praktrkum berisi:
l. Halaman judul ( modul ke berapa. tema/iudul praktikum. tanssal
praktikum. grouo. nama praktikan. nrp. nama asisten )
2. Bab I Pendahuluan (berisi: Tuiuan praktikum. batasan masalah. dasar teori)
min 2 halaman.
3. Bab II Hasil Percobaan dan Pembahasan
4. Bab III Kesimpulan dan Saran
5. Daftar Pustaka
6. Lampiran (berisi: flowchart.listing proqram. soal tes awal)
Ketentuan:
l. Laporan diketik (per-kelompok) dan dikumpulkan I minggu setelah praktikum
dan di-ACC asisten
2. Diketik dengan komputer di kertas A,4 dengan format 4433, spasi 1,5 font Times
New Roman, ukuran font 12.
3. Untuk flowchart wajib diketik dengan menggunakan software Visio.
Pefunjuk Praktikum KNT Sem Genap 2OIIffit2
FORMAT LAPORAN AKHIR
Laporan akhir berisi:
1.Halamanjudul utama(nama laporan,logo ITS,nama pembuat,nama Lab)
2.Kata Pengantar
3.Da■ar lsi
4. Laporan praktikum modull sampairnodul VII
Ketentuan:
1. E)iketik dengan komputer di kertas A4 dengan follllat 4433,spasi l,5 font Times
New Roman,ukuran font 12.
2.Laporan akhir djilid rapi.
3.Dikumpulkan sebelum Lttian Akhir.
PRESENTASI PENILAIAN(Bisa Berubah。。)
1.Tes awal : 20% ヶ町o
2.Praktikum: 30% `o° ′・3._Laporan_二抑
4.Ⅵhn : 30% ぽ|。 .
…んt猿■じ
1。f aし・ 1多 ぺ
」一
|
1.
Pelatihan Matlab
Pengenalan environment Matlab, antara lain : Membuka / menutup aplikasi,Workspace (Command Window), m-fiIe, Variabel, path
Double-click pada icon matlab yang ada di desktop:
Akan muncul :
二‖e ttdは yew‐
Fryoduct lt€r: (- ar (t seece se"a... I
AdibF品‖わolDereloprnenl Environment
DsJglry?Em ErM,onrneil
Development
Currenl Direc{ory: ID trnymfiles
<l:Heldy
Ubah direktori aktif (lihat gambar di bawah) ke E:
runenl direrloryBrowse to
r h unge
(urrBnl
diredory
Workspace (Command Window)
Digunakan untuk memasukkan variabel-variabel dan menjalankan fungsi-
fungsi dan program pada m-fiIe.
M-File
Editor program untuk membuat program dalam MATLAB.Untuk membuat
program dalam MATLAB,bisa juga dengan program lain,misal notepad tetapi
disimpan dengan file ekstensi .m, misal collatz.m.
To 9et Et€rted, select "IIATLAB Help" frm the Help r,>
たに■ukttα″れ“rrVr Sem Genap 20lll20l2
,., Hrlrr
…
やリー,‐‐1曇
: 1~コ ‐ =1
・.'MA:臥 B
日b‐ Ed“ I VttW IWeb・ WhdO" HdP ■
D θ lふ 略亀め“1碑 |,γⅢIレ・
“。年10い 7耐た。 」|」
'6rn?rl H,-^,) EI E il 'rahrll rVnddre
一、一
J JRea6リ
tunctlon sequence-col I atz(n)S Collatz problem. Generate a sequence of integers resolving to 1X For any positive integer, n:S Divide n by Z if n is evens Hultiply n by 3 and add 1 if n is oddS Repeat for the resultS Continue until the result is 1%sequence = h;next-value = n;while next-value > 1
if rem(next-va1 ue' 2)==Pnext-value = next-val ue/Z;
e'l senext-value = 3*next-val ue+1;
endsequence = [sequence, next-value];
end
untuk membuat atau membuka editor ini, lihat gambar :
(reute new lt-file
Untuk lebih lengkap, tentang environmenl MATLAB lihat gambar berikut:
(reute neu ll-file Undo losl edil (reole newSimulink model
file (opy Ｒｅｄ
回
耐
Yieu or rhunge rurrenl dirodory
Posle 6o to llelp browserSeled previously used
rurrBnl dire(loryBrouse lo
thonge( urr enl
direttorylooltip destrib es button
tooltips on 0r off using G:nrd Prrftrcrrcr
たに電ukれ脚 b rrv「 8 Sem Genap 20lll20l2
Eil, Edl ‐yiew l‐ ェeXt ttebu9 旦reaトロ,ぃtl wlコ WindOW 旦口lp.■
B酵 日 曇 1出‐貼 亀 9“ |“ f)|‐ 日f覇 個 電 日 ● 0
0pen file
‐?1ltur..preap崎
lobs to go to Workspo(o lhe seporolor bor lo resire rindotsbrorser or (urrenl lllrerlory
2. Pengoperasian fungsi matematis sederhana, di Workspace. dan di m-file/script,antara lain: +, -, *, /, ^, sin(x), cos(x), abs(x), tan(x), log(x)[ln(x)], logl0(x),exp(x), sqrt(x).
7o Perhitungan matematika sederhanabuku:2penghapus:2pensil:2total barang=buku+penghapus+pensi Itotalharga:buku *2O00+penghapus*
5 00+pensi I t I 000
ratarataharganotalharga/tota lbaran g
7o Mencari densitas ethanol cair (g/cm3)T:300 %odalamkelvinrho: I .03 2-5 .392*T * I e-4 -8.7 l2*T ^2* I e-7
7o Perhitungan waktu paruh elemen radioaktif poloniumjumlah_awal:10waktujaruh:l 50 Yo dalam hariwaktu:300jumlah_sisa:j um lah_awal * 0.5^(waktu/waktujaruh)
3. Membuat input/output data dalam m-fiIe, antara lain :
x:input('masukkan nilai x: ')
Petunjuk Pral<tikun KNT Sem Genap 201112012
disp(['ini akan menampilkan hasil ' , num2str(x)])4. Mengenalkan fungsi-fungsi mendasar dalam matlab, antara lain : who, clc, clear,
whos, help, function, break (menghentikan aplikasi), pause (menunda aplikasisampai tertekan tombol),
5. Mengenalkananay. Antara lain: pengalamatan array,
6. Pengenalan Looping% Contoh listing program Looping% 1. Loop For% 2.Loop Ifthen else% 3. Loop While
% l. Loop For:disp('Berhitung Kentang dengan loop for');n:input('jumlah kentang :');for a:l:n
disp([num2str(a),' kentang'])enddisp('Berhitung selesai');pause
Yo2.Loop If then elsedisp('Quiz kemiripan dengan if then else');z:0;a:input('anda suka pisang (y/t)','s');if a::tyt
z=ztl;enda:input('anda suka memanjat pohon(y/t)','s');if a::'y'
z:z*l;end
a:input('anda berbulu lebat (y/t)','s');if a::tyt
z:z+l;endif z::3
disp('anda pasti monyet');else if z=:0
disp('anda pasti bukan monyet')else disp('anda seperti monyet')end
end
disp([num2str(a)])
Yo3.Loop while-ldisp('berhitung kentang dengan while-l');n:input('jumlah kentang :');a:l;while a<:n
た ″ ね 粥 雅 ″ rJvr lo Sem Genap ,frIImO
disp([num2str(a),' kentang']);a:a*l;
enddisp('berhitung selesai');
Yo3.Loop While-2disp('berhitung kentang dengan while-2');n:input('jumlah kentang :');a:0;keluar:0;while keluar:O
a:a*l;if a::n
keluar-l;enddisp(['ada',num2str(a),' kentang']);
enddisp('berhitung selesai');
7. Matrik/arrayEye(n):(matriks identitas yang diagonalnya bemilai I dan selebihnya nol),zeros(n):membuat matriks nol dengan nxn, ones(n):membuat matriks satudengan nxn, flipud(A)=membalik matrik A dengan arah vertikal,fliplr(A)=membalik matrik A dengan arah horizontal, rot90(A):memutar matrikA dengan arah ke kiri sebesar 90 derajad, triu(A):menghasilkan matrik segitigaatas dari matrik A, tril(A):menghasilkan matrik segitiga bawah dari matrik A.
た ″ ″ 助 制 笏 紺 H Sem Genap 201112012
Modul IPersamaan Nonlinier
Tujuan Percobaan :
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan
persamaan nonlinier yaitu metode Bisection, Interpolasi Linier dan Secant.
Dasar Teori
Umumnya, suatu persamaan Non linier f(x) : 0 tidak dapat diselesaikan secara
analitis, namun dapat diselesaikan dengan metode numerik yang lebih kompleks.
Berbagai macam metode numerik telah berkembang, antara lain metode Bisection,
Interpolasi linier, dan Secant yang menggunakan dua bilangan sebagai harga awal.
Berikut penjelasan mengenai metode-metode numerik tersebut :
1. Metode Bisection
Metode Bisection disebut juga metode pemotongan biner, dimana interval
dari suatu fungsi dibagi dua. Bila fungsi berubah tanda dalam interval tersebut,
maka harga fungsi di tengahnya dievaluasi, kemudian letak akar-akarnya
ditemukan berada di tengah-tengah sub interval dimana perubahan tanda terjadi.
Proses tesebut dilakukan berulang-ulang sampai nilai error (kesalahan) tidak
terlalu besar. Metode ini memang lebih lambat jika dibandingkan dengan metode
yang lain. Namun kerapian analisis kesalahannya menjadi nilai lebih.
Algoritma dari metode ini adalah :
l. Memilih harga pendekatan awal, x1 dan x2 dimana f(x1) harus berlawanan
tanda dengan f(x2)
2. Menentukan harga xr : (xr + x2)12
3. Bila % I x, - xz | < toleransi, harga xr adalah harga x yang dicari, jika tidak
maka proses dilanjutkan ke langkah 4.
4. Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x1), maka x2 baru:X3. Jika f(x3)
berlau,anan tanda dengan f(x2), maka x1 baru:X3, kemudian kembali ke
langkah 2.
た ″ 乃電た漱 物 /7V「 12 Sem Genap 20lll20l2
2. Metode Interpolasi Linier
Walaupun metode Bisection mudah dan memiliki analisa kesalahan yang
sederhana, namun metode ini tidak efisien. Untuk sebagian besar fungsi, kita
dapat meningkatkan kecepatan konvergensi. Salah satu dari metode ini adalah
metode Interpolasi Linier (disebut juga metode "False Position" atau "Regula
falsi").
Misalkan suatu fungsi f(x) linier pada interval (x1,x2) dan nilai f(x1) dan
f(x2) berlawanan tanda, sedangkan nilai x3 berada dalam interval (berada di
antara x1 dan x2) maka nilai xr dapat didekati dengan menggunakan rumus :
xt = xz - ;: f:(*'\; : (x, - x,)...........( I )Jlx)-Jl\)Kemudian f(x3) dihitung dan diadakan lagi interpolasi linier antara harga-harga
pada mana f(x) berubah tanda dan menghasilkan harga baru untuk x3. prosedur
ini dilakukan berulang-ulang sampai didapatkan nilai akar yang dikehendaki.
Algoritma metode interpolasi linier adalah sebagai berikut :
1. Pilihlah harga x1 dan x2 sedemikian hingga f(x1) dan f(x2) berlawanan
tanda.
Menentukan harga x3 dengan rumus (I.3.1).
Memasukkan nilai x3 ke fungsi asal, jika I f(x:) | < toleransi, maka harga
xr adalah harga x yang dicari. Bila tidak proses dilanjutkan ke langkah 4.
Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x1), maka tetapkan x2:x3 dan bila
f(x3) berlawanan tanda dengan f(x2), tetapk&h X1:X3, proses kembali ke
langkah 2.
3. Metode Secant
Metode ini juga pengembangan dari metode interpolasi linier. Metode ini
dapat disebut metode ekstrapolasi linier. Pada metode ini fungsi f(x1) tidak perlu
berlawanan tanda dengan f(x2), namun dipilih dua harga yang dekat dengan akar
sebenarnya yang ditunjukkan oleh fungsi dari kedua titik tersebut. Algoritma dari
metode ini adalah :
l. Memilih harga pendekatan awal, x1 dan x2.
2. Menentukan harga x3 dengan Pers.(1).
２
３
4.
Pefu4iuk Praktikun KNT 13 Sem Genap 20lll20l2
Jika lf(x3)l < toleransi, maka harga xr adalah harga x yang dicari, bila tidak
dilanjutkan ke langkah 4.
Jika lf(x1)l > lf(xz)|, maka x1 baru:X2, jika tidak maka x1 baru:Xl. Kemudian
menentukan harga x2 baru:X3 dan kembali ke langkah 2.
，フ
4.
TUGAS 1 :
l. Model dinamik untuk isothermal, volume konstan pada sebuah reaktor dengan
reaksi orde dua adalah O7: =Irr, -!c^-kC'^.Tentukan konsentrasi (Ca)dtVATVAA
pada steady state dengan parameter harga F/V = l/menit, CRF : I gmol/l dan k:I l/gmolmenit dan gunakan metode-metode yang sesuai.
2. Gas nyata tidak dapat dianggap gas ideal pada tekanan tinggi. Van der Waalsdalam desertasinya mampu menghitung volume gas nyata dengan persamaan van
der waals. Pers. Van der Waals adalah (,.;), -b)=R.Z dimana p adalah
tekanan, R adalah konstanta gas ideal, T adalah suhu, V adalah molar volume, a,
b adalah konstanta van der waals. Dengan menggunakan metode-metode yang
ada, tentukan V pada udara dengan tekanan 50 atm dan -100 "C.(a : 1.33 atm litef/gmol2, 6 : 0.0366 liter/gmol)
Petu4juk Proktikun KNT 14 Sem Genap 201112012
Modul IIPersamaan Nonlinier
Tujuan Percobaan :
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan
persamaan nonlinier yaitu Successive Approximation, dan Newton Raphson.
Dasar Teori
Umumnya, suatu persamaan Non linier (x) : 0 tidak dapat diselesaikan secara
analitis, namun dapat diselesaikan dengan metode numerik yang lebih kompleks.
Berbagai macam metode numerik telah berkembang, antara lain metode Succesive
Approximation dan Newton Raphson hanya menggunakan satu bilangan sebagai
pendekatan awal. Berikut penjelasan mengenaimetode-metode numerik tersebut :
1. Metode Successive Approximation
Metode inijuga disebut metode iteratif trial and error, dimana menggunakan
harga awal kemudian didapat harga baru. Metode dianggap konvergen jika selisih
harga baru dengan harga sebelumnya lebih kecil dari toleransi. Algoritma dari
metode iniadalah :
l. Memilih harga pendekatan awal, x1.
2. Mengubah f(x) menjadix:g(x), sehingga x2=g(xr).
3. Jika lx2-x1l < toleransi, maka harga xz adalah harga x yang dicari, bila tidak
dilanjutkan ke tahap 2.
2. Metode Newton-Raphson
Metode ini menggunakan fungsi derivatif sebagai fungsi garis singgung.
Algoritma dari metode ini adalah :
l. Memilih harga pendekatan aawal, x1.
2. Menentukan harga Xz:Xr - f(x1)/f (x1).
3. Jika lf(xz)l < toleransi, maka harga x2 adalah harga x yang dicari, bila tidak
dilanjutkan ke langkah 4.
Menentukan harga x1 baru= X2 kemudian kembali ke langkah 2.
くυPetu4juk Praklikun KNT Sem Genap 20lll20l2
TUGAS 2 :
l. Persamaan Harlacher dapat digunakan untuk mengestimasi tekanan uap jenuh
suatu zat. Persamaann ya ln Pvp = A- ++
C.ln(I) . ry di mana Pvp adalah
tekanan uap (bar), T adalah suhu (K), A, B, C, D adalah konstanta Harlacher.Tentukan suhu l-octena pada tekanan uap l0 bar.(A : 57.867, B : 6883.34, C : -6,765,D : 5235)
2. Sistem kesetimbangan uap dan liquid empat komponen dengan asumsi larutanideal. Data untuk tekanan uaq zat murni sebasai berikut :
Komponen Tekanan uao zat murni (psia)
pada 150 F pada 200 F
I
2
3
4
25
14.7
4
0.5
200
60
14.7
5
Hitunglah suhu dan komposisi uap pada 75 psia dengan xl :0.1, x2= 0.54,x3:0.3 dan x4 :0.06.
(Persamaan tekanan uap menggunakan pers. Antoine ln P: A/T + B)
Petunjuk Praktikun KNT 16 Sem Genap 201112012
Modul IIIPersamaan Aljabar (Metode Langsung)
Tujuan Percobaan :
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan
persamaan aljabar secara langsung yaitu metode Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss
Jordan, LU Decomposition.
Dasar Teori
Secara umum suatu persamaan linear dapat dituliskan sebagai berikut :
811 X1 * alzxz -l ... * &ln Xn : cl
&21 X1 * azzxz * ... * dzn Xn : c2
opl X1 * dnzxz t ... * &nn Xn = Cn
Bila dinyatakan dengan notasi matriks adalah :
AX=C
ott 0t, .rl cl
dimana M M:Mdrl Orn xn cn
AXCMetode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linear
yaitu metode langsung dan tak langsung (iteratif). Metode langsung baik digunakan
untuk matriks rapat (dense matriks), yaitu matriks yang elemen-elemen nolnya
sedikit. Sedangkan metode tak langsung digunakan untuk sparse matriks yaitu
matriks yang elemen nolnya banyak. Untuk selanjutnya hanya dibahas metode
langsung. Metode ini terdiri dari metode Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss - Yordan
dan LU Decomposition.
Metode Eliminasi Gauss
Metode ini terdiri dari dua tahap eliminasi dan substitusi kembali. Perhatikan
sistem persamaan :
O1y x1 * dnxz * ... + aln Xn : Cl (1)
d21 x1 * azzxz * ...* dzn Xn : C2 (2)
Petunjuk Praktikun KNT 17 Sem Genap 20lll20l2
anl xl+an2 X2+.¨ +ann xn=Cn (n)
Tahap elinlinasi terdiri dari n‐ 1 langkah:
Eliminir xl dari persamaan(2)sampai(n)
PerS(i)― PCrS(1)X(ai1/a11);i=2,3,4,...,n
Schingga sistem mettadi:
all xl十 a12X2 +a13X3 +・ ¨+ain Xn =Cl
a22(1)X2+a23(1)X3+・ ¨+a2n(1)Xn=c2(l)
… 十 .¨ +.… +… …
an2(1)X2+an3(1)X3+… 十 ann(1)xn=Cn(1)
Eliminl x2 dari persamaan(3)sampai(n)
PerS(i)一 PerS(2)x(a12(lン a22(1)) ;i=3,4,...,n
Sehingga sistem menJadi:
all xl+a12X2 +a13X3 +… +ain xn =Cl
a22(1)X2+a23(1)X3+・ ¨+a2n(1)Xn =c2(1)
a33(2)x3+・ ¨+a3n(2)xn =C3(2)
。̈ 十 … …
ann(n‐1)xn=cn(・ ‐1)
R4enentukan aJ(O dan ci(rl
a」(r)=a」 (・ 1)一
a」(卜 1)[air(r‐ 1)/arr(卜 1)] ...(1)
ci(→ =ci(■1)_cr(「 1)[air(r_l)/arr(・ 1)]
…(2)
i=r+1,¨ "n ; j=r■ 1,¨"n; r=1,2,¨ ,n-1
Tahap substitusi kembali xn=cn(n_1)/ann(・‐1) ...(3)
Xn_1=(cn_1(n_2)_an‐ 1,n(n‐2)x.)/an_1,n_1(n‐ 2)
。.。 (4)
均=(q OJ)‐ Σ %kO・)xn)/鶴 0・) .…
(5)1=ノ+l
P市oting(pertukaran baris)pada metode Eliminasi Gauss perlu dilakukan bila
harga elemen arr(・1)=0, karena bila tidak maka metodc ini akan gagal dalam
menyelesaikan sistcrn persamaan Hnearo Pivoting terkadang perlu dilakukan
dalam setiap tahap clinlinasi.Jadi dalam pivoting diusahakan agar pivOt clemen
(elemen diagonal)mcmpunyai harga absolut maksimum dibanding elemen‐
clemen yang lain dalam kolom yang sama.
た に哺ukれ制 勧 紺 18 Sem Genap 20lll20l2
Metode Gauss - Yordan
Metode ini pada dasarnya sama dengan metode Eliminasi Gauss, tetapi tahap
eliminasi dan substitusi kembali dilaksanakan bersama-sama. Algoritma metode
ini adalah :
Untuk i: I sampai n, laksanakan :
Aii:Aiildii ;j:1,...,n Otj:&t<j-ati.a,j
Ck:Ck-Oti.Ci
k: 1, 2,...,a ;j : 1, 2,...,fr
Xi = Ci , i: l, 2, ...,fr
Inti dari metode ini adalah mengeliminasi dan mensubstitusi matriks A yang
dibuat dari sistem persamaan menjadi matriks identitas.
xxx 100xxxffi0l0xxx 001
Metode LU Decomposition
Metode ini disebutjuga crout reduction method atau cholesky method. Dalam
hal ini matriks koefisien A diuraikan ke dalam hasil kali dua matriks L dan U
dimana L adalah triangular bagian bawah (lower) dan U triangular matriks bagian
atas (upper) dengan angka I pada diagonalnya. Penentuan elemen-elemennya
untuk matriks L dan U dapat dijabarkan sebagai berikut :
Lr, 0 0 0 I U, U* Uro ort orz o* du
L^ Lr, 0 0 0 I U* Uro =
ozt ozz ozt ozc
L, L, Lr. 0 0 0 I U,o ott on on osq
Lo, Lo, Ln Loo 0 0 0 I aq oqz dqt occ
Dengan operasi perkalian matriks dan identity, maka elemen-elemen L dan U
diperoleh :
* Baris-barisL * kolom I U
Lrr = 8l t iLZt: aX iLy = ?,3t iL4l: d+t
t Baris I L* kolom-kolom U
Lrr*Urz : dn) Un: dn/Ltt
Lrr*Urr = 86 ) U13: o13ll,11
Lrr*Urn: or+ ) Ut+: au/Ltt
* Baris-barisL * kolom2 U
Lx+U n t Lzz : azz ) Lzz : 3zz - Lx*U n
Petunjuk Praktikun KNT 19 Sem Genap 20lll20l2
L31*U12+L32=a32→ L32=a32~L31*U12
L41*U12+L42=a42→ L42=a42~L41*U12
● Baris 2 L*kolom― kolom U
L21*U13+L22*U23=a231〉 U23=(a23~L21*U13)/L22
L21*U14+L22*U24=a24→ U24=(a24~L21*U14)/L22
● Baris_baris L*kolom 3 U
L31*U13+L32*U23+L33=a33… 〉L33=a33~L31*U13~L32*U23
L41*U13+L42*U23+L43=a43→〉L43=a43~L41*U13~L42*U23
= Baris 3 L*kolom―kolom U
L31*U14+L32*U24+L33*U34=a34→ 〉U34=(a34~L31*U14~L32*U24)/L33
= Baris―baris L*kolom 4 U
L41*U14+L42*U24+L43*U34+L44〓 a44→ L44=a44~L41*U14~L42*U24~L43*U34
Rumus-rumus umum untuk memperoleh elemen-elemen L dan U :
ilLr:a,:- I L**U1j ,jSi, i=1,2,...,tr) elemenmatriksLi<i
k=l
Untukj: I ) Lir :air
,l
Ui, :(aU - I L1s*Upi)/L;;, i <j,j =2,3,..., tr ) elemenmatriksU;<j&=l
Untuki:l )Ug:a;i/a11
Keuntungan metode ini adalah tempat menyimpan data yang lebih ekonomis karena
tidak perlu menyimpan angka nol dan satu. Elemen-elemen L dan U disimpan pada
tempat penyimpanan koefisien-koefisien matriks semula, sehingga :
ott orz atz oru L, U, U* Uro
ozr dzz ozz ozq __+
Ll Ln Ux Uro
otr atz att ozc Ll L, L* Uro
o+r dqz oct d++ Ln, Lo, Lo, Loo
Menghitung c' :
Persamaan untuk substitusi kembali :
u :n )An wn
ＬＣ＊Ｌ
Ｈ▼≫“＝
Ｃ〓Ｃ几Ｃ〓Ｃ
た″ 助 物 r/vr 20 Sem Genap 20lll20l2
均=匂 ‐Σ uJk*xk ; J=n‐ 1,¨り1
■=ノ +l
TUGAS3:
Solve these equation by using L― U Decompotion,Gauss Jordan and Elimination
Gauss:
Xl+3X2+5X3+2X4 =0
Xl+9X2+8X3+4X4= 15
Xl+X2+X3+X4=2
2Xl+X2+X3+X4=-3
|
Petunjuk Praktitun KNT 2l Sem Genap 20lll20l2
|
Modul IVPersamaan Aljabar (Metode tak Langsung)
Tujuan Percobaan :
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan
persamaan aljabar secara langsung yaitu metode Jocobi dan Gauss Siedel.
Dasar Teori
Dalam menyelesaikan sistem persamaan aljabar linear terdapat dua metode
yang bisa digunakan yaitu metode langsung dan metode tak langsung yang disebut
juga metode iteratif. Metode langsung baik digunakan untuk matriks rapat/dense
matriks yaitu matriks yang elemen nolnya sedikit. Dimana yang termasuk metode
langsung adalah metode Eliminasi Gauss, Gauss-Yordan, dan LU Decomposition.
Sedangkan metode tak langsung baik digunakan untuk sparse matriks yaitu matriks
yang mempunyai banyak elemen nolnya. Yang merupakan metode tak langsung ini
adalah metode Yacobi dan Gauss-Siedel. Pada percobaan ini hanya akan dibahas
tetang metode tak langsung dan metode langsung tidak dibahas disini karena telah
dijelaskan pada modul sebelumnya.
Terdapat dua macam metode tak langsung yang sering digunakan untuk
menyelesaikan sistem persamaan aljabar linear yaitu metode Yacobi dan Gauss -Siedel.
1. Metode Jacobi
Prosedur penyelesaiannya persamaan-persamaan ini dengan metode Jacobi
dapat diuraikan sebagai berikut :
Baris-baris persamaan diatur kembali sehingga elemen-elemen diagonal mempunyai
harga yang sebesar-besarnya dibanding dengan elemen pada baris yang
sama.Dimulai dengan pendekatan awal x(l) hitung masing-masing komponen
xJk)'untuk i: 1,2,...,n dengan persamaan :
, (*) = 9" _* !" x G-t)-i aii ?, o,,,*'
k:2,3,,,...
di mana xJk) adalah harga x1 pada pendekatan ke k.Iterasi dihentikan bila bila harga
x,(k)
mendekati harga 1,(k-t) yaitu bila
た r」7JillJ■ 助 動 rrVr 22 Sem Genap 20lll20l2
|ザ1隻 … コdi mana e adalah batas kesalahan maksimum yang diijinkan.
Metode ini konvergen bila
lu,,l , I lu,J i: 1,2,....,nj=l
2. Metode Gauss-Siedel
Metode ini pada prinsipnya hampir sama dengan metode Yacobi dan
prosedurnya dapat dijelaskan sebagai berikut :
Pertama-tama diambil harga awal x(l) , menghitung masing-masing komponen
xJk)'untuk i : 1,2,3,...,n dengan persamaan :
為°)=C/ai―
」 (aJJ.為αンai卜2(aJJ.為
α・
y/am)
F j=i+k=2,3,.……n l
Hal ini terus dilakukan dan iterasi akan dihentikan bila:
|デ1隻 … n
di mana e adalah batas kesalahan maksimum yang diijinkan.
Adaun syarat konvergensi untuk metode ini sama dengan metode Yacobi yaitu :
n
lalil>Σ la」 l i=1,2,3,… ..,n
j=!
た に電ukPrarliJtra紺 23 Sem Genap 20lll20l2
TUGAS 4 :
Separation processes play an important role in most chemicals manufacturing
processes. Streams from chemical reactors often contain a number of components.
Some of these components must be separated from the other components for sale as a
final product, or for use in another manufacturing processes. A common example ofa separation process is gas absorption, which is normally used to remove a dilute
component from a gas stream.
Liquid
FeedL,xf
Gas FeedV. v--,
GasProductV, yr The simplest relationship is a linear
equilibrium relationship I ] 1 :o X;,
Where
y is the gas phase composition
x is the liquid phase composition
a is an equilibrium parameter
i represents the i-th stage
LiquidProductL, Xn
Figure 1. Gas absorption column, n stages
Let the liquid feed flowrate L = 80 kgmol inert oil/hr, vapor feed rate flowrate V =
100 kgmol airlhr , equilibrium parameter a = 0.5, liquid feed composition, xs:0.0 kgmol benzene / kgmol inert oil, and vapor feed composition yo = 9.1 kgmol
benzene / kgmol air. Find x at steady state for each stage.
た″ 助 動 r/vr 24 Sem Genap 20lll20l2
Modul V
Pendekatan Polinomial (Interpolasi)
Tujuan Percobaan :
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan
soal dengan metode interpolasi yaitu metode Newton Gregory Forward (NGF), dan
New ton Gre gory Bacla,y ard (NGB).
Dasar Teori
Bila suatu fungsi yang berkelakuan seperti polinomial maka kita dapat
mendekatinya dengan polinomial itu. Cara yang sederhana untuk menuliskan
polinomial derajat-nyangmelalui (n+l)titik(xi,fi),i:1,2,........,tr*ldibagimenjadi tiga yaitu :
1. Metode Newton -Gregory Forward.
Metode ini paling mudah untuk menuliskan suatu polinomial melalui titik-
titik yang berjarak sama. Polonomial derajat n dapat ditulis :
pn ( x1 ) : fo + iLfo *i(i:l) 6z p+ ('-lX'-2) L3 fo +...."2t"3lr
=力 十(|)A/a十 (:)十
△2ヵ +(:)+… 。
scdangkan(|)merupakan silnbol kombinasi yaitu:
(') _ l
『一乃〓
dimana h : range dari x atau Ax.
2. Metode Newton - Gregory Backrvard
Sama seperti Newton-Gregory Forward yaitu polinomial interpolasi yang
melalui titik-titik yang berjarak sama. Polinomial derajat n dapat ditulis :
pn(x)=Jo*(l)or, *('.,')t,.r-,*('l')o,r,....... (2)
koefisien-koefisien pada Newton Gregory forward dan Newton Gregory
Backward dapat dilihat pada tabel different
x (x) A(x) a2f1x; a3f1x;
xo fo
△f0
xl fl
X2 f2
X3 f3
X4 f4
△fl
△f2
△2f。
△2fl
△2f2
△3f0
△3fl
△f3
Untuk tabel diatas△ ■1=△f3,A212=△ 2f2dan△ 313=△ 3fl dst.
TUGAS5:
1. Tentukan NIIOlar Volume, cnthalpy dan entropy pada sat liq. dan sat. vapor air
pada suhu 20,3° C,24,8° C,27,1° C(Ambil data dari Stcam Table utk range 15-
24° C)。
2. Persamaan kecepatan dekomposisi N20 dg Pt mengikuti persamaan
d(a― 型=々(a_χ )
dr l+bx
た″ PrarliJtra rJvr 26 sem Genap 2011/2012
dimana a = tekanan mula-mula N2O dlm mm,
x : penurunan tekanan NzO dlm mm
t : waktu yang diperlukan untuk dekomposisi, detik
k dan b adalah konstanta .
Dekomposisi N2O pada74l oC dengan a = 95 mm, k :3,36 x 104, b :0.0254
Adalah
T, detik 315 750 1400 2250 3450
X (mm) l0 20 30 40 50
Tentukan waktu yang diperlukan agar penurunan tekanan pada dekomposisi
sebesar 25;38; 12 mm .
Modul VI
Pendekatan Polinomial (Integrasi Numerik)
Tujuan Percobaan :
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan
soal dengan metode integral yaitu metode Trapezoidal, Simpson l/3, dan Simpson
3/8.
Dasar Teori
Strategi untuk menjbarkan rumus-rumus integrasi numerik adalah semua
diferensiasi numerik yaitu dicari suatu polinomial yang melalui titiktitik fungsi
(titik-titik tabel data) dan kemudian mengintegrasikan polinomial ini. Bila titik-titik
tabel berjarak sama, maka digunakan polinomial Newton Gregory Forward
bb
ff<*la* =[rn1*1axo
Kesalahan integrasi iniadalah :
・ … … … … … … (1)
Em美二1)用夕→い
Ada berbagai cara untuk menggunakan persamaan (l). Kadangkala integrasi
(a,b) dibuat sama dengan range of fit polinomial (Xo,Xn). Betdasarkan rumus
Newton-Cotes terdapat rumus-rumus integrasi numerik dengan berbagai derajat
interpolating polynomial. Yang penting (yang sering dipakai) adalh rumus-rumus
integrasiyang menggunakan polynomial derajat satu, dua, tiga.
> Untuk n=1: 1/(χ )あじ=:(ス +バ )
:C亀+4パ +ん )
> Untuk n=3: ∫/0レ =考L(元 +3バ +3/2+ス )
ro
Perlu diperhatikan bahwa error untuk n:2 dan n = 3 adalah 0 Gs). Ini berarti
bahwa integrasi menggunakan polinomial derajat dua adalah serupa dengan integrasi
〓教χ
為
「し
げｒ
巧
た ヽふ 施 御 笏 rrvr 28 Sem Genap 20lll20l2
menggunakan polinom derajat tiga. Pada perhitungan error derajat dua memiliki
koefisien -ll90 sedangkan pada derajat tiga yaitu - 3/80. Sehingga rumus yang
didasarkan pada polinomial derajat dua lebih akurat bila dibandingkan dengan
polinomial derajat tiga. Berdasarkan rumus-rumus Newton - Cotes ini dijabarkan
rumus-rumus integrasinumerik : Trapezoidal, Simpson l/3 rule, Simpson 3/8 rule.
A. Trapezoidal Rule
Dalam aturan trapezoidal, range integrasi dibagi-bagi dalam beberapa bagian.
Dimana pada tiap bagian, harga integrasinya dihitung dengan menggunakan rumus
Newton Cotes, khususnya pada polinomial derajat satu.
. Gambar l.l Grarlk metOde trapezoidal
Bi=ill/(χ )d鷺 =(/(4)+/(■ +1)力,maka:
f/(χ)凌 ЫSa dhitung sebagJ benkut:
f/(χ)激 =Σ a=Σ:(ズ
十ズ+1)
=:(バ 十九十/2+五 十五+五 十五十五+。 十̈勇+!)
=:(ズ +2勇 +2/3+2五 十.¨ 十元+1)
Kesalahan′「 rapezoidal Rule,yaitu:
た ″ 乃Zた漱 物 rrv「 29 s@
t2
Error ini adalah kesalahan satu tahap, dan karenanya disebut " Local Error
". Global Error adalah total dari kesalahan-kesalahan local :
o GlobalError: # n"t"( er)+f "( e2)+f"( er)+..... ( eJl
Bila dianggap f " (x) kontinyu pada interval (a,b), maka akan ada harga x
dalam interval (a,b) katakanlah x: e, dimana harga penjumlahan pada
persamaan Global Error adalah sama dengan n . f " (e). Karena n . h: (b-
a), maka GlobalError menjadi:
Global Error:
Trapezoidal Rule : *.n' n f "( e)
: - (Q.a o) ,, f. (.) = o.(hz)
t2
Bial kita tidak tahu bentuk fungsi yang ditabelkan, h2f '1e; diestimasi dari difference
kedua.
B. Simpson ft W"
Dalam hal ini range integrasi dibagi-bagi dalam beberapa bagian yang tipa
bagiannya, harga integrasinya dihitung dengan rumus Newton-cotes menggunakan
Polinom derajat kedua.
Gambar l.2 Grarnk untuk metode simpson 1/3 rule
Bi=I1/(χ)教 =:(パ +4/+1+/+2)
Dengan kesalahan(Local Erroつ :
た ″ 乃嗽 漱 物 rJv「 30 Sem Genap 20lll20l2
,5LocalError: -!.f*(.) lX;( e (1;*,
90'b
Harga VAV. bisa dihitung sebagaiberikut :
tr/"[ru>a- =in, = *r, + 4f,+2f, + 4fo + ...+ f,*t)
Dengan kesalahan (Global Error) :
Global Error : -f*', ,r -f ,, (.) i Xi ( € (1n*1
C. Simpson /f W"l"
Dalam hal ini range integrasi dibagi-bagi dalam beberapa bagian yang
bagiannya, harga integrasinya dihitung dengan rumus Newton-Cotes menggunakan
Polinomial derajat tiga.
Gambar 1.3 Grafik untuk metode simpson 3/8
xi*l
s, : i f@)dx =*rr, i3.f,*, +3.f,*z + .f,*r)xi
Dengan kesalahan (Local Error) :
LocalError : -?^lrt.f"(.) ixi < e s xi*r80
b
Harga VA>a. bisa dihitung sebagai berikut :
t/."!rula- =f a, =*rt, +3f, +3f, +2fo +3f, +3fu +2f, + ...* .f,*t)
Dengan kesalahan (Global Enor) :
Global Error : -(b -a) t o fi" (e\g0 h'J"le) ixi( e( Xn+l
Patu
TUGAS 6 :
1. A homogenous gas reaction A ) 3 R has reported rate at2l5 oC, -ro : l0-2 CAo s
(mol /liter sec). find the space time needed for 80% conversion of a 50 % A -
50%o inert feed to plug flow reactor operating at2l5 oC and 5 atm (Ca6 :0.0625
mol /liter ) ?
2. The homogenous gas decomposition of phosphine , 4 PHr ) Pa + 6 H2 proceeds
at 1200 oF with first order rate , -rpH3: (10 /hr) Cpm , what size of plug flow
reactor operating at 1200 oF and 4.6 atm can produce 80oZ conversion of a feed
consisting of 4 lbmol of pure phosphine per hour ?
3. Suatu reaksi fase gas orde 2: A --f
3R direalisasikan di dalam reactor
tubular dengan persamaan laju reaksi -re = k Ca2 dengan k = 0,08 liter mol-l s-l
Persamaan neraca massa dalam reactor tersebut adalah :
/=鳥θl島
diIIlana FAo~V CAo CA~CAo(揚)
v : l0 liter/s dan CAo: I mol/liter, Hitunglah volume reactor (V), jika konversi
reaksi xr = 80 7o.
た 曜哺uk助制 笏 鰤 32 Sem Genap 20lll20l2
Modul VIIPersamaan Differensial Biasa
Tujuan Percobaan :
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan
persamaan differensial orde satu dan simultan dengan metode Deret Taylor, Euler,
dan Runge-Kutta.
Dasar Teori
Masalah-masalah dalam teknik dapat dikembalikan ke masalah pemecahan
persamaan differensial yang memenuhi kondisi tertentu .Secara umum bentuk dari
persamaan differensial adalah :
dv
*: f(x,D merupakan persamaan non linear.
Untuk menyelesaikan persamaan differensial biasa ada beberapa metode yang dapat
digunakan antara lain :
a. Metode Taylor
Sebagai contoh, akan diselesaikan suatu persamaan dyldx: x * y ; y(0) = I
Dikembangkan hubungan antara x dan y dengan menggunakan koefisien-koefisien
deret Taylor dimana kita ekspansikan y di sekitar x = xo:
y(x) : y(xo) + y'(xoXx-x") + v"(xpxx-xs)2 + ...2t
Bila diekspansikan x - x0 : h, maka deret di atas dapat ditulis :
y(x) = y(x") + y'(xo)h +y"(xJh2 + ...2l
Karena y(x6) adalah kondisi awal, suku pertama diketahui karena ekspansi ini di
sekitar X : 0, maka deret Taylor ini sebenamya sama dengan deret Mc Laurin.
Persamaan untuk turunan kedua, ketiga, dan seterusnya diperoleh dengan
menurunkan berturut-turut persamaan untuk turunan pertama. Masing-masing dari
turunan ini dihitung pada titik x:0 untuk memperoleh koefisien-koefisiennya.
y"(x) = I + y' y"'(x) = y" ylv(x): y"'
Maka deret yang yelah dikembangkan di atas menjadi :
y(h) = I + h + h2 + h3l3* error
x: h adalah harga x yang akan dicari harga y-nya.
Petunjuk Proktikun KNT 33 Sem Genap 20lll20l2
b. Metode Euler
Metode Euler ialah pengembangan dari metode deret Taylor karena Metode
Taylor sulit digunakan bila turunan-turunan fungsinya kompleks dan kesalahan sulit
dihitung. Ini adalah kekurangan dasar dari Metode Taylor. Namun dari deret Taylor
dapat diketahui bahwa kesalahan akan kecil bila harga h makin kecil. Pada
kenyataannya, bila harga h cukup kecil hanya diperlukan sedikit suku deret Taylor
untuk mendapatkan ketelitian yang memadai. Metode Euler beranjak dari ide dasar
ini.
Misal kita pilih h cukup kecil sehingga kita bisa potong deret ini sampai suku
turunan pertama:
y(x。十h)=y(X。)+hy'(X。 )十 y'(ε).h2/2,
Dalam menggunakan metode ini, harga y(x") diperoleh dari kondisi awal dan y'(x")
dihitung dari f(xo, yo). Metode ini digunakan secara iteratif sesudah diperoleh
penyelesaian pada x = xo +h dicari penyelesaian pada x = xo + 2h dan seterusnya.
Maka algoritma Metode Euler ialah :
/n+l : Yn * hY'n + O(h2)error
Kejelekan dari metode ini adalah kurangnya ketelitian, perlunya step yang kecil.
Dengan Metode Euler digunakan koefisien arah pada awal interval y'n untuk
menentukan besar perubahan harga fungsi. Nampak bahwa bila digunakan koefisien
arah rata-rata pada interrval Xn ( x < x61 untuk menentukan harga perubahan y maka
akan diperoleh hasil yang lebih teliti. Pendekatan ini disebut metode Euler yang
dimodifikasi.
c. Metode Euler Modifikasi
Seperti yang telah dijelaskan diatas, pada metode modifikasi Euler, untuk
menentukan harga perubahan y digunakan koefisen arah rata-rata pada interval Xn ( x( Xn+l .Algoritma metode ini ialah :
/n+l : y"+ (h/2). (Y'n * y'n*r)
Kita tak bisa langsung menggunakan persamaan in karena kita tak dapat menghitung
y'n*r berhubung yn+r tak diketahui. Kesulitan ini diatasi dengan mengestimat€ yn+r
menggunakan metode Euler biasa dan menggunakan harga ini untuk menghitung
y'n+t dan menghasilkan harga yn+r /ong terkoreksi.
xo<r<xo*h
た鳩 ″ 物 商 勧 ,r/v「 34 Sem Genap 20lll20l2
Karena y'n+r dihitung menggunakan harga estimasi yang kurang akurat, maka
diusahakan untuk mengkoreksi harga yn+r lagi. Oleh karena itu metode modifikasi
Euler ini disebut "Euler Predictor Corrector Method".
d. Metode Runge-Kutta
Metode Runge Kutta orde 4 adalah pengembangan dari Metode Runge Kutta
orde 2. Di sini kita tulis perubahan dari y sebagai rata-rata berbobot dari2 estimasi
Ay yaitu kr dan k2. untuk persamaan dyldx: (x,y), /n+t : yn*a.kr + b kz
kr:hf(xn,yn)
k2: h((xn + oh, yn + p.kr)
Harga k1 dan k2 dapat dibayangkan sebagai estimasi perubahan y bila x berubah
dengan h karena harga-harga ini merupakan hasil kali perubahan dari x dan harga
koefisien arah (gradien) dari kurva, dyldx.
Metode Runge Kutta selalu menggunakan estimasi Euler sebagai estimasi
pertama dari Ay, estimasi kedua diambil dengan harga x bertambah dengan oh (o:fraksi) dan harga y bertambah dengan P kl (B : fraksi). Persoalannya adalah
bagaiaman memilih harga a, b, o, F.
Dari ekspansi deret Taylor dan pengembangan Runge Kutta orde 2 didapat
Metode Runge Kutta orde 4 dengan algoritma sebagai berikut :
1ln+l : yn+ 116. (kl + 2k2 + 2k3 + k4)
kr : h f(xn,yn)
kz: h f(x"+ rTrh,yn+ t/zk)
k: : h f(xn+ Yzh ,yn+ Yrkz\
kz:hf(xn+h,yn*kr)Local errornya dari Metode Runge Kutta orde empat adalah 4n\tn sedangkan
global errornya t 1tt41ne . Metode Runge Kutta orde empat ini sering digunakan
dalam perhitungan-perhitungan dengan komputer. Modifikasi lain dari Runge Kutta
telah banyak juga dilakukan
Petu4iuk Praktikun KNT 35 Sem Genap 20lll20l2
3.
TUGAS 7 :
l. Sebuah tangki dengan diameter 20 m dan beroperasi secara steady state dengan
laju alir liquida masuk 5 m3/s dan linear resistance 2,5 slm2. Tiba-tiba laju alir
masuk berubah mengikuti fungsi sinusoidal q=5sin(2nt). Berapa tinggi liquida
dalam tangki pada t:l menit, 10 menit dan 1jam.
2. Diketahui persamaan ,bb, dr'!
= y2 + xy + x2dx'
Pada saat x=1, y=4, dy/dx=0.5.Buat plot y vs x dengan range x=ls/d10
Figure 3. a . Interacting Tanks
Figure 3. b . non Interacting Tanks
Consider Interacting tanks (figure 3.a) and non interacting tanks (figure 3.b) ,
Assume that the flow rate out of tanks is a nonlinear function of tank height, (h )
and liquid phase density is constant . Let A represent cross sectional tank Area ,
and R represent valve parameter . For the following parameter value : F (feed)
:5 ft3lmin, Ar : 5 ff , Ar: l0 f , R1 :2/5 min I ff's, R2 : { nint ffs5
Find height of tank one (h1) and tank two (h2) 100 min later , if the initial
conditions be h1 : 12 ft , andhz:7 ft .
た物 ″ PrarliJlra rrvr 36 Sem Genap 20lll20l2
＼ヽ
Modul VIIIPersamaan Differensial Biasa
Tujuan Percobaan :
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan
persamaan differensial orde satu dan simultan dengan metode ODE 45 dan ODE 23.
TUGAS 8 :
Suatu reaktor tangki berpengaduk dengan aliran inlet wr. wr mengandung
komponen A saja. Laju alir oulet tangki sebesar w. Volume liquida dalam tangki
konstan sebesar V. Pengadukan dalam tangki bedalan dengan sempurna, suhu
dan densitas liquida dianggap konstan. Pada tangki tersebut terjadi reaksi orde
satu:
A '
B ,K:KDimana pada t: tp, konsentrasi A dalam tangki sebesar C76. Konsentrasi A pada
aliran I konstan sebesar C7;..
x1
wl
xw
Buatlah model matematika (persamaan diferensial) dari proses di atas
yang menunjukkan perubahan konsentrasi dari aliran outlet terhadap
perubahan waktu.
Apabila diketahui:
C′′つＤ 4,5
ソ ノ 10 8
/ 50 50
\
Pefitnjuk Prakfikum KNT 37 se@
κ 0.8 0.5
あξυ 3
Cn 1,5 1,5
P 1,2 1,2
Hitunglah (secara analitis) konsentrasi A pada outlet pada t : l7 dari
kedua macam data yang diketahui.
Pefiqjuk Pralctikun KNT 38
＼
Sekilas Tentang Flowchart
lnput data & Output data
Start&End
Penyambungan
satu halaman
Petu4iuk Prcktikun KNT 39
lain halaman
Sem Gen-[ 201120-1il
\
Contoh-contoh listing
if i==1;
ha(1)=ha(1);
end
while i=1;
ha(i)=ha(1);
hb(i)=hb(1);
t(D■(1);
end
for y=1i-1
sigmaU=sigmaU+L(i,y) * U(y,q) ;
end
tn:input('waktu yang diinginkan tn :');h:input('interval waktu h =');
diSp([tinggi tangki l=tnum2str(hl(n+1))]);
diSp([tinggi tangki 2=ち num2str(h2(n+1))]);
end
ha①当a(1〉
h暉 )hb(1洸t(1)■(1);
た =… PrarJiJlra rrvr 40 Sem Genap 200512006