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LEGTHP Saint Nicolas – STAV – Promotion 2008 – 2010

MODULE M4

MATHEMATIQUES

TERMINALE STAV

Fiches de cours

S. FLOQUET Septembre 2009

M4 Lycée Saint Nicolas – Igny – Promotion 2008– 2010MATHÉMATIQUES STAV 2

SOMMAIRE

PARTIE : RESUMES DE COURS

• Équations de droites

• Graphes des fonctions usuelles

• Le second degré

• Suites numériques

• Trigonométrie

• Dérivation

• Limites

• Primitives

• Fonction logarithme népérien

• Fonction exponentielle

• Calcul intégral

• Probabilités

2


ÉQUATIONS DE DROITES

On se place dans un plan muni d’un repère ( ); ,O i jr r

.

Soit les points A et B de coordonnées respectives : A ( );A Ax y et B ( );B Bx y .

équation réduite : les équations cartésienne des droites non parallèles à l’axe des ordonnées peuvent s’écrire sous la forme réduite : y = mx + p.

• m est le coefficient directeur ou la pente de la droite.

Le coefficient directeur de la droite (AB) est B A

B A

y ymx x

−=− .

• p est l’ordonnée à l’origine de la droite (ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées)

parallélisme : deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.

Méthodes

1) Déterminer une équation de droite de coefficient directeur m et passant par A :y mx p= + est une équation réduite de la droite D . On remplace m , x et y par le coefficient directeur donné et les coordonnées du point A. On détermine p.

Ex : 3m = − et ( )2;5A . Alors : 5 3 2 11A Ay mx p p p= + ⇔ = − × + ⇔ = . D’où D : 3 11y x= − + .

2) Déterminer une équation de droite d’ordonnée à l’origine p et passant par A :y mx p= + est une équation réduite de la droite D . On remplace p , x et y par l’ordonnée à l’origine donnée et les coordonnées du point A. On détermine m.

Ex : 2p = et ( )2;5A − . Alors : ( ) 35 2 22A Ay mx p m m= + ⇔ = × − + ⇔ = − . D’où D : 3 2

2y x= − + .

3) Déterminer une équation de droite passant par A et B :

Méthode 1 : On calcule m puis on remplace x et y par les coordonnées de A pour trouver p.

Ex : A ( )2;3− et B ( )3; 4− . une équation réduite de la droite (AB) est y mx p= + .

( )4 3 7

3 2 5B A

B A

y ymx x

− − − −= = =− − − . On a ensuite :

( )7 14 21 14 73 2 3 15 7 7 7 7A Ay mx p p p= + ⇔ = − × − + ⇔ = − = − = = . D’où D : 7 1

5y x= − + .

3


Méthode 2 : On obtient un système 2×2 en remplaçant dans l’équation réduite de la droite , x et y par les coordonnées de A et de B.

Ex : A ( )2;3− et B ( )3; 4− . une équation réduite de la droite (AB) est y mx p= + .On a alors : 73 2 13 23 2 3 2 3 2 5

74 3 4 3 3 2 4 3 75

5

A A

B B

pp my mx p m p p m p my mx p m p p m m m m

m

= + × − == + = + = − + = + = + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + − = + = − − + = − − = − = −

4) Déterminer une équation de la droite ∆ passant par A et perpendiculaire à D droite d’équation y = mx +p :

Soit y m x p′ ′= + une équation réduite de ∆. Par le rappel, on sait que 11m m mm−′ ′× = − ⇔ = . Ce qui

permet de trouver m , et on trouve p en remplaçant x et y par les coordonnées de A.

Ex : Soit A ( )2;3− et la droite : 2 3D y x= − + . On pose y m x p′ ′= + une équation réduite de la

droite ∆ perpendiculaire à D et passant par A. On sait que ( )2 1m′ × − = − soit 1 12 2

m −′ = =−

. Par suite ,

( )13 2 52A A A Ay m x p p y m x p′ ′= + ⇔ = − ⇔ = − × − = . D’où : ∆ :

1 52

y x= + .

5) Déterminer une équation de droite parallèle à une droite donnée et passant par un point A .

Deux droites parallèles ont même coefficient directeur. Une fois déterminer la pente de la droite, on obtient l’ordonnée à l’origine en utilisant le 1).

Ex : ( )2;5A et : 2 3D y x= − + . Alors si on note ∆ la droite parallèle à D passant par A, ∆ a pour coefficient directeur -2. une équation réduite de ∆ est de la forme 2y x p= − + . Comme A ∈ ∆, on a

2 5 2 2 1A Ay x p p= − + ⇔ = − × = . D’où ∆ : 2 1y x= − + .

4


GRAPHES DES FONCTIONS USUELLES

Fonction affineSoit f une fonction affine définie par ( )f x ax b= +

Son domaine de définition est fD = ¡ .On appelle a coefficient directeur et b ordonnée à l’origine.La courbe représentative de f est la droite d’équation y = ax + b.

a > 0 a = 0 a < 0

f est strictement croissante sur¡ f est constante sur ¡ f est strictement décroissante sur ¡

Remarque : si b = 0 alors on dit que f est linéaire et sa courbe représentative passe par O.

Fonction carréSoit f la fonction définie par ( ) 2f x x= .Son domaine de définition est fD = ¡ .Pour tout réel x : ( ) ( ) ( )2 2f x x x f x− = − = = ; donc f est paire.La courbe représentative de f est une parabole de sommet l’origine.

x - ∞ 0 + ∞

f+∞ + ∞

0

x

y

o

Fonction cubeSoit f la fonction définie par ( ) 3f x x= .Son domaine de définition est fD = ¡ .Pour tout réel x, ( ) ( ) ( )3 3f x x x f x− = − = − = − ; donc f est impaire.

x - ∞ 0 + ∞

f + ∞

- ∞x

y

o

5

0


Fonction inverse

Soit f la fonction définie par ( ) 1f xx

=

Son domaine de définition est ] [ ] [* ;0 0;fD = = − ∞ ∪ + ∞¡

Pour tout réel non nul x, ( ) ( )1 1f x f xx x

− = = − = −−

; donc f est impaire.

La courbe représentative de f est une hyperbole de centre de symétrie l’origine.

x - ∞ 0 + ∞

f0

- ∞

+ ∞

0 x

y

o

Fonction racine carréSoit f la fonction définie par ( )f x x=

Son domaine de définition est [ [* 0;fD += = + ∞¡

x 0 + ∞

f + ∞

0 x

y

o

Fonction valeur absolue

Soit f la fonction définie par ( ) , 0, 0

x si xf x x

x si x≥

= = − ≤

Son domaine de définition est fD = ¡ .Pour tout réel x : ( ) ( )f x x x f x− = − = = ; donc f est paire.

x - ∞ 0 + ∞

f+∞ + ∞

0x

y

o

6


FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRESoit f une fonction polynôme du second degré définie sur ¡ par : f(x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0, b et c des réels quelconques.Forme canonique de f : soit x un réel, on a :

2 22

2

4( )2 4b b acf x ax bx c a xa a

− = + + = + − et

2 2

2

4( ) 02 4b b acf x xa a

− = ⇔ + = .

Tout dépend donc du signe de b2 – 4ac.Tableau récapitulatif :

7

Discriminant

2 4b ac∆ = −0∆ > 0∆ = 0∆ <

Racines de f solutions de

f(x)=0

2 solutions réelles

1 2 et 2 2

b bx xa a

− − ∆ − + ∆= =

1 solution double réelle

0 2bxa

= − Pas de solution

factorisation ( ) ( ) ( )1 2f x a x x x x= − − ( ) ( )2

20 2

bf x a x x a xa

= − = + Pas de factorisation

a > 0

x- ∞

2ba

− + ∞

f(x)

+ ∞ + ∞

Signe de f(x) + 0 – 0 + + 0 + +

a < 0

x- ∞

2ba

− + ∞

f(x)

- ∞ - ∞

Signe de f(x) – 0 + 0 – – 0 – –


S UITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

Suite arithmétiquede raison r

Suite géométriquede raison q

Caractérisation par une relation de récurrence 1n nu u r+ = + 1n nu q u+ = ×

Caractérisation par une formule explicite 0nu u n r= + × 0

nnu q u= ×

Relation entre deux termes(n et p entiers) ( )n pu u n p r= + − n p

n pu u q −= ×

S = somme de N termes consécutifs

moyenne des termes extremes

S N = ×

premier 1 terme 1

NqSq

−= × − (si q ≠ 1)

Cas particuliersN un entier, q ≠ 1

( )11 2 ...

2N N

N+

+ + + = 2 1 11 ...1

NN qq q q

q− −+ + + + =

−

TRIGONOMETRIE

x 0cos x 1 0sin x 0 1tan x 0 1

8

o

6

π4π3

π2π

23π

34π

56π

0

2π-π

7π/6 ou -5π/6

5π/4 ou -3π/44π/3 ou -2π/3

3π/2 ou -π/2

5π/3 ou -π/3

7π/4 ou -π/4

11π/6 ou -π/6

π


FONCTIONS COSINUS ET SINUSCosinus :

Soit la fonction f définie sur ¡ par ( )( ) cosf x x=

Propriétés : Pour tout réel x : 1 cos 1x− ≤ ≤La fonction cosinus est paire.La fonction cosinus est de période 2π. On l’étudie sur un intervalle de longueur 2π, comme [ ];π π− .

La parité de f nous permet de l’étudier sur l’intervalle [ ]0;π .La fonction cosinus est dérivable sur ¡ et pour tout réel x : ( ) sinf x x′ = − .Tableau de variation de cos : Courbe de cos sur [ ]0;π

x 0 π/2 π

cos x1

-1

Courbe de cos sur ¡(obtenue par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées puis par translation de vecteur 2kπ ( k ∈ ¢ )).

SinusSoit la fonction f définie sur ¡ par ( )( ) sinf x x=

Propriétés : Pour tout réel x : 1 sin 1x− ≤ ≤La fonction sinus est impaire.La fonction sinus est de période 2π. On l’étudie sur un intervalle de longueur 2π, comme [ ];π π− .

La parité de f nous permet de l’étudier sur l’intervalle [ ]0;π .La fonction sinus est dérivable sur ¡ et pour tout réel x : ( ) cosf x x′ = .Tableau de variation de sin : C ourbe de sin sur [ ]0;π .

x 0 π/2 π

sin x

1

0 0

Courbe de f sur ¡ (obtenue par symétrie par rapport à l’origine puis par translation de vecteur 2kπ ( k ∈ ¢ )).

9

0


DÉRIVATION

Nombre dérivé en a :Soit f une fonction définie sur I une partie de ¡ et a un réel de I.On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissement de f en a admet une limite finie en a, c’est à dire si la

limite 0

( ) ( )limh

f a h f ah→

+ − existe et est finie. Cette limite s’appelle nombre dérivé de f en a , et on la note ( )f a′ .

Interprétation graphiqueSi f est dérivable en a alors ( )f a′ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point A(a ; f(a)).

Une équation de T la tangente à la courbe de f en a est : ( )( ) ( )y f a x a f a′= − +

Fonction dérivée :Soit f une fonction définie sur I.Si f est dérivable en tout point de I alors on dit que f est dérivable sur I .

Dérivées des fonctions usuelles : Opérations sur les fonctions dérivées :

Variations d’une fonction et extrema

Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.Si la dérivée f’ est nulle sur I, alors f est constante sur I.Si f’ est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I.Si f’ est strictement négative sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert et a est réel de I.1) Si f admet un extremum local en a , alors f’(a) = 0.2) f admet un extremum local en a si et seulement si la dérivée f’ s’annule en a en changeant de signe.

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LIMITES

Définitions, exemples et interprétation graphiqueSoit un réel a et une fonction f non nécessairement définie en a.

Limite finie en aLe réel l est limite de f en a si, quand x se rapproche au plus près de a, f(x) se rapproche au plus près de l .Notation : f(x) = l. (lire « limite de f(x) égale l quand x tend vers a »)Propriété : Si f est définie en a et si f a une limite l en a, alors l = f(a).

On peut définir la limite à droite de f en a : si f(x) se rapproche au plus près de l1 lorsque x se rapproche au plus près de a par valeurs supérieurs. On note f(x) = l1 ou f(x) = l1.On définit de la même façon la limite à gauche de f en a qui se note f(x) = f(x) = l2.Remarque : Si f(x) = f(x) = l alors f(x) = l

Limite infinie en aOn dit que f a pour limite + ∞ en a si f(x) devient très grand lorsque x prend des valeurs suffisamment proches de a.Notation : f(x) = + ∞.On dit que f a pour limite - ∞ en a si f(x) devient très petit lorsque x prend des valeurs suffisamment proches de a.Notation : a

lim ( )x

f x→

= − ∞

Interprétation graphique :Lorsque a

lim ( )x

f x→

= + ∞ ou alim ( )x

f x→

= − ∞ , on dit que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation x = a.

Fonctions de références au voisinage de 0 :

+ ∞=>

→ xxx

1lim00

; − ∞=<

→ xxx

1lim00

; + ∞=>

→ xxx

1lim00

; + ∞==<>

→→ 2020

1lim1lim00 xx xx

xx

Limite finie à l’infiniLa fonction f a pour limite l en + ∞ si l’on peut rendre f(x) aussi proche de l que l’on veut du moment que x prend des valeurs positives suffisamment grandes.Notation : f(x) = l.Interprétation graphique : Lorsque f(x) = l., on dit que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d’équation y = l.Fonctions de références au voisinage de + ∞ et de - ∞ :

• 01lim =+ ∞→ xx

; 01lim 2 =+ ∞→ xx

; 01lim =+ ∞→ xx

; ( )101lim ≥=+ ∞→

nxnx

• 01lim =− ∞→ xx

; 01lim 2 =− ∞→ xx

; ( )101lim ≥=− ∞→

nxnx

Limite infinie à l’infiniOn dit que f a pour limite ∞+ en ∞+ lorsque l’on peut rendre f(x) aussi grand que l’on veut du moment que x prend des valeurs positives suffisamment grandes.Notation : ( )

xlim f x→ + ∞

= + ∞ .

11


On dit que f a pour limite ∞+ en ∞− lorsque l’on peut rendre f(x) aussi grand que l’on veut du moment que x prend des valeurs négatives suffisamment petites.Notation : ( )

xlim f x→ − ∞

= + ∞ .

Remarque : on peut définir de la même manière ( ) − ∞=+ ∞→

xfxlim et ( ) − ∞=

− ∞→xf

xlim

fonctions de référence au voisinage de + ∞ et de - ∞ + ∞=

+ ∞→x

xlim ; + ∞=

+ ∞→

2lim xx ; + ∞=

+ ∞→x

xlim ;

− ∞=− ∞→

xxlim ; + ∞=

− ∞→

2lim xx ;

( )1lim ≥+ ∞=+ ∞→

nxn

x+ ∞=

− ∞→

n

xxlim si n est pair ; − ∞=

− ∞→

n

xxlim si n est impair.

Limites des fonctions de bases.Fonction identique : x = + ∞ x = - ∞

Fonction carrée : x2 = + ∞ x2 = + ∞

Fonction cube : x3 = + ∞ x3 = - ∞

Fonction racine : = + ∞ = 0

Fonction inverse : = 0 (+) = 0 (-) = + ∞ = - ∞

Fonction carré inverse : = 0 = 0 = + ∞

Opération sur les limitesSoit f et g deux fonctions, l et l’ sont deux réels, k est un réel non nul. On considère les limites de f et g en a, a pouvant être un nombre réel, + ∞ ou - ∞.

Somme de deux fonctions

f(x) l l l + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ g(x) l’ + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ - ∞ + ∞

(f(x) + g(x)) l + l’ + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ F.I. F.I.

Produit d’une fonction par un réel

k < 0 k > 0 f(x) l + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ k × f(x) k × l - ∞ + ∞ + ∞ - ∞

Si f(x) = + ∞ alors k × f(x) = ∞ avec le signe de k

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Produit de deux fonctions

f(x) l l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 + ∞ - ∞ g(x) l’ + ∞ - ∞ l’ > 0 l’ < 0 l’ > 0 l’ < 0

(f(x) × g(x)) l × l’ + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ + ∞ - ∞ - ∞ + ∞

f(x) + ∞ + ∞ - ∞ - ∞ 0 0 + ∞ - ∞ g(x) + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ 0 0

(f(x) × g(x)) + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ F.I. F.I. F.I. F.I.

Quotient de deux fonctions

f(x) l l l l + ∞ - ∞ ± ∞ + ∞ + ∞ 0 g(x) l’≠ 0 0+ 0- ± ∞ l’≠ 0 l’≠ 0 ± ∞ 0+ 0-

() ∞avec le signe

de l≠ 0

∞avec le signe

de - l≠ 00

∞avec le signe

de l’≠ 0

∞avec le signe

de – l’≠ 0F.I. + ∞ - ∞ F.I.

F.I. correspond à une forme indéterminée. Dire qu’une limite est indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, mais seulement qu’aucune règle générale ne peut être établie.Les quatre principaux cas d’indétermination sont : ∞ - ∞ 0 × ∞ .

PRIMITIVES

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle de ¡ que l’on notera I. Une fonction F définie sur I est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout x de I, ( ) ( )F x f x′ = .Remarque : On n’a pas l’unicité des primitives. F et G sont deux primitives de f , et on peut en trouver davantage.PropriétésThéorème 1 : Si F est une primitive de f sur un intervalle I de ¡ ., alors toute autre primitive G de f sut I est de la forme :

Pour tout x de I, ( ) ( )G x F x k= + , k ∈ ¡Théorème 2 : Soit f une fonction admettant des primitives sur i un intervalle de ¡ . Soit 0x I∈ et 0y ∈ ¡ .Il existe une unique primitive F sut I telle que ( )0 0F x y= .Les réels x0 et y0 sont appelés conditions initiales. Opérations sur les primitivesThéorème 3 : Soit F une primitive de f et G primitive de g sur I. Alors

• F + G est une primitive de f + g sur I• λF est une primitive de λf sur I (λ ∈¡ ).

Tableau des primitives

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FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIENDéfinition

Soit f la fonction définie par ( ) 1f xx

= . Sur l’intervalle ] [0; + ∞ , f admet des primitives.

De plus il existe une unique primitive F de f sur ] [0; + ∞ qui vérifie ( )1 0F = .Cette primitive est la fonction logarithme népérien. Et se note ln.Conséquences : 1. La fonction ln est définie sur ] [0; + ∞ .

2. Elle est dérivable sur ] [0; + ∞ et ( ) 1ln xx

′ = .

3. ln 1 = 0Propriétés fondamentales et conséquencesPour tous réels a et b dans ] [0; + ∞ , et tout entier relatif n, on a :

( )ln ln lnab a b= + 1ln ln aa

= − ln ln lna a b

b = −

( )ln lnna n a= ( ) 1ln ln2

a a=

Étude de la fonction logarithme népérien

Pour tout x > 0, ( ) 1ln 0xx

′ = > .

Donc la fonction ln est strictement croissante sur ] [0; + ∞ .Conséquences : ~ Pour tous réels a et b tels que 0 < a < b , on a : ln a < ln b.

~ ] [ln 0 0;1x x< ⇔ ∈ ln 0 1x x= ⇔ = ] [ln 0 1;x x> ⇔ ∈ + ∞

~ pour tous réels a et b strictement positifs, ( ) ( )ln lna b a b= ⇔ = .

Limites : ( )0

0

lim lnxx

x→>

= − ∞ ( )lim lnx

x→ + ∞

= + ∞ lnlim 0x

xx→ + ∞

= 00

lim ln 0xx

x x→>

=

Tableau de variations et courbe :

x 0 1 + ∞

( ) 1ln xx

′ = + 1 +

ln + ∞

- ∞

La courbe représentative de la fonction ln admet l’axe des ordonnéescomme asymptote verticale.La tangente en 1 à la courbe a pour équation y = x – 1.Dérivée logarithmiqueSoit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x ∈ I , ( ) 0u x > .Alors la fonction f définie sur I par lnf u= est dérivable sur I comme composée de fonctions dérivables et pour

tout x de I , ( ) ( )( ) ( )( )ln

u xf x u x

u x′′′ = = ou encore ( )ln uu

u′′ =

Application à la recherche de primitive :

Soit f une fonction définie et continue sur I de la forme uu

′. Alors une primitive de f sur I est :

( ) ( )lnF x u x k= + , k ∈ ¡

14

0


FONCTION EXPONENTIELLE

Définition et propriétésPosition du Problème : La fonction exponentielle (de base e ) associe à tout réel x son antécédent par la fonction ln .Pour tout x ∈ ¡ , il existe un unique réel ] [0;y ∈ + ∞ tel que lnx y= . On pose ( )expy x= .Conséquences immédiates :

• Pour tout x ∈ ¡ , ( )exp 0x >• Correspondances Logarithme - Exponentielle :

Pour tout x ∈ ¡ et pour tout ] [0;y ∈ + ∞ , ( )ln expx y y x= ⇔ =

Pour tout x ∈ ¡ , ( )( )ln exp x x=

Pour tout ] [0;x ∈ + ∞ , ( )exp ln x x=• Cas particuliers :

En particularisant 0 et 1x y= = , il vient ( )ln1 0 exp 0 1= ⇔ = .

En particularisant 1 et x y e= = , il vient ( )ln 1 exp 1e e= ⇔ = .Propriétés Algébriques :Pour tous réels et a b ,

( ) ( ) ( )exp exp expa b a b+ = × ( ) ( )1exp

expa

a− = ( ) ( )

( )exp

expexp

aa b

b− =

Notation e x .

Pour tout ( ), exp xx x e∈ =¡

Pour tous réels x et y, et tout entier relatif n,

0 1e =1x

xee

− = x y x ye e e+ = ×x

x yy

eee

− = ( ) nx nxe e=

Remarque : on peut réécrire les formules de correspondance logarithme - exponentielle Pour tout x ∈ ¡ et pour tout ] [0;y ∈ + ∞ , ln xx y y e= ⇔ =

Pour tout x ∈ ¡ , ( )ln xe x=

Pour tout ] [0;x ∈ + ∞ , ln xe x=

Étude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie et dérivable sur ¡ , et :pour tout réel x, ( )x xe e′ =

Limites aux bornes : lim 0 et lim x x

x xe e

→ − ∞ → + ∞= = + ∞ Propriété : lim

x

x

ex→ + ∞

= + ∞

Tableau de variation : Tangentes particulières à la courbe :

• Tangente à la courbe au point d’abscisse 0 ( )0 : 1T y x= +

• Tangente à la courbe au point d’abscisse 1 ( )1 :T y ex=

15

x -∞ 0 +∞exp’ +

exp

+∞

0


Représentation graphique :

Dérivée et primitives de fonction comportant une exponentielle1. Dérivée de ue

Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction ue est dérivable sur l’intervalle I et on

a : ( )u ue u e′ ′= × .

2. Primitive de uu e′ ×

Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction uu e′ × admet des primitives sur l’intervalle I de la forme ue k+

16

o

y = lnx

y = ex y = exy = x + 1

y = x

o-1 1 2

1

2

I

J K


CALCUL INTÉGRAL

Dans ce chapitre on désigne par f une fonction dérivable sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.

1) Définition On appelle intégrale de f , de a à b, le nombre ( ) ( )F b F a− indépendant de la primitive choisie que l’on note

( ) ( ) ( )b

a

F b F a f x dx− = ∫ .

Remarques :

• On écrit ( ) ( ) ( )( )b

b

aa

f x dx F x F b F a= = − ∫ .

• a et b s’appellent les bornes de l’intégrale.

• On a ( ) ( )( ) 0a

a

f x dx F a F a= − =∫ .

2) Interprétation géométrique On appelle unité d’aire l’aire du rectangle OIJK où OI i=

uur r et OJ j=uuur r

.

On se place dans le cas où f est une fonction positive sur I. Le domaine plan limité par :- L’axe des abscisses- La courbe représentative de f- Les droites d’équation et x a x b= =

a pour aire (en unités d’aire), ( )b

a

f x dx∫ .

Conséquence : ( ) 0b

a

f x dx ≥∫ .

3) Propriétés

Propriété 1 : Soient et a b deux réels de I. ( ) ( )a b

b a

f x dx f x dx= −∫ ∫Propriété 2 : Relation de ChaslesSoit f une fonction dérivable sur un intervalle I et , et ca b trois réels de I.

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ .

Propriété 3 : Linéarité de l’intégraleSoient et f g deux fonctions dérivables sur un intervalle I et , a b deux réels de I. Soit k un réel non nul.

1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) b b b

a a a

f x dx g x dx f x g x dx+ = +∫ ∫ ∫ .

2) ( ) ( ) b b

a a

k f x dx k f x dx× = ×∫ ∫

17

Unité d’aire


PROBABILITÉS

Vocabulaire et définitionsOn réalise une expérience ou épreuve qui fournit des résultats que l’on appelle éventualités ou possibilités.L’ensemble des éventualités est désigné par Ω et appelé univers des possibles.Un événement est une partie de l’univers Ω. Tout événement à 1 élément est appelé événement élémentaire.

Événements particuliers : événement impossible : ∅ événement certain : Ω

Opérations sur les événements :• Soit A un événement, on note A l’événement contraire de A, constitué des éléments de Ω qui n’appartiennent pas à A.• Soit A et B deux événements de Ω. On peut en définir l’union et l’intersection :

« A ou B est réalisé »= A ∪ B « A et B est réalisé »= A ∩ B Si A ∩ B = ∅ on dit que A et B sont disjoints ou incompatibles.

Probabilité1) DéfinitionOn définit ainsi une application P qui à tout événement A associe sa probabilité, on réel de l’intervalle [0 ; 1], noté P(A), et qui vérifie les propriétés suivantes :

1. la somme de toutes les probabilités des événements élémentaires vaut 12. si A et B sont incompatibles, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B)3. ( ) 1P Ω =

2) Propriétés• Soit A un événement, A son événement contraire. ( ) 1 ( )P A P A= − .• Soit A et B deux événements : ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ 3) Calcul pratique

Dans le cas ÉQUIPROBABLE où tous les événements élémentaires ont la même probabilité de1( )card Ω , pour tout

événement A, on a : ( ) nombre de cas favorables( ) ( ) nombre de cas possiblescard AP A card= =Ω

Probabilités conditionnellesSoit P une probabilité et A un événement de probabilité non nulle. Soit B un événement quelconque. Alors :

( ) ( ) ( )( )A

P A BP B P B A

P A∩

= = .

Si ( ) ( )AP B P B> , on dit que A est favorable à la réalisation de B.

Si ( ) ( )AP B P B< , on dit que A est défavorable à la réalisation de B.

Si ( ) ( )AP B P B= , on dit que A est sans influence sur la réalisation de B.Propriété : Soit A et B deux événements de probabilité non nulle. On a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A BP A B P B P A P A P B∩ = × = ×

Événements indépendants : Théorème : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si ( ) ( ) ( )P A B P B P A∩ = × .

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DénombrementsSoit E un ensemble fini de n éléments.

Arrangements, permutationsUn p - arrangement est une liste ordonnée sans répétition de p éléments de E.Le nombre de p – arrangements de E est : ( ) ( ) ( )1 2 ... 1n n n n p− − − +Une permutation de E est une liste ordonnée sans répétition de tous les éléments de E. C’est un n - arrangement. Il y en a : ( ) ( )1 2 ... 3 2 1n n n× − × − × × × × .

Factorielle n Le nombre ( ) ( )1 2 ... 3 2 1n n n× − × − × × × × se note n! et se lit factorielle n. ( ) ( )! 1 2 ... 3 2 1n n n n= × − × − × × × ×Par convention on pose 0! = 1

CombinaisonsUne p - combinaison d’éléments de E est une liste non ordonnée et sans répétition de p éléments de E, c’est à dire un ensemble de p éléments de E.Attention ! l’ordre des éléments d’une combinaison n’a aucune importance.

Nombre de p - combinaisons

On l’appelle coefficient binomial. On le note np , (ancienne notation Cp

n ) et np= n!

p!n−p!

Valeurs particulières : Pour tout entier n ≥ 1

00=1 ; n0=1 ; n

1=n ; nn=1 ,

Formule : Pour tout n et tout p vérifiant p ≤ n , on a : np= n

n−p ,

Tableau récapitulatif :

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Définition exemples Type de tirageExemples

E = 1,2,3,4,5,6p = 3

dénombrements

Liste ordonnée avec répétition

de p éléments de E

- code à quatre chiffres de la carte

bancaire- lancer 3 fois un dé

Tirage successif avec remise (1,3,2) ; (4,4,5)

36 216=pn

Liste ordonnée sans répétition

de p élément de ETiercé dans l’ordre Tirage successif

sans remise (1,2,3) ≠ (3,1,2)6 5 4 120× × =

( ) ( )1 ... 1n n n p− × × − +

Liste ordonnée sans répétition

de tous les éléments de E

- Liste d’arrivée de tous les participants

d’une course- plan de classe.

Tirage successif sans remise (1,3,5,6,4,2)

6! 6 5 4 3 2 1 720= × × × × × =( )! 1 ... 2 1n n n= − × × ×

liste sans ordre et sans répétition de p élément de E,

- tiercé dans le désordre

- tirage du lotoTirage simultané 1,4,6 ; 5,2,3

( )6 6! 203 3! 6 3 !

= = −

( )!

! !n np p n p

= −


Variables aléatoires :

Une variable aléatoire à valeurs réelles , que l’on notera X, est une fonction qui, à chaque résultat d’une expérience, associe un nombre réel.

L’ensemble des probabilités pour que X prennent les valeurs x, réel quelconque, notées P(X = x), constitue la loi de probabilité de X.

Les probabilités pour que la variable aléatoire X prenne des valeurs inférieures à x, réel quelconque, notées ( )P X x≤ , définissent la fonction de répartition de X.

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X prenant n valeurs xi de probabilité P(X = xi) = pi est :

( )1

n

i ii

E X x p=

= ∑

Loi binomiale :

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute épreuve aléatoire n’ayant que deux issues possibles dont les probabilités respectives sont p et 1 – p = q. Les deux issues sont appelées succès et échec.

Une expérience aléatoire constituée par la répétition de n épreuves de Bernoulli, indépendantes les unes des autres, de même paramètre p est un schéma de Bernoulli de paramètres n et p .

La variable aléatoire X qui, à chaque résultat d’un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, associe le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres n et p notée B (n , p).

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. On note k le nombre de succès obtenus lors d’un schéma de Bernoulli ( k est un entier compris entre 0 et n). La loi de probabilité de X est donnée par :

( ) ( )1 n kknP X k p p

k−

= = −

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