módulo 1 entorno matlab y funciones incorporadas

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Mdulo 1

Entorno MATLAB y funciones

incorporadas.

MATLAB es un pseudo-lenguaje de programacin usado para realizar grandes

cantidades de clculos numricos, visualizar grficas, analizar datos y crear

algoritmos que implican la seleccin de acciones entre alternativas

predeterminadas por el usuario. Estos atributos hacen de este software una

herramienta muy til para el ingeniero qumico a la hora de abordar

procedimientos iterativos y/o que requieren soluciones numricas con mediana

precisin, sin necesidad de aprender otro lenguaje de programacin como C++ o

FORTRAN.

MATLAB es un lenguaje de alto nivel, lo que quiere decir que sus

sentencias son escritas similarmente como se hara en ingls ordinario.

Generalmente, en las escuelas de ingeniera se usa MATLAB porque

ste brinda un ambiente amigable de interaccin, adems de su poderosa

habilidad para manejar los datos en matrices sin igual, y posee un amplio

abanico de funciones usadas en las reas de la ciencia e ingeniera.

Cabe destacar que MATLAB no se concibe como un lenguaje de

programacin porque carece de algunos elementos o caractersticas

importantes para una buena prctica de la programacin, sobre todo en la

creacin de los objetos en el denominado paradigma de programacin orientado a objetos; por lo que el autor de este texto opt por llamar a MATLAB pseudo-lenguaje.

Entorno MATLAB y funciones incorporadas

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1.1 Ventanas de MATLAB

Al iniciar MATLAB 2014-a, las cuatro ventanas por defecto que aparecen a la

vista son: command window (ventana de comandos), current folder (carpeta

actual), command history (registro de comandos) y workspace (rea de

trabajo). En la figura 1.1 se pueden apreciar las ventanas por defecto.

Figura 1.1 Ventana de apertura de MATLAB

1.1.1 Ventana de comandos

La ventana de comandos se ubica en la parte central de la ventana por defecto

y esta nos permite realizar clculos en ella con una sintaxis (escritura) simple

como la de las calculadoras ordinarias, salvo algunas diferencias. Cuando El

prompt (>>) aparece en el command Window, MATLAB est listo para ejecutar

las instrucciones que deseemos. Para empezar a usar MATLAB como una

calculadora, simplemente escribimos la operacin que queramos, por ejemplo:

cos(pi)

Debe regresar

Ans=

-1

Prompt

MATLAB desde cero

3

La jerarqua de las operaciones que emplea MATLAB es la

estandarizada, es decir, ejecuta los clculos de izquierda a derecha, realizando

primero las operaciones de multiplicacin y divisin, tambin se tiene prioridad

aquellas que se encuentran dentro de parntesis, logaritmos, exponentes, y por

ltimo, realiza las sumas y restas. Por ejemplo:

5+3*5-(2^2+5)/3^2-5

Regresar:

Ans=

14

La forma en que se realiz el clculo fue de izquierda a derecha. Antes

del 5 ser sumado, se multiplic 3 con 5, operacin que hasta este punto lleva 20;

luego, la operacin dentro del parntesis tiene como prioridad elevar 2 a la

segunda potencia, lo que arroja un 4 qu sumado con 5 da 9; ahora este 9 es

dividido por 3^2 y solo esta seccin de la operacin tiene como resultado 1, que

restado del 20 obtenido anteriormente, obtenemos un valor de 19. Por ltimo,

restamos el 5, terminando as la operacin aritmtica que tiene como

respuesta 14.

Podemos borrar lo escrito en la ventana de comandos usando el comando

clc.

Una vez que nos hemos equivocado al ingresar un clculo numrico, no

podremos corregirlo en la lnea escrita, pero podemos usar las teclas y para

desplazarnos a travs de los comandos ejecutados.

1.1.2 Folder actual

El folder actual nos muestra la lista de los documentos y archivos guardados.

Es en esta carpeta donde se van a guardar los trabajos que vayamos

realizando. Esta puede ser cambiada por el usuario cuando lo desee a travs del

navegador de carpetas que se encuentra por encima de esta, y que cita la ruta

del folder actual.

1.1.3 Registro de comandos

As como su nombre lo indica, esta ventana registra todos los comandos que se

van ejecutando en la ventana de comandos, seccionndolos en grupos separados

por la fecha en la que se realizan.


4

1.1.4 rea de trabajo

Esta ventana lista las variables que vamos definiendo cuando ejecutamos

comandos en la ventana de comandos. Si el lector ha estado desarrollando los

ejemplos, el rea de trabajo debe llevar cuenta de una sola variable, ans, que

tiene un valor de 14, un tamao matricial 1x1, y valores mximos y mnimos de

14 cada uno.

Figura 1.2 ventana de rea de trabajo.

La forma de declarar variables en MATLAB es haciendo uso del operador

asignacin (=). Por ejemplo, creamos una variable G con valor de 9.8 al

escribir:

G=9.8

Lo que regresa:

G=

9.8000

Observe que la variable G fue agregada a la lista de variables en el rea

de trabajo.

Las variables en el rea de trabajo se ordenan alfabticamente.

MATLAB desde cero

5

Ms adelante se estudiar en ms detalle como ingresar matrices; por lo

pronto podemos escribirlas como sigue

A=[1,2,3,4]

Lo que regresar

A=

1 2 3 4

Podemos ingresar una matriz bidimensional separando las filas con punto

y coma como sigue:

B=[1 2 3 4; 5 6 7 8]

Lo que regresar:

B=

1 2 3 4

5 6 7 8

En esta ltima forma de ingresar matrices, se nota que el uso de las comas

para separar los elementos de una fila no es necesario. En este punto, el rea

de trabajo debe lucir de la siguiente forma:

Hasta ahora las nicas variables que se han ingresado son numricas,

pero posteriormente veremos que MATLAB acepta tambin otros tipos de

variables de gran importancia.

Cuando se describi la ventana de comandos, se explic el uso del

comando clc. Este comando limpia la ventana de comandos, pero de ninguna

forma elimina las variables que han sido declaradas. Si deseamos eliminar las

variables definidas usamos el comando clear.


6

1.1.6 Ventana de edicin

La ventana de edicin se puede abrir en el icono New script que se encuentra en la barra de herramientas. Esta ventana permite escribir y guardar

comandos sin ejecutarlos, y si queremos ejecutarlos solo damos clic en el icono

Run que se encuentra en la pestaa EDITOR de la barra de herramientas. Esta forma de programar es ms usual y cmoda que escribir el cdigo

directamente en la ventana de comandos; adems, el cdigo es guardado en el

folder actual al mismo momento que es ejecutado de este modo.

1.2 Resolucin de problemas

Como es sabido, la ventana de edicin es una poderosa herramienta de clculo,

pero para hacer buen eso de esta, es necesario saber un poco ms de cmo

funciona MATLAB.

1.2.1 Uso de variables

Para nombrar variables basta con tener en cuenta los siguientes aspectos:

Todos los nombres deben comenzar con una letra.

Los nicos caracteres que se permiten son letras, nmeros y guin bajo.

MATLAB diferencia mayscula y minscula.

MATLAB se reserva un conjunto de nombres que no pueden ser usados

como variables. Las lista de estos la puede obtener usando el comando

iskeyword.

1.2.2 Operaciones escalares

Como es de esperar MATLAB opera dos nmeros similarmente a como se hace

en una calculadora, pero tambin podemos ir guardando estos resultados en

una variable, por ejemplo:

A=4+5

MATLAB desde cero

7

Regresar

A=

9

Y si miramos en el rea de trabajo notaremos que la variable tiene el

valor resultado de la operacin. Adems MATLAB tambin admite las

operaciones con el uso de las variables guardadas, as, si continuamos

escribiendo los siguientes comandos:

B=1

C=A+B

Regresar:

C=

10

Algo importante para resaltar, es que el operador asignacin (=) es

diferente de una igualdad. Por ejemplo, si primero asignamos a la variable x un

valor de 3:

x=3

Y escribimos despus:

x=x+5

La consola mostrar:

x=

8

Ntese que la expresin x=x+5 no es una expresin matemtica valida,

pero al ingresarla en MATLAB, este interpreta que el nuevo valor de x es el

anterior que tena ms 5. Adems, en cualquier momento podemos cambiar el

valor de una variable reasignndole otro valor; de esta forma, si escribimos:

x=10

La variable x pierde el valor de 8 que tena y ahora observamos en el

workspace que asume uno de 10.


8

| || |

Ejemplo de Aplicacin 1.1

Escriba un programa para calcular la fuerza elctrica de repulsin entre

dos cargas que tienen magnitud de 10 C y 5 C, y que se encuentran a 50

cm de distancia, usando la ley de coulomb:

Donde .

Solucin

La resolucin del ejercicio se muestra en la figura 1.3 donde el cdigo

ha sido escrito y ejecutado en la ventana de edicin.

Cuando corremos el programa, MATLAB da un nombre por defecto al

archivo que es guardado en el folder actual cuando damos aceptar en el

cuadro de dilogo que se despliega.

En la resolucin del ejercicio saltan unas caractersticas importantes:

La primera lnea del programa clear,clc protege al usuario de usar

variables que han sido definidas en otros scripts y nos proporciona un

ambiente de trabajo totalmente nuevo.

Se us del operador % para introducir comentarios. En una lnea,

cualquier escritura antecedida de un % no ejecutar cdigo alguno y

ser resaltado en color verde. Una buena prctica de programacin

sugiere el uso de comentarios para hacer el cdigo ms legible a la

hora de que otros usuarios necesiten leer nuestro trabajo.

La ventana de edicin est acoplada a la ventana de MATLAB. Esto lo

logramos pulsando control+shift+D estando activa la ventana, y

podemos desacoplarla con el atajo control+shift+U. Esto se puede

hacer con cualquier ventana.

Los resultados fueron desplegados en la ventana de comandos y

podemos verlos usando la barra de desplazamiento en esta.

El registro de comandos no lleva cuenta de los comandos ejecutados

sino que solo nos muestra el nombre del archivo.

MATLAB desde cero

9

Figura 1.3 Ejemplo de aplicacin 1.1

1.2.3 Operaciones con arreglos

La forma ms simple de crear una matriz en MATLAB es haciendo una lista

explicita de los valores que pertenecen a esta, separados por comas o un espacio

y dentro de parntesis angulares (corchetes), por ejemplo:

A=[1 2 3 4]

Crear un vector fila. Se sabe tambin que las filas se separan con un punto y

coma, as si queremos crear un vector columna podramos escribir por ejemplo:

B=[1;2;3;4]

Y una matriz que tiene tanto filas como columnas podramos escribirla como

C=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]

O tambin de la siguiente manera ms cmoda

C=[1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12]


10

Cuando a una matriz le sumamos (o restamos) un escalar, este ltimo es

sumado (o restado) a cada elemento de la matriz, por ejemplo:

D=C+5

Mostrar en la consola:

D=

6 7 8 9

10 11 12 13

14 15 16 17

De la misma forma pasa con la multiplicacin por escalar:

E=5*D

Regresar:

E=

5 10 15 20

25 30 35 40

45 50 55 60

Para hacer sumas y restas entre matrices se tiene que cumplir que

estas tengan las mismas dimensiones, por ejemplo:

D+E

Nos arrojar:

ans=

11 17 23 29

35 41 47 53

59 65 71 77

S las matrices no tienen las mismas dimensiones, entonces MATLAB

nos mostrar un mensaje de error (excepto si una de las dos es un escalar).

El enfoque para la multiplicacin y la divisin es un tanto diferente; de

esta forma, si queremos multiplicar (o dividir) la matriz C por la matriz D

elemento a elemento, usamos la multiplicacin punto .* (o la divisin punto

./), por ejemplo:

C.*D

MATLAB desde cero

11

Mostrar en la consola:

ans =

6 14 24 36

50 66 84 104

126 150 176 204

Y tambin:

C./D

Devolver:

ans =

0.1667 0.2857 0.3750 0.4444

0.5000 0.5455 0.5833 0.6154

0.6429 0.6667 0.6875 0.7059

El mismo enfoque aplicara para la exponenciacin:

C.^2

ans =

1 4 9 16

25 36 49 64

81 100 121 144

La razn del uso del punto se debe a que una multiplicacin matricial como la

define la matemtica es diferente de una multiplicacin elemento a elemento, y

para esta se reserva el uso del operador estrella (*); tambin lo mismo para la

exponenciacin.

Para ingresar matrices generalmente hay que hacerlo manualmente,

pero en el caso de aquellas que tienen intervalos regulares este trabajo es ms

sencillo. El comando:

A=1:5

Regresa una matriz fila

A =

1 2 3 4 5


12

El incremento predeterminado es 1, pero si queremos cambiarlo, lo

indicamos entre el primer y ltimo valor, haciendo las separaciones por dos

puntos (:), as:

B=0:2:10

Regresar:

B =

0 2 4 6 8 10

Si deseamos que MATLAB calcule el espaciamiento entre los elementos,

usamos el comando linspace. Especificamos el valor inicial, el valor final y

cuntos valores queremos en total. Por ejemplo:

linspace(2,10,5)

Crear un vector con 5 elementos igualmente espaciados, valor inicial de 2 y

valor final de 10. El resultado del comando anterior es:

ans =

2 4 6 8 10

Otro operador importante es el operador transposicin ('), que en una matriz

convierte las filas en columnas, y las columnas en filas. Por ejemplo fjese a

continuacin:

x=1:5

x'

ans =

1

2

3

4

5

y=[1:3;12:2:16]

MATLAB desde cero

13

y'

ans =

1 12

2 14

3 16

Si queremos suprimir los resultados de los comandos que se van

ingresando, usamos el comando punto y coma (;). por ejemplo:

B=[1:5;7:11];

No desplegar ninguna salida en pantalla. Pero si queremos ver los

valores de la matriz, podemos ir al workspace y dar doble clic sobre el smbolo

amarillo que se encuentra antes del nombre de la variable, e inmediatamente

se abrir un Variable editor, que nos mostrar la informacin:

Figura 1.4 Variable editor


14

En MATLAB tambin podemos crear tablas muy fcilmente. Por ejemplo, si

quisiramos una tabla de conversin que tuviera en la primera columna valores

en centmetros del 1 al 10, en la segunda sus correspondientes equivalencias en

pulgadas, y una tercera con las correspondientes equivalencias en pies,

podemos hacerlo como se muestra a continuacin:

Cm=1:10;

inch=Cm/2.54;

feet=inch/12;

Tabla=[Cm' inch' feet']

Tabla =

1.0000 0.3937 0.0328

2.0000 0.7874 0.0656

3.0000 1.1811 0.0984

4.0000 1.5748 0.1312

5.0000 1.9685 0.1640

6.0000 2.3622 0.1969

7.0000 2.7559 0.2297

8.0000 3.1496 0.2625

9.0000 3.5433 0.2953

10.0000 3.9370 0.3281

Ntese que en las lneas donde se definieron los tres vectores,

finalizamos cada sentencia con un punto y coma para evitar que sus resultados

se desplieguen en la consola. Tambin dese cuenta que creamos la tabla usando

el operador transposicin porque los arreglos que habamos definido ( Cm, inch

y feet) eran vectores fila mientras que en la tabla se muestran como columnas.

Por ltimo, no vaya a pensar el lector que se us una funcin llamada Tabla para organizar los datos de esta manera, porque en realidad, no es ms que un

nombre arbitrario con la que se defini una variable que guarda los valores de

la matriz que fue creada, como lo puede confirmar al hacer una breve

inspeccin en el workspace:

MATLAB desde cero

15

Ahora, si por ejemplo queremos hacer un pequeo programa para calcular el

volumen de tres cilindros usando la frmula , con alturas de 2,5,8 y radios de 2,4,6 en centmetros respectivamente, abrimos un script que

nombraremos ms tarde volmenes, escribimos las sentencias y lo ejecutamos, tal como se ven en la figura 1.5 donde tambin observamos el

resultado en el command window.

Figura 1.5 Muestra de clculo de volmenes de varios cilindros.

Ya que en la lnea tres y cuatro agregamos punto y coma al final de los

comandos, las salidas que estos generan en el command window fueron

suprimidas; Por otro lado, las lneas cinco y seis s despliegan salidas de

pantalla. Ntese en la lnea cinco el uso que se hizo del operador (*), del

operador punto estrella (.*), y del operador punto exponente (.^) para resolver

el problema. Como pi es un simple escalar el uso del punto es irrelevante, pero

en el caso de elevar al cuadrado el vector que denominamos Radio se necesit el

uso del operador .^ y luego .* para multiplicar los valores del radio al cuadrado

con las alturas respectivas en cada cilindro; el resultado lo podemos ver en el

command window con el nombre de volumen. Preste especial atencin a la lnea 6; lo primero que se hizo fue convertir los vectores filas en vectores

columnas con el uso del operador transposicin ('), y luego se cre una matriz

utilizando como primer elemento la columna que posee los valores de la altura,

de segundo elemento la columna de radios y de tercer elemento la columna de

volmenes, todo esto dentro de corchetes (parntesis angulares); las comas

pueden ser reemplazadas por espacios en blanco.


16

1.3 Funciones incorporadas.

Una de las caractersticas ms sobresalientes de MATLAB es la amplia gama

de funciones incorporadas que posee.

Podemos decir que toda funcin se conforma de tres partes: un nombre,

una entrada (o argumento) y una salida. Por ejemplo, si queremos calcular el

seno de un ngulo de 1.5 radianes, escribimos:

x=sin(1.5)

x =

0.9975

En este ejemplo el nombre de la funcin en cuestin es sin, la entrada es

1.5, y a la salida se le ha dado el nombre de x.

Todas las funciones matemticas elementales admiten matrices como

entradas salvo contados casos. Si queremos calcular la raz cuadrada de varios

nmeros podramos escribir, por ejemplo:

y=[2 6 5 3];

x=sqrt(y)

Que nos regresa:

x =

1.4142 2.4495 2.2361 1.7321

Las funciones tambin pueden tener ms de un valor de entrada y/o ms

de un valor de salida; as por ejemplo, la funcin polyval, evala un polinomio

proporcionado por el usuario, a partir de un vector que contiene los coeficientes

de este, ordenado de mayor a menor exponente. Por ejemplo, si queremos

evaluar el polinomio en el punto x=3, podemos hacerlo as:

x=3;

c=[2 3 0 5 0];

y=polyval(c,x)

y =

258

Note que los argumentos de entrada solo fueron dos (c y x).

MATLAB desde cero

17

Un ejemplo de funciones que tienen mltiples salidas es la funcin size,

que calcula las dimensiones de una matriz; por ejemplo, si escribimos:

A=[1 2 3 4; 2 5 3 9];

[a,b]=size(A)

a =

2

b =

4

Fjese que las dos salidas, a y b, son las filas y las columnas de la

matriz. Ahora como contraste el lector debe notar la diferencia entre el anterior

ejemplo, y el ejemplo de esta sesin en que se calcul la raz de un vector. En el

ejemplo ms reciente efectivamente hubo ms de una salida, sin embargo

cuando se calcul la raz del vector, la nica salida que se obtuvo fue otro vector.

A continuacin se da un listado de funciones bastante tiles.

Funcin Descripcin Ejemplo

abs(x) Valor absoluto de los

elementos de la matriz

x.

x=[-1 2 -3];

abs(x)

ans =

1 2 3

sqrt(x) Raz cuadrada de x. x=[9 16 25];

sqrt(x)

ans =

3 4 5

exp(x) Euler elevado a la x ( . exp(5) ans =

148.4132

log(x) Logaritmo natural de x

( , no confundir con logaritmo en base 10).

log(5)

ans =

1.6094

log10(x) logaritmo en base 10 de

x.

log10(5)

ans =

0.6990 Tabla 1.1 Funciones usuales.


18

round(x) Redondea x al entero

ms cercano.

round(9.7)

ans =

10

fix(x) Redondea x al entero

ms cercano a 0.

fix(9.7)

ans =

9

floor(x) Redondea x al entero

menor.

floor(-9.7)

ans =

-10

ceil(x) Redondea x al entero

mayor.

floor(-9.7)

ans =

-9

sin(x) Seno de x (en radianes). sin(0)

ans =

0

cos(x) Coseno de x (en

radianes).

cos(pi)

ans =

-1

tan(x) Tangente de x (en

radianes).

tan(0)

ans =

0

asin(x) Arcseno de x (devuelve

la respuesta en

radianes).

asin(1)

ans =

1.5708

acos(x) Arcoseno de x (devuelve

la respuesta en

radianes).

acos(1)

ans =

0

atan(x) Arctangente de x

(devuelve la respuesta

en radianes).

atan(1)

ans =

0.7854

sind(x) Seno de x (en grados

sexagesimales).

sind(90)

ans =

1

asind(x) Seno inverso de x

(devuelve la respuesta

en ngulos

sexagesimales)

asin(1)

ans =

1.5708

roots(x) Calcula un vector

columna que tiene las

races de un polinomio a

partir de un vector x que

posee los coeficientes

ordenados de mayor a

menor potencia.

x=[1 -2 -13 14 24];

roots(x)

ans =

4.0000

-3.0000

2.0000

-1.0000

MATLAB desde cero

19

poly(x) Calcula un vector que

contiene los coeficientes

de un polinomio

ordenado de mayor a

menor potencia a partir

de un vector x que posee

sus races.

x=[-1 -3 4 2];

poly(x)

ans =

1 -2 -13 14 24

max(x) Calcula el valor mximo

en un vector x.

Calcula un vector fila

que contiene los valores

mximos de cada

columna de una matriz

x.

x=[-1 -3 4 2];

max(x)

ans =

4

x=[1 7 4 9; 3 5 7 8];

max(x)

ans =

3 7 7 9

[a,b]=max(x) Encuentra el valor

mximo en un vector x

y su ubicacin en ste,

donde el valor de a es el

mximo, y b su posicin

en el vector.

Construye un vector fila

a con los valores mximo de cada

columna y un vector b que contiene la posicin

de dicho mximo en la

columna

correspondiente.

x=[-1 -3 4 2];

[a,b]=max(x)

a =

4

b =

3

x=[1 7 4 9; 3 5 7 8];

[a,b]=max(x)

a =

3 7 7 9

b =

2 1 2 1

max(x,y) Crea una matriz de

igual dimensin que x e

y, en la que cada

elemento es el mayor de

cada posicin

correspondiente en la

matriz.

x=[1 7 4 9;3 5 7 8];

y=[2 5 3 1;2 5 3 8];

max(x,y)

ans =

2 7 4 9

3 5 7 8

min(x) Se comporta como

max(x), pero para hallar

mnimos.

Aplique los mismos

casos que en la funcin

max(x).


20

mean(x) Calcula el valor

promedio de un vector x.

Crea un vector fila a

partir de una matriz x

que contiene el valor

promedio de cada

columna de la matriz.

x=[3 6 7];

mean(x)

ans =

5.3333

x=[3 6 7; 7 2 5];

mean(x)

ans =

5 4 6

sum(x) Suma los elementos de

un vector x.



que contiene la suma de

los elementos de cada


x=[3 6 7];

sum(x)

ans =

16

x=[3 6 7; 7 2 5];

sum(x)

ans =

10 8 12

prod(x) Calcula el producto de

los elementos de un

vector x.



que contiene la suma de

los elementos de cada


x=[3 6 7];

prod(x)

ans =

126

x=[3 6 7; 7 2 5];

prod(x)

ans =

21 12 35

sort(x) Ordena los valores de un

vector x de forma

ascendente.

Ordena los valores de

cada columna en una

matriz de forma

ascendente.

x=[2 7 5];

sort(x)

ans =

2 5 7

x=[8 3 5; 2 4 3];

>> sort(x)

ans =

2 3 3

8 4 5

MATLAB desde cero

21

sort(x, 'descend') Ordena los valores de un

vector x de forma

descendente.

Ordena los valores de

cada columna en una

matriz de forma

descendente.

x=[2 7 5];

sort(x,'descend')

ans =

7 5 2

x=[8 3 5; 2 4 3];

sort(x,'descend')

ans =

8 4 5

2 3 3

sortrows(x,n) Ordena las filas de una

matriz sobre la base de

la columna n.

x=[1 4 5;

6 3 7;

3 6 4];

sortrows(x,3)

ans =

3 6 4

1 4 5

6 3 7

size(x) Determina el nmero de

filas y columnas de en la

matriz x.

x=[8 3 5; 2 4 3];

size(x)

ans =

2 3

[a,b]=size(x) Determina el nmero de

filas y columnas de en la

matriz x y guarda estos

valores en las variables

a y b respectivamente.

x=[8 3 5; 2 4 3];

>> [a,b]=size(x)

a =

2

b =

3

length(x) Calcula la mayor

dimensin de una

matriz.

x=[8 3 5; 2 4 3];

length(x)

ans =

3

std(x) Desviacin estndar de

los valores de un vector.

Vector de desviacin

estndar de los valores

en las columnas de una

matriz.

x=[2 7 5];

std(x)

ans =

2.5166

x=[1 4 5; 6 3 7; 3 6 4];

std(x)

ans =

2.5166 1.5275 1.5275


22

var(x) Varianza de los valores

de un vector.

Vector de varianza de

los valores en las

columnas de una matriz.

x=[2 7 5];

var(x)

ans =

6.3333

x=[1 4 5; 6 3 7; 3 6 4];

>> var(x)

ans =

6.3333 2.3333 2.3333

rand(n) Crea una matriz nxn con

valores aleatorios entre

0 y 1.

rand(2)

ans =

0.0971 0.6948

0.8235 0.3171

rand(m,n) Crea una matriz mxn

con valores aleatorios

entre 0 y 1.

rand(3,2)

ans =

0.9502 0.3816

0.0344 0.7655

0.4387 0.7952

linspace(a,b,c) Genera un vector con

valores desde a hasta b,

con c elementos

igualmente espaciados.

linspace(2,11,4)

ans =

2 5 8 11

plot(x,y) Genera una grfica de

parejas ordenadas con

elementos de posiciones

correspondientes de los

vectores x e y.

x=0:0.01:2*pi;

y=cos(x);

plot(x,y)

xlabel(S) Genera una etiqueta con

la frase S en una figura

en el eje horizontal.

xlabel('eje x')

ylabel(S) Genera una etiqueta con

la frase S en una figura

en el eje vertical.

ylabel('eje y')

title(S) Genera un ttulo con la

frase S en una figura.

title('y vs x')

hold on Permite plasmar ms de

una curva en una misma

figura.

hold on

disp(S) Genera una salida del

texto S en el command

window, donde este debe

estar dentro de

apostrofes.

texto='Hola mundo';

disp(texto)

(regresar en pantalla)

Hola mundo Tabla 1.1 Funciones usuales (fin de la tabla).

MATLAB desde cero

23

Ejemplo de aplicacin 1.2

El comportamiento de una variable fsica que se caracteriza por tener

una respuesta oscilatoria subamortiguada ante una perturbacin en

su estado estacionario, en algunos casos queda totalmente descrito en

el tiempo de transicin por la expresin:

Dnde:

Variable perturbada. Tiempo (s).

Amplitud de oscilacin. Constante de tiempo (s).

Velocidad angular (rad/s). Angulo de fase (rad).

Cree un script que se llame sistema_subamortiguado en el que calcule la variable perturbada para 2 valores de . Tome 1000 valores de tiempo igualmente espaciados desde 0 hasta 100 segundos y

grafique en una misma figura su respuesta usando los comandos plot

y hold on.

rad

20s

No olvide poner etiquetas a la figura y usar comentarios

significativos en el cdigo.

Solucin

El programa lo podemos observar en la figura 1.6, donde en la

lnea 13, dentro del comando plot se ha colocado un tercer argumento

dentro de apostrofes para cambiar el color de la segunda curva.

La figura desplegada se observa en la figura 1.7.


24

Figura 1.6 Solucin al ejemplo de aplicacin 1.2.

Figura 1.7 figura generada por el cdigo de la figura 1.6.

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25

Ejemplo de aplicacin 1.3

La presin de vapor de una especie qumica a una temperatura est

dada por la ecuacin de Antoine:

Dnde:

= constantes de Antoine

Presin de saturacin en kpa Temperatura en C

Se presentan valores de las constantes de Antoine en la tabla 1.2

para tres sustancias diferentes.

Etanol Etilenglicol Metanol

Tabla 1.2 Constantes de Antoine para tres sustancias.

Cree un script llamado Tabla_de_vapor que genere una tabla que contenga las presiones de vapor de los tres compuestos en un

intervalo de temperatura de 100 a 200C, con saltos de a 10, y cuya

primera columna sea la temperatura.

Luego cree otra tabla que contenga el en el mismo intervalo de temperatura usando la siguiente relacin:

Use la funcin disp para crear encabezados en el despliegue de ambas

tablas.

Solucin

La figura 1.8 muestra la solucin al problema.


26

Figura 1.8 Ejemplo de aplicacin 1.3

Figura 1.9 Despliegue de resultados en el command window del cdigo de la figura 1.7

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27

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. La ecuacin de estado de un gas ideal se muestra a continuacin:

Cree un vector que contiene valores de presin entre 5 y 10 atmsferas con

saltos de 1 y calcule los volmenes molares para este rango de presin a una

temperatura de 600 K. Realice una tabla que contenga los valores de presin y

de volumen.

2. El calor que se transfiere a travs de una pared est dada por la ecuacin:

Dnde:

= Coeficiente de conduccin ); rea de la pared Diferencia de temperatura en las superficies de la pared

Espesor de la pared

La siguiente tabla muestra los valores para el rea y la longitud de 9 paredes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

60.0 73.0 55.0 47.0 78.0 36.0 60.0 20.0 49.0 0.8 1.7 2.5 1.3 0.5 2.0 3.0 2.7 1.5

La correspondencia del rea de la pared con su espesor no est dada por la

tabla anterior, sino que a mayor rea de pared, mayor longitud tambin; de

esta forma, la pared de mayor espesor tiene el rea mayor, y la de menor

espesor tiene el rea menor, as que deber ordenar la informacin usando el

comando sort.

Calcule un vector que guarde el valor del calor transferido a travs de cada

pared y cree una tabla que en su primera, segunda y tercera columna tenga los

valores de rea, longitud y calor de cada pared respectivamente, ordenada de

menor a mayor magnitud de transferencia de calor. Use la funcin sortrows

para la esta tabla.

= 15 ; =20K


28

3. El comportamiento de un gas real est descrito por:

Donde el factor de compresibilidad est dado para bajas presiones por la ecuacin del virial truncada hasta su segundo coeficiente:

Y adems el segundo coeficiente lo podemos calcular a travs de las correlaciones Pitzer:

=Temperatura y presin crtica del gas , =Temperatura y presin reducida en el estado del gas

Factor acntrico de Pitzer

Para el ter dietlico se conocen los siguientes datos:

(K) (bar) 466.7 36.4 0.281

a) Calcular el volumen molar de ter dietlico para 20 temperaturas

igualmente espaciadas entre el rango de 600 y 800 K a una presin de 1 bar.

Construya una tabla cuya primera columna sea la temperatura, la segunda sea

el segundo coeficiente del virial, la tercera el factor de compresibilidad y la

cuarta el volumen molar. Use la funcin disp para crearle un encabezado a esta

tabla.

b) Construya grficas en diferentes scripts para el segundo coeficiente del

virial, el factor de compresibilidad y el volumen molar del ter dietlico para

temperaturas entre 100 y 800 K y una presin de 2 bar.

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29

4. Cuando se conoce la composicin y la temperatura de una solucin binaria

lquida no ideal, en equilibrio con su vapor, la presin del sistema (presin de

burbuja) se puede calcular haciendo uso de la ley de Raoult modificada:

Donde y son los coeficientes de actividad de los componente 1 y 2 respectivamente, y se pueden expresar mediante la ecuacin NRTL (Non

Random Two Liquid).

[ (

) +

]

[ (

) +

]

Donde , y , son parmetros especficos para un par de especies en particular.

y

son las presiones de vapor de los componentes 1 y 2 respectivamente

y estn dadas por la ecuacin de Antoine:

Se conocen los siguientes datos para la mezcla 1-propanol (1) y agua (2)

(cal/mol)

(cal/mol)

0.5081 500.40 1636.57

Las constantes de Antoine para las sustancias son:

1-propanol (1) 16.1154 3483.67 205.807 Agua (2) 16.3872 3885.70 230.170


30

A partir de la informacin anterior, para un rango de temperatura entre 20 y

100 C con saltos de 8C y fracciones molares y :

a) La presin total del sistema.

b) La composicin de la fase vapor usando la ley de Raoult modificada.

c) Tabule y grafique los coeficientes de actividad en funcin de la temperatura.

Etiquete su figura.

módulo 1 entorno matlab y funciones incorporadas

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