módulo i - sistemas de primeira ordem
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Classes from modeling control systemsTRANSCRIPT
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Mdulo I Anlise da Resposta Transitria e Erro
Estacionrio
Prof. Sara Jorge e Silva
Joo Monlevade, Fevereiro de 2015
Modelagem e Anlise de Sistemas
Lineares
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO UFOP
INSTITUTO DE CINCIAS EXATAS E APLICADAS - ICEA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA - DEELT
MODELAGEM E ANLISE DE SISTEMAS LINEARES
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Polos e Zeros
Joo Monlevade, Maro de 2015
A resposta do sistema pode ser representada pela soma da resposta
natural com a resposta forada;
O uso de polos e zeros e sua relao com o domnio do tempo de um
sistema, representam uma tcnica rpida para analisar o desempenho
dos sistemas;
O conceito envolvendo polos e zeros fundamental para anlise e
projeto de sistema de controle e simplifica os clculos de uma
resposta no tempo de um sistema.
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Polos
Joo Monlevade, Maro de 2015
Os polos de um FT so:
1. Os valores da varivel s da transformada de laplace, que levam o
valor da funo de transferncia tender infinito
2. Quaisquer razes do denominador da funo de transferncia que
so comuns s razes do numerador
Exemplos:
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Zeros
Joo Monlevade, Maro de 2015
Os zeros de uma FT so
1. Os valores da varivel s da transformada de laplace que levam o
valor da funo de transferncia zero;
2. Quaisquer razes do numerador da funo de transferncia que so
comuns s razes do denominador
Exemplos
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MODELAGEM E ANLISE DE SISTEMAS LINEARES
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Anlise por Inspeo
Joo Monlevade, Maro de 2015
Exemplo 01) Dada , determine os polos e zeros e esboce
graficamente. Determine a resposta no tempo para uma entrada degrau
unitrio.
Exemplo 02) Dado os sistemas abaixo, escreva a sada c(t), em termos
gerais para uma entrada degrau unitrio. Identifique os termos natural e
forado de:
a)
b)
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Sistemas de Primeira Ordem
Joo Monlevade, Maro de 2015
Seja um sistema de primeira ordem definido como
Para uma entrada degrau unitrio
Expandindo em fraes parciais
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Sistemas de Primeira Ordem
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Para t = T
Constante de Tempo: a = 1/T chamada constante de tempo e definida
quando a resposta c(t) alcana 63,2% de sua resposta total.
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Sistemas de Primeira Ordem
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Constante de tempo
Quanto menor T, mais rpida a resposta do sistema.
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Sistemas de Primeira Ordem
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Constante de Tempo
O polo est localizado no inverso de T, quanto mais longe o polo estiver do eixo
imaginrio, mais rpida a velocidade de resposta do sistema.
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Sistemas de Primeira Ordem
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Tempo de subida
O tempo necessrio para a forma de onda, partindo de 10% do seu valor final,
atinja 90% desse valor.
Tempo de assentamento
O tempo para a resposta alcanar uma faixa de valores de 2% em torno do seu
valor final.
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Sistemas de Primeira Ordem
Entrada degrau unitrio
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Sistemas de Primeira Ordem
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Exerccio 01) Para a FT abaixo, determine T, Tr e Ts:
Exerccio 02) Qual a FT do sistema abaixo? Considere uma entrada
degrau unitrio e
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Sistemas de Primeira Ordem
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Entrada Rampa
Para uma rampa de inclinao unitria
O sinal de erro dado por
Para t tendendo a infinito, a exponencial tende zero e:
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Sistemas de Primeira Ordem
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Entrada Rampa
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Sistemas de Primeira Ordem
Entrada Rampa
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Sistemas de Primeira Ordem
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Entrada Impulso
Para um impulso unitrio
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MODELAGEM E ANLISE DE SISTEMAS LINEARES
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Simulao de Sistemas de Primeira
Ordem Considerando um sistema de primeira ordem
Tm-se:
R(s) = Sinal de entrada;
G(s) = Funo de transferncia;
C(s) = Sinal de sada.
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A funo de transferncia tem as seguintes caractersticas
Onde k o ganho no estado estacionrio e dado por:
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
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A funo da sada, considerando condies iniciais nulas, dada por
Para uma entrada degrau unitrio
Anlise de polos
p < 0 exponencial decrescente p > 0 exponecial crescente
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
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Como
A primeira simulao tem a seguinte FT
Ento:
Plo:
Ganho:
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
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Para uma entrada degrau unitrio
Fraes parciais
Ou
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
1
-1
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Grfico da resposta do tempo
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
Constante de Tempo
T=1/p =1/1=1 s
Tempo de Subida
Tr = 2,2T = 2,2 s
Tempo de Acomodao
Ts = 4T = 4 s
Em t=1, a sada
alcanou 63,2 % da sua
resposta transitria.
A resposta demorou 2,2 s
para variar de 1 a 90 %
A resposta demorou 4 s
para alcanar uma faixa de
valores de 2% em torno do
valor final e a permenea.
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A segunda simulao tem a seguinte FT
Ento:
Plo:
Ganho:
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
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Para uma entrada degrau unitrio
Fraes parciais
Ou
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
10
-1
-
Analisando a variao de ganho
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
-
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
A terceira simulao tem a seguinte FT
Ento:
Plo:
Ganho:
-
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem Para uma entrada degrau unitrio
Fraes parciais
Ou 1
-10
-
Analisando a variao dos plos:
Funo da Frequncia
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
Lembrando que qunto mais longe o polo
estiver do eixo imaginrio, mais rpida a
velocidade de resposta do sistema.
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Funo do Tempo
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
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Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
A quinta simulao tem a seguinte FT
Ento:
Plo:
Ganho:
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Para uma entrada degrau unitrio
Por fraes parciais
Ou
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
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Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
A sexta simulao tem a seguinte FT
Ento:
Plo:
Ganho:
-
Para uma entrada degrau unitrio
Por fraes parciais
Ou
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
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Analisando a variao dos plos:
Funo da Frequncia
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
Para plos positivos, ou seja, > 0, o sistema nunca chegar no estado estacionrio.
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Funo do Tempo
Simulao de Sistemas de Primeira Ordem
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Simulao de Sistemas de Primeira
Ordem
Joo Monlevade, Maro de 2015
Entrada Rampa