mòdulo matematica_financiera (2)

Pamplona Centro de Educación Virtual y a Distancia

Programas de Educación a Distancia

Hugo Fernando Castro Silva Jorge Enrique Téllez Páez

43 Años Formando Colombianos de Bien

Álvaro González Joves Rector

María Eugenia Velasco Espitia Decana Facultad de Estudios Avanzados, Virtuales, a Distancia y Semiescolarizados

Luis Armando Portilla Granados Director Centro de Educación Virtual y a Distancia

Universidad de

Matemática Financiera

Tabla de Contenido Presentación Introducción Metodologia UNIDAD 1: Conceptos Fundamentales

Horizontes Núcleo Temático y Problemático Proceso de Información 1.1 CONCEPTOS

1.1.1 El Valor del Dinero en el Tiempo 1.1.2 Interés 1.1.3 El Tiempo de una Transacción 1.1.4 Tasa de Interés 1.1.5 Equivalencias 1.1.6 Lineas de Tiempo y Valor 1.1.7 Transacciones

Proceso de Comprensión y Análisis Autoevaluación

UNIDAD 2: Interés Simple

Horizontes Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 2.1 DEFINICIONES 2.2 EQUIVALENCIA ENTRE VALOR PRESENTE Y EL VALOR FUTURO

2.2.1 Otra Forma de Hallar la Fórmula de Valor Futuro 2.3 CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE 2.4 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS

2.4.1 Otra Forma de Cálculo de la Tasa de Interés 2.5 CÁLCULO DE TIEMPO DE UNA TRANSACCIÓN

2.5.1 Otra Forma de Calcular el Número de Periodos 2.6 ECUACIONES DE EQUIVALENCIA

2.7 INTERÉS SIMPLE EXACTO Y COMERCIAL 2.7.1 Tabla para Calcular el Número Exacto de Días entre Dos

Fechas 2.7.2 Fórmulas Modificadas para el Cálculo del Interés Simple


UNIDAD 3: Descuentos Parciales

Horizontes Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 3.1 DESCUENTO SIMPLE O RACIONAL 3.2 DESCUENTO BANCARIO

3.2.1 Pagaré 3.2.2 Descuento 3.2.3 Valor Líquido de un Título

3.3 TASA DE INTERÉS COBRADA REALMENTE EN UN CRÉDITO BANCARIO

UNIDAD 4: Fijación de Precios a un Producto y Descuentos Comerciales

Horizontes Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 4.1 FIJACIÓN DE PRECIO A UN PRODUCTO 4.2 MARGEN DE UTILIDAD BRUTA SOBRE EL COSTO VS MARGEN DE

UTILIDAD BRUTA SOBRE EL PRECIO DE VENTA 4.2.1 Margen de Utilidad Bruta en Porcentaje

4.3 FIJACIÓN DE PRECIOS A PRODUCTOS PERECEDEROS 4.4 REBAJAS DE PRECIOS

4.4.1 Descuentos Comerciales 4.4.2 Cálculo del Descuento y del Precio Neto 4.4.3 Serie de Descuentos 4.4.4 Descuento Equivalente Sencillo 4.4.5 Descuento por Pronto Pago


UNIDAD 5: Interés Compuesto

Horizontes Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 5.1 DEFINICIONES 5.2 FÓRMULAS DEL INTERÉS COMPUESTO

5.3 FÓRMULA DEL MONTO A INTERÉS COMPUESTO O VALOR FUTURO 5.4 CÁLCULO DEL VALOR FUTURO 5.5 COMPARACIÓN ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

5.5.1 Modalidad de Interés Simple 5.5.2 Modalidad de Interés Compuesto

5.6 VALOR FUTURO DE LA UNIDAD MONETARIA 5.6.1 Cálculo del Valor Futuro Para N Periodos Mayor que 100 5.6.2 Cálculos del Valor Fururo con Periodos de Capitalización

Fraccionarios 5.6.3 Cálculo del Valor Presente o Valor Actual a Interés

Compuesto 5.7 VALOR PRESENTE DE LA UNIDAD MONETARIA

5.7.1 Cálculo de la Tasa de Interés 5.7.2 Cálculo del Número de Periodos

5.8 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA 5.8.1 Operaciones en Moneda Corriente 5.8.2 Conversión de Tasas de Interés

5.9 RENTABILIDAD 5.9.1 Rentabilidad Neta 5.9.2 Rentabilidad Real

UNIDAD 6: Series Uniformes o Anualidades

Horizontes Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 6.1 SIMBOLOGIA 6.2 ANUALIDADES VENCIDAS

6.2.1 Cálculo del Valor Futuro 6.2.2 Cálculo del Valor Presente

6.3 CÁLCULO DE LA RENTA EN UNA ANUALIDAD 6.4 CÁLCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD 6.5 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD 6.6 ANUALIDADES ANTICIPADAS

6.6.1 Cálculo del Valor Presente 6.7 ANUALIDADES DIFERIDAS

6.7.1 Cálculo del Valor Presente 6.7.2 Cálculo del Valor Futuro 6.7.3 Cálculo de la Renta u Cuota

6.8 ANUALIDADES PERPETUAS 6.8.1 Valor Presente de una Anualidad Perpetua Anticipada 6.8.2 Valor Presente de una Anualidad Perpetua por Pagar al Final

de Cierto Número de Periodos de Capitalización Proceso de Comprensión y Análisis Autoevaluación

UNIDAD 7: Gradientes

Horizontes Núcleo Temático y Problemático Proceso de Información 7.1 VALORES DE LAS ANUALIDADES DE VARIACIÓN UNIFORME Proceso de Comprensión y Análisis Autoevaluación

ANEXO: Instituciones Financieras BIBLIOGRAFÍA GENERAL


UNIVERSIDAD DE PAMPLONA – Centro de Educación Virtual y a Distancia

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Presentación La educación superior se ha convertido hoy día en prioridad para el gobierno Nacional y para las Universidades Públicas, brindando oportunidades de superación y desarrollo personal y social, sin que la población tenga que abandonar su región para merecer de este servicio educativo; prueba de ello es el espíritu de las actuales políticas educativas que se refleja en el proyecto de decreto Estándares de Calidad en Programas Académicos de Educación Superior a Distancia de la Presidencia de la República, el cual define: “Que la Educación Superior a Distancia es aquella que se caracteriza por diseñar ambientes de aprendizaje en los cuales se hace uso de mediaciones pedagógicas que permiten crear una ruptura espacio temporal en las relaciones inmediatas entre la institución de Educación Superior y el estudiante, el profesor y el estudiante, y los estudiantes entre sí”. La Educación Superior a Distancia ofrece esta cobertura y oportunidad educativa ya que su modelo está pensado para satisfacer las necesidades de toda nuestra población, en especial de los sectores menos favorecidos y para quienes las oportunidades se ven disminuidas por su situación económica y social, con actividades flexibles acordes a las posibilidades de los estudiantes. La Universidad de Pamplona gestora de la educación y promotora de llevar servicios con calidad a las diferentes regiones y el Centro de Educación Virtual y a Distancia de la Universidad de Pamplona, presentan los siguientes materiales de apoyo con los contenidos esperados para cada programa y les saluda como parte integral de nuestra comunidad universitaria e invita a su participación activa para trabajar en equipo en pro del aseguramiento de la calidad de la educación superior y el fortalecimiento permanente de nuestra Universidad, para contribuir colectivamente a la construcción del país que queremos; apuntando siempre hacia el cumplimiento de nuestra visión y misión como reza en el nuevo Estatuto Orgánico: Misión: Formar profesionales integrales que sean agentes generadores de cambios, promotores de la paz, la dignidad humana y el desarrollo nacional. Visión: La Universidad de Pamplona al finalizar la primera década del siglo XXI, deberá ser el primer centro de Educación Superior del Oriente Colombiano.

Luis Armando Portilla Granados Director CEVDUP



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Introducción Con este módulo se pretende contribuir con la instrucción, que deben recibir los alumnos del programa de Administracion de Empresas, en el área financiera. Teniendo en cuenta que es el primer curso de la linea de finanzas, en el texto empleamos un lenguaje sencillo y elemental con el propósito de entregar al lector el material, lo más entendible posible, por supuesto, sin el deterioro del aspecto técnico propio de las Matemáticas Financieras. También, quicimos darle a los temas una orientación práctica, con el objetivo de motivar a los alumnos a la aplicación apropiada de los conceptos a casos reales y en asignaturas posteriores del programa, como evaluación de proyectos y que además sirva como guia para la solucion de diversos problemas, propios del sector financiero. El módulo se encuentra dividido en siete unidades, las cuales empiezan con los principios fundadmentales y terminilogía básica necesaria para comprender las demás unidades, para pasar a un segundo nivel dedicado a los temas de interés simple, descuentos parciales y descuentos comerciales (Unidades II, III y IV), para finalizar con el estudio del interés compuesto, anualidades y gradiantes (Unidades V, VI y VII). Con los temas expuestos se busca que el estudiante domine con propiedad y seguridad, para ello cada unidad cuenta además de la teoría básica, con el soporte de gran cantidad de ejemplos prácticos y problemas resueltos.



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Metodología Antes de entrar a efectuar cálculos y realizar operaciones, o aplicar fórmulas, debemos tener muy claro el significado de algunos conceptos básicos, los cuales se van a utilizar en la solución de todos los problemas de Matemáticas Financieras, con los cuales nos vamos a encontrar; de ahí la necesidad de tener muy bien entendidos los Principios Y Fundamentos, puesto que su aplicación deficiente conducirá a errores. Llamamos la atención de nuestro estudiantes en el estudio de los temas siguientes, pues aunque son muy sencillos, son fundamentales en el desarrollo de la asignatura. Es costumbre de estudio entre los estudiantes, ante la propuesta de un problema, inmediatamente inician su desarrollo intentanto aplicar fórmulas, sin antes realizar un análisis de la información dada, esto es, revisar los datos del problema a la luz de los principios que rigen las Matemáticas Financieras, teniendo en cuenta además, el significado de cada uno de ellos y las implicaciones y consecuencias que se pueden derivar de los mismos.



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UNIDAD 1 Conceptos Fundamentales Horizontes El objetivo de este capítulo es suministrar la terminología básica de la Matemáticas Financieras y los conceptos fundamentales que la conforman y sustentan el conjunto de practicas.

• Interpretar el valor del dinero en el tiempo.

• Comprender el principio de equivalencia.

• Definir e interpretar el concepto de tasa de interés.

• Calcular el número de períodos que tiene una transacción.

• Diagramar toda transacción comercial o financiera.

• Comprender que es una transacción Núcleo Temático y Problemático Conceptos Proceso de Información 1.1 CONCEPTOS 1.1.1 El Valor del Dinero en el Tiempo Cuando se afirma que: “para la cancelación de una obligación, debemos hacer un pago de $50.000”, y no precisamos la fecha en que debe ocurrir, nuestra aseveración es deficiente, pues intuitivamente cada uno de nosotros llega a determinar que no tiene el mismo efecto económico cancelar hoy o hacerlo en fecha posterior; ya que los $50.000 tienen diferentes implicaciones económicas,



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dependiendo de la fecha en que se haga la transacción. O sea, que no es lo mismo cancelarlo hoy que dentro de 6 meses o un año. Lo anterior, debido a que el dinero tiene su valor, dependiendo de la fecha en que se considera. Si lo estudiamos en fecha posterior, la magnitud será mayor, puesto que en nuestro sistema económico aceptamos la capacidad que tiene el dinero de aumentar su magnitud, cuando transcurra el tiempo. Es familiar para nosotros, el hecho de que una inversión hoy, debe aumentar su valor en el futuro, y que solo aquellos casos en que permanece igual o disminuye de valor, son considerados particulares y no atractivas para la inversión. Esto nos lleva a la siguiente preocupación y es la de relacionar en todo momento las magnitudes (cantidades) con la fecha y asi nuestros datos serán completos. Teniendo en cuenta lo anterior, debemos fijarnos como una norma de trabajo la de siempre indicar toda la información del valor de un ingreso o un egreso además de su magnitud, la fecha en la cual, se efectúa; o en otras palabras, siempre debemos indicar el cuánto y el cuándo. Si cumplimos con éste primer concepto, vamos adelantándonos en el correcto manejo de las bases de la Matemáticas Financieras y estaremos cumpliendo con el principio de reconocer el valor del dinero en el tiempo. En consecuencia con lo anterior, debemos observar que no podemos sumar pagos de diferentes fechas puesto que no tienen la misma implicación económica. Cuando afirmamos que hoy pagamos $5.000, dentro de tres meses otros $5.000 y dentro de seis meses $12.000, no podemos sumar estos tres pagos ($5.000 + $5.000 + $12.000) y decir que cancelamos $22.000 debido a que estamos asignando el mismo valor a los $5.000 de hoy que dentro de tres meses, lo cual es un error; además cuando afirmamos que cancelamos $12.000, no le podemos asignar una fecha única por lo cual no estamos aplicando el principio del alor del dinero en el tiempo. 1.1.2 Interés En el punto anterior tratamos el concepto de interés cuando hicimos notar que no tiene el mismo efecto económico el realizar una operación en diferentes fechas; ello se debe a la ocurencia del interés, que se debe interpretar como la utilidad que nos produce el capital cuando lo prestamos a alguien. Esto es similar al arrendamiento que cobramos cuando alquilamos un inmueble. La cantidad que vamos a recibir como interéses es función (o depende) de la cantidad entregada, así cuando esperamos recibir $3.000 al finalizar cada mes, por concepto del “uso” que hacen de $100.000 nuestros, fácilmente observamos



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que si la cantidad prestada hubiera sido el doble ($200.000), debemos recibir $6.000 (el doble ) de interéses. A su vez si la cantidad prestada hubiera sido la mitad ($50.000), hubieramos recibido $1.500. Estos dineros (los interéses), los vamos a distinguir con “I”, luego en cada uno de los casos anteriores, vamos a tener I = $3.000, I = $6.000, I = $1.500, respectivamente. Relacionado con lo anterior, tenemos un parámetro muy importante en las Matemáticas Financieras y es la tasa de interés, que se conoce como la fracción entre lo que recibimos como interéses “I” y la cantidad prestada. Si llamamos a ésta como “VP”, vamos a tener que la tasa de interés es igual a los interéses devengados sobre el capital prestado, y lo denotamos por “i”.

JT1 luego VPIi =

En nuestro ejemplo tenemos que recibimos $3.000 de interéses (I = $3.000) por el préstamos de $100.000 (VP = $100.000). Luego la tasa de interés es: Lo cual si deseamos expresarlo como porcentaje, lo multiplicamos por 100 y tenemos

i = 0.03 * 100 = 3%

Es importante detenernos un poco en la interpretación de éste concepto y su notación, con el fin de buscar claridad y facilidad para su aplicación. Para el estudiante es frecuente escuchar expresiones de tasas de interés, como porcentaje; por ejemplo afirmaciones tales como:

Caso A: Yo presto mi dinero al cinco por ciento mensual (5 % mensual).

Caso B: Estoy pagando el treinta y seis por ciento anual (36 % anual) Lo que significa en el Caso A que por cada $100 de mi capital recibo mensualmente $5 por interéses. En el Caso B, significa que por cada $100 que me presta debo pagar $36 cada año por concepto de interéses. A pesar de que en la transacción la forma usual de expresarlo es en forma porcentual la tasa de interés, es importante resaltar que en todas las ecuaciones en donde halla que utilizar la tasa de interés (i), ésta se deberá expresar en su



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forma decimal. Es por ello que debemos transformar la tasa de interés expresada en forma porcentual a tasa de interés expresada en forma decimal, lo cual obtenemos dividiendo la porcentual entre 100 así:

03,0100

%3 =

En la tabla siguiente podemos observar, la equivalencia entre la tasa de interés en forma porcentual y decimal:

Tasas de Interés Expresada en forma Porcentual

Tasa de Interés Expresada en forma Decimal

2 % 0.02

4 % 0.04

8 % 0.08

16 % 0.16

32 % 0.32

64 % 0.64

128 % 1.28

150 % 1.50

200 % 2.00

La ecuación de hallar la tasa de interés i = I/VP puede expresarse como I=(iVP), la cual indica que los interéses son iguales al resultado de multiplicar la tasa de interés por la cantidad prestada. Ejemplo

En el día de hoy, entrego $200.000, esperando recibir al finalizar el año esta suma, más los interéses. Si la tasa de interés es del 24% anual. Cuánto recibiré por concepto de interéses?. Solución Identifiquemos las Variables Conocidas y Desconocidas. Sabemos que la cantidad prestada es igual a VP, luego VP=$200.000



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Que la tasa de interés es del 24% anual, pero de acuerdo con lo explicado anteriormente, debemos expresarla en forma decimal o sea, i = 0.24 anual Lo que nos pregunta el problema es el valor de los interéses que lo hemos llamado I = ? Pero sabemos que I = iVP, al reemplazar los valores conocidos,tenemos,

I = (0.24)($200.000)

I = $24.000

Se entiende que al finalizar el año, recibiré $24.000 por concepto de interéses causados por los $200.000 que entregué como préstamo. Hasta este punto conocemos que la tasa de interés es el porcentaje que se debe pagar cuando utilizamos un préstamo, ahora consideremos el concepto de interés en forma amplia, y veamos que también se puede expresar como los rendimientos de una negociación, como la tasa de interés que se obtuvo por los dineros invertidos. No todas las actividades comerciales se limitan al préstamo de dinero sino a la inversión de una determinada cantidad, esperando recibirla aumentada a medida que pasa el tiempo. La relación entre los pesos ganados y los pesos invertidos, es desde luego, la tasa de interés que se obtiene en esa inversión. Cada persona en particular, dependiendo de la actividad a que se dedique, obtendrá un mayor o menor rendimiento (interés), debido a factores tales como naturaleza del negocio, nivel de riesgo, características económicas, habilidades personales,etc. Sin embargo, en determinados momentos, los rendimientos se pueden considerar estables y cada persona tendrá una tasa de interés que le rentan los negocios; ésta tasa de interés se conoce como la tasa de interés de oportunidad y representa un concepto fundamental para poder comparar las alternativas de inversión, la cual la veremos más adelante. 1.1.3 El Tiempo de una Transacción Cuando se realiza una transacción se puede observar, que el tiempo transcurre, entre el momento en la cual se inicia hasta cuando se termina; a excepción cuando se realiza de contado (o en la misma fecha).



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El tiempo que transcurre se puede medir en diferentes unidades, dias, semanas, meses, trimestres, semestres y años, siendo estos los más frecuentes. Ahora entraremos a considerar en forma genérica el tiempo y decimos que transcurre en períodos entendiéndolo como el número de veces que la unidad de tiempo se repite (o esta contenida). Así, si realizamos una negociación desde el primero de enero hasta el treinta de septiembre, el tiempo comprendido lo podemos expresar en diferentes períodos, dependiendo de la unidad de tiempo deseado. Observar:

Si la unidad es días, tenemos N = 270

Si la unidad es semanas,tenemos N = 36

Si la unidad es meses, tenemos N = 9

Si la unidad es semestres, tenemos N = 1.5

Si la unidad es años, tenemos N = 0.75

En el cuadro anterior vemos que el número de períodos (llamado N), puede tomar valores enteros, fraccionarios y menores o mayores que la unidad. Definiciones Interés: es el precio que se paga por el uso del dinero que se toma en préstamo durante un período de tiempo determinado. Puede definirse también como la utilidad o ganancia que genera un capital o como el rendimiento de una inversión. Se distingue con el símbolo I. Valor Presente: es la cantidad de dinero que se toma o se entrega en préstamo, se denomina igualmente capital o principal, se simbolizará VP. Valor Futuro: es el valor presente más el interés. Se representa por VF. Por definición, VF = VP + I. Periodo de Liquidacion de Interés: es el intervalo de tiempo durante el cual el principal gana interés. Los períodos pueden ser diversos (diarios, semanal, mensual, trimestral, semestral, anual,etc). El número de períodos se representa con, N. 1.1.4 Tasa de Interés Es la relación entre el interés y el valor presente. Generalmente se expresa en porcentajes. Se indica con:



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ip. 100*VPIip =

La notación, ip, significa: “Tasa de Interés Periódica”. En ella, el subíndice p, que representa la periodicidad, tiene gran importancia, puesto que siempre indicará que, en cualquier problema de Matemática Financiera, se debe poner a concordar el período de aplicación de la tasa de interés dada con el período en que se halla dividido el tiempo total de la operación financiera, antes de aplicar algunas de las fórmulas utilizadas en el curso, así por ejemplo: si los períodos definidos son meses y la tasa dada es anual, se debe transformar, ésta, en una tasa mensual antes de iniciar la aplicación de fórmula alguna; si los períodos son semestrales y la tasa es mensual, previamente, la tasa mensual debe convertirse en una semestral. Los métodos indispensables para realizar las conversiones requeridas lo veremos en clases posteriores. Lo anterior se resume en la siguiente Regla Fundamental: El primer paso del proceso de solución de todos los problemas de Matemáticas Financieras, debe ser el de poner en concordancia el período de aplicación de la tasa de interés con el período en que se halla dividido el tiempo total de la operación financiera. Las variables hasta aquí definidas (I, VP, VF, N, ip ), constituye el fundamento de la Matemática Financiera. Se observará, luego que las fórmulas para Interés Simple y Compuesto con algunas excepciones, son funciones de estas variables. 1.1.5 Equivalencias Entramos a estudiar otro fundamento de la Matemáticas Financieras. Observamos en el ejemplo que para nosotros es indiferente $200.000 de hoy a $260.000 al finalizar el año, ($200.000 de préstamo + $60.000 de interéses), teniendo una tasa de interés del 30% anual. En éste ejemplo, aparece la equivalencia entre estos dos valores de distintas magnitudes y en fechas diferentes, pues tiene el mismo efecto económico. Observemos que para que exista equivalencia debemos tener definida la tasa de interés con la cual se está realizando. Si cambia la tasa de interés ya no se conserva (no permanece la equivalencia) este concepto de equivalencia, unido al



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del valor del dinero con respecto al tiempo, son las bases de las Matemáticas Financieras, conceptos estos que serán utilizados en todos los problemas. Así, cuando estamos interésados en cambiar una obligación de hoy por un conjunto de otras en el futuro; estamos planteando la equivalencia entre diferentes valores en fechas distintas. Es el caso cuando un bien lo compramos a crédito; allí, estamos haciendo equivalente el valor de hoy (de contado) el conjunto de pagos futuros. 1.1.6 Líneas de Tiempo y Valor Existen técnicas apropiadas para la solución de problemas, cada una orientada hacia un caso particular; una de ellas es la representación gráfica que en nuestro caso la denominaremos como Líneas de Tiempo y Valor. Que tiene como objetivo representar gráficamente la información del problema, sus datos, a un diagrama que nos permite visualizar que variables conocemos y controlar la solución, variable a calcular; dado el grado de dificultad de los problemas que a considerar, lo cual van aumentando, se hace indispensable acudir a su representación gráfica. La representación de las Líneas de Tiempo, la iniciamos trazando una línea horizontal que nos muestra el tiempo que dura la transacción, a esta línea la dividiremos en el número de unidades de tiempo, de acuerdo a la información del problema o sea que vamos a trabajar en períodos. Si tomamos el ejemplo anterior la línea de tiempo será dividida en meses, así: Hasta aquí hemos tenido en cuenta únicamente el tiempo; incluyamos los valores diferenciando entre un ingreso (recibimos dinero) y un egreso (efectuamos un desembolso). Para efectos de la línea de tiempo y valor vamos a considerar la parte superior para los ingresos, representandolo con una flecha hacia arriba y la parte inferior para los egresos representandolos con flechas hacia abajo y denotaremos con líneas verticales y longitudes proporcionales a las magnitudes de las operaciones.

00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1100 1111 1122



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Ejemplo El primero se abril, recibo en prétamo $200.000 de un banco Comercial y me comprometo a cancelar con cuatro cuotas una cada trimestre, por valor de $60.000. Hagamos su representación gráfica con líneas de tiempo y valor Solución Como la negociación dura un año, cada trimestre ocurre un pago; debemos trazar una línea horizontal dividida en 4 períodos (trimestres). El período cero equivale a la fecha de hoy (1º de abril), el período uno corresponde al 1º de julio, el segundo período a 1º de octubre, el tercero el 1º de enero y el cuarto el 1º de abril. Ahora Consideremos los Ingresos y Egresos: Nosotros recibimos $200.000 luego se debe considerar como un ingreso, las 4 coutas con que nosotros vamos a cancelar corresponde a egresos; gráfiquemos teniendo en cuenta la fecha (o período) en el cual se realiza: El gráfico refleja que aquí estamos cumpliendo con los principios a los cuales nos hemos referido, los cuales dicen que a cada operación, además de conocer por cuánto se realiza, tambien debemos saber su fecha, o sea cuándo. Tambien se afirma que a la tasa de interés cobrado por el banco, es equivalente para nosotros recibir $200.000 hoy a cambio de 4 pagos cada uno en trimestres posteriores de $60.000 cada uno.

$$220000..000000

TTrriimmeessttrreess (($$6600..000000))

00 11 22 33 44



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Punto de Vista del Banco 4 Como complemento podemos entrar a discutir el mismo problema, pero ahora planteado desde el punto de vista del banco. Aplicando el mismo proceso, observamos que el Banco tiene hoy un egreso de $200.000 y a cambio recibe durante los próximos cuatro primeros trimestres la suma de $60.000. Representación gráfica Como norma de trabajo, se recomienda a los alumnos, en que una vez tenga el enunciado del problema, traslade los datos a un diagrama de línea de tiempo. 1.1.7 Transacciones Formas de Realizarlas Toda persona natural o jurídica se ve en forma continua en la necesidad de adquirir bienes, los cuales conllevan a que se encuentre en la decisión de comprar o arrendar. Si considera la opción de compra, la forma como realice los pagos, puede variar desde los establecidos por la costumbre propia de la actividad comercial o por una modalidad nuestra de acuerdo con una situación particular. Al analizar, las modalidades que actualmente tenemos, se presentan: Contado: cuando efectuamos la totalidad del pago en el momento de recibir el bien. Credito: Se pueden presentar las siguientes modalidades:

$$ 6600..000000 $$ 6600..000000 $$ 6600..000000 $$ 6600..000000

$$ 220000..000000



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• Con cuota inicial (CI) y el saldo en N cuotas iguales. • Con cuota inicial y el saldo en un sólo pago (tambien conocido por 2

contados). • Con cuota inicial y el saldo en cuotas períodicas con dobles pagos en

determinadas fechas. • Sin cuota inicial y el valor del saldo en cuotas iguales

CCII

nn

00 nn

CCII

CI

nn

00 nn



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• Sin cuota inicial y el saldo en cuotas periódicas que aumentan el mismo valor en cada una

Proceso de Comprensión y Análisis Construir los diagramas de líneas de tiempo y valor para los siguientes problemas: • Hoy recibo $450.000 que me comprometo a cancelar con 4 cuotas trimestrales

de $120.000, siendo la primera dentro de 3 meses. Solución Como los pagos los vamos a realizar cada 3 meses, es conveniente utilizar el trimestre como unidad de período. Como hoy recibo $450.000, estos corresponden a un ingreso en la fecha, o sea, en el período cero. Las 4 cuotas trimestrales de $120.000, cada una corresponde a egresos nuestros y que ocurren dentro de un período (o sea 3 meses), la primera cuota y luego cada trimestre (cada período) una cuota. Representación gráfica Los ingresos los graficámos hacia la parte superior, y los egresos hacia la parte inferior vamos a tener la siguiente grafica:

$$445500..000000

$$112200..000000 $$112200..000000 $$112200..000000 $$112200..000000

00 nn



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El diagrama de líneas de tiempo y valor muestra que la última cuota ocurre en el período 4, esto es, dentro de 12 meses término de cancelar la deuda. • Por la compra a crédito de un electrodoméstico que tiene un valor de contado

igual a $210.000, me exigen el 10% de cuota inicial y el saldo lo puedo cancelar con 12 cuotas mensuales cada una por valor de $18.500

Solución Conocemos que el electrodoméstico tiene un valor en la fecha, igual a $210.000, lo cual significa que si hoy recibo el electrodoméstico, es equivalente a obtener un ingreso (hoy) por valor de $210.000. Esto es independiente de si lo compramos de contado o a crédito. La forma de pago me define los egresos (desembolsos) que debo hacer en el futuro. El diagrama de líneas de tiempo y valor muestra que la última cuota ocurre en el período 4, esto es, dentro de 12 meses término de cancelar la deuda. Como los pagos periódicos van a ser mensuales, es conveniente definir el período en meses. Veamos los egresos

- La cuota inicial es del 10% de $210.000, luego hoy debo hacer un pago de ($210.000 * 0.10)=$21.000.

- Las 12 cuotas mensuales cada una por valor de $18.500. Aun cuando no lo define explícitamente el enunciado, fácilmente podemos considerar que la primera cuota será dentro de un mes y así continuaremos hasta cancelar la número 12.

Representación gráfica:

CCuuoottaa == $$1188..550000

$$221100..000000 -- $$2211..000000

11 1122



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• Deseo vender un local en un centro comercial por $4.180.000 de contado o a crédito de acuerdo con el siguiente plan: Cuota inicial del 35 %, saldo en 5 años cancelando $70.000 mensuales, más cuotas extras cada 6 meses por valor cada una de $250.000

Solución Si vendo el local, es igual a entregar en la fecha un equivalente de $4.180.000, que es su valor, luego este sería el valor del egreso. A cambio voy a recibir:

- La cuota inicial igual al 35 %, o sea, que hoy tengo un ingreso igual a $1.463.000*($4.180.000*0.35).

- El saldo en 5 años con cuotas mensuales de $70.000 cada una. En total número de cuotas es 5 * 12 = 60.

- Las cuotas extras de $250.000 cada 6 meses, luego en total son 2 * 5 = 10 cuotas.

Al pasar ésta información al diagrama de líneas de tiempo,tenemos:

$$11..446633..000000

$$225500..000000

$$7700..000000

$$44..668800..000000

6600 66 1122

$$225500..000000 $$225500..000000



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El estudiante puede observar que hemos utilizado un artificio al graficar los 60 períodos, recurriendo a la interrupción intermedia, con lo cual queremos mostrar que continua lo mismo, a lo mostrado al iniciar y al finalizar la línea de tiempo. Llamamos nuevamente la atención del estudiante en la correcta aplicación del concepto del valor del dinero en el tiempo. Utilicemos los problemas 1, 2, 3 que acabamos de graficar. En el problema 1, nosotros no podemos afirmar que cancelamos el total de $480.000, puesto que estaríamos sumando pagos de diferentes fechas. En el problema 2, tampoco podemos afirmar que cancelamos por el saldo (12*18.500)=$222.000, por la misma razón anterior, y En el problema 3, no podemos decir que recibimos por el saldo:

60 cuotas de $70.000 = $4.200.000

cuotas de $250.000 = $2.500.000

Un total de $6.700.000 ¿Cuánto cancelamos en los problemas 1 y 2? y ¿Cuánto recibimos en el problema 3?. Lo aprenderemos a calcular en las unidades siguientes; por ahora, lo importante es saber que estas sumas no la podemos efectuar. Autoevaluación • Almacen “La Piñata” negocea con la fábrica de juguetes “El Niño” el 1º de

agosto del presente año, $2.000.000 en productos navideños, los cuales espera obtener como producto de sus ventas unos ingresos de $1.500.000 el 15 de Diciembre y de $1.900.000 el 31 de diciembre del mismo año.

- Hallar el número de períodos entre la compra y la primera venta, expresados en: Dias, Semanas, Quincenas, Meses, Trimetres.

- Hallar el número de períodos entre la fecha de compra y la venta, expresado en: Dias, Semanas, Meses, Semestres, Años.

- Hallar el numero de periodos entre la primera y segunda venta, expresados en: Días, Semanas, Meses.

-- Graficar en un diagrama de tiempo y valor la transacción.



19

• En el año de 1994, febrero 10 compre un vivienda usada por valor de $12.000.000, a los dos meses más tarde le efectue algunas reparaciones menores que ascendieron a $1.200.000 el 15 de noviembre del mismo año, la vendi y la cancelaron conforme al siguiente acuerdo:

Cuota inicial de $5.000.000 y 3 cuotas cada una por valor de $3.000.000 a recibir a 60,90 y 120 días, despúes de la venta.

- Hallar el número de periodos entre la fecha de compra y la venta, expresando en: Días, Semanas, Meses, Semestres, Años,

- Hallar el número de peúiodos entre la fecha de las reparaciones y el último pago, expresados en: Meses, Bimestres, Trimestre, Semestres, Años.

• Si usted comienza a ahorrar y efectúa cinco depósitos de $50.000 por año en

una cuenta que paga el 24% de interés. ¿Cuánto dinero se habrá acumulado inmediatamente después de haber hecho el último pago?. Elabore el diagrama de tiempo y valor.

• Supongamos que usted quiere hacer un depósito total de $50.000 hoy en una

cuenta que paga el 18 % de interés anual y usted se propone retirar una cantidad final de año de $10.000 durante cinco años, a partir del año entrante. Al final del sexto año, piensa cerrar la cuenta retirando los fondos restantes. Defina las variables y representelas gráficamente.

• La Compañia “El ambiente” invirtió $1.500.000 en un nuevo compresor de

aire hace siete años. El ingreso anual del compresor era de $350.000. Durante el primer año se gastaron $30.000 de mantenimiento y este costo aumento cada año en $10.000. La compañía piensa vender el compresor con fines de recuperación al final del del año próximo (año 8) en $300.000. Represente gráficamente la transación y elabore una tabla donde especifique el comportamiento de los flujos.



20

UNIDAD 2 Interés Simple

Horizontes • Calcular el valor presente equivalente a un valor futuro.

• Calcular los interéses causados en una transacción comercial o financiera.

• Calcular los valores relacionados en las ecuaciones de equivalencia.

• Utilizar las tablas para hallar el tiempo entre fechas.

• Desarrollar habilidades y destrezas para solucionar problemas comerciales y financieros bajo la modalidad de interés simple.

• Hallar los valores de los diferentes elementos que conforman las operaciones que se efectúan con la modalidad de interés simple.

• Identificar el interés simple y sus variantes.

• Diferenciar las variables que intervienen en el cálculo del interés simple.

• Identificar los conceptos matemáticos de valor futuro y valor presente.

• Calcular el valor futuro equivalente a un valor presente. Núcleos Temáticos y Problemas Definiciones

Equivalencia entre Valor Presente y el Valor Futuro

Cálculo del Valor Presente

Cálculo de la Tasa de Interés

Cálculo del Tiempo de una Transacción

Ecuaciones de Equivalencia

Interés Simple Exacto y Comercial



21

Procesos de Información 2.1 DEFINICIONES Se efectua una operación con Interés Simple cuando durante todo el tiempo que dura la transacción solo el capital genera interéses, independiente de si estos se retiran (se cancelan) o no. El valor al finalizar la transacción sera igual al capital , en el caso de que se retiren los interés o será igual al capital , más la suma de los interéses periódico causados y no retirados. Se observa como su principal caracterisitica es que el capital permanece invariable y, por tanto , es la misma cantidad la que genera los interés. Ejemplo Se hace un prestamo de $1000, al 35% anual. Que interés simple anual se debe pagar por dicho prestamo al finalizar el año’ Solución. Representación gráfica, Con base en la definición, el interés que debe pagarse en un año será:

350$10035*000.1 ==I

Este interés, se obtuvo al multiplicar el capital o valor presente por la tasa de interés. Lo cual se puede generalizar con la siguiente fórmula:

ipVPI *=

II ==??

$$11..000000

II == 3355%%

11



22

Sin embargo, esta fórmula sólo permite calcular el interés para un período. Si el capital continua en préstamo, en cada período, deberá pagarse idéntica suma como se ilustra para el ejemplo con la siguiente línea de tiempo: Se puede observar, que el interés devengado, en los 2 primeros años, es igual a:

700$2*350$ ==I Así mismo para N períodos, el interés será:

NipVPI **= Donde; interés de un período ipVP *= Con esta fórmula y las presentes definiciones, se puede desarrollar otra fórmulas y determinar la manera de calcular cada una de las variables. Valor Presente (principal o presente): es el valor de un bien o de una obligación medida en pesos de hoy, o sea en el momento en que iniciamos la operación. Lo denominamos VP. Valor Futuro (monto): es el valor de un bien o de una obligación, medida en pesos en una fecha posterior, la cual estará n períodos adelante, lo llamomos VF. 2.2 EQUIVALENCIA ENTRE VALOR PRESENTE Y EL VALOR FUTURO Recordar que ya estudiamos el concepto de equivalencia, pues bien, aqui se iniciará su aplicación, la cual será permanente durante todo el curso.

VVPP == $$11..000000

11 22 NN--11 NN

II==33550000 II==335500 II==335500 II==335500



23

Simbología:

VP =valor en pesos que recibimos hoy.

VF =valor en pesos de nuestra obligación dentro de n períodos (o sea el valor a cancelar en el futuro)

N = número de períodos.

ip = tasa de interés simple periódica. Es importante que el estudiante tenga en cuenta la relación existente entre ip = la tasa de interés simple periódica y m = el número de períodos. Puesto que en todas las expresiones con que vamos a trabajar, estos dos parámetros deben corresponder a las mismas unidades de tiempo (períodos). Así, si tenemos que la tasa de interés es mensual, esto nos obliga a expresar a m como el número de meses, a su vez, si la tasa de interés es anual debemos expresar m como el número de años. Pero no confundirlo con N = n * m , que consiste en que n es número de años y m el número de meses en que se pagan o se reciben interéses. Esta observación es fundamental y debemos tenerla presente cada vez que vayamos a realizar un cálculo. Dibujemos un diagrama de las líneas de tiempo para este caso. Hoy vamos a recibir $VP luego son ingresos y en el futuro (en el período N), vamos a cancelar $VF luego es un egreso, entonces. Nuestro interés ahora, radica en hallar el valor futuro (VF) conociendo la tasa de interés periódica, el número de períodos y el valor de la deuda (valor presente). Al finalizar el 1er período tenemos la obligación: VP + ipVP Al finalizar el 2º.período tenemos la obligación: VP+ipVP+ipVP = VP+2ipVP

$$VVPP

$$VVFF

11 NN



24

Al finalizar el 3er período tenemos la obligación: VP+2ipVP+ipVP = VP+3ipVP Y continuando vemos que cada período se aumenta en ip, de donde observamos que al llegar al período N vamos a tener VP + NipVP Luego el valor de VF = VP + Nip VP, al factorizar VP, es:

)*1( NipVPVF += La anterior expresión, afirma que el valor futuro VF es igual (o equivalente) al producto del valor presente (principal) VP *(1 + Nip), lo cual significa que económicamente tiene igual efecto el recibir $VP hoy o recibir $VF dentro de N períodos, cuando hacemos la transacción a la tasa de interés simple por período ip. Ejemplo Hallar el valor a cancelar dentro de 10 meses, por un préstamo de $80.000 recibido el dia de hoy, si la tasa de interés simple es de 1.5% mensual. Solución Contruyamos el diagrama de líneas de tiempo; Identifiquemos la información del problema, con los parámetros que conocemos:

VP = $80.000

ip = 0.015 mensual

N = 10 meses Aquí observamos que tanto la tasa de interés como el tiempo (períodos) están dados en las mismas unidades (meses).

VVPP==8800..000000

11 1100

VVFF ==??



25

VF=? valor a conocer Pero sabemos que: VF = VP( 1 + Nip) entonces reemplazamos VF = $80.000 (1 + 10*0.015) = $92.000 Aquí estamos afirmando que $80.000 de hoy son equivalentes a $92.000, dentro de 10 meses, cuando la tasa de interés simple es del 1.5% mensual. Como se puede observar, si cambiamos la tasa de interés, la equivalencia sería con otros valores, ya no igual al calculado anteriormente. Así, si el interés es ahora el 3% mensual tenemos que VF = $80.000 (1 + 10 *0.03) = $104.000 Ejemplo Hallar cuánto debemos cancelar al finalizar el año, si el 1º de enero nos prestan $410.000 cobrándonos una tasa de interés simple anual del 36%. Solución Representación gráfica Se conoce cuánto nos prestan y la tasa de interés. Nos preguntan el valor a cancelar, lo cual es igual a la suma de la cantidad prestada, más los interéses causados en el año. Si presentamos esta información por medio de ecuaciones, será:

Cantidad a Cancelar = Cantidad Prestada + interéses Reemplazando tenemos: Cantidad a Cancelar = $410.000 + interéses

VVPP == $$441100..000000

11

VVFF == ??



26

Pero los interéses: I = ip*VP I = (0.36)(410.000) = $147.600 Reemplazamos: Cantidad a Cancelar = $410.000 + 147.6000 = $557.600 Se sugiere al estudiante, que compruebe este resultado, utilizando la expresión:

VF = VP (1 + Nip)

2.2.1 Otra Forma de Hallar la Fórmula del Valor Futuro Por definición: VF = VP + I y como I = VP*ip*N Luego, VF = VP + VP * ip * N Se factoriza VP, )*1( NipVPVF += Ejemplo Hallar los valores futuros sucesivos de una deuda de $500.000, en los primeros cinco años con acumulación de interéses al final de cada uno de los años y a una tasa de interés del 24% anual.

Año 0:

Año 1: VF = $500.000 (1 +0.24 * 1) VF = $620.000

Año 2: VF = $500.000 (1 +0.24 * 2) VF = $740.000

Año 3: VF = $500.000 (1 +0.24 * 3) VF = $860.000

Año 4: VF = $500.000 (1 +0.24 * 4) VF = $980.000

Año 5: VF = $500.000 (1 +0.24 * 5) VF = $1.100.000

VVPP==$$550000..0000

11 22 33 44 55

VVFF==?? VVFF==?? VVFF==?? VVFF==?? VVFF==??



27

2.3 CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE En algunos casos, nosotros conocemos el valor futuro y deseamos hallar el valor presente: en éste caso nos basamos en el mismo análisis anterior y partimos de la expresión VF = VP (1 + Nip), solo que el valor a hallar es el valor presente VP y para ello, despejamos el valor de VP, dividiendo la expresión entre (1 + ipN) la cual nos da:

)*1( NipVFVP

+=

Ejemplo Se conoce por medio de un documento que nos comprometimos a cancelar después de año y medio un valor de $109.000, con una tasa de interés simple es del 28% anual. Hallar el valor inicial de la obligación. Aqui tenemos que VF=$109.000, ip= 0.28 anual, luego el tiempo lo debemos expresar en años, entonces N=1.5 años

Sabemos que: )*1( Nip

VFVP+

=

56,760.76$)42,01(

000.109$)28,0*5,11(

000.109$=

+=

+=VP

2.4 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS En los apartes anteriores, aprendimos el cálculo del valor futuro, conociendo la tasa de interés periódica, el valor presente y el número de períodos.

VVPP==??

11 aaññoo 11..55 aaññooss

VVFF==$$110099..000000



28

También aprendimos a calcular el valor presente a partir del valor futuro, la tasa de interés periódica y el número de períodos. Resumiendo lo anterior, lo obtendremos así: Desconocido )*1( NipVPVF +=

Conocido )*1( Nip

VFVP+

=

Observemos que podemos calcular un valor desconocido a partir de otros 3 conocidos. Pues bien, de los 4 parámetros que intervienen en estas expresiones [VF, VP, ip, N] podemos calcular uno de ellos si conocemos los 3 restantes. O sea que podemos calcular la tasa de interés simple periódica si conocemos los otros 3 parámetros [VF, VP, N]. Para su cálculo tomamos una de las expresiones anteriores (que podrá observar el estudiante, son fundamentalmente las mismas) y por medio de la aplicación de los principios algebráicos, vamos a tener:

)*1( NipVPVF += )*1( NipVPVF

+= NipVPVF *1 =−

De aqui podemos despejar la tasa de interés simple periódica y tenemos:

)1(*1−=

VPVF

Nip

Por medio de ésta expresión, podemos calcular la tasa de interés simple periódica, conociendo el valor presente, valor futuro y el número de períodos. Al igual como se explicó en el apartado anterior, se debe cumplir la relación entre la tasa de interés periódica (ip) y el número de períodos (N). Así cuando reemplazamos en la anterior fórmula a N años, entonces vamos a obtener la tasa de interés simple anual y cuándo reemplazamos a N por el número de meses, esto nos define que la tasa de interés periódica será mensual. Ejemplo Hallar la tasa de interés simple periódica que obtendremos cuando invertimos $10.000 y al cabo de 11 meses podemos retirar $11.650.



29

Solución Datos información conocida:

Los $10.000 invertidos correspondiente a un valor presente, luego; VP = $20.000

Los $24.650 que podemos retirar representa el valor futuro, luego; VF = $24.650

El tiempo de la negociación es de 11 meses, luego; N = 11 meses Para hallar la tasa de interés tenemos:

Al reemplazar tenemos: 021136,0)12325,1(*111)1

2000024650(*

111

=−=−=ip

Como al reemplazar el valor de N lo hicimos en el número de meses, esto nos define que la tasa calculada es mensual. Entonces ip = 0.021136 mensual o expresada en forma de porcentaje tenemos: ip = 2.113% mensual Ejemplo Se compra un lote de terreno por valor de $7.000.000 esperando venderlo dentro de un año en $9.000.000. ¿Cuál es la tasa de interés que rinden los dineros allí invertidos? Solución Datos

VP= $7.000.000

VF= $9.000.000

N= 1 año

i= ?

La tasa de interés simple: 2857,0)1000.000.7000.000.9(*

11

=−=ip

Que teniendo en cuenta que reemplazamos a N por su valor en años, esta tasa es anual y si la expresamos en forma porcentual tenemos: i = 28,57% anual.

)1(*1−=

VPVF

Nip



30

2.4.1 Otra Forma de Cálculo de la Tasa de Interés La tasa de interés de una transacción también se puede hallar partiendo del supuesto que conocemos el interés devengado durante todo el tiempo que dure la transacción financiera. Fórmula: NipVPI **= Conociendo [VP, N, I], tenemos:

La tasa de interés periódica NVP

Iip*

=

Ejemplo Por un depósito de $500.000, la corporación Financiera de Occidente liquida $10.000 de interés mensual. ¿Qué tasa de interés reconoce dicha corporación?. Solución¨: Datos

VP=$500.000

ip=?

I=$10.000

Fórmula: NipVPI **=

Realizando la conversión: NVP

Iip*

=

Datos I = $10.000

VP = $500.000

N = 1

Se reemplaza, %202,01000.500

000.10==−=ip Que es la tasa mensual reconocida por

la C.F.O.



31

2.5 CÁLCULO DEL TIEMPO DE UNA TRANSACCIÓN Número de Períodos En la anterior sección estudiamos que a partir del conocimiento de 3 parámetros, podemos hallar el restante. Es asi que si conocemos el valor presente, el valor futuro y la tasa de interés, podemos hallar el número de períodos. Debemos observar que se cumple la relación de concordancia entre la tasa de interés y el número de períodos, puesto que si utilizamos la tasa de interés anual, el valor de N será expresado en años. Tomando la expresión:

)*1( NipVPVF +=

obtendremos :

)1(*1*1)*1( −===>=−==>+=VPVF

ipNNip

VPVFNip

VPVF

Ahora lo que nos interésa es hallar el número de períodos,entonces:

)1(*1−=

VPVF

ipN

Por medio de esta expresión podemos calcular el número de períodos, conociendo el valor futuro, el valor presente y la tasa de interés. Ejemplo Una cuenta de ahorros reconoce el 3% mensual de interés simple. Depositando hoy $280.000. ¿Cuánto tiempo debo esperar para retirar $448.000 ?. Solución El depósito inicial, es el valor presente, luego: VP = $280.000

El valor que deseo retirar significa que es el valor futuro: VF = $448.000

La tasa de interés es : ip = 0.03 mensual



32

Conocemos que la expresión para calcular el número de períodos es:

)1(*1−=

VPVF

ipN

Que al reemplazar tenemos:

períodosN 20)1000.280000.448(*

03,01

=−=

Como utilizamos la tasa de interés mensual, este número de períodos corresponde a meses. Luego N = 20 meses, o sea, que debemos esperar año y ocho meses para poder efectuar ese retiro. 2.5.1 Otra Forma de Calcular el Número de Periodos Partiendo del concepto que conocemos el interés que se va a devengar, durante el período de la transacción, tenemos: Interés devengado: NIPvpIóVPVFI **=−−−=

Conociendo, (I, ip, VP), tenemos: ipVPIN*

=

Ejemplo La empresa Noel emitió bonos en 199x, con una tasa de interés del 23% anual y liquidación mensual de interés. Si María Cristina Olaya compró un bono de $5.000 y obtuvo $5.750 por concepto de interés en todo el plazo. ¿Cuál fué el período de redención, en años, del bono?. Solución I = $5.750

VP = $5.000

ip = 23%



33

Representación gráfica

Se reemplaza; añosN 523,0*000.5$

750.5$==

Que es el plazo de redención del bono. Período de redención es el tiempo entre la fecha de compra y la de vencimiento del bono. 2.6 ECUACIONES DE EQUIVALENCIA Con el nombre de ecuaciones de valor, conoceremos aquella transacción en la cual en una fecha dada, se van a cambiar un un conjunto de valores por otro conjunto, haciéndolo a interés simple. La fecha en la cual se determina la equivalencia se denomina fecha focal. Siendo ésta la fecha a donde debemos trasladar todos los valores, aplicándoles a cada uno su correspondiente equivalencia. Al afirmar que se aplica el principio de equivalencia, estamos indicando que debemos llevar a ella los valores equivalentes. Así, si los valores están dados antes de la fecha focal entonces debemos llevarlos a su valor futuro. Si es una fecha posterior a la fecha focal, se debe trasladar a ésta por medio del valor presente. Son de gran utilidad éste tipo de ecuaciones de valor cuando tenemos necesidad de refinanciar obligaciones, cambiar planes de pagos, etc, o en general, deseamos realizar diferentes transacciones a interés simple, en una misma fecha (llamada fecha focal).

VVPP==55..000000

NN==??

II==55..775500



34

AAbbrriill 11ºº..

Ejemplo Asumanos que nosostros tenemos 3 documentos para cobrar así: $50.000 para el 1º de mayo, $95.000 para el 1º de junio y $250.000 para el 1º de julio y dadas nuestras necesidades de efectivo, nos vemos en la opción de entregarlos a un intermediario financiero que como producto de sus actividades, obtiene rendimiento del 3% mensual. ¿Cúanto dinero esperamos recibir si la negociación la ealizamos el 1º de abril. Solución Los 3 documentos por cobrar son:

$50.000 el 1º de mayo

$95.000 el 1º de junio

$250.000 el 1º de julio La fecha focal 1º de abril y la tasa de interés ip = 0.03 mensual. Observemos que vamos a cambiar 3 ingresos en las fechas dadas por recibir el 1º de abril, que es la cantidad que vamos a determinar, y lo llamamos $x. El diagrama de líneas de tiempo para los 3 documentos: Y vamos a hallar el valor equivalente de $x en 1º de abril, así: Planteamos la ecuación de valor llevando todos los valores equivalentes a la fecha focal (1º de abril). Como nuestros pagos se efectúan en fechas posteriores a la fecha focal, debemos trasladarlos a los meses anteriores; por tanto los pagos se consideran valores futuros y debemos hallar su valor presente equivalente. La ecuación que nos permite hallar el valor de X la planteamos así:

MMaayyoo 11ºº JJuunniioo 11ºº.. JJuulliioo 11ºº..

$$5500..000000 $$9955..000000 $$225500..000000



35

X=VP 1ª Obligación + VP 2ª Obligación + VP 3ª Obligación Teniendo en cuenta que todos estos valores presentes deben calcularse para el 1º de abril.

Sabemos que: )*1( Nip

VFVP+

=

Hallemos el valor presente equivalente para cada una de las obligaciones. • Primera obligación

VF = $50.000 que debemos hallar su equivalente del 1º de mayo al 1º de abril.

N = 1 mes

ip = 0.03 mensual

al reemplazar, 69,543.48$)03,0*11(

000.50=

+=VP

• Segunda obligación

VF = $95.000 que son del 1º de junio, debemos hallar su equivalente en el 1º de abril.

N = 2 meses ip = 0.03 mensual

Entonces, 64,622.89$)03,0*21(

000.95$=

+=VP

• Tercera obligación

VF = $250.000 del 1º de julio y hallar su euivalente al 1º de abril.

N = 3 meses ip = 0.03 mensual

entonces, 79,357.229$)03,0*31(

000.250$=

+=VP

Ya tenemos los valores presentes equivalentes de todas las obligaciones, en el 1º de abril, luego reemplazamos en: X = $48.543,69 + $89.622,64 + $229.357,79 = $367.524,12



36

Este resultado indica que nosotros debemos recibir el 1º de abril $367.524,12 a cambio de 3 obligaciones futuras y estaremos reconociendo una tasa de interés del 3% mensual al intermediario financiero. Ejemplo Con la misma información del problema anterior, hallar el valor del pago, pero tomando como fecha focal el 1º de junio, considerando que no hemos podido hacer efectiva (cobrar) la primera obligación. Solución Veamos el diagrama de línea de tiempo Al plantear la ecuación de valor para el 1º de junio observamos que el pago de $50.000 del 1º de mayo es un valor presente respecto de su valor equivalente junio (en fecha posterior) o sea que debemos pasar de un presente a un futuro. Con los pagos de junio y julio son valores futuros con respecto a la fecha focal del 1º de junio. Entonces debemos calcular su valor presente equivalente. La ecuación que nos permite calcular la suma X a recibir el 1º de Junio así: X=Valor Equiv.1ª Obligación+Valor Equiv.2ª Obligación+Valor Equiv.3ª Obligación

• Primera obligación

VP=$50.000

N=1(de mayo a junio),

MMaayyoo 11ºº JJuunniioo 11ºº JJuulliioo 11ºº

$$225500..000000 $$9955..000000 $$5500..000000

VVPP==??



37

ip=0.03 mensual

VF = ? el valor de junio.

Pero, VF=VP(1 + ip * N) = 50.000(1 + 1*0,03)=$51.500 • Segunda obligación

Sabemos que VF = $95.000 y al llevarlos a junio, tenemos N = 0.

VP = $95.000 . = $92.233,oo (1 + 1 * 0.03)

• Tercera obligación

Tenemos VF = $250.000 y al llevarlos a junio tenemos N=1 meses.

VP = $250.0000 = $242.718,44 (1 + 1 * 0.03)

Como todos los valores ya están expresados en valores equivalentes para el 1º de junio, podemos reemplazarlos en la ecuación, así:

X = $51.500 + $95.000,00 + $242.718,44 = $389.218,44. El anterior cálculo nos indica que el primero de junio debemos recibir $389.218,44 por nuestras 3 obligaciones. Deberá notar el estudiante que un valor puede corresponder en unos casos a un valor presente, y ese mismo en otros pueden ser un valor futuro como lo tenemos en la primera obligación que en este segundo ejemplo fue considerado como presente y el primera era futuro. En conclusión podemos decir que un valor dado será un presente, cuando deseamos trasladarlo para una fecha posterior (o hallarle su valor futuro equivalente) y será un futuro cuando deseamos hallar para una fecha anterior su valor equivalente (o calcular su presente). Representación gráfica

$$5500..000000

11ºº ddee mmaayyoo

11ºº ddee jjuunniioo

VVFF == ??



38

Para este valor de $50.000, si deseamos hallar su valor en fecha posterior entonces este será presente así:

VP = $50.000 y el valor a calcular igual a

VF = VP(1 + Nip) Pero si lo que deseamos es hallar su equivalente en fecha anterior, entonces este será un futuro VF = $50.000 y el valor a calcular será: VP = ?

)*1( NipVFVP

+= = $ 50.000

2.7 INTERÉS SIMPLE EXACTO Y COMERCIAL Hasta el momento hemos tenido en cuenta que el tiempo se expresa en años y meses y buscando la concordancia que debe existir entre tiempo y tasa de interés que se exprese en la misma unidad de medida, sin embargo en todas las transacciones comerciales y financieras no siempre es así, a veces se expresa en días, y es, lo que vamos a estudiar en este aparte y que da origen a dos formas de ver el interés simple, en interés simple exacto e interés simple comercial. Medidas del Tiempo La unidad de tiempo para las operaciones financieras y comerciales es un año que equivale a 365 días agrupados en 12 meses así: 7 de 31 días que son enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre; 4 de 30 días que son abril, junio, septiembre y noviembre; y uno de 28 días; hacen excepción a lo anterior los años bisiestos que tienen 366 días y se presentan cada 4 años; en ellos el mes de febrero tiene 29 días, las anteriores unidades miden el tiempo exacto o calendario. Año Comercial Con el fin de facilitar los cálculos, se acostumbran suponer el año de 360 días dividido en 12 mese de 30 días; esta modalidad recibe el nombre de año comercial. Equivalencia de decimales de año en días y meses: es frecuente en los problemas comerciales y financieros que el tiempo venga expresado en decimales de año y es necesario convertir los decimales a meses, días; para efectuar su conversión en el caso en que los decimales venga en año comercial se procede así;



39

• Sí es a meses se multiplica por 12

• Sí es a días por 360 En caso en el que los decimales expresen año calendario, se multiplican por 365 días. Ejemplo

2.736 años comerciales

• 2 se refieren a los años

• 0.736 es el decimal, se procede,

• 0.736 * 12 = 8.832 donde 8 es meses

• 0.832 * 30 = 24.96 donde 24 es días Respuesta: 2 años, 8 meses y 24 días Ejemplo

1.7894 años calendario

• 1 se refiere a año completo

• 0.7894 que es el decimal, se procede,

• 0.7894 * 365 = 288.131 días Respuesta: 1 año y 288 días Equivalencia de días a decimales de año. Para efectuar la conversión, primero se determina si va a ser año comercial o año calendario. Sí es año comercial, tomamos el número de días que hay entre fechas y lo dividimos por 360 días, así; Sí el tiempo es 195 días año comercial, tenemos; 195 ÷ 360 = 0.54167 año comercial Sí es año calendario, tomamos el número de días que hay entre fechas y lo dividimos por 365 días, así; si el tiempo es 278 días año calendario, tenemos; 278 ÷ 365 = 0.76164 año calendario. Cálculo del tiempo exacto entre dos fechas. Cuando se va a calcular años completos basta con indicar que son años calendarios - 365 días año calendario y 366 días años bisiestos -, pero para período menores de un año implica el



40

dispendioso trabajo de contar los días con ayuda de un calendario o utilizar una de las Tablas Financieras. Sin embargo para fines explicativos adjuntamos uno de los modelos con fines didácticos. 2.7.1 Tabla para Calcular el Número Exacto de Días entre Dos Fechas

(Años no bisiestos. No incluye el día inicial)

Ene Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334

334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244

245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214

214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183

184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153

153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91

92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30

31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365

El uso de la presente tabla en el cálculo del tiempo exacto es la siguiente:

• Conocido el mes inicial de la transacción, lo ubicamos en la columna de la izquierda que corresponde a meses.

• Conocido el mes final de la transacción, lo ubicamos en la parte horizontal y superior de la tabla.

• Seguir a lo largo de la línea del mes inicial de la transacción, hasta llegar al número exacto que está en la columna encabezada por el mes final de la transacción. Esta cantidad será el número exacto de días entre las mismas fechas de los dos meses. Por ejemplo; del 10 de febrero al 10 de noviembre, tenemos que el tiempo es, 273 días.

• Si el día en el mes final de la transacción, está después del día inicial del mes, se le agrega la diferencia al número de días de la tabla. En caso contrario, la diferencia se le resta del número de días que muestre la tabla.



41

Ejemplo Día final está antes del día inicial.

De marzo 15 a agosto 8, tenemos:

De marzo 15 a agosto 15 = 153 días

De Agosto 8 a agosto 15 = 7 días Se le resta: 153 días - 7 días = 146 días Ejemplo Día final está después del día inicial

De Abril 5 a Octubre 17, tenemos:

De abril 5 a ocutbre 5 = 183 días

De octubre 5 a octubre 17 = 12 días Se le suma: 183 días + 12 días = 195 días Por cada año completo, se le agrega 365 días. Si el período de tiempo incluye el mes de febrero que corresponde a un año bisiesto, se le agrega 1 día al número total. 2.7.2 Fórmulas Modificadas para el Cálculo del Interés Simple El efecto de que el tiempo se exprese en días exactos entre fechas, hace que se presente algunas modificaciones de forma en las fórmulas ya conocidas y da origen a los formas de interpretar y calcular el interés simple. Interés Simple Exacto Se calcula sobre la base del año de 365 días (366 años bisiesto), luego en estos casos las fórmulas quedarían así; Interés devengado:

erésanualtasafechasentreexactotiempoVPI int*)365

(* −−−−−

=

Valor futuro:

)int*365

1(* erésanualtasafechasentreexactotiempoVPVF −−−−−

+=



42

Valor presente:

Interés Simple Comercial u Ordinario Se calcula sobre la base del año de 360 días y cada mes de 30 días, luego en estos casos, la fórmula quedarían así; Interés devengado:

Valor futuro:

Valor presente:

Proceso de Comprensión y Análisis • Vendemos hoy a crédito unos muebles por valor de $250.000, con el plazo de

pagarlo dentro de 9 meses. Si el almacen cobra una tasa de interés simple del 24 % anual. ¿Cuánto dinero recibiremos en el momento de hacer el cobro?.

Solución El valor de los muebles asciende a $250.000 y se debe considerar como el valor presente, y es un egreso, luego VP = $250.000 El tiempo para la cancelación es de 9 meses, luego, N = 9 meses La tasa de interés es del 24 % anual, pero como debe haber concordancia con la expresión del tiempo, que en éste ejemplo es mensual, debemos convertirla a meses, o sea, tenemos, i = 24% que equivale a 1 año, pero el año tiene 12 meses La tasa de interés mensual sería: i := 0.24 / 12 = 0.02 ó sea 2% mensual.

erésanualtasafechasentreexactotiempoVFVP

int*365

1 −−−−−

+=

erésanualtasafechasentreexactotiempoVPI int*)360

(* −−−−−

=

)int*360

1(* erésanualtasafechasentreexactotiempoVPVF −−−−−

+=

erésanualtasafechasentreexactotiempoVFVP

int*360

1 −−−−−

+=



43

Lo que nos pregunta, el ejercicio es, cuál será el valor a recibir, en esta caso es el Valor futuro; VF = ?. Representación gráfica Aplicando la fórmula

000.295$)02,0*91(000.250)*1( =+=+= NipVPVF • El Sr. Jaime López estima que su finca puede ser negociada dentro de 4 años

por $30.000.000. ¿Cuánto debe ser lo máximo en lo cual el debe pedir por su finca, si la tasa de interés en el mercado es del 32 %.

Solución Datos

El valor de la finca dentro de 4 años es de $30.000.000, luego se debe considerar como el valor futuro, VF = $30.000.000 Tiempo durante el cual va a tener la finca es de 4 años, luego, N = 4 años La tasa de interés que rige es del 32 % anual, como debe haber concordancia con la expresión del tiempo que es forma anual, en este caso, ambos vienen expresado en la misma unidad de medida, i = 32 % tasa de interés anual

Lo solicitado en el ejemplo es el valor presente, VP = ?.

VVpp== $$225500..000000

11

99

VVFF==??



44

Representación gráfica

Fórmula: 461.538.11$)32,0*51(

000.000.30)*1(

=+

=+

=Nip

VFVP

• Un amigo tiene la suma de $3.500.000 y se encuentra ante varias alternativas

de inversión, la cual debe seleccionar la mejor, con la asesoría de Uds.:

Alternativa A: comprar de contado un terreno de engorde por $3.500.000, esperando que dentro de 3 años lo pueda vender en $4.800.000. Alternativa B: dejar éste dinero en su cuenta de ahorros, que le reconoce una tasa de interés simple anual del 28 %.

Solución • Alternativa A Comprar de contado el terreno, su valor es de $3.500.000, lo cual debe considerarse como el valor presente, luego, VP =$3.500.000 Espera venderlo dentro de 3 años, éste es el tiempo de la transacción, luego; N = 3 años Espera recibir dentro de 3 años, por la venta del terreno, la suma de $4.800.000, que se debe considerar como el valor futuro,VF = $4.800.000 En esta alternativa desconocemos la tasa de interés que se gana, por lo tanto, es la incognita a resolver.

VVPP==??

11 55

VVFF==3300..000000..000000



45

Representación gráfica Fórmula: )*1( NipVPVF +=

despejamos ip, tenemos: NVPVPVFIP

*−

=

%38,121238,03*000.500.3

000.500.3000.800.4==

−=ip

• Alternativa B

Continuar con el dinero en el Banco, los $3.500.000, que viene a ser el valor presente, VP = $3.500.000 El Banco nos paga su tasa de interés, que es el 28 % anual. • Comparando Alternativas Si comparamos la alternativa A, que nos da una tasa de interés anual del 12.38 % como ganancia, con la alternativa B, que dice que ganamos en el Banco 28%, es fácil deducir, que la mejor alternativa es la B, porque produce una tasa de interés mayor. Otra forma de resolver este problema, es comparar lo que produce la alternativa B o sea hallar el valor futuro y compararlo con el valor futuro de la alternativa y aquel que tenga el mayor valor futuro es la mejor alternativa.

VVPP==33..550000..000000

11 22 33

VVFF==44..880000..000000



46

• El 1º de abril se consignó $500.000 en una entidad bancaria que reconoce el 2.5 % de interés simple mensual. El 1º de noviembre efectuo otro depósito por valor de $200.000. ¿En que fecha puedo retirar $950.000?.

Solución Consignación efectuadas:

• 1º de abril $500.000

• 1º de Noviembre $200.000

• Tasa interés pagada por el banco forma mensual es 2.5% Representación gráfica En el gráfico nos indica que conocemos el valor futuro, VF=$950.000, pero desconocemos el tiempo en la cual sucede, por lo tanto no conocemos la fecha, o sea el valor de N. Con este fin simplificamos un poco el problema, en el sentido de hallar los valores acumulados a noviembre 1º, que vendría hacer un valor futuro. Fórmula: 500.787$000.200)025,0*71(000.500000.200)*1( =++=++= NipVPVF O sea que los $500.000 consignados el 1º de abril y los $200.000 consignados el 1º de noviembre, nos da un valor futuro de $787.500, por cuanto son pesos de la misma fecha. Datos VP = $787.500 im = 2.5 % VF = $950.000

$$220000..000000 $$550000..000000

VVFF== 995500..000000

NNoovv 11 AAbbrriill 11

NN



47

Representación gráfica Fórmula: VF = VP ( 1 + Nip) Despejamos N, tenemos,

2539,8025,0*500.787

500.787000.950*

=−

=−

=ipVPVPVFN

N = 8,2539 donde 8 son meses y los decimales se convierten a días, así; 0,2539*30 = 7 días. Respuesta A partir del 1º de diciembre se le agrega 8 meses y 7 días, lo que nos da, julio 8 del año siguiente. • Un vendedor de nuestro mercado en Pamplona, al momento de adquirir un

lote de maíz, encuentra que existen 3 alternativas:

Altenativa A: Comprarlo de contado por valor de $1.000.000 Altenativa B: Un pago inicial de $400.000 y otro dentro de 6 meses de $800.000. Altenativa C: Un pago único al cabo de 5 meses por $1.100.000.

Pero al decidir, recuerda que el gerente de su banco, le dice que si lo depósita en la cuenta de ahorros le va a rentar un interés simple del 3 % mensual, con disposición inmediata. ¿Fue buena o mala decisión?, ¿Cuánto gano?, ¿Cuánto perdió?.

NNoovv 11ºº

$$778877..550000

NN

VVFF==995500..000000



48

Para resolver, el problema, procedamos por pasos, así: Para escoger si fue buena o mala la decisión, calculamos la tasa de interés que nos cobran al escoger la Alternativa C y la comparamos con la que ganamos al dejar la plata en el banco. Y efectuamos el siguiente análisis; si nos cobran una tasa de interés mayor que la ganada por el vendedor (pagada por el banco), esto quiere decir que perdimos dinero y por ende no fue buena la decisión, si por el contrario, nos reconocen una tasa de interés mayor que la pagada por nosotros, tenemos que entre estas dos, fue buena la decisión, el mismo análisis lo haríamos con las otras alternativas. Solución Cálculo de la tasa de interés que nos cobran al elegir la Alternativa C Datos Por los datos del problema, conocemos que el valor de contado del lote de maíz, en el día de hoy, es de $1.000.000 y este valor es equivalente dentro de 5 meses a $1.100.000. O sea

VP = $1.000.000

N = 5 meses

VF = $1.100.000

ip = ? Representación gráfica Fórmula: )*1( NipVPVF +=

Despejando ip: %202,05*000.000.1

000.000.1000.100.1*

==−

=−

=ipVPVPVFip

VVPP==11..000000..000000

VVFF==11..110000..000000

55 00



49

Esto nos indica que al elegir la Alternativa C nos cobran una tasa del 2 % mensual, que al compararla con la ganada por el vendedor en el banco que es de 3 %, nos indica que la decisión es buena. Calculemos la Alternativa B y veamos cuanto nos cobra. Datos En esta alternativa tenemos, que nos cobran una valor hoy de $400.000 y un segundo pago adicional dentro de 6 meses por $800.000. Al analizar esta alternativa, vemos que lo que realmente nos da a crédito es la diferencia entre el pago de contado y la cuota inicial, o sea; (1.000.000 - 400.000 = 600.000). Estos $600.000 que viene a ser el valor presente es equivalente a $800.000 dentro de 6 meses, y a una tasa de interés mensual que es la incognita a averiguar. VP = $600.000

VF = $800.000

N = 6 meses

ip = ? Representación gráfica Fórmula: )*1( NipVPVF +=

Despejando ip: %55,50555,06*000.600000.600000.800

*==

−=

−=

NVPVPVFip

Esto significa que la tasa que estamos pagando por cancelar bajo esta modalidad es del 5.55 % la cual es mayor a la que estamos ganando en el banco del 3 %. Por lo cual si la aplicamos, la decisión es bastante mala.

VVPP==660000..000000

VVFF==880000..000000

66

IImm==??



50

• Un artículo vale $50.800 al contado. Un comprador conviene pagar $25.000 al contado y el resto a 90 días, con un recargo del 6 % sobre el precio de contado. ¿Qué tasa de interés simple anual paga ?.

El interés que se devenga en esta transacción, es lo mismo que se considera como el recargo por la venta a plazos, lo cual lo calculamos, así;

Recargo por ventas = 50.800 * 0.06 = $3.048

Solución Datos I = $3.048

VP =$50.800 - 25.000 = 25.800

N = 90 días

ip = ? Fórmula: I = VP * N * ip

Despejando ip: %26,474726,0

36090800.25

048.3*

====NVP

Iip 7.

• El 15 de febrero se firmó una letra de $780.000 con el 30 % de interés. ¿En

qué fecha los interéses serán de $92.000 ?. Datos

VP = $780.000

I = $92.000

i = 30 % anual Fecha inicial: febrero 15 N = ? fecha final = ? Fórmula: I = VP * N * ip

Despejando N: añosNVP

IN ´39316,030,0*000.780

000.92*

===



51

Convertidos a días, tenemos: 0.39316 * 360 = 141 días La fecha final será, utilizando la Tabla financieras, tenemos que el tiempo transcurrido desde 1º de enero a 15 de febrero, corresponde a 46 días más los 141 días en que se devenga interéses, nos da 187 días que ubicados en la tabla respectiva, corresponde a la fecha del 6 de julio. • Siendo la tasa de interés bancario del 28 %. ¿Qué oferta es más conveniente

por la venta de un carro ?.

Alternativa A: 6.500.000 de contado. Alternativa B: $3.000.000 al contado y el saldo en dos pagarés; el primero de $2.500.000 a 90 días y el segundo de $1.700.000 a 150 días.

Solución Datos La Alternativa A, nos sirve de referencia, para poder efectuar las comparaciones, sobre la base de los $6.500.000 Calculamos el valor presente total de la Altenativa B reduciendo los dos pagarés al día de hoy, para ello conocemos

Cuota Inicial = $3.000.000

1ª cuota a 90 días por $2.500.000

2ª cuota a 150 días por $1.700.000

tasa de interés que rige el 28 %. Representación gráfica

$$33..000000..000000 $$22..550000..000000 $$33..770000..000000

9900 115500

VVFF==??



52

50,836.858.6$)360*150*28,01(

000.700.1)360/90*28,01(

000.500.2000.000.3 =+

++

+=VP

Como el punto de es escoger el cliente que más dé, tenemos que si lo vendemos al contado recibimos $6.500.000 pero si lo vendemos a crédito y sus valores a precio de hoy, nos da $6.858.836.50, mejor la Alternativa B porque nos dan un valor mayor. • Una persona presta $300.000 el 5 de Enero de un año por el término de 120

días al 24 %; al cumplirse el plazo de la deuda recibe el dinero y sus interéses; el 5 de mayo presta la suma total recibida al 2.5 % mensual por el término de 90 días; cumplido el plazo recibe el préstamo y sus interéses. Hallar:

- El monto de los interéses recibidos durante todo el tiempo de la transacción.

- La fecha de pago del último préstamo.

- El monto a recibir en la fecha final de la transacción.

- La tasa de interés que efectivamente gano, desde la fecha inicial y final de la transacción.

Solución Datos El ejercicio comprende dos etapas. • La primera etapa está comprendida desde el 5 de enero hasta 120 días

después,

VP =$300.000

Fecha inicial: 5 de enero

N = 120 días

i = 24 % anual

VF = ? • La segunda etapa, comprende del 5 de mayo hasta 90 días después.

VP = Valor que se halla en la primera parte como VF=?

N = 90 días

i = 2.5 % mensual

VF = ?.



53

Representación gráfica • Cálculo de la Primera Parte Hallar el Valor futuro, lo que se recibe el 5 de mayo, tenemos

000.324$)360/120*24,01(000.300$)*1( =+=+= NipVPVF • Cálculo de la Segunda Parte Se presta la suma anterior el mismo día pero a 90 días con la tasa de interés del 2.5 % mensual, hallar el valor futuro. Como la tasa de interés es mensual, la pasamos a anual, ia = 0.025 * 12 = 0.30

300.348$)360/90*30,01(000.324 =+=VF

Respuestas • El monto recibido en las transacciones, es

300.48$000.300300.348 =−=−= VPVFI • La Fecha del último pago es;

- Fecha final = fecha inicial + tiempo

- Fecha final = tiempo expresado en la tabla de fecha inicial (125) más los 90 últimos días es igual 215 días, que corresponde en la tabla al 3 de agosto.

• El monto o valor futuro a recibir es de $348.300 • La tasa que efectivamente se gano, se calcula así,

$$330000..000000

EEnneerroo 55

++ 112200

VVFF==??

IImm==22,,55%%



54

%60,27276,0360/210*000.300

300.48*

====NVP

Iip

• El Sr. Rodríguez vende su vehículo Mazda y recibe $6.000.000 en efectivo;

$4.500.000 en una letra con vencimiento a 120 días y tasa de interés mensual del 3 %, pagadera al final del plazo. Como requiere del efectivo, decide proponerle a un amigo la transferencia de la letra, quien afirma que, él en cualquiera de sus negocios gana el 4 %. ¿Cuánto está en capacidad de ofrecerle el amigo?.

Solución Este ejemplo, comprende dos partes. • Primera Parte Hallar el VF de la letra o sea en su vencimiento. Representación gráfica Convertimos la tasa de interés mensual a anual: ia = 0.03 * 12 = 0.36

000.040.5$)360/120*36,01(000.500.4 =+=VF Segunda Parte Hallar el valos presente, lo que ofrece el amigo conociendo que la tasa de interés que desea ganar es el 4 % mensual y el valor de la letra al vencimiento es $5.040.000.

VVPP==$$44..550000..00000000

112200

ii==3366%%

VVFF==??



55

Representacióin gráfica

Fórmula:

)*1( NipVFVP

+=

Conocemos que la tasa de interés es mensual, la pasamos a anual: ia = 0.04 * 12 = 0.48

50,827.344.4$)360/120*48,01(

000.040.5=

+=VP

Respuesta El amigo, le ofrece por la letra al comprarla en el día de hoy, la suma de $4.344.827.50, lo que indica que esta perdiendo la diferencia entre $4.500.000 - $4.344.827.50 = $155.172.50. Autoevaluación • Calcular el tiempo exacto entre las fechas que se indica.

- De Enero 5 a Diciembre 2.

- De febrero 12 a Mayo 15 de un año bisiesto.

- De Marzo 6 a Octubre 17.

- De Abril 26 a Noviembre 26.

- De Enero 1 a Diciembre 31. • Hallar la fecha final, conocida la fecha inicial y el número de días hasta la

fecha de vencimiento.

- El día 3 de abril se firmó una letra a 150 días, hallar la fecha final.

VVFF==$$55..004400..000000

112200

VVPP==??

ii==44%%



56

- Hallar la fecha final de vencimiento de una pagaré firmado el 23 de mayo a 75 días calendario.

- La fecha de vencimiento de un pagaré firmado el 15 de octubre de 1994 a 240 días calendario.

- Una letra fué firmada el 22 de junio de 1994 con vencimiento a 150 días; el deudor lo pago el 29 de diciembre del mismo año; hallar el número de días en que se anticipó o se excedió en el pago.

- Un contrato se firmó el 10 de enero de 1994 con vencimiento dentro de 180 días, fue pagado 0.365 años calendarios más tarde: Determinar la fecha de vencimiento, la fecha de pago yla fecha en que se anticipó o se excedió en el pago.

• Determinar la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno de

los siguientes pagarés. (Utilize las tablas para las fechas).

VVaalloorr NNoommiinnaall FFeecchhaa IInniicciiaall PPllaazzoo TTaassaa

$$ 4455..000000 2222 ddee aabbrriill 55 mmeesseess 2244%% $$ 112200..000000 1144 ddee AAggoossttoo 33 mmeesseess 2288%% $$ 9977..000000 33 ddee eenneerroo 112200 ddííaass 3300%% $$ 114455..000000 2244 ddee jjuulliioo 117755 ddííaass 2266%%

• Calcular el interés Simple comercial de:

- $70.000 durante 6 meses 18 %.

- $66.000 durante 75 días al 24 %.

- $35.000 durante 120 días al 30 %.

- $80.000 al 21 % en el tiempo transcurrido entre el 5 de Febrero a 27 de Septiembre del mismo año.

- $50.000 durante 2 años al 0.1 % mensual

- $68.000 durante 3 años y 4 meses al 0.5 % mensual.

- $35.000 durante 4 años y 2 meses al 12 % semestral.

- $40.000 durante 7 meses y 15 días al 2,5 $mensual. • Calcular el interés simple exacto de:

- $56.000 durante 205 días al 30 %.

- $67.000 de el 12 de abril al 20 de octubre al 28 %.

- $100.000 durante 4 meses al 21 %.

- $240.000 de el 20 de Julio a 28 de octubre al 2 % mensual.



57

• Jaime Silva pagó $560.000 por una letra de $430.000 firmado al 5 de Enero de 1.994 con el 3 % de interés. ¿ En que fecha lo pagó?.

• El propietario de un inmueble recibe el 15 de julio de 1.994 las tres ofertas

que se describen. ¿Cuál es la mejor, si el rendimiento es de 26 %?

- $300.000 al contado y un pagaré al 20 de Noviembre por $600.000

- $500.000 a 120 días y $450.000 a 180 días

- $200.000 al contado y una letra con interéses del 24 % por $770.000 a 90 días.

• El Sr. Páez recibió una letra por valor de $500.000 que gana interéses del 21

%, el día 1º de enero a 180 días. El 15 de abril del mismo año lo ofrece al Sr. Wilsón que desea ganar el 24 %. ¿Cuánto recibe por el pagaré el Sr. Páez.?.

• Una persona solicita a un Banco un crédito a interés simple, el cual fue

concedido por valor de $300.000 a 3 meses, con el 28 % de interés. Si el crédito tiene una cláusula penal que, en caso de mora, se cobrará el 36 % por el tiempo que exceda el plazp fijado. ¿Qué cantidad paga la persona 80 días después del vencimiento?, ¿Cuál es el interés real que pago la persona por el crédito.?

• El Sr. Garcia tiene dos pagarés por cobrar, el primero dentro de 3 meses por

valor de $70.000 y el segundo por $200.000 dentro de 6 meses. A su vez, tiene un crédito que debe cancelar con 3 cuotas de $65.000 cada una dentro de 1, 3, 5 meses respectivamente. Hallar el valor del saldo (positivo o negativo) dentro de 6 meses, si la tasa de interés simple es del 2.5 % mensual.

• El primero de agosto consigno $300.000 en una entidad bancaria que

reconoce el 3 % mensual simple. El 1º de diciembre hago otro depósito por valor de $500.000. ¿En qué fecha puedo retirar $1.250.000 ?.

• ¿Cuánto tiempo debo esperar para que se dupliquen una inversión en una

corporación financiera que paga el 3 % mensual simple?. • El 1º de enero dispongo de $350.000, el 1º de junio de $450.000 y el 1º de

Agosto de $150.000. Si cada uno de estos dinero los consigno, en sus fechas, en un Banco que me paga el 2.7 % mensual simple. ¿Cuánto dinero puedo retirar el 30 de junio del año siguiente?



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• Deseo disponer, al finalizar al año de $800.000. ¿Cuánto debo depositar el 1º de Enero en una entidad bancaria que reconoce el 2.8 % mensual ?.

• Hace un año disponía en mi cuenta de ahorros la suma de $780.000 y se me

presentaba las siguientes opciones.

- Continuar con mi cuenta de ahorros que me pagan el 30 % anual.

- Comprar un saldo de mercancías por este valor, que a precios de hoy valen $1.100.000.

Después de analizarlo, me decidí por la primera opción. ¿Fue buena o mala mi decisión?, ¿Cuánto gané o perdí con respecto a la sgunda alternativa?

• La empresa donde trabajo tiene las siguientes deudas por pagar; $2.000.000

que se vencen hoy, $3.000.000 con fecha de vencimiento dentro de 4 meses, $6.000.000 que se vencen dentro de 9 meses. Y teniendo en cuenta la disponiblidad del flujo de caja, deseo hacer un pago hoy de $7.000.000 y otro dentro de 9-10 meses. ¿Cuánto debo pagar en esa fecha, si los interéses de negociación pactado son del 2.8 %?.

• El Gerente del Almacen La Garantia hace un estudio de sus cuentas por cobrar

y cuentas por pagar y encuentra lo siguiente:

Cuentas por Pagar: Factura #125: Del 1º de Marzo por valor de $3.000.000 a una tasa de interés simple del 24 % anual y para cancelarla dentro 6 meses más tarde.

Factura #126: Del 1º de Julio por valor de $2.800.000, a una tasa mensual del 2.5 % y para cancelarla a 4 meses más tarde. Cuentas por Cobrar: Pagaré #89: Valor de $3.500.000 firmado el 1º de febrero, para cancelarla el 1º de Septiembre con interés del 3 % mensual simple. Pagaré #90: Valor de $2.800.000 firmada el 1º de Enero, para cancelarla el 20 de diciembre, con interéses del 2.8 % mensual simple. Si se toma como fecha focal el 31 de julio y un interés del 4 % mensual simple. ¿Cuánto será el superávit o déficit en esta fecha, después de cobrar y pagar las cuentas ?.



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• Los Títulos de Ahorro cafetero, TAC, fueron entregados a los caficultores como parte de pago de su cosecha. Estos papeles se redimían a los 2 años, con un interés anual de 24 %, liquidable mensualmente. ¿Qué interés mensual y que interés total recibieron, $120.000 representados en estos Titulos.?.

• En siete trimestres, el Sr. Martínez recibe $200.000 de interés, producidos por

una inversión de $600.000 en Bonos de seguridad ciudadana. ¿Qué tasa de interés trimestral y anual están produciendo esos bonos.?.

• $400.000, en Bonos Pamplona, han producido $1.000.000 a Javier González,

en un período de 5 años. ¿Cuál es la tasa de interés anual y bimensual que reconocen estos bonos ?.

• En un préstamo extrabancario, José Luis acepta pagar un 5 % mensual. Si la

suma recibida es de $700.000 y al finalizar el período ha pagado, por interés, la suma $380.000. ¿Cuál ha sido el número de meses durante los cuales José Luis ha utilizado el crédito?, ¿Qué tasa de interés anual le han cobrado?.

• María José entrega sus ahorros $600.000 en depósito a término, a la

Coporación del Norte, que le reconoce el 36 % anual y le liquida el interés bimensual. Si María José guarda el interés en su casa. ¿Cuál será la suma que tendría al cabo de un año, y cuál es el interés recibido por los dos primeros bimensual?.

• Se invierte las cesantias que ascienden a $560.000 en Bonos que reconoce el

28% anual; el interés se paga mensualmente. Si este se coloca con la misma periodicidad en una caja fuerte. ¿Cuántos meses se requerirán para completar un total de $1.400.000?.

• Un Banco concede un préstamo personal por valor de $700.000 y cobra una

tasa de interés del 25 %. Si el crédito se otorga por 120 días y el interés es cobrado por anticipado. ¿Cuánto debe pagar el cliente por concepto de interés?.

• Cecilia Buenpie obtuvo un préstamo que le costaba el 28 % anual. Si ella

recibió $1.000.000 de préstamo y ha pagado otro tanto de interés. ¿Cuánto tiempo ha conservado el préstamo ?.

• Al cabo de 2 años, Juan Fernando recibe $660.000 de la Corporación

Financiera del Norte por concepto de interés, de un depósito a término que se



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encuentra al 30 % anual. ¿A cuánto ascendió el depósito y Cuál es el total recibido?



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UNIDAD 3 Descuentos Parciales

Descripción Temática

Horizontes • Conocer los conceptos y los parametros necesarios para el cálculo de los

descuentos de diferentes titulos valores. • Mediante la aplicación del principio de equivalencia aprender a:

- Calcular descuentos comerciales.

- Calcular descuentos racionales.

- Calcular descuentos compuestos.

- Calcular vencimientos medios.

- Calcular vencimientos en forma comun y en forma racional .

- Aplicar los conceptos a titulos valores ofrecios en el mercado financiero. Núcleos Temáticos y Problemáticos Descuento Simple o Racional

Descuento Bancario

Tasa de Interés Cobrada Realmente en un Crédito Bancario Proceso de Información 3.1 DESCUENTO SIMPLE O RACIONAL Muchos de los títulos valores que existen en el mercado financiero de nuestra economía se colocan a un precio inferior al valor nominal que aparece en el título. Lo cual significa que se hace un descuento sobre el valor que tendrá en la fecha



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de redención, o sea, en la fecha que se acuerde reintegrar al inversionista su dinero más el rendimiento. Ejemplo Supongamos un Título de participación que son emitidos por el Gobierno Nacional, los cuales para su venta son vendidos al 85 %, de su valor nominal y serán redimidos un trimestre más tarde, por el 100 % de su valor. Es decir un título de valor de $100.000 se podría comprar por $85.000 para recibir dentro de un trimestre los $100.000 Representación gráfica Simbología D → Descuento racional o simple VF → Valor nominal del pagaré, es el valor que se recibe al redimir el título -

valor. VP → Valor que se paga o se recibe al vender el título-valor antes de la fecha de

su redención. d → Tasa de descuento Luego el Descuento que se le efectua por el título de participación para el período de tiempo que es un trimestre, es,

0000.15000.85000.100 =−=−= VPVFD La diferencia, entre un valor a pagar en el futuro (VF) y su valor presente (VP), recibe el nombre de Descuento simple o racional, como se expresa en la fórmula. Relación entre el Descuento racional y el Interés Simple. La fórmula de valor futuro a interés simple, deducida en el capitulo anterior es: VF = VP + I

VVFF==$$110000..000000

VVPP==$$8855..000000

11



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Despejando: I = VF – VP Al compararla con la fórmula hallada en la sección anterior, tenemos que el descuento simple o racional, es:

D = VF - VP Al mirar, los segundos términos de las dos ecuaciones, tenemos que son iguales, por lo tanto los dos términos iniciales, también son iguales.

I = D Equivalencia entre la tasa de interés y la tasa de descuento simple. Siguiendo con el análisis anterior, teniamos que, D =$15.000, por lo cual es igual. D = I, entonces, I = $15.000 la fórmula de interés es, NipVPI ***

despejamos ip, queda: NVP

Iip*

=

Donde, I = $15.000 VP = $85.000 N = 1 trimestre

Reemplazando: %64,171764,01*000.85

000.15===ip

Lo cual, se debe entender, que si colocamos un capital de $85.000, al 17.647 % trimestral, al cabo de un trimestre se obtiene, un valor futuro de $100.000. Comprobación: 000.100$)1*1765,01(000.85 =+=VF Observada, desde el punto de vista del descuento, tenemos que se obtuvo que la cantidad descontada sobre $100.000 fué de $15.000, o sea, $15.000 por cada $100.000, que significa que se descontó a una tasa de 15 %, la cual se halló de dividir el descuento sobre el valor a redimir (D/VF).



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En conclusión, esta tasa de descuento del 15 % es equivalente a la tasa de interés del 17.647 %, debido a que produce los mismo resultados, por cualquier sentido contrario. O expresado de otra forma la equivalencia podemos afirmar; que los títulos-valor colocados a descuento, a una tasa del 15 % estan reconociendo al ahorrador una tasa de interés equivalente trimestral del 17.647 %. Regla para obtener la tasa de interés equivalente a un descuento dado: Para hallar la tasa de interés equivalente a un descuento dado divida el descuento por el valor neto y multipliquelo por 100, así:

100*intVPIeequivalenterésTasa =−−

%64,17100*)000.85/000.15(int ==−− eequivalenterésTasa

Es importante, resaltar:

• Que como el descuento es un interés, puede ser simple o compuesto, y,

• Que el interés cobrado anticipadamente se denomina Descuento. 3.2 DESCUENTO BANCARIO Desde tiempos antiguos, la costumbre es de cobrar los interéses por adelantado sobre el valor de los títulos-valores, (pagarés, letras), el cual se calcula sobre el valor anotado en los títulos. Esto permite al prestamista disponer en forma inmediata del dinero correspondiente a los interéses, dando un mayor rendimiento que la tasa señalada en la transacción. Descuento bancario es el sistema más utilizado en las operaciones comerciales y financieras, salvo que se exprese que es descuento simple o racional. En su utilización se emplea, la siguiente terminología: 3.2.1 Pagaré Es un título valor por el cual una persona se obliga bajo su firma a pagar a otra una cantidad de dinero en fecha futura. Además de su valor se estipula, la tasa de interés y la fecha de pago. Un pagaré puede ganar interéses o no; si es, un pagaré con interéses; entonces el valor anotado corresponde a la deuda en la



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fecha inicial, en la fecha de pago el deudor se obliga a pagar la deuda más los interéses. Si el pagaré no gana interéses, entonces, el valor anotado es la cantidad que el deudor debe pagar en la fecha de vencimiento. Valor Nominal del Pagaré El valor nominal del pagaré es el que está inscrito en el título-valor (pagaré, letra); para efectos legales de comercio o financiero, es el capital. Si el pagaré no gana interéses, el valor nominal indica la cantidad que debe pagarse en la fecha de vencimiento señalada. Descontar un Pagaré Es la acción de recibir o pagar hoy un dinero, a cambio de una suma mayor comprometida para fecha futura, bajo las condiciones convenidas en el pagaré. Al referirse a la operación, el término descontar lo usan tanto el prestatario como el prestamista. Un pagaré como un bien mobiliario puede ser vendido, es decir, descontado, una o más veces antes de la fecha de su vencimiento y cada comprador descuenta el pagaré por el tiempo que hace falta para su vencimiento. Cuando la operación se efectua entre bancos se denomina redescuento. 3.2.2 Descuento Es la parte del valor del título que retiene el prestamista por concepto de interéses y equivale a los interéses simple del valor nominal y calculados sobre el tiempo que hace falta para el vencimiento. También se puede comprender, como la diferencia entre el valor nominal y el valor que recibe, en el momento de descontar el pagaré. Valor Efectivo o Líquido de un Pagaré Es el valor nominal menos el descuento. Es el valor en dinero que se recibe al descontar la obligación. % o Tipo de Descuento Es el tanto por ciento de descuento o sea la proporción del valor que deduce el prestamista al descontar el pagaré.



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Período de Descuento Es el tiempo que en el momento de descontar el pagaré falta para su vencimiento. En la mayoría de los créditos tanto ordinarios como de fomento, los bancos privados como los oficiales (Caja Agraria, Cafetero, Popular, Ganadero) y las Corporaciones financieras cobran el interés por anticipado. Los créditos ordinarios son aquellos que se otorgan y provienen de los fondos captados por cuenta corriente, ahorros, depósitos a término, fiducia, a personas naturales o jurídica y los solicitan para desarrollar sus actividades. Para el cobro del interés, en los préstamos a corto plazo, los bancos utilizan la siguiente fórmula:

dNVpD **=

Donde,

D → Descuento que se hace sobre el valor nominal del préstamo.

Vp → Valor nominal del préstamo o del pagaré que se debe pagar a la fecha de su vencimiento.

N → Períodos de tiempo

d → Tasa de descuento o tasa de interés cobrada por anticipado Además al otorgar un préstamo, los Bancos cobran los llamados costos de apertura de crédito tale como: Timbres, seguro de vida, estudio del crédito y papelería. Estos costos adicionales corren por cuenta del usuario y constituye un descuento adicional que encarece el préstamo. Es de anotar, que ademas existen otro sobre costos, como los que se origina por permanecer sumas inactivas en cuenta corriente y de cuyo promedio depende el valor del préstamo. Como estas sumas no devengan interéses configuran otro costo que depende de cada caso particular. Ejemplo La Empresa Comercial Ltda. solicita y le es concedido un préstamo al Banco Comercio por valor de $500.000, al 30 % de interés anual y aun plazo de 90 días. ¿Cuál es el descuento cobrado sin costos de apertura del préstamo?



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¿Cuál es el descuento cobrado con costos de apertura, los cuales comprenden; estudio del crédito $5.000; seguros $4.000 y papelería y timbres $3.000? Para su cálculo considerar el año, de 360 días. Sin Costo de Apertura Representación gráfica Donde,

Vp = $500.000

N = 1

D=0,30/4=0,07 Se reemplaza, tenemos, 500.37$1*075,0*000.500 ==D Este valor indica, lo que el Banco deduce por conceder el préstamo. Con Costos de Apertura: Los costos de apertura, = $5.000 + $4.000 + $3.000

Costos de apertura = $12.000 Donde el descuento después de los costos de apertura, sería: D = $37.500 + $12.000 = $49.500 3.2.3 Valor Líquido de un Título El valor líquido de un título-valor (pagarés o letras) o de un préstamo es la cantidad que recibe efectivamente el prestatario. Y esta dado por la fórmula,

DVpVL −=

VVpp==$$550000..000000

DD DD

11



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Reemplazando D: VL = Vp – Vp * N * d

Factorizando: )*1( dNVpVL −= que es la fórmula para hallar el valor líquido de un título-valor. Ejemplo Hallar los valores líquidos del préstamo de las Empresa Comercial ltda, sin y con costos de apertura. Solución • Sin Costo de Apertura Fórmula: )*1( dNVpVL −= , Datos Vp = $500.000 N = 1 trimestre d = 7.5 % Reemplazando tenemos; 500.462$)1*075,01(000.500 =−=VL El valor a recibir el prestatario después de haber deducido el descuento bancario es $462.500. Representación gráfica • Con Costo de Apertura: 500.450$500.49000.500$ =−=−= DVpVL Suma que nos indica lo que efectivamente recibe el prestatario.

VVPP==$$550000..000000

VVLL==446622..550000

11dd==77,,55%%



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Representación gráfica 3.3 TASA DE INTERÉS COBRADA REALMENTE EN UN CRÉDITO

BANCARIO En este aparte vamos a calcular la verdadera tasa de interés que realmente cobran los Bancos Comerciales por sus préstamos bancarios, debido a que se presentan dos tasas de interés, la que esta recibiendo el Banco y la que esta pagando el usuario. Como ya lo estudiamos, por el hecho de cobrar los interéses anticipadamente, percibe una suma mayor de que se recibiería si los cobrara vencidos. La forma para calcularla, ya la estudiamos, sin embargo para recordar, consiste en calcular la relación entre el descuento D y el valor líquido del título-valor y multiplicarlo por 100. Lo que nos da la tasa de interés realmente cobrada y expresada en porcentaje.

La fórmula, es, 100*VLDip =

Ejemplo Aplicando en los casos anteriores, tenemos: • Sin Costo de Apertura

Interés ganado por el Banco: 081,0100*500.462

500.37==it

Significa que el Banco cobra una tasa anual de interés, de, i =0.081*4=0,324= 32,4%

dd==77,,55%%

VVpp==$$550000..000000

VVLL==$$445500..550000



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Que es muy superior a la pactada en la transacción que fue del 30 %. Sin embargo más adelante cuando veamos tasas nominales y efectivas, veremos que los valores cambian. • Con Costos de Apertura El interés pagada por el prestatario incluyendo los costos de apertura, tenemos,

%988,10100*500.450500.49

==it

Hallando la tasa anual pagada, tenemos: i = 0.10988 * 4= 0,4595 = 43.95% Su significado es que el Banco esta cobrando el 43.95 %, superior al pactado del 30 % anual. Ejemplo Descuento Bancario de un Letra. Al faltarle líquidez a la empresa Comercial Ltda, se ve en la necesidad de descontar una letra de sus deudores ante el Banco del Comercio por valor de $100.000 que vence dentro de un trimestre, la cual fue aceptada por el Banco a una tasa de interés del 32 % y los costos por timbres, estudio y comisión son del 1.5 % anual. Cuánto es el descuento y el valor líquido que recibe la Empresa ?. La tasa a descontar es; 0.32 + 0.015 = 0.335 % Solución Fórmula: dNVpD **= Datos Vp = $100.000 N = 1 trimestre d = 0.335/4

Reemplazando, tenemos, 375.8$1*4335,0*000.100 ==D

Valor Líquido

Fórmula: VL = Vp - D



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Datos Vp = $100.000 D = $8.375 Reemplazando tenemos: VL = 100.000 - 8.375 = $91.625 Es el valor que efectivamente se recibe al descontar la letra, por parte de la Empresa Comercial Ltda. Fórmula para obtener la tasa de interés periódica equivalente a una tasa de descuendo dada. Anteriormente se definió que la tasa de interés periódica, ip, realmente cobrada en un crédito bancario, es,

Sabemos que el VL = Vp - D y la tasa de descuento periódica dp es la relación entre el descuento , D, y 100 unidades, dp = D/100, el alumno puede deducir que,

Que será la fórmula para hallar la tasa de interés periódica equivalente a una tasa de descuento dada. Ejemplo Javier Gracia solicita un préstamo con garantía personal por $200.000, al Banco del Comercio, éste lo concede con las siguientes condiciones, a 90 días y a una tasa de descuento del 8 %. ¿Cuál es la tasa de interés realmente cobrado en el en los 90 días ?. Solución Fórmula:

Pagos Parciales En las actividades financieras y comerciales, es común el uso de obligaciones en las que se aceptan pagos parciales o abonos a la deuda, dentro del plazo de la obligaciones, en lugar de un solo pago en la fecha de su vencimiento.

100*VLDip =

dpdpip−

=1

%686,809696,008,01

08,0==

−=it



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En los cálculos de estos problemas en los intervienen obligaciones y sus interéses, se supone que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, continúa en el proceso financiero dentro del mismo juego de interéses, hasta la extinción de la obligación. Se presentan varias criterios para su cálculo, pero lo importante es tener en cuenta las costumbres locales. Regla Comercial Esta regla indica que, para los pagarés que ganan interéses, deben calcularse en la fecha de su vencimiento, independientemente, los montos de la obligación y de los diferentes abonos. La cantidad por liquidar en esa fecha es la diferencia entre el monto de la obligación y la suma de los montos de los diferentes abonos. Sea VP el monto de la deuda en la fecha de vencimiento y VF1, VF2, VFn, los montos de los distintos abonos en la misma fecha y sea X la cantidad por liquidar. De acuerdo a lo expuesto, la ecuación de equivalencia es:

X = VF - (VF1 + VF2 + .. + VFn) Ejemplo La Empresa Mueblería Sandra, debe un pagaré de $500.000 a un año plazo con interéses del 30 %, la mueblería hace los siguientes abonos: $120.000 a los 4 meses y $300.000 a los 10 meses. Hallar, aplicando la regla comercial, el saldo por pagar a la fecha de su vencimiento. Solución Fórmula )*1( NipVPVF +=

VP = $500.000, la cual tenemos que llevar a la fecha de vencimiento.

VVPP==550000..000000

112200..000000

330000..000000

1100 1122

XX

44



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VF = 500.000 ( 1 + 0.30 * 1 ) = $650.000 Abonos:

Primer abono: $120.000 a los 4 meses, hay llevarlo a la fecha de vencimiento, o sea N = 8 y tasa de interés 30 %.

000.144$)128*30,01(000.1201 =+=VF

Segundo abono: $300.000 a los 10 meses hay que llevarlo a la fecha de vencimiento, o sea N = 2 y tasa de interés del 30 %.

Donde, X = $650.000 - ( 144.000 + 315.000 ) = $191.000 Que viene a ser el saldo final ó sea el valor a pagar en la fecha de su vencimiento. Regla de los Saldos Insolutos Esta regla para los pagarés que ganan interéses indica que cada vez que se hace un abono debe calcularse el monto de la deuda hasta la fecha del abono y restar a ese monto el valor del abono; asi se obtiene el saldo insoluto en esa fecha. Los pagos parciales deben ser mayores que los interéses de la deuda hasta la fecha de pago. Ejemplo Utilizando el ejemplo de la regla comercial, calcular el saldo por pagar en la fecha de su vencimiento usando la regla de los saldos insolutos. Primero hallamos el monto de la deuda en la fecha en la cual se efectua el primer abono y le restamos el abono:

VVPP==$$550000..0000

44 1100

$$ 112200..000000$$ 330000..000000

XX

1122

000.315$)122*30,01(*000.3001 =+=VF



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Monto de la deuda a los 4 meses: 000.550$)124*30,01(000.500 =+=VF

1º Abono Saldo Insoluto: $550.000 - 120.000 = $430.000; a los 4 meses A los 10 meses, se efectua otro abono, lo cual quiere decir que hay necesidad de hallar el monto de la deuda en esa fecha y restarle el segundo abono.

Monto de la deuda a los 10 meses, 500.494$)126*30,01(*000.430 =+=VF

2º Abono Saldo insoluto: $494.500 – 300.000 = $194.500 ; a los 10 meses Y para hallar lo que se debe en la fecha de su vencimiento, es necesario llevarlo a los 2 meses restante, que falta para completar el año.

225.204$)122*30,01(500.194 =+=X

Al comparar las respuestas dada por los dos métodos, se aprecia que el saldo por pagar a la fecha de vencimiento, resulta mayor al aplicar la regla de los saldos insolutos, esto se debe a que al aplicar esta regla, el prestamista entra a ganar interéses sobre los interéses capitalizados, en cada fecha de los pagos parciales.



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UNIDAD 4 Fijacion de Precios a un Producto y Descuentos Comerciales Horizontes Al terminar este capitulo, el estudiante debe ser capaz de: • Usar C + M = S para determinar: Margen de utilidad bruta, costo y precio

de venta y usar M = OH + NP para determinar: Margen de utilidad bruta, gastos indirectos y utilidad bruta

• Calcular el porcentaje y el margen de utilidad bruta sobre el costo.

• Calcular el porcentaje del margen de utilidad bruta sobre el precio de venta.

• Determinar el precio de venta que producirá el porcentaje de margen de utilidad bruta requerido, aunque parte de la mercancía se pierda debido al desperdicio o su precio sea rebajado.

• Aplicar un solo descuento comercial o una serie de ellos para determinar el precio de lista o el precio neto.

• Determinar el descuento individual equivalente a una serie. Núcleos Temáticos y Problemáticos Fijación de Precio a un Producto

Margen de Utilidad Bruta Sobre el Costo Vs Margen de Utilidad Bruta Sobre el Precio De Venta

Fijación de Precios a Productos Perecederos

Rebajas de Precios



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Proceso de Información 4.1 FIJACIÓN DE PRECIO A UN PRODUCTO La Fórmula Básica. Los negocios se establecen para realizar una utilidad mediante la compra o producción, y después la venta de los productos o servicios. Aunque las empresas son muy diferentes en cuanto a tamaño, estructura, organización y productos que suministra, tienen muchos gastos que le son comunes: arriendo del local, pago de impuestos, servicios públicos, mantenimiento del equipo y edificaciones, etc. Para determinar el precio de venta de un producto, se le añade al costo una suma suficiente para cubrir todos estos gastos y obtener una utilidad. Esta suma adicional se les conoce como gastos indirectos. Cualquier suma restante después de cubrir los gastos indirectos es la utilidad neta de la empresa. En forma de ecuación, estas relaciones se pueden expresar:

MUB = Margen de utilidad bruta

GI = Gastos indirectos

UN = Utilidad neta

C = Costos

PV = Precio de Venta

Fórmulas: Margen de Utilidad Bruta (MUB) = gastos indirectos (GI) + utilidad neta (UN)

MUB = GI + UN Precio de Venta = Costo + Margen de utilidad bruta

PV = C + MUB Si un productor fabrica un artículo que le cuesta $20, estima $8 para gastos indirectos y espera obtener una utilidad neta de $5, el precio de venta del artículo, lo podemos calcular de la siguiente forma: MUB = GI + UN MUB = 8 + 5 = 13 PV = C + MUB PV = 20 + 13 = $33



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Sin embargo, si el artículo no se puede vender en $33, sino por una suma menor, en la que tuviera que rebajarse y vender en $28 entonces; PV = C + MUB $28= 20 + MUB despejando, MUB = 25 – 20 = $8 MUB = GI + UN 8 = 8 + UN despejando, UN = $0 ( No existe utilidad neta) Cuando se fijan los precios, el margen de utilidad bruta se presenta como un porcentaje más bien que como una cifra en pesos y centavos. El uso del porcentaje no hace variar las relaciones básicas antes descritas, entre el costo, el margen de utilidad bruta y el precio de venta El problema anterior también se podría haber presentado en la siguiente forma:

Un empresario fabrica un artículo que le cuesta $20, si le agrega 40% del costo para gastos indirectos y 25% del costo para utilidad neta. ¿Cuál es el precio de venta de ese producto?: Para expresarlo en forma algebraica, tenemos: “Que le cueste $20” significa C = $20 “40% del costo para gastos indirectos”, significa GI = 0,40C “25% del costo para utilidad neta” , significa UN = 0,25C “¿Cuál es el precio de venta?”, significa que PB es la variable a hallar. MUB = GI + UN MUB = 040C + 0,25C MUB = 0,65C PV = C + MUB 20 + 0,65(20) = PV PV = $33,oo 4.2 MARGEN DE UTILIDAD BRUTA SOBRE EL COSTO VS MARGEN DE

UTILIDAD BRUTA SOBRE EL PRECIO DE VENTA Cuando el margen de utilidad bruta se presenta como un porcentaje, siempre aparece como un porcentaje o del costo o del precio de venta. Es costumbre a



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nivel del empresario utilizar el margen de utilidad bruta como un porcentaje del costo (caso del ejemplo anterior). Sin embargo a nivel del minorista, por lo general el margen de utilidad bruta se presenta como un porcentaje del precio de venta. Al resolver problemas de este tipo es básico observar, como se expresa el porcentaje de la utilidad bruta: Si es un porcentaje sobre el costo, tenemos: % x C Si es un porcentaje sobre el precio de venta, tenemos: % x PV El significado del margen de utilidad bruta no tiene significado por sí solo. Ejemplo Un comerciante minorista desea añadir a su línea de productos equipos de sonido que se vende a $100.000, con el fin de hacer frente a la competencia de un almacén cercano. Su margen de utilidad bruta es del 35% del precio de venta. ¿ Cuánto se puede pagar por el equipo de sonido si se desea obtener su margen de utilidad bruta?. Solución “Qué se vende en $100.000”, significa PV = $100.000.

“Su margen de utilidad bruta es el 35% del precio de venta”, significa MUB = 35% del PV. MUB = 0,35 * $100.000 ó 0,35($100.000)

“Cuánto se puede pagar”, significa que el costo © se desconoce: Reemplazando: PV = C + MUBPV = C + 0,35($100.000) 100.000 = C + 35.000 C = 100.000 - 35.000 C = $65.000 Ejemplo Un productor desea producir un vestido de dama para venderlo en $150.000. Si normalmente agrega 70% del costo para cubrir todos los gastos y la utilidad neta, ¿Cuánto es lo más que puede gastar para producir el vestido de dama?.



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Observar que “70% del costo para cubrir todos los gastos y la utilidad neta”, significa MUB = 70% del costo. Reemplazando: PV = C + MUB 150.000 = C + 0,70C 150.000 = 1,70C C = 150.000 / 1,70 C = $88.285,30 Ejemplo Un comerciante compra un escritorio en $200.000. Desea agregar un margen de utilidad bruta del 40% del precio de venta que le permita cubrir los gastos indirectos y la utilidad neta, ¿ A que precio debe vender el escritorio? PV = C + MUB PV = $200.000 + 0,40PV PV – 0,40PV = 200.000 0,60 PV = 200.000 PV = 200.000 / 0,60 PV = $333.333.33 4.2.1 Margen de Utilidad Bruta en Porcentaje En el apartado anterior se daba el porcentaje del margen de utilidad bruta y tenía que hallarse el costo o el precio de venta. En una situación diferente, puede ser necesario encontrar el porcentaje del margen de utilidad bruta cuando se conocen el costo y el precio de venta. Por ejemplo, al comerciante que desea agregar el equipo de sonido de $100.000, a su línea de productos encuentra que puede comprar uno en $68.000. ¿ Le dará este costo su margen de utilidad bruta del 35% sobre el precio de venta?. Para ello, se puede emplear la relación básica entre el costo y el margen de utilidad bruta y el precio de venta para solucionar este problema, pero se simplifica la solución observando que el porcentaje del margen de utilidad bruta sobre el costo es la razón del margen de utilidad bruta sobre el costo. %MUB sobre C = $MUB/ C, de igual manera: %MUB sobre PV = $MUB/PV



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Para resolver los problemas anteriores, tenemos: PV = C + MUB MUB = PV - C Luego; MUB = 100.000 - 68.000 MUB = $32.000 %MUB sobre PV = $MUB / PV %MUB sobre PV = 32.000/100.000 %MUB = 0,32 ó 32% Respuesta El equipo de sonido de $100.000 sólo nos da un margen de utilidad bruta sobre el precio de venta del 32%, que es menor al acostumbrando en el almacén del 35%. Para hallar el porcentaje del margen de utilidad bruta sobre el costo: %MUB sobre C = $MUB / C. C = 32.000 / 68.000 C = 47,06 %. Observar que el mismo margen de utilidad bruta en pesos, $32.000, produce porcentajes muy diferentes sobre la base del costo en comparación con el precio de venta. Si el precio de venta es más alto que el costo, el margen de utilidad bruta en porcentaje sobre el precio de venta será menor que el porcentaje del margen de utilidad bruta sobre el costo. Las razones tienen el mismo numerador, pero la razón al precio de venta tendrá el denominador mayor y, por lo tanto , el valor menor. Ejemplo Un Lavadora le cuesta $400.000 y la vende en $600.000. ¿Cuál es el porcentaje del margen de utilidad bruta sobre el costo?. MUB = PV – C MUB = 600.000 – 400.000 MUB = $200.000 %MUB sobre C = $MUB/C = 200.000/400.000 %MUB sobre C = 50%



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¿Cuál es el porcentaje del margen de utilidad bruta sobre el precio de venta?.

%MUB sobre PV = $MUB / PV

= 200.000/600.000

%MUB sobre PV = 33,33% Ejemplo Un vestido que cuesta $50.000 se vende a un precio que permite un margen de utilidad bruta del 30% sobre el precio de venta. Determinar el precio de venta. PV = C + MUB PV = $50.000 + 0,30PV PV – 0,30PV = $50.000 0,70PV =$50.000 PV = 50.000/0,70 PV = $71.428,57 ¿Qué porcentaje de margen de utilidad bruta sobre el costo se obtuvo? MUB = PV - C MUB = 71.428,57 – 50.000 MUB = $21.428,57 % MUB sobre C = $MUB/C % MUB sobre C = $21.428,57/50.000 %MUB sobre C = 42,86 % Ejemplo Una silla que cuesta $6.000 fabricarla se vendió a un comerciante en $7.000. El comerciante la vendió en $8.000. Determinar el porcentaje de margen de utilidad bruta sobre el costo del fabricante y el porcentaje del margen de utilidad bruta sobre el precio de venta del comerciante. %MUB del fabricante sobre C =$MUB/C %MUB del fabricante sobre C = (7.000 – 6.000)/6.000 = 16,67 % %MUB del comerciante sobre el PV = $MUB/PV % MUB del comerciante sobre el PV = (8.000 – 7.000)/8.000 = 12,50% El margen de utilidad bruta sobre el costo del fabricante es 16,67%. El margen de utilidad bruta sobre el precio de venta del comerciante es 12,50%.



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4.3 FIJACIÓN DE PRECIOS A PRODUCTOS PERECEDEROS Se presenta algunas situaciones especiales en la fijación de precios a los bienes perecederos, como es el caso de las frutas y las verduras, donde las existencias se deterioran y no se pueden vender a ningún precio. ¿Cómo fija los precios el comerciante a estos productos para obtener el margen de utilidad bruta requerido para el embarque completo, aunque parte se pierden debido al deterioro?. Ejemplo El administrador de una tienda de combustible compró 150 libras de ciruelas a $5,00 la libra. Requiere un margen de utilidad bruta del 70% del costo para la totalidad del embarque, aunque probablemente el 10% se echarán a perder y tendrá que botarse. ¿Qué precio por libra daría el margen de utilidad bruta requerido?. Determinar el costo total, y a partir de él, el precio de venta total requerido. Costo total = 150 * 5 = $750 PV = C + MUB PV T = 750 + 0,70(750) PVT = 750 + 525 PVT = $1.275 sería el precio de venta total

El precio total de venta $1.275, se puede obtener de la venta de ciruelas que no se dañen.

Cantidad a dañarse: 10% de 150 libras = 15 libras

Cantidad a vender: 150 – 10 = 140 libras

Precio de Venta por libra = Precio total de venta / cantidad a vender

Precio de venta por libra = 1.275 / 140 = $9,11 por libra El precio de $9,11 por libra para la ciruela dará el margen de utilidad bruta requerido y permitirá que el 10% del embarque se dañe y sea botada. Ejemplo Un supermercado compró 200 libras de moras a $8,00 la libra. Alrededor del 12% se puede dañar y tendrán que botarse. ¿ A qué precio por libra se deben marcar las moras con el fin de obtener el 20% del precio de venta sobre la compra total?.



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Determinar el valor de venta total que necesita obtener la tienda. Si toda la mora se vendieran al precio original el precio de venta sería: PV = C + MUV PV = 8 + 0,20PV PV – 0,20OV = 8 PV = 8/0,80 PV = $10 El valor total de las ventas sería: $10 x 200 = $2.000 Determinar cuánto se tiene que obtener de las moras que realmente se vendan. El 12% de 200 libras ( o 24 libras) se pueden dañar y no se venderá. Por lo tanto la totalidad de los $2.000 se tiene que hallar de las restantes 176 libras. Precio de venta = Precio total de venta / cantidad a vender Precio de venta = 2.000 /176 Precio por libras = $11,36 4.4 REBAJAS DE PRECIOS En las promociones especiales, con cupones, por lo que se rebaja dinero o en ventas especiales como las liquidaciones por fin de temporada, parte de la mercancía se venderá por debajo del precio original. ¿ Cómo es posible que el comerciante tome en cuenta esta rebaja de precios y a pesar de ello obtenga un margen de utilidad bruta establecido originalmente para cubrir los gastos y la utilidad neta?. Iniciamos con un costo de $3.000 para un artículo y un margen de utilidad bruta de la tienda del 40% sobre el precio de venta. El precio de venta se determina mediante: PV = C + MUB PV = 3.000 + 0,40PVPV – 0,40OV = 3.000 PV = 3.000 / 0,60 = $5.000 Este procedimiento es adecuado si no existe una rebaja de precios de la mercancía, pero si parte de las existencias ese venden por debajo de $5.000, entonces el margen de utilidad bruta sobre la existencia total será inferior al 40’% sobre el precio de venta.



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4.4.1 Descuentos Comerciales Los productos elaborados por lo general pasan a través de varias manos antes de llegar al cliente final. El fabricante, puede vender en forma directa a un negocio al menudeo, que a su vez le vende al consumidor final, en otras ocasiones el fabricante, le vende el producto a un mayorista, luego este al minorista para terminar en el consumidor final Flujo de las posible rutas que puede seguír un producto : Un fabricante de vestidos, decidió vender un determinado modelo en $50.000. Sin embargo, la empresa puede vender el mismo artículo a diferentes precios a distintos consumidores bajo condiciones especiales, por ejemplo:

• Si un fabricante vende tanto a minoristas como a mayoristas, el precio para el mayorista por lo general es inferior que para el minorista.

• Un cliente que compre una cantidad grande esperará recibir una rebaja en el precio.

• Un fabricante puede llevar a cabo un programa conjunto de publicidad con un determinado minorista o mayorista, por lo cual, tanto el minorista como el mayorista pueden recibir una bonificación en precios.

Por lo tanto, algunos clientes pueden pagar el precio de $50.000 pero otros pagarán una suma menor. Al importe rebajado se le conoce con el nombre de descuento comercial. Las operaciones en las que se conceden el descuento comercial pueden incluir fabricantes, mayoristas, minoristas, y consumidor final. Los descuentos comerciales también son utilizados por las empresas donde los productos son tan numerosos que aparecen en catálogos a los que hacen referencia los clientes cuando ordenan la mercancía. El negocio de los superalmacenes. Los precios de listas en el catálogo pueden ser precios al menudeo sugeridos y ser lo bastante altos para permitir que concedan descuentos

PPrroodduuccttoorr MMaayyoorriissttaa MMiinnoorriissttaa CCoonnssuummiiddoorr FFiinnaall

FFaabbrriiccaa eell PPrroodduuccttoo

CCoommpprraa ppaarraa VVeennddeerr

aall MMiinnoorriissttaa

CCoommpprraa PPaarraa

RReevveennddeerr aall CCoonnssuummiiddoorr

CCoommpprraa PPaarraa ssuu

PPrrooppiioo UUssoo



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comerciales. El cambio de precios se convierte en asunto sencillo de cambiar un descuento. El término precio de lista, utilizado en forma limitada, significa el precio al menudeo, fijado por el fabricante, que por lo general está impreso en el envase. Es el esfuerzo que realiza el fabricante para evitar rebajas de precios en estos productos. Por lo consiguiente, el precio que paga el minorista o el mayorista se determina mediante la concesión de un descuento comercial sobre el precio de lista. Se utiliza el término precio de lista en un sentido más amplio para incluir cualquier precio cotizado. Un descuento comercial siempre es un porcentaje del precio establecido o de lista. Se rebaja del precio de lista para determinar lo que paga en realidad el cliente. El importe pagado es el precio neto (para el vendedor) ó el costo neto (para el comprador). 4.4.2 Cálculo del Descuento y del Precio Neto Para determinar el importe de un descuento comercial, se puede utilizar la ecuación básica del porcentaje: % de descuento * precio de lista= importe del descuento

%D * PL= $D Observar, que cuando se usa el porcentaje de descuento como la tasa, el producto es el importe del descuento. Después se determina el precio neto rebajado el descuento del precio de lista. Ejemplo

un mayorista compra un mueble a un fabricante. En el catálogo está relacionado en $10.000 menos un descuento comercial del 15%. ¿Cuál es el costo neto?. $D = %D * PL $D = 0,15 * 10.000 = $1.500 Precio de lista – descuento = precio neto 10.000 – 1500 = $ 8.500



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Escribiendo de nuevo lo expresado en forma vertical se tiene:

EN PESOS EN PORCENTAJE Precio de lista $ 10.000 100% Descuento $ 1.500 15% Precio Neto $ 8.500 85%

Ejemplo Un minorista pagó $3.000 por un libro que tiene como precio de lista $3.200. ¿Cuál fue el porcentaje del descuento comercial?. Solución

$D = %D * PL %D * 3.200 = 3.000 %D = 6,25%. El decuento comencial fue del 6.25% Ejemplo Un fabricante de muebles de oficina desea vender sillas universitarias en $2.000 y las relacionan en el catálogo con un descuento comercial del 20%. ¿Cuál debe ser el precio de catálogo?. Solución • Para convertir el problema a una ecuación, observe que:

“Vende la silla en $2.000”, significa el precio neto = $2.000

“Precio de catálogo” es lo mismo que precio de lista y se desconoce. • Utilizar la ecuación que da la relación entre los precios netos de lista:

El % pagado es el complemento del descuento del 20% = (100% - 20% = 80%)

%pagado * precio de lista = precio neto

0,80 * PL = 2.000

PL = 2.000/0,80

PL = $2.500 El precio de catálogo debe ser de $2.500



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4.4.3 Serie de Descuentos Los descuentos comerciales con frecuencia se presentan en una serie de dos descuentos o más en lugar de un solo porcentaje. Por ejemplo, un fabricante desea vender tanto a mayoristas como a minoristas. En lugar de establecer un solo descuento para cada tipo de cliente, él puede especificar que al detallista le concederán el 20% y que al mayorista recibirá un 10% adicional. Y un segundo mayorista que comprará en cantidades muy grandes pueden ofrecerle un 5% adicional. De acuerdo, con esto.

• El minorista paga el precio de lista menos el 20%.

• El primer mayorista paga el precio de lista menos el 20%, menos el 10%

• El segundo mayorista paga el precio de lista menos el 20%, menos el10% menos el 5%.

• La serie también se puede presentar como 20%,10%,5% Para el segundo mayorista, esto significa que el precio neto quedaría determinado rebajando primero el 20% del precio de lista, después deduce el 10% de lo que quede, después deduce un 5% adicional de lo que quede después de la segunda deducción. A continuación analizar el ejemplo del cálculo del precio de lista para un mueble con precio de lista de $20.000 y descuentos mercantiles del 20%, 10% y 5%. Este problema se puede resolver, empleando

%D * PL = $D y %Pd * PL = PN %D * PL = $D Precio de lista $20.000 Menos 20% (0,20x20.000) 4.000 $16.000 Menos 10% (0,10x16.000) 1.600 14.400 Menos 5% (0,05x14.400) 720 Costo neto $13.680 Observar, que los descuentos sencillos en las series nunca se suman juntos. El costo neto se puede calcular con mucha más rapidez utilizando la fórmula:



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%PD x PL = PN: Primer descuento: PN = 20.000 x (1-0,20) = $16.000 Segundo descuento: PN = 16.000 x (1 – 0,10) = $14.400 Tercer descuento: PN = 14.400 x (1-0,05) = $13.680. Observe que cada una de las series de descuentos se basa en un importe diferente. Por lo tanto, los descuentos nunca se deben sumar y utilizar como un solo descuento. Una fórmula mucho más conveniente de cálculo hace posible realizar distintos tipos de problemas con una ecuación. La solución de tres etapas se puede rehacer como una multiplicación en lugar de tres: Con base en que el porcentaje pagado es: %Pd = (1-%D) tenemos

%Pd1 x %Pd2 x %Pd3 x Pl = PN Donde %Pd1 es el primer descuento = ( 1-0,20=0,80); %Pd2 es el segundo descuento = (1-0,10=0,9’); %Pd3 es el tercer descuento = ( 1-0,05= 0,95): Es la forma que se utiliza para solucionar problemas de series de descuentos. Es una forma ampliada de ecuación, que se utilizó para un descuento sencillo. Cuando los tres porcentajes pagados se aplican juntos, el resultado es el porcentaje final pagado después de tomar tres descuentos sucesivos: En el problema anterior: 0,80 x0,90 x0,95 x20.000 = $13.680 El porcentaje final pagado es 68,40 % y el precio neto es de $13.680. En el ejemplo anterior se basa en una serie de tres descuentos. El método es exactamente el mismo si existen dos, tres o más descuentos respectivamente, a ser multiplicandos juntos para obtener el porcentaje final pagados. Ejemplo Una cadena de almacenes compró un juego de sala en $200.000 menos 20%,10%. ¿Cuál fue el costo neto?.



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%Pd1 x%Pd2 x PL = PN PN = (1-0,20)(1-0,10)(200,000) PN = $144.000 El costo neto del juego de sala es de $144.000 4.4.4 Descuento Equivalente Sencillo Con frecuencia resulta útil, en particular cuando se realizan comparaciones de precios, conocer un descuento que producirá el mismo precio neto que una serie de dos, tres o más descuentos. Este descuento único se conoce como el descuento equivalente sencillo. No se requiere ninguna fórmula o cálculo nuevo, sólo una aplicación diferente, es decir, que el porcentaje de descuento y el porcentaje pagado son complementos- (suman el 100%). En la fórmula: %Pd1 x %Pd2 x %Pd3 x PL = PN El producto de los tres complementos (%Pd1 x%Pd2 x %Pd3) es el porcentaje final pagado. Por consiguiente, el complemento de este producto es el descuento equivalente sencillo. Puesto en simbolos, este resultado es: Descuento equivalente sencillo = complemento de (%Pd1 x %Pd2 x %Pd3 )

SED = 100% - (%Pd1 x %Pd2 x %Pd3 ……….. %Pdn) Ejemplo Un almacen minorista compra muebles en $80.000 menos 25%,20% y 8%. ¿Cuál es el precio neto? ¿ Qué descuento sencillo daría el mismo precio neto?. PN = PJ x %Pd1 x %Pd2 x %Pd3 PN = 80.000 x 0,75 x 0,80 x 0,92 PN = $46.920 Es el precio neto SED = 100% - (%Pd1 x %Pd2 x %Pd3 %Pdn) SED = 100% - (0,75 x0,85 x 0,92) SED = 100 % - 58,65% = 41,35% Observe, que 58,65% es el porcentaje pagado y 41,35 es el descuento equivalente sencillo.



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4.4.5 Descuento por Pronto Pago Ya hemos estudiando dos etapas en la fijación de precios de mercancías; establecer una cuota o precio de lista y utilizar dos descuentos comerciales que reducen este precio. ¿Es el precio neto el costo final para el cliente?. La respuesta a esta pregunta depende de las condiciones de crédito que se otorguen al momento de hacer la venta. Es común, el cliente no tiene la obligación de pagar la factura de inmediato, sino que se le da un tiempo especifico antes de que venza el pago. Esta es una situación que conoce cualquier cliente que tenga una cuenta corriente en un almacen de departamentos. En los convenios de crédito comercial, es posible con frecuencia pagar por anticipado la factura, es decir, pagarla antes de su vencimiento y obtener un descuento sobre el costo de la mercancía. Este descuento, que se otorga por el pago de una factura antes de su vencimiento se conoce como un descuento por pronto pago. Los descuentos por pronto pago sólo se otorgan sobre el valor de la mercancía, nunca sobre el flete, seguros, almacenamiento o cualquier otro cargo por un servicio que brinde otra persona que no sea el vendedor. Ejemplo Un mayorista compró telas a una fábrica textil para revenderla a sus clientes. El costo total establecido de la mercancía fue $300.000. Se le concedió un descuento mercantil del 8% y esto redujo el costo a $276.000. En la factura aparece las condiciones: 5/10 neto a 30 días. Esto significa que si paga la factura dentro de los 10 primeros días, tiene derecho a un descuento del 5%, y si paga después del 5 hasta 30 días paga el valor neto de la factura y después le puede acarrear un cargo por demora en el pago. Para calcular el importe del descuento por pronto pago, primero compruebe la fecha de la factura y determine el número de días entre la fecha de la facturación y la fecha de pago. En este caso, la factura tiene como fecha 15/09/2000 y si se paga 22/09/2000, debido a que sólo han transcurrido 7 días entre las dos fechas, el cliente tiene derecho a un descuento del 5% sobre el costo de la mercancía. Como el descuento es un porcentaje del costo de la mercancía se utiliza la siguiente ecuación: % de descuento * Costo de la mercancía = Importe del descuento %D x C = $D 0,05 x $276.000 = $13.800



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Lo que indica que el cliente puede deducir $13.800, y el pago neto es: PN=$276.000$13.800=$262.000. Proceso de Comprensión y Análisis • Supongamos que la totalidad del lote consiste en 50 artículos. Si se les fija el

precio de $5.000 a cada uno y se venden todos a ese precio, la tienda recibirá $250.000 (50 x $5.000). Pero supongamos que parte de los artículos se venden por debajo del precio original, en $4.500. En este caso, es probable que se vendan 25 artículos en $4.500 en lugar de los $5.000. Estos 25 vestidos producirán $112.500 (25 x $4.500). El importe total de dinero recibido por los 50 artículos, serían:

25 * $5.000 (precio original) = $125.000 25 * $4.500 (precio rebajado) = 112.500 50 Total $237.500. ¿Qué porcentaje del margen de utilidad bruta sobre las ventas representa? El porcentaje del margen de utilidad bruta se puede determinar para un número total de artículos mediante la misma razón que se utilizó para un artículo individual. Por lo tanto, es necesario usar las ventas totales, el costo total y el margen total de utilidad bruta en pesos. Costo Total = 50 * 3.000 = $150.000 MUB = PV – CMUB 237.500 - $150.000 = $87.500 %MUB sobre PV = $MUB total /Ventas totales %MUB sobre PV = 87.500/237.500 %MUB sobre PV = 36,84 %. El margen de utilidad bruta del 36,84 % sobre el precio de venta es menor que el 40% necesario para cubrir los costos y las utilidades brutas. Sin embargo, al fijar el precio, originalmente el comerciante puede tener en cuenta las rebajas de precios para estar seguro de obtener el 40% que necesita sobre el precio de venta. Por experiencia sabe en forma aproximada qué proporción de la mercancía se venderá en ventas especiales y alrededor de qué precio tendrá que venderse. • Una tienda de regalos compró 100 lámparas a $100 cada una. La tienda

espera vender la mayor parte al precio original, pero estima que el 15%



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tendrá que venderse a $130. ¿Cuál tiene que el precio original que se fije si la tienda tiene la necesidad de obtener un margen de utilidad bruta sobre las ventas totales del 50%?.

- Determinar el valor total de las ventas que necesita obtener la tienda. Si

todas las lámparas se pudieran vender al precio original el precio de venta sería: PV = C + MUB PV = 100 +0,50PV PV = $100/0,50 = $200

El valor total de las ventas sería: 100 x $200 = $20.000

- Determinar cuánto se tiene que obtener de las lámparas vendidas al precio

original.

- Cantidad a vender al precio rebajado: 0,15 de 100 = 15 lámparas

- Valor de las ventas rebajadas: cantidad * precio = 15 x $130 = $1.950

- Valor de las ventas al precio original: total requerido - total proveniente de las ventas rebajada. $20.000 - 1.950 = $18.050

- Determinar el precio original necesario para obtener $18.050

Precio por lámpara = Valor de las ventas al precio original / cantidad vendida al precio original. 18.050 / 85 = $ 212.35

En una situación realista se pueden combinar las rebajas con el desperdicio. • Un campesino local empaca 300 cajas de fresas para venderlas en su propio

puesto al borde la carretera. Se estima que el costo para él será de $2,50 por caja y desea obtener el 60% sobre el costo para la totalidad del lote. Sin embargo, el 10% no son de la mejor calidad y tendrá que venderlas al costo. Es probable que otro 10% adicional estará dañado al finalizar el día y no se podrá vender. ¿Qué precio por caja debe fijar?.

- Determinar el importe de la venta total que tiene que obtener el campesino.

Si todas las fresas se vendieran al precio original, el precio de venta, sería:

PV = C + MUB PV = 2,50 + 0,60 (2,50) PV = $4,00

El valor total de las ventas sería: 4 x 300 = $1.200



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- Determinar cuánto tienen que obtenerse de las cajas vendidas a precio original:

10% de las 300 cajas se echarán a perder: 0,10 (300) = 30 cajas y no producirán dinero alguno. Un 10% adicional o 30 cajas se venderán al costo, que es $2,50; ésta venta producirá: $2,50x30= $75,00 300 cajas menos 30 que resultan dañadas y y 30 más que se venderán al costo (rebajadas), deja 240 cajas para venderse al precio normal ( 300 – 30 – 30= 240). El valor de las ventas al precio original, es el total requerido – el total proveniente de las ventas rebajadas: $1.200 - $75 = $1.125. - Determinar el precio original. Precio por caja = Valor de las ventas al precio original / cantidad de cajas vendidas al precio original. 1.125 / 240 = $4.69 Se debe fijar el precio en $4,69 por caja con fresas para obtener un margen de utilidad bruta requerido, pero un precio más probable por caja es de $9,38 por 2 cajas o 2 por $9,50. Esto daría al campesino un poco más de seguridad contra las pérdidas y obtendría mayores ganancias. Autoevaluación

• Si se compra un artículo en $10 y se vende en $12 ¿Cuál es el margen de utilidad bruta en pesos?.

• Un jarrón que cuesta $20 se vende en $35. Si los gastos indirectos son de

$7,50.

- Determinar el margen de utilidad bruta

- Determinar la utilidad neta. • Cuesta $75 producir una mesa. Si el fabricante estima el 40% del costo para

gastos indirectos y vende la mesa en $115.

- Calcular el margen de utilidad bruta

- Calcular la utilidad neta.



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• Se vende una máquina de escribir en $2.000 cuando el margen de utilidad bruta es del 60% del costo.¿ Cuál es el costo?.

• Un nuevo estante se vende en $6.000 cuando se utiliza un margen de utilidad

bruta del 30% del precio de lista.¿Cuál es el precio del estante?. • Una lavadora cuya fabricación cuesta $300.000 se vende en $500.000

- ¿Cuál es el margen de utilidad bruta?

- ¿Qué porcentaje del costo representa este margen de utilidad bruta?.

• Una tienda que vende productos naturistas tiene una línea de vitaminas

naturales con un margen de utilidad bruta del 35% del precio de venta. Si un frasco se vende en $20.

- ¿Cuál es el costo?.

- ¿Cuál es el porcentaje del margen de utilidad bruta sobre el costo?. • A un reloj se le fijo un precio de venta de $50.000 después de un margen de

utilidad bruta del 40% sobre el costo.

- ¿Cuál es el costo?

- ¿Cuál es el porcentaje del margen de utilidad bruta sobre el precio de venta?.

• Un fabricante de trajes de baño está determinando los precios de los nuevos

estilos de la temporada. Confeccionar un traje de baño cuesta $1200 y el margen de utilidad bruta normal es del 45% sobre el costo. Al finalizar la temporada, cualquiera mercancía sobrante se venderá a $1.350 cada una. Si se produjeron 500 trajes y el 15% se vendió a precios rebajados.

- ¿Cuánto dinero debe recibir el fabricante para cubrir su margen de utilidad bruta normal sobre todos los trajes?.

- ¿Cuántos se venderá al precio rebajado?.

- ¿Cuál es el valor de las ventas por rebajas?

- ¿Cuál debe ser el valor de las ventas totales al precio original?.

- ¿Cuántos se vendieron al precio original?.

- ¿Qué precios se le debe fijar a cada traje de baño que se venda al precio original?.



95

• Un supermercado compró 220 libras de yuca a $15 la libra. Por experiencia anteriores, saben que el 4% de estos se pudren, y tendrán que venderse a $5 la libra. ¿ A qué precios por libra obtendría la tienda el 35% de los costos?.

• Pescado el Arisco, compró 100 libras de pescados a $25 la libra y le fijará el

precio el precio al pescado de modo que la empresa obtenga el 40% del precio de venta como margen de utilidad bruta. Sin embargo, por lo general al final de cada libra sobra algún pescado y como se trata de un producto muy perecederos, venderán parte a un restaurante popular que se encuentra junto a ellos y echarán el resto. Calcularán que alrededor del 10% se venderá al restaurante y que tendrán que votar el 3%.

- ¿Qué importe tienen que obtener de la venta de todo el pescado?

- ¿Cuánto obtendrán de las ventas al restaurante?.

- ¿Cuánto tienen que obtener del pescado que vendan a precio normal?.

- ¿De cuántas libras dispondrán para vender al precio normal?.

- ¿ A que precio por libra deben vender este pescado para lograr alcanzar el margen de utilidad bruta deseado sobre la totalidad del lote?.

• Panificadora Ltda., horneó 200 docenas de roscas a un costo de $1,80 la

docena. Cinco docenas de roscas se arranciaron y no se puede vender, y 12 docenas se venden a un precio rebajado de $0,90 la docena. Determinar precio de venta por docena de roscas que le dará a la panadería su margen de utilidad bruta requerido del 66,75% del costo.

• Una máquina de coser que aparece con precio de listas de $500.000 se vende

con un descuento comercial del 10%. ¿Cuál es precio neto después de que se concede el descuento?.

• A que precio se debe presentar en el catálogo de un mayorista una grabadora

si desea conceder un descuento comercial del 20% y vender el artículo en $90.000

• ¿Qué serie de descuento es mejor para el comprador 20%,15%,5% ó

35%,5%?, ¿Puede usted resolver este problema sin cálculos?. • En un catálogo de suministros de artículos de belleza, las prendas de vestir

intima aparecen con un precio de $5.000 menos el 10%. El mayorista encuentra que tiene demasiada existencias y envía un aviso a sus clientes de que pueden tomar un descuento adicional del 5%. ¿Cuál es el nuevo precio neto de la prenda de vestir intima?.



96

• Una cuenta con fecha del 20 de agosto del 2.000 se paga el 29 de agosto del mismo año. El importe de la factura es de $9.000 y las condiciones de crédito son 5/10, n/30.¿Qué importe tiene que pagarse?

• Amacon Ltda. Pagó dos facturas el 13 de septiembre. La primera era por

$20.000 y con fecha 22 de agosto con condiciones 2/10,1/20,n/30. La segunda era por $22.000 y de fecha 30 de agosto con las mismas condiciones de crédito. ¿Cuál fue el importe total pagado? ¿ A cuanto ascendió el descuento recibido?.



97

UNIDAD 5 Interés Compuesto Horizontes Al terminar este capitulo, el estudiante debe ser capaz de;

• Comprender y utilizar pára efectos financieros y comerciales practicos el concepto de interés compuesto.

• Utilizar la termilnologia de interés compuesto.

• Calcular valores futuros utilizandfo interés compusto.

• Diferenciar entre interés simple e interés compuesto.

• Calcular valores presenter utilizando interés compuesto.

• Calcular tasas de interés compuesto. Núcleos Temáticos y Problemáticos Definiciones

Fórmulas del Interés Compuesto

Fórmula del Monto a Interés Compuesto o Valor Futuro

Cálculo del Valor Futuro

Comparación Entre Interés Simple e Interés Compuesto

Valor Futuro de la Unidad Monetaria

Valor Presente o Actual de la Unidad Monetaria

Tasas de Interés Nominal y Efectiva

Rentabilidad Neta y Real



98

Proceso de Información 5.1 DEFINICIONES Interés Compuesto (I) Es la integración periódica del interés al capital. Capitalización Es el proceso mediante el cual los interéses se agrega al capital al finalizar cada periódo. Periódo de Capitalización Es el intervalo de tiempo convenido en la transacción, para capitalizar los interéses. El número de periódo de capitalización que se efectúa en un año, lo reconocemos por m. Y donde n es número de años de la transacción, tenemos que N = n* m , nos indica el número de periódos que tiene la transacción financiera o comercial. Valor Futuro (VF) Ó Monto de capital a interés compuesto o Monto compuesto: Es el valor del capital final o, capital acumulado de sucesivax adiciones de los interéses. Tasa de interés compuesto (ip) Es el interés fijado por periódo de capitalización. Y se expresa cono tanto por uno en el periódo. 5.2 FÓRMULAS DEL INTERÉS COMPUESTO Consideremos el caso,en la cual las corporaciones financieras por los depósitos a término, pagan interéses trimestralmente, es decir, cuatro veces al año y reconocen una tasa nominal del 30%. Si se depositan $1000 a interés compuesto, ¿Cuál será su valor al final del año?. Convirtamos la tasa de interés anual i, a una tasa trimestral, it,



99

miit =

Donde, m,corresponde al número de capitalización por año. Para generalizar, ip, representará la tasa de interés del periódo o tasa periódica, y para este caso: ip = it

%00,808,0432,0

===it

Ejemplo A continuación la tabla y la línea de tiempo muestran la solución cuando se capitlizan los interéses en cada trimestre:

TRIMESTRE VALOR PRESENTE VP

INTERÉSES DEL TRIMESTRE VALOR FUTURO VF

1 $ 100O $1000*0,08=$80 $ 1080

2 $ 1080 $1080*0,08=86,40 $ 1166,40

3 $ 1166,40 $1166,40*0,08=93,312 $ 1259,712

4 $ 1259,712 $1259,712*0,08=100,77696 $ 1360,4889

Esta línea de tiempo representa la adición del interés al capital, en cada periódo, que se denomina: Capitalizacion.

VVPP==11..000000

VVFF==11008800

VVFF==11116666,,44VVFF==11225599,,771122

VVFF==11336600,,4488

iitt==88%%



100

La línea de tiempo-valor para éste ejemplo, es la siguiente: 5.3 FÓRMULA DEL MONTO A INTERÉS COMPUESTO O VALOR FUTURO Las cifras anteriores representémosla con sus respectivos símbolos, el capital inicial VP puesto a interés ip por periódo de capitalización. Vamos a calcular el Valor futuro para N periódos de capitalización.

PERIODO VALOR PRESENTE VP al

iniciar el periódo(1)

INTERÉS GANADO EN EL PERIODO (2)

VALOR FUTURO VF al finalizar el periódo (1+2)

1 VP VP.ip VP+VP.ip=VP(1+ip)

2 VP(1+ip) VP(1+ip)ip VP(1+ip)+VP(+1+ip)ip=VP(1+ip)(1+ip)=VP(1+ip)2

3 VP(1+ip)2 VP(1+ip)2ip VP(1+ip)2+VP(1+ip)2ip=VP(1+ip)2(1+ip)=VP(1+ip)3

4 VP(1+ip)3 VP(1+ip)3ip VP(1+ip)3+VP(1+ip)3ip=VP(1+ip)3(1+ip)=VP(1+ip)4

Las líneas de tiempo y valor de estas expresiones son las siguientes:

VVPP==11..000000

VVFF==11336600,,4488

IItt==88%%

11 22 33 44

VVPP

VVFF==VVPP((11++iipp))

VVPP

11 22

VVFF==VVPP((11++iipp))22



101

En donde, la fórmula general para hallar el valor futuro VF, a interés compuesto es:

NipVPVF )1( += ó nm

miVPVF )1( +=

Los valores del factor de acumulación o capitalización (1+ip)N pueden calcularse, utilizando máquinas de calcular, logaritmos o por el desarrollo del teorema del binomio. En la práctica, se utilizan tablas financieras en las que están calculadas hasta para diez decimales, al finalizar el libro está incluídos. 5.4 CÁLCULO DEL VALOR FUTURO Ejemplo ¿Cuál será el valor futuro de $5000, en 3 años, a una tasa de interés anual del 34%, si el interés se capitaliza una vez por año?. Representación gráfica Fórmula: NipVPVF )1( +=

VVPP

33

VVFF==VVPP((11++iipp))33

VVPP==55..000000

11 33

VVFF==??



102

Donde: VP = $5.000 ip= 34 % N = n * m n = 3 años m = 1 capitalización por año N = 3 * 1 = 3

Se reemplaza, 50,030.12$)34,01(000.5 3 =+=VF Ejemplo Un banco ofrece la tasa de interés del 10 % para los depósitos en las cuentas de ahorros. Calcular el valor futuro de un depósito de $1.000 al cabo de 10 años, empleando calculadora, Logaritmos y tablas financieras Representación gráfica Solución Fórmula: NipVPVF )1( += Donde: VP = $1.000 n = 10 años m = 1 capitalización en el año N = 10 * 1 = 10 ip = 10 % • Para este cálculo se emplea una calculadora de bolsillo de 8 dígitos.

74,593.2$)10,01(000.1$ 10 =+=VF

VVPP==$$11..000000

ii==1100

1100

VVFF==??



103

• Empleando logaritmos

VF = 1.000 (1+0,10)10 VF = 1.000 (1,10)10 log VF = log 1.000 + 10 log 1,1 log 1.000 = 3,00000 10 log 1,10 = 0,041393(10) = 0,41393 log VF =3,41393 VF = $2.593,71 • Empleando tablas financieras

Se busca en la tabla en donde la intercesión de la columna de la tasa de interés del 10 % y la fila N=10 y encontramos el factor de 2,59374246, reemplazando en la fórmula, tenemos:

VF = 1.000 * 2,59374246

VF = $2.593,74

5.5 COMPARACIÓN ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO Ejemplo Calcular bajo la modalidad de interés simple y de interés compuesto, el valor futuro de $3.000.000, que fué depositado en una Entidad financiera, durante 5 años, a una tasa del 27 % anual capitalizable mensualmente. 5.5.1 Modalidad de Interés Simple Fórmula: VF = VP (1+ip.N) Donde: VP = $3.000.000 N = 5 años ip = i i = 0,27 Reemplazando: VF = 3.000.000 (1 + 0,27*5) = $7.050.000 5.5.2 Modalidad de Interés Compuesto Fórmula: NipVPVF )1( +=



104

Donde: VP = $3.000.000 n = 5 años m = 12 capitalizaciones por año N = n * m; N = 5 * 12 = 60 ip = i/m; ip = im; im = 0,27/12 = 2,25% Se reemplaza, tenemos, 79,134.800.3$)0225,01(000.000.3$ 60 =+=VF 5.6 VALOR FUTURO DE LA UNIDAD MONETARIA Ejemplo Si se deposita $1, en un Banco que reconoce el 30 % anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el valor de la unidad monetaria al cabo de un año?. Fórmula: NipVPVF )1( += Donde: VP = 1 ip = im; im = 0.30/12 = 0,025 n = 1 año m = 12 capitalizaciones por año. N = 1 * 12 = 12 Se reemplaza, tenemos: VF = 1 (1+0,025)12 = $1,34488 5.6.1 Cálculo del Valor Futuro para N Periodos Mayor que 100 En algunos problemas financieros, suele ocurrir que el número de periódos de la transacción resulta mayor que 100, que es lo máximo que algunas tablas financieras trae. Si utilizamos en estos casos las propiedades de los productos de potencias, el exponente del factor de acumulación o capitalización se descompone en sumandos, empleando tantos de valor 100 como sea necesario y, así, se calcula el factor de acumulación por productos de factores cuyos valores figuran en la tabla financiera.

(1 + i)x+y = (1 + i)x(1 + i)y



105

Ejemplo Calcular el valor futuro al cabo de 50 años de una deuda de $100.000, al 12 % de interés, con capitalización bimensual. Solución Donde: VP = $100.000 n = 50 años m = 6 capitalizaciones por año N = 50 * 6 = 300 periódos ip = ib; ib = 0,12/6 = 2 % Reemplazando, VF = 100.000 (1+0,02)300 Aplicamos las propiedades de los productos de potencias y sus respectivos valores lo encontramos en las tablas, tenemos, VF =100.000(1+0,02)100(1+0,02)100(1+0,02)100 VF =100.000(7,24464612)(7,24464612)(7,24464612) VF = $38.023.450 5.6.2 Cálculos de Valor Futuro con Periodos de Capitalización

Fraccionarios En las transacciones financieras a interés compuesto, fijan el periódo de capitalización suponiendo que serán periódos enteros. Cuando en estas condiciones se presenten fracciones de periódos, la costumbre comercial es calcular el valor futuro para los periódos enteros de capitalización y utilizar la modalidad del interés simple, para las fracciones de periódos. Este planteamiento da como resultado que el interés simple en las fracciones de periódo es mayor que el compuesto a la misma tasa, debido a que significa capitalizar los interéses en un periódo menor que el convenido y, como consecuencia la tasa efectiva resulta mayor. Ejemplo Un préstamo de $50.000 convenida al 24 % con capitalización anual es pagada a los 3 años y 4 meses, ¿Calcular el valor futuro a cancelar?.



106

De acuerdo al planteamiento anterior, relacionado con la costumbre comercial, nos indica cobrar los interéses compuestos para los 2 periódos completos y simples para los 4 meses. Solución Donde: VP = $50.000 n = 3 años periódos completos m = 1 capitalización por año N = 3 * 1 = 3 periódos completos Fracción de periódo = 4 meses, 4/12 = 1/3 ip = ia; ia = 24% • Parte a interés compuesto VF = 50.000 (1 + 0,24)3 VF = 50.000(1,906624) VF = $95.331,20 • Parte a interés simple: VF = $95.331,20 (1 + 0,24 * 1/3) VF = $102.957,69 5.6.3 Cálculo del Valor Presente o Valor Actual a Interés Compuesto En el mundo financiero y de negocios es fundamental la determinación del valor de aquellos bienes o transacciones expresadas en dinero, que por alguna condición, se recibirán en fecha futura. ¿ En cuanto puede venderse hoy un inmueble que está entregado en concesión por 6 años ?. ¿ Qué vale hoy un CDT que nos será entregado dentro de 5 años?. ¿Cuanto debo consignar hoy por una maquinaria que debo de cambiar dentro de 5 años?. Valor actual o presente a interés compuesto de un dinero que se recibirá en fecha futura, es aquel capital que a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de dinero que se recibirá en la fecha convenida. VVPP==??

NN

VVFF==vvaalloorr aa rreecciibbiirr rreecciibbiirr

iipp==%%



107

Utilizando la fórmula empleada para calcular el valor futuro, podemos deducir, la fórmula para valor actual o presente:

NipVPVF )1( +=

Obtenemos: NipVFVP

)1( +=

Para su utilización, está fórmula se modifica en, NipVFVP −+= )1( donde el

factor (1 + ip)-N es el valor actual o presente bajo la modalidad de interés compuesto de una unidad monetaria por recibir dentro de N periódos, también se denomina como factor de actualización a interés compuesto. Como lo expresamos para la modalidad de interés compuesto, se puede hallar empleando una máquina de calcular, logaritmos o empleando las tablas financieras. 5.7 VALOR PRESENTE O ACTUAL DE LA UNIDAD MONETARIA Ejemplo ¿Cuánto se debe depositar hoy en una unidad financiera que reconoce el 36 % anual capitalizable mensualmente, si al cabo de un año se quiere tener $1? Representación gráfica Línea de tiempo y valor Donde: VF = $1,00 n = 1 año m = 12 capitalizaciones por año

VVPP==??

11

VVFF==$$11

iipp==00,,0033

1122



108

N = 1 * 12 = 12 ip = 0,36/12 = 0,03 Fórmula: NipVFVP −+= )1(

91514166,0$)03,01(00,1$ 12 =+= −VP Este factor se denomina factor de actualización o de valor presente y como se expreso anteriormente se puede hallar con la calculadora o en las tablas financieras. Ejemplo Con las condiciones del ejemplo anterior, hallar el valor presente de $7.300.000 Representación gráfica Línea de tiempo y valor Donde: VF = $7.300.000 n = 1 año m = 12 capitalizaciones por año N = 1 * 12 = 12 ip = im; im = 0,36/12 = 0,03 Fórmula: NipVFVP −+= )1(

60,533.680.6$)03,01(000.300.7 12 =+= −VP Con ayuda de la tabla el problema se resuelve, así: Buscamos en la tabla financiera, la columna que se refiere a valor presente, la cual se distingue por el nomenclador, para N = 12 periódos y tasa de interés del 3 % y encontramos el factor de 0,91514166, luego

VVFF==$$77..330000..000000

1122

11

VVPP==??

iipp==00,,0033



109

VP = 7.300.000 * 0,91514166 VP = $6.680.533,60 Que coincide con el resultado obtenido con la fórmula. 5.7.1 Cálculo de la Tasa de Interés En la fórmula del Valor futuro a interés compuesto, sí se conoce el valor futuro VF, el valor presente VP y el tiempo N, queda determinado el valor de ip, el cual puede ser hallado, usando las tablas financieras, el despeje de la fórmula y usando logaritmos. Ejemplo Un maizal se compró por $1.200.000, y, a los dos años, fue vendida por $2.023.982.20. ¿Cuál es la tasa de valoración mensual?. O sea cuál ha sido la tasa de interés que se ha ganado en la inversión de $1.200.000, para alcanzar, 24 meses después, un valor futuro de $2.023.982,20?. Representación gráfica Línea de tiempo valor Al resolver este ejercicio emplearemos dos métodos, el primero usando las tablas financieras y el segundo método mediante la fórmula. Solución • Utilizando las tablas financieras Fórmula: NipVPVF )1( +=

Donde: VPVFip N =+ )1(

El resultado del VF/VP, es el factor que aparece en las tablas financieras.

VVFF == $$22..002233..998822..2200

2244

VVPP == 11..220000..000000

IIpp == ??



110

Datos: VF = $2.023.982,20 VP = $1.200.000,00 n = 2 años m = 12 capitalizaciones por año N= 2 * 12 = 24 periódos

Al reemplazar en la fórmula tenemos: 68665194,1000.200.1$

20,982.023.2$)1( 24 ==+ ip

Como el factor de capitalización está en función de N e ip y en éste caso se desconoce ip, se busca en las tablas financieras “N = 24 “ , un ip , que coincida con el factor 1,68865194. Así se encuentra que para ip = 2,202 %, los factores coinciden. Fórmula: NipVPVF )1( +=

Se despeja ip, 1)(1

−= N

VPVFip

Donde: N = nm = 24 periódos n = 2 años m = 12 capitalizaciones por año VP = 1.200.000 VF = 2.023.982,20 Reemplazando:

%202,2020202,01)000.200.1$

20,928.023.2$( 241

==−=ip

O sea que la tasa de valorización mensual es im = 2,202 %. Ejemplo Un padre al morir, deja un CDT de $100.000 para que con sus interéses sean entregados a su hijo al cumplir 18 años de edad, pero que en los actuales momentos tienen 7 años de edad. Si el hijo al cumplir la edad fijada recibe $190.071,20 ¿ Qué tasa de interés estan pagando por el CDT?.



111

iipp==??

Representación gráfica Línea de tiempo y valor Solución

• Usando la tabla de factores Donde: VP = $100.000 VF = $190.071,20 n = 7 años m = 1 capitalización por año ip = ia; ia = ?. Fórmula: NipVPVF )1( +=

Despejando: 900712,1000.000.1$

20,071.190$)1( 11 ==+ ip

Al buscarlo en la tablas financieras para N = 11 periódos, vemos que el factor buscando no se encuentra en forma precisa, sino dentro de los factores 1,89829856 que corresponde al 6% y 1,9991514 que corresponde al 6 1/2 %. Luego el interés buscado es mayor que el 6% y menor que el 6 1/2 %. Su valor aproximado se encuentra por interpolación líneal. a 0,065 corresponde 1,99915140 a 0,06+x corresponde 1,90071200. a 0,06 corresponde 1,89829856 a 0,06 corresponde 1,89829856. 0,005 es a 0,10085284 como x es 0,00241344 x = 0,00012 i = 0,06 + 0,00012 i = 0,06012 = 6,012%

1188

VVFF==$$119900..007711,,2200

VVPP==$$110000..000000



112

• Cálculo utilizando logaritmos

190.071,20 = 100.000 (1+ip)11

log 190.071,20 = log 100.000 + 11 log (1+ip)

1100000000,5278916.5

11000.100log20,190071log)1log( −

=−

=+ ip

log (1+ip) = 0,025356

1 + ip = 1,06012

ip = 0,06012 = 6,012% 5.7.2 Cálculo del Número de Periódos En forma análoga el cálculo de la tasa de interés, el número de periódo o tiempo, se puede hallar, usando la tabla financieras o aplicando logaritmos. Ejemplo ¿En que tiempo un depósito de $1.000 se convertirá en $1.500 al 6 % con capitalización semestral ?. Representación gráfica Líneas de tiempo-valor; do las tablas financieras Solución

• Utilizando las tablas financieras Donde VP =$1.000 VF =$1.500

VVPP==$$11..000000

NN==??

iipp==00,,0033

VVFF==$$11..550000



113

n = ? m = 2 capitalizaciones por año N = n * 2 ip = 0,06/2; is = 0,03 semestral Fórmula: NipVPVF )1( +=

000.1$500.1$)03,01( =+ N

Se busca en las tablas, en la columna del 3 %, y no lo encontramos en forma precisa, sino dentro de un intervalo que nos indica por excesos y defecto, más próximo a 1,5. Este valor entre 1,46853371 que corresponde a 13 periódos y 1,51258972 que corresponde a 14 periódos. Interpolando como el caso anterior de la tasa de interés, tenemos, a 14 corresponde 1,51258972 a 13 + x corresponde 1,500000000 a 13 corresponde 1,46853371 a 13 corresponde 1,46853371 1 es a 0,04405601 como x es a 0,03146629

03146629,004405601,01 X

=

7142337,004405601,0

)03146629,0(*1==X

Donde: N = 2*n Reemplazando tenemos, 2n = 13 + 0,7142337 2n = 13,7142337 n = 6,8571 años Luego el tiempo en algunos problemas se puede dar en forma aproximada. Ejemplo Por la venta de una máquina nos cancelan $30.000 la cual fue adquirida en $10.781,50, si la tasa de interés existente en el mercado por los depósitos es del 21 % capitalizable trimestralmente. ¿Durante cuánto trimestres usufrute la máquina?.



114

Representación gráfica Línea de tiempo y valor Donde: VF = $30.000 VP = $10.781,50 n = ? m = 4 N = 4 * n ip = 0,21/4; it = 5,25 % Fórmula: NipVPVF )1( += log 30.000 = log 10.781,50 + N log (1+0,0525)

trimestresN 200525,1log

50,781.10log000.30log=

−=

5.8 TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA Tasas Nominal Es la tasa que se declara en las operaciones financieras y que es aparente por cuanto no refleja toda la realidad. Se denomina i . Cuando no se mencione el periodo de la tasa , se supone que se refiere al año. Tasas Efectivas Es la tasa que se utiliza para determinar el interés periódico que efectivamente debe sumarse al capital en el momento de la liquidación. A diferencia de la

NN

VVPP==$$1100..778811,,55

VVFF==$$3300..000000

iipp==00,,2211//44



115

anterior, la tasa efectiva puede darse en forma diaria, semanal, mensual, trimestral, semestral y anualmente, etc. y muestra en fin, lo que efectivamente se gana. Cuando la capitalización se presenta una sola vez en el año, la tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal. 5.8.1 Operaciones en Moneda Corriente Fórmula para Convertir una Tasa Nominal en una Tasa Efectiva Ejemplo Se hace un depósito de $1.000 en una cuenta de ahorros que capitaliza el interés sobre saldos mínimos trimestrales y reconoce una tasa nominal de interés del 18%. Simultáneamente se entregan en préstamo $1.000, a la misma tasa nominal, pero con una sola capitalización en el año.

• Cuánto dinero habrá acumulado a fin de año, en cada caso.

• ¿Cuál es el interés y la tasa que efectivamente se reconoce en cada operación?.

• ¿Cuál es la fórmula para convertir tasas nominales en tasas efectivas equivalentes?.

Solución ¿Cuánto dinero acumulado habrá, a fin de año, en cada caso?. • Cuando se capitalizan sobre saldos mínimos trimestrales, tenemos 4

capitalizaciones: Representación gráfica Fórmula: NipPF )1( +=

FF==??

PP==$$11..0000

11 22 33 44 11 22 44

TTrriimmeessttrreess ttrriimmeessttrreess



116

Donde: P = $$1.000 i = 0,18 n = 1; m = 4; N = 1 x 4 = 4 ip = 0,18/4 = 4,5%; Se reemplaza, F = 1.000 (1 + 0,045)4 = 1.227,10 Que es el dinero acumulado a fin de año y lo que efectivamente recibe el ahorrador. • Cuando solo existe una sola capitalización. Fórmula: NipPF )1( += Donde: P = $1.000 i = 18% m = 1 ip=0,18/1 n = 1; m = 1 N = n * m; N = 1 * 1 = 1; Se reemplaza; F = 1.000 ( 1+0,18)1 = 1.180 Que es el dinero acumulado a fin de año y que efectivamente recibe el ahorrador. Al observar los resultados anteriores, que no obstante utilizar la misma tasa de interés, los valores acumulados son distintos, debido a que los periodos de capitalizaciones son diferentes.

00 11 00

11 aaññoo aaññoo

PP == $$11..000000 FF ==??



117

¿Cuál es el interés y la tasa que efectivamente se reconoce en cada caso?. Fórmula: I = F – P • Con cuatro capitalizaciones; Donde: F = 1.117,10 P = 1.000 Se reemplaza, I = 1.227,10 – 1.000 = 227,10 Es decir, por $1.000, se recibe efectivamente $227,10 o sea el 22,71%. A esta tasa, que corresponde el interés efectivo, se denomina tasa efectiva anual equivalente. • Con una sola capitalización: F = 1.180 P = 1.000 Se reemplaza, I = 1.180 – 1.000 = 180 O sea, que $1.000, se recibe efectivamente $180 en el año. Es decir, el 18% efectivo anual equivalente. Es importante anotar que, siempre, como en este caso, con una sola capitalización al año, la tasa nominal coincidirá con la tasa efectiva. ¿Cuál es la fórmula para convertir tasas nominales en tasas efectivas equivalentes?. En el primer caso, tenemos la siguiente ecuación: NipPF )1( += Que dio como resultado F = 1.227,10 y que al reemplazarlo por sus valores, resulta: 1.227,10 = 1.000 ( 1+0,045)4 Se dividen ambos miembros por $1.000 1,22710 = ( 1+0,045)4

Y si se descompone, el primer miembro, en 1 + 0,22710.



118

1 + 0,2271 = ( 1+0,045)4 ó

0,2271 = ( 1+0,045)4 – 1 Como, 0,2271 , es la tasa efectiva anual equivalente, que se seguirá denominado ip = 4,5% y N = 4, luego;

1)1( −+= Nipia Que es la fórmula para convertir tasas nominales en tasas efectivas anuales equivalentes, donde:

miip =

i = tasa nominal m = número de capitalizaciones por año n = 1 año N = nm Como; n = 1 luego N = m La fórmula queda: 1)1( −+= mipia 5.8.2 Conversión de Tasas de Interés De la fórmula anterior podemos concluir que pueden presentarse tres tipos de conversiones:

• -Tasas nominales en tasas efectivas anuales

• -Tasas efectivas anuales en tasas nominales

• -Tasas efectivas equivalente entre si para distintos períodos. Convertir una Tasa Nominal en una Tasa Efectiva Anual Equivalente. Con Capitalizaciones Vencidas: Ejemplo Determinar la fórmula, la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal del 30% capitalizable;- semestralmente,- trimestralmente- mensualmente.



119

• Capitalización Semestral

Fórmula: 1)1( −+= mipia Donde, m = 2 semestres por años is = 0,30/2 = 0,15 15% Se reemplaza, is = (1+0,15)2 – 1 = 32,25% Capitalización Trimestral:

Fórmula: 1)1( −+= mipia Donde: m = 4 trimestres por años is =0,30/4 = 0,075 7,5% Se reemplaza, is = (1+0,075)4 – 1 = 33,35% Capitalización Mensual:

Fórmula: 1)1( −+= mipia Donde m = 12 meses por años is =0,30/12 = 0,025 2,5% Se reemplaza, is = (1+0,025)12 – 1 = 34,49% Es importante destacar que la tasa efectiva se hace mayor a medida que aumenta el número de capitalizaciones. Capitalizaciones Vencidas. En muchas oportunidades las operaciones financieras , se observa que el interés se liquida anticipadamente y las capitalizaciones se hace de la misma forma. Esta circunstancias, implica una tasa efectiva mayor puesto que el proceso de capitalización se inicia inmediatamente Fórmula para obtener la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal cuando las capitalizaciones son anticipadas. Para ello , tenemos los siguientes símbolos.



120

ipippi−

=′1

Donde ip´= Es la tasa efectiva periódica anticipada¡, que reemplazada en:

1)1( −′+= mpiia

1)1

1( −−

+= m

ipipia

11

)1(−

−+−

=ipipipia

1)1

1( −−

= m

ipia

1)1(

1−

−=

ipia

1)1( −−= −mipia

El procedimiento para la solución de los problemas se reduce a hallar la tasa efectiva periódica, ip, se divide la tasa nominal por el número de capitalizaciones y se reemplaza en la fórmula. Ejemplo Hallar con la fórmula, la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal del 24%, capitalizable anticipadamente-mensualmente -trimestralmente y -semestralmente. • Capitalización Mensual:

Fórmula: 1)1( −−= −mipia Donde m = 12 meses por año im = 0,24/12 = 0,02 Se remplaza, ia = (1-0,02) –12 – 1 = 27,43%



121

• Capitalización Trimestral: Fórmula: 1)1( −−= −mipia Donde m = 4 trimestres por año im = 0,24/4 = 6% Se reemplaza, ia = (1- 0,06) –4-1 = 28,08% • Capitalización Semestral:

Fórmula: 1)1( −−= −mipia Donde, m = 2 semestres por año is = 0,24/2 = 12% Se reemplaza, ia = (1 – 0,12)-2-1 = 29,13% Se observa como, a medida que disminuyen las capitalizaciones, la tasa efectiva se hace mayor. O sea ocurre todo lo contrario de cuando las capitalizaciones son vencidas. Convertir una Tasa Efectiva Anual en una Tasa Nominal Equivalente Para obtener la tasa nominal a partir de la tasa efectiva anual se despeja, i, de cada una de las fórmulas obtenidas, atrás, así: Capitalización Vencidas Fórmula: 1)1( −+= mipia Se despeja ip

mipia )1()1( +=+

ipia m +=+ 1)1(1

ipia m =−+ 1)1(1

1)1(1

−+= miaip ; pero como ip=i/m, tenemos:



122

1)1(1

−+= miami

−+= 1)1(

1miami

Que es la fórmula para hallar la tasa nominal equivalente, i, conocida la tasa efectiva, ip, cuando las capitalizaciones son vencidas. Ejemplo Una compañía de financiamiento comercial asegura a los inversionistas una tasa efectiva anual del 38,48%, mediante la capitalización trimestral del interés. ¿Qué tasa nominal está ofreciendo?.

Fórmula:

−+= 1)1(

1miami

Donde; m = 4; ia = 38,48%

Se reemplaza, %92,331)3848,01(4 41

=

−+=i

Capitalizaciones Anticipadas Fórmula: 1)1( −−= −mipia Se despeja ip.

mipia −−=+ )1()1(

)1()1(1

ipia m −=+−

Se cambia de signo y se despeja ip,

miaip1

)1(1−

+−= Como: ip=i/m



123

miami 1

)1(1−

+−=

+−=

−miami1

)1(1

Que es la fórmula para hallar la tasa nominal equivalente a una tasa efectiva anual, cuando las capitalizaciones son anticipadas. Ejemplo La Corporación Financiera ofrece una tasa efectiva anual del 34,49% para sus CDT, que dice corresponder a una tasa nominal capitalizable mensualmente de manera anticipada. ¿Cuál es esa tasa nominal?.

Fórmula:

+−=

−miami1

)1(1

Donde, ia = 34,49% y m = 12.

Se reemplaza en la fórmula. %27,29)3449,01(112 121

=

+−=

−i

Conversión una tasa efectiva periódica en una tasa efectiva anual equivalente. Ejemplo ¿Cuál es la tasa efectiva anual equivalente a la tasa efectiva mensual del 3%? Número de meses en el año: 12 Se reemplaza, ia = (1+0,03)12-1 = 42,58% Conversión Una Tasa Efectiva Anual En Una Tasa Efectiva Periódica Equivalente. Ejemplo Convertir la tasa efectiva anual mensual a una tasa efectiva anual del 26,82%? Donde:



124

ia = 26,82% m = 12; Se reemplaza, im = (1+0,2682)1/12-1 = 2% Conversión una tasa efectiva periódica en otra tasa efectiva periódica equivalente. Ejemplo ¿Cuál es la tasa efectiva semestral equivalente a una tasa efectiva trimestralmente de 4,04%? Fórmula: 1)1( −+= Nitis Donde: número de trimestres en un semestre son 2. Se reemplaza: is = (1+0,0404)2 –1 = 8,24% Ejemplo ¿Cuál es la tasa efectiva para los 8 meses equivalente a una tasa efectiva mensual del 2%?. Fórmula: 1)1( −+= Nitis Donde: ip = ( 1+0,02)8-1 = 17,17% 5.9 RENTABILIDAD La rentabilidad efectiva de cualquier inversión se halla mediante el cálculo de la tasa efectiva. Sin embargo, existen otros dos factores que inciden sobre la rentabilidad y son determinantes para seleccionar una inversión. Ellos son los impuestos y la inflación. Ambos reducen el rendimiento y se hace necesario cuantificar su impacto, y se obtiene mediante el cálculo de la rentabilidad neta y real.



125

5.9.1 Rentabilidad Neta Es la tasa de interés que representa la rentabilidad después que han sido descontados los impuestos de la rentabilidad efectiva. Se representa por iN y está definida por la fórmula: iN = ia ( 1 – it) Donde: ia = Rentabilidad efectiva it = Tasa de impuestos. 5.9.2 Rentabilidad Real Es la tasa de interés que representa la rentabilidad después que ha sido descontado la tasa de inflación de la rentabilidad neta. Esta tasa se representa por iR y está dada por la fórmula: iR = iN –if Donde: iN = tasa neta if = tasa de inflación. Ejemplo Los CDT tienen un 12% de impuestos por retención en la fuente. Si la Corporación ofrece una tasa efectiva anual del 36,70% y la tasa de inflación del año fue del 9,23%. ¿Cuál será la rentabilidad neta y la rentabilidad real de estos certificados?. Rentabilidad Neta IN = 0,3670( 1 – 0,10) = 33,03% Rentabilidad Real iR = 0,3303 – 0,023 = 23,80% Que significa que la inversión en estos papeles estuvo cubierta de los impuestos y la inflación y se capitalizó en 23,80% efectivo en el año.



126

UNIDAD 6 Series Uniformes o Anualidades En los capítulos anteriores, los problemas se planteaban para los casos en los cuales un flujo de caja constaba de un pago único o de varios pagos diferentes en tiempos también diferentes. Y en estos problemas, calculamos tanto el valor presente como el valor futuro y, para algunos pocos, el tiempo y la tasa de interés. Sin embargo, en la vida real, también se presentan flujos de caja que ya están formados por pagos, también denominados cuotas, que pueden ser un ingreso o egreso que tienen la característica de ser todos iguales y tener unos intervalos iguales de tiempo. Tales flujos de caja o conjuntos de pagos reciben los nombres de uniformes, anualidades o rentas uniformes. Son los casos, por ejemplo, de las cuotas de pago de un carro comprado a crédito, cuotas de arrendamientos, el sueldo de un empleado, el recibo del cupón de un bono, entre otros, que no cambian su valor durante algunos períodos. La expresión anualidad puede cambiarse por la de rentas, series uniformes, pagos periódicos, amortizaciones u otros, según el caso y las costumbres locales. En este capítulo, estudiaremos, las anualidades más comunes y, por lo tanto, de mayor aplicación en los problemas de matemáticas financieras. Igual que en los capítulos anteriores, se entrará a calcular el valor presente, valor futuro, valor de los pagos y el tiempo, para la mayoría de las anualidades. Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Aquí el término de pago hace referencia tanto a ingreso como a egreso. De la misma forma, el término anualidad se utiliza para indicar que los pagos son periódicos y no necesariamente cada año. Los períodos pueden ser el día, la semana, la quincena, el mes, el trimestre o el año, entre otros. Horizontes • Comprender y analizar flujos de caja de pagos que pueden ser ingresos o

egresos, que tienen la característica de ser todos iguales y tener intervalos iguales de tiempo.



127

• Para la mayoría de las anualidades:

- Calcular el valor presente.

- Calcular el valor futuro.

- Calcular el valor de los pagos. • Utilizar el concepto de anualidades para casos financieros reales. Núcleos Temáticos y Problemáticos

Simbología

Anualidades Vencidas

Cálculo de la Renta en una Anualidad

Cálculo del Tiempo o Plazo de una Anualidad

Cálculo de la Tasa de Interés de una Anualidad

Anualidades Anticipadas

Anualidades Diferidas

Anualidades Perpetuas Proceso de Información 6.1 SIMBOLOGÍA Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago determina diferentes tipos de anualidades, antes de entrar a estudiarlas, veamos algunas variables y su correspondiente significado. Renta u Cuota: Es el valor de cada pago periódico. Período de Pago o Período de la Renta: el tiempo fijado entre dos pagos sucesivos. Tiempo o Plazo de una Anualidad: el intervalo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el final del último pago.



128

Renta Anual: la suma de los pagos hechos en un año corresponde a la renta anual. Tasa de una Anualidad: el tipo de interés fijado es la tasa de la anualidad y puede ser nominal o efectiva. Utilizaremos la siguiente notación para el tratamiento de las anualidades P = Valor Presente F = Valor Futuro A = PagoPperiódico de una Anualidad o Renta n = Número de Pagos Periódicos i = Tasa Efectiva por Periodo de Capitalización j = Tasa Nominal Anual m = Número de Capitalizaciones en el Año j(m) = Tasa Nominal con m Periodos de Capitalizaciones en el Año. Según el tiempo, las anualidades, se agrupan en dos clases; anualidades ciertas y anualidades eventuales o contingentE. Anualidades ciertas son aquellas cuyas fechas inicial y terminal se conocen por estar estipuladas en forma especificas. Anualidades contingentes, son aquellas en las que el primer pago o el último, es decir, la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse. Las principales clases de anualidades ciertas, son las siguientes:

• Vencida

• Anticipada

• Diferida

• Perpetua 6.2 ANUALIDADES VENCIDAS Se llama anualidad vencida aquella en la que el pago se hace al final del periodo. El salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la adquisición de vehículos o de electrodomésticos por el sistema de financiación, son casos de anualidades vencidas. El valor de la anualidad calculado a su terminación es el valor futuro de ésta. El valor de la anualidad calculado al comienzo es su valor presente. Estos valores



129

pueden, también calcularse en fechas intermedias; en tal caso, se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las anualidades por vencer. Así por ejemplo, una renta de $5.000 pagaderas cada final de año durante 4 años, tendrá un valor futuro, F, al finalizar los cuatros años y tendrá un valor presente, P, en su fecha inicial. Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad, de la parte por vencer, tal como lo muestra la gráfica adjunta. 6.2.1 Cálculo del Valor Futuro Los pagos A efectuados al final de cada periodo ganan interéses compuesto, hasta la fecha final. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha focal, se tiene, entonces.

00 11 nn--11 NN ppeerriiooddooss

CCuuoottaa == AA

FF

AA AA

CCuuoottaa == 22..000000

PP

FF

PPaarrttee vveenncciiddaa

FFeecchhaa

PPaarrttee ppoorr vveenncceerr

11 66 aaññooss



130

Cada pago efectuado al final del periodo capitaliza los interéses en cada uno de los siguientes periodos. El primer pago acumula durante (n-1), el segundo (n-2) periodos y, así, sucesivamente hasta el último pago que no obtiene interéses, ya que coincide con la fecha de término. Los valores futuros respectivos de los pagos A comenzando por los últimos serán:

A, A(1+i), A(1+i)2, A(1+i)n-2, A(1+i)n-1.

El valor futuro total F de la anualidad es igual a la suma de los valores futuros producidos por las distintas rentas A, o sea:

F = A+ A(1+i) + A(1+i)2 +.,+ A(1+i)n-2 + A(1+i)n-1

Los términos del segundo miembro forman una progresión geométrica de n términos, razón (1+i) y primer término. Al aplicar la fórmula de la suma dada, se tiene:

1)1(

−−

=rraS

1)1(1)1(

−+−+

=iiFn

iiAFn 1)1( −+

=

En notación estándar; F = A(F/A, i%, n) Se pide hallar F, dados; el pago periódico A, la tasa i% por periodo y el número n de periodos. Si el valor de cada pago A es de una unidad monetaria, el valor futuro F corresponde al valor futuro de una anualidad de uno por periodo; el cual se denominan factor de valor futuro de una anualidad.

Notación algebraica lorfuturofactordevaii n

=−+ 1)1(

Notación estándar (F/A, i%,n) = factor de valor futuro. Los valores del factor (F/A,i%,n) pueden establecerse de diferentes formas, con una calculadora o usando las Tablas Financieras, el cual tiene los valores del factor de valor futuro de una anualidad, calculados para las tasas y números de periodos que se utilizan.



131

6.2.2 Cálculo del Valor Presente El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus interéses compuestos que, en el tiempo de una anualidad, proporcionará un valor futuro equivalente de la anualidad. Al formar la ecuación de equivalencia y utilizar como fecha focal la fecha al final, se tiene;

P(1+i)n= F

iiAiPn

n 1)1()1( −+=+

n

n

iiiAP −+

−+= )1(1)1(

iiAP

n−+−=

)1(1

Notación estándar P = (P/A,i%,n) Se pide P, dados el pago periódico A, la tasa i% por periodo y el número n de periodos. Si el valor de cada pago A es de una unidad monetaria, el valor presente P corresponderá al valor presente de una anualidad de uno por periodo y se expresa por el factor de valor presente de una anualidad de $1.

Notación algebraica: ii n−+− )1(1

= factor de valor presente

00 11 nn--11NN ppeerriiooddooss

CCuuoottaa == AAAA AA

PP



132

Notación estándar: (P/A,i%,n) = factor de valor presente. Los valores del factor presente de las anualidades pueden hallarse mediante calculadora o mediante las tablas financieras que tienen tabuladores estos valores. Ejemplo Una persona que viaja fuera de la ciudad deja un apartamento en una arrendadora por 5 años, con la condición de que paguen $200.000 por trimestre vencidos. Esta suma se consignará en una cuenta de ahorros que paga el 7% anual. Hallar el valor futuro en los 5 años y el valor presente del contrato de arrendamiento. Solución

iiAFn 1)1( −+

=

F = A (F/A,i%,n)

A = $200.000;j = 0,07; i t= 0,07/4= 0,0175;n = 4*5 = 20

F = 200.000 (F/A,0,0175, 20); En las tablas (F/A,0,0175,20)= 23,70161119

F = 200.000 * 23,70161119 = $4.740.322,24

P = A(P/A,i%,n) = 200.000(P/A, 0,0175,20) En las tablas, tenemos que, (P/A,i%,n) = 16,35143334 P = 200.000*16,35143334 = $3.270.286,67 Ejemplo Durante un año y medio, se hacen depósito por mes vencido de $12.000 cada uno, en una institución de ahorro que paga interés del 3% mensual. Calcular la suma total acumulada en la cuenta de ahorros al final de este tiempo. Solución En este, ejemplo, la pregunta hace referencia al valor futuro de la anualidad de 18 depósitos mensuales de valor A =$12.000 cada uno



133

El diagrama de flujo de caja del ejemplo, es el siguiente: Donde A = $12.000 n = 18 meses im = 3%; F=? Formula notación estándar F = A(F/A,i%,n) 12.000(F/A,3%,18) = $280.973,22 Ejemplo Hallar el valor de contado de un artículo que a crédito se adquiere con 18 cuotas de $20.000 cada una por mes vencido, sabiendo que se cobra un interés del 2,5% mensual. Solución Diagrama de flujo de caja . En este caso, el valor de contado corresponde al valor presente de las cuotas que se pagarían si se adquiriera a crédito.

1188

1122..000000

iimm==33%%

FF

2200..000000

iimm==22,,55%%

PP==??

1188



134

Datos A = $$20.000 n = 18 pagos; i = 2,5% mensual P =? Fórmula notación estándar P = A(P/A,i%,n) = 20.000(P/A,2,5%,18) = $287.067 Utilizando la fórmula, con base en una calculadora, tenemos:

067.287$025,0

)025,01(000.2018

=+

=P

O sea, que el valor de contado del artículo es de $287.067 6.3 CÁLCULO DE LA RENTA EN UNA ANUALIDAD Es frecuente la necesidad de conocer el importe de pagos periódicos, para lograr determinado resultado; así, por ejemplo: ¿Cuál es el pago mensual que debe hacerse para cancelar el valor de una propiedad, en cierto número de años?, ¿Qué cantidad habrá que colocar periódicamente, en un fondo de amortización, para cancelar una obligación a largo plazo?, ¿Con qué cuotas periódicas puede cancelarse una mercancía, conocido su valor de contado y la tasa de interés? En esta sección se pueden plantear dos problemas, según se conozca el valor futuro para cancelar en fecha futura o el valor presente por cancelar, mediante pagos periódicos. • Cálculo de la renta cuando se conoce el valor futuro:

De la fórmula:iiAFn 1)1( −+

=

Se obtiene: 1)1(

*−+

= niiFA

Fórmula notación estándar: A = F(A/F,i%,n) El factor de [ì/(1+i)n-1] = (A/F,i%,n) recibe el nombre de factor del fondo de acumulación, que corresponde al valor de la renta de una anualidad cuyo valor futuro ascenderá a una unidad monetaria, después de n pagos, a la tasa i por periodo de pago.



135

• Cálculo de la renta, cuando se conoce el valor presente:

De la fórmula: iiAP

n−+−=

)1(1

Se obtiene: niiPA −+−

=)1(1

De la notación estándar: A = P(A/P,i%,n) El factor [i/1-(1+i)-n] = (A/P,i%,n); recibe el nombre de que corresponde al valor de la renta de una anualidad que factor de amortización, amortiza una deuda de una unidad monetaria, en n pagos, a la tasa i por periodo de pagos. Ejemplo Se deben reunir $850.000 para dentro de dos años. Con tal fin se decide hacer depósitos iguales por mes vencido en una institución que paga, el 2,65% mensual. Hallar el valor de los depósitos. Solución El diagrama de flujo de caja Datos F= $850.000; n = 24 pagos i = 2,65% mensual A =? A = 850.000(A/F,2,65%,24) = $25.792 El resultado anterior, se puede interpretar como que $850.000 dentro de dos años, (24 meses) son equivalentes financieramente a los 24 depósitos de $25.792 siempre y cuando el dinero rinda el 2,65% mensual.

11

22

885500..000000

iimm==22,,6655

AA==??



136

Ejemplo Un televisor tiene un valor de contado de $1.000.000. Se desea adquirir a crédito así: una cuota inicial de $300.000 y el resto financiado a 18 meses o cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés que se cobra por la financiación es del 3% mensual. Hallar el valor de las cuotas. Datos Valor presente (Saldo a deber) = Valor de contado cuota inicial Valor presente = 1.000.000 – 300.000 = $700.000 n= 18 cuotas mensuales; im = 3% A = 700.000(A/P,3%,18) = 700.000 * 0,0727087 = $50.896,09 6.4 CÁLCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD Si en la fórmula se conoce el valor futuro o el valor presente, la tasa de interés y la anualidad A, puede calcularse el valor de n o sea el número de pagos. Mediante logaritmos, se puede resolverse para n , de la siguiente forma:

iiAFn 1)1( −+

=

iF = A(1+i)n-A; A(1+i)n =iF+A log A + n log(1+i) = log (iF+A) n log(1+i) = log(iF+A) – log A

)1log(log)log(i

AAiFn+

−+=

En la práctica, el cálculo de n también se puede hallar utilizando ecuaciones de equivalencia, interpolando entre dos valores de las tablas, o mediante un programa de computación.



137

Ejemplo ¿Cuántos pagos semestrales de $600 deberán hacerse para cancelar una deuda de $4.500, al 8% de interés capitalizable semestralmente?. Solución Fórmula P = A(P/A,i%,n) Datos Valor actual de la deuda = $4.500; P = $4.500 j = 8% m=2 is = 0,08/2 = 4,0% Entonces: 4.500 = 600(P/A,4,0%,n) (P/A,4,0%,n) = 4.500/600 (P/A,4,0%,n) = 7,5 Se busca en la tabla del valor presente de una anualidad y no encontramos que en la columna de 4,0%, no existe para n entero el valor de 7,5, ya que éste se encuentra comprendido entre: (P/A,4,0%,9) = 7,43533161y (P/A,4,0%,10) = 8,11089578 Se necesita calcular un valor decimal aproximado al número de periodos, luego se actúa de la siguiente forma, por interpolación lineal, así:

a 10 8,11089578 a n 7,500000000 a 9 7,43533161 a 9 7,43533161 1 0,67556417 a n-9 0,06466839

06466839,09

67556417,01 −

=n

09572501,067556417,006466839,09 ==−n

n = 9,09572501 periodos semestrales



138

En las actividades financieras se acostumbran dar soluciones prácticas, optando por cualquiera de las dos alternativas, que se expresan a continuación:

• Aumentar el pago correspondiente al último periodo entero (en este caso el 9).

• Utilizar el entero superior, efectuando un pago menor en el último periodo ( En este caso, se trabajaría con 10 periodos, efectuando un pago menor al final del 10 pago).

Al tomar, el caso b, debemos plantear una ecuación de equivalencia y escogemos la fecha inicial, como fecha focal, así; 4.500 = 600(P/A,4%,9) + X(1+0,04)-10 4.500 = 600(7,43533161) X(0,67556417) 4.500 = 4.461,20 + 0,67556417X X = (4.500 – 4.461,20) / 0,67556417 X = $57,43 Luego la anualidad, éste caso, estaría conformada por 9 pagos de $400 y un décimo de $57,43. Para el cálculo del último pago, es posible aprovechar la interpolación anterior y se tendría:

09572501,067556417,006466839,09 ==−n

43,57$)600(67556417,006466839,0

=

6.5 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD La tasa i de una anualidad puede ser una incógnita, cuando se conocen los demás elementos de una anualidad, con el fin de hallarla desde el punto de vista matemático, se acostumbra a interpolar, pero para fines prácticos se toma el valor aproximado.



139

Ejemplo

Una institución ofrece, por sus cédulas de capitalización, un pago inmediato de $480.000, una renta anual de $15.000, durante 24 meses, al comprador. ¿Qué tasas de interés esta ofreciendo?. Solución

Fórmula notación estándar A(P/A,i%,n) = P (P/A,i%,n)=P/A

Datos P = $480.000 A = $25.000 n = 24; (P/A,i%,n) (P/A,i%,24) = 480.000/25.000 = 19,20000000 Para encontrar los valores de (P/A, i%, 24) entre los cuales se halle comprendido el valor 32,00000, se busca en la tabla de valor presente de una anualidad, en la línea correspondiente a n = 24. Estos valores encontrados son: Para (P/A,1,75%,24) = 19,46068565 Para (P/A,2,00%,24) = 18,91392560 Para el valor dado de (P/A,i%,24) = 19,32, se calcula i por interpolación, así: a 0,0175 19,46068565 a i 19,20000000 a 0,02 18,9139256 a 0,02 18,9139256 -0,0025 0,5467005 i – 0,02 0,2860744

2860744,002,0

5467005,00025,0 −

=− i

00130819,05467005,0

2860744,0*0025,002,0 −=−

=−i

i = 0,02 + 0,00130819 = 0,02130819 = 2,13% Ejemplo Financiar $5.400.000 a un año y medio en cuotas trimestralesiguales y un interés del 32%. Elaborar una tabla de amortización, discriminando los interéses pagados y el abono a capital en cada periodo.



140

Solución Financiar una deuda es determinar cuándo y cuánto debe pagarse. En nuestro ejemplo conocemos que los pagos deben efectuarse cada trimestre durante un año y medio, de tal forma que sólo queda pendiente hallar el valor de los pagos trimestrales iguales. Datos P = $5.400.000 n = 6 j=32% m = 4 it = 0,32/4=8%;

5.400.000 = A(P/A,8,0%,6) $1.168.103 La tabla de amortización, quedaría así:

Trimestre Interéses Cuota Abono a Capital Saldo 0 0 0 0 5.400.000 1 430.000 1.168.103 736.103 4.663.897 2 373.111,8 1.168.103 794.991,24 4.663.897 3 309.512,5 1.168.103 858.590,5 3.868.905,7 4 240.852,2 1.168.103 927.277,8 2.083.037,4 5 166.643 1.168.103 1.001.460 1.081.577 6 86.526,2 1.168.130 1.081.577 0

De acuerdo con la tabla de amortización de una deuda en cuotas uniformes y periódicas, el monto que se paga por interéses en cada periodo va disminuyendo a medida que avanza el tiempo, en tanto que el abono a capital va aumentando en cada periodo y el saldo va disminuyendo hasta llegar a cero (0) en el último periodo. 6.6 ANUALIDADES ANTICIPADAS En los negocios, es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al comienzo de cada periodo; tal es el caso de la renta de terrenos, edificios y oficinas, cuyo alquiler se paga al principio del periodo. En las ventas a plazos se suele estipular una serie de pagos al comienzo de los periodos convenidos en el contrato de



141

venta. En los seguros, ya sean seguros de bienes en general, de vida o de protección contra riesgos, las pólizas, por lo general, estipulan que el asegurado debe pagar sus cuotas o primas al comienzo de cada periodo. En estos casos se usa la expresión “El pago vence a principio del periodo”. Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del periodo de pago. Para el cálculo tanto del valor presente como del valor futuro de una anualidad anticipada no se requiere establecer nuevas fórmulas, sino que se puede utilizar las expresiones ya conocidas en las anualidades vencidas y adecuarlas a la situación que se esté analizando y con lagunas modificaciones y así poder resolver el mayor número de situaciones o problemas con el mínimo de fórmulas. Sea el diagrama de una anualidad anticipada de A por periodo. Obsérvese que al agregar un último pago A se obtiene el valor futuro de una anualidad vencida de A, pagadera durante, F = (F/A,i%,n+1); n+1 periodos restando a este valor el último pago A, el cual se había agregado, se obtiene el valor futuro de una anualidad anticipada de A, por periodo pagadero durante n periodos. Notación estándar: F = A(F/A,i%,n+1)-A; F = A[(F/A,I%,n+1)-1]

Algebraica: 11)1([1

−−+

=+

iiAFn

El factor [(F/A,i%,n+1)-1] es el factor de valor futuro de anualidades anticipadas de una unidad monetaria pagada durante n periodos, a la tasa i por periodo. Se puede expresar en la forma (F/A,i%,n). Los valores del factor de valor futuro de una anualidad anticipada en n periodos se obtienen restando 1 al valor del factor de valor futuro de anualidades vencidas correspondientes a (n+1) periodos.

nn --11 00

nn--11

AA

FF



142

En la notación estándar no hay diferencia entre anualidades anticipadas y vencidas; la diferencia surgiría al interpretar el factor que se debe aplicar. Los valores de las anualidades anticipadas se calculan utilizando ecuaciones de equivalencia que permitan aplicar los factores de las anualidades vencidas. Es importante comprender la necesidad de elaborar, para cada problema el correspondiente diagrama de flujo de caja, mediante la ubicación de los valores actuales, valores futuros y pagos periódicos, además de determinar n enumerando el diagrama de flujo de caja. Para situaciones equivalentes se deben trazar ambos diagramas y con base en ellos establecer las ecuaciones de equivalencias. Ejemplo El propietario de una casa recibe por concepto de arriendo de la misma $350.000 mensuales, de los cuales deposita el 40% cada mes en una corporación de ahorro que paga el 2,5% de interés mensual. Realiza cada depósito el mismo día que recibe la renta. Si la casa estuvo arrendada por espacio de dos años, hallar la cantidad total acumulada en la cuenta de ahorro al final de los dos años. Solución Con el supuesto de que el valor del arriendo de un inmueble debe pagarse por mes anticipado y, que en nuestro caso la cantidad depositada cada mes es de 0,40($350.000) = $140.000. Datos A = $140.000 n = 24 pagos i% = 2,5% mensual F = ? Fórmula F = A[(F/A,i%,n+1)-1] =

F = 140.000 [(F/A,2,5%,24+1)-1] = $4.642.087 6.6.1 Cálculo del Valor Presente Si en el diagrama de una anualidad anticipada pagadera durante n periodos se suprime el primer pago A, se tiene una anualidad vencida de A, por periodo, pagadera durante n-1 periodos.



143

Su valor presente es P =A(P/A,i%,n-1). Agregando a este valor el primer pago que se había suprimido, se obtiene el valor presente de una anualidad anticipada de A, por periodo, pagadera durante n periodos. P=A(P/A,i%,n-1)+A P =A[(P/A,i%,n-1) +1] Este mismo resultado puede obtenerse planteando la siguiente ecuación de equivalencia y utilizando la fecha inicial como fecha focal. P = A(F/A,i%,n-1)(1+i)-(n-1)+ A P = A[(F/A,i%,n-1)(1+i)-(n-1)+1]

Como (F/A,i%,n-1) = ii n 1)1( 1 −+ −

Luego P = A[ii n 1)1( 1 −+ −

(1+i)-(n-1)+1]

Ó sea 1)1(1 )1(

++−

=−−

iiAP

n

[(P/A,i%,n-1)] es el factor de valor presente de una anualidad anticipada de $1 por periodo pagada durante n periodos. Se puede expresar en la forma (P/A,i%,n). El tratamiento de los problemas que involucran anualidades anticipadas, por lo general, no es diferente de lo tratado en los problemas de anualidades vencidas. En todo caso, es recomendable plantear las ecuaciones de equivalencias y no depender de la simple aplicación de las fórmulas, ya que éstas resultan muy limitadas ante la gran variedad de problemas por abordar en matemáticas financieras. Ejemplo Se tiene una obligación que en un primer momento se había pactado cubrir en 18 cuotas de $15.000 por mes anticipado; se decide pagarla de contado.

nn

AA

AA

00

PP FF



144

Si la tasa de interés acordada es del 3% mensual, hallar este valor de contado. Solución Datos A = $15.000 n = 18 pagos i = 3% mensual P =? Aplicando la notación estándar, tenemos: P = A(P/A,i%,n-1) + 1] = 15.000 [(P/A,3%,18-1) + 1] = $212.491 Ejemplo Carmen Rodríguez desea ahorrar dinero y debe escoger entre dos pólizas de capitalización que le ofrecen bajo las siguientes condiciones: Condición A: cancelar $10.000 trimestrales pagaderos a principio de cada trimestre durante 5 años para formar un capital de $270.000. Condición B: cancelar $4.000 mensuales pagaderos a principios de cada mes durante 5 años para formar un capital de $320.000

Entre las dos alternativas es mejor la que ofrezca mayor tasa de retorno. Solución Condición A: utilizando las tablas: Datos n = 20 trimestres A = $10.000 F = $270.000 ip =? Fórmula F = A[(F/A,i%,n+1)-1]270.000 = 10.000[(F/A,i%,20+1)-1] (F/A,i%,21) = (270.000/10.000 ) +1



145

= 28.000000000 Se busca en las tablas para n = 21, los valores más próximos a 28,000; (F/A,2,5%,21) = 27,18327405 (F/A,3,0%,21) = 28,67648572 a 0,03 28,67648572 a i 28,0000 a 0,025 27,18327405 a 0,03 28,67648572 0,005 1,49821167 i-0,03 -0,67648572

00225764,049821167,1

)67648572,0(005,003,0 =−

=−i

i = 0,00225764 + 0,03 = 0,032257 = 3,226% j = 0,032257*4 = 12,90% TIR = 12,90% Condición B: utilizando calculadora

11)1([1

−−+

=+

iiAFn

]

Datos A = $4.000 n = 12*5 = 60 F = $320.000

11)1([000.4000.320160

−−+

=+

iii

000000,80000.4000.3201)1( 61

==−+

ii

Por el método del ensayo y error, se busca una tasa de interés que nos de un factor de 80,000 • Primer ensayo: Paso uno: (1.01)61 = 1,83486367

67648572,003,0

49821167,1005,0

−−

=i



146

Paso dos: 1,83486367 – 1 = 0,83486367 Paso tres: 0,83486367 / 0,01 = 83,48636656 > 80,0 • Segundo ensayo: Paso uno: (1.0075)61=1,57742363 Paso dos: 1,57742363 –1 = 0,57742363 Paso tres: 0,57742363 /0,0075 = 76,98981795 < 80,000 • Tercer ensayo: Paso uno: (1.00875)61= 1,70136076 Paso dos: 1,70136076 – 1 = 0,70136076 Paso tres: 0,70136076/0,00875 = 80,1555 0 aproximado 0,875% TIR = 0,0810,5075*12 = 10,50% Ejemplo Un comerciante vende equipos de sonido por un precio de $175.000 al contado. Promueve su venta a plazos, en 18 meses, sin cuota inicial, con un recargo del 24% convertible mensualmente. Hallar la cuota periódica o renta. Se entrega el equipo contra pago de la primera cuota. Solución P =A[(P/A,i%,n-1) +1] A = P[1/(P/A,I%,n-1)+1] = P(A/P,i%,n) El factor 1/(P/A,i%,n-1) = (A/P,i%,n); es el factor de amortización con anualidades anticipadas. Datos P =175.000 j = 0,24 m = 12 i=0,02 n = 18

A = 175.000/15,29187188 = $11.444



147

6.7 ANUALIDADES DIFERIDAS Se llama anualidad diferida aquella en que el primer pago se realiza algunos periodos después de iniciada la operación financiera. Por ejemplo, se conviene amortizar una deuda adquirida hoy en cierto número de pagos mensuales iguales y el primer pago debe realizarse dentro de tres meses. Intervalo de aplazamiento: es el tiempo transcurridos entre la fecha inicial, o fecha de valoración de la anualidad, y la del primer pago. Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que corresponde a un periodo de pago. Así, por ejemplo, si dentro de 2 años se efectuara el primer pago de una anualidad vencida de $A por semestre y cuyo plazo es de 3 años, se tendría: Tiempo diferido = 3 periodos semestrales

Tiempo plazo de la anualidad = 7 periodos

Tiempo total = tiempo diferido más tiempo de la anualidad Por lo general, las anualidades diferidas se analizan como ordinarias o vencidas; de manera que, en los problemas, al hablar de una anualidad diferida se supone que es vencida. Para el cálculo de los valores de las anualidades diferidas no se requieren nuevas fórmulas, ni tablas distintas descritas a las ya enunciadas. El alumno debe entender la importancia de analizar, los problemas, representándolo gráficamente que le permitan determinar, cada una de las variables que intervienen él, como son; el tiempo diferido, el tiempo de pago, para después plantear las ecuaciones de equivalencia que orienten la correcta solución.

AA

33

KK 1100

KK== ffeecchhaa iinniicciiaall ddee llaa aannuuaalliiddaadd vveenncciiddaa



148

6.7.1 Cálculo del Valor Presente Sea una anualidad vencida, diferida K periodos, de $A por periodo pagaderos durante n periodos, a la tasa i por periodo. Representándolo gráficamente, en un diagrama tenemos; Al formar una ecuación de equivalencia y utilizar como fecha focal el final del periodo K, siendo P el valor presente en la fecha inicial, se tiene: Notación estándar P(F/P, i%,K) = A(P/A, i%, n) P = A(P/A, i%, n) (P/F, i%, K) Notación algebraica

(P/A, I%, n) kn

iKiFPii −+=

+−= )1()%,,/8;)1(1

Kn

iiIP −

−

++−

= )1(*)1(1

Otro método para calcular el valor de las anualidades diferidas consiste en tratarlas como diferencia, entre dos anualidades no diferidas, así;

El valor presente de I es P1 = A(P/A, I%,K+n)

El valor presente de II es P2 = A(P/A, i%, k)

El valor presente de III es P3 = P1 - P2 P3 = A(P/A, i%,K+n) - A(P/A, i%, k) De donde, el valor presente de la anualidad diferida K periodos es: P = A[(P/A, i%, k+n) - (P/A, i%, k)]

11 KK KK++11 KK++nn

TTiieemmppoo ddiiffeerriiddoo TTiieemmppoo ddee aannuuaalliiddaadd

AA



149

Otra forma de presentación es: (P/A, i%, k+n) = (P/A, i%, k) + (1+i)-k (P/A, i%, n) Al sustituir en la fórmula anterior, tenemos: P = A[(P/A, i%, k) + (1+i)-k (P/A, i%, n) - (P/A, i%, n)] O sea P = A (1+i)-k(P/A, i%,n) P = A (P/F,I%,k)(P/A,I%,n) Ejemplo Calcular el valor actual de una renta de $25.000 trimestrales, si el primer pago debe recibirse dentro de 2 años, y el último dentro de 6 años, si la tasa de interés es del 12% convertible trimestralmente. Solución El intervalo diferido es de 7 trimestre y el tiempo de pago tiene 17 trimestres. P = A[(P/A, i%, k+n) - (P/A, i%, k)] Datos A = $25.000 j = 12% m = 4 it=0,12/4 = 3% K=7 n=17; P = 25.000[(P/A, 3%, 24) – (P/A, 3%, 7)] P = 25.000 ( 16,93554212 – 6,23028296) = $267.631,48 Si se aplica la fórmula: P = A(P/F, i%, K)(P/A,i%,n) P = 25.000 (0,81309151)(13,16611847) = $267.631,48 Solución con calculadora, tenemos;

Kn

iiIP −

−

++−

= )1(*)1(1



150

48,631.267$)03,01(*03,0

)03,01(1*000.25 717

=++−

= −−

P

Ejemplo Se adquiere hoy un electrodoméstico financiado de la siguiente manera: 18 cuotas mensuales de $50.000 cada una. Para cancelar la primera dentro de cinco meses y una tasa de interés del 3% mensual. Transcurrido un mes, se opta por cubrir en un solo pago el valor de la deuda, hallar el valor de este pago único. Solución Datos A = $50.000 n = 18 pagos i = 3% P =?. Aplicando la fórmula, tenemos; P = 50.000 (P/A,3%,18) (P/F,3%,3) P = 50.000 (13,75351308)(0,91514166) = $629.320,64 6.7.2 Cálculo del Valor Futuro Para el valor futuro de la anualidad diferida, es el propio valor futuro o monto de la anualidad, correspondiente al tiempo de pago. Su cálculo es de la misma forma que las anualidades vencidas o anticipadas. 6.7.3 Cálculo de la Renta u Cuota Para el cálculo de la renta se despeja, según el caso, el valor A en las fórmulas correspondiente. Por ejemplo: P = A(P/F, i%, K)(P/A,i%,n), se tiene al despejar A;

)%,,/)(%,,/()%,,/()%,,/( niPAkiPFP

niAPkiPFPA ==



151

Con la fórmula: P = A[(P/A, i%, k+n) - (P/A, i%, k)]; al despejar, tenemos; A = P/[(P/A, i%, k+n) - (P/A, i%, k) Ejemplo Al cumplir un joven 9 años, su padre deposita $30.000.000 en un fondo universitario que abona el 24%, a fin de que al cumplir 16 años comience a recibir una renta semestral para costear sus estudios universitarios durante 5 años. Hallar el costo anual de los estudios. P = $30.000.000; j = 24% m = 2;is = 0,24/2= 12%;K = 13; n = 11;

13,046380.2242354842,678431581,7

000.000.30)13%,12,/()1311%,12,/(

000.000.30=

−=

−+=

APAPA

6.8 ANUALIDADES PERPETUAS Se llama anualidad perpetua aquella cuyo plazo no tiene fin. En los negocios, se da caso de ciertas rentas, salvo casos imprevistos, se paguen indefinidamente. Entre estas, se pueden destacar, cuando se pagan a perpetuidad la renta de un terreno, los legados para instituciones de beneficencia, los dividendos sobre acciones preferentes, las sumas que es necesario reservar cada año para proveer la reposición periódica de puentes, acueducto y en general, todos los elementos de servicios de una comunidad. Tomemos el caso general de una anualidad perpetua cuyos pagos tienen un valor de $A y con una tasa de interés de i% por periodo. Para esta clase de anualidad no existe el valor futuro y sólo existe el valor presente. El diagrama de flujo de caja que se presenta a continuación, nos muestra, el caso de una anualidad perpetua. Siempre que se trate de una serie perpetua de pagos, el método para hallar el valor presente es considerar los n primero pagos de la serie, y determinar el correspondiente valor presente. Al crecer n se origina una sucesión [Pn] que depende de n; el valor presente de la serie será igual al límite ( si existe) de esa sucesión.



152

Para nuestro caso tenemos que Pn = A(P/A, i%,n), entonces el valor presente P estará dado por: P = lím Pn, o sea;

P = lim n->∞ A(P/A,i%,n) iA

iilímA

n

=++

=−)1(1

Esto indica que para la anualidad perpetua representada en el diagrama, el valor presente está dado por la Expresión:

P = A/i Ejemplo Supongamos que el mantenimiento de un activo de vida perpetua, va a tener un costo anual de $5.000.000. Se desea constituir un fondo con un deposito único hoy, en una cuenta de ahorros que pagan un interés del 32% anual, de tal forma que cada año puede retirarse de esta cuenta la suma necesaria para cubrir el costo de mantenimiento. Hallar el valor del depósito. Solución Datos A = $5.000.000 i = 32% P =?

Aplicando la fórmula, tenemos; 000.625.15$32,0

000.000.5===

iAP

Esto, se interpreta que un depósito hoy de $15.625.000 se podrá retirar cada año la suma de $5.000.000, siempre y cuando paguen una tasa de interés del 32%.

PP

11nn

nn++11

AA



153

6.8.1 Valor Presente de una Anualidad Perpetua Anticipada Cuando el pago de la renta perpetua es de inmediato, al trazar el diagrama se observa que el valor actual es equivalente al de una renta perpetua, aumentando en el primer pago que debe efectuarse de inmediato. Representación gráfica Se deduce que el valor presente de la anualidad perpetua anticipada es aquella cantidad P que, disminuida en la primera cuota A, produce como interés la suma A, o sea: (P – A)i = A

en donde: iAAP +=

Si el pago que debe efectuarse de inmediato es W distinto de A, se tiene para el valor actual de:

iAWP +=

Ejemplo Una empresa concede un legado a un Hospital de la ciudad, consistente en una suma de $25.000.000 para la adquisición de equipos infantiles y $8.000.000 para su funcionamiento. Determinar el valor actual del legado, si la tasa del mercado es del 24%. Solución Datos W = $25.000.000 A = $8.000.000 i = 24%

PP

11 nn++11

AA



154

iAWP += = 25.000.000 + (8.000.000/0,24) = $58.333.333,33

6.8.2 Valor Presente de una Anualidad Perpetua por Pagar al Final de

Cierto Número de Periodos de Capitalización En las empresas públicas y privadas, es normal que los pagos de la anualidad perpetua deban efectuarse trascurridos cierto número de periodos de capitalización y, así sucesivamente por siempre. Tal es el caso de las erogaciones que debe efectuarse para la reposición de activos. Por ejemplo, los puentes, los equipos industriales, etc., puesto que estos activos fijos deben ser reemplazados periódica e indefinidamente por otros nuevos, el costo de las sustituciones constituyen una anualidad perpetua. Estos casos se pueden representar gráficamente, en donde W es el costo de reemplazo. El valor W de cada pago puede considerarse como el valor futuro de K pagos de valor A , efectuados al final de cada periodo de capitalización. Utilizando la Fórmula de: F = A(F/A,i%,n),sustituimos los valores F = W (costo de reemplazo) n = k W = A(F/A,i%,k) y

De donde: )%,,/()%,,/(

1 KIFAWKIAF

WA ==

El valor presente de la anualidad perpetua se obtiene al reemplazar en la fórmula, P = A/i, el valor de A;

)%,,/( kiFAiWP =

El factor (A/F,i%,k)/i es el valor presente de una renta perpetua de una cantidad monetaria, pagadera cada K periodos, a la tasa efectiva de i por periodo.

11

WW WW

AA



155

Ejemplo La junta municipal del pueblo decidió crear un fondo para proveer a perpetuidad las reposiciones de un puente, cuyo costo es de $60.000.000. La Secretaria de Obras Públicas estiman que será necesario reemplazarlo cada 10 años, a un costo de $40.000.000, Determinar el valor requerido para el fondo a fin de proveer los reemplazos futuros, si la tasa de interés es del 28%. Solución Datos W = $40.000.000 i = 28% k = 10;

)%,,/( kiFAiWP = =

= 94,675.701.3$)02591173,0(86,142.857.142)10%,28,/(28,0

000.000.40==FA

Proceso de Comprensión y Análisis • Una persona deposita $10.000 al final de cada año, durante 12 años, en una

cuenta de ahorros que paga el 18%. Hallar el valor futuro. Datos A = $10.000 n = 12 años ia = 18% F = ? Fórmula notación estándar: F = A(F/A,i%,n) F = 10.000 (F/A, 18%, 12) F = 10.000 *34,98107014 F = $349.310,70



156

• Una empresa vende neveras con una cuota inicial de $200.000 y 12 cuotas mensuales de $80.000. Si se carga el 24% con capitalización mensual. Hallar el valor de contado.

Datos

Valor de contado = cuota inicial + valor presente de las cuotas mensuales Valor de contando = cuota inicial + A(P/A,i%,n) Cuota inicial = $200.000; A = $$80.000; j = 24% m = 12, im = 0,24/12= 0,02 N = 12; P = 200.000 + 80.000(P/A,2%,12) = 200.000 + 80.000*13,41208973 = $1.072.967,18 • Una persona debe pagar una anualidad de $25.000 trimestrales durante 15

años. Si no efectúa los 6 primeros pagos, ¿Cuánto debe pagar al vencer el séptimo pago, para ponerse al día su deuda, si la tasa de interés existente en el mercado es del 24% con capitalización mensual?.

Representación gráfica Datos A = $25.000 n = cuotas atrasadas + cuota del mes = 7 cuotas mensuales j = 24% m =12 im = 0,24/12 = 2%; Fórmula notación estandar: F = A (F/A,i%,n) F = 25.000 (F/A,2%,7) F = 25.000 * 7,43428338 F = $185.857,08

77

FF==??

AA==$$2255..000000

iimm==226600



157

• La Junta Municipal, desea establecer un fondo, de tal forma que el hospital de la localidad que estará terminado dentro de 4 años reciba para su funcionamiento una renta anual de $70.000.000, durante 12 años. Hallar el valor del fondo, si una institución bancaria le ofrece el 24% de interés.

Solución: Fórmula: P = A[(P/A, i%, k+n) - (P/A, i%, k)] Datos A = $70.000.000 j = 24% k = 3 n = 13: P = 70.000.000[(P/A,24%,13+3) – (P/A,24%,3)] P = 70.000.000 (4,15114905 – 1,98130308) = $151.889.218,03 • José Aguilar deposita hoy $5.000.000 en una Corporación Financiera que

abona el 28% para que, dentro de 5 años, se le comience a pagar una renta que se le cancelará semestralmente durante 8 años. Hallar la renta semestral que recibirá.

Solución P = $5.000.000 j = 24% m= 2 i = 0,12; k = 9 n = 17 P = 5.000.000 = A[(P/A, 12%, 9+17) – (P/A, 12%,9) 5.000.000 = A (7,8956992 – 5,32824979) A = 5.000.000/2,56744941 = $1,947.458,04 • Una persona deposita $25.000 cada final de mes, durante 6 años consecutivos.

Hallar la suma que tendrá en su cuenta de ahorros 5 años después del último deposito, si el banco abona el 26%, convertible mensualmente.



158

Solución En este ejemplo no hay tiempo diferido, es una anualidad vencida cuyo valor futuro F queda diferido 5 * 12 = 60 periodos para su cobro; K =60. Datos A = $25.000 n = 6*12 = 72 k = 60 j = 26% m = 12 i = 0,26/12; Para efectuar el cálculo se establece una ecuación de equivalencia, donde la fecha final se toma como fecha focal. F = 25.000 (F/A, 26/12%, 72)(F/P, 26/12%, 60) = F = 25.000 (86,29232841)(33,39961012) =$72.053.253,13 • Un hospital recibió como donación una renta perpetua mensual de $1.000.000.

Si la tasa de interés para las inversiones es del 18%, Determinar el valor por el cual puede ceder sus derechos a la renta perpetua.

Solución Datos A = $1.000.000 j = 18% m = 12 im = 0,18/12 = 0,015 = 1,5% P = 1.000.000/0,015 = $66.666.666.67 • Hallar el valor presente de una anualidad perpetua de $2.000.000 trimestral

con un primer pago inmediato, si la tasa de interés nominal es del 18%. Solución Datos A = $2.000.000 j = 18% m =4 it = 0,18/4 = 0,045



159

44.444.444.46$045,0

000.000.2000.000.2 =+=P

• Una Universidad recibió un legado de $15.000.000 anuales a perpetuidad.

Cede los derechos por $90.000.000. Determinar la tasa de interés de la operación.

Solución Datos

P = $90.000.000

A= $15.000.000

i =?. i= 15.000.000/90.000.000 = 16,67% Tasa efectiva = 16,67% • Hallar el pago a perpetuidad por semestre, con un primer pago inmediato, que

puede comprarse con $10.000.0000, si la tasa de interés es del 22% efectivo anual.

Solución Datos

P = $10.000.000

ie= 22%

i = (1+0,22)1/2 – 1 = 10,4536%

iAAP +=

iPiA+

=1

= 000.000.1$04536.1

104536,0*000.000.10=

• Los postes de madera utilizados por una compañía eléctrica tienen un costo de

$20.000 y deben ser reemplazados cada 5 años; un proveedor ofrece un tratamiento químico que permite prolongar en dos años la vida útil de los postes. ¿Qué valor máximo puede pagarse por el tratamiento de cada poste?. Tasa de interés es de 20%.



160

Solución Datos El gasto adicional para prolongar la vida del poste = X; Costo inicial de los postes $20.000 Debe reemplazarse K años con el mismo costo = 5; Para prolongar la vida útil de l activo es b = 2; Tasa efectiva i = 20% X = 20.000(A/F,20%,5)(P/A,20%,2) X = 20.000*0,17045645*1,78326475 = $6.079,38 • Ud., tiene un contrato que estipula el pago de una deuda mediante 40 cuotas

mensuales iguales de $30.000 cada una y un interés sobre saldos del 28% anual durante el primer año y del 33% anual de allí en adelante. Si ud, desea saldar hoy este contrato con un pago único ¿De cuánto es ese pago?.

Solución Lo primero que debe hallarse es la tasa mensual equivalente a cada una de las tasas anuales dadas en el problema. Datos ie=28% im = (1+0,28)1/12 – 1 = 0,02078473; que corresponde a los 12 primeros meses. ie=33% im = (1+0,33) 1/12 – 1 = 0,02404955; que corresponde a los 28 siguientes meses El diagrama de flujo de caja es el siguiente: 3300..000000

PP==?? ii ==22,,00778844

ii == 22,,4400449955



161

P = es el pago único que va realizarse hoy Dados que la tasa de interés no es la misma para los 40 meses, debe hallarse el valor presente por fracciones, es decir, calculando el valor presente de cada uno de los grupos de pagos iguales que sólo están diferenciados por la tasa de interés. P = 30.000(P/A,0,02078473,12)+ 30.000(P/A, 0,02404955,28) (1.02078473)-12= Autoevaluación • Un padre de familia debe reunir $3.600.000 para dentro de cuatro años. Con

este fin abre una cuenta de ahorros hoy con $250.000, en una entidad que paga un interés del 32% convertible mensualmente y de aquí en adelante cada mes deposita $R. Hallar el valor de R, de tal manera que el padre de familia cumpla su objetivo.

• Un articulo tiene un valor de contado de $585.000 puede adquirirse financiado

con el siguiente plan: cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto a 18 cuotas mensuales iguales, la primera cuota debe pagarse dentro de ocho meses y un ultimo pago por $80.000 tre meses mas tarde de la ultima cuota mensual, si la tasa de interés es del 31% durante los siete primeros meses y del 9% trimestral de alli en adelante, hallar el valor de las cuotas uniformes mensuales.

• Hallar valor de contado de un articulo que a crédito se adquiere con 18 cuotas

de $20.000 cada una por mes vencido, sabiendo que se cobra un interés del 2.5% mensual.

• Se tiene una deuda hoy de $84.000 y debe cubrirse en cuotas mensuales de

$5.000 cada una, si la tasa de interés que se cobra es del 3% mensual ¿Aproximadamente al cabo de cuanto tiempo habrá pagado la deuda?

• Un activo, que tiene un valor de contado de $32.000 puede adquirirse

financiado a 20 cuotas mensuales de $2.100 cada una ¿Cuál es la tasa de interés que se cobra?

• Un propietario de un apartamento recibe por arriendo $350.000 mensuales, de

los cuales deposita el 40% cada mes en una corporación de ahorro que paga 2.5% de interés mensual. Realiza cada deposito el mismo día que recibe la renta. Si el inmueble estuvo arrendado por espacio de dos años, hallar la cantidad total acumulada en la cuenta de ahorros al final de los dos años.



162

• Suponga que el mantenimiento de un activo, de vida útil perpetua va a tener un costo anual de $120.000. Se desea constituir un fondo con un deposito único hoy en una cuenta de ahorros que paga un interés del 30% anual, de tal manera que cada año puede retirarse de esa cuenta la suma necesaria para cubrir el costo de mantenimiento. Hallar el valor del deposito.

• El gerente de una empresa solicita un crédito a un banco, comprometiéndose a

pagar esta deuda en dos años y medio con cuotas iguales y un interés del 3.5% mensual de allí en adelante. Para cumplir esta obligación el gerente autoriza hacer depósitos iguales por mes anticipado en una cuenta de ahorros que paga un interés mensual del 2.5 %. El valor del deposito debe ser tal que al final del mes se tenga la suma exacta para pagar la cuota del banco. Al cabo de diez meses la cuenta de ahorros aumenta la tasa de interés a 3.4% mensual y la empresa continua haciendo los mismos depósitos. Hallar el saldo que tendrá la empresa en la cuenta de ahorros una vez saldada la cuenta con el banco

• ¿Cuánto debe depositarse al final de cada trimestre, en un fondo de

inversiones que abona el 10%, convertible trimestralmente, para acumular $50.000 al cabo de 5 años?.

• Una compañía debe redimir una emisión de obligaciones por $3.000.000

dentro de 10 años, y para ello, establece reservas anuales que se depositarán en un fondo que abona el 7%. Hallar el valor de la reserva anual.



163

UNIDAD 7 Gradientes

Horizontes • El estudiante debe ser capaz de manejar aquellas series periodicas que van

aumentando o disminuyendo a traves del tiempo conocidas como gradientes.

• Conocer y emplear los conceptos de gradiente aritmetico creciente y decreciente.

• Para estos gradientes calcular su valor presente.

• Calcular el valor futuro.para gradientes aritmeticos. Núcleo Temático y Problemático Valores de las Anualidades de Variación Uniforme Proceso de Información Las circunstancias que rodean una operación financiera (la disponibilidad de efectivo para realizar las anualidades variables, cuyos pagos periódicos aumentan o disminuyen en una cantidad constante, se consideran anualidades de variación lineal o uniforme y reciben el nombre de gradiente aritmético que puede ser creciente o decreciente según el tipo de variación bien sea de incremento o decremento. 7.1 VALORES DE LAS ANUALIDADES DE VARIACIÓN UNIFORME El cálculo de los valores de las anualidades de variación uniforme se efectúa utilizando las propiedades de las progresiones aritméticas y los valores de las anualidades estudiadas hasta el momento.



164

A continuación desarrollaremos el método para su cálculo primero veamos el diagrama de flujo de caja: La fórmula de progresión aritmética, nos dicen que el término n-ésimo es igual al primero más n-1 veces la variación, entonces para la variación L y primer término A, se tiene: Término n – ésimo = A + ( n-1)L Si separamos la base del gradiente, se tiene n pagos A y el gradiente cuyo valor presente se designa por AL El valor presente de los pagos gradientes en el año 0 es igual a la suma de los valores presentes de los distintos pagos:

nn iLnilniLiLAL −−−−− +−++−+++++= )1()1()1()2(.....)1(2)1( )1(32

AA++LLLL

PP

AA

AA++22LL AA++((nn--22))LL

AA++((nn--11))LL

AA++LL

nn 11

AALL

11 22 nn nn--11

LL

22LL((nn--22))LL

((nn--11))LL



165

Al multiplicar AL por (1+i) y restar AL, se obtiene:

+−

+−= −

−n

n

inii

iLAL )1()1(1

[ ] estándarennotaciónniFPnniAPiLAL )%,,/()%,,/( −=

Para L = 1, AL es el factor del valor presente de un gradiente lineal de valor 1; se acostumbra expresar mediante (P/G,i%,n). Existen tablas con los valores del factor de gradiente, pero aquí se recomienda hacer uso de las fórmulas. El valor presente de la base, que constituye los pagos A por periodos, es:

iiAP

n−+−=

)1(1.1

P1 = A(P/A,i%,n) en notación estándar. El valor presente P de la anualidad con gradiente aritmético es: P = P1 + AL O sea:

+−

+−+

+−= −

−−n

nn

inii

iL

iiAP )1()1(1)1(1

En notación estándar: P = A(P/A,i%,n)+L/i[(P/A,i%,n) – n(P/F,i%,n) ] Para calcular el valor futuro de un gradiente, tenemos:

F = P(1+i)n

−

−++

−+= n

iii

iL

iiAF

nn )1(1)1(



166

En notación estándar:

[ ]nniAFiLniAFAF −+= )%,,/()%,,/(

Ejemplo Luis Pérez contrae la obligación de pagar $100.000 cada final de mes, durante un año, aumentando sus pagos sucesivos en $10.000 cada mes, hallar:

• a la tasa del 30%, el valor presente de su obligación;

• Si desea reemplazar su obligación por otra equivalente con la misma tasa, con pagos mensuales iguales ¿Cuánto deberá pagar mensualmente?.

Representación gráfica Pago en el mes 12 = $100.000 + $100.000(12-1)= $210.000 Separando la base A del gradiente L, se tiene que el valor P es igual a la suma del valor presente de la base de $100.000 más el valor de AL: P = A(P/A,i%,n) + AL

P = A(P/A,i%,n)+L/i[(P/A,i%,n) – n(P/F,i%,n) ] Datos

A = $100.000 L = $10.000 I = 0,30/12 = 2,5% n = 12

+−

+−+

+−= −

−−12

1212

)025,01(12025,0

))025,01(1(025,0000.10

025,0)025,01(1000.100P

11 22 1122

$$110000..000000

$$111100..000000

$$112200..000000

$$221100..000000



167

PP

P = 100.000 (10,2578) + 400.000 (10,2578 – 8,9227)

P = 1.025.780 + 534.040 =

P = $1.559.820

A = P (A/P,i%,n)

P = 1.559.820; i%=2,5%, n = 12

A =1.559.820 (A/P,2,5%,12) = 1.559.820 x 0,025/ 1- (1,025)-12

A = 1.559.820 (0,0975)

A = $152.062,37 Proceso de Comprensión y Análisis • Las ventas promedio de un almacén son de $2.000.000 mensuales, el dueño

inicia una ampliación y estima que sus ventas a partir del 5 mes, se incrementarán mes a mes en $80.000 mensuales, estabilizándose al cabo de un año. Hallar el valor actual de sus ventas durante el primer año. Tasa de interés del 24% anual.

Al aplicar la fórmula : [ ] estándarennotaciónniFPnniAPiLAL )%,,/()%,,/( −= , se

obtiene el valor presente de la serie gradiente, dos meses antes del inicio de la serie gradiente o sea, AL, ubicado en el mes 3. El valor presente P es igual a la suma del valor presente de la base de $2.000.000 más el valor presente de AL que está diferido a 3 meses.

11

AALL

44 1122

22..000000..000000 22..008800..000000 22..116600..000000

22..664400..000000

22..556600..000000



168

Primero se calcula AL, aplicando la fórmula:

[ ] estándarennotaciónniFPnniAPiLAL )%,,/()%,,/( −=

Datos L = 80.000 i% = .24/12 = 2% n = 9

[ ])9%,0,2,/(9)9%,0,2,/(02,0000.80 FPAPAL −=

+−

+−= −

−9

9

)02,01(902,0

)02,01(102,0000.80AL

AL = 4.000.000[8,1622 – 9(0,8368)]

AL = $2.525.610,42

P = A(P/F,i%,n) + (1+i)-k AL

A = 2.000.000; i = 2,0%; n = 12; k = 3 (tiempo diferido)

42,610.525.2()02,01(02,0

)02,01(1000.000.2 312

−−

+++−

=P

P = $23.530.621,55 Autoevaluación • Se conviene en sustituir por un pago unico dentro de dos años una obligacion

que consta de 20 pagos por mes vencido, en la que primero tiene un valor de $15.000 y de aquí en adelante cada pago se aumenta en $1.000 al del mes inmediatamente anterior. Si el interés es del 3% mensual, hallar el valor de ese pago unico.

• Hallar el valor de contado de un articulo adquirido con el siguiente plan: cuota

inicial de $130.000 y 20 cuotas mensuales; $15.500 es el valor de la primera , $15.700 la segunda, $15.900 la tercera y asi sucesivamente, sabiendo que la tasa de interés sobre saldo es del 30% nominal mensual.



169

• Una persona necesita reunir $6.500.000 para dentro de cinco años, con tal fin abre una cuenta de ahorros hoy en una corporacion de ahorro que abona el 30% nominal mensual. La cuenta de ahorros la inicia con un deposito hoy de $350.000 y luego depositos asi, $R dentro de cinco meses, $2R dentro de seis meses, $3R dentro de siete meses y asi sucesivamente. Hallar el valor de R para dentro de cinco años se tenga la suma deseada.

• Financia $2.000.000 de hoy a un tiempo de dos años con cuotas mensuales

que aumenten cada mes en $5.000 y con una tasa de interés de 32% nominal mensual.

• Una fabrica se comprometio a entregar 200 unidades de producto al comenzar

cada mes durante un año, el Precio/Unidad del articulo es de $3.000 el primes mes y aumentará en $50 cada mes. Si deposita la mitad de estos ingresos en una cuanta de ahorros que paga el 28% mes vencido ¿Cuánto tendra ahorrado la empresa por ese concepto?.



170

ANEXO Instituciones Financieras

El sistema financiero colombiano está constituido por Instituciones financieras que comprenden: Establecimientos de crédito, inversionistas institucionales y entidades de servicios financieros. Establecimiento de Crédito Son entidades que realizan habitual y masivamente, la actividad de recibir fondos del público en depósito o a cualquier otro título, en el que no se prevea como contraprestación el suministro de bienes y servicios; o las que captan para colocarlos nuevamente; o hacen anticipos, préstamos, descuentos u otras operaciones activas de crédito. Comprenden; Banca Comercial, Corporaciones Financieras, Banca Hipotecaria, Corporaciones de Ahorro y Vivienda, Compañías de Financiamiento Comercial y Cajas de Ahorros. Inversionistas Institucionales Son entidades que captan recursos y los destinan a la realización de inversiones, en desarrollo de su objeto social o para garantizar el cumplimiento de las obligaciones que contraen. Comprenden; Sociedades de Capitalización, Compañias de Seguros, Sociedades Administradoras de Inversión y los Fondos Mutuos de Inversión. Entidades de Servicios Financieros Son aquellos que desarrollan como objeto social, una o más funciones de las atribuidas accesoriamente por la ley a los establecimientos de crédito. Comprenden; Almacenes Generales de Depósito, Las Sociedades Fiduciarias y Las Sociedades de Arrendamiento Financiero.



171

Banco Comercial Establecimiento de crédito que hace el negocio de recibir fondos de otros en depósito general y de usar éstos, junto con su propio capital, para prestarlo, y comprar o descontar pagarés, giros, o letras de cambio; dentro de sus funciones están las de servir de fideicomisario, recibir dineros a interés (Depósitos de ahorro y a término), cobrar deudas o realizar transferencias de fondos de un sitio a otro, por medio de sus sucursales o por medio de otras entidades bancarias". Corporación Financiera Establecimientos de crédito cuya finalidad principal es promover la creación, reorganización y transformación de empresas, participar en el capital de ellas o gestionar la participación de terceros y el otrogamiento de créditos. Estan facultadas para emitir bonos de garantía general y garantía específica y para recibir fondos en moneda nacional o extranjera, en depósitos a términos no menores de 90 días". Corporación de Ahorro y Vivienda Establecimiento de crédito cuya finalidad es la de recibir depósitos de ahorros (Depósitos ordinarios, cuentas de ahorro de valor constante y certificados de ahorro de valor constante) para canalizarlos hacia la industria de la construcción a través de préstamos en valor constante a corto y largo plazo. A su vez están facultados para emitir bonos y otros títulos valores que tengan relación directa con sus actividades. Compañías de Financiamiento Comercial Establecimiento de crédito que tiene por objeto captar fondos del público a título mutuo y mediante la suscripción de títulos valores de contenido crediticio, con el objeto de efectuar operaciones de crédito a corto y mediano plazo". Sociedad Fiduciaria La sociedad fiduciaria es una entidad que hace el negocio de tomar, aceptar y desempeñar encargos de confianza que le sean legalmente encomendados. Actualmente, el sistema fiduaciario ofrece los siguientes productos; El Fideicomiso de Inversión, de Seguro de Vida, Mobiliario o Títulos Valores y Acciones, Estudiantil, de Pensiones de Jubilación y el Fideicomiso Inmobiliario, que podemos considerarlo como el más desarrollado.



172

Cajas de Ahorro y Secciones de Ahorro de los Bancos Comercial Son instituciones que hacen el negocio de recibir pequeños ahorros a interés a través del sistema tradicional de libreta e invertirlos en obligaciones especialmente seguras. Banco de la República Es una entidad de derecho público económico y de naturaleza única. Ejerce con exclusividad, el atributo de emisión del estado, es el guardan de las reservas internacionales del país y el ejecutor de la política monetaria y cambiaria que trace la junta monetaria. Es por ello que el Banco de la República compra y/o vende valores del gobierno a fin de aumentar o restringir la oferta monetaria con operaciones de mercado abierto (título de participación, certificados de cambio, etc), o para financiar proyectos prioritarios para el desarrollo del país (títulos de ahorros nacional, etc). Sociedades de Capitalización Están constituidas como compañías anónimas cuyo objeto es la formación de capitales a través de títulos de ahorro que se paga. Es un establecimiento de crédito que tiene por determinados vencimientos. Estos títulos reciben el nombre de cédulas. Banco Central Hipotecario Su objeto es captar fondos del público en depósito, cédulas o con el sistema de valor constante, para realizar operaciones de crédito a mediano y largo plazo garantizadas especificamente con hipótecas con el fin de fomentar la adquisición de vivienda y la industria de la construcción en general.



173

BIBLIOGRAFÍA GENERAL ALLENDOERFER, C. y C. OARKLEY. Fundamentos de Matemáticas Universitaria. México, Mc Graw-Hill. Ed. 3ª. 1997. ALVAREZ ARANGO, Alberto. Matemáticas Financieras. Santa fé de Bogotá. Mc Graw Hill. 1997. ARBOLEDA, Benjamín. Ingeniería Económica. Segunda Edición. 1987. ARYA, J. Matemáticas Aplicadas a la Administración y la Economía. Prentice Hall. Tercera Edición. 1992. COOS, R. Análisis y Evaluación de Proyectos de Inversión. México. Limusa. 1982. DEGARMO, D. Ingeniería Económica. Madrid. Prentice Hall. 1998. GARCIA, Jaime. Matemáticas Financieras. Colombia. Prentice Hall. GITMAN, L. Fundamentos de Administración Financiera. México. Harla. 1978. GOMEZ CEBALLOS, Alberto. Matemáticas Financiera. Armenia. Tecno Mundo Editores Ltda. Segunda Edición. 1983. HAEUSSLER, E. Matemáticas para Administración y Economia. México. Prentice Hall. 1997. PORTUS, L. Matemáticas Financiera. Bogotá. Mc Graw Hill. 1990. TAYLOR, G. Ingeniería Económica. México. Limusa. 1992.

mòdulo matematica_financiera (2)

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