Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 19

2 2.1OPTIMIZACIN SIN RESTRICCIN 2.2OPTIMIZACIN CON RESTRICCIONES OBJETIVO: -Optimizar funciones de dos y tres variables sin restricciones y con restricciones Debesertentadoryenocasionesimprescindibleparael hombretratardeoptimizarrecursos,dequererobtener mximas ganancias o mnimas prdidas. Matemticamente existen manerasdedarsolucin aesta problemtica Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 20 2.1 OPTIMIZACIN SIN RESTRICCIN2.1.1 OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Es casi probable queustedhaya tratadola optimizacin de funciones deuna variablerealempleandoelcriteriodelaprimeraderi vada,trataremosahorade realizarlaoptimizacinempleandoelcriteriodelasegundaderivadaparaque resulte fcil su generali zacin para dos, tres o ms variables.2.1.1.1 Definicin de Mximo y Mnimo Seaf unafuncindeunavariabledefinida en un intervalo| | b a I , = , y seaI x e0. Entonces: 1.( )0x f esunvalormximodef enel intervaloI ,si( ) I x x f x f e > ); (0.Esdecir,ftoma el mayor valor en 0x . 2.( )0x fes un valor mnimo defen el intervalo I . si( ) I x x f x f e s ); (0. Es decir,ftomaelmenor valor en 0x . 3.( )0x f esunvalorextremodef enel intervaloI , si es un mximo o un mnimo. 2.1.1.2 Punto crtico estacionario "0x "esllamadopuntocrticoestacionariode fsi y slo si( ) 0 0 = x f .Loanteriorquieredecirqueenelpunto"0x "delagrficadef sepuede trazar una recta tangente hori zontal. Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 21 2.1.1.3 Criterio de la segunda derivada para establecer extremos Seaf unafuncindosvecesderivableenun intervaloI ,yseaI x e0unpuntocrtico estacionario def . Entonces: 1. Si +> ' ' 0 ) (0x f entonces( )0x f esunvalor Mnimo def .2. Si < ' ' 0 ) (0x f entonces( )0x f esunvalor Mximo def . EjemploDeterminar los extremos para 2 33 2 ) ( x x x f + =SOLUCIN: De acuerdo a l o enunci ado, debemos analizar sol amente lospuntos crticos. 1.Puntos crticos Estacionarios: valores de x para l os cuales laderivada es igual a cero. Para obtenerl os analizamos la derivadax x x f 6 6 ) (2+ =Ahora 0 ) 1 ( 60 6 60 ) (2= = + =x xx xx f, entonces seran:0 = xy1 = x . 2. Bien,ahora nos corresponde clasi ficar a los puntos crticos, para lo cual: 6 12 ) ( + = x x fa)0 6 6 ) 0 ( 12 ) 0 ( > = + = f(positivo) portanto aqu hay un MNIMO.b)0 6 6 ) 1 ( 12 ) 1 ( < = + = f (negativo) portanto aqu hay un MXIMO. Observe la grfica: Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 22 Lasfuncionesquetrataremos,ensumayora,sonderivables;portantolas definicionesy criterios que sehanmencionado bastan para lo que pretendemos proponer. Criterios para otros tipos de puntos no se los considera en este texto. 2.1.2 OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 2.1.2.1 Definicin de Mximo y Mnimo Seafuna funcin de dos variables definida en una regin2R _ , y sea( ) R y x e0 0, . Entonces: 1.( )0 0, y x f esunvalormximodef enR,si ( ) ( ) R y x y x f y x f e > , ); , ( ,0 0 2. ( )0 0, y x fesunvalormnimodef enR.si( ) ( ) R y x y x f y x f e s , ); , ( ,0 0 3.( )0 0, y x fes un valor extremo defenR, si es un mximo o un mnimo. Notequeestadefi nicinesanlogaalaquesedioparafuncionesdeuna variable. Algo parecido ocurrir en adelante. 2.1.2.2. Punto crtico estacionario "( )0 0, y x "esllamadopuntocrticoestacionario defsi y slo si: ( )( )=cc=cc0 ,0 ,0 00 0y xyfy xxf Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 23 2.1.2.3Criteriodelasegundaderivadaparaestablecer extremos Seaf una funcin dos veces diferenciable en unaregin 2R _ ,sea( ) R y x e0 0, unpunto crtico estacionario def .Defnase laMatriz Hessiana defen el punto ( )0 0, y xcomo:

) , () , (22 22220 00 0y xyy yxxy xxy xf ff fyfx yfy xfxfH

=

ooo ooo oooo= . Adems defnanse las matrices: | |( )( )0 00 0,2 , 1,y xyy yxxy xxy x xxf ff fH H f H

= = = Entonces: 1. Si0 02 1> . > H H ,entonces) , (0 0y x f esun mnimo defen la reginR. 2. Si0 02 1> . < H H ,entonces) , (0 0y x f esun mximo def en la reginR. 3. Si02 < H ,entonces) , (0 0y x f esunpuntode silla defen la reginR. 4. Si02 = H , no se puede concluir. PREGUNTA: Qu es un punto de silla? (Investguelo) Ejemplo 1 Hallar los extremos para 2 2) , ( y x y x f + =SOLUCIN: PRIMERO se encuentran lospuntos crticos, candidatos a serextremos. Las derivadasparci al es para 2 2) , ( y x y x f + =son: yyfxxf22=oo=oo Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 24 El sistema ==0 20 2yx da como resultado 00 = xy00 = yPor tanto tenemos en este caso un sl o punto crtico( ) ( ) 0 , 0 ,0 0= y x SEGUNDO Clasifi quemosel punto crtico:Las segundasderivadas parcial es son: 022= ===yx xyyyxxf fff La matriz Hessiana en este caso es:

=

ooo ooo oooo=2 00 2) 0 , 0 (22 2222yfx yfy xfxfHAhora,como0 21> = H y0 42 00 22> = = H concl uimosqueen) 0 , 0 ( hayunvalormnimo para lafuncin, que sera:0 0 0 ) 0 , 0 (2 2= + =Mnf Ejemplo 2 Hallar los extremos paraxy y x y x f 6 ) , (3 3+ =SOLUCIN: PRIMERO: Para hallar los puntos crticos, tenemos:Las derivadasparci al es son: x y fy x fyx6 36 322+ =+ = Resolviendo el sistema = + = +0 6 30 6 322x yy x tenemos: Enlasegundaecuaci nseobtiene 22yx = yalreemplazarl oenl aprimeraecuacinencontramosl os valores de 0y , es decir :

2 00 2430 6430 6233422 = v ==||.|

\|+= += +||.|

\|y yyyyyyy Luego; si00 = yentonces02020= = x ; y , si20 = yentonces ( )22220== xEs decir, aqutenemos dospuntos crticos( ) 0 , 0y( ) 2 , 2 . SEGUNDO: Clasificando l os puntos crticos Las segundasderivadas parcial es son: 666= = ==yx xyyyxxf fy fx f Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 25 La matriz Hessiana en este caso es:

=

ooo ooo oooo=yxyfx yfy xfxfH6 66 622 2222 1. La matriz Hessianaparaelpunto) 0 , 0 ( es:

=

=0 66 0) 0 ( 6 66 ) 0 ( 6HComo0 360 66 02< = = Hconclui mos que) 0 , 0 (hay un punto de silla. 2. La matriz Hessianaparaelpunto) 2 , 2 ( es:

=

=12 66 12) 2 ( 6 66 ) 2 ( 6HComo0 121> = H y0 12 36 14412 66 122> = = = H entonces en) 2 , 2 (hay un valor Mnimo para lafuncin, y es:8 ) 2 )( 2 ( 6 2 2 ) 2 , 2 (3 3 = + = MINf Ejemplo 3 Unsupermercadovende2tiposdecerveza.Unamarcalocalqueseobtieneauncostode 30 c/cadalatayunamarcanacionalqueseobtieneauncostode40 c/porlata.El tendero calculaquesilademarcalocalsevendea" "x centavosporlataylademarcanacionala " " y centavosporlata,sevenderncadadaaproximadamentey x 4 5 70 + latasdela marca local yy x 7 6 80 +latas de la marca nacional. Qu precio debera fijar el tendero a cada marca paramaxi mi zar las utilidades? SOLUCIN: Con la informaci n proporci onada determi namos lafuncin utili dad

| | | |( ) ( )5300 240 7 20 10 5) 7 6 80 ( 40 ) 4 5 70 ( 30) 7 6 80 ( 40 ) 4 5 70 ( 30 ) 7 6 80 ( ) 4 5 70 (2 2 + + = + + + = + + + + + + = =y y x xy x Uy x y y x x Uy x y x y x y y x x UC I U Las derivadasparci al es para lafuncin Utilidad son: + = + =240 14 1020 10 10y x Uy x Uyx Para los puntos crticoshacemos ==00yxUU es decir = + = + 0 240 14 100 20 10 10y xy x Despejamosxen l a primera ecuacin: 21020 1010 20 100 20 10 10 == = = + y xyxy xy x Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 26 Reemplazamosxen la segunda ecuacin: 554220220 40 240 14 20 200 240 14 ) 2 ( 10== = = + = + yyyy yy y Luego53 2 55 2 = = = y xPor tanto, tenemos un sl o punto crtico) 55 , 53 ( PLa matriz Hessianaes ( )

=

=14 1010 1055 , 53yy yxxy xxU UU UHComo0 10 101< = = H y0 40 100 14014 1010 102> = == H entoncesutilidades mximas se produci rn cuando53 = xy55 = y Ejercicios Propuestos 2.1 1.Encuentre los ex tremos para: a)2 5 9 6 ) , (2 3+ + + + = y x xy y x y x fb) 2 22 ) , ( y x y x f + =c)( ) ) ln( 4 ) , ( xy x y x f = 2. Sea ( ) ( ) 1 2 831) , (2 2 3 3+ + + = y x y x y x f. Encuentre los puntos crticos y clasifquelos en mx imos, mnimos o punto de silla. 3. Encuentre los puntos crticos para la funcin) ln( 2 ) , (2 2 2xy y x y x f + = . Clasifquelos en mximo o mnimo relativo o punto de silla. 4. Unaempresaplaneaintroducirdosnuevosproductosal mercado.Se calculaque siel primerproductose valoraenx cientosdedlaresyelsegundoproductoeny cientosdedlares,aproximadamente y x 5 8 40 + consumidorescomprarnelprimerproductoyy x 7 9 50 + comprarnelsegundo producto.Sielcostodefabricacindelprimerproductoesde$1000porproducto y el costodelsegundo producto es $3000 por producto. Qu precio debera fijar la empresa a los producto para generar la mxima utilidad posible?. Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 27 2.1.3 OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE TRES VARIABLES 2.1.3.1 Definicin. Seaf unafuncindetresvariablesdefinida enunaregin 3R _ ,ysea( ) R z y x e0 0 0, , . Entonces: 1.( )0 0 0, , z y x f esunvalor mximodef enR,si ( ) ( ) R z y x z y x f z y x f e > , , ); , , ( , ,0 0 0 2.( )0 0 0, , z y x f esunvalormnimodef enR.si ( ) ( ) R z y x z y x f z y x f e s , , ); , , ( , ,0 0 0 3.( )0 0 0, , z y x fes un valor extremo defenR, si es un mximo o un mnimo. 2.1.3.2. Punto crtico estacionario "( )0 0 0, , z y x "esllamadopuntocrtico estacionario defsi y slo si: ( )( )( )=cc=cc=cc0 , ,0 , ,0 , ,0 0 00 0 00 0 0z y xzfz y xyfz y xxf 2.1.3.3 Criterio de segunda derivada para extremos Seaf una funcin dos veces diferenciable en unaregin 3R _ ,sea( ) R z y x e0 0 0, , unpunto crtico estacionario def .SeaMoiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 28

( )0 0 0, , z y xzz zy zxyz yy yxxz xy xxf f ff f ff f fH

=la Matriz Hessiana defen el punto( )0 0 0, , z y x .Defnanse las matrices: | |( )( )( )0 0 00 0 00 0 0, ,3, ,2, ,1, ,z y xzz zy zxyz yy yxxz xy xxz y xyy yxxy xxz y xxxf f ff f ff f fH Hf ff fH f H

= =

= = Entonces: 1.Si0 0 03 2 1> . > . > H H H , entonces ( )0 0 0, , z y x fes un mnimo defen la reginR. 2.Si0 0 03 2 1< . > . < H H H , entonces) , , (0 0 0z y x fes un mximo def en la regin R. Ejemplo 1 Hallar los extremos para2 4 2 ) , , (2 2 2+ + + + + = z xz y xy x z y x fSOLUCIN: PRIMERO determinamos lospuntos crticos estaci onarios.Las derivadasparci al es son: + =cc+ =cc+ + =ccz xzfy xyfz y xxf284 Resolviendo el sistema simul tneo= += += + +0 20 80 4z xy xz y x tenemos:Despejando "y " en la segunda ecuaci n resul ta 8xy = . Despejando " z " en la tercera ecuacin resul ta 2xz = . Luego reempl azando "y " y " z " en la pri mera ecuacin, encontramos "x ", es decir: Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 29 002181402 84== |.|

\| = xxx xx

Por lo tanto0808= = =xy y0202= = =xzHay un solo punto crtico) 0 , 0 , 0 ( P SEGUNDO:Clasificando el punto crtico.La matriz Hessiana sera: ( )

=

=2 0 10 8 11 1 40 , 0 , 0zz zy zxyz yy yxxz xy xxf f ff f ff f fHDe aqutenemos: | |

= =

= =2 0 10 8 11 1 48 11 443 2 1H H H HCalculando l os determi nantes tenemos:0 542 0 10 8 11 1 40 318 11 40 4 43 2 1> = = = > = = > = = H H H HPor lo tanto, se concluye que en el punto ) 0 , 0 , 0 ( Pse produceun mnimo, cuyo valor es: 22 0 0 40 00 20 ) 0 , 0 , 0 (2 2 2=+ + + + + =minff Ejercicios Propuestos 2.21. Hallar los valores ex tremos de: 2 2 23 ) , , ( z yz y y xz x z y x f + + + + = 2. Determinelosvaloresdex ,y ,z (siesqueexisten)quemaximicenominimicenlafuncin xz y z y x z y x f + + = 2 ) , , (2 2 2. 3. Los precios de tres productos estn dados por = = =3 32 21 16 755 1054 63Q PQ PQ P , y el costo total de la produccin de los productos est dado por 215 20 Q Q C + + =donde3 2 1Q Q Q Q + + = es la cantidad total demandada de los productos. Determine los niv eles de demanda que hagan mx ima la utilidad. 4. ParalosproductosA ,B yC deunaempresaelcostoestdadapor12 2 2 2 ) , , (3 2 2+ + + =A C B A C B A C B Ap p p p p p p p p p C donde C B Ap p p , , son los precios de los productos. Encuentre los precios que minimicen el costo. Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 30 2.1.4 MXIMOS YMNIMOS PARA FUNCIONES DE "n" VARIABLES SealaFuncinObjetivo) , , , , (3 2 1 nx x x x f w = ,dos vecesdiferenciable.Supongaqueseobtieneel puntocrticoestacionario) , , , , (0 0 0 03 2 1 nx x x x P , resolviendo el sistema simultneo =cc=cc=cc=cc00004321xfxfxfxf Sea:

) , , , , (03020103 2 14 3 4 2 4 1 43 3 3 2 3 1 32 3 2 2 2 1 21 3 1 2 1 1 1nn n n n nnnnnx x x xx x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x x x xf f f ff f f ff f f ff f f ff f f fH

=La Matriz Hessiana parafDefnanse las matrices:| |1 11 x xf H = ,

=2 2 1 22 1 1 12x x x xx x x xf ff fH ,

=3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 13x x x x x xx x x x x xx x x x x xf f ff f ff f fH , H Hn = , Entonces: 1.- Si0 0 0 03 2 1> . . > . > . >nH H H H , entonces en ) , , , , (0 03 02 01 nx x x x la funcin tiene un mnimo. 2.- Si0 ) 1 ( 0 0 03 2 1> . . < . > . H entoncesen) , (0 0y x lafuncinf tiene unMximo. 2.Si0 < Hentonces en) , (0 0y xla funcinftiene un Mnimo. Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 32 Ejemplo Hallar los valores mximos ymnimos dexy y x f = ) , ( , sujeto a que82 2= + y xSOLUCIN: En este caso 2 2) , ( y x y x g + = . Por tanto lafunci n Langragi ana sera: | | | | 8 ) , ( ) , ( ) , , (2 2 + = = y x xy k y x g y x f y x L = + = = = = = = = =8 ) , ( 02 02 02 2y x k y x g Ly x g f Lx y g f Ly y yx x x Despejandoen lasdos primeras ecuaci ones, e igualando se obtiene:

x y x yyxxyyxxy = = = )`= = 2 22 222 Reemplazando en latercera ecuacin, resulta: == === +2248 28222 2xxxxy x Por tanto: == = == =222222yyxyyx

Es decir, existen cuatros puntos crticos:) 2 , 2 ( ,) 2 , 2 ( ,) 2 , 2 (y) 2 , 2 ( . Hallemos el Hessiano Orl ado

=

=2 1 21 2 22 2 0 0yxy xL L gL L gg gHyy yx yxy xx xy x Y como yx2= , se tiene( )( )

=yxyxyxy xH222 1 21 2 22 2 0 Ahora cl asifiquemos los puntos crticos:1.- Para) 2 , 2 (tenemos:

=1 1 41 1 44 4 0HEntonces,como0 64 ) 8 ( 4 ) 8 ( 4 > = + = H sediceque4 ) 2 )( 2 ( ) 2 , 2 ( = = f esun MXIMO.2.- Para) 2 , 2 (tenemos:

=1 1 41 1 44 4 0HAhora, como0 64 ) 8 ( 4 ) 8 ( 4 < = = Hse dice que4 ) 2 )( 2 ( ) 2 , 2 ( = = f es un M NIMO.3.- Para) 2 , 2 (se tiene:

=1 1 41 1 44 4 0HAhora, como0 64 ) 8 ( 4 ) 8 ( 4 < = + = Hse dice que4 ) 2 )( 2 ( ) 2 , 2 ( = = f es un MNIMO.Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 33 4.- Para) 2 , 2 ( se tiene:

=1 1 41 1 44 4 0HEntonces, como0 64 ) 8 ( 4 ) 8 ( 4 > = = Hse dice que4 ) 2 )( 2 ( ) 2 , 2 ( = = f es un MXIMO. Ejemplo 2 Auneditorsele hanasignado000 , 60 $ parainvertireneldesarrolloylapromocinde un nuevo libro. Se calcula que si se gastan" "xmiles de dlares en desarrollo y" " ymiles en promocinsevendernaproximadamentey x y x f2320 ) , ( = ejemplaresdellibro.Cunto dinero debe asignar el editor a desarrollar y cunto a promocin para maximizar las ventas? SOLUCIN: En este caso la Funci n objetivo seray x y x f2320 ) , ( =sujeta a l a restricci n60 = + y xLa funci nLangragi ana sera:) 60 ( 20 ) , , (23 + = y x y x y x LPara obtener los puntos crticos, hacemos: = = + == = |.|

\|+ == + =2323212120 0 20 ) 1 ( 030 02320 ) 1 ( 060 0x x Ly x y x Ly x Lyx Igual ando l as dos ltimas ecuaci ones, resul ta:x y x y x3220 302321= =Lo l timo lo reempl azamos en l a pri mera ecuaci n y se obti ene:36120 5120 2 36032=== += +xxx xx x Por tanto:24) 36 (32==yy. Es decir, existe slo un punto crtico:) 24 , 36 (El Hessiano Orlado sera:

=0 30 130 15 11 1 0212121xx y x HY para elpunto) 24 , 36 (es:

=0 180 1180 60 11 1 0HComo eldeterminante es:0 300 ) 120 ( 1 ) 180 )( 1 ( > = + = H , concluimosqueeledi tordebe invertir $36000 en desarroll o y $24000 enpromoci n para obtener las mximas ventas.Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 34 Ejercicios Propuestos 2.3 1.Encuentre los ex tremos de la funcinxy y x f = ) , (sujeta a que6 = + y x 2.Encuentre los ex tremos de la funcin 2 2) , ( y x y x f + =sujeta a que2 4 = + y x 3.Dadas las ecuaciones de utilidad presupuestal de un consumidor 2 12 14 3 10023q qq q U+ ==. Determine los v alores de 1qy 2qque maximizan la utilidad del consumidor. 4.La relacin entre las v entas "S" ylas cantidades "x " y"y" gastadas en dos medios de publicidad est dada por yyxxS+++=101005200.LaUtilidadnetaes 51delasventasmenoselgastoenpublicidad.El presupuestoparapublicidadesde$25.Determine cmodebeasignarseestepresupuestoentrelosdos medios para maximizar la utilidad neta. 5.Una empresa de computadoras tiene un presupuesto mensual publicitario de $60,000. Su departamento de ventas estima que si se gastan " x " dlares cada mes en publicidad en peridicos y " y " dlares cada mes en publicidad por telev isin, las ventas mensuales estarn dadas por 434190 y x S = dlares. Si la utilidad es el 10% de las ventas menos el costo de la publicidad, determine cmo asignar el presupuesto publicitario para maximizar la utilidad mensual. Comprubelo utilizando el Hessiano Orlado. 6.UsandoL unidadesdemanodeobrayK unidadesdecapital,unaempresapuedeelaborarPunidades de su producto, en donde) ( 5 60 ) , (2 2K L K L P + = . Los costos de la mano de obra yde capitalson de $200 y$100 por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 4500 unidades. Halle el nmerode insumosde manodeobrayde capitalquedebenemplearseconobjetode minimizar el costo total. 7.En un taller de mecnica se reparan 2 tipos de autosAy B . La funcin de trabajo conjunto est dado por: xy y x y x f + =2 22 ) , ( , dondexeyrepresenta el nmeros de autos por da del tipoAy Breparados,respectiv amente.Para minimizareltrabajo, cuntosautosde cadatipodebenrepararse,si diariamente se puede reparar 8 autos? 8.Una compaa puede destinar su planta a la elaboracin de dos tipos de productosAy B . Obtiene una utilidad de $4 por unidad deAyde $6 por unidad deB . Los nmeros de unidades de los dos tipos que puedenproducirmediantelaplantaestnrestringidosporlaecuacindeltransformacindelproducto: 0 4 4 22 2= + + + y x y xConxyylos nmeros de unidades (en miles de dlares) deAy Brespectiv amente, producidos por semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar la utilidad. 9.Si una empresa gasta" x " miles de dlares en publicidad en la ciudadA , sus v entas potenciales (en miles de dlares) en tal ciudad estn dadas por 10300+ xx. Si gasta " x " miles de dlares en la ciudadB , sus ventas potenciales (en miles de dlares) en tal ciudad son 5 . 13500+ xx. Si la utilidad es del 25% de las ventas y laempresadisponedeunarestriccindelpresupuestode16500destinadosapublicidadenlasdos ciudades. Cunto deber gastar en cada ciudad con objeto de max imizar la utilidad neta de la empresa? Utilice el Hessiano Orlado para verificar los resultados. Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 35 2.2.2 INTERPRETACIN DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE SupongaqueM eselvalormximo(omnimo)de) , ( y x f sujetaala restriccink y x g = ) , ( queusualmentesignificadisponibilidadopresupuesto.El multiplicadordeLagrange" " eslarazndecambiodeM conrespectoak , es decir: dkdM= . (Demustrelo) Elvalormximoomni moM esfuncindeladisponibilidadk ( ) (k f M = ), entonces:

) ( k MkdkdMMA ~ AA ~ A Si1 = Ak entonces ~ AM .Esdecir, eselcambiodeM debidoaun incremento de 1 unidad enk . Ejemplo 1 Sialeditordel problemaanteriorseleasigna200 , 60 $ enlugar de 000 , 60 $ parainvertiren eldesarrolloylapromocindelnuevolibro.Calculardequmaneraafectarelnivel mxi mo de ventas los200 $adicionales. SOLUCIN: Enelejempl oanteriortenamoslafuncinobjetivo y x y x f2320 ) , ( = sujetaaque ky x|= + 60 .Ahoraen l ugar de $60 mi l se disponede$ 60.2 miles decir quetenemos una vari acin de ladisponi bili dadkde $ 0.2 mil; es decir 2 , 0 = Ak. Del desarroll o del ejempl o anteri or setiene quey x2130 = , por lotanto 4320) 24 ( 36 30= = Ahora, bi en comok M A ~ Aentonces864 ) 2 , 0 )( 4320 ( ~ A ~ A M Muni dades Esdecirqueteniendounadisponibilidadadicionalde$200el editorverincrementadasusventas mximas en 864 uni dades. Ejemplo 2 Unconsumidortiene600 $ paragastaren2artculos,elprimerodeloscualestieneunvalorde / 20 $ unidad y el segundo/ 30 $ unidad. Si la utilidad obtenida por el consumidor de" "xunidades delprimer artculo y" " yunidades del segundo est dada por 4 . 0 6 . 010 ) , ( y x y x f = . a) Cuntas unidades de cadaartculo deberacomprar el consumidor para maximizar su utilidad? SOLUCIN: En este caso lafuncin Objetivo es 4 . 0 6 . 010 ) , ( y x y x f =sujeta a que600 30 20 = + y x . La funci nLangragi ana es ) 600 30 20 ( 10 ) , , () ) , ( ( ) , ( ) , , (4 . 0 6 . 0 + = = y x y x y x Lk y x g y x f y x L Obteniendo los puntos crticos tenemos:Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 36

x yy xy x y xy x y xy xy x Ly xy x Ly x y x Lyx9445 20) 3 ( 15 2 ) 10 (2063043040 30 42060 20 660 3 2 600 30 204 . 0 4 . 0 6 . 0 6 . 04 . 0 4 . 0 6 . 0 6 . 06 . 0 6 . 06 . 0 6 . 04 . 0 4 . 04 . 0 4 . 0===== = == = == + = + = Reemplazando en laprimeraecuacin (la Restriccin), tenemos:

18540 30540 12 1860912260943 2=== += += |.|

\|+xxx xx xx x Y comox y94=entonces8 = y .Por lo tanto resul ta el punto crtico) 8 , 18 ( . Para clasi ficar el punto crtico, calcul amosel Hessiano Orlado:

=

= 6 . 1 6 . 0 6 . 0 4 . 06 . 0 4 . 0 4 . 0 4 . 1) 8 , 18 (6 . 1 6 . 0 6 . 0 4 . 06 . 0 4 . 0 4 . 0 4 . 1) 8 ( ) 18 ( 4 . 2 ) 8 ( ) 18 ( 4 . 2 30) 8 ( ) 18 ( 4 . 2 ) 8 ( ) 18 ( 4 . 2 2030 20 04 . 2 4 . 2 304 . 2 4 . 2 2030 20 0y x y xy x y x HComo0 > Hentonces elconsumi dor,paraobtener las mximasutilidades, debe comprar 18uni dadesdelprimer artcul o y 8 unidades del segundo artcul o. b)Dequmaner aafectaralautilidadmximasielconsumidortiene601 $ paragastarenlos artculos en lugar de los600 $ ? Ahoratenemos1 = Ak . Por tanto:

22 . 0 ) 21689 . 0 (30) 8 ( ) 18 ( 4) 1 (3046 . 0 6 . 06 . 0 6 . 0= ~ A~ A~ AA ~ AMMy xMk M Las Utilidades mximas se i ncrementarn en$ 0.22. Ejemplo 3 Unfabricanteplaneavenderunnuevoproductoa$350launidadyestimaquesiseinvierten" x"milesdedlaresendesarrolloy"y"milesenpromocin,losconsumidorescomprarn51002250+++ xxyy unidades del producto, aproximadamente. Loscostos de fabricacin de este producto son $150 por unidad. a) Cunto debera invertirel fabricante en desarrollo ycunto en promocin para generar la mxima utilidad posible, si dispone de fondos ilimitados? En este caso habr que formar l a Funci n Obj etivo, que es l a Utilidad:Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 37

| |y xxxyyy x Uy xxxyyxxyyUInversin Costos Ingresos U1000 100051002250200 ) , (1000 10005100225015051002250350

+++=

+ +||.|

\|+++||.|

\|+++=+ = El punto crtico, sin restricciones,ser: 510 5) 5 ( 100) 5 ( 5 5005) 5 (5001000) 5 (5002000 1000) 5 (100 500 10020022222= = ++ =+ ==+=

+==

+ =xxxxxxUxx xUxxy 810 2) 2 ( 100) 2 ( 5 5005) 2 (5000 1000) 2 (250 500 2502000 1000) 2 () 2 ( 15000022222== ++ =+ ==+=

+ +==

+ +=yyyyyyy yUyy yUyy Compruebeque enel punto crtico) 8 , 5 (se produce un mximo (Hessiano).Esdecirqueelfabricantedeberai nverti r$5000endesarroll oy$8000enpromoci ndelnuevolibropara obtener l as mximas utili dades.b)Si el fabricanteslo tiene$11,000 par a invertir en el desarrollo y la promocin del nuevo producto. Cmo debera distribuirse este dinero para generar la mxima utilidad posible?Para este caso tenemos l a mismaFuncin Objetivo y xxxyyy x U 1000 100051002250200 ) , (

+++= pero ahora sujeta a la restriccin de que11 = + y x . Trabajamos ahora con la funci nLangragi ana ) 11 ( 1000 100051002250200 ) , , ( +

+++= y x y xxxyyy x LEncontrando los puntos crticos,tenemos:

= + = = + == + =1000) 2 (10000001000) 5 (100000011 022yLxLy x Lyx Igual ando l as dos ltimas ecuaci ones, resul ta:35 2) 5 ( ) 2 (10000) 2 (1000001000) 5 (1000002 22 2+ =+ = ++ = ++= +/ /x yx yx yy x

Reemplazandoy en la restriccin, tenemos: ( )48 211 3 211 311=== += + += +xxxx xy x Entonces: 71111= == +yx yy x Compruebeque enel punto crtico) 7 , 4 (se produce un mximo. (Hessiano Orlado). Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 38 Por tanto, cuando sl o hay $11000 para inversin, habr que distribuirl os de l a siguiente manerapara obtener las mximas utili dades: $4000 en desarroll o y $7000en lapromoci n del nuevo libro. c)Sielfabricantedecideinvertir$12,000,enlugarde$11,000,eneldesarrolloylapromocindelnuevoproducto,emplearelmultiplicador deLagrangeparaestimardequmaneraafectar este cambio la mxima utilidad? Ahora tenemos1 = Ak , entonces:

57 . 234) 1 ( 100081100000) ( 1000) 5 (100000) (2~ A

~ AA

~ AA ~ AMMkxMk M Esdecir,sielfabricantedeci deinvertir$1000mseneldesarrolloylapromoci n,suutili dadMximase incrementaren $234.57 Ejercicios Propuestos 2.4 1.La funcin de produccin para un cierto fabricante esy xy x y x f 2 4 ) , ( + + = a)Suponga que la mx ima inv ersin posible en trabajo ycapital es de $2000 y que las unidades" x " de trabajoy" y " decapital cuestan, respectivamente $20 y$4. Calcular el nivel de produccin mx imo para ese fabricante. b)Estime en cunto vara la produccin mxima si se tuv iese para invertir $2100 en lugar de los $2000. 2.Lafuncindeproduccindeunaempresaes 2 25 . 1 3 800 ) , ( K L L K P + = ,endondeLyK representan el nmero de unidades de mano de obra yde capital utilizadas yP es el nmero de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $250 y cada unidad de capital cuesta $50 y la empresa dispone de $6750 para gastar en produccin. a)Determine el nmero de unidades de mano de obra y de capitalque la empresa debe emplear a fin de obtener una produccin mxima. b)Determine el incremento en la produccin mxima sila empresadestinara $6755 a la produccin. 3.Cuando se inv ierten L unidades de trabajo yK unidades de capital, la produccin Q de un fabricante est dada por la funcin 54515 K L Q = , cada unidad de trabajo cuesta $11 y cada unidad de capital $33.a)Sise v anagastarexactamente$11880entrabajo y capital,determinelasunidadesdetrabajo yde capital que deben inv ertirse para maximizar la produccin. b)Si se pudiera gastar $12500 en vez de los $11880, estime en cuanto variar la produccin mxima. 4.Lafuncindeproduccindeunaempresaes ( )414380 , K L K L P = ,endondeL y Krepresentanel nmero de unidades de mano de obra yde capital utilizadas yP es el nmero de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60 ycada unidad de capital cuesta $200 yla empresa dispone de $40,000 destinados a produccin. a)Aplicando el mtodo de multiplicadores de Lagrange determine el nmero de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a fin de obteneruna produccin mxima. b)Demuestre que cuandola manodeobra yelcapitalestnen susnivelesmx imos, larazndesus productividades marginales es igual a la razn de sus costos unitarios. c)Enestenivel mx imo deproduccin,determineelincrementoenlaproduccinsi sedisponede$1 adicionalesdestinadosaproduccin.Pruebequeesaprox imadamenteigualalmultiplicadorde Lagrange. Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 39 2.2.3OPTIMIZACINDEFUNCIONESDE3VARIABLES SUJETA A UNA RESTRICCIN Suponga que se desea optimizar la funcinde tres variablef ,dosvecesdiferenciable,sujetaala restriccink z y x g = ) , , ( . Defnase la Funcin Langragiana | | ) ) , , ( ) , , ( ) , , , ( k z y x g z y x f z y x L = Suponga que se obtieneelPunto Crtico( ) , , ,0 0 0z y xresolviendo el sistema 0000xyzLLLL = === o el sistema = = ==z zy yx xg fg fg fk y x g ) , ( Defnase el Hessiano Orlado, como la matriz:

( )

=, , ,0 0 00z y xzz zy zx zyz yy yx yxz xy xx xz y xL L L gL L L gL L L gg g gHSean

=yy yx yxy xx xy xL L gL L gg gH03y H H= 4Entonces 1.Si0 043 < . > H H entoncesen) , , (0 0 0z y x la funcinftiene unMximo. 2.Si0 043 < . < H H entoncesen) , , (0 0 0z y x la funcinftiene un Mnimo. Ejemplo Encuentre los extremos dez y x z y x f 9 5 3 ) , , ( + + =sujeta a que25 = xyz .SOLUCIN: La funci nLangragi ana es: ) 25 ( 5 3 ) , , , ( + + = xyz z y x z y x LPara el punto crtico obtenemos: ) ( 0 ) ( 9 0) ( 0 ) ( 5 0) ( 0 ) ( 3 025 0z xy Ly xz Lx yz Lxyz Lzyx= == == == = Multipl icandopory x,yzrespectivamente lastres l timas ecuaciones, y despej ando, resul ta:Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 40 z y xxyz yxyz zxyz x9 5 3593= =)` = = = 3 9353xzxzxy= == Reemplazando en la restriccin: 55253 533 3=== |.|

\||.|

\|xxx xx De donde : 353==zy Por lo tanto hay un solo punto crtico:( )35, 3 , 5Para este caso 53 32= = yy el Hessiano Orlado sera:

=

== ===0 3 153 0 11 0 515 5 000005932559325533535zyxx y xyx z xzy z yzxy xz yzH De aqu tenemos:

=0 11 0 55 03253253HLos determi nantes sera:032503< = Hy < = = 0 6754H H Por tanto en( )35, 3 , 5la funci ntieneun mnimo. Ejercicios Propuestos 2.5 1.Determineelv alormximoomnimodelafuncin 2 2 23 2 ) , , ( z y x z y x f + + = si 49 4 3 2 = z y x . Emplee el Hessiano Orlado. 2.Determineelv alormx imoomnimodelafuncinz xy z y x z y x f + + =2 2 22 ) , , ( si 35 = + + z y x . Emplee el Hessiano Orlado. 3.Determine el valor mximo dexyz z y x f = ) , , (si6 = + + z y x . Emplee el Hessiano Orlado. 4.Encuentre el mnimo para 2 2 2) , , ( z y x z y x f + + = siempre que1 = + + z y x Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 41 2.2.4 OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE n

VARIABLES SUJETA A UNA RESTRICCIN Para el caso de funciones denvariables tenemos: Seala FuncinObjetivo) , , , , (3 2 1 nx x x x f w = sujetaa la restriccink x x x x gn = ) , , , , (3 2 1 . Defnase la Funcin Langragiana | | k x x x x g x x x x f x x x x Ln n n = ) , , , , ( ) , , , , ( ) , , , , , (3 2 1 3 2 1 3 2 1 SupongaqueseobtieneelPuntoCrtico ) , , , , , (0 03 02 01nx x x x resolviendo el sistema:

= = = = = = = == =n n nx x xx x xx x xx x xg f Lg f Lg f Lg f Lk x x x g L0000) , , , , ( 03 3 32 2 21 1 13 2 1 Defnase el Hessiano Orlado, como la matriz:

) , , , , , (3 2 12 23 22 211 13 12 110 03 02 01213 2 10

=nnnx x x xnn n n n xn xn xx x x xL L L L gL L L L gL L L L gg g g gH Sea

=22 2112 113212 10L L gL L gg gHxxx x,

=33 32 3123 22 2113 12 1143213 2 10L L L gL L L gL L L gg g gHxxxx x x,, H Hn =Entonces: 1. Si0 ) 1 ( 0 0 05 4 3> . . > . < . > nnH H H H entonces en) , , , , (0 03 02 01 nx x x x la funcin tiene un Mximo. 2. Si0 0 0 05 4 3< . . < . < . < n H H H H (todos negativos)entonces en) , , , , (0 03 02 01 nx x x x la funcin tiene un Mnimo. Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 42 2.2.5OPTIMIZACINDEFUNCIONESDE3VARIABLES SUJETA A DOS RESTRICCIONES. SupongaquesedeseaoptimizarlaFuncin Objetivo) , , ( z y x f w=sujeta a que ==21) , , () , , (k z y x hk z y x g. Defnase la funcin Langragiana:| | | |2 1) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , , , ( k z y x h k z y x g z y x f z y x L u = u Entonceselmximooelmnimodelafuncinse produceenelPuntoCrtico) , , , , (0 0 0u z y x quese obtiene al resolver el sistema:

u + = =u + = =u + = = == =uz z z zy y y yx x x xh g f Lh g f Lh g f Lk z y x h Lk z y x g L000) , , ( 0) , , ( 021 Ejemplo Encuentre los puntos crticos de yz xy z y x f + = ) , , (sujeta a que82 2= + y xy 8 = yzSOLUCIN: En este caso lafuncin Langragianaes:

| | | |) 8 ( ) 8 ( ) , , , , () , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , , , (2 22 1 u + + = u = yz y x yz xy z y x u Lk z y x h k z y x g z y x f z y x u L Para los puntos crticostenemos: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) u + =u + = +u + === +u + = =u + = =u + = = == =uy yz y z xx yyzy xh g f Lh g f Lh g f Lk z y x h Lk z y x g Lz z z zy y y yx x x x020 288000) , , ( 0) , , ( 02 221 De la l ti ma ecuaci n1 = u . De la penl timaecuacin ( ) ( )yxy xz y z x221 2= =+ = + De la antepenl tima ecuacin: xyx y22 = =Igual ando seobtiene2 22 2y xxyyx==

Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 43 Reemplazando en laprimeraecuacin: 28 28822 22 2 = == += +xxx xy x Portanto 2 22 2 = = = =y xy xycomo yz8= resul tanlossiguientespuntoscrticos:) 4 , 2 , 2 ( , ) 4 , 2 , 2 ( ,) 4 , 2 , 2 (y) 4 , 2 , 2 ( Ejercicios Propuestos 2.6 1. Encuentrelospuntoscrticosde 2 22 ) , , ( z y x z y x f + = sujetaaque0 2 = y x y aque 0 = + z y . 2. Encuentrelospuntoscrticosde 2 2 2) , , ( z y x z y x f + + = sujetaaque1 = + + z y x y aque 1 = + z y x . 3. Encuentre los puntos crticos dexyz z y x f = ) , , (sujeta a que12 = + + z y xy a que0 = + z y x . 4. Encuentrelospuntoscrticosde 2 2 2) , , ( z y x z y x f + + = sujetaaque4 2 = + z x y aque 8 = + y x . Miscelneos 1.Una lechera produce leche entera yleche descremada en cantidadesxeygalones, respectiv amente. Supongaqueelpreciodelalecheenteraesx x p 5 20 ) ( = , y eldelalechedescremadaesy y q 2 4 ) ( = . Suponga que4 2 ) , ( + = xy y x Ces la funcin de costos conjuntos de los productos. Cules deberan ser x e y para maximizar las utilidades? 2. Un fabricante planea v ender un nuevo producto al precio de150 $por unidad yestima que si se gastan x milesdedlaresendesarrolloey milesdedlaresenpromocin,losconsumidorescomprarn aprox imadamente41602320+++ xxyyunidades del producto. Si los costos de fabricacin de este producto son50 $por unidad, cunto debera gastar el fabricante en desarrollo y cunto en promocin para generar la may or utilidad posible en la venta de este producto? 3.Un consumidor tiene200 $para gastar en dos artculos, el primero de los cuales cuesta2 $por unidad y el segundo 5 $por unidad. Suponga que la utilidad obtenida por el consumidor dex unidades del primer artculo e y unidades del segundo es 75 . 0 25 . 0100 ) , ( y x y x U = . a) Cuntas unidades de cada artculo debera comprar el consumidor para maximizar las utilidades? b) Calcule la utilidad marginal del dinero e interprete el resultado en trminos econmicos. 4.Una empresa emplea dos tipos de materia prima,Ay Ben la elaboracin de su producto. UsandoxUNIDADESdeA ey UNIDADESdeB ,laempresapuedeelaborarT UNIDADESde suproducto,en donde: 2 25 4 3 240 70 ) , ( y x xy y x y x T + + =a) Cuntas unidades de su materia prima debera utilizar la empresa a fin deMAXIMIZAR su produccin? b) Si le cuesta a la empresa $ 5 por cada unidad de A y $ 7 por cada unidad de B y la empresa puede vender todo lo que produce a $ 10 por unidad. Qu cantidad de A y BMAXIMIZARN la utilidad de la empresa? Moiss Villena MuozCap. 2 Optimizacin de varias variables 44 c) Si los costos de la materia prima son los mismos de la parte b) ysi l a empresa dispone de $ 250 para materia prima Qu cantidades MAXIMIZARAN la produccin de la empresa? d) Si lo que se dispone incrementa en $ 3 cmoCAMBIA la produccin? 5.Las funciones de COSTO MARGINAL y de INGRESO MARGINAL de una empresa son:

2) 5 ( 5 ) ( x x C + = y x x R 4 37 ) ( = respectiv amente. En donde " x " denota el nmero deunidades producidas. Los costos fijos son de 25. a) Encuentre el nivel de produccin queMAXIMIZAR las utilidades de la empresa. b) Calcular la UTILIDAD TOTAL de la empresa en este nivel de produccin. c) Determine la UTILIDAD si el nivel de produccin se INCREMENTA EN 2 UNIDADES ms all del nivel de utilidad mximo. 6.Suponga que un monopolista est practicando discriminacin del precio en la venta de un producto cobrando diferentespreciosendosmercadosseparados.EnelmercadoA lafuncindedemandaes:A Aq p =100 ,y enB es:B Bq p =84 ; dondeAqyBq sonlascantidades vendidas por semana en A yen By Apy Bpson los precios respectiv os por unidad. Si la funcin de costo del monopolista es:) ( 4 600B Aq q c + + = . Entonces: a) Cunto debe venderse en cada mercado para maximizar la utilidad ?b) Qu precios de v enta dan la utilidad mxima? c) Encuentre la utilidad mxima. 7.Determineelvalormnimodelafuncin 2 2 2) , , ( z y x z y x f + + = si6 = + + z y x .Empleeel Hessiano Orlado. 8.Encuentrelospuntoscrticosdexyz z y x f = ) , , ( sujetaaque32 = + + z y x y aque 0 = + z y x .