moises villena muñoz

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Moisés Villena Muñoz Vectores en n IR IR IR , , , 3 2 1 1 1.1 DEFINICIÓN 1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO 1.3 IGUALDAD 1.4 OPERACIONES Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de 2 IR . Pero el interés ahora es ser más generales.

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  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    1

    1

    1.1 DEFINICIN 1.2 ENFOQUE GEOMTRICO 1.3 IGUALDAD 1.4 OPERACIONES

    Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de 2IR . Pero el inters ahora es ser ms generales.

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    1.1 DEFINICIN

    Un vector de es un conjunto ordenado de n nmeros n\reales, los cuales son llamados componentes. Lo denotaremos de la siguiente manera:

    ( )1 2, , , nv x x x = "Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado ( ),x y , ser un

    vector de . 2\

    ( ), ,x y zSi el vector tiene tres componentes, un terna ordenada , ser un vector de .

    3\

    Considerar a los vectores de como pares ordenados o a los

    vectores de como ternas ordenadas, nos permite obtener sus propiedades algebraicas, pero existen otras que resultan cuando se define una representacin del vector en el plano cartesiano o en el sistema tridimensional.

    2\3\

    1.2 ENFOQUE GEOMTRICO

    Un vector de se lo representa en el Plano Cartesiano como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos y

    . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde hacia tenemos una representacin del vector

    2\ ( )111 , yxP( 222 , yxP ) 1P 2P

    ( )121221 , yyxxPPv ==

    x

    y

    ( )1 1 1,P x y

    ( )2 2 2,P x y

    1 2v PP = JJJJG

    2

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el plano cartesiano. Una representacin equivalente til es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.

    Surgen caractersticas importantes cuando obtenemos una representacin geomtrica de un vector. Caractersticas como la longitud del segmento de recta, la medida de la inclinacin de este segmento y hacia donde apunta la flecha que se ubica este segmento.

    x

    y

    ( ),v x y =

    v

    1.2.1 MAGNITUD O NORMA

    Sea un vector de ( yxv ,= ) 2R . La magnitud o norma vde denotada como

    v , se define como:

    22 yxv +=

    Note que la norma sera la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sera la distancia entre los puntos que lo definen.

    Para ( )1212 , yyxxv = sera ( ) ( )212212 yyxxv +=

    3

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    1.2.2 DIRECCIN

    La direccin de est definida por la medida ( yxv ,= )del ngulo de inclinacin de la lnea de accin del segmento de recta; es decir, por el ngulo . Observe que:

    arctanyx

    = Si el ngulo es medido en sentido antihorario se dir que tiene

    direccin positiva, caso contrario se lo considera negativo.

    Para ( )1212 , yyxxv = sera 2 12 1

    arctan y yx x

    = 1.2.3 SENTIDO

    El sentido de lo define la flecha dibujada ( yxv ,= )sobre el segmento de recta.

    Para ( )212112 , yyxxPPv == tenemos:

    x

    y

    ( )1 1 1,P x y

    ( )2 2 2,P x y

    2 1v P P = JJJJG

    4

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    La representacin Geomtrica para un vector de sera anloga a

    . Suponga que se tienen los puntos

    3\( )1111 ,, zyxP ( )2222 ,, zyxP2\ y . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde hacia tenemos una

    representacin del vector

    1P 2P

    ( )21121221 ,, zzyyxxPPv ==

    x

    y

    z

    v

    ( )1111 ,, zyxP =

    ( )2222 ,, zyxP =

    Su representacin con punto de partida el origen sera:.

    x

    y

    z

    v

    ( )zyxP ,,

    La magnitud o norma de se define como: ( zyxv ,,= )

    222 zyxv ++= 5

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    Para ( )121212 ,, zzyyxxv = sera:

    ( ) ( ) ( )212212212 zzyyxxv ++=

    La direccin de est definida por la medida ( zyxv ,,= )de los ngulo que forma la lnea de accin del segmento de

    zrecta con los ejes , , x y

    Los ngulos , y son llamados ngulos Directores.

    x

    y

    z

    v

    Observe que:

    222 zyxx

    v

    xCos++

    ==

    222 zyxy

    v

    yCos ++==

    222 zyxy

    v

    yCos++

    ==

    6

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    Ejercicio.

    Demostrar que 1coscoscos 222 =++ Para ms dimensiones no disponemos de interpretacin geomtrica.

    Pero podemos hacer generalizaciones.

    Si , entonces la norma del ( 1 2 3, , , , nv x x x x = )vector se define como: v

    2 2 21 2 3 nv x x x x

    = + + + + 2

    1.3 IGUALDAD

    Sean y ( )1 1 2 3, , , , nv x x x x = ( )2 1 2 3, , , , nv y y y y = 1v v

    vectores de . Entonces n\ 2= , si y slo si: ( ) ( ) ( ) ( )nn yxyxyxyx ==== 332211

    1.4 OPERACIONES 1.4.1 SUMA Y RESTA

    Sean y dos vectores de tales que

    1v

    2vn\

    ( )1 1 2, , , nv x x x = " ( )2 1 2, , , nv y y y = " y , Entonces:

    1. La suma de con , denotada como , se + 21 vv1v 2v

    define como:

    ( )1 2 1 1 2 2, , , n nv v x y x y x y + = + + +" 7

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    1v v

    2. La resta de con , denotada como

    1v

    2v 2 , se define como:

    ( )1 2 1 1 2 2, , , n nv v x y x y x y = "

    Ejemplo

    Sean y ( )1 5, 2,1V = (2 3,0, 2V )= , dos vectores de , hallar y 1 2V V + 1 2V V 3\ SOLUCIN: Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos:

    ( )1 2 5 3, 2 0, 1 ( 2)V V + = + + + )1,2,2( =( ) ( )1 2 5 3, 2 0, 1 ( 2) 8, 2,3V V = =

    1.4.1.1 ENFOQUE GEOMTRICO Sea la representacin que se muestra a continuacin para los vectores

    y ( )111 , yxv = ( )222 , yxv =

    Considerando una representacin equivalente de v de tal forma que

    est ubicado a continuacin de

    2

    1v

    8

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    Definiendo el vector , observe la figura anterior: ( 333 , yxv = )( ) ( ) ( ) 113313132 ,,, yxyxyyxxv == Ahora tenemos que

    Por tanto ; es decir: = 132 vvv

    += 123 vvv

    El vector de la diagonal mayor del paralelogramo que sustentan lo

    vectores y v es el vector suma de con v .

    1v

    2

    1v

    2

    Por otro lado, definamos el vector v , observe la figura:

    4

    ( ) ( ) ( ) === 12112212124 ,,, vvyxyxyyxxv

    9

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    El vector de la diagonal menor del paralelogramo que sustentan lo

    vectores y es el vector diferencia.

    1v

    2v

    PREGUNTA: Cmo se representara 21 vv ?.

    Para , el asunto es anlogo 3\

    x

    y

    z

    ( )1111 ,, zyxv =

    ( )2222 ,, zyxv =

    + 2

    1

    vv

    1.4.1.2 PROPIEDADES

    Sean , y vectores de , entonces:

    1v

    3v

    2vn\

    1. la suma es conmutativa +=+ 1221 vvvv

    2. la suma es asociativa +

    +=

    ++ 321321 vvvvvv

    nv \3. , 0 n \ =+ vv 0 tal que .

    Donde es llamado Vector Neutro (0 0,0, ,0 = " )4. , tal que

    nv \

    nv \ =

    + 0vv

    Donde es llamado Vector Inverso Aditivo de

    v v

    10

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    1.4.2 MULTIPLICACIN POR ESCALAR

    Sea \ y sea un vector de . ( 1 2, , , nv x x x = " ) n\Entonces:

    ( ) (1 2 1 2, , , , , ,n nv x x x x x x = =" " ) Ejemplo 1

    Sea un vector de , hallar ( 5, 2,1v = 3 v) 3IRSOLUCIN:

    ( ) (3 3 5, 2,1 15,6,3v = = ) Ejemplo 2

    Sean y dos vectores de tales que: 1v

    2v ( )1 3,0, 2v = 3IR y . 2 ( 5, 2,1)v =

    Hallar el vector 1 22 3v v v =

    SOLUCIN:

    ( ) (( )

    1 22 3

    6,0, 4 15,6,3

    21, 6, 7

    v v v

    v

    v

    = = =

    )

    1.4.2.1 ENFOQUE GEOMTRICO

    2v\ 3v\Si R y o , entonces:

    1. Si 1> , el vector v representa un vector de mayor magnitud que

    v

    2. Si 10

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    4. Si 01

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    vuv

    =

    Ejemplo

    Hallar un vector unitario para el vector (1, 2,3)v =u

    SOLUCIN:

    Aplicando la frmula vuv

    = tenemos:

    (1, 2,3)14

    1 (1,2,3)141 2 3, ,14 14 14

    u

    u

    u

    =

    = =

    comprobando

    1 4 914 14 141414

    1

    u

    u

    u

    = + +

    =

    =

    1.4.2.4 VECTORES PARALELOS

    Sean y dos vectores de . Entonces y

    1v

    2v

    1v

    2vn\

    son paralelos si y slo si el uno es mltiplo escalar del otro; es decir:

    = 21 vkv

    Observe lo siguiente.

    Si y ( )1 1 2, , , nv x x x = " ( )2 1 2, , , nv y y y = " ; y si son paralelos entonces

    ( ) (( ) (

    1 2

    1 2 1 2

    1 2 1 2

    , , , , , ,

    , , , , , ,n n

    n n

    v k vx x x k )

    )y y y

    x x x ky ky ky

    ===

    " "" "

    Por igualdad de vectores

    1 2 1 2 n nx kx y ky x ky= = =" 13

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    o tambin

    1 2

    1 2

    n

    n

    xx x ky y y= = = ="

    Se concluye que, cuando los vectores son paralelos, existe

    proporcionalidad entre sus componentes.

    Ejemplo

    El vector es paralelo al vector porque o tambin ( 2,31 =v ) )( 4,62 =v = 12 2 vv2

    24

    36 =

    =porque

    Por otro lado. Note que cualquier vector de 2R , , puede ser

    expresado en trminos de los vectores y

    ( yxv ,= )

    )

    ( )0,1=i ( )1,0=j

    ( ) ( ) ( )

    +=+==jyix

    yxyxv 1,00,1,

    Es decir, tenemos otra representacin algebraica del vector.

    Ejemplo

    El vector puede ser expresado de la forma ( 3,2 =v jiv 32 =

    Un vector de 3R , , puede ser expresado en trmino de los

    vectores , y

    ( zyxv ,,= )

    ) k

    ( )0,0,1=i ( )0,1,0=j ( )1,0,0=k

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ++=++==

    kzjyixv

    zyxzyxv 1,0,00,1,00,0,1,,

    Ejemplo

    El vector tambin se lo puede denotar de la forma 2 5 3v i j = +(2, 5,3v =

    14

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    Con lo anterior surge la siguiente definicin

    1.4.2.5 COMBINACIN LINEAL

    Sean vectores de . Una Combinacin Lineal 1 2 3, , , , nv v v v

    " n\de estos vectores es una expresin de la forma:

    1 1 2 2 3 3 n na v a v a v a v + + + +

    1 2 3, , ,..., na a a a \donde

    Observe que el resultado de la combinacin lineal es otro vector de . n\

    Ejemplo

    Con los vectores y al formar la siguiente combinacin lineal ( )3,11 =v ( 2,52 =v ) 21 23 vv tenemos:

    ( )

    ( ) ( )( )5,7

    4,109,32,52)3,1(323 21

    === vv

    El resultado el vector ( )5,7=v

    Tambin puede ser posible expresar un vector en combinacin lineal de otros vectores.

    Ejemplo

    Exprese y encuentre la combinacin lineal del vector en trminos de ( )1,1=v( )3,11 =v y ( )2,52 =v

    SOLUCIN:

    La combinacin lineal en trminos de y sera: ( )1,1=v ( )3,11 =v ( 2,52 =v ) ( ) ( ) )2,5(3,11,1 21 +=

    += vvv

    Ahora, el objetivo sera determinar el valor de y .

    15

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    =+=+

    12315

    133=

    132= y Resolviendo el sistema, obtenemos:

    Por tanto ( ) ( ) )2,5(3,11,1 13213321

    +=+= vvv

    Ejercicios propuestos 1.1

    1. Sean . Calcular: ( ) ( ) (1, 2,3 , 3,2,5 , 2, 4,1u v w = = = )u v a) c) u w v

    b) d) 2 3 5v w + 4 7u v w +

    1 2 33,4, 2 3,4, 6 4, 1,5v v v = = = 2. Dados los vectores . Halle un vector tal

    que

    4v

    ( )1 2 3 4 1,4,5v v v v + + + = a) b) c) 8,3,5 8,3,5 8,3,5 d) e) 8,3,5 6,3,5

    3. Sean los vectores de , , ( )1 2, 3,4v = ( )2 2,3, 1v = 3R , , . Entonces un vector tal que

    ( )3 4,8,2v = ( )4 1,0,0v =v

    1 2 3 42v v v v v + =

    ) )6,8,9

    )

    , es:

    a) b) (v = c) (7,17, 4v = ( )6,8,9v =d) e)( 7,17,4v = ( )7, 17, 4v =

    4. Sean los vectores , ( )1 1,3,0v = ( )2 2,3,1v = (4 4, 1, 7v )= , determine los valores de y para que la combinacin sea verdadera:

    ba

    3 1 2v a v b v = +

    7.320 == ba d) a) 313.14 =b3=a

    b) e) Elija esta opcin si a y b no existe 7.18 == ba c) 7.3

    20 == ba 5. Dados los vectores ,

    entonces para que se cumpla que

    ( ) ( ) ( ) (1 2 31 , 2 , 2 ; 2 , 2 , 0 ; 0 ,1 , 7 ; 2 , 5 , 3v v v v = = = = )

    1 2 31 2 3k v k v k v v + + = ; el valor de

    debe ser: 321 kkk ++

    a) -2 b) -5 c) -1 d) 5 e) 2

    16

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    1.4.3 PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR)

    Sean y ( )1 1 2, , , nv x x x = " ( )2 1 2, , , nv y y y = " vectores de . El producto punto de y , denotado como 1v

    2v

    n\

    1v v 2 , se define como:

    ( ) (1 2 1 2 3 1 2 3

    1 2 1 1 2 2 3 3

    , , , , , , , ,n n

    n n

    v v x x x x y y y y

    v v x y x y x y x y

    = = + + + +

    )

    Note que el resultado del producto punto es un nmero real.

    Ejemplo 1

    Si y entonces ( )1 3,1v = (2 1,4v = )( )( ) ( )( )1 2 3 1 1 4 3 4v v 1 = + = + =

    Ejemplo 2

    Hallar para 1 2v v ( )1 3,0, 2v = y 2 ( 5, 2,1)v =

    SOLUCIN:

    1 2

    1 2

    1 2

    1 2

    (3,0, 2) ( 5, 2,1)

    (3)( 5) (0)(2) ( 2)(1)

    15 0 2

    17

    v v

    v v

    v v

    v v

    = = + + = + =

    Ejemplo 3

    Sean y dos vectores de tales que: y 1v

    2v ( )1 2,1,3, 1v = n\

    1 2v v (2 3,0, 1, 2v = ) . Hallar

    SOLUCIN:

    1 2

    1 2

    ( 2)(3) (1)(0) (3)( 1) ( 1)(2)

    11

    v v

    v v

    = + + + =

    17

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    1.4.3.1 PROPIEDADES

    Sean y vectores de . Entonces:

    1v

    2vn\

    1. El producto escalar es conmutativo = 1221 vvvv

    2. El producto escalar es +=

    + 2121321 vvvvvvv

    distributivo

    3.

    =

    2121 vvvv

    Adems, si entonces ( )1 2, , , nv x x x = " ( ) ( ) 2 21 2 1 2 1 2, , , , , ,n nv v x x x x x x x x x = = + + +" " " 2nPor lo tanto

    2 = vvv o tambin = vvv

    1.4.3.2 ENFOQUE GEOMTRICO

    Suponga que es el ngulo que forman entre si los vectores y . 1v

    2v

    Consideremos el tringulo:

    Aplicando la ley del coseno, tenemos:

    18

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    += cos2 212

    2

    2

    1

    2

    12 vvvvvv

    Aplicando propiedades y simplificando:

    =

    +=+

    +=

    cos22

    cos2

    cos2

    2121

    21221111211222

    2122111212

    vvvv

    vvvvvvvvvvvvvv

    vvvvvvvvvv

    Finalmente, resulta que:

    cos2121 = vvvv

    La utilidad de la ltima expresin la observamos en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo

    ( )3,11 =v ( )1,32 =vHallar el ngulo que forman los vectores y SOLUCIN: Aplicando la propiedad tenemos:

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 34 3222 331,33,1 1,33,1cos21

    21 =====

    vv

    vv

    Por tanto:

    65

    23arccos =

    =

    Ejercicio Propuesto 1.2

    ( )1 1,2, 1v = 1. Dados los vectores: y el resultado de la operacin: (2 2,1,0v = )1 2 2 13 2 2v v v v

    es: a) 13 b) -39 c) -68 d) 39 e) -13

    19

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    2. Sean los vectores de , , y . Entonces el valor

    de

    ( )1 1,2,1v = ( )2 1, 2,1v = (3 0, 1,0v = )3R2

    1 2 2 1 2 32 2v v v v v v +

    ( )0,0,24a) b)-24 c)( )0,24,0 d)12 e)24

    3. Sean , vectores de , tales que: y 1v

    2v ( )1 5,2v = (2 7, 2v2R )= . Entonces un vector tal

    que: y

    3v

    1 3 38v v = 3 2 34v v = es:

    a) b) c) ( )3 4,6v = (3 6,9v = ) ))

    )

    (3 6,4v =d) e) (3 6,0v = ( )3 4,9v =

    4. Sean , y vectores de tales que: , y

    . Entonces al efectuar la operacin

    1v

    2v

    3v ( )1 3, 2,1v = ( )2 5,1,0v = 3IR

    (3 0.4,0v =2 2

    1 1 2 2 33 4 6 2v v v v v v 3

    se obtiene como resultado: a)54 b)110 c)84 d)184 e)52

    1.4.3.3 VECTORES ORTOGONALES

    Sean y dos vectores de . Entonces y son 2v

    2v

    1v

    1vn\

    1 2 0v v =ortogonales si y slo si

    Ejemplo

    Los vectores 1 (1,2, 1)v = y son ortogonales, porque 2 ( 3,2,1)v

    = 1 2 (1)( 3) (2)(2) ( 1)(1) 0v v

    = + + =

    El hecho de que significa que el ngulo entre ellos tiene

    medida de , es decir

    021 =vv

    2= . Porqu? D90

    En este caso se dice que y son vectores perpendiculares.

    1v

    2v

    20

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    Este concepto puede se utilizado en problemas de diseo, como el siguiente:

    Ejemplo

    Dados los vectores y ( )21 1, 2,3v a = ( )2 52, , 24v a = , encontrar los valores de " a " para que sean ortogonales. SOLUCIN:

    Para que y sean ortogonales se debe cumplir que 1v

    2v

    1 2 0v v = , entonces

    ( )2 25 51 2 24 81, 2,3 ( 2, , ) 2 2 2v v a a a a = = + + por lo tanto

    43

    47

    0211616

    0222

    8212

    ===+=+

    aa

    aa

    aa

    1.4.3.4 VECTORES ORTONORMALES

    Los vectores de son ORTONORMALES si y slo 1 2 3, , , , nv v v v

    " n\1

    0

    i j

    i j

    v v cuando i j

    v v cuando i j

    = = = si:

    Es decir, un conjunto de vectores es ortonormal si y slo si est constituido por vectores que son unitarios y ortogonales a la vez.

    21

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    Ejemplo 1

    ( )1,0=j( )0,1=i 1=i 1=jLos vectores y son ortonormales porque , y 0= ji

    Ejemplo 2 Los vectores son ortonormales, porque )1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1( === kji

    y adems 0=== kjkiji 1=== kji

    Ejercicios Propuestos 1.3

    1. Sean y vectores en , tales que 1v

    2v

    1 2,1,1v = 2 1,1,1v =3IR y . Una de las siguientes

    proposiciones es VERDADERA identifquela:

    a) y son ortogonales. 1v

    2v

    b) y son paralelos. 1v

    2v

    2 12 3 3v v = 2 c)

    2 12 3 1,0, 1v v = d)

    2 12 3v v = 3e)

    ( )1 , 3, 1v k k = 2. Sea los vectores de: y . Determine los valores de tales que y sean ORTOGONALES.

    (2 3, 1,v = )k k1v

    2v

    a)3 y 1 b)3 y -1 c)-3 y -1 d)-3 y 1 e)0 y -3

    1 1 ,3 ,1v a a = 3. La SUMA DE LOS VALORES de " " que hacen que los vectores y a

    2 , 1,3v a = SEAN ORTOGONALES, es: a)-3 b)-1 c)-2 d) 0 e) 3

    4. Sean los vectores y ( ) ( )1, 2,3 , 4, 1,2A B = = ( )2,0, 3C = encontrar el valor de , tal que tA t B + sea ortogonal a . C

    5. Si se tienen los vectores y v b( )1 1, 2, 0v = ( )2 1, 2 , 3a 1, si v y son ortogonales y 2v=1 2

    32 , 1,2

    v v a a =

    , entonces los valores de y , respectivamente son:. ba

    21

    23

    21

    21 b)

    21 y -2 c) -1 y d) - y -1 e) - y 1 a) 2 y

    6. Sean y vectores de tales que: , 3v ( )1 3,1,2v = ( )2 2,1, 1v = 1 2,v v 3R y .

    Entonces el VALOR de para que sea ortogonal a es:

    3 1 2v b v v = + 2

    3v

    2v

    b

    75 12572 512 512 b) c) d) e) a)

    22

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    1.4.3.5 PROYECCIONES

    1.4.3.5.1 PROYECCIN ESCALAR

    La proyeccin escalar de sobre , denotada como

    21

    vproyv

    2v

    1v ,

    es la magnitud de la sombra que hace sobre . Observe la figura.

    2v

    1v

    =2

    21cos

    v

    vproyvDel tringulo tenemos : .

    Despejando, resulta: = 22 cos

    1

    vvproyv

    1vMultiplicando y dividiendo por resulta:

    =

    ==

    12

    1

    21

    1

    12

    2

    cos

    1

    uvv

    vv

    v

    vvvproy

    v

    23

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    1.4.3.5.2 PROYECCIN VECTORIAL

    El vector proyeccin de sobre , denotada como

    21vproyv

    1v

    2v , es:

    =

    = 1211

    1

    1

    2121

    uvuv

    v

    v

    vvvproyv

    Realice el trabajo anlogo para obtener la proyeccin escalar y la

    proyeccin vectorial de sobre .

    1v

    2v

    24

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    1.4.3.6 DESCOMPOSICIN ORTOGONAL

    Suponga que se tiene dos vectores ortogonales y y otro vector , como se muestra en la figura.

    v

    1v

    2v

    Suponga que se desea descomponer (expresar) en trminos de y

    . En la expresin realizando el producto punto con y despejando, tenemos:

    v

    1v += 2211 vCvCv2v 1v

    N1 1 1 1 2 20

    2

    1 1 1

    11 2

    1

    v v C v v C v v

    v v C v

    v vCv

    = +

    =

    =

    1

    Anlogamente, realizando el producto punto ahora con v , encontramos:

    2

    25

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    N2 1 1 2 2 20

    2

    2 2 2

    22 2

    2

    v v C v v C v v

    v v C v

    v vCv

    = +

    =

    =

    2

    Es decir:

    +

    =

    +

    =

    +=

    2211

    22

    2

    212

    1

    1

    2211

    uuvuuvv

    vv

    vvvv

    vv

    vCvCv

    Observe que:

    += voyvoyvvv 21

    PrPr

    Ejemplo

    Sean ( )1,31 =v y ( )5,12 =v vectores de . Hallar dos vectores ortonormales 2R1u y

    2u , Tal que

    1u sea paralelo a

    1v y

    2u sea ortogonal a

    1v .

    SOLUCIN

    Lo que queremos hacer, es encontrar dos vectores 1u y

    2u tales que:

    26

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    Primero, hallamos un vector unitario en la misma direccin (paralelo) de 1v .

    Entonces ( ) ==

    101

    103

    1 ,101,3u

    SEGUNDO, hallamos un vector

    2v que sea ortogonal a

    1v .

    Observe que

    = 2221

    Pr voyvv v entonces:

    =

    =

    =

    =

    =

    521

    57

    2

    108

    1024

    101

    103

    108

    101

    103

    101

    103

    22

    2

    51

    51

    51

    51

    Pr 1

    v

    voyvv v

    Luego ( ) ( ) ( ) 752 312 10 107

    52

    1,3 1,3,

    10 10vuv

    = = = =

    27

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    Ejemplo

    Exprese y determine la combinacin lineal del vector ( )1,1=v en trmino de los vectores ortogonales

    =

    101

    103

    1 ,u y ( )312 10 10,u = . SOLICIN:

    Como 1u y

    2u son vectores ortonormales, empleamos la formula

    21

    1 1 2 2

    3 3 1 110 10 10 10

    3 31 110 10 10 10

    3 110 104 2

    10 10 3110 10

    Pr Pr

    1 1 11 1 1

    11

    v vv oy v oy v

    v v u u v u u

    = + = + = +

    = +

    Utilizando esta propiedad no es necesario resolver sistema alguno Ejercicios Propuestos 1.4

    X1. Sean y . Descomponer en dos vectores, un vector ( )3,11 =v ( )1,12 =v 1v paralelo a

    2v y un vector ortogonal a .

    Y

    2v

    Resp. y ( 2,2=X ( )1,1=Y)2. Sean los vectores y . kjiV 4231 +=

    kjiV 2332 +=

    a) Determinar la proyeccin vectorial de sobre el vector . 1V

    2V

    b) Calcular la componente de perpendicular a . 1V

    2V

    ( )2210221522151 ,,Pr2

    =

    VoyV

    Resp. a) b)

    1.4.4. PRODUCTO VECTORIAL. PRODUCTO CRUZ

    Sean y vectores de ( )1111 ,, zyxv = ( 2222 ,, zyxv = )3R . El Producto Vectorial de con denotado como

    1v

    2v 21 vv se define como:

    ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2, ,v v y z z y x z x z x y y x = 28

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    Una manera prctica para obtener el resultado de la operacin Producto

    Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera fila:

    222

    11121

    zyxzyxkji

    vv =

    Ejemplo.

    Sea y entonces ( )1,2,11 =v ( 0,1,22 =v )kji

    kjivv 52

    01212121 =

    =

    1.4.4.1 PROPIEDADES.

    Sean , y vectores de

    3v

    1v

    2v3\

    1. El vector es tanto perpendicular a

    21 vv

    1v

    como a

    2v

    2. El sentido del vector se lo puede obtener

    21 vvempleando la mano derecha. Mientras los dedos se

    dirigen desde hacia , el pulgar indica la

    1v

    2v

    direccin de .

    21 vv

    1v

    2v

    21 vv

    3.

    = 1221 vvvv

    29

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    4. = 011 vv

    5. Si entonces

    21// vv = 021 vv

    6.

    =

    21212211 vvvv

    7.

    +

    =

    + 3121321 vvvvvvv2

    21

    2

    2

    2

    1

    2

    21

    = vvvvvv8. De la ltima expresin, empleando la propiedad del producto escalar, se

    obtiene un resultado muy importante:

    [ ]

    22

    2

    2

    1

    2

    21

    22

    2

    2

    1

    22

    2

    2

    1

    2

    2

    2

    1

    2

    21

    2

    2

    2

    1

    2

    21

    2

    2

    2

    1

    2

    21

    cos1

    cos

    cos

    senvvvv

    vv

    vvvv

    vvvv

    vvvvvv

    =

    =

    =

    =

    =

    Finalmente:

    senvvvv = 2121

    1.4.4.2 APLICACIONES

    1.4.4.2.1 CALCULO DEL REA DEL PARALELOGRAMO SUSTENTADO POR DOS VECTORES.

    Sean y dos vectores, no paralelos. Observe la figura:

    1v

    2v

    1v

    2v

    h

    2v

    1v

    30

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    Tomando como base a , tenemos:

    2v

    hv

    alturabaseArea=

    =2

    Observe que =1v

    hsen entonces senvvArea = 12

    Y por la propiedad del producto cruz:

    = 21 vvArea

    Ejemplo 1

    Hallar el rea del tringulo sustentado por los vectores y ( )1,2,11 =v( )0,1,22 =v

    SOLUCIN:

    El rea del tringulo sustentado por dos vectores y es la mitad del rea del paralelogramo sustentado por los vectores, es decir:

    1v

    2v

    2

    21

    =

    vvTringuloArea

    kjikji

    vv 5201212121 =

    = Como

    entonces

    ( ) ( ) ( )230

    2521

    2

    22221

    =++=

    =vv

    TringuloArea

    Ejemplo 2

    Hallar el rea del tringulo que tiene por vrtices los puntos , y ( )0,2,1 ( 1,1,1 )( )1,0,2 SOLUCIN: Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos; luego se procede de manera anloga a lo mencionado anteriormente debido a que el rea del tringulo es la mitad del rea del paralelogramo.

    1v

    2v

    ( )0,2,11 P

    ( )1,1,12P

    ( )1,0,23 P

    31

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    En este caso, ( ) 1,3,001),2(1,11211 === PPv ( )( ) v ( ) 1,2,301),2(0,12322 === PP

    Entonces,

    kjikji

    vv 9312313021 =

    =

    ( ) ( ) ( )291

    2931

    2

    22221

    =++=

    =vv

    TringuloArea

    1.4.4.2.2 CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPPEDO SUSTENTADO POR TRES VECTORES

    Sean , y v tres vectores. Observe la figura.

    1v

    2v

    3

    1v

    2v

    3v

    21 vv

    h

    h

    Tomando como base el paralelogramo sustentado por y , la altura

    del paraleleppedo ser la proyeccin escalar de sobre v , entonces:

    1v

    2v

    3v

    21 vhalturabaseAreaVolumen =

    = 21 vvbaseArea Donde

    ===

    21

    321

    321

    Prvv

    vvvvoyhaltura

    vv

    Por tanto.

    =21

    321

    21

    vv

    vvvvvVolumen

    Finalmente, simplificando resulta:

    32

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    = 321 vvvVolumen

    Esta ltima expresin es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO

    ESCALAR de los vectores , y , y su interpretacin es el volumen del

    paraleleppedo sustentado por los vectores , y . Observe adems que no importa el orden de operacin de los vectores, por qu?.

    1v

    2v

    3v

    1v

    2v

    3v

    Ejemplo

    Hallar el volumen del paraleleppedo sustentado por los vectores , ( )1,2,11 =v( )1,0,22 =v y . ( )3,2,13 =v

    SOLUCIN. Por lo definido anteriormente,

    3321 204142

    321102

    121uvvvVolumen =++=

    =

    =

    Ejercicios propuestos 1.4

    1. Sean los vectores y . Calcule los valores de y kjiAA x 25 +=

    kBjiB z 23 +=

    xA BA x b) al eje y para los cuales es paralelo a: a) al eje zB

    215=xA 215=xA54=zB 54=zBResp. a) b)

    2. Calcular el rea del tringulo que tiene sus vrtices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6)

    Resp. 2174=Area

    3. Dados tres vectores , , forman un tetraedro

    con vrtice en el origen. Determinar su altura desde el origen. Resp.

    ( )1 5,2,6v = ( )2 1,8,3v = (3 2, 7,4v = )74677=h

    4. Un tetraedro tiene por base el tringulo de vrtices (3.-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vrtice opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura. Resp. 67

    5459h =

    5. Sean y vectores no nulos, diferentes tales que: , , u

    v

    1w u v = + 2w u v =

    13 2w u v

    = + . Hallar Resp. 0 1 2 3w w w

    33

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    Miscelneos

    1. Demuestre que:

    2121 vvvva. ( DESIGUALD DE SCHWARZ)

    ++ 2121 vvvvb. (DESIGUALDAD TRIANGULAR)

    c. k v k v = ; k\

    2. Determine si las proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente.

    a. Si y son vectores unitarios entonces 1v

    2v 221 =+

    vv

    b. Si y son vectores ortogonales entonces 1v

    2v 221 =+

    vv

    2

    21

    2

    21 += vvvvc. Si y son vectores ortogonales entonces

    1v

    2v

    2

    2

    2

    1

    2

    21 +=+ vvvvd. Si y son vectores ortogonales entonces

    1v

    2v

    e. Si y son vectores ortogonales entonces 1v

    2v

    22

    21

    221 vvvv +=

    f. Si entonces = 3121 vvvv

    = 32 vv

    g. Si los vectores y son paralelos entonces 1v

    2v

    =

    2121 vvvv

    = 21 vvh. Si y son vectores de , donde 1v

    2v

    2R entonces y son

    ortogonales.

    + 21 vv 21 vv

    71 =u 22 =

    ui. Sean , , y vectores en el plano tales que

    1u

    2u

    1v

    2v , ,

    y . Si entonces y son ortogonales. = 211 52 uuv

    += 212 3uuv 421 =uu

    1v

    2v

    +=+ 2121 vvvvj. Si y son vectores de y 1v

    2v

    2R . Si R , entonces

    = 21 vv

    =++ 12121 2 vvvvvk. Si y son vectores de entonces 1v

    2v

    2R .

    l. Si los vectores , y forman un paraleleppedo cuyo

    volumen es , entonces ( )1 0,0,v a = ( )2 3,4,0v = (3 0,4,6v = )

    . 3120 u 10a =

    34

  • Moiss Villena Muoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

    3. Sean y vectores unitarios. Si los vectores y

    son ortogonales. Hallar la medida del ngulo

    1v

    2v

    += 213 2 vvv = 214 45 vvv

    que forman entre s los vectores y . 1v

    2v

    3= Resp.

    4. Sean y vectores de , tales que y . Determine los

    valores de

    1v

    2v ( )3,21 =v ( 0,12 =v )2\

    , de tal forma que los vectores y sean ortogonales.

    + 21 vv

    21 vv

    13= Resp.

    5. Sean , y ; determinar escalares y tales

    que . Resp.

    jiv 341 +=

    jiv = 22 jiv 763 =

    k m += 213 vmvkv 4=k ,

    5=m

    6. Sea ( ) 0 , el ngulo que forman los vectores y , Si , 1v

    2v

    = 231 2vvv

    45 41

    2

    = vvv 121 ==vv, y , determine el valor de la

    43 vv tan .

    3tan = Resp. X7. Determine un vector , perpendicular al vector que tenga una longitud de 10

    unidades. jiv 54 =

    jiX41

    4041

    50 += Resp.

    8. Sean , y ; determinar escalares k y m

    tales que . Resp.

    jiv 231 =

    jiv 432 +=

    jiv 873 =

    += 213 vmvkv 32=k 35=m ,

    9. Sea un vector diferente de cero, entonces, demostrar que si es un vector cualquiera, el

    vector

    V

    U

    = VV

    VUUW 2 es ortogonal a . V

    10. Demuestre que si es ortogonal a y a , entonces es ortogonal a para escalares cualquiera y .

    U

    V

    W

    U

    + WdVcc d

    A

    B, 11. Demostrar que el rea del tringulo, cuyos vrtices son los extremos de los vectores

    y , es

    ACAB

    21C

    + BA12. Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas , y y es el doble del volumen del tetraedro de aristas

    + CB + ACA

    B, y .

    C

    13. Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son perpendiculares.

    35

  • MOISES VILLENA MUOZ Rectas en el plano

    37

    2

    2.1 Ecuaciones de la recta en 2R 2.2 Posiciones relativas.

    Objetivos. Se persigue que el estudiante:

    Encuentre ecuaciones de rectas Determine si dos rectas son coincidentes, paralelas o si

    son intersecantes Encuentre punto de interseccin entre rectas. Encuentre ngulo de interseccin entre rectas.

  • MOISES VILLENA MUOZ Rectas en el plano

    38

    2.1. ECUACIONES DE LA RECTA EN 2R Trataremos ahora de definir ecuaciones de la recta, partiendo de un anlisis

    vectorial.

    2.1.1 Ecuacin de una recta definida por dos puntos Es obvio que dos puntos definen una recta, observe la figura

    Llamemos a ( )121221 , yyxxPPS == vector directriz de la recta l . Sea el vector ( )111 , yyxxPPv == , definido entre el punto ( )111 , yxP y

    un punto ( )yxP , cualquiera de la recta. Observe que S y v son paralelos, entonces

    = Skv para Rk . Por consiguiente:

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( )121211

    121211

    ,,,,

    yykxxkyyxxyyxxkyyxx=

    =

    Por igualdad de vectores:

    ( )( )

    ==

    121

    121

    yykyyxxkxx

    Finalmente:

    12

    1

    12

    1

    yyyy

    xxxx

    =

    Ecuacin de una recta definida por dos

    puntos ( )111 , yxP y ( )222 , yxP

  • MOISES VILLENA MUOZ Rectas en el plano

    39

    2.1. 2. Ecuacin de una recta definida por un punto y su pendiente

    Tomando la ecuacin anterior en la forma ( )2 11 12 1

    y yy y x xx x =

    La medida de la inclinacin de la recta se la llama "Pendiente", se la

    denota como m y se la define como 2 12 1

    y ymx x= . Entonces, tenemos:

    ( )11 xxmyy = Ecuacin de una recta definida por un punto ( )111 , yxP y su pendiente m

    2.1.3. Ecuacin de una recta definida por un punto y un vector paralelo.

    Considerando el vector directriz ( ) ( )yx ssyyxxS ,, 1212 == como un vector paralelo a la recta, tenemos:

    yx syy

    sxx 11 = Ecuacin de una recta definida por un punto

    ( )111 , yxP y un vector paralelo ( )yx ssS ,= .

    2.1.4. Ecuaciones Paramtricas de una recta

    Considerando tsyy

    sxx

    yx

    == 11 tenemos

    ==

    tsyy

    tsxx

    y

    x

    1

    1

    .

    Por tanto otra forma de la ecuacin de una recta, sera:

    Rttsyytsxx

    y

    x

    +=+=

    ;1

    1 Ecuaciones Paramtricas.

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    40

    2.1.5. Ecuacin Vectorial de una recta. De lo anterior tenemos ( ) ( ) ( )tssyxyxl yx ,,,: 11 += considerando

    ( )yxV ,= el vector posicin de un punto de la recta, ( )111 , yxV = el vector posicin de un punto de la recta y ( )yx ssS ,= un vector paralelo a la recta; tenemos:

    tSVV += 1 Ecuacin Vectorial de una recta.

    2.1.6. Ecuacin de la recta definida por un punto y un vector normal

    Ahora suponga que se tiene un vector ( )ban ,= perpendicular a la recta

    El vector ( )ban ,= y el vector ( )0010 , yyxxPPV == son ortogonales, por tanto 0= Vn .

    Reemplazando tenemos ( ) ( ) 0,, 00 = yyxxba Y resolviendo resulta:

    ( ) ( ) 000 =+ yybxxa Ecuacin de la recta definida por un punto ( )000 , yxP y un vector normal

    ( )ban ,=

  • MOISES VILLENA MUOZ Rectas en el plano

    41

    2.1.7. Ecuacin general de una recta En la ltima ecuacin resolviendo, resulta:

    ( ) 00

    00

    00

    =++=+byaxbyax

    bybyaxax

    Haciendo 00 byaxc = resulta: 0=++ cbyax Ecuacin general de una recta

    Ejemplo 1

    Hallar la ecuacin general de la recta que contiene a los puntos ( )3,2 y ( )2,1 SOLUCIN:

    Utilizando 12

    1

    12

    1

    yyyy

    xxxx

    =

    y los puntos dados ( )3,21 P y ( )2,12 P (No importa el orden)

    Reemplazando tenemos: ( )( ) 32

    3212

    =

    yx

    Resolviendo y despejando tenemos:

    0135

    9310553

    32

    =++=

    =+

    yxyx

    yx

    Ejemplo 2

    Hallar la ecuacin general y ecuaciones paramtricas de la recta que contiene al punto ( )3,7 y es paralela a la recta que tiene por ecuacin 013 =++ yx SOLUCIN:

    La recta dada tiene vector normal ( )1,3=n . Como la recta buscada es paralela a esta recta entonces un vector normal sera el mismo. Empleamos la forma de la ecuacin de la recta definida por un punto y un vector normal

    ( ) ( ) 000 =+ yybxxa reemplazando tenemos:

    ( ) ( )

    024303213

    03173

    =+=+=+

    yxyxyx

    En la ltima ecuacin, despejando y tenemos 3 24y x= + . Una parametrizacin sera

    ==

    tytx

    324

  • MOISES VILLENA MUOZ Rectas en el plano

    42

    Ejemplo 3

    Hallar la ecuacin general de la recta que contiene al punto ( )1,2 y es perpendicular a la recta que tiene por ecuacin 0135 =+ yx SOLUCIN:

    La recta dada tiene vector normal ( )3,5=n . Como la recta buscada es perpendicular a esta recta entonces un vector directriz sera el mismo. Es decir ( )3,5=S Empleamos la forma de la ecuacin de la recta definida por un punto y un vector paralelo

    yx syy

    sxx 11 =

    Reemplazando y resolviendo, tenemos:

    ( ) ( )

    01535563

    31

    52

    31

    52

    =++=+

    +=+

    =

    yxyx

    yx

    yx

    Ejemplo 4

    Demuestre que la ecuacin de la recta que contiene a los puntos ( )0,A y ( )B,0 es 1=+

    By

    Ax

    SOLUCIN: Empleando la forma de la ecuacin de la recta definida por dos puntos:

    12

    1

    12

    1

    yyyy

    xxxx

    =

    Reemplazando ( )0,1 AP y ( )BP ,02 , tenemos:

    ....1

    1

    00

    0

    dqqlBy

    Ax

    By

    Ax

    By

    AAx

    By

    AAx

    =+

    =+

    =

    =

  • MOISES VILLENA MUOZ Rectas en el plano

    43

    2.2. POSICIONES RELATIVAS. 2.2.1 Entre un punto y una recta 2.2.1.1 Un punto 0P pertenece a la recta l

    Un punto 0P de coordenadas ( )00 , yx pertenece a la recta l con ecuacin 0=++ cbyax si y slo si las coordenadas del punto satisfacen la ecuacin de la

    recta, es decir 000 =++ cbyax .

    2.2.1.2 El punto 0P no pertenece a la recta l .

    Un punto 0P de coordenadas ( )00 , yx no pertenece a la recta l con ecuacin 0=++ cbyax si y slo si las coordenadas del punto no satisfacen la ecuacin de la recta, es decir 000 ++ cbyax . En este caso podemos determinar la formula de la distancia entre el punto y la recta. Observe la figura:

  • MOISES VILLENA MUOZ Rectas en el plano

    44

    La distancia del punto 0P a la recta ser la proyeccin escalar de V sobre

    n . El vector

    V est definido entre los puntos ( )000 , yxP y ( )yxP , donde

    baxcy = (despejando de la ecuacin de la recta). Es decir,

    == baxcyxxPPV 000 , .

    Ahora,

    ( )

    ( )

    22

    00

    22

    00

    22

    00

    0

    ,,Pr),(

    ba

    axcbyaxax

    ba

    bbaxcyaxx

    ba

    babaxcyxx

    n

    nVVoylPdn

    ++++=

    +

    +++=

    +

    ++===

    Por tanto:

    22

    000 ),(

    ba

    cbyaxlPd+

    ++=

    Ejemplo

    Hallar la distancia entre el punto ( )1,2 y la recta que tiene por ecuacin 013 =++ yx

    SOLUCIN:

    Empleando la formula 22

    000 ),(

    ba

    cbyaxlPd+

    ++= tenemos:

    108

    13

    1)1(1)2(3),(220

    =+

    ++=lPd

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    45

    2.2.2 POSICIN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS 2.2.2.1 Rectas coincidentes Sea 1l una recta con ecuacin 0111 =++ cybxa y sea 2l una recta con ecuacin 0222 =++ cybxa . Entonces 1l y 2l son coincidentes si y slo si:

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    cc

    bb

    aa ==

    Ejemplo Las rectas con ecuaciones 032 =+ yx y 0936 =+ yx son COINCIDENTES debido a que 3

    39

    13

    26 =

    == .

    2.2.2.2 Rectas paralelas Dos rectas 1l y 2l con ecuaciones 0111 =++ cybxa y 0222 =++ cybxa son paralelas si y slo si:

    2

    1

    2

    1

    bb

    aa =

    Ejemplo Las rectas con ecuaciones 032 =+ yx y 0536 =++ yx son PARALELAS debido a que

    13

    26 = .

    2.2.2.3 Rectas intersecantes Dos rectas 1l y 2l con ecuaciones 0111 =++ cybxa y 0222 =++ cybxa son intersecantes si y slo si:

    2

    1

    2

    1

    bb

    aa

    Ejemplo Las rectas con ecuaciones 032 =+ yx y 053 =++ yx son INTERSECANTES debido a que

    13

    21 .

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    46

    Cuando las rectas son intersecantes podemos hallar el punto de interseccin y el ngulo entre ellas.

    Para encontrar el punto bastar con resolver el sistema simultneo:

    =++=++

    00

    20202

    10101

    cybxacybxa

    El ngulo de interseccin entre las rectas ser el mismo que el de los vectores normales o el de los vectores directrices. Es decir:

    ==21

    21

    21

    21 coscosSs

    SSarnn

    nnar

    Ejercicio resuelto Hallar el ngulo de interseccin entre las rectas cuyas ecuaciones son

    ( ) ( ) ( )3,12,1,:1 tyxl += y ( ) ( ) ( )1,32,1,:2 += tyxl . SOLUCIN:

    En este caso los vectores directrices son ( )3,11 =S y ( )132 =S , por tanto ( ) ( )( )( ) 6523cos22 1,33,1coscos

    21

    21 =

    ===

    arar

    Ss

    SSar

    Hemos obtenido el ngulo mayor.

    El ngulo menor sera 6 Porqu?

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    47

    Ejercicios Propuestos 2.1

    1. Determine la ecuacin general de la recta que contiene al punto P(3,2) y que es paralela a al vector jiv = 3 Resp. 093 =+ yx 2. Determine la ecuacin de la recta que contiene al punto (-2,1) y es paralela al vector 3,1 . Resp. 053 =++ xy 3. Determine la ecuacin de la recta que contiene al punto P(2,1) y que es paralela a la recta dada por:

    tytx 23 =+= Resp. 52 =+ yx

    4. Determine la ecuacin general de la recta que contiene al punto P(2,1) y que es paralela a la recta cuyas ecuaciones paramtricas son tytx 23 =+= , IRt

    Resp. 052 =+ yx 5. Determine la ecuacin general de la recta que es paralela al vector ( )4,3 =v y que contiene al punto que

    est dado por la interseccin de las rectas que tienen por ecuacin 2=+ yx y 142 = yx Resp. 01568 =+ yx

    6. Determine la ecuacin general de la recta que es perpendicular a la recta con ecuacin 014 =+ yx , y que contiene al punto de interseccin de las rectas con ecuaciones 0730352 ==+ yxyx . Resp. 0244 = yx

    7. Sean las rectas 1 : 2 3 0l ax y+ = y 2 : 5 7 0l x by+ = . Si su punto de interseccin es ( )1,3P ,

    determine los valores de a y b - Resp. 3 4a b= =

    8. Determine la distancia de punto ( )0 2,3P a la recta de ecuacin 2 4 0y x+ = Resp. 4

    5

    9. Determine la distancia entre las rectas 0432:1 =+ yxl y 0396:2 =+ yxl Resp.

    133

    10. Determine la menor distancia entre las rectas que tienen por ecuacin 0432 =+ yx y

    +=+=

    tytx22

    31

    Resp. 0=d 11. Determine el valor de k para que la distancia de la recta con ecuacin 053 =++ ykx al punto (-2,2) sea

    igual a 1. Resp. 3

    37222 12. Determine la medida del ngulo formado por las rectas cuyas ecuaciones paramtricas son: tyx == 101

    y tytx 2421 == . Resp. 4

    13. Determine la ecuacin de la recta de pendiente 43 y que forma con los ejes coordenados, en el primer

    cuadrante, un tringulo cuya rea tiene un valor de 224u . Resp. 02443 =+ yx 14. Determine la ecuacin de la recta que equidista de las rectas cuyas ecuaciones son: 0102 =++ yx y

    022 =+ yx . Resp. 042 =++ yx

    15. Encontrar el valor de k para que las rectas que tienen por ecuaciones 593 =+ ykx y 046 = yx , sean perpendiculares. Resp. 2

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    48

    16. Encontrar el valor de k para que la recta que tiene por ecuacin 083 = kyx forme un ngulo de medida 45 con la recta de ecuacin 01752 =+ yx .

    Resp. 7, -9/7 17. Determine la ecuacin de la recta cuyo punto ms cercano al origen es (3,4). Resp. 02543 =+ yx 18. Determine todos los posibles valores de k para que la recta con ecuacin 02 =++ kyx forme con los ejes

    coordenados un tringulo cuya rea tiene un valor de 216u . Resp. 8

    19. Determine la ecuacin de la recta l . = 40EAF = 100DBC

    Resp. 0323 = yx

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    49

    3

    3.1 Circunferencia 3.2 Parbola 3.3 Elipse 3.4 Hiperbola

    Objetivos. Se persigue que el estudiante:

    Identifique, grafique y determine los elementos de una cnica conociendo su ecuacin general.

    Dado elementos de una cnica encuentre su ecuacin.

    Resuelva problemas de aplicacin empleando teora de cnicas

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    50

    La Ecuacin General de una cnica, tiene la forma:

    022 =+++++ FExyDyCxByAx Con 0A 0B ambos. Consideraremos 0=E para la presentacin que nos proponemos hacer. 3.1. Circunferencia

    3.1.1. Definicin. Sea C un punto del plano y sea r un nmero real positivo. Se define la circunferencia como el lugar geomtrico de los puntos ),( yxP tal que la distancia de P a C es igual a r . Es decir:

    { }rCPdyxPC == ),(/),(

    Al punto C se le denomina centro de la circunferencia y a r se le denomina radio de la circunferencia.

    3.1.2. Ecuacin cannica de la circunferencia Supongamos que C tiene coordenadas ),( kh

    La distancia entre los puntos ),( yxP de la circunferencia y el punto ),( khC , la cual denotamos como r , est dada por 22 )()( kyhxr += ,

    entonces, tenemos: 222 )()( rkyhx =+ Ecuacin cannica de una

    circunferencia. Para 02 >r .

    ( )khO ,

    r

    ( )yxP ,

    y

    x

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    51

    Si 02 =r , tenemos 0)()( 22 =+ kyhx , el lugar geomtrico es el punto ),( khC . Por qu?

    Si 02

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    52

    Ejemplo

    Graficar la circunferencia que tiene por ecuacin 0126422 =++ yxyx Solucin La ecuacin general dada, la transformamos a la ecuacin cannica completando cuadrados

    ( ) ( )

    25)3()2(

    9412964422

    22

    =++++=++++

    yx

    yyxx

    Tenemos una circunferencia de radio 5=r y centro )3,2( C

    Ejercicios Propuestos 3.1 1. Grafique el lugar geomtrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones:

    a. 014222 =++ yxyx b. 092222 22 =++ yxyx c. 0136422 =+++ yxyx d. 0176422 =++ yxyx

    2. Determine la ecuacin de la circunferencia que contiene a los puntos )5,1(),6,0( BA y cuyo centro se encuentra sobre la recta definida por la ecuacin 1=+ yx .

    Resp. ( ) ( ) 2523 22 =++ yx 3. Determine la ecuacin general de una circunferencia tangente a la recta definida por la ecuacin

    0532 =+ yx , y est centrada en el punto ( )2,1 Resp. 01652261313 22 =+++ yxyx 4. La interseccin de las rectas 032:1 =+ yxL y 024:2 =+ yxL es el centro de una

    circunferencia que es tangente a la recta 01:3 =+ yxL . Determine la ecuacin de la circunferencia.

    Resp. ( ) ( ) 72121238261 =++ yx 5. Determine la longitud de la cuerda de la circunferencia que tiene como ecuacin

    011114622 =+ yxyx conociendo que el punto medio de dicha cuerda tiene coordenadas ( )27217 , . Resp. 506

    )3,2( C

    5=r

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    53

    3.2. Parbola 3.2.1. Definicin

    Sea l una recta y sea F un punto. La parbola se define como el lugar geomtrico de los puntos ),( yxP tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir:

    Parbola ={ }),(),(/),( lpdFPdyxP =

    Al punto F se le denomina foco de la parbola y a la recta l se le denomina directriz de la parbola.

    3.2.2 Ecuacin cannica Supongamos que F tiene coordenadas ( )p,0 y la recta l tiene

    ecuacin py = con 0>p . Observe la grfica:

    Observe que 22 )()0(),( pyxFPd += y que pylPd +=),( . Igualando distancias y resolviendo:

    ( )pyx

    ppyyppyyxpypyx

    pypyx

    lPdFPd

    422

    )()()0(

    )()0(

    ),(),(

    2

    22222

    22

    22

    22

    =++=++

    +=++=+

    =

    Al punto V se le denomina vrtice de la parbola, en este caso tiene coordenadas ( )0,0 . A la recta perpendicular a la directriz, que contiene al vrtice y al foco, se le denomina Eje Focal. Observe que para la parbola anterior el eje focal es el eje y .

    )0,0(V

    ),( yxP

    ),( lpd

    ),( Fpd

    ),0( pF

    py =

    p

    pl

    x

    y

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    54

    Observe adems que la parbola es cncava hacia arriba. Al segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco y que tiene como extremos los dos puntos de la parbola, se denomina lado recto y tiene una medida de p4 . Demustrele!

    Suponga ahora que el vrtice no es el origen, que tenemos ),( khV , entonces su ecuacin sera:

    )(4)( 2 kyphx = Y su grfico sera:

    Para otros casos, tenemos:

    )(4)( 2 kyphx = Una parbola con eje focal vertical, pero cncava hacia abajo.

    ),( khV

    ),( yxP

    ),( pkhF +

    pky =

    p

    p

    l

    x

    y

    Eje focal

    foco

    ),( khV

    ),( pkhF

    pky +=

    p

    p

    l

    x

    y

    directriz

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    55

    Si la parbola tiene ecuacin )(4)( 2 hxpky = , Su eje focal ser horizontal y adems ser cncava hacia la derecha:

    Si la parbola tiene ecuacin )(4)( 2 hxpky = . Su eje focal ser horizontal , pero ahora ser cncava hacia la izquierda:

    ),( khV ),( kphF +

    phx =

    p p

    l

    x

    y

    ),( khV),( kphF

    phx +=

    p p

    l

    x

    y

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    56

    En la ecuacin general 022 =++++ FDyCxByAx se dar que 0=A o 0=B pero no ambos.

    Ejemplo 1

    Graficar la parbola que tiene por ecuacin 09724204 2 =+ yxx . Indique coordenadas del vrtice, coordenadas del foco, ecuacin de la recta directriz. SOLUCIN: Despejando la variable cuadrtica para completarle cuadrados y agrupando, tenemos:

    )3(625

    18625

    425

    497

    424

    4255

    44

    9724204

    2

    2

    2

    2

    =

    =

    +=

    +=

    yx

    yx

    yxx

    yxx

    Se deduce entonces que:

    1. La parbola tiene vrtice

    3,35V .

    2. El eje focal es paralelo al eje y 3. La parbola es cncava hacia arriba

    4. 23=p debido a que p46 = .

    Realizando su grfica tenemos:

    Ejemplo 2 Hallar la ecuacin general de la parbola que tiene foco el punto de coordenadas

    )2,3( y directriz la recta con ecuacin 1=x . SOLUCIN En primer lugar representamos el foco y la directriz en el plano cartesiano.

    3,25V

    29,

    25F

    23=y

    23=p

    23=p

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    57

    Concluimos que:

    1. El vrtice debe tener coordenadas )2,1( 2. El eje focal es paralelo al eje x

    3. La parbola es cncava hacia la izquierda.

    4. 2=p , distancia del vrtice al foco o distancia del vrtice a la directriz. 5. La ecuacin de trabajo es )(4)( 2 hxpky =

    Bien, reemplazando los valores en la ecuacin de trabajo, tenemos:

    01248

    8844

    )1)(2(4)2(

    2

    2

    2

    =+++=+++=+

    yyx

    xyy

    xy

    Ejemplo 3 Un puente colgante de m120 de longitud tiene trayectoria parablica sostenida por torres de igual altura si la directriz se encuentra en la superficie terrestre y el punto ms bajo de cada cable est a m15 de altura de dicha superficie, hallar la altura de las torres. SOLUCIN: Primero hacemos una representacin grfica de la informacin proporcionada, trabajando en el plano cartesiano, es mejor poner el vrtice en el origen:

    ( )2,3 F

    ( )2,1V2=p

    Eje focal

    directriz

    1=x

    120 m

    y

    x

    Superficie terrestre Directriz

    )0,0(V

    ),60( yP

    m15

    xy 60=

    h

    y

    }}

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    58

    La ecuacin de la trayectoria sera: yx

    yx

    60

    )15(42

    2

    ==

    Utilizando la ecuacin de la trayectoria determinamos y: 60

    6060

    602

    2

    ===

    yy

    yx

    Por lo tanto la altura de las torres sera: mh

    hpyh

    751560

    =+=+=

    Ejercicios Propuestos 3.2 1. Grafique el lugar geomtrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos

    sus elementos). a. 01422 =+ yxx b. 09222 2 =+ yxy c. 013642 =++ yxy d. 017642 =+ yxx

    2. Determine la ecuacin de la parbola cuya directriz es la recta definida por 1=y , contiene al punto ( )3,0 y la menor distancia entre la parbola y la directriz es igual a 2.

    Resp. ( )382 = yx 3. Determine la ecuacin cannica de la parbola donde la recta directriz tiene la ecuacin

    02 =+y y los extremos del lado recto son los puntos ( )2,0A y ( )2,8B . Resp. ( ) yx 84 2 = 4. Encuentre la ecuacin de la parbola que contiene los puntos: )

    21,

    23(),1,1(),0,0(

    Resp. ( ) ( )484943287 += yx 5. Encuentre la ecuacin de la parbola que contiene los puntos: )0,1(),1,0(),1,1( Resp. ( ) ( )42532261 = xy

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    59

    3.3. Elipse 3.3.1 Definicin.

    Sean 1F y 2F dos puntos del plano y sea a una

    constante positiva. La Elipse se define como el lugar geomtrico de los puntos ),( yxP tales que la suma de su distancia a

    1F con su distancia a 2F es igual a a2 . Es decir:

    Elipse= ( ) ( ) ( ){ }aFPdFPdyxP 2,,/, 21 =+ A

    1F y 2F se les denomina focos de la elipse y a representa la medida del semieje mayor de la elipse.

    3.3.2 Ecuacin Cannica Sean ( )0,1 cF y ( )0,2 cF , observe el grfico:

    De la definicin tenemos:

    ( ) aFPdFPd 2),(, 12 =+ aycxycx 2)0()()0()( 2222 =++++

    Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo trminos semejantes:

    Eje focal)0,0(O

    )0,(1 cF c

    x

    y

    c )0,(2 cF )0,(2 aV)0,(1 aV aa

    b

    b

    ),( yxP

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    60

    ( ) ( )

    ( ) cxaycxaycxcxycxaaycxcx

    ycxycxaaycx

    ycxaycx

    444

    2)(442

    )()(44)(

    )(2)(

    222

    222222222

    2222222

    222

    222

    +=+++++++=++

    ++++=+++=+

    Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo trminos semejantes:

    ( ) ( )[ ][ ] 22242222

    2224222

    222

    22

    222)(

    )(

    xccxaayccxxaxccaaycxa

    cxaycxa

    ++=+++++=++

    +=++

    ( ) ( )22222222

    224222222

    22242222222 22

    caayaxcacaayaxcxa

    xccxaayacacxaxa

    =+=+

    ++=+++

    Dividiendo para ( )222 caa

    2 2 2 2 2 2 2 2

    2 2 2 2 2 2 2 2 2

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    x a c a y a a ca a c a a c a a c

    + =

    1222

    2

    2

    =+ cay

    ax

    Finamente, llamando 222 cab = tenemos:

    12

    2

    2

    2

    =+by

    ax

    Ecuacin cannica de la elipse con centro ( )0,0O y eje focal horizontal

    b representa la longitud del semieje menor, Observe la grfica anterior.

    Aqu el lado recto tiene dimensin ab22

    . Demustrelo!

    Para los casos generales tenemos:

    Suponga que el vrtice es el punto ),( khV , y que el eje focal sea horizontal entonces su ecuacin sera:

    ( ) ( ) 12

    2

    2

    2

    =+bky

    ahx

    Y su grfica sera:

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    61

    Observacin: La direccin del eje focal est indicada por el trmino que tiene el mayor denominador, es este caso ese sera el valor de 2a . Observe tambin que ba > .

    Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuacin sera:

    ( ) ( ) 122

    2

    2

    =+bhx

    aky

    Y su grfica sera:

    ),( khO),(1 kchF

    x

    y

    ),(2 kchF +),(2 kahV +),(1 kahV

    ),( khO

    ),(1 ckhF

    c

    x

    y

    c

    ),(2 ckhF +

    ),(2 akhV +

    ),(1 akhV

    a

    a

    b b

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    62

    Ejemplo 1

    Graficar la Elipse que tiene por ecuacin 0156961001625 22 =++ yxyx . Indique todos sus elementos. Solucin La ecuacin general dada, la transformamos a la ecuacin cannica completando cuadrados

    ( ) ( )( ) ( ) 400316225

    1441001569616442522

    22

    =++++=++++

    yx

    yyxx

    Ahora dividimos para 400

    ( ) ( )

    ( ) ( ) 125

    316

    2400400

    400316

    400225

    22

    22

    =++=++

    yx

    yx

    La ltima ecuacin nos indica que la elipse tiene:

    1. Centro ( )3,20 2. Eje focal vertical, debido a que el mayor denominador est sobre el termino que

    contiene a y Entonces 5252 == aa 3. 4162 == bb 4. Lo anterior nos permite calcular el valor de c .

    39

    1625

    22

    ==

    ==

    cc

    c

    bac

    Por lo tanto la grfica sera:

    y

    x

    )6,2(1 F

    )0,2(2 F

    )2,2(2 V

    )8,2(1 V

    )3,2(O

    Eje Focal

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    63

    Ejemplo 2 Hallar la ecuacin general de la Elipse cuye eje mayor mide 20 unidades y los focos son los puntos de coordenadas ( )35,.0 y ( )35,0 . SOLUCIN: Primero representamos en el plano cartesiano los puntos dados.

    Observamos que la elipse tiene como eje focal, el eje y, que 35=c . Como nos dicen que el eje mayor mide 20 unidades, entonces 10=a Esto, nos permite calcular b :

    ( ) ( )2 2 2

    222

    2

    2

    10 5 3

    100 7525 5

    b a c

    b

    bb b

    = = = = =

    Finalmente la ecuacin de la elipse sera:

    1004

    125100

    22

    22

    =+=+

    yx

    xy

    Ejemplo 3 Una pista de carros tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10 km. Y el eje menor 6 km. Determine la distancia a que se encuentra un carro del centro de la pista en el momento en que pasa a la altura de uno de los focos. Solucin Representando en el plano cartesiano la informacin proporcionada, tenemos:

    y

    )0,0(O

    )35,0(1F

    )10,0(1V

    )35,0(2 F

    )10,0(2 V

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    64

    La ecuacin de la elipse sera: 135 2

    2

    2

    2

    =+ yx

    Como 5=a y 3=b entonces 4

    16925222

    ====

    cbac

    La dimensin de la altura de uno de los focos a la elipse es la mitad de la dimensin del lado recto

    Empleando el teorema de Pitgoras, resulta: ( )

    5481

    4 2592

    =+=

    d

    d

    Ejercicios Propuestos 3.3 1. Grafique el lugar geomtrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos

    sus elementos). a. 011181694 22 =++ yxyx b. 011161849 22 =++ yxyx

    2. Si los focos de una elipse son los puntos )3,2(),3,4( 21 == FF y el permetro del tringulo cuyos vrtices son los focos y un punto de la elipse, es igual a 16, determine la ecuacin de la

    elipse. Resp. ( ) ( ) 116

    325

    1 22 =++ yx 3. El arco de un puente es semielptico, con eje mayor horizontal. La base tiene 30 m. y su parte

    ms alta con respecto a la tierra es 10 m. Determine la altura del arco a 6 m. del centro de la base. Resp. mh 212=

    4. Determine los valores de k para que la ecuacin kyxyx =+++ 1222 22 describa una

    elipse. Resp. 19>k

    )0,0(O

    )0,4(2F)0,4(1 F

    )0,5(1V)0,5(2 V

    carro

    ab2d

    4=c

    592 =

    abd

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    65

    3.4. Hiperbola 3.4.1 Definicin.

    Sean 1F y 2F dos puntos del plano y sea a una

    constante positiva. La Hiprbola se define como el lugar geomtrico de los puntos ),( yxP del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de su distancia a

    1F con su distancia a

    2F es igual a a2 . Es decir:

    Elipse= ( ) ( ) ( ){ }aFPdFPdyxP 2,,/, 21 = A

    1F y 2F se les denomina focos de la hiprbola.

    3.4.2 Ecuacin Cannica Sean ( )0,1 cF y ( )0,2 cF , observe el grfico:

    De la definicin tenemos:

    ( ) aFPdFPd 2),(, 21 = aycxycx 2)0()()0()( 2222 =+++

    Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo trminos semejantes:

    )0,0(O)0,(1 cF

    x

    y

    )0,(2 cF)0,(2 aV)0,(1 aV

    ),( yxPb

    b

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    66

    ( ) ( )

    ( ) 222222222222

    2222222

    222

    222

    444

    2)(442

    )()(44)(

    )(2)(

    ycxaacx

    ycxcxycxaaycxcx

    ycxycxaaycx

    ycxaycx

    +=+++++=+++

    ++++=++++=++

    Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo trminos semejantes:

    ( ) ( )[ ][ ]22224222

    2224222

    22222

    22)(2

    )(

    yccxxaacxaxcycxaacxaxc

    ycxaacx

    ++=++=+

    +=

    ( ) ( )22222222422222222

    22222224222 22

    acayaxacacayaxaxc

    yacacxaxaacxaxc

    ==

    ++=+

    Dividiendo para ( )222 aca

    )()(

    )()()(

    222

    222

    22

    22

    222

    222

    acaaca

    acya

    acaacx

    =

    1222

    2

    2

    = acy

    ax

    Finamente, llamando 222 acb = tenemos:

    12

    2

    2

    2

    =by

    ax

    Ecuacin cannica de la hiprbola con centro ( )0,0O y eje focal horizontal

    Aqu b representa la longitud de un segmento (Observe la grfica anterior) llamado semieje conjugado,.

    Para los casos generales tenemos:

    Suponga que el vrtice es el punto ),( khV , y que el eje focal sea horizontal entonces su ecuacin sera:

    ( ) ( ) 12

    2

    2

    2

    =bky

    ahx

    Y su grfica sera:

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    67

    OBSERVACIN: La direccin del eje focal esta indicada por el trmino positivo y adems sobre este trmino estar 2a .

    Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuacin sera:

    ( ) ( ) 122

    2

    2

    =bhx

    aky

    Y su grfica sera:

    ),( khO

    ),(1 kchF

    x

    y

    ),(2 kchF +),(2 kahV +),(1 kahV

    Eje focal

    ),( khO

    ),(1 ckhF

    x

    y

    ),(2 ckhF +

    ),(2 akhV +

    ),(1 akhV

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    68

    Ejemplo 1

    Graficar la hiprbola que tiene por ecuacin 01623 22 =++ yxyx . Indique coordenadas de los vrtices, coordenadas de los focos y ecuaciones de las asntotas. Solucin Agrupando y completando cuadrados para darle la forma cannica a la ecuacin:

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1

    111

    1113

    1131

    31112312

    2

    31

    2

    22

    22

    22

    =+=+=+

    +=+++

    xy

    xy

    yx

    yyxx

    Se concluye que:

    1. La hiprbola tiene eje focal vertical, debido a que el termino positivo es el que contiene a y.

    2. 31

    312 == aa

    3. 112 == bb El valor de c se lo calcula empleando la frmula 22 bac += , es decir:

    31

    34

    3122 21 ==+=+= bac

    Por lo tanto su grfica sera:

    Las ecuaciones de las asntotas se determinan igualando a cero la ecuacin cannica:

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    ( )( )

    311

    311

    113

    113

    113

    0113

    2

    22

    22

    22

    +=

    +=+=

    +=+=

    =+

    xy

    xy

    xy

    xy

    xy

    xy

    Eje focal

    )1,1(C31

    1 1,1( +=V

    31

    2 1,1( =V

    31

    2 21,1( =F

    31

    1 21,1( +=F

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    69

    Ejemplo 2

    Hallar la ecuacin general de la cnica que tiene por focos los puntos )3,1( y )3,7( ; y por vrtices los puntos )3,2( y )3,6(

    Solucin: Representando los focos y vrtices en el plano cartesiano, sacamos las conclusiones necesarias para plantear la ecuacin buscada

    Del grfico se observa que:

    1. El eje focal debe ser horizontal.

    2. El centro tiene coordenadas ( )3,40 . 3. 2=a y 3=c

    El valor de b se calcula empleando la formula 22 acb = , es decir: 54922 === acb Ahora hallando la ecuacin de la hiprbola, tenemos:

    ( ) ( )( ) ( )

    024244045

    0203624480405

    209641685

    153

    44

    22

    22

    22

    22

    =++=++

    =++=

    yxyx

    yyxx

    yyxx

    yx

    Ejercicios Propuestos 3.4 1. Grafique el lugar geomtrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos

    sus elementos). a. 09181694 22 =+ yxyx b. 09161849 22 =+ yxyx

    2. Determine la ecuacin de las asntotas de la hiprbola definida por 016834 22 =++ xyx . Resp. yx 2

    31 =+

    ( )3,11F ( )3,21V( )3,4O

    ( )3,62V( )3,72F

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    70

    3. Determine la ecuacin de la recta que contiene al centro de la hiperbola cuya ecuacin es 0498324 22 =++ yxyx y es perpendicular a la recta definida por la ecuacin

    0392 =+ yx . Resp. 04429 =++ yx 4. Determine la distancia entre los vrtices de la cnica con ecuacin

    9244189 22 =+++ yyxx Resp. 6 5. Si una hiprbola, una circunferencia de radio 5 y el rectngulo ABCD de lado 6=AB , estn

    ubicados en el plano cartesiano como se muestra en la figura, determine la distancia entre los vrtices de la hiprbola.

    Resp. 102=d

    Otras regiones del plano, importantes a considerar, seran aquellas que estn definidas por inecuaciones.

    Ejemplo 1

    Grafique la regin del plano ( ){ }4/, 2 >= xyyxR SOLUCIN:

    y

    x

    42 = xy42 > xy

    42 < xy

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    71

    Ejemplo 2

    Grafique la regin del plano ( ){ }4/, 22 += yxyxR

    Ejemplo 3

    Grafique la regin del plano ( ){ }1/, 22 = yxyxR

    y

    x

    422 =+ yx422 + yx

    2

    y

    x

    122 = yx

    122 > yx

    1

    122 yx

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    72

    Ejemplo 4

    Grafique la regin del plano ( ){ }124/, 2 = xyxyxR

    Ejemplo 5

    Grafique la regin del plano ( ){ }2 12, / 4 2R x y x y x= +

    ( )5,3

    ( )3,1 42 = xy

    12 = xy

    24 xy =

    221 += xy

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    73

    Ejercicios Propuestos 3.5

    1. Si 1:),(2

    2

    2

    2

    by

    axyxp , grafique ),( yxAp .

    2. Grafique las regiones en el plano definidas por: 1. 953 22 + yx 2. 1622 + yx

    3. 1918

    22 , la ecuacin describe

    una hiprbola. h.

    3. Determine la ecuacin de la circunferencia que tiene como centro el vrtice de la parbola

    que tiene por ecuacin 03 2 =+ yyx , y contiene al foco de la misma. Resp. ( ) ( ) 14412612121 =+ yx

    1. 022642 =++ xyy 2. 3210653 22 =++ yxyx 3. 036121222 =++ yxyx 4. 0663 22 =+++ xyx 5. 093422 =+++ yxyx 6. 011385449 22 =++ yxyx 7. 32894 22 =+ xyx

    8. 42)1( 2 += xy 9. 0442 = yxx 10. 04164 22 =++ yyxx 11. 0156961001625 22 =++ yxyx 12. 028842 =+ xyy 13. 016834 22 =++ xyx

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    74

    4. Una circunferencia tiene por ecuacin ( ) 12 22 =+ yx . La recta de ecuacin kxy = donde Rk , es tangente a la circunferencia. Halle todos los valores posibles de k .

    Resp. 3=k 5. Determine la ecuacin del conjunto de puntos ),( yxP tales que la suma de la distancia

    de P a los puntos )0,4( y )0,4( es 14. Resp. 1

    3349

    22=+ yx

    6. Determine la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos ),( yxP tales que la distancia al

    punto )3,1( es dos veces la distancia a la recta definida por la ecuacin 04 =x . Resp. ( ) ( ) 1

    123

    45 22 =+ yx

    7. Un avin sigue una trayectoria tal que su distancia a una estacin de radar situada en el

    punto )0,2( es igual a un tercio de su distancia a una carretera que sigue el trayecto de la recta definida por 2=x . Determine la ecuacin de la trayectoria que sigue el avin.

    Resp. ( )

    12

    2

    49

    225

    =+ yx

    8. Determine la ecuacin del lugar geomtrico compuesto de puntos ),( yxP que cumplen con la condicin de que su distancia al eje y es el doble que su distancia al punto (2,-3).

    Resp. 052241643 22 =+++ yxyx 9. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto (2,-2) es siempre igual a un

    tercio de su distancia al punto (4,1). Determine la ecuacin del lugar geomtrico, Resp. 055382888 22 =+++ yxyx

    10. Determine la ecuacin general del lugar geomtrico definido por el conjunto de puntos ( )yx, ubicados en el plano tales que la distancia al punto ( )2,1 es el doble de la

    distancia a la recta definida por la ecuacin 03 =x . Resp. 0314263 22 =+ yxyx

    11. Determine la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de tal manera que

    la distancia a la recta 03 =+x es siempre dos unidades mayor que su distancia al punto (1,1).

    Resp. 01422 =+ xyy

    12. Sea

    ==+

    0522

    0254:),(

    22

    22

    yx

    yxyxp hallar ),( yxAp .

    Resp. ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,7,2,7,2,7,2,7),( 23232323 =yxAp 13. Hallar los valores de b para los cuales el sistema:

    +==+bxy

    yx 422 tiene solucin nica.

    Resp. 22=b

    14. Sea el sistema

    =+=++

    01628

    01638

    222

    112

    axayy

    axayy, + Raa 21, . Encuentre los valores de

    21,aa para que el sistema tenga solucin en 2R . Resp. 021 >> aa

    15. Encontrar el conjunto solucin de los siguientes sistemas (realice las respectivas grficas)

    1. +=

    =32

    2

    xyxy 3.

    ==

    2

    2

    9

    20

    xy

    yx

  • Moiss Villena Muoz Cnicas

    75

    2.

    ==+

    9625

    2

    22

    yxyx

    4.

    ==+

    4

    1222

    22

    yx

    yx

    Resp. 1. ( ) ( ){ }1,1,9,3),( =yxAp 2. ( ) ( ){ }2,21,2,21),( =yxAp 3. ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,5,4,5,5,2,5,2),( =yxAp 4. ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,22,2,22,2,22,2,22),( =yxAp

    16. Hallar la ecuacin de la recta que contiene al punto (-1,6) y es tangente al lugar geomtrico que tiene por ecuacin 036222 =+ yxyx .

    Resp. 02032 =+ yx 17. Hallar la ecuacin de la recta que tiene pendiente

    23 y es tangente al lugar geomtrico

    que tiene por ecuacin 0474844 22 =+++ yxyx . Resp. 2923 += xy o 21723 = xy

    18. Hallar la ecuacin de la recta que es paralela a la recta que tiene por ecuacin 0314 =++ yx y es tangente al lugar geomtrico que tiene por ecuacin

    08622 =++ xyx . Resp. 2741 += xy o 541 = xy

    19. Determine la ecuacin de la recta l que contiene al centro de la elipse de ecuacin 0436894 22 =+++ yxyx y contiene al foco de la parbola de ecuacin

    05462 =+ yxx . Resp. 032 =+ yx

    20. Determine la ecuacin de la parbola que es cncava hacia arriba y contiene tres de los vrtices de la elipse cuya ecuacin es 2 29 4 36x y+ = .

    Resp. ( )2 4 33

    x y=

    21. Determine el valor de la distancia mnima entre la circunferenciaC y la recta L , si sus ecuaciones son respectivamente 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ + = y : 2 6 0L x y = .

    Resp. 11 15

    d = 22. Dadas una circunferencia C y una elipse E que son concentricas de las cuales se

    conoce la ecuacin de la elipse 2 2: 9 16 18 64 62 0E x y x y+ + = y que C es tangente al eje , determine la ecuacin de C .

    Resp. ( ) ( )2 21 2 22x y+ + = 23. Demostrar que la ecuacin de la recta tangente a la circunferencia 222 ryx =+ , en el

    punto ),( 11 yx perteneciente a la circunferencia es: 211 ryyxx =+ .

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    77

    4

    4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS

    POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARBOLAS, ELIPSES, HIPRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES.

    Objetivos: Se pretende que el estudiante:

    Grafique Rectas, circunferencias, parbolas, elipses, hiprbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales en coordenadas polares

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    78

    4.1 EL SISTEMA POLAR

    El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geomtricamente describen un rectngulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ngulo de giro , tendramos otra forma de definir un punto.

    Sera suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de . Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado ( ),r , en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto.

    Se deducen las siguientes transformaciones:

    De rectangulares a polares:

    =+=

    xy

    yxr

    arctg

    22

    De polares a rectangulares:

    ==

    sencos

    ryrx

    Una utilidad de lo anterior la observamos ahora.

    Ejemplo

    Encuentre las coordenadas polares del punto )1,1(P

    SOLUCIN:

    Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:

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    79

    Utilizando las transformaciones

    ===+=

    4arctg

    211

    11

    22r

    Adems se podra utilizar otras equivalencias polares:

    )3,2()5,2()7,2(),2( 4444 === (Analcelas)

    Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ngulos y magnitudes.

    Un plano con estas caractersticas se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ngulos de inclinacin.

    Al eje horizontal se lo llama Eje Polar, al eje vertical se lo llama

    Eje 2

    . El punto de interseccin entre estos dos ejes se lo llama Polo.

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    80

    Ejercicios propuestos 4.1 1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas.

    Exprese dichos puntos con 0>r y con 0

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    81

    4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

    Una ecuacin en coordenadas polares la presentaremos de la forma )(= fr . Por tanto para obtener la grfica, en primera instancia, podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego representarlos en el sistema polar; luego sera cuestin de trazar la grfica siguiendo estos puntos.

    Ejercicio Propuesto 4.2 1. Encuentre la ecuacin cartesiana de la curva descrita por la ecuacin polar dada.

    a. 2)sen( =r b. )sen(2 =r c.

    )cos(11

    =r d. )2sen(2 =r

    e. =2r f. )cos(42

    3=r

    2. Encuentre la ecuacin polar de la curva descrita por la ecuacin cartesiana dada.

    a. 5=y e. 1+= xy b. 2522 =+ yx f. yx 42 = c. 12 =xy g. 122 = yx d. 222222 bayaxb =+ h.

    pxy4

    2=

    3. Realice una tabla de valores y trace punto a punto en un plano polar, la grfica de:

    1. = cos6r

    2. = sen6r

    3. = cos6r 4. += cos33r 5. += cos36r 6. += cos63r 7. += cos33

    9r

    8. += cos369r

    9. += cos639r

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    82

    4.3 GRFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

    Se trata ahora de presentar ecuaciones polares tpicas que permitan por inspeccin describir su lugar geomtrico.

    4.3.1 RECTAS

    4.3.1.1 Rectas tales que contienen al polo.

    La ecuacin cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella, es de la forma mxy =

    Realizando las transformaciones respectivas:

    ==

    =

    =

    tgtgcossen

    cossen

    m

    rmrmxy

    Resulta, finalmente:

    =

    Ejemplo

    Graficar 4=

    Por inspeccin de la ecuacin dada concluimos rpidamente que el lugar geomtrico es una recta, que pasa por el polo con un ngulo de 4

    . Es decir:

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    83

    4.3.1.2 Rectas tales que NO contienen al polo y se encuentran a una distancia "d" del polo.

    Observemos la siguiente representacin grfica:

    Del triangulo tenemos: ( )rd=cos

    Por tanto, la ecuacin del mencionado lugar geomtrico sera:

    ( )= cosdr

    Ejemplo

    Graficar ( )6cos4

    =r

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    84

    SOLUCIN: Por inspeccin de la ecuacin dada concluimos rpidamente que el lugar geomtrico es una recta, que se encuentra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del ngulo de la perpendicular a la recta es 6

    . ES decir:

    Ahora veamos casos especiales:

    1. Si D0= entonces la ecuacin resulta = cosdr . Una recta

    vertical.

    Al despejar resulta dr =cos es decir dx = . 2. Si 2

    = entonces la ecuacin resulta:

    ( ) =+== sensensencoscoscos 222dddr

    Una recta horizontal.

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    85

    3. Si = entonces la ecuacin resulta:

    ( ) =+== cossensencoscoscosdddr

    Una recta vertical.

    4. Si 23= entonces la ecuacin resulta:

    ( ) =+== sen3sensen3coscos3cos 222dddr

    Una recta horizontal.

    4.3.2 CIRCUNFERENCIAS

    4.3.2.1 Circunferencias con centro el polo.

    La ecuacin cartesiana de una circunferencia es:

    222 ayx =+

    Aplicando transformaciones tenemos:

    ( ) ( )( )

    22

    2222

    22222

    222

    222

    sencossencossencos

    arararrarr

    ayx

    ==+=+=+

    =+

    Resultando, finamente:

    ar =

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    86

    Ejemplo Graficar 2=r SOLUCIN:

    Por inspeccin de la ecuacin dada concluimos que el lugar geomtrico es una circunferencia con centro el polo y que tiene radio 2.

    4.3.2.2 Circunferencias tales que contienen al polo y tienen centro el punto ( ),a

    Observemos el grfico:

    De all obtenemos el tringulo:

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    87

    Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos:

    ( )( )=

    +=cos2

    cos22

    222

    arrarara

    Resultando, finalmente:

    ( )= cos2ar

    Ejemplo

    Graficar ( )3cos4 =r SOLUCIN:

    Por inspeccin de la ecuacin dada concluimos que el lugar geomtrico es una circunferencia tal que el polo pertenece a ella y su centro es el punto ( )3,2 . Por tanto su grfico es:

    Casos especiales, seran:

    1. Si D0= tenemos ( ) == cos20cos2 aar D Que transformndola a su ecuacin cartesiana, tenemos:

    ( )( ) 222

    2222

    22

    2

    022

    2

    2

    cos2

    ayax

    ayaaxxaxyx

    axrrxar

    ar

    =++=++

    =+=

    ==

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    88

    Una circunferencia con centro el punto )0,(a y radio ar =

    2. Si = tenemos ( ) == cos2cos2 aar Una circunferencia con centro el punto )0,( a y radio ar =

    3. Si 2= tenemos ( ) == sen2cos2 2 aar Una circunferencia con centro el punto ),0( a y radio ar =

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    89

    4. Si 23= tenemos ( ) == sen23cos2 2 aar

    Una circunferencia con centro el punto ),0( a y radio ar =

    4.3.3 CNICAS tales que el foco es el polo y su recta directriz est a una distancia "d" del polo

    Observe la figura.

    Se define a la parbola ( 1=e ), a la elipse ( 10 e ) como el conjunto de puntos del plano tales que:

    ( ) ( )lPdeFPd ,, =

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    90

    Entonces:

    ( ) ( )( )[ ]( )

    ( )( )[ ]

    ( )+==+=+

    ==

    =

    cos1

    cos1cos

    coscos

    ,,

    eedr

    ederederr

    eredrrderlPdeFPd

    Casos especiales son:

    1. Si D0= tenemos += cos1 eedr

    2. Si = tenemos = cos1 eedr

    3. Si 2= tenemos += sen1 e

    edr

    4. Si 2

    3 = tenemos = sen1 eedr

    Ejemplo 1

    Graficar += cos16r

    SOLUCIN:

    En este caso " 1=e " (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parbola con foco el polo (el origen) y directriz con ecuacin cartesiana " 6=x " (a la derecha y paralela al eje

    2 ). Parbola cncava a la izquierda.

  • Moiss Villena Muoz Coordenadas Polares

    91

    Ejemplo 2

    Graficar = cos16r

    SOLUCIN:

    Como el ejemplo anterior, es una parbola; pero ahora como hay un signo negativo en la funcin trigonomtrica, la recta directriz tendr ecuacin cartesiana 6=x " (a la izquierda y paralela al eje

    2 ). Cncava hacia la derecha.

    Ejemplo 3

    Graficar += sen16r

    SOLUCIN: Es una parbola con foco el polo y recta directriz 6=y (paralela y arriba del eje polar). Cncava hacia abajo.

  • Mois