ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYY SZTYWNEJ1. 2. 3. 4. Wielkoci w ruchu obrotowym Moment pdu i moment siy Zasada zachowania momentu pdu Ruch obrotowy bryy sztywnej wzgldem ustalonej osi -II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego -moment bezwadnoci -energia kinetyczna ruchu obrotowego Precesja

5.

WSTPDotychczas opisywalimy ruch (kinematyk) i przyczyny ruchu (dynamik) tylko dla punktu materialnego Ale rzeczywiste obiekty s znacznie bardziej skomplikowane: skadaj si z wielu punktw materialnych, czasem zupenie ze sob nie powizanych.

Jeli wzajemne poo enie punktw materialnych w ciele jest stae, to ciao takie nazywa si bry sztywn , a jego ruch jest szczeglnie prosty: da si opisa jako zo enie ruchu postpowego i ruchu obrotowego.krcioek

WIELKOCI W RUCHU OBROTOWYM: PRDKO KTOWARuch ciaa obracajcego si wzgldem staej osi mo na opisa szybkoci zmian kta zakrelonego przez wektor wodzcy dowolnego punktu

=

d dt

Prdko ktowa jest wektorem

r d = dt

r V

V r v r V = r

Kierunek wektora prdkoci ktowej zale y od kierunku obrotu

Kierunek wektora prdkoci ktowej okrelony jest regu prawej doni

WIELKOCI W RUCHU OBROTOWYM: PRZYPIESZENIE KTOWEPrzypieszenie ciaa w ruchu obrotowym mo na opisa szybkoci zmian prdkoci ktowej V Przypieszenie ktowe jest wektorem

=

d dt

r r d = dt

as V

as

WIELKOCI W RUCHU OBROTOWYM: PRZYPIESZENIE KTOWEPrzypieszenie punktu w ruchu po okrgu mo na opisa szybkoci zmian prdkoci ktowej Przypieszenie ktowe jest wektorem

=

d dt

r r d = dt

as

V

as as- przypieszenie styczne do toru

Kierunek wektora przypieszenia ktowego zale y od kierunku zmian

r r r as = r

Kierunek wektora przypieszenia ktowego okrelony jest regu prawej doni

r as

r

r

r as

MOMENT SIYEfekt przyo enie siy F do ciaa, ktre mo e si obraca zale y od: wielkoci siy odlegoci punktu przyo enia od osi obrotu kta przyo enia siy w stosunku do prdkoci punktu przyo eniamom. siy

Ruch obracajcego si ciaa mo na zmieni przykadajc do niego moment siy

z N=r F

Moment siy F przyo onej do bryy w punkcie o wektorze wodzcym r, w stosunku do pocztku inercjalnego ukadu odniesienia wynosi

r x F

y

r r r N r F

MOMENT SIYEfekt przyo enie siy F do ciaa, ktre mo e si obraca zale y od: wielkoci siy odlegoci punktu przyo enia od osi obrotu kta przyo enia siy w stosunku do prdkoci punktu przyo eniamom. siy

Ruch obracajcego si ciaa mo na zmieni przykadajc do niego moment siy F1 Moment siy F przyo onej do bryy w punkcie o wektorze wodzcym r, w stosunku do pocztku inercjalnego ukadu odniesienia wynosi r1 x r

z N=r F

F

y

r r r N r FJeli si jest wicej, to cakowity moment jest sum wektorow wszystkich momentw

N1=r1 F1

r r r N = ri Fii

MOMENT PDUEfektem przyo enie momentu siy N do ciaa, jest nadanie mu ruchu obrotowego

Jeli do ciaa przyo ony jest moment siy, to zmienia si moment pdu ciaa

z L=ri pi p1

Moment pdu bryy w stosunku do pocztku inercjalnego ukadu odniesienia wynosi

ri x

r r r L ri p ii

y

Moment pdu i moment siy to pojcia, ktre mo na stosowa do dowolnego ruchu, nie tylko obrotowego

mom. pdu

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PDUW jakich okolicznociach moment pdu mo e si zmieni? z p F p r x F p y p F

Szybko zmiany momentu pdu wynosi:

r r r r r dL d ( r p) d r r r dp = = p+ r dt dt dt dt

r r dL r r r dp = ( v mv) + r dt dt r r r dL r dp dL r r = r = rF dt dt dt

F

Jeli brak jest zewntrznego momentu siy to moment pdu ukadu mas jest zachowany

r N zewn = 0

r L =

const

Fi ale

Ff

r r r r ri Fi = rf Ff = 0

zachowanie L

RUCH OBROTOWY BRYY SZTYWNEJ WZGLDEM NIERUCHOMEJ OSIBrya obraca si ze sta prdkoci ktow wok staej osi z Jaki jest moment pdu bryy? W oglnoci jest to skomplikowane zagadnienie: trzeba r r zsumowa iloczyny ri Vi m i , w wyniku czego moment pdu bdzie zale a od rozo enia masy w bryle. Poniewa jednak prdko Vi ka dego punktu bryy le y w paszczynie xy dlatego wyra enie na L rozpada si na dwie czci: r r r Lz z Li

ri Vi ri

rill y x

=L=

r r r ri Vi m i = ( rill + ri ) Vi m i = r r r r r r rill Vi m i + ri Vi m i = L xy + L z

poniewa Vi le y w paszczynie xy. Tutaj: Lxy jest skadow L w paszczynie xy, a Lz jest skadow L wzdu osi z Obliczenie Lz jest proste:

obrt bryy wzgldem staej osi w kierunku z

r r r L z = ri Vi m i = zri Vi m i = z ri ri m i = z r i2 m i , poniewa prdko elementu mi masy w poo eniu ri wynosi Vi = ri.

I = r i2 m i

I-moment bezwadnoci

RUCH OBROTOWY BRYY SZTYWNEJ WZGLDEM NIERUCHOMEJ OSIStd:

r r L z = I

z Lz ri Vi

Jeli brya obraca si ze sta prdkoci ktow wok staej osi to skadowa jej momentu pdu wzdu tej osi wynosi

r r L z = I

Jeli obracajca si brya jest symetryczna wzgldem osi obrotu, to jej cakowity momentu pdu wynosi r

r L = I

w jaki sposb mo na zmieni moment pdu takiej bryy?

r r L z = Iale poniewa

r dL r = N zewn dt

r r dL z d r = I = I dt dtczyli

dL z = N zewn , z dt

wic:

N zewn ,z = I

Skadowa przypieszenia ktowego wzdu osi obrotu ustalonej w ukadzie inercjalnym (lub przechodzcej przez rodek masy), zale y od skadowej zewntrznego momentu siy wzdu tej osi

r r N zewn = I

PRZYKAD: TOCZENIE PO RWNIPeny walec o masie M i promieniu r toczy si bez polizgu po rwni o dl. L nachylonej pod ktem do poziomu. Ile wynosi prdko rodka masy walca w najni ej poo onym punkcie rwni? ROZWIZANIE rodek masy walca bdzie si porusza tak, jakby wszystkie siy zewntrzne (R, T i G) byy do niego przyo one, czyli bdzie porusza si ruchem jedn. przyp. wzdu rwni. Walec bdzie si obraca wzgldem osi przechodzcej przez ten rodek masy. y T G L R r x

r r r r aM = R + G + T r r r r I = N R + N G + N T

Opisuje ruch rodka masy Opisuje ruch obrotowy wzgldem rodka masy tylko T ma niezerowy moment siy wzgldem osi obrotu.

Ka dy z momentw NF to rXF Ma=Mgsin-T Tr = I

Rzut si i przypieszenia na kierunek x Rzut momentw si i przypieszenia ktowego na kierunek z

Poniewa I dla walca wynosi I=(1/2)Mr2, dlatego Tr=(1/2)Mr2*. Jeli toczenie bez polizgu, to ruch postpowy rodka masy i ruch obrotowy wok osi obrotu walca s powizane: a=*r =a/r. Tr=(1/2)Mr*a Ma=Mgsin-T T=(1/2)M*a a=2/3gsin Ma=Mgsin-T (Poniewa V=at i L=at2/2)

V = 2 La =

4 gL sin 3

PRZYKAD: ZDERZENIE POCISKU Z WALCEMPocisk o masie m i prdkoci V0 uderza w lity walec o masie M i promieniu R. Walec, mogcy si obraca wzgldem nieruchomej osi przechodzcej przez o, jest pocztkowo w spoczynku, a miejsce uderzenia pocisku jest w odlegoci d