monografia de funciones
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FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL .
1. INTRODUCCION
Se usa el termino función para denotar la dependencia de una cantidad con respecto a otra.Por ejemplo:
El área A de un cuadrado depende de la longitud l de su lado según la ecuación : A=l2 . Se dice que el área A es función de l (la longitud del lado).
El volumen V de una esfera depende de r , la longitud de su radio, según la formula . Decimos que el volumen V es función del radio r.
En cada caso se da una regla de correspondencia (una ecuación o una fórmula) mediante la cual a cada valor de la variable l ( ó r ) se le asigna un valor al área A (ó al volumen V) y decimos que l (ó r ) es la variable independiente y A (ó V ) es la variable dependiente NOTA: Designaremos las funciones con letras minúsculas: f, g.
2. FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL. 2.1 DEFINICION DE UNA FUNCION
DEFINICIÓN: Una función f es una regla de correspondencia mediante la cual a cada elemento x de un conjunto A se le asigna uno y solo un elemento y de un conjunto B
En general A, B no necesitan ser conjuntos de números reales; sin embargo sólo trataremos funciones en la que A y B son ambos subconjuntos de los números reales. Tales funciones son las que llamamos funciones reales de una variable real.
2.2 TERMINOLOGIA ASOCIADA CON UNA FUNCION .
En la definición anterior A se le llama dominio y B se llama codominio de f.
Si decimos que la función f esta definida en S.
Si , entonces y = f ( x ) denota el único elemento en B que la función f asocia a x, (se lee: y es igual a f de x o bien: y es el valor de f en x). En este caso x es la variable independiente; y es la variable dependiente.
Al conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente y (o f(x) ) conforme x varia en el dominio, se le llama rango de f
DIAGRAMA DE FLECHAS
2.3 MANERAS DE ESPECIFICAR UNA FUNCIÓN.
Una función puede especificarse así:Haciendo una descripción de ella o
Estableciendo : su regla de correspondencia, (esto es una ecuación o fórmula para evaluarla) y
Su dominio natural D, (esto es el conjunto de todos los valores de la variable independiente para los cuales la regla de correspondencia origina un numero real).
NOTA: Si sólo se da la regla de correspondencia y no se especifica su dominio, asumimos que se trata de su dominio natural.
Definición .-
Definición: Es una aplicación entre dos conjuntos de números reales.
f(x) y x
BAf
Donde: A se le denomina Dominio de Definición de la función. Conjunto donde toma valores
la variable x. B se le denomina Imagen o Recorrido de la función. Conjunto de valores devueltos
por la función. x se denomina Variable independiente, valores que se toman para sustituir en la
fórmula. y se denomina Variable dependiente, valores resultantes del cálculo.
(≡) Dominio de definición: es el conjunto de valores reales para los cuales la función existe y está bien definida. definida.bien estáy )x(f/xf(x) Dom .
OBSERVACIONES:
Que esté bien definida significa que no haya dobles valores de y para un valor fijo de x, que y no sea para ningún valor de x, y que y sea siempre real.
Ejemplos: x)x(f , no está bien definida para todos los valores de x negativos, ya
que en esos casos la raíz no es un número real.
0 xsi 25x
0 xsi 4x)x(f
2
, no está bien definida en x = 0, ya que para ese
valor de x, la función toma los valores –4 y 2.
3x
1x2)x(f
, no está bien definida en x = 3, ya que para ese valor de x
la función toma el valor . Que exista significa exactamente eso.
Ejemplo: xlog)x(f a , no existe para los valores de x negativos, y además para x
= 0 toma el valor , dependiendo de que a sea mayor que uno, o menor que uno.
Además depende también de la naturaleza del problema. Ejemplo:
20 gx2
1xv)x(f , existe y está bien definida para todo valor de x, pero
si x representa el tiempo entonces solo está bien definida para valores de x positivos.
Clasificación de las Funciones Reales de Variable Real.
Analíticas:
Empíricas:
Enteras: Polinomios.
Racionales: Fraccionarias: Cociente
de polinomios. Explícitas: La variable y
está despejada. Irracionales: Raíces de polinomios Algebraicas:
Implícitas: La variable y no está despejada.
Trascendentes: Trigonométricas. Exponencial. Logarítmica.
Hiperbólicas.
Etc. ...
Funciones dadas en tablas, gráficas, experimentales o de laboratorio, etc. ...
En los ejercicios 1, 2 formule la regla de correspondencia y establezca el dominio natural para la función descrita.
1. La función f asigna a un numero real, el valor de su segunda potencia2. La función g hace corresponder a un numero real, su valor recíproco.
SOLUCIÓN
Para 1: IR Para 2: IR – { 0 }
Así : f ( 2 ) = 22 = 4 Así :
f (- 2 ) = (-2 )2 = 4
3.GRÁFICA DE UNA FUNCIONEl método más común para visualizar una función es su gráfica.
Definición. La gráfica de una función f es el conjunto de todos los puntos ( x, y ) en el plano cartesiano, cuyas coordenadas satisfacen la fórmula o ecuación que define a f.
En símbolos: Gráfica de f =
ADVIERTA:Si entonces:
pertenece a la gráfica de f porque y no pertenece a la gráfica de f porque pero
y .
Si , entonces:
pertenece a la gráfica de g porque y
no pertenece a la gráfica de g porque
NOTA: No toda curva en el plano x-y es la gráfica de una función. Esta última se caracteriza geométricamente porque toda recta vertical que la corta lo hace exactamente en un punto.EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
A) Curva que es la grafica B) Curva que no es la grafica
de una función de una función
A Xo le corresponden dos valores distintos Yo y Y1.
3.2 PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR UNA FUNCION.
Para construir la grafica de una función se sugieren estos tres pasos.
PASO 1. Obtener las coordenadas de unos cuantos puntos que satisfagan la ecuación (o fórmula) que define a la función. Presentar estos puntos en una tabla de valores.
PASO 2. Ubicar en el plano los puntos de la tabla de valores.
PASO 3. Unir los puntos mediante una curva de trazo continuo.
NOTA: Al construir la gráfica de una función definida en un intervalo [a, b] o ]a, b[, conviene comenzar la tabla de valores con el punto de abscisa a y terminar con el punto de abscisa b. Cuando el intervalo es abierto se eliminan los puntos terminales de la gráfica, dejando en su lugar un hueco.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1.Construir la gráfica de en a) [-1, 2] , b]-1, 2 [
SOLUCIÓN
x f(x) -1 1
0 01 12 4
2.Construir una gráfica de en [ 2 , 5 ]
SOLUCIÓN
x f(x) 2 0.5 4 0.25 5 0.20
NOTA: cuando la regla de correspondencia de una función está dada por más de una fórmula, se dice que la función esta definida en secciones. Por ejemplo la función f definida por:
es una función definida por secciones cuyo dominio es el intervalo [-1, 5 ] y cuya gráfica consta de 2 secciones, las cuales se obtienen al trazar en el mismo sistema de ejes coordinadas la grafica de
f ( x ) =x2 en –1 ≤ x ≤ 2 y en 2 < x < 5
como se ilustra con la siguiente figura.
4.FUNCIONES ESPECIALES Y SUS GRAFICAS .
a) FUNCION IDENTIDAD
f(x)=xDf =IR
Gráfica de f(x) = x , -1 < x 2
b)FUNCION CONSTANTE
f(x) = C
Df = IR
Gráfica de f(x) = 4 , -1 x < 2 ADVIERTA: La gráfica de una función constante es una recta horizontal.
c) FUNCION RAIZ CUADRADA
es el número no negativo que elevado al cuadrado es x,
Gráfica de en [ 0, 4 ] ADVIERTA: origina un número real si el radicando x, es un número no negativo.
5. FUNCIONES QUE RESULTAN DE OPERACIONES CON FUNCIONES.
5.1 FUNCION SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
DEFINICIÓN. Sean f y g funciones. Entonces f + g , f – g , f g y son funciones
que se especifican así:
a) ( f +g ) (x) = f (x) + g (x) , D= Df Dgb) ( f –g) (x) =f (x) – g (x)} , D= Df Dgc) (f g) (x) = f (x) . g (x ) , D= Df Dg
d) , D = Df Dg - { x ε IR / g (x) =0}
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
Sea f (x ) = x 2 , Df = IR g (x) = , Dg = [ 0, [ , entonces
( f + g ) (x) = x + , D = IR [ 0, [ = [ 0, [
( f –g) (x) = x - , D = IR [ 0, [ = [ 0, [
(f g) (x) = , ( x ) ( ) , D = IR [ 0, [ = [ 0, [
, D = IR [ 0, [ - { x ε IR / }
D =
5.2 FUNCION MULTIPLO CONSTANTE.
DEFINICIÓN. Sea f una función, k una constante. “La función múltiplo constante de f”, denotada por k f, tiene como dominio, el dominio de f y como regla de correspondencia (k f ) (x) = k f (x).
1. Si f(x) = x, entonces 2. Si f(x) = U(x) , entonces
7. GRAFICAS DESPLAZADAS Y GRAFICAS REFLEJADAS.
GRAFICAS DESPLAZADAS.Para un numero real o mayor que cero:• La gráfica de y = f(x) + c es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia arriba.• La gráfica de y = f(x) – c es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia abajo.• La gráfica de y = f(x + c) es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia la izquierda.• La gráfica de y = f (x – c) es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia la derecha.
NOTA: Cuando la gráfica desplazada corta al eje x conviene ( para futuras aplicaciones) encontrar los valores de x donde se cortan ambas.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
1. Las gráficas de y = x2 + 4, y = x2 – 4 , y = (x + 4)2 y = ( x – 4 ) 2 se obtienen de la gráfica de y =x2 desplazándola 4 unidades hacia arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha respectivamente.
2. La gráfica de y = (x – 4)2 – 1 se obtiene de la gráfica de y = x2, desplazándola 4 unidades hacia la derecha y luego una unidad hacia abajo.
Al desplazar esta última gráfica una unidad hacia abajo, corta el eje x en los puntos donde y = 0 ; es decir donde
(x – 4)2 –1 = 0
[(x – 4) - 1] [(x – 4) + 1] = 0
(x – 5)(x – 3) = 0
x = 5
x = 3
3. Construir la gráfica de y = x2 + 2 x.Para construirla como desplazamiento de la gráfica de y = x2 , primero completemos un trinomio cuadrado perfecto así: y = x2 + 2x = x2 + 2x + 1 –1 = (x + 1)2 – 1.
De este modo la gráfica a construir es la gráfica de y = x2 desplazada una unidad a la izquierda y luego una unidad hacia abajo.
Corta el eje x en x = 0 y x = -2 (VERIFICARLO) Cuando de trata de de una función compuesta en la cual la función externa es el valor absoluto, se grafica la función interna y luego se refleja.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.1. Construya la gráfica de
a) b)
SOLUCION.
a)
b)
8. FUNCIONES ALGEBRAICAS.8.1 DEFINICION
DEFINICIÓN. Una función algebraica es cualquier función f cuya regla de correspondencia se obtiene a partir de la variable independiente y constantes, mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y sustracción de raíces. Su dominio depende de las operaciones involucradas en su regla de correspondencia.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS. x3 √x 2 + 41. la función de f definida por f ( x ) = es algebraica. x2 – 2 x + 3
¿Su dominio es IR ? √x2. La función g definida por g(x) = es algebraica x + 4
¿ Su dominio es ?
Las funciones algebraicas que definimos a continuación son las más frecuentes.
8.2 FUNCIONES POLINOMIALES
DEFINICIÓN. Una función polinomial es cualquier función f que tenga como regla de correspondencia una expresión de la forma
f(x) = a n x n + a n –1 x n –1 + . . . + a 2 x 2 + a1 x + a o
donde los coeficientes a n , . . ., ao , son números reales y los exponentes son enteros no negativos. Obviamente el dominio de cualquier función polinomial es IR.
Si a n ≠ 0, n es el grado de la función polinomial. Particularmente, una función polinomial
de grado 1, f(x) = a x + b, se llama función LINEAL. de grado 2, f(x) = ax2 + bx + c, se llama función CUADRÁTICA. de grado 3, f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , se llama función CUBICA.
8.3 FUNCIONES RACIONALES.
DEFINICIÓN: Una función racional es cualquier funcion f que tenga como regla de correspondencia una expresión de la forma
a n x n + a n-1 + . . . + a 2 x2 +a, x + a o
f (x )= bm x m + b m –1 x m –1 + . . . + b2 x2 + b, x + b o
y como dominio los números reales, excluidos aquellos que hacen cero el denominador.
(Una función racional se describe diciendo que es el cociente de dos polinomios). Se dice que la función racional es impropia, cuando n ≥ m y es propia cuando n<m .
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS. x + 51. ¿La función f definida por f(x)= es una función racional impropia ?. x – 7
¿ Su dominio son los números reales excluido el 7 ? x + 52. ¿ La función g definida por g(x) = es una funcion racional propia ?. x2 – x –6
¿ Su dominio son los números reales excluidos el –2 y el 3 ?
8.4 GRAFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES.
CASO 1. Si la función polinomial es lineal, su gráfica es una línea recta. Bastan dos puntos.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
1. Graficar y = 4 + 2x
x f(x) 0 4 -2 0
2. Graficar y = 4 – 2x
x f(x) 0 4 2 0
ADVIERTA: La gráfica de una función lineal de la forma y = a x + b es una recta que crece si a > o y decrece si a < o (¿ Si a = 0 ?)
CASO 2. Si la funcion polinomial es cuadrática, su gráfica es una parábola, la cual se puede construir :
TABULANDO (como con las funciones especiales) COMPLETANDO UN CUADRADO PARA LUEGO DESPLAZAR Y
REFLEJAR LA GRAFICA DE Y = X2.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.1) Graficar: y = x2 + 2x + 5.
y = x2 + 2x + 5 = ( x2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)2 + 4
2. Graficar y = 8 –2x – x2
y = 8 – 2 x – x2 = 8 – ( x2 + 2x ) = 8 - (x2 + 2x + 1) +1 = 9- (x +1)2
La gráfica corta al eje x cuando y = 0 es decir cuando
9 – (x + 1)2 = 0
[3 – (x + 1)] [3 + (x + 1)] =0
[3 – x – 1] [ 3 + x + 1] = 0
[ 2 – x] [4 + x] = 0
x = 2, x = - 4
ADVIERTA. La gráfica de una función cuadrática de la forma y = ax2 + bx + c es una parábola abierta hacia arriba si a > 0 y abierta hacia abajo si a < 0
Ejercicio nº 1.-
Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
23
2a)
x
xy
2
1 b)
xy
Solución:
2a) 3 0 3 Dominio 3x x
b) 2 0 2 Dominio 2,x x
Ejercicio nº 2.-
A partir de la gráfica de las siguientes funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido:
a) b)
Evaluación: Fecha:
S
Solución:
a) Dominio 3 ; Recorrido 0
b) Dominio 2, ; Recorrido 0,
Ejercicio nº 3.-
Tenemos una hoja de papel de base 18,84 cm y altura 30 cm. Si recortamos por una línea paralela a la base, a diferentes alturas, y enrollamos el papel, podemos formar cilindros de radio 3 cm y altura x:
El volumen del cilindro será:
xxπV 28,2632
¿Cuál es el dominio de definición de esta función?
Solución:
.,x 300 Dominio tanto, Por cm. 30 y 0 entre valores tomar puede
Ejercicio nº 4.-
Asocia a cada gráfica su ecuación:
53 a) xy
22b) xy
xy3
5c)
24d) x y
I) II)
III) IV)
Solución:
a) IVb) Ic) IIId) II
Ejercicio nº 5.-
Asocia a cada una de estas gráficas su ecuación:
4
1 a)
xy
xy 2 b)
21
c) x
y
1d) xy
I) II)
III) IV)
Solución:
a) IVb) IIIc) Id) II
Ejercicio nº 6.-
Asocia cada gráfica con su correspondiente ecuación:
23a) xy
23b) xy
2c) 3 xlogy
xlogy 3d)
I) II)
III) IV)
Solución:
a IIb IVc Id III
Ejercicio nº 7.-
Halla el valor de estas expresiones en grados:
2
3a) arcseny
2
2b) arccosy
Solución:
a) 300 o 240y y b) 135 o 225y y
Ejercicio nº 8.-Representa gráficamente la siguiente función:
x
y
4
1
Solución:Hacemos una tabla de valores:
2 1 0 1 2
16 4 1 0,25 0,0625
x
y
La gráfica es:
Ejercicio nº 9.-Representa gráficamente la siguiente función:
2si3
2si12
x
xxy
Solución:
parábola. de trozo un es ,2 Si x
.horizontal recta de trozo un es ,2 Si x
La gráfica es:
Ejercicio nº 10.-
La siguiente gráfica corresponde a la función . Representa, a partir de ella, lay f x
función :y f x
Solución:
Ejercicio nº 11.-Define como función "a trozos":
23 xy
Solución:
3
2si23
3
2si23
xx
xxy
Ejercicio nº 12.-
. 2
Las funciones y están definidas por y 1 Calcula :3
xf g f x g x x
xgf a)
xfgg b)
Solución:
3
12
3
11a)
22
xxxxfxgfxgf
23
113
133
b)2222
xxxg
xggxfggxfgg
Ejercicio nº 13.-Explica cómo se pueden obtener por composición las funciones p(x) y q(x) a partir def(x) y g(x), siendo:
52y322,2,32 xxqxxpxxgxxf
Solución: xfgxqxgfxp
Ejercicio nº 14.-Esta es la gráfica de la función y = f (x):
1 1a) Calcula 0 y 2 .f f
1b) Representa en los mismos ejes a partir de la gráfica de .f x f x
Solución:
01 10 porque) 1 ffa
25 porque 521 ff
b)
Ejercicio nº 15.-
Calcula la función inversa de:
5
12
xxf
Solución:
Cambiamos x por y, y despejamos la y :
2
15152125
5
12
xyxyyx
yx
Por tanto:
2
151 x
xf
Ejercicio nº 16.-Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
9
1 a)
2
xy
b) 2y x
Solución:
2 2a) 9 0 9 9 3 Dominio 3, 3x x x
b) 2 0 2 2 Dominio , 2x x x
Ejercicio nº 17.-
Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido:
a) b)
Opción C
Evaluación: Fecha:
Solución: a) Dominio 1 ; Recorrido 0
b) Dominio 0, ; Recorrido
Ejercicio nº 18.-
A una hoja de papel de 30 cm 20 cm le cortamos cuatro cuadrados (uno en cada esquina) y, plegando convenientemente, formamos una caja cuyo volumen es:
xxxV 230220
¿Cuál es el dominio de definición de esta función?
Solución:
.,x 100 Dominio tanto, Por cm. 10 y 0 entre valores tomar puede
Ejercicio nº 19.-Asocia cada ecuación con la gráfica correspondiente:
22 a) x y 22b) xy
xy 0,25c) 20,25d) xy
I) II)
III) IV)
Solución:
a) IIb) Ic) IVd) III
Ejercicio nº 20.-
Asocia cada ecuación con su correspondiente gráfica:
2
1a)
xy
1b) xy
2
1c)
xy
xy 1d)
I) II)
III) IV)
Solución:
a) IIb) III
c) IVd) I
Ejercicio nº21.-
Asocia a cada gráfica su ecuación:x
y
3
2a)
x
y
2
3b)
xlogy 2c) xlogy 21d)
I) II)
III) IV)
Solución:
a Ib IVc IId III
Ejercicio nº 22.-
Obtén el valor de estas expresiones en grados:
2
1a) arcseny
2
2b) arccosy
Solución:
a) 30 o 150y y b) 45 o 315y y
Ejercicio nº 23.-
.3función la de gráfica la Haz x y
Solución:
Hacemos una tabla de valores:
2 1 0 1 2
9 3 1 1 3 1 9
x
y
La gráfica es:
Ejercicio nº 24.-
Representa la siguiente función:
1si42
1si2 2
xx
xxy
Solución:
parábola. de trozo un tenemos ,1 Si x
recta. de trozo un tenemos ,1 Si x
La gráfica es:
Ejercicio nº 25.-
de gráfica la que sabiendo , función la tegráficamen Representa xfyxfy es la siguiente:
Solución:
Ejercicio nº 26.-
Obtén la expresión analítica en intervalos de la función 3 .y x
Solución:
3si3
3si3
xx
xxy
Ejercicio nº 27.-
, 2Sabiendo que y halla :f x x x g x sen x
xfg a)
xgg b)
Solución:
22a) xxsenxxgxfgxfg
xsensenxsengxggxgg b)
Ejercicio nº 28.-
Sabiendo que:
2
1y3 2
xxgxxf
Explica cómo se pueden obtener por composición, a partir de ellas, las siguientes funciones:
23
1
2
322
x
xqx
xp
Solución:
xfgxqxgfxp
Ejercicio nº 29.-
Dada la gráfica de la función y = f (x):
1 1a) Calcula 1 y 0 .f f
1b) Representa gráficamente en los mismos ejes , a partir de la gráfica de .f x f x
Solución:
1001 porquea) 1 ff
0110 porque1 ff
b)
Ejercicio nº 30.-
Obtén la función inversa de:
4
32 xxf
Solución:
Cambiamos x por y y despejamos la y :
3
42423324
4
32 xyxyyx
yx
Por tanto:
3
421 xxf