TEOREMA DE PITAGORAS

[DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE PITAGORAS]21 de agosto de 2014

COLEGIO PARTICULAR HARVARD

MONOGRAFIA: DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE PITAGORAS

AUTORES DELGADO MALPARTIDA, Jayr POZO RAMOS, Dayana SURICHAQUI RODRIGUEZ, Milagros VIDAL ROJAS, Hazel

ASESORACARBAJAL TAPIA, Yanina

ESPECIALIDADMATEMATICAS

AO Y SECCION2do Ao de Secundaria A2014

DEDICATORIAA DIOS y nuestros Padres por habernos formado con hbitos de estudio y Responsabilidad para cumplir nuestras tareas, gracias les damos y con todo el cario le dedicamos esta monografa

NDICEndice3Resumen4Introduccin5Marco Terico6CAPITULO I - Qu es el Teorema de Pitgoras? ..6CAPITULO II - Cmo demostrar el Teorema de Pitgoras? ..8CAPITULO III - Podras calcular la medida de alguno de los lados teniendo la de los otros dos? ... 11CAPITULO IV Maqueta hecha para demostrar el Teorema de Pitgoras .... 14Conclusiones16Bibliografia17

RESUMEN

Se realizar una maqueta (modelo fsico) que compruebe el teorema de Pitgoras. Se presentar el modelo en clases, explicando paso por paso cmo se comprueba este teorema de Pitgoras. Para respaldar la maqueta se elabora este trabajo monogrfico explicando el famoso Teorema de Pitgoras.

INTRODUCCIONUno de los teoremas milenarios ms importantes es sin duda alguna el teorema de Pitgoras. El teorema de Pitgoras es quizs la relacin matemtica, de cierta complejidad, ms conocida por personas con una formacin bsica y que ofrece, al mismo tiempo, un importante valor prctico, terico y didctico, tanto en su versin aritmtico-algebraica como en su versin geomtrica.

Tambin nos gustara sealar que dentro de la educacin secundaria, la geometra tiene un papel importante, y por tanto el teorema de Pitgoras no es slo conocido sino tambin usando ampliamente por los alumnos en el curso de trigonometra se ampla el tema.

Para entender bien el Teorema de Pitgoras debemos de tener claros algunos conceptos. Por ejemplo que slo es aplicable a los tringulos rectngulos. Tambin hemos de saber cules son los nombres que reciben los lados de un tringulo rectngulo. Otro aspecto importante sobre el Teorema de Pitgoras es el relacionado con sus usos, este teorema es utilizado en una gran cantidad de situaciones para hallar medidas que desconocemos y que de otra forma no se podran calcular de forma exacta o que llevara mucho tiempo hacerlo. Todo esto lo explicaremos en nuestra monografa.

MARCO TEORICO

CAPITULO IQu es el Teorema de Pitgoras?

Antes de contestar esta Pregunta, debemos de saber Quin fue Pitgoras?. Pitgoras (aprox. 582 a.C. - 507 a.C.) fue un filsofo y matemtico griego, nacido en la isla de Samos. Siendo muy joven, viaj a Mesopotamia y Egipto. Tras regresar a Samos, finaliz sus estudios y fund su primera escuela.Abandon Samos para escapar de la tirana de Polcrates y se estableci en Crotona en el sur de Italia, donde fund su segunda escuela. Sus estudiantes pertenecan a todas las razas, religiones y estratos econmicos y sociales. Tras ser expulsados por los pobladores de Crotona, los pitagricos se exiliaron a Tarento donde fund su tercera escuela.Su escuela de pensamiento afirmaba que la estructura del universo era aritmtica y geomtrica, a partir de lo cual las matemticas se convirtieron en una disciplina fundamental para toda investigacin cientfica. Pitgoras pasa por ser el introductor de pesos y medidas, elaborador de la teora musical; primero en hablar de "teora" y de "filsofos", en postular el vaco, en canalizar el fervor religioso en fervor intelectual, en usar la definicin y en considerar que el universo era una obra slo descifrable a travs de las matemticas.Fueron los pitagricos los primeros en sostener la forma esfrica de la tierra y postular que sta, junto con el sol y el resto de los planetas conocidos, no se encontraban en el centro del universo, sino que giraban entorno de una fuerza simbolizada por el nmero uno. Sin embargo este matemtico ha pasado a la eternidad histrica por el TEOREMA DE PITGORAS sobre el tringulo rectngulo que ya era conocido mucho tiempo antes de l, en las Matemticas babilnicas. No obstante se le atribuye a Pitgoras, no el descubrimiento del teorema; pero s el de una demostracin general, indudablemente geomtrica, mediante mtodos constructivos que bien le vale la consideracin en que se le tiene en el da de hoy.Ahora podemos explicar Qu es el Teorema de Pitgoras?.-En primer lugar deberamos recordar un par de ideas: Un tringulo rectngulo es un tringulo que tiene un ngulo recto, es decir de 90. En un tringulo rectngulo, el lado ms grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de PitgorasSi el tringulo tiene un ngulo recto (90)...... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...... el cuadrado ms grande tiene exactamente la misma rea que los otros dos cuadrados juntos!El lado ms largo del tringulo se llama "hipotenusa", as que la definicin formal es:En un tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "tringulo rectngulo" a un tringulo con un ngulo recto)Entonces, el cuadrado de a (a) ms el cuadrado de b (b) es igual al cuadrado de c (c):a2 + b2 = c2

Tambin se puede decir lo siguiente:El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo, es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

CAPITULO IICmo demostramos el Teorema de Pitgoras?

Alo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemticos y amantes de las matemticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuacin algunas de las ms conocidas.II.1. DEMOSTRACION GEOMTRICAUna de las demostraciones geomtricas ms conocidas, es la que se muestra a continuacin, que suele atribuirse al propio Pitgoras.A partir de la igualdad de los tringulos rectngulos es evidente la igualdad a2 + b2 = c2Veamos la siguiente figura, en ella se demuestra el teorema:

En un tringulo rectngulo dibujamos tres cuadrados con lados iguales a los catetos y hipotenusa del tringulo, luego los dividimos los tres grandes cuadrados en pequeas unidades y los contamos.En el lado del cateto con dimensin a tenemos 16 unidades, en el lado b teneos 9 unidades y en la hipotenusa con dimensin c tenemos 25 unidades; esto quiere decir que 16 + 9 = 25 que es lo mismo decir la frmula de arriba.

Aplicacin Fsica moderna:Un modelo Fsico para demostrar el Teorema de Pitgoras mediante la geometra es la siguiente:MODELO FISICO PARA DEMOSTRAR EL TEOREMA DE PITAGORAS POR RECIPIENTES DE CUBOS DE AGUA1. En Reposo. Inicialmente tenemos un tringulo rectngulo y se ha construido tres cubos o recipientes con lados iguales a los catetos y la hipotenusa, a los cubos con los lados de los catetos se ha llenado agua con un tinte celeste para visualizar.

2. Al Voltear. Vemos que el cubo del lado mayor que es la hipotenusa, el agua se va vaciando y empieza a llenar desde los dos cubos formados por los catetos.

3. Finalizando. Se muestra que se han vaciados totalmente ambos cubos con lados de los catetos del tringulo rectngulo y han quedados vacos, todo su contenido se ha ido al cubo formado por el lado de la hipotenusa y como ven esta totalmente lleno; esto quiere decir que el Volumen de ambos cubos formados por los lados de los catetos es exactamente igual al volumen formado por la hipotenusa de este triangulo rectngulo.

II.2. DEMOSTRACION ALGEBRAICA

Podemos ver que a2 + b2 = c2 usando el lgebraMira este diagrama... tiene dentro un tringulo "abc" (en realidad tiene cuatro):Es un gran cuadrado, cada lado mide a+b, as que el rea es:A = (a+b)(a+b)Ahora sumamos las reas de los trozos ms pequeos:Primero, el cuadrado pequeo (inclinado) tiene reaA = c

Y hay cuatro tringulos, cada uno con reaA =ab/2

As que los cuatro juntos sonA = 4(ab/2) = 2ab

Si sumamos el cuadrado inclinado y los 4 tringulos da:A = c+2ab

El rea del cuadrado grande es igual al rea del cuadrado inclinado y los 4 tringulos. Esto lo escribimos as:(a+b)(a+b) = c+2abAhora, vamos a operar a ver si nos sale el teorema de Pitgoras:Empezamos con:(a+b)(a+b) = c+2ab

Desarrollamos (a+b)(a+b):a+2ab+b = c+2ab

Restamos "2ab" de los dos lados:a+b = c

CAPITULO IIIPodras calcular la medida de alguno de los lados teniendo la de los otros dos?

En el estudio de las matemticas un tema importante es las propiedades de los tringulos rectngulos y entre ellas estn el TEOREMA DE PITAGORAS.Como hemos visto en los dos captulos anteriores, ya podemos utilizar la frmula matemtica del Pitgoras en los ejercicios que tengamos en las clases.La pregunta es Podremos calcular la media de un lado teniendo mnimo los otros dos?, la respuesta a ello es SI, ya que el Teorema de Pitgoras nos pone de referencia que debemos saber dos de los lados para hallar el tercero; a continuacin veremos algunos Ejercicios para poder calcular un lado teniendo los otros dos de un tringulo rectngulo:

Otros problemas para calcular un lado del Teorema de Pitgoras:

7.

CAPITULO IVMAQUETA HECHA PARA DEMOSTRAR EL TEOREMA DE PITAGORAS

Hmos estado investigando como podramos plasmar un modelo matemtico (parmetros algebraicos) a un modelo fsico (real) del TEOREMA DE PITAGORAS. Entonces, vamos a demostramos el Teorema de Pitgoras; es decir, fabricaremos en madera un tringulo rectngulo con medidas reales de: cxcxh 18 cm x 24 cm x 30 cm y de espesor 2.5 cm tal como se muestra en la siguiente figura:

Luego fabricaremos con la medida de los lados del tringulo rectngulo cubos tal como mostramos en la siguiente figura:

Un vez que la estructura est completa la cerramos con madera y con tres lunas aseguramos que este la estructura completamente sellada le agujereamos y conseguimos tres corchos. La estructura nos quedara similar a la siguiente figura:

Claro que existen muchas maneras de demostrarlo con este procedimiento tal como se muestran en estas dos figuras:

MATERIALES A UTILIZAR 2 listones de madera media (No tan delgada). 1 Papel de colores. 1 lapicero indeleble. 3 Lunas delgadas o plstico grueso ( 18cm x 18cm /24 cm x 24 cm / 30 cm x 30cm). Colorante celeste. Tres corchos. Cinta masking. 1 base de madera ya sea mnimo de 40cm x 40cm Agua.

CONCLUSIONES Sabemos Qu es el Teorema de Pitgoras? Y como se aplica a un tringulo rectngulo. Ahora podremos calcular un lado, teniendo dos de un tringulo rectngulo. Podemos resolver ejercicios aplicando el Teorema de Pitgoras. Comprendemos como demostrar el Teorema de Pitgoras de manera geometra y algebraica. Sabemos construir un modelo Fsico para demostrar el Teorema de Pitgoras, ya sea mediante agua, arena, cuadros de papel, etc.

BIBLIOGRAFIA Encyclopdia Britannica Online, s. v. Pythagoras, accessed January 28, 2012. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (January 1999), Biografa dePitgoras (en ingls), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews. Suda: Gran Enciclopedia Bizantina. Stoa.org/SOL Smith, William: Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology; ed. 1813-1893. Versin en lnea (en ingls). William Keith Chambers Guthrie, A history of Greek philosophy, Volume 1: The earlier Presocratics and the Pythagoreans. Cambridge University Press, (en ingls). David Hernndez de la Fuente (2011, 2 ed. 2014). Vidas de Pitgoras. Vilar: Ediciones Atalanta. ISBN 978-84-940941-7-0. Paul Strathern (1999). Pitgoras y su teorema. Siglo XXI. ISBN 84-323-0983-4.WEBhttp://ispacmatematicas.blogspot.com/2013/01/proyecto-pitagoras.htmlhttp://centros5.pntic.mec.es/ies.juan.de.mairena/biopit.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

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