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AUTOMATIZAO DA VERIFICAO DE SEES DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS FLEXO COMPOSTA OBLQUA

YURI MAGALHES CUNHA

Projeto de Graduao apresentado ao corpo docente do Departamento de Mecnica Aplicada e Estruturas da Escola Politcnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como requisito para obteno do ttulo de Engenheiro Civil.

Aprovado por:

_____________________________________ Srgio Hampshire de Carvalho Santos

Prof. Associado, D.Sc., EP/UFRJ (Orientador)

_____________________________________

Flvia Moll de Souza Judice Prof. Adjunto, D.Sc., EP/UFRJ (Co-orientador)

_____________________________________ Maria Casco Ferreira de Almeida

Prof. Adjunto, D.Sc., EP/UFRJ

_____________________________________ Henrique Innecco Longo

Prof. Associado, D.Sc., EP/UFRJ

Novembro / 2009

1

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Prof. Srgio Hampshire de Carvalho Santos, pelos conselhos, pela pacincia e pelos ensinamentos durante toda a minha vida acadmica.

minha co-orientadora, Prof. Flvia Moll de Souza Judice, pela pacincia, pelo tempo dedicado e pela parceria durante o desenvolvimento desse trabalho.

minha famlia, pelo apoio incondicional e necessrio para que eu conclusse a graduao. Em especial ao meu Pai por estar sempre ao meu lado, e pelo exemplo de vida. minha me por me ensinar todos os meus valores.

s minhas tias, Snia, Suely e Celina pelo amor, carinho e presena em todos os momentos importantes da minha vida.

minha irm Sophia, pela compreenso.

s minhas primas, Daniela e Sabrina, pelo amor de irmo.

s minhas amigas, Livia, Silvia, Josie, Mariana, Tatianna, Paula e Gabriela que estiveram comigo desde o comeo da faculdade, pela amizade e pelos momentos de alegria que tornaram esses anos mais prazerosos.

s minhas amigas Thas, Tatiana e Larisa, pelo companheirismo nos estudos, e por serem as principais motivadoras do meu desenvolvimento como aluno.

Aos mestres Luiz Eloy, Maria Casco, Claudia boli, Henrique Longo e Fernando Danziger por contriburem fortemente na minha formao como engenheiro e profissional, pelos ensinamentos dirios e pelo apoio e incentivo prestados para que fosse possvel a concluso do meu curso.

Ao Prof. Srgio Marques, por acreditar no meu futuro como engenheiro, pelos ensinamentos, pelas conversas sobre tpicos especiais em concreto protendido, e pelo apoio durante toda a fase de concluso deste trabalho.

toda a famlia Arte Pontes pelo acolhimento e amizade.

A todos que, de alguma forma, contriburam para a realizao deste trabalho.

2

SUMRIO

LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................................. 4

LISTA DE TABELAS ............................................................................................................................ 6

RESUMO ................................................................................................................................................ 7

1 INTRODUO .............................................................................................................................. 8

2 ESTADOS LIMITES .....................................................................................................................10

2.1 DEFINIO DOS ESTADOS LIMITES .................................................................................10

2.2 AES E RESISTNCIAS ......................................................................................................11

2.2.1 Valores das Aes .............................................................................................................11

2.2.2 Valores das Resistncias ....................................................................................................17

2.3 CARACTERSTICAS DO CONCRETO .................................................................................20

2.4 CARACTERSTICAS DOS AOS ..........................................................................................22

2.5 ESTDIOS DE COMPORTAMENTO FLEXO ...............................................................23

2.5.1 Estdio I .............................................................................................................................25

2.5.2 Estdio Ia ...........................................................................................................................25

2.5.3 Estdio II ............................................................................................................................26

2.5.4 Estdio III ..........................................................................................................................26

2.6 HIPTESES BSICAS NO DIMENSIONAMENTO FLEXO NO ESTADO LIMITE LTIMO ............................................................................................................................................27

3 DIMENSIONAMENTO FLEXO COMPOSTA RETA ..........................................................29

3.1 DOMNIOS DE DEFORMAES ESPECFICAS ................................................................29

3.1.1 Equaes para o Domnio 1 ...............................................................................................31



3.1.4 Equaes para os Domnios 4 e 4a ....................................................................................35


3.2 PLANILHAS DE VERIFICAO ...........................................................................................39

4 DIMENSIONAMENTO FLEXO COMPOSTA OBLQUA ..................................................42

4.1 CLCULO EXATO..................................................................................................................42

4.2 VERIFICAO PELA FORMULAO APROXIMADA DA NBR 6118 ...........................42

4.3 AUTOMATIZAO DA VERIFICAO FLEXO OBLQUA PELA FORMULAO APROXIMADA DA NBR 6118 ........................................................................................................43

5 APLICAO DA AUTOMATIZAO PARA A VERIFICAO FLEXO COMPOSTA OBLQUA DOS PILARES DE UM VIADUTO ...................................................................................52

5.1 DESCRIO DA ESTRUTURA .............................................................................................52

5.2 HIPTESES DE DIMENSIONAMENTO ...............................................................................58

3

5.3 COMBINAES DE CARREGAMENTOS ...........................................................................59

5.4 RESUMO DOS ESFOROS SOLICITANTES NA SEO DE VERIFICAO S1=S2 ....61

5.5 VERIFICAO AUTOMTICA DAS SEES ...................................................................64

5.6 COMPARAO COM DIMENSIONAMENTO PELOS BACOS DE MONTOYA ..........75

5.7 COMPARAO COM DIMENSIONAMENTO PELO PROGRAMA OBLQUA ...............78

6 CONCLUSES ..............................................................................................................................85

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ...................................................................................................86

ANEXOS................................................................................................................................................88

4

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Diagrama tenso-deformao idealizado para o concreto.

Figura 2: Diagrama tenso-deformao para aos de armaduras passivas.

Figura 3: Trecho de viga, material homogneo, isotrpico e elstico-linear, solicitada flexo pura.

Figura 4: Diagrama M-k na seo transversal da viga de concreto armado.

Figura 5: Distribuio das tenses normais no concreto nos diversos estdios.

Figura 6: Simplificao do diagrama parbola-retngulo para o concreto.

Figura 7: Domnios no estado limite ltimo de uma seo transversal - Tabela 12.1 da NBR 6118 (2003).

Figura 8: Seo transversal - notaes.

Figura 9: Seo longitudinal - notaes.

Figura 10: Esquema de deformaes no Domnio 1.

Figura 11: Relaes geomtricas no Domnio 1.



Figura 14: Relaes geomtricas no Domnio 5.

Figura 15: Exemplo 1 - Seo para verificao.

Figura 16: Exemplo 1 - Planilha para verificao de sees de concreto armado na flexo composta reta.

Figura 17: Diagrama de Interao Nd x Md para flexo composta reta - NORMAL 1.0.

Figura 18: Exemplo 2 Seo para verificao dimenses em cm.

Figura 19: Exemplo 2 - Planilha para verificao de sees de concreto armado na flexo composta oblqua ENTRADA DE DADOS E VERIFICAO CAMPO 1.



Figura 22: Exemplo 2 - Planilha para verificao de sees de concreto armado na flexo composta oblqua CURVA DE INTERAO MRdx x MRdy CAMPO 4.

Figura 23: Exemplo 2 - Planilha para verificao de sees de concreto armado na flexo composta oblqua Mx.

5

Figura 24: Exemplo 2 - Planilha para verificao de sees de concreto armado na flexo composta oblqua My.

Figura 25: Verificao no programa OBLQUA.

Figura 26: Curvas de interao na flexo oblqua.

Figura 27: Esquema estrutural do viaduto.

Figura 28: Viaduto em Planta.

Figura 29: Seo transversal celular.

Figura 30: Esquema do Pilar P1=P4.


Figura 32: Pilares corte longitudinal.

Figura 33: Sees de dimensionamento do Pilar P1=P4.


Figura 35: Posies da Carga Mvel para dimensionamento dos pilares.

Figura 36: Detalhamento da seo transversal S1- Dimenses em cm.

Figura 37: Exemplo Prtico - Planilha para verificao de sees de concreto armado na flexo composta oblqua ENTRADA DE DADOS E VERIFICAO CAMPO 1.

Figura 38: Exemplo Prtico - Curva de interao na flexo composta reta Mx.

Figura 39: Exemplo Prtico - Curva de interao na flexo composta reta My.

Figura 40: baco de Montoya.

Figura 41: Dimensionamento utilizando o baco de Montoya.

Figura 42: Verificao no programa OBLQUA carregamento 4.

Figura 43: Comparao entre curvas de interao carregamento 4.







Figura 50: Superfcie resistente aproximada na flexo composta oblqua para seo S1=S2.

6

LISTA DE TABELAS Tabela 1: Coeficiente f = f1 x f3 - Tabela 11.1 da NBR 6118 (2003).

Tabela 2: Coeficiente f2 - Tabela 11.2 da NBR 6118 (2003).

Tabela 3: Combinaes ltimas - Tabela 11.3 da NBR 6118 (2003).

Tabela 4: Combinaes de servio - Tabela 11.4 da NBR 6118 (2003).

Tabela 5: Valores dos coeficientes s e c - Tabela 12.1 da NBR 6118 (2003).

Tabela 6: Esforos solicitantes na seo 1.

Tabela 7: Exemplo Prtico - Planilha para verificao de sees de concreto armado na flexo composta oblqua ENTRADA DE DADOS E VERIFICAO CAMPO 2.

7

RESUMO

Embora o dimensionamento, ou verificao, de sees de concreto armado submetidas

flexo composta oblqua seja um problema conhecido, em algumas situaes de projeto a

automatizao desse dimensionamento pode se tornar trabalhosa devido incompatibilidade

entre os mtodos adotados no dimensionamento e as fontes de dados de esforos atuantes nas

estruturas. Na prtica de projeto em engenharia, a automatizao de processos conduz maior

rapidez na anlise e dimensionamento das estruturas, o que justifica a proposio de um

processo automatizado de verificao de sees para um grande nmero de carregamentos.

No presente trabalho, so apresentadas as consideraes dos estados limites ltimos,

onde so mostradas as possibilidades de ponderaes das aes, de acordo com a NBR 6118,

considerando a no probabilidade de ocorrncia de seus valores mximos simultaneamente.

Em seguida, descrito o dimensionamento de sees para a flexo composta reta e as

respectivas equaes nos diversos domnios de deformaes especficas no estado limite

ltimo. apresentada tambm uma planilha modelo de verificao para a flexo composta

reta. A seguir, ento apresentado o problema da flexo composta oblqua e a formulao

aproximada da NBR 6118. Dentro desse contexto, foi realizada a automatizao do processo

de verificao em planilhas do tipo Excel pela formulao aproximada da NBR 6118 para

verificao da flexo composta oblqua.

Para concluir o estudo, foi feita uma aplicao prtica da automatizao para o

dimensionamento dos pilares de um viaduto, com o objetivo de demonstrar o mtodo e

comparar com o dimensionamento atravs dos bacos de interao de Montoya e do clculo

exato atravs do programa de computador OBLQUA.

8

1 INTRODUO

O clculo exato de sees de concreto armado submetidos flexo composta oblqua

possvel atravs de programas de computador em um processo iterativo, onde a posio da

linha neutra e o ngulo formado por ela com os eixos X e Y vo sendo ajustados por

tentativas at se encontrar uma posio que apresente equilbrio para os esforos solicitantes.

Outra forma de dimensionamento so os bacos de interao para flexo composta oblqua

que existem na literatura para vrias situaes de geometria de seo e distribuio de

armaduras, como os conhecidos bacos de Montoya [1].

A grande parte dos programas de computador para o clculo exato, assim como os

bacos de interao, resolvem os problemas correntes de dimensionamento de sees em

flexo composta oblqua. Em algumas situaes especiais, como a aplicao mostrada ao final

deste trabalho, as hipteses de dimensionamento e as combinaes de carregamentos podem

gerar um grande nmero de esforos associados tornando a verificao muito trabalhosa. Com

o emprego de programas de computador, o problema pode ser resolvido caso os mesmos

tenham alguma ligao com a fonte de dados dos carregamentos, o que no ocorre sempre na

prtica, pois a obteno dos esforos atuantes nas estruturas pode ser um dado proveniente de

outro programa de computador, de clculo manual ou uma de composio desses. Para o caso

do dimensionamento atravs de bacos de interao, para cada trio de esforos (N, ML e MT)

necessrio entrar no baco de interao e realizar interpolaes para se obter a taxa de

armadura necessria para a seo.

A presena de um grande nmero de situaes de carregamentos torna o processo de

verificao muito trabalhoso, e conseqentemente qualquer modificao no projeto acarreta a

necessidade de se realizar o trabalho novamente. As situaes de carregamentos podem se

tornar numerosas devido natureza da solicitao, como o caso de estruturas submetidas a

foras devidas ao vento que atuam em direes e sentidos diversos. Mesmo a geometria da

estrutura pode gerar situaes diversas de carregamentos.

Na prtica, essas situaes so contornadas realizando-se o dimensionamento para

situaes de um esforo mximo, ou mnimo (Nmax, Nmn, MLmax e MTmax), e os outros esforos

concomitantes. Essa prtica, apesar de largamente empregada, no leva em considerao que

dentro do conjunto de todas as combinaes de esforos atuantes, possa existir uma em que os

valores de N, ML ou MT no sejam mximos, mas que seus esforos concomitantes sejam

9

maiores que os esforos concomitantes de uma situao de mximo, fazendo com que uma

combinao de esforos que no sejam mximos possa ser dimensionante.

O presente trabalho tem por objetivo garantir que todas as possveis situaes de

esforos atuantes, mesmo que em nmero muito grande, sejam verificadas. A verificao para

todos os trios de esforos solicitantes necessria e fundamental para que se assegurem as

condies analticas de segurana da estrutura.

10

2 ESTADOS LIMITES

2.1 DEFINIO DOS ESTADOS LIMITES

O estado limite definido como sendo o estado em que a estrutura se encontra, de

modo efetivo ou convencional, inutilizvel ou deixa de atender de alguma maneira s

condies estabelecidas para a sua utilizao. De acordo com a NBR 6118 (2003) [2] no seu

item 10.2, os estados limites a serem considerados so os estados limites ltimos (ELU) e os

estados limites de servio (ELS).

Os estados limites ltimos esto relacionados com o colapso progressivo, perda de

equilbrio ou esgotamento da capacidade resistente que torne inutilizvel o uso das estruturas.

Segundo a NBR 6118 (2003), item 10.3, a segurana das estruturas de concreto deve sempre

ser verificada em relao aos seguintes estados limites ltimos:

- estado limite ltimo da perda do equilbrio da estrutura, admitida como corpo

rgido;

- estado limite ltimo de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu

todo ou em parte, devido s solicitaes normais e tangenciais, admitindo-se a redistribuio

de esforos internos, desde que seja respeitada a capacidade de adaptao plstica, e,

admitindo-se, em geral, as verificaes separadas das solicitaes normais e tangenciais;

- estado limite ltimo e esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu

todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;

- estado limite ltimo provocado por solicitaes dinmicas;

- estado limite ltimo de colapso progressivo;

- outros estados limites que eventualmente possam ocorrer em casos especiais.

Os estados limites de servio esto relacionados durabilidade, utilizao

funcional, aparncia e ao conforto, seja em relao aos usurios, ou mesmo em relao os

equipamentos utilizados. De acordo com a NBR 6118 (2003), item 10.4, as estruturas de

concreto devem ser verificadas aos seguintes estados limites de servio:

- estado limite de formao de fissuras (ELS-F);

11

- estado limite de abertura das fissuras (ELS-W);

- estado limite de deformaes excessivas (ELS-DEF);

- estado limite de descompresso (ELS-D);

- estado limite de descompresso parcial (ELS-DP);

- estado limite de compresso excessiva (ELS-CE);

- estado limite de vibraes excessivas (ELS-VE);

2.2 AES E RESISTNCIAS

Para ser realizada a anlise estrutural devem ser consideradas as influncias de todas

as aes que exeram esforos significativos na estrutura, levando-se em conta todos os

possveis estados limites ltimos e os de servio.

De acordo com a NBR 8681 (2003) [3], as aes classificam-se em permanentes,

variveis e excepcionais. Para todos os tipos de estruturas analisadas, as aes atuantes devem

ser consideradas com suas peculiaridades e as normas a elas aplicveis devem ser respeitadas.

Do ponto de vista das condies analticas de segurana, define-se que as resistncias

disponveis no podem ser menores que as solicitaes atuantes, com relao a todos os

estados limites e a todos os carregamentos. A NBR 6118 (2003), no seu item 12, define os

valores a serem utilizados nas anlises para as resistncias dos materiais.

2.2.1 Valores das Aes

As aes atuantes em estruturas so caracterizadas atravs de seus valores

caractersticos, representativos e de clculo de acordo com a NBR 6118 (2003), item 11.6.

2.2.1.1 Valores caractersticos

Os valores caractersticos a serem considerados para as aes, Fk, so estabelecidos em

funo de uma probabilidade de estes valores serem ultrapassados durante a vida til da

construo.

12

Para as aes permanentes, os valores caractersticos devem ser adotados iguais aos

valores mdios das respectivas distribuies de probabilidade, sejam valores caractersticos

superiores ou inferiores. Estes valores so definidos pela NBR 6118 (2003) ou em Normas

Brasileiras especficas, como a NBR 6120 (1980) [4].

Para as aes variveis, os valores caractersticos das aes, Fqk, estabelecidos por

consenso e indicados em Normas Brasileiras especficas, correspondem a valores que tm de

25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorvel, durante um

perodo de 50 anos. Assim como os valores caractersticos para as aes permanentes, estes

valores so definidos pela NBR 6118 (2003) ou em Normas Brasileiras especficas.

2.2.1.2 Valores representativos

Os valores definidos como representativos para as aes podem ser os prprios valores

caractersticos das aes permanentes ou variveis, valores convencionais excepcionais, que

so os valores arbitrados para as aes excepcionais, ou ainda os valores reduzidos, em

funo da combinao de aes.

Nas verificaes de estados limites ltimos, quando a ao considerada combinada

com a ao principal, os valores reduzidos para as aes no principais so determinados

atravs da expresso 0Fk, que considera muito baixa a probabilidade de ocorrncia

simultnea dos valores caractersticos de duas ou mais aes variveis de naturezas diferentes.

Nas verificaes de estados limites de servio, os valores reduzidos so determinados

atravs das expresses 1Fk e 2Fk, que estimam valores freqentes e quase permanentes,

respectivamente, de uma ao que acompanha a ao principal.

2.2.1.2 Valores de clculo

Os valores de clculo, Fd, para as aes so definidos pela NBR 6118 (2003), item

11.6.3. Esses valores levam em conta a variabilidade das aes, a simultaneidade da atuao

das aes, desvios gerados na construo no explicitamente considerados no clculo e as

aproximaes feitas no projeto do ponto de vista das solicitaes.

Os valores de clculo das aes so obtidos a partir dos valores representativos,

multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderao f.

13

2.2.1.3 Ponderao das aes

No estado limite ltimo, as aes devem ser majoradas atravs da aplicao dos

coeficientes de ponderao, f, que so definidos pela NBR 6118 (2003), item 11.7.

(ELU)

As tabelas 1 e 2, extradas da NBR 6118 (2003), apresentam os valores dos

coeficientes de ponderao f1 x f3 e f2, respectivamente.

Tabela 1: Coeficiente f = f1 x f3 - Tabela 11.1 da NBR 6118 (2003).

Tabela 2: Coeficiente f2 - Tabela 11.2 da NBR 6118 (2003).

14

Para os pilares e pilares-paredes que tenham sua menor dimenso entre 12 e 19 cm,

deve ser utilizado o coeficiente de ajustamento, n, que leva em considerao o aumento da

probabilidade de ocorrncia de desvios relativos e falhas na construo de peas esbeltas.

No estado limite de servio, o coeficiente de ponderao das aes dado pela

expresso:

(ELS)

onde f2 tem o valor varivel conforme a verificao que se deseja fazer.

Para combinaes raras f2 = 1, para combinaes freqentes f2 = 1 e para

combinaes quase permanentes f2 = 2.

2.2.1.4 Combinao das aes

Os carregamentos atuantes nas estruturas so definidos pelas combinaes das aes

que tm probabilidades no desprezveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura. A

finalidade das combinaes de carregamento identificar os efeitos mais desfavorveis que

possam surgir durante a vida til da estrutura. A verificao de segurana em relao aos

estados limites ltimos e aos estados limites de servio devem ser realizadas em funo das

combinaes ltimas e combinaes de servio, respectivamente.

Na NBR 6118 (2003), item 11.8.2, so definidas as classificaes das combinaes

ltimas. Uma combinao ltima pode ser classificada como normal, especial ou de

construo e excepcional.

As combinaes ltimas normais so aquelas onde devem estar includas as aes

permanentes e a ao varivel principal, com seus valores caractersticos e as demais aes

variveis, consideradas como secundrias, afetadas dos coeficientes de reduo.

As combinaes ltimas especiais ou de construo so aquelas onde devem estar

presentes as aes permanentes e a ao varivel especial, com seus valores caractersticos e

as demais aes variveis com probabilidade no desprezvel de ocorrncia simultnea,

afetadas pelos coeficientes de reduo.

As combinaes ltimas excepcionais so aquelas onde em cada combinao devem

estar presentes as aes permanentes e a ao varivel excepcional, com seus valores

15

representativos e as demais aes variveis com probabilidade no desprezvel de ocorrncia

simultnea, afetadas dos coeficientes de reduo.

A seguir apresentada a tabela 3, extrada da NBR 6118 (2003), que descreve as

combinaes ltimas usuais para o estado limite ltimo.

Tabela 3: Combinaes ltimas (continua) - Tabela 11.3 da NBR 6118 (2003).

16

Tabela 3: Combinaes ltimas (continuao) - Tabela 11.3 da NBR 6118 (2003).

Na NBR 6118 (2003), item 11.8.3, so definidas as combinaes de servio de acordo

com sua permanncia na estrutura em quase permanentes, freqentes ou raras.

As combinaes de servio quase permanentes so aquelas que podem atuar grande

parte do perodo de vida da estrutura e sua considerao pode ser necessria na verificao do

estado limite de deformaes excessivas.

As combinaes de servio freqentes so aquelas que se repetem muitas vezes

durante o perodo de vida da estrutura e sua considerao pode ser necessria na verificao

dos estados limites de formao de fissuras, de abertura de fissuras e de vibraes excessivas.

Podem tambm ser consideradas para verificaes de estados limites de deformaes

excessivas decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedaes.

17

As combinaes de servio raras so aquelas que ocorrem algumas vezes durante o

perodo de vida da estrutura e sua considerao pode ser necessria na verificao do estado

limite de formao de fissuras.

A seguir apresentada a tabela 4, extrada da NBR 6118 (2003), que prescreve as

combinaes ltimas para o estado limite de servio.

Tabela 4: Combinaes de servio - Tabela 11.4 da NBR 6118 (2003).

2.2.2 Valores das Resistncias

As resistncias dos materiais empregados nas estruturas de concreto armado e

protendido so definidas atravs de seus valores caractersticos e de clculo de acordo com a

NBR 6118 (2003), item 12.

2.2.2.1 Valores caractersticos

Os valores caractersticos a serem considerados para as resistncias, fk, so aqueles que

dentro de um lote do material tm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no

sentido desfavorvel para a segurana. Alm dos valores mdios das resistncias, fm, existem

os valores da resistncia caracterstica inferior, fk,inf, e superior, fk,sup. Normalmente de

interesse fk,inf ,pois seu valor menor que fm.

18

A resistncia caracterstica inferior, fk,inf, definida na NBR 6118 (2003) como sendo

o valor que tem apenas 5% de probabilidade de no ser atingido pelos elementos de um dado

lote de material, admitindo-se uma distribuio do tipo normal para essas resistncias.

2.2.2.2 Valores de clculo

Os valores de clculo das resistncias so estabelecidos pela NBR 6118, item 12.3, a

partir dos respectivos valores caractersticos e dos coeficientes de ponderao das resistncias.

Estes coeficientes levam em conta a variabilidade da resistncia dos materiais envolvidos, as

diferenas entre resistncias medidas em corpos-de-prova e nas estruturas, os desvios

ocorridos na construo das estruturas e as aproximaes feitas no projeto, do ponto de vista

das resistncias.

Para verificaes estruturais realizadas com ao ou concreto (de idade igual ou

superior a 28 dias) so utilizadas as seguintes expresses:

No caso especfico da resistncia de clculo do concreto, quando a verificao se faz

em data j inferior a 28 dias, adota-se a expresso:

onde,

sendo,

s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV;

19

s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II;

s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI;

t a idade do concreto, em dias.

2.2.2.3 Ponderao das resistncias

No estado limite ltimo, as resistncias devem ser minoradas atravs da aplicao

dos coeficientes de ponderao, m, que so definidos pela NBR 6118, item 12.4.

(ELU)

A tabela 5, extrada da NBR 6118 (2003), apresenta os valores dos coeficientes de

ponderao das resistncias no estado limite ltimo.

Tabela 5: Valores dos coeficientes s e c - Tabela 12.1 da NBR 6118 (2003).

No estado limite de servio, as resistncias no necessitam ser minoradas de acordo

com a NBR 6118 (2003), tal que:

(ELS)

20

2.3 CARACTERSTICAS DO CONCRETO

A NBR 6118 (2003), item 8.2.1, define as classes de resistncia para o concreto. Para

superestruturas de concreto armado, o concreto deve ser no mnimo de classe C20 (fck = 20

MPa). Para estruturas de fundaes e em obras provisrias pode ser usado o concreto de

classe C15 (fck = 15 MPa). Essa mesma norma aplica-se a concretos compreendidos nas

classes de resistncia do grupo I, indicadas na NBR 8953 [5], ou seja, at C50.

A resistncia caracterstica do concreto compresso determinada a partir dos

resultados de ensaios em corpos-de-prova cilndricos, de 15 cm de dimetro e 30 cm de altura,

moldados de acordo com a NBR 5738 [6], com a idade de 28 dias, com procedimento

estatstico de acordo com a NBR 5739 [7].

A resistncia do concreto trao indireta, fct,sp, e a resistncia trao na flexo, fct,f,

devem ser obtidas em ensaios realizados segundo a NBR 7222 [8] e a NBR 12142 [9],

respectivamente. A resistncia trao direta, fct, pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp ou 0,7

fct,f. Na falta de ensaios, o seu valor mdio ou caracterstico pode ser estimado atravs das

seguintes equaes, de acordo com a NBR 6118 (2003), item 8.2.5:

sendo, fct,m e fck expressos em megapascal.

Os fundamentos estabelecidos na NBR 6118 se aplicam aos concretos de massa

especfica normal, ou seja, concretos que depois de secos em estufa, tm massa especfica, c,

entre 2.000 kg/m e 2.800 kg/m. Nos casos em que a massa especfica real no conhecida,

pode-se considerar, para efeito de clculo, o valor de 2.400 kg/m para o concreto simples e

2.500 kg/m para o concreto armado. Se forem realizados testes para avaliar a massa

especfica do concreto simples, pode-se considerar a massa especfica do concreto armado

aquela do simples acrescida de 100 kg/m a 150 kg/m.

O coeficiente de dilatao trmica, para efeito de anlise estrutural, pode ser

admitido como sendo igual a 10-5/C.

21

O mdulo de elasticidade deve ser obtido segundo ensaio normalizado na NBR 8522

[10]. Quando no forem feitos ensaios, o mdulo de deformao longitudinal tangente inicial

na origem pode ser estimado usando a expresso definida no item 8.2.8 da NBR 6118:

Nas anlises elsticas de projeto, deve ser utilizado o mdulo de elasticidade secante,

especialmente na determinao de esforos solicitantes e verificaes dos estados limites em

servio, tal que:

O coeficiente de Poisson do concreto, assim como o mdulo de elasticidade

transversal, Gc, so estimados para valores de tenses de compresso menores que 0,5 fc e

tenses de trao menores que fct, tal que:

O diagrama tenso-deformao idealizado a ser usado nas anlises no estado limite

ltimo, para o concreto compresso, definido na figura 1, de acordo com a NBR 6118,

item 8.2.10.1:

Figura 1: Diagrama tenso-deformao idealizado para o concreto SANTOS,

S.H.C Apostila de Concreto Armado III UFRJ [11].

22

2.4 CARACTERSTICAS DOS AOS

A NBR 6118, em seu item 8.3.1, define que para as estruturas de concreto armado

deve ser utilizado ao classificado pela NBR 7480 com o valor caracterstico da resistncia de

escoamento nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60.

Para o clculo nos estados limite ltimos, considera-se o diagrama tenso-deformao

bilinear genrico para os aos, definido pela NBR 6118 em seu item 8.3.6. A figura 2 mostra

o diagrama simplificado para os aos.

Figura 2: Diagrama tenso-deformao para aos de armaduras passivas SANTOS,

S.H.C Apostila de Concreto Armado III UFRJ.

O patamar de escoamento bem definido e sem acrscimo de tenses aps a

deformao de escoamento. Este diagrama valido para intervalos de temperatura entre

-20C e 150C e pode ser aplicado para trao e compresso. Esse mesmo intervalo de

temperatura adotado como limitante para o uso do coeficiente de dilatao trmica dos aos

estabelecido pela NBR 6118 em 10-5/C.

Na NBR 6118 (2003), item 8.3.3, definida ainda que a massa especfica a ser

adotada para aos de armadura passiva de 7.850 kg/m.

Sempre que no existirem dados de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o

mdulo de elasticidade do ao pode ser admitido igual a 210 GPa, segundo a NBR 6118

(2003) , item 8.3.5.

23

2.5 ESTDIOS DE COMPORTAMENTO FLEXO

Os esforos numa estrutura so obtidos da anlise de um modelo estrutural, onde o

comportamento do material pressuposto (elstico, plstico, linear, no-linear). A dificuldade

de se estabelecer um modelo de anlise para as peas de concreto armado reside no fato de

que o comportamento flexo apresenta diferentes fases, isto , a rigidez flexo EI depende

da intensidade das solicitaes e da armadura da seo, que em geral so incgnitas do

problema.

O comportamento de um trecho de viga, de material homogneo, isotrpico e elstico-

linear, solicitado flexo pura, ilustrado na figura 3, idealizado pela Resistncia dos

Materiais atravs das seguintes hipteses:

- a hiptese de Bernoulli, ou da seo plana, que estabelece que a seo transversal

permanece plana e perpendicular ao eixo fletido;

- da lei de Navier, tem-se que a deformao longitudinal especfica de uma fibra

distante y da linha neutra dada por:

- da lei de Hooke, para o material elstico-linear com mdulo de Young, E, a tenso

normal desta fibra dada por:

- do equilbrio das tenses com as foras normais:

onde , conclui-se que a linha neutra passa pelo centride da

seo transversal, pois o momento esttico da seo em relao ao eixo z nulo.

- do equilbrio com o momento fletor M:

24

onde o momento de inrcia da seo em relao ao eixo z centroidal,

conclui-se que a relao momento-curvatura linear: .

Figura 3: Trecho de viga, material homogneo, isotrpico e elstico-linear, solicitada flexo pura BOLI, C.R Apostila de vigas em Concreto Armado UFRJ [12].

Para essa hiptese de viga, a posio da linha neutra definida exclusivamente pela

geometria da seo transversal, pois o material no fissurou ainda e o comportamento trao

e compresso do material o mesmo. A rigidez flexo EI uma constante, dada pelas

caractersticas geomtricas da seo transversal e pelo mdulo de elasticidade do material,

sendo seu valor independente da intensidade da solicitao. Portanto, para qualquer valor da

solicitao M, a curvatura diretamente determinada atravs da relao linear M-k:

k = M/ (EI). A partir da curvatura pode-se determinar as deformaes e as tenses.

As vigas em concreto armado tm comportamento no-linear, a rigidez EI no

constante, ao contrrio, ela depende da intensidade da solicitao e da armadura existente na

pea. medida que a solicitao aumenta so formadas fissuras no concreto tracionado,

mudando assim a inrcia (inrcia fissurada). O diagrama momento-curvatura que se obtm

para o carregamento progressivo de um trecho de viga em concreto armado com armadura

longitudinal de trao de rea As constante, tem o aspecto representado na figura 4.

Neste diagrama M-k so observadas 4 fases distintas de comportamento flexo ao

longo do carregamento. Em todas as fases, conhecidas como estdios de comportamento, a

25

hiptese da seo plana permanece vlida, porm, a posio da linha neutra e a distribuio

das tenses normais, de trao e compresso variam fase a fase.

Figura 4: Diagrama M-k na seo transversal da viga de concreto armado BOLI,

C.R Apostila de vigas em Concreto Armado UFRJ.

2.5.1 Estdio I

No Estdio I, . Para as pequenas deformaes decorrentes da baixa

intensidade da solicitao M, o comportamento do concreto e do ao pode ser admitido como

elstico-linear, tanto compresso como trao, pois se admite que o esforo no

ultrapassou a resistncia do material na fibra mais alongada. O comportamento no estdio I

o descrito pela Resistncia dos Materiais. Para , na fibra inferior, a mais alongada,

inicia-se a plastificao do concreto trao.

2.5.2 Estdio Ia

No Estdio Ia, . Esse estdio apresenta relao M-k no linear, com

plastificao do concreto trao. A relao no-linear pois com o surgimento das fissuras,

a inrcia no mais constante. A tenso de resistncia trao do concreto da ordem de

10% da resistncia compresso. A fissurao na parte tracionada do concreto no representa

a runa da pea, pois se a armadura for dimensionada adequadamente, essa pode substituir o

concreto tracionado do ponto de vista esttico.

Para M=Mrn o panorama de fissurao da viga tende a se estabilizar numa

configurao definitiva.

26

2.5.3 Estdio II

No Estdio II, . Os esforos de trao so absorvidos unicamente

pela armadura disposta na zona do concreto tracionado. Assim, usual se desprezar

totalmente a contribuio do concreto trao. O concreto compresso continua em regime

linear-elstico at que em M=Mu0, na fibra mais encurtada, inicia-se a plastificao

compresso do concreto.

2.5.4 Estdio III

No Estdio III, . A relao M-k no-linear, com plastificao

progressiva do concreto compresso. Em M=Mun, atinge-se a situao limite, com ruptura

da seo por compresso do concreto. Nesta fase, pode tambm ocorrer um alongamento

excessivo da armadura tracionada, o que , convencionalmente, considerado como uma

situao ltima da pea fletida.

Figura 5: Distribuio das tenses normais no concreto nos diversos estdios

BOLI, C.R Apostila de vigas em Concreto Armado UFRJ.

Em geral, o funcionamento das peas de concreto armado para as cargas de

servio se d no estdio II. Desta forma, nos clculos envolvendo a verificao dos estados

limites de servio, o funcionamento da seo suposto sob as hipteses do estdio II. Para a

verificao dos estados limites ltimos, considera-se o funcionamento da seo no estdio III,

tomando-se os valores de clculo para as solicitaes e para as resistncias dos materiais.

27

2.6 HIPTESES BSICAS NO DIMENSIONAMENTO FLEXO NO ESTADO LIMITE LTIMO

No estudo da capacidade resistente, so considerados os estados limites ltimos, para

os quais o comportamento da seo flexo admitido no estdio III, sob as seguintes

hipteses bsicas:

- as sees transversais se mantm planas aps a deformao (hipteses de Bernoulli e

Navier);

- a deformao das barras de ao admitida como igual deformao do concreto em

seu entorno;

- as tenses de trao no concreto normais seo transversal so desprezadas;

- as distribuies de tenses no concreto se fazem com o diagrama parbola-retngulo,

com a resistncia do concreto igual a 0,85 fcd. Este diagrama pode ser simplificado para um

diagrama retangular com profundidade igual a 0,8 x, sendo x a profundidade efetiva da linha

neutra, e tenso igual a 0,80 fcd ou 0,85 fcd, caso a largura da seo diminua ou no a partir da

linha neutra em direo borda mais comprimida, como mostrado na figura 6;

- os estados limites ltimos so caracterizados quando a distribuio de deformaes

na seo transversal atingirem uma das configuraes definidas nos diversos domnios de

dimensionamento compresso, trao e flexo simples ou composta, normal ou oblqua,

estabelecidos pela NBR 6118 (2003), como mostrado na figura 7.

Figura 6: Simplificao do diagrama parbola-retngulo para o concreto.

28

Figura 7: Domnios no estado limite ltimo de uma seo transversal - Figura 17.1 da

NBR 6118 (2003).

29

3 DIMENSIONAMENTO FLEXO COMPOSTA RETA

A flexo composta reta acontece quando se submete uma seo a um esforo normal e

a um nico momento atuante em um eixo coincidente com um eixo central principal de

inrcia dessa seo. Nos pilares circulares, como todos os eixos so eixos principais centrais

de inrcia, qualquer que seja a direo de atuao dos momentos, a sua resultante pode ser

obtida vetorialmente e ento recai-se num caso de flexo composta reta. Devido a esse fato,

era prtica usual projetar pilares circulares ou octogonais (para facilitar a forma) e, nesse caso,

o dimensionamento era feito para a seo do crculo circunscrito figura geomtrica, evitando

assim que o pilar estivesse submetido a um tipo de solicitao com momento fletor desviado

(flexo oblqua ou flexo desviada).

3.1 DOMNIOS DE DEFORMAES ESPECFICAS

O dimensionamento, ou verificao, para sees de concreto submetidas flexo

composta reta feito ao se percorrer todos os domnios de deformaes especficas no estado

limite ltimo. Durante a transio entre os domnios (trao simples, flexo composta com

trao, flexo simples, flexo composta com compresso e compresso simples) a

profundidade da linha neutra varia de - a +.

- Domnio 1:

- Domnio 2: 0

- Domnio 3 e 4: 0,259d

- Domnio 4a: d

- Domnio 5:

Para auxiliar a definio das equaes que regem o equilbrio na seo nos diversos

domnios, as figuras 8 e 9 mostram as notaes a serem utilizadas para definir todas as

variveis e constantes envolvidas.

30

Figura 8: Seo transversal notaes SANTOS, S.H.C Apostila de Concreto

Armado III UFRJ.

Figura 9: Seo longitudinal notaes SANTOS, S.H.C Apostila de Concreto

Armado III UFRJ.

Das figuras 8 e 9, tem-se:

- b e h largura e altura total da seo de concreto;

- As1 e As2 armaduras, mais prximas, respectivamente, da face inferior e superior da

seo;

- d e d distncias dos centros de gravidade das armaduras As1 e As2 s faces de

concreto mais prximas;

- - altura til da seo;

- - distncia entre centros de gravidade das armaduras As1 e As2 ;

- Asi e ti armadura genrica e sua respectiva distncia face inferior da seo;

31

- Nd e Md esforo normal de clculo e momento fletor de clculo referidos ao centro

de gravidade da seo retangular;

So definidas como positivas as foras e tenses normais de trao e os momentos que

tracionam as fibras inferiores da seo.

3.1.1 Equaes para o Domnio 1

O Domnio 1 corresponde s situaes de trao pura (trao simples), reta a, e s

situaes de trao composta com flexo em que as deformaes no concreto so todas

positivas. Como a resistncia concreto trao desprezada, as tenses no concreto so nulas.

Para essas situaes, apenas a armadura caso corretamente dimensionada, equilibra o par de

esforos solicitantes Nd e Md . Nessa situao, o estado limite se caracteriza pelo esgotamento

da capacidade de deformao especfica do ao (s = 10).

O domnio 1 definido pelas seguintes condies de deformao especfica (Figura

10):

onde, s1 e c, so as deformaes especficas da seo, respectivamente, aos nveis da

armadura mais inferior e da fibra correspondente face superior do concreto. Como no

existe regio comprimida de concreto, nesse domnio no faz sentido avaliar a profundidade

da linha neutra.

32

Figura 10: Esquema de deformaes no Domnio 1 SANTOS, S.H.C Apostila de

Concreto Armado III UFRJ.

A figura 11 mostra as relaes geomtricas para se obter as deformaes especficas

ao nvel da armadura genrica i:

Figura 11: Relaes geomtricas no Domnio 1 SANTOS, S.H.C Apostila de


Como no Domnio 1, s1 = 10, temos:

33

De acordo com o diagrama tenso-deformao dos aos, as tenses nas armaduras

sero:

A fora Fsi na armadura genrica i dada por:

O equilbrio entre foras externas aplicadas e foras internas leva aos esforos

externos equilibrantes:

e


O Domnio 2 corresponde a diversas situaes de flexo composta com trao, flexo

simples e flexo composta com compresso. Nesse domnio existem diversas condies de

equilbrio em que a parte superior da seo est comprimida e as armaduras superiores

encontram-se tracionadas ou comprimidas. O estado limite se caracteriza pelo esgotamento da

capacidade de deformao especfica do ao (s = 10). Na figura 12, tem-se o esquema das

deformaes na seo.



34

O Domnio 2 definido pelas seguintes condies de deformao especfica:

A linha neutra j se encontra dentro da seo e a sua profundidade pode ser obtida

atravs da seguinte relao:

Como, no Domnio 2, s1 = 10:

As tenses, e as deformaes especficas, nas diversas armaduras genricas podem ser

calculadas para a mesma expresso apresentada para o Domnio 1, observando-se que, neste

caso, c tem sinal negativo.

A fora de compresso Fc, resultante das tenses de compresso no concreto

determinada com a expresso a seguir, com o sinal negativo para representar a compresso:

Para o equilbrio de momentos necessrio definir a distncia do ponto de aplicao

da fora Fc face inferior da seo:

O equilbrio entre foras externas aplicadas e foras internas leva aos esforos

externos equilibrantes:

e


O Domnio 3 corresponde a diversas situaes de flexo simples e flexo composta

com compresso. Nesse Domnio existem diversas condies de equilbrio em que a parte

35

superior da seo est comprimida e as armaduras encontram-se tracionadas ou comprimidas.

O estado limite se caracteriza pelo esgotamento da capacidade de encurtamento do concreto,

suposto com sua mxima deformao especfica (c = -3,5). A deformao especfica do

ao na armadura mais inferior , no mnimo, igual deformao especfica no escoamento.


O clculo da profundidade da linha neutra pode ser realizado pelo mesmo

procedimento do Domnio 2, sendo que no Domnio 3, deve-se considerar que c = -3,5.

As expresses do Domnio 2 para o clculo das deformaes especficas no nvel da

armadura genrica i, de tenses e foras nas armaduras, da fora de compresso no concreto e

de equilbrio entre foras externas aplicadas e foras internas permanecem vlidas.

3.1.4 Equaes para os Domnios 4 e 4a

O Domnio 4 corresponde a diversas situaes de flexo simples e composta com

compresso. importante ressaltar que a transio entre os domnios 3 e 4 representa a

transio entre o campo das peas subarmadas para as peas superarmadas, sendo assim as

peas no limite da transio so ditas peas normalmente armadas. A ruptura se d de maneira

frgil, sem aviso (formao de fissuras), pelo esmagamento do concreto e o ao no est

trabalhando com a tenso de escoamento. Por esta razo, a NBR 6118 no permite a utilizao

do domnio 4 na flexo simples. Nesse Domnio existem diversas condies de equilbrio em

que a parte superior da seo est comprimida e as armaduras encontram-se tracionadas ou

comprimidas. O estado limite se caracteriza pelo esgotamento da capacidade de encurtamento

do concreto, suposto com sua mxima deformao especfica (c = -3,5). A deformao

especfica no ao na armadura mais inferior inferior de escoamento. O Domnio 4

definido pelas seguintes condies de deformao especfica:

36

As expresses do Domnio 2 para o clculo das deformaes especficas no nvel da

armadura genrica i, de tenses e foras nas armaduras, da fora de compresso no concreto e

de equilbrio entre foras externas aplicadas e foras internas permanecem vlidas.

O domnio 4a corresponde a uma transio matemtica entre os Domnios 4 e 5. O

concreto est comprimido, e a armadura inferior passa de um estado de trao para um estado

de compresso. A mudana da altura efetiva da seo de d para h provoca uma pequena

compresso na armadura inferior. Este caso pode ser tratado, conservadoramente, com as

expresses do Domnio 4.


O Domnio 5 corresponde a diversas situaes de flexo composta com compresso e

de compresso simples. Nesse Domnio existem diversas condies de equilbrio em que a

seo est totalmente comprimida, estando as armaduras tambm comprimidas.


Portanto:

sendo c,inf a deformao especfica na face inferior do concreto, devendo ser consideradas

ambas as deformaes com seus respectivos valores negativos. Na figura 13, tem-se o

esquema de deformaes na seo.

37



A linha neutra para as sees no domnio 5 pode ser obtida atravs da seguinte

relao:

A figura 14 mostra as relaes geomtricas para se obter as deformaes especficas

ao nvel da armadura genrica i.

Figura 14: Relaes geomtricas no Domnio 5 SANTOS, S.H.C Apostila de


38

As deformaes especficas no nvel da armadura genrica i so obtidas, por relaes

geomtricas, com o auxlio da figura acima:

Com o valor da profundidade da linha neutra conhecido, tem-se:

As expresses do Domnio 2 para o clculo de tenses e foras nas armaduras, da

fora de compresso no concreto e de equilbrio entre foras externas aplicadas e foras

internas permanecem vlidas.

39

3.2 PLANILHAS DE VERIFICAO

Com auxlio das equaes que definem o equilbrio das sees em todos os domnios

de deformaes especficas no estado limite ltimo, possvel ento fixar algumas das

variveis do problema, como as dimenses da seo transversal, a quantidade e disposio das

armaduras e as propriedades dos materiais, obtendo, para todos os Domnios, seus respectivos

pares de esforos resistentes. O procedimento descrito pode ser sistematizado atravs de

planilhas do tipo EXCEL.

Com os esforos resistentes definidos, pode-se proceder verificao da seo para os

pares de esforos atuantes. Caso os esforos atuantes se localizem dentro da zona de

segurana definida pelos esforos resistentes, a segurana garantida.

A figura 15 mostra a geometria da seo e as armaduras correspondentes que sero

verificadas.

Figura 15: Exemplo 1 - Seo para verificao.

A planilha EXCEL mostrada a seguir fornece, para cada linha correspondente s

diversas configuraes deformadas, a profundidade da linha neutra, as deformaes

especficas da face superior do concreto e das armaduras As1 e As2, e os pares de valores

resistentes Nd e Md, para armadura fornecida, As,dado e para As = 0. O grfico Curva de

Interao (Nd x Md) exprime os valores resistentes. A regio interna curva As,dado representa

a regio segura da seo. Caso o par de esforos solicitantes se situe fora da regio, a seo

dever ser redimensionada.

40

d'(m) 0,05 Ao CA50Ab (m) 0,6 d''(m) 0,05 fck (MPa) 20 fyk (kN/cm2) 50 y d () 2,070h (m) 0,3 d(m) 0,25 fcd (kN/cm2) 14286 Es (kN/cm2) 21000 fyd (kN/cm2) 43,48

Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m)1 5 0,05 6 11 162 5 0,25 7 12 173 8 13 184 9 14 195 10 15 20

As, total (cm)= 10Nd(kN) = -600,0 Md(kN.m) = 90,00

Nd (kN) Md (kN.m) Nd (kN) Md (kN.m)Domnio 1 10,00 10,00 10,00 43,48 43,48 435 0 0 0

s1 = 10 8,00 10,00 8,40 43,48 43,48 435 0 0 06,00 10,00 6,80 43,48 43,48 435 0 0 04,00 10,00 5,20 43,48 43,48 435 0 0 02,00 10,00 3,60 43,48 43,48 435 0 0 00,00 10,00 2,00 43,48 42,00 427 1 0 0

Domnio 2 0,012 -0,50 10,00 1,60 43,48 33,60 316 15 -69 10s1 = 10 0,023 -1,00 10,00 1,20 43,48 25,20 211 28 -132 19

0,033 -1,50 10,00 0,80 43,48 16,80 111 39 -190 260,042 -2,00 10,00 0,40 43,48 8,40 17 50 -243 320,050 -2,50 10,00 0,00 43,48 0,00 -74 60 -291 380,058 -3,00 10,00 -0,40 43,48 -8,40 -161 69 -336 430,065 -3,50 10,00 -0,80 43,48 -16,80 -244 77 -378 47

Domnio 3 0,065 -3,50 10,00 -0,80 43,48 -16,80 -244 77 -378 47c = 3,5 0,070 -3,50 9,00 -1,00 43,48 -21,00 -296 82 -408 50

0,076 -3,50 8,00 -1,20 43,48 -25,20 -352 87 -443 530,083 -3,50 7,00 -1,40 43,48 -29,40 -415 93 -486 570,092 -3,50 6,00 -1,60 43,48 -33,60 -487 99 -537 610,103 -3,50 5,00 -1,80 43,48 -37,80 -572 106 -600 650,117 -3,50 4,00 -2,00 43,48 -42,00 -673 113 -680 700,135 -3,50 3,00 -2,20 43,48 -43,48 -785 119 -785 750,157 -3,50 2,07 -2,39 43,48 -43,48 -916 123 -916 80

Domnio 4 0,157 -3,50 2,07 -2,39 43,48 -43,48 -916 123 -916 80c = 3,5 0,159 -3,50 2,00 -2,40 42,00 -43,48 -935 123 -927 80

0,175 -3,50 1,50 -2,50 31,50 -43,48 -1080 119 -1020 820,194 -3,50 1,00 -2,60 21,00 -43,48 -1246 114 -1133 820,219 -3,50 0,50 -2,70 10,50 -43,48 -1440 107 -1275 800,250 -3,50 0,00 -2,80 0,00 -43,48 -1675 95 -1457 73

Domnio 5 0,300 -3,50 -0,58 -2,92 -12,25 -43,48 -2027 68 -1749 52c = 2,0 0,343 -3,20 -0,87 -2,73 -18,20 -43,48 -2307 38 -1998 26

0,375 -2,90 -1,15 -2,55 -24,15 -43,48 -2524 10 -2186 00,375 -2,60 -1,43 -2,37 -30,10 -43,48 -2554 7 -2186 00,375 -2,30 -1,72 -2,18 -36,05 -43,48 -2583 4 -2186 00,375 -2,00 -2,00 -2,00 -42,00 -42,00 -2606 0 -2186 0

Seo Transversal Concreto

Disposio das Armaduras

Esforos Solicitantes

Domnios x (m) ec () es1 () es2 () s1 (kN/cm2) s2 (kN/cm2)As dado As = 0

0

20

40

60

80

100

120

140

3000 2500 2000 1500 1000 500 0 500 1000

Md(kN.m

)

Nd (kN)

CurvadeInterao(Nd xMd)

As=0

As,dado

Nd,Md

Figura 16: Exemplo 1 - Planilha para verificao de sees de concreto armado na

flexo composta reta.

Como para a seo e armadura definidas, os esforos atuantes se encontram

internamente curva de interao definida por As,dado, a seo est segura.

41

A Figura 17 apresenta o diagrama de interao para a mesma seo do exemplo

anterior, agora analisada com o programa NORMAL 1.0 [13]. Para a situao da flexo

composta reta, o par de valores calculado para cada deformada exato, sendo a nica

aproximao feita a considerao do diagrama retangular equivalente para o concreto

comprimido, conforme prescrito na NBR 6118 (2003).

O programa NORMAL 1.0 traa o diagrama de interao na flexo composta reta. Os

resultados do programa foram utilizados como mtodo de validao dos resultados obtidos

pela planilha desenvolvida neste trabalho.

Figura 17: Diagrama de Interao Nd x Md para flexo composta reta - NORMAL

1.0.

42

4 DIMENSIONAMENTO FLEXO COMPOSTA OBLQUA

A flexo composta oblqua ocorre em peas onde atuam simultaneamente um

carregamento axial e momentos fletores nas duas direes dos seus eixos principais de

inrcia. Qualquer momento que atue fora dos eixos principais de inrcia da pea pode ser

representado pelas suas componentes nos referidos eixos, ocasionando a flexo desviada

(oblqua).

4.1 CLCULO EXATO

A resoluo exata para o problema da flexo composta oblqua possvel atravs de

programas de computador ou por um processo iterativo bastante trabalhoso, em que se ajusta

por tentativas a posio da linha neutra e o ngulo por ela formado com os eixos X e Y, at

que essa posio fornea esforos resistentes nos materiais que equilibrem os esforos

solicitantes.

Tambm possvel resolver o dimensionamento flexo oblqua atravs dos bacos

de interao encontrados na literatura, como os bacos de Montoya ou os bacos de Pfeil [14].

As demonstraes e aprofundamentos sobre o clculo exato fogem do objetivo desse

trabalho.

4.2 VERIFICAO PELA FORMULAO APROXIMADA DA NBR 6118

A NBR 6118 (2003), no seu item 17.2.5.2, apresenta uma curva de interao

aproximada resistente para sees de concreto armado em situaes de flexo simples (N=0)

ou composta oblqua. A curva resistente obtida atravs da seguinte formulao aproximada:

Na verificao das sees de concreto, para garantir a segurana, deve-se ter:

43

onde:

MRd,x e MRd,y so as componentes do momento resistente de clculo em flexo

composta oblqua, segundo os dois eixos principais de inrcia x e y, da seo bruta, com um

esforo normal resistente de clculo NRd igual normal solicitante NSd;

MSd,x e MSd,y so as componentes do momento solicitante de clculo em flexo

composta oblqua, segundo os dois eixos principais de inrcia x e y, da seo bruta, com um

esforo normal igual NSd;

MRd,xx e MRd,yy so os momentos resistentes de clculo segundo cada um dos referidos

eixos em flexo composta normal, com o mesmo valor de NRd;

um expoente cujo valor depende de fatores como: valor da fora normal, geometria

da seo, arranjo da armadura e suas porcentagens. Para sees retangulares, pode-se adotar

= 1,2; para outras sees pode-se adotar a favor da segurana = 1,0.

4.3 AUTOMATIZAO DA VERIFICAO FLEXO OBLQUA PELA FORMULAO APROXIMADA DA NBR 6118

Como mostrado no item anterior, a NBR 6118 (2003) permite a verificao da flexo

composta oblqua atravs de dados obtidos da flexo composta reta para a seo em estudo e

os carregamentos atuantes (N, Mx e My).

No item 3.2 do captulo 3 deste trabalho, foi descrito o processo para a verificao da

flexo composta reta em planilhas automticas. O processo de automatizao da verificao

da flexo oblqua agora consiste em obter os valores dos momentos resistentes MRd,xx e MRd,yy,

para o valor de NRd, e com os dados dos esforos solicitantes MSd,x e MSd,y proceder

verificao da equao aproximada dada pela NBR 6118 (2003).

A automatizao do processo apresentada nesse trabalho feita atravs da associao

de duas planilhas distintas para verificar os momentos resistentes nas direes X e Y, que

dependem da geometria da seo, do arranjo e quantidade da armadura, das caractersticas dos

materiais e do esforo normal atuante. Como a automatizao objetiva verificar diversos

carregamentos para uma mesma seo, com armadura longitudinal j estabelecida, as curvas

resistentes so nicas, para cada direo.

44

As figuras 19 a 24 mostram a planilha de automatizao da verificao flexo

composta oblqua, para uma seo retangular (Figura 18), submetida a um conjunto de 20

carregamentos distintos. Os esforos solicitantes aplicados foram fornecidos mantendo o

esforo normal constante e variando somente os valores dos momentos fletores nas duas

direes. Isso foi feito para que a curva de interao aproximada na flexo oblqua fosse

nica. A planilha pode ser utilizada para quaisquer valores de esforos e para cada trio de

esforos sua curva de interao aproximada apresentada, bastando para isso selecionar o

nmero do carregamento para o qual se deseja obter o diagrama. A Figura 18 apresenta a

seo utilizada para verificao na planilha automtica.

Figura 18: Exemplo 2 Seo para verificao dimenses em cm.

A planilha de verificao foi dividida em trs partes (abas) distintas.

1 ABA ENTRADA DE DADOS E VERIFICAO

Esta aba contm a entrada de dados, CAMPO 1 (Figura 19), onde so fornecidas a

geometria da seo, as propriedades dos materiais e o arranjo das armaduras para as direes

X e Y. Logo abaixo situado o campo onde so fornecidos os carregamentos atuantes,

CAMPO 2 (Figura 20). Ao lado dos carregamentos atuantes podem ser vistos os respectivos

momentos resistentes, obtidos de uma interpolao dos momentos superiores e inferiores

45

apresentados no CAMPO 3 (Figura 21), e a verificao da expresso de interao aproximada

da NBR 6118 (2003). No CAMPO 3, so mostrados os esforos normais e os momentos

fletores superiores e inferiores para cada carregamento, obtidos a partir de uma pesquisa

realizada atravs de formulas lgicas pela planilha nas duas abas seguintes. A ltima regio da

primeira parte da planilha, CAMPO 4 (Figura 22), apresenta a curva de interao aproximada

para o carregamento selecionado.


Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m)1 6,15 0,05 6 11 162 6,15 0,25 7 12 173 8 13 184 9 14 195 10 15 20


Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m)1 2,46 0,05 6 11 162 2,46 0,55 7 12 173 2,46 0,175 8 13 184 2,46 0,3 9 14 195 2,46 0,425 10 15 20

CAMPO 1

Mx

My





Figura 19: Exemplo 2 - Planilha para verificao de sees de concreto armado na flexo

composta oblqua ENTRADA DE DADOS E VERIFICAO CAMPO 1.

N carreg Nsd (kN) Msd X (kN.m) Msd Y (kN.m) M rd XX (kN.m) M rd YY (kN.m) (Msd X/ Mrd XX)1,2 (Msd Y/ Mrd YY)1,2 SOMA Verificao1 -100,00 5,00 0,00 72,47 151,38 0,04 0,00 0,04 OK2 -100,00 0,00 5,00 72,47 151,38 0,00 0,02 0,02 OK3 -100,00 5,00 75,00 72,47 151,38 0,04 0,43 0,47 OK4 -100,00 50,00 100,00 72,47 151,38 0,64 0,61 1,25 NO PASSA5 -100,00 15,00 10,00 72,47 151,38 0,15 0,04 0,19 OK6 -100,00 25,00 100,00 72,47 151,38 0,28 0,61 0,89 OK7 -100,00 10,00 30,00 72,47 151,38 0,09 0,14 0,24 OK8 -100,00 15,00 90,00 72,47 151,38 0,15 0,54 0,69 OK9 -100,00 45,00 90,00 72,47 151,38 0,56 0,54 1,10 NO PASSA

10 -100,00 40,00 0,00 72,47 151,38 0,49 0,00 0,49 OK11 -100,00 5,00 130,00 72,47 151,38 0,04 0,83 0,87 OK12 -100,00 20,00 40,00 72,47 151,38 0,21 0,20 0,42 OK13 -100,00 32,00 20,00 72,47 151,38 0,37 0,09 0,46 OK14 -100,00 10,00 120,00 72,47 151,38 0,09 0,76 0,85 OK15 -100,00 80,00 57,00 72,47 151,38 1,13 0,31 1,44 NO PASSA16 -100,00 60,00 10,00 72,47 151,38 0,80 0,04 0,84 OK17 -100,00 40,00 50,00 72,47 151,38 0,49 0,26 0,75 OK18 -100,00 50,00 45,00 72,47 151,38 0,64 0,23 0,87 OK19 -100,00 70,00 70,00 72,47 151,38 0,96 0,40 1,36 NO PASSA20 -100,00 20,00 70,00 72,47 151,38 0,21 0,40 0,61 OK

CAMPO 2



46

Nrd sup (kN) Nrd inf (kN) Mrd XX sup (kN.m) Mrd XX inf (kN.m) Nrd sup (kN) Nrd inf (kN) Mrd YY sup (kN.m) Mrd YY inf (kN.m)-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44-120,53 -24,04 74,58 64,62 -160,55 -84,24 162,68 148,44

CAMPO 3

Interpolao para obter os momentos resistentes nas direes X e YX Y



CAMPO 4


composta oblqua CURVA DE INTERAO MRdx x MRdy CAMPO 4.

47

2 ABA Mx

Esta aba consiste em uma planilha de verificao de flexo composta reta para a

direo do momento Mx (Figura 23). Nessa aba no necessrio o fornecimento de nenhum

dado e os valores dos momentos resistentes MRd,xx so calculados para todas as situaes de

deformaes especficas percorridas pela seo. Atravs dessa aba e do esforo normal

atuante, o CAMPO 3 obtm os valores dos esforos normais e momentos superiores e

inferiores, para cada carregamento, na direo X.

48


Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m)1 6,15 0,05 6 0 0 11 0 0 16 0 02 6,15 0,25 7 0 0 12 0 0 17 0 03 0 0 8 0 0 13 0 0 18 0 04 0 0 9 0 0 14 0 0 19 0 05 0 0 10 0 0 15 0 0 20 0 0

As, total (cm) = 12,3


s1 = 10 8,00 10,00 8,40 43,48 43,48 535 0 0 06,00 10,00 6,80 43,48 43,48 535 0 0 04,00 10,00 5,20 43,48 43,48 535 0 0 02,00 10,00 3,60 43,48 43,48 535 0 0 00,00 10,00 2,00 43,48 42,00 526 1 0 0

Domnio 2 0,012 -0,50 10,00 1,60 43,48 33,60 405 16 -69 10s1 = 10 0,023 -1,00 10,00 1,20 43,48 25,20 290 30 -132 19

0,033 -1,50 10,00 0,80 43,48 16,80 181 42 -190 260,042 -2,00 10,00 0,40 43,48 8,40 76 54 -243 320,050 -2,50 10,00 0,00 43,48 0,00 -24 65 -291 380,058 -3,00 10,00 -0,40 43,48 -8,40 -121 75 -336 430,065 -3,50 10,00 -0,80 43,48 -16,80 -214 84 -378 47

Domnio 3 0,065 -3,50 10,00 -0,80 43,48 -16,80 -214 84 -378 47c = 3,5 0,070 -3,50 9,00 -1,00 43,48 -21,00 -270 89 -408 50

0,076 -3,50 8,00 -1,20 43,48 -25,20 -331 95 -443 530,083 -3,50 7,00 -1,40 43,48 -29,40 -399 101 -486 570,092 -3,50 6,00 -1,60 43,48 -33,60 -476 108 -537 610,103 -3,50 5,00 -1,80 43,48 -37,80 -565 115 -600 650,117 -3,50 4,00 -2,00 43,48 -42,00 -671 123 -680 700,135 -3,50 3,00 -2,20 43,48 -43,48 -785 129 -785 750,157 -3,50 2,07 -2,39 43,48 -43,48 -916 133 -916 80

Domnio 4 0,157 -3,50 2,07 -2,39 43,48 -43,48 -916 133 -916 80c = 3,5 0,159 -3,50 2,00 -2,40 42,00 -43,48 -936 133 -927 80

0,175 -3,50 1,50 -2,50 31,50 -43,48 -1094 128 -1020 820,194 -3,50 1,00 -2,60 21,00 -43,48 -1272 122 -1133 820,219 -3,50 0,50 -2,70 10,50 -43,48 -1478 113 -1275 800,250 -3,50 0,00 -2,80 0,00 -43,48 -1725 100 -1457 73

Domnio 5 0,300 -3,50 -0,58 -2,92 -12,25 -43,48 -2091 72 -1749 52c = 2,0 0,343 -3,20 -0,87 -2,73 -18,20 -43,48 -2378 41 -1998 26

0,375 -2,90 -1,15 -2,55 -24,15 -43,48 -2602 12 -2186 00,375 -2,60 -1,43 -2,37 -30,10 -43,48 -2638 8 -2186 00,375 -2,30 -1,72 -2,18 -36,05 -43,48 -2675 5 -2186 00,375 -2,00 -2,00 -2,00 -42,00 -42,00 -2702 0 -2186 0

s1 (kN/cm2)Domnios s2 (kN/cm2)As dado As = 0

Seo Transversal


Concreto

x (m) ec () es1 () es2 ()

20

0

20

40

60

80

100

120

140

3000 2500 2000 1500 1000 500 0 500 1000

Md(kN.m

)

Nd (kN)


As=0

As,dado

Nd,Md


composta oblqua Mx.

49

3 ABA My

A aba My (Figura 24), tem a mesma funo da anterior, porm os dados obtidos so

relativos direo Y.


Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m) Camadas Asi (cm2) ti (m)1 2,46 0,05 6 0 0 11 0 0 16 0 02 2,46 0,55 7 0 0 12 0 0 17 0 03 2,46 0,175 8 0 0 13 0 0 18 0 04 2,46 0,3 9 0 0 14 0 0 19 0 05 2,46 0,425 10 0 0 15 0 0 20 0 0

As, total (cm) = 12,3


s1 = 10 8,00 10,00 8,18 43,48 43,48 535 0 0 06,00 10,00 6,36 43,48 43,48 535 0 0 04,00 10,00 4,55 43,48 43,48 535 0 0 02,00 10,00 2,73 43,48 43,48 535 0 0 00,00 10,00 0,91 43,48 19,09 475 15 0 0

Domnio 2 0,026 -0,50 10,00 0,45 43,48 9,55 375 43 -76 22s1 = 10 0,050 -1,00 10,00 0,00 43,48 0,00 282 68 -146 41

0,072 -1,50 10,00 -0,45 43,48 -9,55 195 89 -209 570,092 -2,00 10,00 -0,91 43,48 -19,09 101 110 -267 700,110 -2,50 10,00 -1,36 43,48 -28,64 6 130 -321 820,127 -3,00 10,00 -1,82 43,48 -38,18 -84 148 -370 920,143 -3,50 10,00 -2,27 43,48 -43,48 -161 163 -416 101

Domnio 3 0,143 -3,50 10,00 -2,27 43,48 -43,48 -161 163 -416 101c = 3,5 0,154 -3,50 9,00 -2,36 43,48 -43,48 -210 171 -449 107

0,167 -3,50 8,00 -2,45 43,48 -43,48 -266 180 -488 1140,183 -3,50 7,00 -2,55 43,48 -43,48 -329 189 -534 1210,203 -3,50 6,00 -2,64 43,48 -43,48 -421 199 -591 1290,226 -3,50 5,00 -2,73 43,48 -43,48 -535 210 -660 1380,257 -3,50 4,00 -2,82 43,48 -43,48 -668 222 -748 1480,296 -3,50 3,00 -2,91 43,48 -43,48 -856 229 -863 1570,346 -3,50 2,07 -2,99 43,48 -43,48 -1079 233 -1007 163

Domnio 4 0,346 -3,50 2,07 -2,99 43,48 -43,48 -1079 233 -1007 163c = 3,5 0,350 -3,50 2,00 -3,00 42,00 -43,48 -1101 232 -1020 163

0,385 -3,50 1,50 -3,05 31,50 -43,48 -1271 225 -1122 1640,428 -3,50 1,00 -3,09 21,00 -43,48 -1464 214 -1247 1610,481 -3,50 0,50 -3,14 10,50 -43,48 -1680 195 -1403 1510,550 -3,50 0,00 -3,18 0,00 -43,48 -1940 163 -1603 128

Domnio 5 0,600 -3,50 -0,29 -3,21 -6,13 -43,48 -2121 135 -1749 105c = 2,0 0,686 -3,20 -0,63 -2,97 -13,30 -43,48 -2401 75 -1998 51

0,750 -2,90 -0,98 -2,73 -20,48 -43,48 -2619 18 -2186 00,750 -2,60 -1,32 -2,48 -27,65 -43,48 -2649 13 -2186 00,750 -2,30 -1,66 -2,24 -34,83 -43,48 -2679 7 -2186 00,750 -2,00 -2,00 -2,00 -42,00 -42,00 -2702 0 -2186 0



Domnios x (m) ec () es1 () es2 () s1 (kN/cm2) s2 (kN/cm2)As dado As = 0

50

0

50

100

150

200

250

3000 2500 2000 1500 1000 500 0 500 1000

Md(kN.m

)

Nd (kN)


As=0

As,dado

Nd,Md


composta oblqua My.

50

Para efeito de validao dos dados fornecidos pela planilha automtica foi gerado o

diagrama de interao no programa de computador OBLQUA [15]. O programa OBLQUA

gera os diagramas de interao atravs do mtodo exato. Na Figura 25 mostrado a entrada

de dados e o diagrama de interao para a mesma seo do Exemplo 2.

Figura 25: Verificao no programa OBLQUA.

Na figura 26 esto plotadas as curvas de interao pela formulao aproximada da

NBR 6118 e a obtida pelo programa OBLQUA.

51

Figura 26: Curvas de interao na flexo oblqua.

Pode-se observar que a curva obtida a partir da formulao aproximada apresenta

resultados mais conservadores que aqueles obtidos pela formulao exata. Percebe-se, assim,

que alguns casos de carregamentos que no passavam pela verificao da formulao

aproximada esto dentro da zona de segurana obtida pela curva exata.

A identificao dos esforos crticos facilmente feita atravs da planilha automtica

por meio da coluna que apresenta a soma das relaes entre os momentos atuantes e

resistente. Com o emprego do programa OBLQUA, no entanto, seria necessrio investigar

todos os 20 carregamentos, um a um, para verificar se os mesmos se encontram na zona de

segurana. Sendo assim, torna-se aconselhvel o uso das planilhas para verificar todos os

carregamentos e, caso algum apresente o valor da verificao aproximada maior que 1,0,

deve-se proceder verificao para esse caso de carregamento atravs da soluo exata.

52

5 APLICAO DA AUTOMATIZAO PARA A VERIFICAO FLEXO COMPOSTA OBLQUA DOS PILARES DE UM VIADUTO

A seguir apresentado um exemplo prtico de aplicao das tabelas automticas de

verificao da flexo composta oblqua pelo processo aproximado apresentado pela NBR

6118 (2003) para os pilares de um viaduto. Esse exemplo real evidencia a ocorrncia de um

nmero muito grande de casos de carregamentos para uma dada seo decorrentes da

considerao das combinaes dos vrios esforos atuantes transmitidos pela superestrutura.

A proposta de utilizao dessa planilha no tem a inteno de substituir o clculo

atravs do mtodo exato, porm contribui de maneira significativa frente s dificuldades de

realizao do clculo exato para casos de grande quantidade de carregamentos. Assim, a

planilha oferece como vantagens a simplicidade e a rapidez de utilizao quando h

necessidade de se garantir a segurana da seo em diferentes cenrios, tal como ocorre

diariamente nos escritrios de projetos.

5.1 DESCRIO DA ESTRUTURA

O viaduto apresentado a seguir insere-se em um trecho do traado horizontal que se

inicia em tangente, passa por um trecho em curva circular de raio igual a 75m prosseguindo

em tangente at o final do viaduto. O seu greide composto por duas rampas concordadas por

parbola simples com comprimento de 146,00m.

O sistema estrutural consiste em viga contnua de concreto protendido de cinco vos

de 25,0 m, 30,0 m, 36,0 m, 30,0 m e 25,0 m, respectivamente.

A seo transversal do viaduto estruturada por meio de viga unicelular de concreto

protendido com altura constante de 1,80m.

A transmisso das solicitaes da superestrutura para a mesosestrutura feita

mediante aparelhos de apoio em borracha de neoprene fretada, o que leva concluso que o

modelo adotado para dimensionamento dos pilares engastado na base e livre no topo.

53

As caractersticas longitudinais e transversais da obra so mostradas nas Figuras 27 a

29.

Figura 27: Esquema estrutural do viaduto.

Figura 28: Viaduto em Planta.

Figura 29: Seo transversal celular.

54

A mesoestrutura do viaduto composta por um nico pilar de concreto armado por

linha de apoio, em forma estilizada de atleta, de braos e pernas abertas sustentando o

viaduto. As figuras 30 e 31 mostram em esquema a forma para os pilares P1=P4 e P2=P3,

respectivamente, que sero verificados neste trabalho.

O corte longitudinal do pilar ilustrado na Figura 32.


55


56

Figura 32: Pilares corte longitudinal.

57

As sees de dimensionamento consideradas para os dois tipos de pilares do viaduto

so apresentadas nas Figuras 33 e 34.



58

5.2 HIPTESES DE DIMENSIONAMENTO

Os esforos atuantes no topo dos pilares so aqueles provenientes da superestrutura.

Para efetuar o dimensionamento dos pilares, devem ser obtidos todos os esforos atuantes

para as diversas posies que a carga mvel pode assumir ao longo do viaduto, pois cada

posio da carga mvel corresponde a esforos (N, ML e MT) distintos. Sendo assim, a seo

transversal do pilar pode ficar sujeita a diversas situaes de solicitaes, e no possvel

afirmar com antecedncia qual delas a dimensionante, ou seja, qual a que conduz a maior

armadura necessria.

Na prtica, para se proceder ao dimensionamento so adotadas as hipteses que

envolvem todas as situaes possveis de solicitaes nas sees dos pilares, isto , aquelas

que conduzem a valores extremos (mximos e mnimos) para cada um dos esforos seccionais

solicitantes no topo do pilar.

As hipteses consideradas foram aquelas onde a carga mvel se encontra nas posies

que despertam nos pilares os esforos normais mximos e mnimos, Nmax e Nmn, para a ponte

totalmente carregada e de momento transversal mximo, MTmax, para a ponte metade

carregada com seus esforos horizontais concomitantes. A hiptese de momento longitudinal

mximo, MLmax, s ocorre nos casos de pontes aporticadas, ou em pontes com superestrutura

composta por vrios trechos separados por juntas de dilatao, o que no existe no caso em

estudo. Os momentos longitudinais nas sees de dimensionamento so gerados pelas

excentricidades das foras normais e pelas foras horizontais. A figura 35 mostra o esquema

da posio da carga mvel para as hipteses de dimensionamento dos pilares.

59

Figura 35: Posies da Carga Mvel Apostila de Pontes III. Almeida, S.M.F. [16].

As trs hipteses de dimensionamento mostradas na figura 35 devem ser consideradas

com as cargas concentradas do trem-tipo em ambos os lados do tabuleiro, pois a ponte possui

trecho em curva e as reaes nos dois pontos de apoio de um mesmo pilar tm valores

diferentes. Conseqentemente o efeito do momento torsor deve ser considerado para os dois

casos. Para Nmn isso no se verifica, pois o carregamento das linhas de influncia para a

respectiva posio da carga mvel no produz efeitos de toro no pilar analisado.

Conclui-se que existem cinco hipteses de posio da carga mvel a serem

consideradas para o dimensionamento dos pilares.

5.3 COMBINAES DE CARREGAMENTOS

Como descrito no item 2.2.1.4, os carregamentos atuantes nas estruturas so definidos

pelas combinaes das aes. Os carregamentos normais nos pilares so aqueles provenientes

das reaes de apoio da superestrutura acrescido do peso prprio dos pilares (N). Os esforos

horizontais aplicados so aqueles devidos : ao do vento (V), frenagem ou acelerao dos

veculos (Fre), fora centrfuga (Fcentri), retrao, fluncia e variao de temperatura. Os

efeitos de retrao, fluncia e variao de temperatura do concreto sero avaliados por uma

variao de temperatura equivalente (Temp).

60

De acordo com o item 2.2.1.3 do captulo 2, as aes so afetadas de coeficientes de

ponderao que levam em conta a no ocorrncia simultnea de seus valores mximos.

Assim, as seguintes hipteses de combinaes dos carregamentos no estado limite ltimo

sero verificadas:

Portanto, h 16 combinaes de carregamento para cada uma das cinco hipteses de

posicionamento da carga mvel, o que leva a 80 situaes de carregamentos para cada seo.

61

5.4 RESUMO DOS ESFOROS SOLICITANTES NA SEO DE VERIFICAO S1=S2

Neste trabalho, somente ser realizada verificao da seo S1=S2, como

demonstrao do mtodo.

Para simplificao da execuo da obra, o detalhamento das sees S1=S2 de todos os

pilares foi feito com a mesma armadura. Uma anlise do traado em planta da obra e do

modelo de grelha indicaram que as sees S1 e S2 do pilar P4 esto submetidas aos mesmos

esforos normais e transversais advindos da superestrutura, levando a um nmero total de sete

sees (S1=S2) a serem verificadas.

Nota-se que, para sete sees, cada qual com 80 situaes de carregamentos, chega-se

a 560 trios de esforos (N, Mx e My) concomitantes para verificao. Segundo a NBR 6118

(2003), item 15.4.3, ainda necessrio verificar os esforos devidos aos momentos mnimos,

o que dobra o nmero de casos de carregamentos. Os momentos mnimos no sero

verificados no presente trabalho.

A tabela 6 apresenta os trios de esforos aplicados na seo S1 obtidos de modelo de

grelha do programa SALT-UFRJ [17]. O programa SALT-UFRJ um programa de anlise

estrutural, onde foi feito o modelo estrutural dos pilares.

62

Tabela 6: Esforos solicitantes na seo 1 (continua).

Ncarreg N(kN) ML(kN.m) MT(kN.m) Ncarreg N(kN) ML(kN.m) MT(kN.m) Ncarreg N(kN) ML(kN.m) MT(kN.m) Ncarreg N(kN) ML(kN.m) MT(kN.m)1 5531,89 1245,50 2146,95 29 2311,03 529,12 795,14 57 5502,03 1180,52 2451,49 85 3918,43 741,79 1807,962 5535,63 1200,22 2097,09 30 2314,29 499,41 751,77 58 5505,81 1163,47 2401,16 86 3914,19 715,15 1864,403 5536,21 1189,65 2089,39 31 2314,45 496,29 749,59 59 5506,39 1152,90 2393,46 87 3923,05 714,20 1746,504 5539,50 1412,40 2045,71 32 2311,97 582,03 782,63 60 5494,32 1373,50 2554,14 88 3916,74 799,40 1830,465 2351,15 756,27 710,45 33 6092,18 1106,67 2496,52 61 3918,24 958,79 1907,94 89 6152,01 1055,95 2590,606 2352,73 729,69 689,40 34 6096,37 1058,83 2440,67 62 3914,45 940,68 1958,27 90 6156,44 1035,58 2531,627 2354,20 720,06 669,74 35 6096,10 1052,51 2444,26 63 3922,67 931,17 1848,97 91 6156,17 1029,26 2535,228 2357,49 942,81 626,06 36 6093,17 1136,42 2483,29 64 3910,59 1151,78 2009,65 92 6150,31 1112,76 2613,199 4763,63 1137,95 1803,29 37 2662,72 582,48 966,68 65 4798,50 1082,02 2136,78 93 4382,25 808,19 2010,6710 4767,38 1092,67 1753,42 38 2666,88 555,09 911,29 66 4802,28 1064,98 2086,44 94 4377,82 786,57 2069,6511 4767,96 1082,09 1745,72 39 2666,61 548,77 914,89 67 4802,86 1054,40 2078,74 95 4386,88 781,56 1949,0512 4771,24 1304,84 1702,04 40 2663,68 632,69 953,92 68 4790,78 1275,01 2239,43 96 4381,02 865,06 2027,0213 1848,23 685,86 485,48 41 6174,25 1118,16 2533,23 69 3415,71 888,43 1683,14 97 6214,66 1064,73 2618,6314 1849,81 659,28 464,42 42 6178,45 1070,32 2477,38 70 3411,93 870,33 1733,48 98 6219,09 1044,35 2559,6515 1851,29 649,65 444,77 43 6178,18 1064,00 2480,97 71 3420,14 860,82 1624,17 99 6218,82 1038,03 2563,2516 1854,57 872,40 401,08 44 6175,24 1147,91 2520,00 72 3408,07 1081,42 1784,85 100 6212,96 1121,54 2641,2117 6911,98 1222,03 2858,82 45 2665,14 582,21 975,06 73 6856,60 1153,13 2919,59 101 4427,00 814,45 2030,6918 6916,00 1168,16 2805,34 46 2668,95 554,36 924,37 74 6860,84 1127,68 2863,15 102 4422,57 792,84 2089,6719 6915,93 1165,97 2806,25 47 2669,03 548,49 923,26 75 6860,78 1125,49 2864,05 103 4431,63 787,82 1969,0720 6913,45 1251,70 2839,29 48 2666,10 632,41 962,29 76 6854,47 1210,69 2948,01 104 4425,78 871,33 2047,0421 3012,83 627,37 1109,08 49 5134,11 1198,67 2144,45 77 4885,90 877,24 2240,75 105 5154,92 1143,17 2223,6422 3016,09 597,66 1065,71 50 5138,26 1151,30 2089,24 78 4881,66 850,60 2297,19 106 5159,22 1122,94 2166,4023 3016,26 594,54 1063,53 51 5133,81 1144,39 2148,51 79 4890,52 849,65 2179,28 107 5154,77 1116,03 2225,6724 3013,77 680,28 1096,57 52 5135,39 1380,38 2127,42 80 4884,21 934,85 2263,24 108 5153,18 1351,57 2246,7525 5346,69 1002,89 2158,61 53 2084,11 732,73 801,93 81 5502,14 963,51 2313,69 109 3669,39 935,20 1757,2526 5350,71 949,02 2105,14 54 2087,00 703,26 763,46 82 5506,38 938,06 2257,25 110 3665,09 913,76 1814,4927 5350,64 946,82 2106,04 55 2083,62 696,50 808,48 83 5506,31 935,86 2258,16 111 3669,55 908,10 1755,2228 5348,16 1032,56 2139,08 56 2085,20 932,49 787,40 84 5500,00 1021,06 2342,12 112 3667,96 1143,64 1776,30

Ncarreg N(kN) ML(kN.m) MT(kN.m) Ncarreg N(kN) ML(kN.m) MT(kN.m) Ncarreg N(kN) ML(kN.m) MT(kN.m) Ncarreg N(kN) ML(kN.m) MT(kN.m)113 5497,10 1240,63 2609,94 141 2288,41 525,95 1096,23 169 3505,25 961,77 1858,46 197 2980,07 622,78 1545,17114 5493,35 1194,30 2659,81 142 2285,15 495,33 1139,60 170 3501,50 915,44 1908,32 198 2976,81 592,16 1588,54115 5501,57 1184,79 2550,51 143 2293,77 493,40 1024,79 171 3500,92 904,70 1916,02 199 2976,64 589,00 1590,73116 5489,49 1405,40 2711,19 144 2287,47 578,60 1108,74 172 3497,64 1126,54 1959,70 200 2979,13 675,43 1557,68117 2313,60 751,01 1210,13 145 6071,77 1103,82 2768,08 173 1800,54 679,18 1120,16 201 4878,47 936,76 2373,82118 2312,02 723,99 1231,19 146 6067,58 1054,80 2823,94 174 1798,96 652,16 1141,22 202 4874,27 887,74 2429,67119 2319,33 715,18 1133,85 147 6076,64 1049,78 2703,34 175 1797,48 642,12 1160,88 203 4874,54 881,49 2426,08120 2307,26 935,78 1294,53 148 6070,78 1133,29 2781,31 176 1794,20 863,95 1204,56 204 4877,48 966,23 2387,05121 4728,84 1133,08 2266,28 149 2642,16 579,61 1240,26 177 4273,50 1069,33 2202,12 205 2634,97 578,60 1376,58122 4725,10 1086,75 2316,14 150 2638,00 551,05 1295,65 178 4269,75 1023,00 2251,99 206 2630,81 550,04 1431,97123 4733,31 1077,24 2206,84 151 2647,06 546,03 1175,05 179 4269,18 1012,26 2259,69 207 2631,08 543,80 1428,37124 4721,24 1297,84 2367,52 152 2641,20 629,54 1253,02 180 4265,89 1234,09 2303,37 208 2634,01 628,53 1389,34125 1810,68 680,60 985,16 153 6153,85 1115,31 2804,80 181 2303,46 749,59 1345,13 209 4796,40 925,27 2337,10126 1809,10 653,58 1006,22 154 6149,65 1066,29 2860,65 182 2301,88 722,57 1366,19 210 4792,20 876,25 2392,96127 1816,41 644,77 908,88 155 6158,71 1061,27 2740,06 183 2300,40 712,53 1385,85 211 4792,47 870,00 2389,36128 1804,34 865,37 1069,56 156 6152,85 1144,78 2818,03 184 2297,12 934,36 1429,53 212 4795,40 954,74 2350,33129 6890,93 1219,09 3138,95 157 2645,64 579,48 1234,52 185 4050,27 821,39 2007,76 213 2632,55 577,65 1368,20130 6886,92 1164,09 3192,42 158 2641,83 550,56 1285,21 186 4046,25 766,40 2061,24 214 2628,74 548,73 1418,89131 6895,77 1163,14 3074,52 159 2650,54 545,91 1169,32 187 4046,32 764,22 2060,33 215 2628,66 542,84 1420,00132 6889,47 1248,34 3158,48 160 2644,68 629,41 1247,29 188 4048,80 850,65 2027,29 216 2631,59 627,58 1380,97133 2990,21 624,20 1410,17 161 5114,69 1195,96 2402,98 189 2278,26 524,53 1231,23 217 3901,23 1026,07 1860,16134 2986,95 593,58 1453,54 162 5110,54 1147,42 2458,19 190 2275,00 493,91 1274,60 218 3897,08 977,53 1915,37135 2995,58 591,65 1338,73 163 5114,99 1141,76 2398,92 191 2274,84 490,75 1276,79 219 3901,54 971,87 1856,10136 2989,27 676,85 1422,68 164 5113,41 1377,30 2420,00 192 2277,32 577,18 1243,74 220 3899,95 1207,41 1877,18137 5325,64 999,95 2438,74 165 2067,09 730,35 1028,47 193 5615,56 1040,53 2707,97 221 2064,73 730,02 1027,41138 5321,62 944,95 2492,22 166 2064,20 700,07 1066,94 194 5611,54 985,54 2761,44 222 2061,83 699,74 1065,88139 5330,48 944,00 2374,31 167 2067,58 694,26 1021,92 195 5611,61 983,36 2760,54 223 2065,22 693,93 1020,86140 5324,17 1029,20 2458,27 168 2065,99 929,80 1043,00 196 5614,09 1069,79 2727,50 224 2063,63 929,47 1041,94

Ncarreg N(kN) ML(kN.m) MT(kN.m) Ncarreg N(kN) ML(kN.

monopol i 10007130

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