morphological scale-space operators 1. introduction

8/8/2019 Morphological Scale-space Operators 1. Introduction

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M O R P H O L O G I C A L S C A L E - S P A C E O P E R A T O R S

R E I N V A N D E N B O O M G A A R D

U n i v e r s i t y o f A m s t e r d a m , K r u i s l a a n 4 0 3 , 1 0 9 8 S J A m s t e r d a m , T h e

N e t h e r l a n d s

a n d

H E N K H E I J M A N S

C W I , P . O . B o x 9 4 0 7 9 , 1 0 9 0 G B A m s t e r d a m , T h e N e t h e r l a n d s

A b s t r a c t . T h i s p a p e r p r o p o s e s a g e n e r a l a l g e b r a i c c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e f o r i m a g e s c a l e -

s p a c e s . T h e b a s i c i d e a i s t o r s t d o w n s c a l e t h e i m a g e b y a f a c t o r t u s i n g a n i n v e r t i b l e s c a l i n g ,

t h e n a p p l y a n i m a g e o p e r a t o r a t a u n i t s c a l e , a n d n a l l y r e s i z e t h e i m a g e t o i t s o r i g i n a l s c a l e .

I t i s t h e n r e q u i r e d t h a t t h e r e s u l t i n g o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f i m a g e o p e r a t o r s s a t i s e s s o m e

s e m i g r o u p p r o p e r t y . I n t h i s p a p e r w e f o c u s o n t h e m o r p h o l o g i c a l e r o s i o n s . I n t h i s c a s e ,

c l a s s i c a l t o o l s f r o m c o n v e x a n a l y s i s p l a y a n i m p o r t a n t r o l e .

K e y w o r d s : C o n v e x f u n c t i o n s , E r o s i o n , I n m a l c o n v o l u t i o n , P a r a b o l i c s t r u c t u r i n g f u n c t i o n ,

S c a l e - S p a c e , S c a l i n g , S e m i g r o u p , S l o p e t r a n s f o r m , S u b p o l y n o m i a l f u n c t i o n s , Y o u n g F e n c h e l

c o n j u g a t e

1 . I n t r o d u c t i o n

S c a l e - s p a c e i s a n a c c e p t e d a n d o f t e n u s e d f o r m a l i s m i n i m a g e p r o c e s s i n g a n d

c o m p u t e r v i s i o n . T o d a y , t h i s f o r m a l i s m i s s o i m p o r t a n t b e c a u s e i t m a k e s t h e

c h o i c e a t w h a t s c a l e v i s u a l o b s e r v a t i o n s a r e t o b e m a d e e x p l i c i t . B e f o r e t h e

p o p u l a r i z a t i o n o f t h e s c a l e - s p a c e c o n c e p t , t h e c h o i c e f o r a n o b s e r v a t i o n s c a l e

w a s o f t e n h i d d e n s o m e w h e r e i n t h e d e n i t i o n o f t h e o p e r a t o r s .

T h e n o t i o n o f l i n e a r s c a l e - s p a c e h a s a v e r y l o n g h i s t o r y i n i m a g e p r o c e s s -

i n g 1 , 2 , 3 . W e i c k e r t e t . a l . 4 o n l y r e c e n t l y ` d i s c o v e r e d ' t h a t t h e c o n c e p t o f

l i n e a r G a u s s i a n s c a l e - s p a c e d a t e s b a c k t o t h e s i x t i e s .

I n m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y t h e n o t i o n o f s c a l e o r s i z e d e p e n d e n t o b s e r v a -

t i o n s w a s p i o n e e r e d b y M a t h e r o n 5 i n h i s s t u d y o f g r a n u l o m e t r i e s . J a c k w a y 6

a n d v a n d e n B o o m g a a r d 7 s h o w e d t h a t a m o r p h o l o g i c a l a n a l o g u e o f t h e G a u s -

s i a n l i n e a r s c a l e - s p a c e d o e s e x i s t : t h e p a r a b o l i c e r o s i o n s a n d d i l a t i o n s . V a n

d e n B o o m g a a r d a n d S m e u l d e r s 8 a l s o s h o w e d t h a t t h e m o r p h o l o g i c a l p a r a b o l i c

s c a l e - s p a c e i s t h e s o l u t i o n o f a p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n , j u s t l i k e t h e G a u s -

s i a n l i n e a r s c a l e - s p a c e i s t h e s o l u t i o n o f t h e d i u s i o n e q u a t i o n 2 .

I n t h i s p a p e r w e l o o k a t t h e d e n i t i o n o f s c a l e - s p a c e s f r o m a n a l g e b r a i c p o i n t

o f v i e w . L e t f b e t h e i m a g e a t s c a l e z e r o a n d l e t T s b e t h e o p e r a t o r s u c h t h a t

T s f i s t h e o b s e r v a t i o n a t s c a l e s . T h e f a m i l y o f o p e r a t o r s f T s g

s 0

i s c o l l e c -

t i v e l y k n o w n a s a s c a l e - s p a c e . T h e a t l a s p r i n c i p l e , i n t r o d u c e d b y K o e n d e r i n k

s t a t e s t h a t a s c a l e - s p a c e c a n b e b u i l d i n c r e m e n t a l l y , c a n b e m a t h e m a t i c a l l y

f o r m u l a t e d a s a s e m i g r o u p p r o p e r t y o f t h e o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f s c a l e - s p a c e


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2 R E I N V A N D E N B O O M G A A R D A N D H E N K H E I J M A N S

o p e r a t o r s T t .

W e w a n t o u r s c a l e - s p a c e o p e r a t o r t o b e a m a c r o s c o p i c o n e , i n t h e s e n s e

t h a t T t o n l y n e e d s t h e z e r o s c a l e i m a g e w i t h o u t t h e n e e d t o c a l c u l a t e a l l

i n t e r m e d i a t e i m a g e s T s f f o r s t . W e t h u s t a k e a q u i t e d i e r e n t a p p r o a c h

t o s c a l e - s p a c e a s t h e a p p r o a c h t h a t h a s s o e l e g a n t l y b e e n p u t f o r w a r d b y A l v a r e z

e t . a l . 9 w h o t a k e t h e e v o l u t i o n o f t h e z e r o s c a l e i m a g e m o d e l e d w i t h a p a r t i a l

d i e r e n t i a l e q u a t i o n t o b e t h e s t a r t i n g p o i n t . B y c o n c e n t r a t i n g o n t h e P D E

d e s c r i p t i o n o n e r u n s i n t o t h e r i s k o f d e n i n g a s e q u e n c e o f i m a g e s i n d e x e d

w i t h a c o n t i n u o u s ` t i m e ' p a r a m e t e r w h e r e t h e t i m e p a r a m e t e r c a n n o t b e l i n k e d

i n t u i t i v e l y w i t h t h e n o t i o n o f s c a l e .

I n t h i s p a p e r w e w i l l l o o k a t m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e o p e r a t o r s u s i n g c o n -

v e x s t r u c t u r i n g f u n c t i o n s . F o r t h i s c l a s s o f f u n c t i o n s c o n v e x f u n c t i o n t h e o r y

p r o v i d e s a v a l u a b l e t o o l i n t h e a n a l y s i s o f m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e o p e r -

a t o r s . T h i s p a p e r t h e r e f o r e c o n t a i n s a s h o r t i n t r o d u c t i o n t o c o n v e x f u n c t i o n

t h e o r y i n s e c t i o n 3 .

2 . S c a l i n g s , s e m i g r o u p s a n d s c a l e - s p a c e

I n t h e p r e s e n t e d a p p r o a c h t o t h e c o n s t r u c t i o n o f s c a l e - s p a c e o p e r a t o r s t h e s c a l e

a t w h i c h t h e o p e r a t o r s o b s e r v e t h e i m a g e i s e x p l i c i t l y c a p t u r e d i n a s c a l i n g

o p e r a t o r . T h e a c t u a l i m a g e p r o c e s s i n g o p e r a t o r w o r k s a t a x e d ` u n i t ' s c a l e .

I n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r t h e s c a l e t o b e r e p r e s e n t e d w i t h a p o s i t i v e r e a l s c a l a r

d e n o t e d a s t h e s e t T = 0 ; 1 .

D e n i t i o n 1 S c a l i n g A f a m i l y S =

fS t

jt 0

go f o p e r a t o r s o n

Li s

c a l l e d a s c a l i n g i f i S 1 = i d a n d i i S t S s = S t s f o r s ; t 0 .

A s c a l i n g t h u s f o r m s a c o m m u t a t i v e g r o u p w i t h i n v e r s e S t

, 1

= S 1 = t a n d

u n i t y e l e m e n t S 1 .

I n a s c a l e - s p a c e c o n s t r u c t i o n i t i s t h e o r d e r i n g o f s c a l e s t h a t i s m u c h m o r e

i m p o r t a n t t h a n t h e a c t u a l v a l u e . T h e s c a l e i s t h e f r e e p a r a m e t e r i n t h e s y s -

t e m a n d w e a r e t h u s f r e e t o r e p a r a m e t e r i z e t h e s c a l e a t w i l l a s l o n g a s t h e

r e p a r a m e t e r i z a t i o n p r e s e r v e s t h e o r d e r i n g o f t h e s c a l e v a l u e s .

D e n i t i o n 2 A n a m o r p h i c s c a l i n g s T w o s c a l i n g s S a n d S

0

a r e s a i d t o b e

a n a m o r p h i c i f t h e r e e x i s t s a n i n c r e a s i n g b i j e c t i o n o n T s u c h t h a t S t =

S

0

t f o r a l l t 2 T .

I t i s o b v i o u s t h a t s u c h a b i j e c t i o n m u s t s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s 1 = 1 a n d

s t = s t f o r s ; t 2 T : T h e m o s t i m p o r t a n t e x a m p l e i s g i v e n b y t = t

p

;

w h e r e p 0 .

I n t h i s p a p e r w e o n l y c o n s i d e r i m a g e s t h a t a r e m a p p i n g s f r o m t h e c o n t i n u o u s

p l a n e R

d

t o t h e r e a l v a l u e s

R R e x t e n d e d w i t h t h e v a l u e s + 1 a n d , 1 . T h i s

c o m p l e t e l a t t i c e o f i m a g e s i s d e n o t e d a s L = F u n R

d

;

R . T h e s c a l i n g s w e

w i l l l o o k a t a r e a c o m b i n a t i o n o f a s p a t i a l l y i s o t r o p i c s c a l i n g a n d a g r e y v a l u e

s c a l i n g :

D e n i t i o n 3 I m a g e s c a l i n g s T h e i m a g e s c a l i n g S

t : L ! L i s d e n e d

a s S

t f = t

1 ,

f

t

:


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M O R P H O L O G I C A L S C A L E - S P A C E O P E R A T O R S 3

F o r = 1 w e o b t a i n a p u r e s p a t i a l s c a l i n g w h e r e a s f o r = 0 w e o b t a i n a p u r e

g r e y v a l u e s c a l i n g . F o r =

1

2

t h e r e i s a p e r f e c t b a l a n c e b e t w e e n s p a t i a l s c a l i n g

a n d g r e y v a l u e s c a l i n g .

T h e a t l a s p r i n c i p l e i n t r o d u c e d b y K o e n d e r i n k 2 s t a t e s t h a t i t s h o u l d b e

p o s s i b l e t o b u i l d a s c a l e - s p a c e i n c r e m e n t a l l y . I f f d e n o t e s t h e ` z e r o s c a l e ' i m a g e ,

t h e i m a g e o b s e r v e d a t s c a l e s i s g i v e n a s T s f : O b s e r v i n g t h i s i m a g e a t s c a l e

t r e s u l t s i n T t T s f a n d a c c o r d i n g t o t h e a t l a s p r i n c i p l e w e s h o u l d h a v e t h a t

T s T t = T t T s = T r :

T h e a t l a s p r i n c i p l e c a n b e a s s o c i a t e d w i t h a c o m m u t a t i v e s e m i g r o u p d e -

s c r i b i n g t h e w a y i n w h i c h t h e s c a l e s c o m b i n e i n a c o m p o s i t i o n o f s c a l e - s p a c e

o p e r a t o r s . W e d e n e T s T t = T t T s = T s

_

+ t w h e r e

_

+ i s a b i n a r y o p e r -

a t i o n o n T t h a t i s a s s o c i a t i v e a n d c o m m u t a t i v e , i . e . T ;

_

+ i s a c o m m u t a t i v e

s e m i g r o u p . I n t h i s p a p e r w e o n l y c o n s i d e r a s p e c i a l c l a s s o f s c a l e s e m i g r o u p s

T ;

_

+ .

D e n i t i o n 4 +

- s c a l e s e m i g r o u p T h e b i n a r y o p e r a t o r +

: T ! T d e -

n e d b y s +

t = s

+ t

1

f o r m s a c o m m u t a t i v e s e m i g r o u p T ; +

f o r

0 1 .

F o r = 1 w e o b t a i n t h e s t a n d a r d a d d i t i v e s e m i g r o u p

T; + , w h e r e a s =

1 l e a d s t o t h e s u p r e m a l s e m i g r o u p T ; _ . W i t h i n t h e s c a l e - s p a c e c o n t e x t

t h i s c h o i c e f o r a s c a l e s e m i g r o u p h a s p a r t i c u l a r a d v a n t a g e s . I t i s e a s y t o s e e

t h a t s t s +

r t +

r f o r a n y x e d r , m e a n i n g t h a t t h e o r d e r i n g o f

s c a l e v a l u e s i s p r e s e r v e d w h e n w e p e r f o r m a s u b s e q u e n t o b s e r v a t i o n a t s c a l e r .

I n m o r p h o l o g i c a l t e r m s w e s a y t h a t +

i s a n i n c r e a s i n g o p e r a t o r i n b o t h i t s

a r g u m e n t s ; i n s e m i g r o u p t h e o r y t h e s e m i g r o u p s

T;

_

+ t h a t h a v e t h i s p r o p e r t y

a r e c a l l e d l i n e a r l y o r d e r e d . F u r t h e r m o r e i t i s e a s i l y s h o w n t h a t f o r n i t e

i . e . 1 a n y o b s e r v a t i o n a t s c a l e t f o l l o w i n g a n o b s e r v a t i o n a t s c a l e s w i l l

i n c r e a s e t h e s c a l e , i . e . s ; t s +

t . F o r t h e s u p r e m u m s e m i g r o u p w e o n l y h a v e

s ; t s +

1

t s h o w i n g t h a t t h e s c a l e d o e s n o t d e c r e a s e b y m a k i n g a n o b s e r v a t i o n

a t a n y n i t e s c a l e .

N o w w e a r e r e a d y t o g i v e a f o r m a l d e n i t i o n o f a s c a l e - s p a c e . I n o u r a p -

p r o a c h t h e s t a r t i n g a s s u m p t i o n i s t h a t t h e s c a l e - s p a c e i s a s e m i - g r o u p o f o p e r a -

t o r s o n t h e i m a g e s p a c e L u n d e r c o m p o s i t i o n , c o m p a t i b l e w i t h a g i v e n l i n e a r l y

o r d e r e d s e m i - g r o u p

_

+ o n t h e r a n g e o f s c a l e v a l u e s T a n d i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t

t o a g i v e n s c a l i n g S .

D e n i t i o n 5 S c a l e - s p a c e L e t T ;

_

+ ; b e a l i n e a r l y o r d e r e d s e m i g r o u p a n d

l e t S b e a s c a l i n g o n t h e i m a g e s p a c e L : T h e f a m i l y f T t g

t 0

o f o p e r a t o r s o n

L i s c a l l e d a n S ;

_

+ s c a l e - s p a c e i f :

T t T s = T t

_

+ s ; s ; t 0 ;

T t S t = S t T 1 ; t 0 :

A n a l t e r n a t i v e d e n i t i o n o f a s c a l e - s p a c e o p e r a t o r f o l l o w s e a s i l y f r o m t h e a b o v e

d e n i t i o n :

D e n i t i o n 6 S c a l e - s p a c e c o n s t r u c t i o n L e t T ;

_

+ ; b e a l i n e a r l y o r d e r e d

s e m i g r o u p , l e t b e a n i m a g e o p e r a t o r o n L ; a n d l e t S b e a s c a l i n g o n L : T h e


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f a m i l y f T t g

t 0

d e n e d w i t h T t = S t S t

, 1

, d e n e s a S ;

_

+ s c a l e - s p a c e

i f T t T s = T t

_

+ s ; s ; t 0 :

I n t h e b e g i n n i n g o f t h i s s e c t i o n w e d e n e d t h a t a n a m o r p h i c s c a l i n g s a r e e q u a l

u p t o a n o r d e r p r e s e r v i n g r e p a r a m e t e r i z a t i o n o f t h e s c a l e . I t c a n b e s h o w n 1 0

t h a t a n a m o r p h i c s c a l i n g s l e a d t o a n a m o r p h i c s c a l e - s p a c e s .

3 . C o n v e x a n a l y s i s a n d m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y

T h e m o r p h o l o g i c a l o p e r a t o r s t h a t w e w i l l b e l o o k i n g a t , a r e t h e c l a s s i c a l s t r u c -

t u r a l e r o s i o n s a n d d i l a t i o n s . T h e s e t L = F u n R

2

;

R i s a c o m p l e t e l a t t i c e

u n d e r t h e p o i n t w i s e o r d e r i n g . E v e r y t r a n s l a t i o n i n v a r i a n t a d j u n c t i o n o n L i s

o f t h e f o r m "

b

;

b

w i t h :

"

b

f x =

V

h 2 R

2

f x , h + b h 1

b

f x =

W

h 2 R

2

f x + h , b h : 2

I n t h e s e e x p r e s s i o n s , t h e f u n c t i o n b i s c a l l e d t h e s t r u c t u r i n g f u n c t i o n

1

. W e

w i l l a s s u m e t h r o u g h o u t t h i s p a p e r t h a t a s t r u c t u r i n g f u n c t i o n b i s l o w e r s e m i

c o n t i n u o u s a n d c o n v e x w i t h b , 1 . T h e e x p r e s s i o n f o r t h e e r o s i o n "

b

i s a

w e l l - k n o w n o p e r a t i o n i n c o n v e x f u n c t i o n a n a l y s i s , w h e r e i t i s k n o w n u n d e r t h e

n a m e i n m a l c o n v o l u t i o n a n d d e n o t e d b y f b . T h e d i l a t i o n

b

w i l l b e d e n o t e d

a s f b . O u r c h o i c e f o r t h e i n m u m c o n v o l u t i o n a s t h e e r o s i o n l e a d s t o s o m e

p r o p e r t i e s t h a t m a y l o o k a b i t a w k w a r d t o t h e s e a s o n e d m o r p h o l o g i s t . F o r

i n s t a n c e i t i s t h e e r o s i o n t h a t i s a s s o c i a t i v e a n d c o m m u t a t i v e i n t h i s a p p r o a c h ,

i . e . f b b

0

= f b b

0

a n d f b = b f w h e r e a s i n t h e c l a s s i c a l a p p r o a c h

b a s e d o n t h e M i n k o w s k i o p e r a t i o n s i t i s t h e d i l a t i o n t h a t h a s t h e s e p r o p e r t i e s .

T h i s s e c t i o n p r e s e n t s a b r i e f o v e r v i e w o f s o m e b a s i c r e s u l t s i n c o n v e x a n a l y s i s

t h a t p l a y a r o l e i n t h e s e q u e l ; r e f e r t o 1 1 f o r a c o m p r e h e n s i v e a c c o u n t .

D e n i t i o n 7 C o n v e x s e t s a n d c o n v e x f u n c t i o n s A s e t X R

d

i s c o n -

v e x i f t x + 1 , t y 2 X w h e n x ; y 2 X a n d 0 t 1 . A f u n c t i o n f : R

d

!

R

i s c o n v e x i f f t x + 1 , t y t f x + 1 , t f y ; f o r x ; y 2 R

d

a n d 0 t 1 .

I t c a n b e e a s i l y s h o w n t h a t t h e i n m a l c o n v o l u t i o n o f t w o c o n v e x f u n c t i o n s

y i e l d s a c o n v e x f u n c t i o n s e e 1 1 . C o n v e x i t y o f s e t s a n d o f f u n c t i o n s a r e

c o m p a t i b l e n o t i o n s ; l e t I

X

b e t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f a c o n v e x s e t X g i v e n b y

I

X

x = 0 f o r x

2X a n d I

X

x =

1f o r x =

2X ; t h e n I

X

i s a c o n v e x f u n c t i o n .

D e n i t i o n 8 S u b p o l y n o m i a l f u n c t i o n s A c o n v e x f u n c t i o n f i s c a l l e d s u b -

p o l y n o m i a l o f d e g r e e k w h e r e k 1 i f f t x = t

k

f x ; x 2 R

d

; t 0 : T h e f a m i l y

o f c o n v e x s u b p o l y n o m i a l f u n c t i o n s o f d e g r e e k i s d e n o t e d a s S P k .

S p e c i a l c a s e s w o r t h m e n t i o n i n g a r e t h e s u b p o l y n o m i a l f u n c t i o n s o f d e g r e e 1

t h a t a r e c a l l e d s u b l i n e a r a n d t h e s u b p o l y n o m i a l f u n c t i o n s o f d e g r e e

1b e i n g

1

T h e c l a s s i c a l s t r u c t u r a l e r o s i o n f a i s d e n e d a s f a x =

V

h 2 R

2

f x + h , a h

s h o w i n g t h a t f b = f

b ; w h e r e

b x = , b , x


5/8


i n d i c a t o r f u n c t i o n s o f c o n v e x s e t s . A n e x a m p l e o f a s u b l i n e a r f u n c t i o n i s t h e

s u p p o r t f u n c t i o n H

B

o f a s e t B d e n e d f o r x

2R

d

a s H

B

x = s u p

y 2 B

hx ; y

i.

I t i s n o t d i c u l t t o s h o w t h a t O 2 B i s e q u i v a l e n t w i t h H

B

x 0 f o r a l l

x

2R

d

. N o t o n l y i s t h e s u p p o r t f u n c t i o n s u b l i n e a r , b u t i t c a n a l s o b e s h o w n

t h a t a n y s u b l i n e a r f u n c t i o n i s t h e s u p p o r t f u n c t i o n o f s o m e c l o s e d c o n v e x s e t

B . F o r a d i s k B = f x j k x k 1 g t h e s u p p o r t f u n c t i o n i s t h e c o r r e s p o n d i n g

n o r m H

B

x = k x k .

I n c o n v e x f u n c t i o n a n a l y s i s t h e f u n c t i o n c o n j u g a t e b e i n g a d u a l r e p r e s e n -

t a t i o n o f a c o n v e x f u n c t i o n p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e . T h e c o n j u g a t e f u n c t i o n

i s a l s o k n o w n a s t h e F e n c h e l c o n j u g a t e , t h e Y o u n g - F e n c h e l c o n j u g a t e o r t h e

L e g e n d r e t r a n s f o r m .

D e n i t i o n 9 C o n j u g a t e f u n c t i o n T h e c o n j u g a t e f

o f a f u n c t i o n f : R

d

!

R i s d e n e d b y

f

= s u p

x 2 R

d

f h x ; i , f x g

C o n j u g a t i o n i n t h e c o n t e x t o f m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y h a s b e e n e m p h a s i z e d

b y D o r s t a n d v a n d e n B o o m g a a r d 1 2 a n d b y M a r a g o s 1 3 , w h o c a l l t h i s

o p e r a t i o n t h e m o r p h o l o g i c a l s l o p e t r a n s f o r m . R e f e r t o 1 4 f o r a s y s t e m a t i c

t r e a t m e n t o f t h e s l o p e t r a n s f o r m i n t h e c o m p l e t e l a t t i c e f r a m e w o r k . T o a

c e r t a i n e x t e n t t h e s l o p e t r a n s f o r m p l a y s a r o l e i n m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y

w h i c h i s s o m e w h a t c o m p a r a b l e t o t h e r o l e o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m i n l i n e a r

s i g n a l p r o c e s s i n g . T h i s i s m a i n l y b e c a u s e o f t h e f o l l o w i n g r e s u l t .

P r o p o s i t i o n 1 0 L e t f a n d g b e c o n v e x f u n c t i o n s , t h e n f g

= f

+ g

:

I n d i c a t o r f u n c t i o n s a n d s u p p o r t f u n c t i o n s a r e l i n k e d t h r o u g h c o n j u g a t i o n : i f B

i s a n o n e m p t y c l o s e d c o n v e x s e t , t h e n I

B

= H

B

a n d H

B

= I

B

.

F o r a n u m b e r k 2 1 ; 1 w e d e n e i t s r e c i p r o c a l k

t h r o u g h t h e r e l a t i o n :

1 = k + 1 = k

= 1 .

P r o p o s i t i o n 1 1 A f u n c t i o n f i s s u b p o l y n o m i a l o f d e g r e e k i f a n d o n l y i f i t s

c o n j u g a t e f

i s s u b p o l y n o m i a l o f d e g r e e k

.

I f k = 1 t h e n f i s s u b l i n e a r a n d t h e r e f o r e w e k n o w t h a t f = H

B

f o r s o m e c l o s e d

c o n v e x s e t B . B e c a u s e t h e c o n j u g a t e o f a s u p p o r t f u n c t i o n i s t h e i n d i c a t o r

f u n c t i o n o f t h e s a m e s e t w e h a v e f

= H

B

= I

B

2 S P 1 ; i . e . t h e c o n j u g a t e

o f a s u b l i n e a r f u n c t i o n i s a n s u b p o l y n o m i a l f u n c t i o n o f d e g r e e 1 :

4 . M o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e o p e r a t o r s

I n t h i s s e c t i o n w e a r e e x c l u s i v e l y c o n s e r v e d w i t h t h e c l a s s o f s c a l e - s p a c e o p -

e r a t o r s o n L = F u n R

d

;

R i n d u c e d b y t h e m o r p h o l o g i c a l s t r u c t u r a l e r o s i o n

"

b

f = f b . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y c o n c e n t r a t e o n t h e e r o s i o n s

o n l y , a s i t c a n b e s h o w n 1 0 t h a t i n c a s e " ; i s a n a d j u n c t i o n a n d T

"

d e n e s

a s c a l e - s p a c e t h e n T

d e n e s a s c a l e - s p a c e a s w e l l .


6/8


I n t h i s p a p e r w e w i l l r e s t r i c t o u r s e l v e s t o s c a l i n g s o f t h e f o r m S

t a s

d e n e d i n s e c t i o n 2 . A s t r a i g h t f o r w a r d c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t t h e s c a l i n g o f

t h e i m a g e s c o m p l e t e l y ` c a r r i e s o v e r ' t o t h e s c a l i n g o f t h e s t r u c t u r i n g f u n c t i o n

t h a t i s u s e d :

T

"

t f = f S

t b :

F o r T

"

t t o b e a s c a l e - s p a c e o p e r a t o r w e s h o u l d h a v e t h a t T

"

t T

"

s = T

"

s

_

+ t .

U s i n g a s s o c i a t i v i t y o f t h e e r o s i o n w e o b t a i n a s e m i g r o u p r e q u i r e m e n t o n t h e

f a m i l y o f s c a l e d s t r u c t u r i n g f u n c t i o n s S t b w i t h r e s p e c t t o t h e e r o s i o n o p e r a -

t o r : S

t b S

s b = S

s

_

+ t b : T a k i n g c o n j u g a t e s o n b o t h s i d e s w e a r r i v e

a t S

t b

+ S

s b

= S

s

_

+ t b

. T h e c o n j u g a t e o f a s c a l e d f u n c t i o n

S

t b e q u a l s t

1 ,

b

t

2 , 1

t h u s :

t

1 ,

b

t

2 , 1

+ s

1 ,

b

s

2 , 1

= s

_

+ t

1 ,

b

s

_

+ t

2 , 1

: 3

E r o s i o n s c a l e - s p a c e a n a l y s i s t h u s b o i l s d o w n t o t h e a n a l y s i s o f t h e a b o v e e q u a -

t i o n . W i t h o u t a n y a s s u m p t i o n o n b

o t h e r t h e n b , a n d t h u s b

b e i n g c o n v e x

w e c a n n o t i c e t h e s p e c i a l c a s e f o r =

1

2

, t h e n : t

1

2

b

+ s

1

2

b

= s

_

+ t

1

2

b

:

R e g a r d l e s s o f b

w e t h u s h a v e t h a t :

P r o p o s i t i o n 1 2 T h e e r o s i o n " f = f b w i t h b c o n v e x i n d u c e s a n S

1

2

; +

1

2

s c a l e - s p a c e .

T h e s c a l i n g S

1

2

t f i s a n a m o r p h i c w i t h t h e u m b r a l s c a l i n g U t f , w h e r e U t f =

t f = t w i t h t 0 ; m o r e p r e c i s e l y S

1

2

t = U

p

t . N o t i c e t h a t r e g a r d l e s s o f t h e

s t r u c t u r i n g f u n c t i o n b w e h a v e t h a t U t f b = U t

,

f U

1

t

b

s h o w i n g t h e

u m b r a l s c a l e i n v a r i a n c e o f t h e e r o s i o n . I t i s a w e l l - k n o w n r e s u l t f r o m c l a s s i c a l

m o r p h o l o g y t h a t u m b r a l s c a l e s a d d u p i n a s e q u e n c e o f e r o s i o n s d i l a t i o n s i f

a n d o n l y i f t h e s t r u c t u r i n g f u n c t i o n i s c o n v e x . F r o m t h i s p o i n t o f v i e w t h e

a b o v e p r o p o s i t i o n t e l l s u s l i t t l e n e w s .

T h e a l g e b r a i c f o r m o f t h e e q u a t i o n g o v e r n i n g e r o s i o n s c a l e - s p a c e e q . 3

s u g g e s t s t h a t c h o o s i n g a s u b p o l y n o m i a l f u n c t i o n m a y l e a d t o o t h e r t y p e s o f

e r o s i o n s c a l e - s p a c e s . A s s u m i n g t h a t b

2 S P k

w e m a y r e w r i t e e q . 3 :

t

1 , + k

2 , 1

b

+ s

1 , + k

2 , 1

b

= s

_

+ t

1 , + k

2 , 1

b

: 4

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e c a s e k

= 1 i . e . b 2 S P 1 h a s t o b e t r e a t e d

s e p a r a t e l y a s t h e a b o v e e q u a t i o n o n l y m a k e s s e n s e f o r k

1 ; i . e . k 1 . F i r s t

w e c o n c e n t r a t e o n n i t e k

. E q u a t i o n 4 s h o w s t h a t :

P r o p o s i t i o n 1 3 T h e e r o s i o n " f = f b w i t h b 2 S P k f o r k 1 i n d u c e s

a n S

; +

s c a l e - s p a c e i f = 1

, + k

2

,1 :

A w e l l - k n o w n e x a m p l e i n t h i s c l a s s o f e r o s i o n i n d u c e d s c a l e - s p a c e s a r e a s s o c i -

a t e d w i t h t h e q u a d r a t i c s t r u c t u r i n g f u n c t i o n s b

Q

x = h Q x ; x i w h e r e Q i s a

p o s i t i v e d e n i t e d i a g o n a l m a t r i x . T h e r e k = k

= 2 a n d t h u s " f = f b

Q

i n d u c e s a n S

; +

3 , 1

s c a l e - s p a c e i n c a s e

1

3

. T h e p a r a b o l i c m o r p h o l o g i c a l

s c a l e - s p a c e i s i l l u s t r a t e d i n g u r e 1 .


7/8


F i g . 1 . E r o s i o n s c a l e - s p a c e s . T h e t o p r o w s h o w s t h e p a r a b o l i c s c a l e s p a c e , t h e s e c o n d

r o w s h o w s a a t d i s k s c a l e - s p a c e . O n t h e l e f t i n b o t h r o w s t h e ` z e r o s c a l e i m a g e ' f i s s h o w n .

T h e f o u r o t h e r i m a g e s o n t h e t o p r o w s h o w t h e e r o s i o n f S

1

t b w h e r e b i s t h e p a r a b o l i c

f u n c t i o n b x = k x k

2

f o r t h e r s t r o w a n d b = I

B

w i t h B a d i s k o f r a d i u s 1 f o r t h e s e c o n d

r o w .

A n o t h e r e x a m p l e i s t h e c a s e k

= 1 ; i . e . k = 1 c o r r e s p o n d i n g w i t h b = I

B

f o r s o m e c o n v e x s e t B . T h e n w e h a v e = 1 , + 2 , 1 = . T h u s e r o s i o n s

u s i n g a t c o n v e x s t r u c t u r i n g f u n c t i o n s i n d u c e s c a l e - s p a c e s i r r e s p e c t i v e o f t h e

p a r a m e t e r d e n i n g t h e b a l a n c e b e t w e e n t h e s p a t i a l s c a l i n g a n d t h e g r e y v a l u e

s c a l i n g . F i g u r e 1 a l s o s h o w s a m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e i n d u c e d b y a a t

e r o s i o n u s i n g a d i s k s h a p e d s t r u c t u r i n g e l e m e n t .

T h e s p e c i a l c a s e t h a t k

= 1 i s e x t e n s i v e l y s t u d i e d i n 1 0 , h e r e w e o n l y

p r e s e n t a n i m p o r t a n t c a s e . T h e c a s e t h a t k

= 1 c o r r e s p o n d s w i t h a c o n v e x

i n d i c a t o r f u n c t i o n b

= I

B

w h e r e B i s a c o n v e x s e t . I n c a s e B c o n t a i n s t h e

o r i g i n w e m a y r e w r i t e e q u a t i o n 3 , l e a v i n g o u t t h e n i t e m u l t i p l i c a t i o n s o f t h e

f u n c t i o n s b

= I

B

a n d g e t I

B

t

2 , 1

+ I

B

s

2 , 1

= I

B

s

_

+ t

2 , 1

. N o t e

t h a t I

B

x = I

B =

x ; w h i c h a l l o w s u s t o r e w r i t e t h e a b o v e i n t o I

t

1 , 2

B

+

I

s

1 , 2

B

= I

s

_

+ t

1 , 2

B

: B e c a u s e I

X

+ I

Y

= I

X Y

w e n d I

t

1 , 2

B

+ I

s

1 , 2

B

=

I

t

1 , 2

s

1 , 2

B

. F o r 1 = 2 w e h a v e t

1 , 2

s

1 , 2

= t _ s

1 , 2

w h i c h l e a d s

t o s

_

+ t = s

_t : I n c a s e b

= I

B

; b = H

B

i . e . b i s t h e s u p p o r t f u n c t i o n o f a

c o n v e x s e t B c o n t a i n i n g t h e o r i g i n . S u m m a r i z i n g :

P r o p o s i t i o n 1 4 T h e e r o s i o n " f = f b w i t h b = H

B

w h e r e B i s c o n v e x s e t

c o n t a i n i n g t h e o r i g i n , i n d u c e s a n S

; _ s c a l e - s p a c e i f 1 = 2 .

T h e s c a l e - s p a c e o p e r a t o r i n t h i s c a s e i s T t f = f S

t b : N o t e t h a t S

t b x =

t

1 ,

b x = t

= t

1 , 2

b x : B e c a u s e 1 = 2 w e h a v e t h a t t

1 , 2

i s a d e c r e a s i n g

f u n c t i o n i n t : T h e e r o s i o n f H

B

r e s e m b l e s t h e b a n d - p a s s l t e r k n o w n f r o m

l i n e a r s i g n a l p r o c e s s i n g . T a k i n g t h e c o n j u g a t e o r s l o p e t r a n s f o r m w e o b t a i n

f H

B

= f

+ H

B

= f

+ I

B

w h i c h e q u a l s f

i f 2 B a n d 1 i f =2 B :

T h u s t h e e r o s i o n l t e r s o u t a l l s l o p e s t h a t l i e o u t s i d e B .


8/8


5 . C o n c l u s i o n s

I n t h i s p a p e r w e p r o p o s e d a n a l g e b r a i c c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e f o r m o r p h o l o g i c a l

s c a l e - s p a c e s i n d u c e d b y e r o s i o n s i n m a l c o n v o l u t i o n s u s i n g c o n v e x s t r u c t u r i n g

f u n c t i o n s . T h i s t e c h n i q u e i s a l s o v a l i d t o a n a l y z e t h e m o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e s

i n d u c e d b y o p e n i n g s a n d c l o s i n g s a n d e v e n t o a n a l y z e l i n e a r s c a l e - s p a c e s b a s e d

o n c o n v o l u t i o n s . A c o m p r e h e n s i v e a c c o u n t c a n b e f o u n d i n 1 0 .

I n t h i s p a p e r w e h a v e p r e s e n t e d a s h o r t o v e r v i e w o f s o m e r e s u l t s f r o m c o n v e x

f u n c t i o n t h e o r y . A n a l y s i s o f l i n e a r s c a l e - s p a c e o p e r a t o r s m a k e s h e a v i l y u s e o f

t h e F o u r i e r t r a n s f o r m . M o r p h o l o g i c a l o p e r a t o r s a l l o w f o r a s i m i l a r c h a n g e

i n r e p r e s e n t a t i o n t o f a c i l i t a t e t h e a n a l y s i s o f s c a l e - s p a c e o p e r a t o r s : t h e s l o p e

t r a n s f o r m o r c o n j u g a t e a s i t i s w e l l - k n o w n i n c o n v e x f u n c t i o n t h e o r y . U s i n g

r e s u l t s f r o m c o n v e x f u n c t i o n t h e o r y w e h a v e p r e s e n t e d s o m e o f t h e i m p o r t a n t

c l a s s e s o f m o r p h o l o g i c a l e r o s i o n s c a l e - s p a c e s .

A l l s t r u c t u r i n g f u n c t i o n s t h a t h a v e b e e n u s e d i n l i t e r a t u r e t o c o n s t r u c t m o r -

p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e s , r a n g i n g f r o m a t c o n v e x s t r u c t u r i n g f u n c t i o n s ` s e t s '

t o t h e p a r a b o l i c a n d q u a d r a t i c s t r u c t u r i n g f u n c t i o n s b e i n g t h e m o r p h o l o g i c a l

e q u i v a l e n t o f t h e G a u s s i a n f u n c t i o n , a r e m e m b e r o f t h e c l a s s o f s u b p o l y n o m i a l

f u n c t i o n s t h a t w e h a v e p r o p o s e d i n t h i s p a p e r .

R e f e r e n c e s

1 . A . W i t k i n . S c a l e s p a c e l t e r i n g . p a g e s 1 0 1 9 1 0 2 2 , P a l o A l t o , C a l i f o r n i a , 1 9 8 3 . M o r g a n -

K a u f m a n n .

2 . J . J . K o e n d e r i n k . T h e s t r u c t u r e o f i m a g e s . B i o l o g i c a l C y b e r n e t i c s , 5 0 : 3 6 3 3 7 0 , 1 9 8 4 .

3 . L . M . J . F l o r a c k . I m a g e S t r u c t u r e , v o l u m e 1 0 o f C o m p u t a t i o n a l I m a g i n g a n d V i s i o n

S e r i e s . K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s , D o r d r e c h t , 1 9 9 7 .

4 . J . W e i c k e r t , S . I s h i k a w a , a n d A . I m i y a . O n t h e h i s t o r y o f G a u s s i a n s c a l e - s p a c e a x -

i o m a t i c s . I n J . S p o r r i n g , M . N i e l s e n , L . F l o r a c k , a n d P . J o h a n s e n , e d i t o r s , G a u s s i a n

s c a l e - s p a c e t h e o r y , p a g e s 4 5 5 8 . K l u w e r , D o r d r e c h t , 1 9 9 7 .

5 . G . M a t h e r o n . R a n d o m S e t s a n d I n t e g r a l G e o m e t r y . J o h n W i l e y & S o n s , N e w Y o r k ,

1 9 7 5 .

6 . P . T . j a c k w a y . M o r p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e . I n P r o c e e d i n g s 1 1 t h I A P R I n t e r n a t i o n a l C o n -

f e r e n c e o n P a t t e r n R e c o g n i t i o n , p a g e s 2 5 2 2 5 5 . I E E E C o m p u t e r S o c i e t y P r e s s , 1 9 9 2 .

7 . R . v a n d e n B o o m g a a r d . M a t h e m a t i c a l M o r p h o l o g y : E x t e n s i o n s t o w a r d s C o m p u t e r

V i s i o n . P h D t h e s i s , U n i v e r s i t y o f A m s t e r d a m , 1 9 9 2 .

8 . R . v a n d e n B o o m g a a r d a n d A . S m e u l d e r s . T h e m o r p h o l o g i c a l s t r u c t u r e o f i m a g e s :

t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o f m o r p h o l o g i c a l s c a l e s p a c e . I E E E T r a n s a c t i o n s o n P a t t e r n

A n a l y s i s a n d M a c h i n e I n t e l l i g e n c e , 1 6 : 1 1 0 1 1 1 1 3 , 1 9 9 4 .

9 . L u i s A l v a r e z , F r e d e r i c G u i c h a r d , P i e r r e - L o u i s L i o n s , a n d J e a n - M i c h e l M o r e l . A x i o m s

a n d f u n d a m e n t a l e q u a t i o n s o f i m a g e p r o c e s s i n g . m u l t i s c a l e a n a l y s i s a n d p . d . e . . C . R .

A c a d . S c i . , P a r i s , S e r . I , 3 1 5 , N o . 2 . , 1 9 9 2 .

1 0 . H . J . A . M . H e i j m a n s a n d R . v . d . B o o m g a a r d . A l g e b r a i c c o n s t r u c t i o n o f l i n e a r a n d m o r -

p h o l o g i c a l s c a l e - s p a c e s . i n p r e p a r a t i o n , 1 9 9 9 .

1 1 . J . - B . H i r i a r t - U r r u t y a n d C . L e m a r e c h a l . C o n v e x A n a l y s i s a n d M i n i m i z a t i o n A l g o -

r i t h m s . P a r t s I a n d I I . S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 3 .

1 2 . L . D o r s t a n d R . v a n d e n B o o m g a a r d . M o r p h o l o g i c a l s i g n a l p r o c e s s i n g a n d t h e s l o p e

t r a n s f o r m . S i g n a l P r o c e s s i n g , 3 8 : 7 9 9 8 , 1 9 9 4 .

1 3 . P . M a r a g o s . M o r p h o l o g i c a l s y s t e m s : s l o p e t r a n s f o r m s a n d m a x - m i n d i e r e n c e a n d

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . S i g n a l P r o c e s s i n g , 3 8 : 5 7 7 7 , 1 9 9 4 .

1 4 . H . J . A . M . H e i j m a n s a n d P . M a r a g o s . L a t t i c e c a l c u l u s o f t h e m o r p h o l o g i c a l s l o p e

t r a n s f o r m . S i g n a l P r o c e s s i n g , 5 9 1 : 1 7 4 2 , 1 9 9 7 .

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