motion of a circular cylinder in a rectangular channel.pdf

8/10/2019 Motion of a circular cylinder in a rectangular channel.pdf

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U n i v . M i n e s , Z ~ m e S 6 r i e , I , 2 , 3 , 4 ( 1 8 8 8 ) .

2 . I . A . C h a r n y i , S u b t e r r a n e a n H y d r o d y n a m i c s [ i n R u s s i a n ] , G o s t e k h i z d a t , M o s c o w - - L e n i n g r a d

( 1 9 4 8 ) , p . 1 9 6 o

3 . I . A . C h a r n y i , T h e m e t h o d o f s u c c e s s i v e s t e a d y s t a t e s a n d i t s a p p l i c a t i o n t o p r o b l e m s

o f u n s t e a d y f l o w o f l i q u i d s a n d g a s e s i n p o r o u s m e d i a , I z v . A k a d . N a u k S S S R , O t d . T e k h .

N a u k , N o . 3 , 3 2 3 ( 1 9 4 9 ) .

4 . I . A . C h a r n y i , S u b t e r r a n e a n H y d r o g a s d y n a m i c s [ i n R u s s i a n ] , G o s t o p t e k h i z d a t , M o s c o w

( 1 9 6 3 ) , p . 3 9 6 .

5 . A . M . P i r v e r d y a n , S u b t e r r a n e a n O i l H y d r a u l i c s [ i n R u s s i a n ] ~ A z n e f t e i z d a t , B a k u ( 1 9 5 6 ) ,

p . 3 3 2 .

6 . S . V . V a s i l ' e v , I n j e c t i o n o f f l u i d i n t o a r e g i o n o f a r t i f i c i a l l y i n c r e a s e d p e r m e a b i l i t y

o f r o c k i n w h i c h t h e p e r m e a b i l i t y v a r i e s l i n e a r l y , T r . V s e s . N a u c h n o - I s s l e d . I n s t .

V o d o s n a b z h . K a n a l i z . G i d r o t e k h . S o o r u z h . I n z h . G i d r o g e o l . , N o . 4 8 , 5 3 ( 1 9 7 5 ) .

M O T I O N O F A C I R C U L A R C Y L I N D E R I N A R E C T A N G U L A R C H A N N E L

A . N . V a s i l ' e v a n d V . V . G o l u b e v

U D C 5 3 2 . 5 8 . 0 3 1

W h e n b o d i e s m o v e i n f l u i d s , t h e p a r a m e t e r s o f t h e i r m o t i o n d e p e n d s t r o n g l y

o n t h e i n t e r a c t i o n o f t h e b o d i e s w i t h t h e s u r r o u n d i n g f l u i d [ I , 2 ] . T h e

p r e s e n t p a p e r i s d e v o t e d t o d e t e r m i n a t i o n o f t h e h y d r o d y n a m i c f o r c e s t h a t

a c t o n a c y l i n d e r m o v i n g i n a n i n f i n i t e r e c t a n g u l a r c h a n n e l i n a n i d e a l

i n c o m p r e s s i b l e f l u i d t h a t i s a t r e s t .

i . F o r m u l a t i o n o f t h e P r o b l e m a n d D e t e r m i n a t i o n

o f t h e V e l o c i t y P o t e n t i a l

W e s h a l l s o l v e t h e t w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m o f t h e m o t i o n o f a c i r c u l a r c y l i n d e r

t h a t d o e s n o t t o u c h t h e w a l l s o f a s t r a i g h t c h a n n e l ( F i g . I ) . W e a s s u m e t h a t t h e d i s -

t u r b e d m o t i o n o f t h e f l u i d d u e t o t h e m o t i o n o f t h e c y l i n d e r h a s a r i s e n f r o m t h e s t a t e

o f r e s t . T h e n t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l ~ ( x , y ) o f t h e d i s t u r b e d m o t i o n o f t h e f l u i d

s a t i s f i e s t h e L a p l a c e e q u a t i o n a n d t h e f o l l o w i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s [ 3 ] i n t h e p h y s i c a l

r e g i o n D s i t u a t e d w i t h i n t h e s t r a i g h t c h a n n e l a n d o u t s i d e t h e c i r c l e ~ ( F i g . i ) t h a t

r e p r e s e n t s t h e c o n t o u r o f t h e c y l i n d e r i n t h e p l a n e ( x , y ) p e r p e n d i c u l a r t o i t s a x i s :

A ~ (x , y ) = O ( i . i )

r = ~ i c o s n , z ) + ~ c o s n , y )

( 1 . 2 )

=0; F ~ : y b~=O; I~2.

y--b2=O 1 .3 )

H e r e , n i s t h e d i r e c t i o n o f t h e n o r m a l ; u I a n d u 2 a r e t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s o f

t h e c y l i n d e r ; a n d F a n d F i a r e t h e b o u n d a r i e s o f t h e c y l i n d e r a n d t h e c h a n n e l .

W e p l a c e t h e o r i g i n o f a r e c t a n g u l a r C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m a t t h e c e n t e r o f

t h e c y l i n d e r . W e m a p t h e p h y s i c a l r e g i o n D o n t o a n a u x i l i a r y r e g i o n b y m e a n s o f t h e

m a p p i n g [ 4 ]

a 2 ~ z ~

x - - ; g ( 1 . 4 )

T h e r e g i o n D ' i s s i t u a t e d w i t h i n t h e c i r c l e F * : ~ 2 + r ~ 2 : a 2 w h i c h i s t h e i m a g e

o f F , a n d o u t s i d e t h e c i r c l e s ~ i , w h i c h a r e t h e i m a g e s o f t h e w a l l s F i :

F { * : ~ 2 + ~ ] - - 2 b i ] 4 b {

G o r ' k i i . T r a n s l a t e d f r o m I z v e s t i y a A k a d e m i i N a u k S S S R , ~ { e k h a n i k a Z h i d k o s t i i G a z a ~

N o . I , p p . 1 7 8 - 1 8 0 , J a n u a r y - F e b r u a r y , 1 9 8 3 . O r i g i n a l a r t i c l e s u b m i t t e d D e c e m b e r 2 2 , 1 9 8 0 .

0 0 1 5 - 4 6 2 8 / 8 3 / 1 8 0 1 - 0 1 5 1 5 0 7 . 5 0

( 9 1 9 8 3 P l e n u m P u b l i s h i n g C o r p o r a t i o n

1 5 1


2/3

Y

[ ( ( ( r

F i g . I

1

Z _b 4

F i g . 2

T h e b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m ( 1 . 1 ) - ( 1 . 3 1 i n D h a s t h e f o r m

[ ]

a ~ * C L ~ ) = o

( 1 . 5 )

a n J ~ { [ u ~( n 2 -~ 2 ) - 2 u 2~ n lc o s (n , ~ ) + [u 2 (~ 2 -n 2 ) -2 u ~ n lc o s ( n ,n ) } , x , y ) ~ r * ( 1 . 6 /

~ = 0 , r * ( i ~ 1 ,2 ) ( 1 . 7 )

T h e f i n d i n g o f t h e h a r m o n i c f u n c t i o n ~ p *( ~, r l ) f r o m t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 1 . 6 )

a n d (1 . 7 ) i n D r e d u c e s t o t h e f i n d i n g o f a m i n i m u m o f a f u n c t i o n a l [ 4 ] w i t h n a t u r a l

b o u n d a r y c o n d i t i o n s :

D F ~

W e d e t e r m i n e t h e c e l o c i t y p o t e n t i a l ~ * ( ~ , ~ ) i n D b y m e a n s o f R i t z s m e t h o d i n

t h e f o r m

m

i ~ 0 j ~ O

W e s u b s t i t u t e ( 1 . 9 ) i n ( 1 . 8 ) a n d d e t e r m i n e t h e c o e f f i c i e n t s A i j ( i , j = 0 , 1 )

f r o m t h e s y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n s

0 2 2

D i ~ i j ~ O . i ~ O

~ i

r i~0 j~0

M a k i n g t h e i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n , w e f i n d t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l ~ ( x , y ) i n t h e

p h y s i c a l r e g i o n D i n t h e f o r m

m

q ) ( x , y ) = Z Z . . ( l ) . ( : 0 . (

a 2x i a ~ y ~ ,

( 1 . 1 1 1

t ~

J~O

I f w e r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e f i r s t R i t z a p p r o x i m a t i o n i n ( 1 . 9 1 , w e o b t a i n t h e

v e l o c i t y p o t e n t i a l ( i . i i ) i n t h e f o r m

q t x ,Y ) ~ x a l + Y a 2 ) a 2 [ t

t a ~ 1 a 2 ) ] - i

4 b~ 4 b~ x2+ Y~ )

1 . 1 2 )

A s b i ~ , w e o b t a i n f r o m ( 1 . 1 2 ) a n e x a c t s o l u t i o n o f t h e h y d r o d y n a m i c p r o b l e m

o f m o t i o n o f a c y l i n d e r o f r a d i u s a i n a n u n b o u n d e d r e g i o n f i l l e d w i t h a n i d e a l i n c o m -

p r e s s i b l e f l u i d [ 5 ] .

2 . D e t e r m i n a t i o n o f t h e F o r c e s A c t i n g o n t h e C y l i n d e r

T h e k i n e t i c e n e r g y i n a l a y e r o f f l u i d o f u n i t h e i g h t i n t h e p r e s e n c e o f t h e m o v i n g

c y l i n d e r c a n b e d e t e r m i n e d b y m e a n s o f t h e e x p r e s s i o n [ 3]

1 5 2


3/3

y ) - ~ , d G 2 . 1 )

w h e r e ~ x , y ) i s d e t e r m i n e d f r o m 1 . 1 1 ) a n d i n 2 . 1 ) i s t h e b o u n d a r y v a l u e o f t h e v e l o c i t y

p o t e n t i a l o n t h e c y l i n d e r . W e d e t e r m i n e t h e v a l u e o f { D ~ / 3 n } o n t h e s u r f a c e o f t h e

c y l i n d e r f r o m t h e e x p r e s s i o n 1 . 2 ) . T h u s , 2 . 1 ) t a k e s t h e f o r m

~ ~ ~

2 T = p a Ai j u l+ Ai~ u2 ) [ x --~+ y - -x2+ y2 u ~ c o s O ~ + u z s i n O i ) d O i = ~epueup 2 . 2 )

i = O j ~ O e = i p ~ i

w h e r e p i s t h e d e n s i t y o f t h e f l u i d , a n d ~ e p e , p = 1 , 2 ) a r e t h e c o e f f i c i e n t s o f t h e

a d d e d m a s s e s .

F i g u r e 2 s h o w s t h e v a l u e s o f t h e c o e f f i c i e n t ~ 1 1 f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f t h e

d i s t a n c e s o f t h e c y l i n d e r f r o m t h e w a l l s o f t h e c h a n n e l b 1 = b 2 = b ) . I t c a n b e s e e n

f r o m F i g . 2 t h a t i n t h e l i m i t b i + c~ t h e c o e f f i c i e n t s o f t h e a d d e d m a s s e s t e n d t o t h e

v a l u e s o f t h e c o e f f i c i e n t s f o r m o t i o n o f a c y l i n d e r i n a n u n b o u n d e d r e g i o n [ 5 ] f i l l e d

w i t h a n i d e a l i n c o m p r e s s i b l e f l u i d a t r e s t .

L I T E R A T U R E C I T E D

i . V . Y u . M a z u r , " M o t i o n o f t w o c i r c u l a r c y l i n d e r s i n a n i d e a l f l u i d , " I z v . A k a d . N a u k

S S S R , M e k h . Z h i d k . G a z a , N o . 6 , 8 0 ( 1 9 7 0 ) .

2 . N . G . V a l ' e s , " V i b r a t i o n s o f a s y s t e m o f r o d s i n a f l u i d , " P r o b l . P r o c h n . , N o . i i ,

6 2 ( 1 9 7 8 ) .

3 . L . N . S e d o v , C o n t i n u u m M e c h a n i c s , V o l . 2 [ i n R u s s i a n ] , N a u k a , M o s c o w ( 1 9 7 3 ) , p . 5 8 4 .

4 . N . N . P a t a r a y a , " G e n e r a l i z a t i o n s o f v a r i a t i o n a l m e t h o d s f o r i n f i n i t e r e g i o n s a n d t h e i r

a p p l i c a t i o n t o p r o b l e m s o f t h e s i m u l t a n e o u s m o t i o n o f r i g i d b o d i e s i n f l u i d s , T r .

T b i l i s . U n i v . , 1 6 6 , 6 9 ( 1 9 7 6 ) .

5 . L . G . L o i t s y a n s k i i , M e c h a n i c s o f L i q u i d s a n d G a s e s [ i n R u s s i a n ] , N a u k a , M o s c o w ( 1 9 7 8 ) ,

p . 7 3 6 .

I N D U C E D M O T I O N S I N S H E A R F L O W S W I T H P I E C E W I S E

L I N E A R V E L O C I T Y P R O F I L E

A . B . E z e r s k i i U D C 5 3 2 . 5 9 3

W h e n w a v e p a c k e t s p r o p a g a t e i n l i q u i d s a n d g a s e s , t h e n o n l i n e a r i t y o f t h e m e d i a

c a n g i v e r i s e t o a v e r a g e , i n d u c e d f l o w s o f m a g n i t u d e p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e

w a v e a m p l i t u d e . S u c h m o t i o n s a r e t a k e n i n t o a c c o u n t i n t h e d e t e r m i n a t i o n o f m a s s t r a n s -

p o r t b y s u r f a c e a n d i n t e r n a l g r a v i t y w a v e s i n t h e o c e a n [ i ] , i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e

e n e r g y d e n s i t y , d i s s i p a t i o n r a t e , a n d e n e r g y b a l a n c e f o r w a v e s p r o p a g a t i n g i n s h e a r

f l o w s , a n d i n t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e g r o w t h r a t e o f t h e m o d u l a t i o n i n s t a b i l i t y o f

i n t e r n a l w a v e s i n a s t r a t i f i e d f l u i d [ 2 ] . H i t h e r t o , t h e s t r u c t u r e o f t h e f l o w s i n d u c e d

b y w a v e s h a s b e e n i n v e s t i g a t e d i n d e t a i l f o r t h e c a s e s w h e n t h e r e a r e n o s h e a r m o t i o n s

i n t h e m e d i u m [ 3 , 4 ] . T h e p r e s e n c e o f s h e a r m o t i o n s s i g n i f i c a n t l y i n f l u e n c e s t h e

e x c i t a t i o n o f t h e i n d u c e d f l o w s s i n c e e n e r g y c a n b e t r a n s f e r r e d b e t w e e n t h e w a v e a n d

t h e f l o w , w h i c h l e a d s t o t h e g e n e r a t i o n o f s p a t i a l l y i n h o m o g e n e o u s f l o w s a s s o c i a t e d

w i t h v a r i a t i o n o f t h e w a v e a m p l i t u d e . I n m a n y c a s e s , t h e v e l o c i t y p r o f i l e s o f t h e

r e a l f l o w s t h a t d e v e l o p i n a l a b o r a t o r y s i m u l a t i o n o f i n t e r n a l w a v e s i n i n c l i n e d c h u t e s

[ 5 ] , i n t h e f l o w o f s t r a t i f i e d f i l m s [ 6 ] , a n d i n t h e r o l l i n g o f l o n g w a v e s o n a s h a l l o w

s h o r e c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a p i e c e w i s e l i n e a r f u n c t i o n [ 7 ] .

I n t h e p r e s e n t p a p e r , w e c o n s i d e r f l o w s w i t h s u c h v e l o c i t y p r o f i l e s a n d d e t e r m i n e

t h e i n d u c e d m o t i o n s g e n e r a t e d b y t h e p r o p a g a t i o n o f w a v e p a c k e t s o f s m a l l b u t f i n i t e

a m p l i t u d e a n d a l s o t h e m a i n r e s u l t i n g e f f e c t s - - t h e m o d i f i e d i n s t a b i l i t y o f h a r m o n i c

w a v e s a n d t h e c h a n g e i n t h e m e a n l e v e l o f t h e f l u i d - - a s s o c i a t e d w i t h t h e e x c i t a t i o n o f

t h e i n d u c e d f l o w s b y a w a v e p a c k e t .

G o r ' k i i . T r a n s l a t e d f r o m I z v e s t i y a A k a d e m i i N a u k S S S R , M e k h a n i k a Z h i d k o s t i i G a z a ,

N o . I , p p . 1 8 0 - 1 8 4 , J a n u a r y - F e b r u a r y , 1 9 8 3 . O r i g i n a l a r t i c l e s u b m i t t e d M a r c h 9 , 1 9 8 1 .

0 0 1 5 - 4 6 2 8 / 8 3 / 1 8 0 1 - 0 1 5 3 5 0 7 . 5 0 9

9 83 P l e n u m P u b l i s h i n g C o r p o r a t i o n

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