Movimiento Armónico Simple

Concepto:

Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo actúa una fuerza que es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del cuerpo, se producirá un movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posición, por eso a estas fuerzas se les da el nombre de fuerzas de restitución, porque tratan siempre de restituir o llevar al cuerpo a su posición original de equilibrio. El movimiento que se produce es un ejemplo de lo que se llama movimiento periódico u oscilatorio.

El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de equilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza neta que actúa sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable, pequeños desplazamientos darán lugar a la aparición de una fuerza que tenderá a llevar a la partícula de vuelta hacia el punto de equilibrio. Tal fuerza se denomina fuerza restauradora.

Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada a un resorte, el movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de un instrumento musical, la rotación de la Tierra, las ondas electromagnéticas tales como ondas de luz y de radio, la corriente eléctrica en los circuitos de corriente alterna y muchísimos otros más.

Un tipo particular es el movimiento armónico simple. En este tipo de movimiento, un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales sin perder energía mecánica. Pero en los sistemas mecánicos reales, siempre se encuentran presente fuerzas de rozamiento, que disminuyen la energía mecánica a medida que transcurre el tiempo, en este caso las oscilaciones se llaman amortiguadas. Si se agrega una fuerza externa impulsora de tal manera que la pérdida de energía se equilibre con la energía de entrada, el movimiento se llama oscilación forzada.

En términos de la energía potencial, los puntos de equilibrio estable son los mínimos locales de la misma, y el movimiento oscilatorio tiene lugar en un entorno de un mínimo local.

Desde el punto de vista matemático un movimiento es oscilatorio si la ecuación diferencial que describe su movimiento es de la forma:

d2 xdt

+ω02. x=0 [1 ]

Con solución dada por:

x ( t )=A . sen (ω0 t + δ )

o bien,

x ( t )=A . cos( ω0 t + δ )

Ambas soluciones son válidas por la relación:

sen x = cos ( x− π2

)

Luego:

x ( t )=A . sen (ω0 t + δ )=A . cos( ω0 t + δ− π2

)=A . cos( ω0 t + δ ´ ')

Dónde:

δ '=δ− π2

Se Trabajara solo con la primera de estas, el trabajo con la segunda es análogo. De esta manera, tenemos:

Posición:

x ( t )=A . sen (ω0 t + δ )

Velocidad:

v ( t )=ω0A .cos (ω0 t + δ )=±ω0√ A2−x ( t )2

Aceleración:

a ( t )=−ω02 A . sen (ω0 t + δ )=−ω

02 . x ( t )

Energía

Cinética

K=12

m .v2=12

ω02 . A

2 . cos2 (ω0 t +δ )

Potencial:

U=12

ω02 . A

2 . sen2 (ω0 t +δ )

Mecánica

: E=K+U=1

2ω02 . A

2

Definición de algunos términos básicos:

Periodo (T): tiempo que tarda en producirse una oscilación.

Frecuencia (f): número de oscilaciones que se producen cada segundo.

Elongación, x(t): posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio (x=0). Amplitud (A): máxima elongación: máxima distancia de la partícula a la posición de equilibrio.

Frecuencia angular (ω):

ω=2πT

=2 π . f

Fase

(ωt+δ )

Fase inicial

(δ )

Se puede notar que cualquier movimiento armónico simple esta, bien definido cuando conocemos, su frecuencia o el periodo.

Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme.

Supongamos un móvil efectuando un movimiento armónico sobre el eje OX con amplitud A, mientras otro describe un movimiento circular de radio A. Los dos parten simultáneamente de la misma posición indicada en la figura y ambos tienen el mismo periodo:

Para el móvil que describe el movimiento armónico simple, obtendremos:

x ( t )=A . sen (ω0 t + δ )

v ( t )=ω0A .cos (ω0 t + δ )

a ( t )=−ω02 A . sen (ω0 t + δ )

Para el móvil que describe el movimiento circular uniforme, si nos fijamos en un punto cualquiera de su trayectoria, vendrá definido por un vector posición r(t):

r ( t )=x ( t ) i + y ( t ) j

Y obtendremos:

r ( t )=A . cos (ω0 t ) i+ A . sen(ω0 t ) j

v ( t )=−ω0 A . . sen( ω0 t ) i+ω0 A . cos (ω0 t ) j

a ( t )=−ω02

A . . cos( ω0 t ) i+ω02

A . sen( ω0 t ) j

Vemos que las componentes Xde estas magnitudes coinciden con las propias del movimiento armónico: el movimiento armónico simple puede considerarse como una proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro de la misma circunferencia.

Relación entre el movimiento armónico simple y el péndulo simple.

Supongamos que de un hilo de longitudl suspendemos una bolita de masa m, lo colgamos del techo y lo hacemos oscilar ligeramente respecto a su posición de equilibrio:

La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja a la bolita hacia la posición de equilibrio) es la componente tangencial del peso:

F=−mgsen θ

Si el ángulo que forma el hilo con la vertical es muy pequeño:

senθ≈θ≈ xl

En este caso podremos escribir:

ma=−mg . senθ≈−mgθ≈mgxl ;

De donde:

ma=−mgxl⇒a=−g

lx⇒ d2x

dt2+ g

lx=0⇒ω

02= g

l

De la ecuación [1]

Como:

ω=2πT

⇒ω2=(2 πT )

2

⇒( 2πT )

2

= gl⇒( T2π )

2

= lg

T2π

=√ lg

Por lo que se tiene que:

T=2π √ lg

Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento de un resorte.

Supongamos que a un resorte, de constante de elasticidad k, le sujetamos un objeto de masa m, lo estiramos o comprimimos una distancia x y lo hacemos oscilar ligeramente respecto a su posición de equilibrio:

La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja al objeto a su posición de equilibrio):

F=−kx

Si sumamos las fuerzas a lo largo de la línea de movimiento del resorte sobre la superficie, podremos escribir:

ma=−kx⇒a=− km

x ⇒ d2 xdt 2

=− km

x ⇒ d2 xdt 2

+ km

x=0⇒ω02= k

m

De la ecuación [1]

Como:

ω=2πT

⇒ω2=(2 πT )

2

⇒( 2πT )

2

= km

⇒( T2π )

2

=mk

T2π

=√ mk

Por lo que se tiene que:

T=2π √ mk

El periodo (T ) de un sistema vibratorio es el tiempo que requiere este para completar un ciclo o vibración completa. En el caso de la vibración, es el tiempo total para el movimiento combinado, hacia atrás y hacia delante, del sistema. El periodo es el número de segundos por ciclo.

La frecuencia( f ) es el número de vibraciones que se realizan en la unidad de tiempo o el

número de ciclos por segundo. Como (T ) es el tiempo de vibración, f =1/ t . La unidad de frecuencia es el Hertz Hz que equivale a un ciclo /s .

La grafica de un movimiento vibratorio

El movimiento que se muestra a continuación es el de ascenso y descenso de una masa sujeta en el extremo de un resorte. Un ciclo completo es desde a hasta b, o desde c hasta d , o desde e hasta f . El tiempo que transcurre en un ciclo es T , o sea el periodo.

El desplazamiento ( x o y ) es la distancia de la posición del objeto que vibra, medida desde la posición de equilibrio (posición normal de reposo), es decir, desde el centro de su trayectoria de vibración. Al desplazamiento máximo se llama amplitud.

Una fuerza restauradora es aquella que se opone al desplazamiento del sistema; es necesaria para que ocurra una vibración. En otras palabras, es una fuerza cuya dirección siempre es tal que empuja o hala el sistema a su posición de equilibrio (reposo normal).En el caso de una masa en el extremo de un resorte, al estirar el resorte, este tira de la masa hacia atrás hasta llevarla a su posición de equilibrio, mientras que un resorte comprimido la empuja hacia atrás hasta llevarla también a la posición de equilibrio.

Movimiento armónico simple (M.A.S) es el movimiento vibratorio de un sistema que obedece la ley de Hooke. Debido a que la semejanza de su grafica con las curvas de las funciones seno y coseno, el M.A.S se llama con frecuencia movimiento senoidal. Una característica central del M.A.S es que el sistema oscila a una sola frecuencia constante. Eso es lo que hace que el movimiento armónico sea “simple”.

Un sistema Hookeano (Un resorte, un alambre, una varilla, etc.) es aquel que regresa a su configuración original después de haber sido deformado, y a continuación, dejado en libertad. Es más, cuando ese sistema se estira una distancia x (para compresión, x es negativa), la fuerza de restitución ejercida por el resorte se expresa por la ley de Hooke

F=−kx

El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre tiene direccion opuesta a la deformacion. La constante del resorte k tiene unidades deN /m y es una medida de la rigidez (dureza) del resorte. La mayoria de los resortes obedecen la ley de Hooke si las deformaciones son pequeñas.

En algunas ocasiones es util expresar dicha ley en terminos de la fuerza externa F ext necesaria para estirar el resorte una cierta cantidad x. Esta fuerza es el negativo de la fuerza restauradora , y por lo tanto

F ext=kx

La energía potencial elástica almacenada en un resorte de Hooke ( EPe )que se deforma una

distancia xes 12

k x2. Si la amplitud del movimiento es x0 para una masa sujeta en el

extremo de un resorte, entonces la energía de vibración del sistema es 12

k x02 para todo

tiempo. Sin embargo, esta energía está completamente almacenada en el resorte cuando x=± x0, esto es, cuando la masa tiene su máximo desplazamiento.

El intercambio de energía entre la energía cinética y la energía potencial ocurre constantemente en un sistema que vibra. Cuando este pasa por su posición de equilibrio,

la EC=máxima y la ( EPe )=0. Cuando el sistema tiene su máximo desplazamiento,

entonces EC=0Y la EPe=máxima. De la ley de la conservación de la energía, en un

sistema en el que no hay pérdidas por fricción EC=EPe= constante.

Para una masa m que se encuentra en el extremo de un resorte (cuya propia masa es despreciable), esta se convierte en

12

mv2+ 12

kx2=12

kx02

Donde el movimiento de x0 es la amplitud del movimiento.

La rapidez en un M.A.S. esta dada por la ecuación anterior de la energía

|v|=√(x02−x2 ) km

La aceleración en el M.A.S. esta dada por la ley de Hooke, F=−kx y F=ma. Igualando estas dos ecuaciones por F nos da

a=−km

x

El signo menos indica que la dirección de a ( y F )siempre es opuesta a la dirección del

desplazamiento x. Téngase presente que ni F∋ ason constantes.

Circulo de referencia

Supóngase que un punto P se mueve con rapidez constante v0 alrededor de un círculo, como se muestra en la siguiente imagen. Este círculo se llama círculo de referencia para el M.A.S. El punto A es la proyección del punto P sobre el ejex, que coincide con el diámetro horizontal del círculo. El movimiento del punto A. De un lado hacia otro del punto O como centro en el M.A.S. La amplitud del movimiento es x0, que es el radio del círculo. El tiempo que emplea P en dar una vuelta alrededor del círculo es el periodoT del movimiento. La velocidad, v0 ,del punto A tiene un componente escalar en x de vx=v0 senθ

Cuando esta cantidad es positiva, vx apunta en dirección positiva de las x; cuando es

negativa,vx, apunta en dirección negativa de las x.

Periodo en el M.A.S.: El periodo Ten un M.A.S. Es el tiempo que emplea el tiempo P en dar una vuelta al círculo de referencia, por lo tanto,

T=2πrv0

=2π x0

v0

Pero v0 es la rapidez máxima del punto A, es decir, v0 es el valor de |vx| en el M.A.S.

cuando x=0 :

|vx|=√( x02−x2) k

m

Da

v0=x0√ km

De donde se puede obtener el periodo de M.A.S.

T=2π √ mk

Para un resorte de Hooke.

Aceleracion en terminos de T : eliminando la cantidad km

entre las dos ecuaciones

a=−(k /m ) x yT=2π √m /k , se encuentra

a=−4 π2

T2x

El péndulo simple describe de manera aproximada un M.A.S. si el ángulo de oscilación no es muy grande. El periodo de oscilación de un péndulo de longitud L en un lugar donde la aceleración de la gravedad esg, esta dado por

T=2π √ Lg

El movimiento senoidal (o M.A.S) se puede expresar analíticamente; podemos ver que el desplazamiento horizontal del punto Pesta dado por x=x0 cosθ. Como θ=ωt=2 πft, donde la frecuencia angular ω=2πf es la velocidad angular del punto de referencia localizado en el círculo, de donde

x=x0 cos2πft=x0cosωt

En forma similar, la componente vertical del movimiento del punto P esta dado por

y=x0 sen 2πft=x0 sen ωt

vx=v0 sen2πft

La amplitud es el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio

Y es de 0.75 cm. El periodo es el tiempo empleado para completar un circulo , por ejemplo, el utilizado de A hasta B .Por esto el periodo es de 0.20 s. La frecuencia es

f = 1T

= 10.20 s

=5.0ciclos /s=Hz

Un resorte realiza 12 oscilaciones en 40 s. Calcular el periodo y la frecuencia de oscilación

T= intervalo de tiempooscilacion efectuadas

=40 s12

=3.3 s

f =oscilacion efectuadasintervalo de tiempo

= 1240 s

=0.30Hz

Cuando una masa de 400g se cuelga un resorte vertical, el resorte se estira 35 cm. ¿Cuál es la constante del resorte, y cuál será el nuevo alargamiento si agregamos una masa de 400 g a la que se colgó primero?

Utilizamos F ext=ky , donde

F ext=mg= (0.400kg ) (9.81m /s2 )=3.92N

Para obtener

k=Fy

(3.92N )0.35m

=11N /m

Con la carga adicional de 400 g, la fuerza total que estira el resorte es 7.84 N. Por consiguiente

y= Fk

= 3.92N11.2N /m

=0.70m=2×35 cm

Como se puede observar, cada carga extra de 400 g estira el resorte la misma cantidad, ya sea que el resorte este o no cargado.

a) Considérese que pasa cuando a la masa se le da un desplazamiento x>0. Un resorte se alarga una distancia x. Cada uno de ellos ejercerá una fuerza de magnitud (20N /m ) x sobre la masa en dirección contraria al desplazamiento. Por ello la fuerza restauradora será

F=−(20N /m ) x−−(20N /m ) x=− (40N /m ) x

Comparado con F=−kx

Se puede ver que el sistema tiene una constante de resorte de 40N /m. Por lo mismo,

T=2π √ mk=2 π √ 0.30 kg

40N /m=0.54 s .

b) Cuando la masa se desplaza una distancia y hacia abajo, cada resorte se estira una distancia y , la fuerza neta de desplazamiento sobre la masa es entoncesF=−(20N /m ) y−(20N /m ) y=(40N /m ) yComparando con F=−ky la constante k resulta ser 40N /m, la misma que en a). Por consiguiente, en esta situación resulta ser también 0.54 s .

Hidrostática

La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en estado de equilibrio, es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o posición. Los principales teoremas y Principios que respaldan el estudio de la hidrostática son La Ecuación Fundamental de la Hidrostática, el principio de Pascal y el principio de Arquímedes.

Un fluido es un conjunto de moléculas que están dispuestas al azar y se mantienen juntas por medio de débiles fuerzas de cohesión, así por fuerzas ejercidas por las paredes de un recipiente. Líquidos y gases son fluidos. Para explicar efectos como el empuje hidrostático que actúa sobre un cuerpo sumergido y la fuerza ascensional que actúa sobre el ala de un avión primero, consideramos la mecánica de un fluido en reposo, es decir, estática de los fluidos.

Peso especificoEl peso específico ω de una sustancia es el peso de una unidad de volumen de dicha sustancia. En los líquidos, ω puede considerarse constante para las variaciones ordinarias de presion. El peso especifico del agua para las temperaturas mas comunes es de 1000kg /m3

Densidad de un cuerpo ρ (ro )=masa por unidad de volumen=ω / g. En el sistema técnico de unidades, la densidad del agua es

1000/9,80665=101,972 (≈102 )UTM /m3o kg seg2/m4

Presión: Los fluidos no sostienen esfuerzos cortantes ni esfuerzos, por lo que el único esfuerzo que puede ser ejercido sobre un cuerpo sumergido en un fluido estático es el que tiende a comprimir el cuerpo desde todos lados. En otras palabras, la fuerza ejercida por un fluido estático sobre un objeto es siempre perpendicular a las superficies del objeto.

La presión en un fluido se puede medir con el aparato que se muestra en la siguiente figura. Este aparato consta de un cilindro al vacío que encierra un embolo ligero conectado a un resorte. Cuando el aparato se sumerge en un fluido, este presiona sobre la parte superior del embolo y comprime el resorte hasta que la fuerza hacia dentro ejercida por el fluido queda balanceada por la fuerza hacia afuera ejercida por el resorte. La presión del fluido se puede medir directamente si el resorte se calibra de antemano.

Si F es una magnitud de la fuerza ejercida sobre el embolo y A es el área superficial del embolo, entonces la presión P del fluido en el nivel al cual el aparato se haya sumergido se define cómo la razón F / A.

P= FA

La presión es una cantidad escalar porque es proporcional a la magnitud de la fuerza sobre el embolo. Si la presión varía sobre un área, podemos evaluar la fuerza infinitesimal

dF=PdA ( i )Donde P es la presión en la ubicación del área dA . La presión ejercida por un fluido varía con la profundidad. Por lo tanto, para calcular la fuerza total ejercida sobre una pared vertical plana de un recipiente, debemos integrar la ecuación ( i ) sobre el área superficial de la pared.Debido a que la presión es la fuerza por unidad de área, tiene unidades de Newton

por metro cuidado ( N /m2 ) en el sistema SI. Otro nombre para la unidad de presión

del SI es el pascal ( Pa ) 1Pa=1N /m2

La flotación es un fenómeno muy conocido: un cuerpo sumergido en agua parece pesar menos que en el aire. Si el cuerpo es menos denso que el fluido, entonces flota. El cuerpo humano normalmente flota en el agua, y un globo lleno de helio flota en el aire.

El principio de Arquímedes establece que: Si un cuerpo está parcial o totalmente sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Para demostrar este principio, consideremos una porción arbitraria de fluido en reposo. En la figura a), el contorno irregular es la superficie que delimita esta porción de fluido. Las flechas representan las fuerzas que el fluido circundante ejerce sobre la superficie de frontera.Todo el fluido está en equilibrio, así que la suma de todas las componentes y de fuerza sobre esta porción de fluido es cero. Por tanto, la suma de todas las componentes y de las fuerzas de superficie debe ser una fuerza hacia arriba de igual magnitud que el peso mg del fluido dentro de la superficie. Además, la suma de los momentos de torsión sobre la porción de fluido debe ser cero, así que la línea de acción de la componente y resultante de las fuerzas superficiales debe pasar por el centro de gravedad de esta porción de fluido.Ahora quitamos el fluido que está dentro de la superficie y lo reemplazamos por un cuerpo sólido cuya forma es idéntica (b). La presión en cada punto es exactamente la misma que antes, de modo que la fuerza total hacia arriba ejercida por el fluido sobre el cuerpo también es la misma, igual en magnitud al peso mg del fluido que se desplazó para colocar el cuerpo. Llamamos a esta fuerza hacia arriba la fuerza de flotación que actúa sobre el cuerpo sólido. La linea de acción de la fuerza de flotación pasa por el centro de gravedad del fluido desplazado (que no necesariamente coincide con el centro de gravedad del cuerpo).

Principio de Arquímedes. (a) Un elemento de un fluido en equilibrio. La fuerza de flotación del fluido circundante es igual al peso del elemento, (b) Si el elemento de fluido se sustituye por un cuerpo de idéntica forma, el cuerpo experimenta la misma fuerza de flotación que en (a). Esta fuerza es igual al peso del fluido desplazado.