Movimiento de cohetes

Por Vicente Herrera García Un breve estudio del movimiento de sistemas de masa variable frente a la ley de la gravedad, expresada en forma genérica en función de la distancia; y la resolución del problema empleando algoritmos numéricos codificados en Matlab. Realizado para la asignatura de Análisis Numérico, curso 2001/2002, de la Ingeniería Técnica de Informática de Sistemas en la universidad de Huelva.

Movimiento de cohetes Ley de Newton para el movimiento, en su expresión más general ,es:

vmpdtpdFi

rr

rr

=

=∑

Para el caso de movimiento lineal de un cuerpo de masa variable, esta ecuación queda como:

)()()()( tvtmtvtmFvmp

dtdpF

⋅+⋅=⇒

⋅=

=&&

Si consideramos que el cuerpo es un cohete que “expulsa” combustible a una velocidad constante, podemos expresar su masa como:

tmMtmmtm

e

e

⋅−=−=

0)()(constante )(&

Tenemos además que considerar la ley de acción y reacción, según la cual podemos averiguar la fuerza que la masa expulsada ejerce sobre el cohete, propulsándolo, a partir de la que el cohete ejerce sobre esta. En todo momento, el cohete expulsará el propelente con una velocidad ve constante, relativa a la propia velocidad del cohete. Luego el propelente ha ganado una cantidad de movimiento

∆pe = me ve Es decir, se ha aplicado sobre el una fuerza

|Fe | = ∆pe = me ve Luego este ejerce la misma fuerza sobre el cohete, en sentido contrario. Representamos el sistema de 2 ecuaciones diferenciales:

vxvmvtmMFF eee

=⋅−⋅−=+

&

&)( 0

Siendo F el resto de fuerzas aplicables en el problema

Utilizando la ley de la gravitación universal:

2

)(r

MtmGF t

g⋅

=

El caso más general, el cohete se encuentra a una distancia arbitraria r medida desde el centro de la tierra, y es atraído por esta.

Se supone r lo suficientemente grande como para que la aproximación P = -mg no sea adecuada, aunque para valores cercanos a la superficie se obtendrán los mismos resultados.

Por otra parte, para valores muy grandes de r, la solución será la misma que considerar que F=0. Si incluimos en la ecuación anterior:

r = Rt + x m(t) = M0 – met

nos queda:

20

)()(

xRMtmMGF

t

teg +

⋅−−=

Donde hemos representado la fuerza - Fg al tratarse de una fuerza atractiva Simplificando:

vmvtmMxR

MtmMGvm ee

t

teee ⋅−⋅−=

+⋅−

− &)()()(

020

vx

vtmM

vvmxR

MGv

e

ee

t

t

=

⋅−+

++

−=

&

&0

2

)()(

Constante gravitatoria universal: G = 6’6726·10-11 Masa de la tierra: Mt = 5’98·1024 kg Radio de la tierra: Rt = 6’370 ·106 m Masa del cohete + combustible inicial: M0 (kg) Ratio de consumo de combustible: me (kg/s) Velocidad de expulsión del combustible: ve (m/s) Posición del cohete, desde la superficie de la tierra: x (m)

Codificamos en Matlab este sistema de ecuaciones diferenciales:

function Y=fc(X) t=X(1); v=X(2); %corresponde a Y(1)=v' x=X(3); %corresponde a Y(2)=x' G=6.6726e-11; Mt=5.98e24; Rt=6.370e6; Mo=208000; %Cohete Ariane I me=10000; ve=2000; Y(1)=-G*Mt/(Rt+x)^2+me*v/(Mo-me*t); Y(2)=v;

Algunos cálculos adicionales que pueden resultar útiles: Tiempo de duración del combustible

Si tenemos un cohete de masa total

M0 = Mv + Mc

donde Mv es la masa del cohete vacío de combustible Mc es la masa total de combustible inicial

el tiempo que durará el combustible cuando se consuma con velocidad constante me será:

Mc - met = 0 t = Mc/me

Nótese que la mayoria de los cohetes poseen distintas etapas con diferentes sistemas de propulsion, consumo y empuje. Fuerza de empuje

Es usual dar el empuje del cohete en kgf (kilogramo fuerza). Esta unidad corresponde a la fuerza que ejerce un kg en la superficie de la tierra, es decir

1 kgf = 9’8 N

Si recordamos la formula anterior: |Fe | = ∆pe = me ve

Al conocer el empuje y el consumo de combustible o la velocidad de expulsión, podremos calcular el otro parámetro desconocido.

Ejemplos

El cohete europeo Ariane I creado en 1979 pesaba 208.000 Kg

Si suponemos que en la etapa de lanzamiento, en los primeros 60 segundos de despegue, este se comporta como si estuviera quemando 2000 kg de combustible por segundo, expulsándolos a una velocidad de 2000 m/s, ¿a qué altura se encontrará transcurridos esos 60 segundos? ¿con qué velocidad viajará? Considerar el peso del combustible incluido en el peso del cohete dado.

Utilizaremos

me=1500; ve=2000; Mo=208000;

En el intervalo de tiempo [0,60] para valores iniciales x=0, v=0

Mediante Runge Kutta con tamaño de paso 1: [R,s,h]=rk4sist('fc',0,60,[0 0],60);

Evolución del sistema:

Obtenemos los valores finales:

t = 60 s v = 711 m/s x = 1.5686·104 m

La lanzadera espacial (Space Shuttle) creada por Estados Unidos en 1981 pesa 2.040.815 Kg Si suponemos que cuando se encuentra a una altitud de 1000 Km y con una velocidad de 1000 m/s se desprende de sus cohetes de aceleración inicial, quedando con el peso especificado y quemando 100 Kg de combustible por segundo, expulsándolo a 1000 m/s, ¿tendrá en estas condiciones empuje suficiente para continuar el ascenso? Utilizaremos

me=100; ve=1000; Mo=2040815;

Representamos la evolución del sistema entre [0,60] con tamaño de paso h=1 mediante el metodo de Gragg de paso fijo para sistemas de ecuaciones, con las condiciones iniciales v=1000 (m/s), x=500000 (m)

R=graggsist('fc',0,60,[1000 50000],60)

Vemos que, aunque la posición continua aumentando durante el primer minuto de funcionamiento de la segunda etapa del cohete, la velocidad cae rápidamente, luego llegará un momento en que la posición deje de aumentar, y el cohete caerá.

Si buscamos cuando llegará el cohete a chocar contra el suelo, entre los valores t=0 y t=300 s, con 50 muestras (tamaño de paso h=6 ).

R=graggsist('fc',0,300,[1000 50000],50);

Vemos como algo después de los 250 segundos, el cohete ha perdido por completo toda la altitud que había conseguido, y ha impactado contra el suelo. Será entonces necesario aumentar la masa de combustible quemado por segundo, o aumentar la velocidad de expulsión de este.

Código de los algoritmos para Matlab Método de Euler function [E,sol,h]=euler(f,a,b,ya,M) %Datos % -function E=euler(f,a,b,ya,M) % -f es la funcion % -a y b son los extremos del intervalo % -ya es la condicion inicial y(a) % -M es el numero de pasos %Resultado % -E=[T' W'] siendo T el vector de abcisas e Y el de ordenadas h=(b-a)/M; T=zeros(1,M+1); W=zeros(1,M+1); T=a:h:b; W(1)=ya; for i=1:M pto=[T(i),W(i)]; W(i+1)=W(i)+h*feval(f,pto); end sol=W(M+1); E=[T' W']; Método de Euler para sistemas de dos ecuaciones function [E,sol,h]=eulersist(f,a,b,ya,M) %Datos % -function E=eulersist(f,a,b,ya,M) % -f es el sistema de ecuaciones % -a y b son los extremos del intervalo % -ya es la condicion inicial % -M es el numero de pasos %Resultado % -E=[T' W'] siendo T el vector de abcisas e Y el de ordenadas h=(b-a)/M; T=zeros(1,M+1); W=zeros(M+1,2); T=a:h:b; W(1,1)=ya(1); W(1,2)=ya(2); for i=1:M pto=[T(i),W(i,1),W(i,2)]; y=feval(f,pto); W(i+1,1)=W(i,1)+h*y(1); W(i+1,2)=W(i,2)+h*y(2); end sol(1)=W(M+1,1); sol(2)=W(M+1,2); E=[T' W];

Método de Euler con paso variable function E=eulervar(f,a,b,ya,M,tol,tolh) %Datos % -function E=eulervar(f,a,b,ya,M,tol,tolh) % -f es la funcion % -a y b son los extremos del intervalo % -ya es la condicion inicial y(a) % -M es el numero de pasos % -tol es la tolerancia para cada paso % -tolh es la tolerancia para h %Resultado % -E=[TP' T' W'] siendo T el vector de abcisas e Y el de ordenadas h=(b-a)/M; W=zeros(1,M+1); W(1)=ya; TP(1)=h; i=1; p=1; T(i)=a; while (T(i)<b) q=0; pto=[T(i),W(i)]; [X,W(i+1),hf]=euler(f,T(i),T(i)+h,W(i),1); [X,A(i),hf]=euler(f,T(i),T(i)+h,W(i),2); %W(i+1)=W(i)+h*feval(f,pto); %A(i)=W(i)+h/2*feval(f,pto); err=abs((W(i+1)-A(i))/((2^p)-1)); n=1; while(err>tol) [X,W(i+1),hf]=euler(f,T(i),T(i)+h,W(i),2^n); [X,A(i),hf]=euler(f,T(i),T(i)+h,W(i),2^(n+1)); %W(i+1)=W(i)+h*feval(f,pto); %A(i)=W(i)+h/2*feval(f,pto); err=abs((W(i+1)-A(i))/((2^p)-1)); n=n+1; q=1; TP(i+1)=2*hf; end if (q==1) %h=2*hf; TP(i+1)=2*hf; end if (h<tolh) disp('h es menor que tolh'); h=2*hf; end i=i+1; T(i)=T(i-1)+h; if (T(i)>b) T(i)=b; end if (q==0) TP(i)=h; end end E=[TP' T' W'];

Método de Euler para sistemas con dos ecuaciones, paso variable. function [E,sol]=eulersistvar2(f,a,b,ya,M,tol,tolh) %Datos % -function [E,sol]=eulersistvar2('f',a,b,ya,M,tol,tolh) % -f es la funcion % -a y b son los extremos del intervalo % -ya es la condicion inicial y(a) % -M es el numero de pasos % -tol es la tolerancia para cada paso % -tolh es la tolerancia para h %Resultado % -E=[TP' T' W'] siendo T el vector de abcisas e Y el de ordenadas % -sol es f(b) h=(b-a)/M; W(1,1)=ya(1); W(1,2)=ya(2); TP(1)=h; i=1; p=1; T(i)=a; while (T(i)<(b-h)) q=0; pto=[T(i),W(i,1)]; [X,P,hf]=eulersist(f,T(i),T(i)+h,W(i,:),1); W(i+1,1)=P(1); W(i+1,2)=P(2); [X,AA,hf]=eulersist(f,T(i),T(i)+h,W(i,:),2); A(i,1)=AA(1); A(i,2)=AA(2); err=abs((W(i+1,1)-A(i,1))/((2^p)-1)); err2=abs((W(i+1,2)-A(i,2))/((2^p)-1)); n=1; while((err>tol)&(err2>tol)) [X,P,hf]=eulersist(f,T(i),T(i)+h,W(i,:),2^n); W(i+1,1)=P(1); W(i+1,2)=P(2); [X,AA,hf]=eulersist(f,T(i),T(i)+h,W(i,:),2^(n+1)); A(i,1)=AA(1); A(i,2)=AA(2); err=abs((W(i+1,1)-A(i,1))/((2^p)-1)); err2=abs((W(i+1,2)-A(i,2))/((2^p)-1)); n=n+1; q=1; TP(i+1)=2*hf; end if (q==1) %h=2*hf; TP(i+1)=2*hf; end if (h<tolh) disp('h es menor que tolh'); h=2*hf; end i=i+1; T(i)=T(i-1)+h; if (T(i)>b) T(i)=b; end if (q==0) TP(i)=h; end end E=[TP' T' W]; sol(1)=W(i,1); sol(2)=W(i,2);

Método de Gragg function [W,FT,err]=gragg3(f,a,b,ya,n,tol,M) %Datos % -function [W,FT,err,h]=gragg3(f,a,b,ya,n,tol,M) % -f es la funcion % -a y b son los extremos del intervalo % -n es el numero maximo de filas de la tabla % -tol es la tolerancia % -M es el numero de pasos %Resultados % -W es el esquema de Gragg % -FT es la aproximacion a la f(b) % -err es una estimacion del error G=gragg(f,a,b,ya,M); err=1; J=0; W=zeros(4,4); W(1,1)=G(M+1,2); while ((err>tol)&(J<n))%&(J<n))|(J<4) J=J+1; M=2*M; G=gragg(f,a,b,ya,M); W(J+1,1)=G(M+1,2); for K=1:J W(J+1,K+1)=W(J+1,K)+(W(J+1,K)-W(J,K))/(4^K-1); end err=abs(W(J,J)-W(J+1,K+1)); end FT=W(J+1,J+1); function G=gragg(f,a,b,ya,M) %Datos % -function G=gragg(f,a,b,ya,M) % -f es la funcion % -a y b son los extremos del intervalo % -ya es la condicion inicial y(a) % -M es el numero de pasos %Resultado % -G=[T' W'] siendo T el vector de abcisas e Y el de ordenadas h=(b-a)/M; T=zeros(1,M+2); W=zeros(1,M); T=a:h:b; W(1)=ya; for i=1:M-1 pto=[T(i),W(i)]; W(i+1)=W(i)+h*feval(f,pto); pto2=[T(i+1),W(i+1)]; W(i+2)=W(i+1)+(2*h*feval(f,pto2)); end G=[T' W'];

Método de Gragg para sistemas de dos ecuaciones function [X,Y,FT,errx,erry,h]=gragg3sist(f,a,b,ya,n,tolx,toly,M) %Datos % -function [X,Y,FT,errx,erry,h]=gragg3sist(f,a,b,ya,n,tolx,toly,M) % -f es el sistema % -a y b son los extremos del intervalo % -n es el numero maximo de filas de la tabla % -tol es la tolerancia % -M es el numero de pasos %Resultados % -X e Y son el esquema de Gragg % -FT es la aproximacion a la f1(b) y f2(b) % -err es una estimacion del error % -h es el menor de los incrementos usados G=graggsist(f,a,b,ya,M); errx=1; erry=1; J=0; X=zeros(4,4); X(1,1)=G(M+1,2); Y=zeros(4,4); Y(1,1)=G(M+1,3); while ((errx>tolx)&(J<n)&(erry>toly))%&(J<n))|(J<4) J=J+1; M=2*M; G=graggsist(f,a,b,ya,M); X(J+1,1)=G(M+1,2); Y(J+1,1)=G(M+1,3); for K=1:J X(J+1,K+1)=X(J+1,K)+(X(J+1,K)-X(J,K))/(4^K-1); Y(J+1,K+1)=Y(J+1,K)+(Y(J+1,K)-Y(J,K))/(4^K-1); end errx=abs(X(J,J)-X(J+1,K+1)); erry=abs(Y(J,J)-Y(J+1,K+1)); end FT=[X(J+1,J+1) Y(J+1,J+1)]; function G=graggsist(f,a,b,ya,M) %Datos % -function G=graggsist(f,a,b,ya,M) % -f es el sistema % -a y b son los extremos del intervalo % -ya es la condicion inicial % -M es el numero de pasos %Resultado % -G=[T' W'] siendo T el vector de abcisas e Y el de ordenadas h=(b-a)/M; T=zeros(1,M+2); W=zeros(M+1,2); T=a:h:b; W(1,1)=ya(1); W(1,2)=ya(2); for i=1:M-1 pto=[T(i),W(i,1),W(1,2)]; F=feval(f,pto); W(i+1,1)=W(i,1)+h*F(1); W(i+1,2)=W(i,2)+h*F(2); pto2=[T(i+1),W(i+1,1),W(i+1,2)]; F=feval(f,pto2); W(i+2,1)=W(i+1,1)+(2*h*F(1)); W(i+2,2)=W(i+1,2)+(2*h*F(2)); end G=[T' W];

Método de Runge-Kutta function [R,sol,h]=rk4(f,a,b,ya,M) %Datos % -function [R,sol]=rk4(f,a,b,ya,M) % -f es la funcion % -a y b son los extremos derecho e izquierdo del intervalo % -ya es la condicion inicial % -M es el numero de pasos %Resultado % -R=[T'Y'] T abcisas e Y ordenadas % -sol es f(b) % -h es el incremento usado h=(b-a)/M; T=zeros(1,M+1); Y=zeros(1,M+1); T=a:h:b; Y(1)=ya; for j=1:M pto=[T(j),Y(j)]; k1=h*feval(f,pto); pto=[T(j)+h/2,Y(j)+k1/2]; k2=h*feval(f,pto); pto=[T(j)+h/2,Y(j)+k2/2]; k3=h*feval(f,pto); pto=[T(j)+h,Y(j)+k3]; k4=h*feval(f,pto); Y(j+1)=Y(j)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end sol=Y(M+1); R=[T' Y']; Método Runge-Kutta para sistemas de dos ecuaciones function [R,sol,h]=rk4sist(f,a,b,ya,M) %Datos % -function [R,sol,h]=rk4sist('f',a,b,ya,M) % -f es el sistema % -a y b son los extremos derecho e izquierdo del intervalo % -ya es la condicion inicial % -M es el numero de pasos %Resultado % -R=[T'Y'] T abcisas e Y ordenadas % -sol es f(b) % -h es el incremento usado h=(b-a)/M; T=zeros(1,M+1); Y=zeros(M+1,2); T=a:h:b; Y(1,1)=ya(1); Y(1,2)=ya(2); for j=1:M y1=Y(j,1); y2=Y(j,2); pto=[T(j),y1,y2]; F=feval(f,pto); k1(1,1)=F(1); k1(1,2)=F(2); pto=[T(j)+h/2,y1+h*k1(1,1)/2,y2+h*k1(1,2)/2]; F=feval(f,pto); k2(1,1)=F(1); k2(1,2)=F(2); pto=[T(j)+h/2,y1+h*k2(1,1)/2,y2+h*k2(1,2)/2]; F=feval(f,pto); k3(1,1)=F(1); k3(1,2)=F(2); pto=[T(j)+h,y1+h*k3(1,1),y2+h*k3(1,2)]; F=feval(f,pto);

k4(1,1)=F(1); k4(1,2)=F(2); Y(j+1,1)=Y(j,1)+h*(k1(1,1)+2*k2(1,1)+2*k3(1,1)+k4(1,1))/6; Y(j+1,2)=Y(j,2)+h*(k1(1,2)+2*k2(1,2)+2*k3(1,2)+k4(1,2))/6; end sol(1,1)=Y(M+1,1); sol(1,2)=Y(M+1,2); R=[T' Y]; Método Runge-Kutta con paso variable function [R,sol]=rk4var(f,a,b,ya,M,tol,tolh) %Datos % -function [R,sol]=rk4var('f',a,b,ya,M,tol,tolh) % -f es la funcion % -a y b son los extremos derecho e izquierdo del intervalo % -ya es la condicion inicial % -M es el numero de pasos % -tol es la tolerancia entre un paso y otro % -tolh es el minimo valor de h %Resultado % -R=[TP' T' W'] T abcisas e Y ordenadas % -sol es f(b) h=(b-a)/M; TP(1)=h; W(1)=ya; j=1; T(j)=a; p=4; %q=0; while (T(j)<b) q=0; [R,W(j+1),hf]=rk4(f,T(j),T(j)+h,W(j),1); [R,A(j),hf]=rk4(f,T(j),T(j)+h,W(j),2); err=abs((W(j+1)-A(j))/(2^p-1)); n=1; while (err>tol) [R,W(j+1),hf]=rk4(f,T(j),T(j)+h,W(j),2^n); [R,A(j),hf]=rk4(f,T(j),T(j)+h,W(j),2^(n+1)); err=abs((W(j+1)-A(j))/(2^p-1)); q=1; n=n+1; TP(j+1)=2*hf; end if (q==1) %h=2*hf; TP(j+1)=2*hf; end if (h<tolh) disp('h es menor que tolh'); h=2*hf; end j=j+1; T(j)=T(j-1)+h; if (T(j)>b) T(j)=b; end if (q==0) TP(j)=h; end end R=[TP' T' W']; sol=W(j);

Método Runge-Kutta para sistemas de dos ecuaciones, paso variable. function [R,sol]=rk4sist(f,a,b,ya,M,tol,tolh) %Datos % -function [R,sol]=rk4sist('f',a,b,ya,M,tol,tolh) % -f es el sistema % -a y b son los extremos derecho e izquierdo del intervalo % -ya es la condicion inicial % -M es el numero de pasos % -tol es la tolerancia % -tolh es el valor minimo de h %Resultado % -R=[T'Y'] T abcisas e Y ordenadas % -sol es f(b) h=(b-a)/M; TP(1)=h; Y=zeros(M+1,2); T(1)=a; W(1,1)=ya(1); W(2,1)=ya(2); j=1; p=4; while (T(j)<(b-h)) q=0; [R,pto,hf]=rk4sist(f,T(j),T(j)+h,W(:,j),1); W(1,j+1)=pto(1); W(2,j+1)=pto(2); [R,pto,hf]=rk4sist(f,T(j),T(j)+h,W(:,j),2); A(j,1)=pto(1); A(j,2)=pto(2); err=abs((W(1,j+1)-A(j,1))/(2^p-1)); err2=abs((W(2,j+1)-A(j,2))/(2^p-1)); n=1; while ((err>tol)&(err2>tol)) [R,pto,hf]=rk4sist(f,T(j),T(j)+h,W(:,j),2^n); W(1,j+1)=pto(1); W(2,j+1)=pto(2); [R,pto,hf]=rk4sist(f,T(j),T(j)+h,W(:,j),2^(n+1)); A(j,1)=pto(1); A(j,2)=pto(2); err=abs((W(1,j+1)-A(j,1))/(2^p-1)); err2=abs((W(2,j+1)-A(j,2))/(2^p-1)); q=1; n=n+1; TP(j+1)=2*hf; end if (q==1) %h=2*hf; TP(j+1)=2*hf; end if (h<tolh) disp('h es menor que tolh'); h=2*hf; end j=j+1; T(j)=T(j-1)+h; if (T(j)>b) T(j)=b; end if (q==0) TP(j)=h; end end R=[TP' T' W']; sol(1)=W(1,M+1); sol(2)=W(2,M+1);

Método Adams-Basfort-Multon function [ABM,s]=abm4(f,a,b,ya,M,n,k) %Datos % -function [ABM,s]=abm4('f',a,b,ya,M,n,k) % -f es la funcion % -a y b son los extremos % -ya es la condicion inicial % -M es el numero de pasos para ab % -n es el numero de pasos para rk4 % -k es el numero se pasos para Adams-Moulton %Resultados % -ABM es la secuencia % -s es el valor de la funcion en b h=(b-a)/M; t=a:h:b; A(1,1)=ya; %w0 w0=rk4(f,a,a+h,ya,n); A(2,1)=w0(n+1,2); %w1 w1=rk4(f,a+h,a+2*h,w0(n+1,2),n); A(3,1)=w1(n+1,2); %w2 w2=rk4(f,a+2*h,a+3*h,w1(n+1,2),n); A(4,1)=w2(n+1,2); %w3 if (M<5) disp('M menor que 5'); break end for i=4:M % A-B pto3=[t(i-3),A(i-3,1)]; %Wi-3 Ti-3 pto2=[t(i-2),A(i-2,1)]; %Wi-2 Ti-2 pto1=[t(i-1),A(i-1,1)]; %Wi-1 Ti-1 pto=[t(i),A(i,1)]; %Wi Ti F=[feval(f,pto3) feval(f,pto2) feval(f,pto1) feval(f,pto)]; A(i+1,1)=A(i,1)+((h/24)*(F*[-9 37 -59 55]')); %A-M err=abs(A(i,1)-A(i+1,1)); j=1; while (j<k) pto4=[t(i+1),A(i+1,1)]; %Wi+1 Ti+1 F=[feval(f,pto2) feval(f,pto1) feval(f,pto) feval(f,pto4)]; A(i+1,1)=A(i,1)+((h/24)*(F*[1 -5 19 9]')); err=abs(A(i,1)-A(i+1,1)); j=j+1; end end ABM=[t' A]; s=A(M+1,1);

Método Adams-Basfort-Multon para sistemas de dos ecuaciones function [A,sol]=abm4sist(f,a,b,ya,M,n,k) %Datos % -function [A,sol]=abm4sist('f',a,b,ya,M,n,k) % -f es el sistema % -a y b son los extremos % -ya es la condicion inicial % -M es el numero de pasos para ab % -n es el numero de pasos para rk4 % -k es el numero se pasos para Adams-Moulton %Resultados % -A es la secuencia % -sol es el valor de la funcion en b h=(b-a)/M; t=a:h:b; A(1,1)=ya(2); %w0 A(1,2)=ya(2); %w0 w0=rk4sist(f,a,a+h,ya,n); A(2,1)=w0(n+1,2); %w1 A(2,2)=w0(n+1,3); %w1 w1=rk4sist(f,a+h,a+2*h,A(2,:),n); A(3,1)=w1(n+1,2); %w2 A(3,2)=w1(n+1,3); %w2 w2=rk4sist(f,a+2*h,a+3*h,A(3,:),n); A(4,1)=w2(n+1,2); %w3 A(4,2)=w2(n+1,3); %w3 if (M<5) disp('M menor que 5'); break end for i=4:M % A-B pto3=[t(i-3),A(i-3,1),A(i-3,2)]; %Wi-3 Ti-3 pto2=[t(i-2),A(i-2,1),A(i-2,2)]; %Wi-2 Ti-2 pto1=[t(i-1),A(i-1,1),A(i-1,2)]; %Wi-1 Ti-1 pto=[t(i),A(i,1),A(i,2)]; %Wi Ti F=[feval(f,pto3) ;feval(f,pto2); feval(f,pto1); feval(f,pto)]; A(i+1,1)=A(i,1)+((h/24)*(F(:,1)'*[-9 37 -59 55]')); A(i+1,2)=A(i,2)+((h/24)*(F(:,2)'*[-9 37 -59 55]')); %A-M j=1; while (j<k) pto4=[t(i+1),A(i+1,1),A(i+1,2)]; %Wi+1 Ti+1 F=[feval(f,pto2) ;feval(f,pto1); feval(f,pto); feval(f,pto4)]; A(i+1,1)=A(i,1)+((h/24)*(F(:,1)'*[1 -5 19 9]')); A(i+1,2)=A(i,2)+((h/24)*(F(:,2)'*[1 -5 19 9]')); j=j+1; end end A=[t' A]; sol(1)=A(M+1,1); sol(2)=A(M+1,2);

Método Adams-Basfort-Multon con paso variable. function ABM=abm4var(f,a,b,ya,M,n,k,tol,tolh) %Datos % -function ABM=abm4var(f,a,b,ya,M,n,k,tol,tolh) % -f es la funcion % -a y b son los extremos % -ya es la condicion inicial % -M es el numero de pasos para ab % -n es el numero de pasos para rk4 % -k es el numero se pasos para Adams-Moulton %Resultados % -A es el valor de la funcion en b h=(b-a)/M; t(1)=h; TP(1)=h; A(1,1)=ya; %w0 w0=rk4(f,a,a+h,ya,n); A(2,1)=w0(n+1,2); %w1 w1=rk4(f,a+h,a+2*h,w0(n+1,2),n); A(3,1)=w1(n+1,2); %w2 w2=rk4(f,a+2*h,a+3*h,w1(n+1,2),n); A(4,1)=w2(n+1,2); %w3 if (M<5) disp('M menor que 5'); break end p=4; i=1; while (t(i)<b) % A-B pto3=[t(i-3),A(i-3,1)]; %Wi-3 Ti-3 pto2=[t(i-2),A(i-2,1)]; %Wi-2 Ti-2 pto1=[t(i-1),A(i-1,1)]; %Wi-1 Ti-1 pto=[t(i),A(i,1)]; %Wi Ti F=[feval(f,pto3) feval(f,pto2) feval(f,pto1) feval(f,pto)]; A(i+1,1)=A(i,1)+((h/24)*(F*[-9 37 -59 55]')); %A-M for j=1:k pto4=[t(i+1),A(i+1,1)]; %Wi+1 Ti+1 F=[feval(f,pto2) feval(f,pto1) feval(f,pto) feval(f,pto4)]; A(i+1,1)=A(i,1)+((h/24)*(F*[1 -5 19 9]')); end B(i,1)=A(i,1)+((h/48)*(F*[-9 37 -59 55]')); err=abs((A(i+1,1)-B(i,1))/((2^p)-1)); while (err>tol) w1=rk4(f,a+h,a+2*h,w0(n+1,2),n); A(3,1)=w1(n+1,2); %w2 w2=rk4(f,a+2*h,a+3*h,w1(n+1,2),n); A(4,1)=w2(n+1,2); %w3 pto3=[t(i-3),A(i-3,1)]; %Wi-3 Ti-3 pto2=[t(i-2),A(i-2,1)]; %Wi-2 Ti-2 pto1=[t(i-1),A(i-1,1)]; %Wi-1 Ti-1 pto=[t(i),A(i,1)]; %Wi Ti F=[feval(f,pto3) feval(f,pto2) feval(f,pto1) feval(f,pto)]; A(i+1,1)=A(i,1)+((h/24)*(F*[-9 37 -59 55]')); %A-M for j=1:k pto4=[t(i+1),A(i+1,1)]; %Wi+1 Ti+1 F=[feval(f,pto2) feval(f,pto1) feval(f,pto) feval(f,pto4)]; A(i+1,1)=A(i,1)+((h/24)*(F*[1 -5 19 9]')); end B(i,1)=A(i,1)+((h/48)*(F*[-9 37 -59 55]')); err=abs((A(i+1,1)-B(i,1))/((2^p)-1)); end

if (h<tolh) h=(b-a)/M; end t(i+1)=t(i)+h; TP(i+1)=h; i=i+1; end ABM=[TP' t' A];