Universidad de Oriente Ncleo de Bolvar Unidad de cursos bsicos Matemticas IV Profesor: Bachilleres: Cristian Castillo Yessica Flores Mara Palma Roselvis Flores Ciudad Bolvar; Marzo de 2010 Movimiento de un Cohete Unodeloscasosmsemblemticosdelosmodelosmatemticos,esdecir muysignificativoorepresentativoeselmovimientodeuncoheteque consume una fraccin importante de combustible. Un cohete se mueve por la expulsin hacia atrs de una masa de gas formadaalquemaruncombustible.Esterechazodemasatieneel efectodeaumentarlavelocidadhaciaadelantedelcohete, permitiendoascontinuarhaciaadelante.Paraconsiderarel Movimientodecohetes,debemostratarlanocindeunobjetocuya masa es cambiante. Para analizar el movimiento de un cohete, se puede estudiar a travs: Cantidad de movimiento y a La tasa de Cambio en Momentum (2da ley de Newton). Ennuestrocasoestudiaremoselmovimientodelcohete,utilizandola Segunda Ley de Newton. La ecuacin diferencial de un cuerpo en Cada Libre de masa m cercana a la superficie de la tierra es: O simplemente; donde: S:representaladistanciadelasuperficieterrestrealobjetoyse considera que la direccin positiva es hacia arriba. En otras palabras, lo que se supone aqu es que las distancias que recorre el objeto es pequea en comparacin con el radio de la tierra (R), dicho de otra manera, la distancia Y del centro de la tierra al centro es aproximadamente igual a R. Siporotrolado,ladistanciaYaunobjetocomouncoheteounasonda espacialesgrandeencomparacinconR,sepuedecombinarconla2da Ley del Movimiento de Newton, con la ley de Gravitacin Universal, (tambin de Newton); para deducir una Ecuacin diferencial en la variable Y. 1.Se considera el movimiento del cohete positivo hacia arriba. 2.Se desprecia la resistencia del aire. 3.La gravedad es constante Cada Libre (Demostracin). S t = ? 2 da Ley de Newton LaEcuacindiferencialdelmovimientodelcohetedespusdequemarel combustible es: Donde K= es una constante de proporcionalidad Y= distancia del centro de la tierra del cohete. m= masa del cohete. M= masa del combustible. Paracalcularlaconstantekaprovechamosquecuandoecuacin(3) y se obtuvo Ecuacin (2). Luego se tiene que: sustituyendo (2) y (3) en (1). Queda Ecuacin Diferencial Como es la velocidad podemos expresar la declaracin de la forma ; Regla de la Cadena Ecuacin (4) Sustituyendo 4 en (1) ; sustituyendo Ecuacin (5) LaEcuacin(5)sepuederesolveraplicandolatcnicadevariables separables: ; Integrando Ecuacin 6 Sisuponemosquelavelocidaddelcohetecuandoseacabael combustible y que en ese momento, podemos aproximar el valor de C de la siguiente manera: Se lleg as: Alsustituir ese valor de C de nuevo en la ecuacin (6) y multiplicar por 2 la ecuacin (para eliminar las fracciones) resultantes, se obtiene:

Paraconsiderarelmovimientodecohetes,debemostratarlanocindeun objeto cuya masa es cambiante. Teniendo en cuanta que la fuerza neta actuando sobre un objeto es igual a la tasadecambioenmomentum(SegundaLeydeNewton),usaremosesto para encontrar la ley de movimiento de un cohete. Si M es la masa de un cohete en un tiempo t y que un tiempo mas tarde es la masa ser esto es, una masa de gasexpelidoporlapartedeatrsdelcohete,esdecireneltiempo Suponiendo que la velocidad del cohete relativa a la tierra en el tiempo t es V y en el tiempo es y tomando la direccin hacia arriba del cohete como positiva, el gas expelido tendr velocidad relativa a la tierra, donde es una cantidad negativa, de modo que representa la magnitud real de la velocidad del gas relativa al cohete, y se considera constante. El Momentum total del cohete antes de la perdida de gas es Despusdelaperdidadegas,elcohetetieneunmomentum y Elgastienenmomentum,demodoqueelmomentum total despus de la perdida de gas es:

Elcambiodemomentum,estoes,momentum,totaldespusdela perdida de gas menos el momentum total antes de la perdida de gas, es: La tasa instantnea de cambio en momentum es: Ecuacin 1 Eneltiempolamasadelcohetehadecrecido,setieneque: Luego: a medida que Ahora la tasa de cambio en momentum es la fuerza F, de donde se obtiene que: Ecuacin 2 Esa es la ecuacin bsica para el movimiento de cohetes. Siuncoheteconmasainicial(Mo)gramospararadialmentedesdela superficiedelatierra.Expelegasalatasaconstantede(a)a unavelocidadconstante(b)relativaalcohete,dondea>0yb>0. Asumiendo que un campo gravitacional acta sobre el cohete, su velocidad y su distancia viajada en cualquier tiempo puede ser encontrada de la siguiente manera: Setienequelafuerzadelcampogravitacionalvienedadapor : = = ypuestoqueelcohetepierde(a)perder ,yportantosumasadespusdeestadadapor: ylavelocidaddelgasrelativaalcoheteestadadapor: Sustituyendo M yen la ecuacin 2 se tiene que:

Luego se divide todo entre y nos queda: se hace un cambio variable para proceder a integrar

Luego: Integrando: Entonces:

Condiciones iniciales V=0 y t=0, sustituyendo:C=bLn (Mo) se tiene que: Al aplicar las propiedades de logaritmos nos queda: De la ecuacin de deducida anteriormente; se puede deducir la ecuacin de la distancia alcanzada por el cohete en cualquier tiempo: Si x representa la distancia viajada por el cohete en tiempo t medida desde la superficie de la Tierra, tenemos ;sustituyendo Integrando ambos lados queda: Mediante un cambio de variable; Entonces; Utilizando la tabla de integrales: Entonces: Teniendo las condiciones iniciales: Se tiene que: Sustituyendo el valor de la constante se obtiene: Ejercicios: 1. Demuestre que la velocidad de escape del cohete es(Sugerencia: Haga y suponga que V>0para todo tiempo t) SOLUCION: De la ecuacin V =y como;se tiene que: V=0 Luego al aplicar el lmite se hace cero los dos primero trminos y nos queda: Y se obtiene: 2.Demostrarquelavelocidaddeescapeenlatierraes aproximadamente Vo=2.2DATOS:

R=400Transformacin: 1

Luego sustituyendo valores en la ecuacin:

3.Calculelavelocidaddeescapeenlaluna,sialllarelacindela aceleracin de gravedades 0.165g y R= 1080mi. SOLUCION: Luego sustituyendo los valores: 2. Un cohete tiene una masa de 25000 kilogramos (kg), la cual incluye 20.000kg de uncombustible.Duranteelprocesodequemalosproductosdelacombustinse descarganaunavelocidadrelativaalcohetede400 involucrandounaprdida de1.000kgdecombustible.Elcohetepartedelatierraconunavelocidadceroy viaja verticalmente hacia arriba. Si la nica fuerza que acta es la de la gravitacin (variacin con la distancia es despreciable): a)Encuentre la velocidad del cohete despus de 15, 20 y 30 segundos. b)Encuentrelaalturaalcanzadacuandosehaquemadolamitaddel combustible. Donde; MO=Masa inicial MC= Masa del combustible b= Velocidad relativa del cohete a= Prdida de combustible (Razn) VO= Velocidad inicial t= Tiempo g= la gravedad (9,8m/s2) Solucin:Datos: MO=25000 Kg Mc=20000 Kg b= 400 m/s a= 1000 Kg V0= 0 La fuerza que acta es la gravedad; se utilizara g = 9,8m/s2 Parte a) Velocidad del cohete a los 15 seg t= 15 seg Sustituyendo los valores: Vc = 400Vc = Vc = 220 Velocidad del cohete a los 20seg t= 20 seg Sustituyendo los valores: Vc = 400 Vc

Velocidad del cohete a los 30 seg t= 30 seg Sustituyendo los valores: Vc = 400 Vc

Parte b) Calculo de la masa de la mitad del combustible. Calculo del tiempo cuando en cohete ha consumido la mitad del combustible. Sustituyendo los valores los obtenidos y los conocidos en la ecuacin de distancia Obtenemos: CONCLUSION Todos los ingenieros, incluyendo Ingenieros Industriales, toman matemticas con clculo y ecuaciones diferenciales. La ingeniera industrial es diferente ya que est basada en matemticas de" variable discreta", mientras que el resto delaingenierasebasaenmatemticasde"variablecontinua".Aslos Ingenieros Industriales acentan el uso del lgebra lineal y de las ecuaciones diferenciales, en comparacin con el uso de las ecuaciones diferenciales que sonde uso frecuente enotrasingenieras.Estenfasisllegaaserevidente enlaoptimizacindelossistemasdeproduccinenlosqueestamos estructurandolasrdenes,laprogramacindetratamientosporlotes, determinando el numero de unidades de material manejables, adaptando las disposiciones de la fbrica, encontrando secuencias de movimientos, etc. Los ingenierosindustrialesseocupancasiexclusivamentedelossistemasde componentesdiscretos.AsquelosIngenierosindustrialestienenuna diversa cultura matemtica.Lasecuacionesdiferencialesjueganunpapelesencialenelmodeladode procesos de la gran mayora de las ciencias modernas. La resolucin efectiva de las ecuaciones diferenciales requiere, en casi todos loscasos,elusodemtodosnumricos.Sudiseoyelanlisisdesuefectividad es uno de los temas centrales del Anlisis Numrico. En el trabajo presentado se estudi detalladamenteel movimiento del cohete aplicandolas ecuaciones diferenciales para su desarrollo y las deducciones de formulas que son utilizadas para el calculo de la velocidad y distancia en un instante determinado