movimiento forzado ecuaciones
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SISTEMAS DE RESORTE Y MASA:
“MOVIMIENTO FORZADO”
LAURA DANIELA BARRIGA GÓMEZ - 1097399798
ANDRÉS FELIPE BUITRAGO FERIA -1097400317
KARLA DÍAZ SALAZAR - 1094927448
UNIVERSIDAD DEL QUINDIO
FACULTAD DE INGENIERIA
PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL
ARMENIA-QUINDIO
2013
~ 1 ~
CONTENIDO
Pág.
1. Introducción ……………………………………………………………………...3
2. Justificación ……………………………………………………………………...3
3. Objetivos…………………………………………………………………………..4
4. Marco teórico………………………………………………………………… .....4
5. Conclusiones…………………………………………………………………....17
6. Referencias bibliográficas……………………………………………………..18
~ 2 ~
INTRODUCCIÓN
Los sistemas de resorte y masa están descritos por una ecuación diferencial de
segundo orden y se puede utilizar por varios tipos de este sistema, entre los
cuales se encuentran:
- Movimiento no amortiguado.
- Movimiento amortiguado.
- Movimiento Forzado con amortiguamiento.
Las formas de esta ecuación de segundo orden se presentan y aplican en el
análisis de problemas en diversas áreas de la ciencia e ingeniería, enfocados en la
elongación, amortiguamiento y resistencia entre otras características de un
movimiento forzado en un resorte.
JUSTIFICACIÓN
Los sistemas de movimiento masa/resorte están establecidos en una ecuación
diferencial de segundo orden, que a medida que se incrementa en el tema se
pueden agregar nuevas variables tales como la elasticidad, amortiguamiento y
fuerza externa. Pero siempre manteniendo la misma proporción con la misma
ecuación Diferencial principal.
~ 3 ~
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL:
Conocer los diferentes tipos de Movimientos del sistema resorte- masa aplicando
los métodos vistos en clase para resolver estas ecuaciones diferenciales de orden
superior.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Conocer la forma de la ecuación diferencial de segundo orden para poder
darle solución y hallar una solución generalizada para cualquier problema
dado.
Diferenciar cuales son las características que tiene un movimiento forzado,
las cuales los movimientos libre amortiguado y no amortiguado no tienen.
Entender cuál es la aplicación del tema: sistemas resorte/masa “movimiento
forzado” y como se utiliza.
MARCO TEÓRICO
Los primeros conceptos para comprender esta ecuación nos los dan las siguientes
dos leyes:
LEY DE HOOKE: Suponga que un resorte se suspende verticalmente de
un soporte rígido y luego se le fija una masa m a su extremo libre. Por
supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende
de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades
diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza
restauradora f opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la
cantidad de elongación S y es expresada en forma simple como f=KS,
donde K es una constante de proporcionalidad llamada constante de
~ 4 ~
resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número. Por ejemplo, si
una masa que pesa 10 Kilogramos hace que un resorte se alargue 1/2
metro, entonces 10=k (1/2) implica que k = 20 kg/m.
SEGUNDA LEY DE NEWTON Después de que se une una masa m a un
resorte, ésta alarga el resorte una cantidad Sy logra una posición de
equilibrio en la cual su peso W se equilibra mediante la fuerza
restauradoraKS. Recordemos que el peso se define medianteW=mg,
donde la masa se mide en kilogramos o gramos y g = 9.8 m/s2, o bien 980
cm/s2, respectivamente.
La condición de equilibrio es mg=ksó mg—ks=0. Si la masa se desplaza por
una cantidad x de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es
entonces k (x+s) .Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan
sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas.
Iniciando con las ecuaciones diferenciales de resorte-masa se tiene primero la
Ecuación diferencial de un movimiento libre no amortiguado, la cual está dada por
la siguiente expresión:
d2 xd t 2 +w2 x=0
~ 5 ~
Donde w2= k
m
Ahora La segunda forma de la ecuación general del sistema resorte-masa
representaría un movimiento libre amortiguado la cual está dada por:
d2 xd t 2 +2 γ
dxdt
+w2 x=0
Donde:
β=es unaconstante deamortiguamiento positiva
2 γ= βm
Ahora La Tercera forma de la ecuación general del sistema resorte-masa
representaría un movimiento forzado con amortiguamiento la cual está dada por:
d2 xd t 2 +2 γ
dxdt
+w2 x=F (t)
Donde
F ( t )= f (t)m
Suponga que ahora se toma en consideración una fuerza externa f (t) que actúa
sobre una masa vibrante en un resorte. Por ejemplo f (t) podría representar una
fuerza motriz que causa un movimiento vertical oscilatorio del soporte del resorte.
La inclusión de f (t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación
diferencial de movimiento forzado o dirigido.
EJEMPLOS:
1) x ' '+6 x '+10x=25 cos4 t
~ 6 ~
Se Resuelve la ecuación diferencial homogénea
x ' '+6 x '+10x=0 (1)
Aplicando la solución de la forma x (t )=c1 emt y derivando se obtiene:
x ' (t )=c1memt
x ' ' (t )=c1m2emt
al remplazar en la ecuación diferencial (1), se obtiene:
c1m2 emt+6 (c1me
mt )+10 (c1 emt )=0c1 e
mt (m2+6m+10 )=0
utilizando la ecuación auxiliar
m2+6m+10=0
m=−6±√6−4(10)
2
m=−6±√−42
m=−6±2i2
m=−3± i
m1=−3+i , m2=−3−i
Como las soluciones encontradas son raíces complejas conjugadas, se
utiliza la ecuación:
xh=eα ¿ (2)
~ 7 ~
Al remplazar en la ecuación diferencial (2) se obtiene:
xh=e−3 t ¿
Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea:
x ' '+6 x '+10x=25 cos4 t (3)
La solución particular tiene la forma:
x p=A cos 4 t+B sin 4 t (4)
Y derivando se obtiene:
x ' p=−4 A cos 4 t+4 B sin 4 t
x ' ' p=−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t
Al remplazar en la ecuación diferencial (3), se obtiene:
−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t+6 (−4 A cos4 t+4 B sin 4 t )+10 ( A cos 4 t+B sin 4 t )=25 cos 4 t
−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t−24 A cos 4 t+24 B sin 4 t+10 A cos4 t+10 B sin 4 t=25 cos 4 t
cos 4 t (−16 A+24 B+10 A )+sin 4 t (−16B−24 A+10B )=¿25 cos4 t ¿
Se halla el valor de A y B:
−16 A+24 B+10 A=25
−6 A+24 B=25
−6 A=25−24 B
A=25−24 B−6
A=25−24 (50
51 )−6
A=−25102
−16 A−24 B+10 A=0
~ 8 ~
−6 B−24 ( 25−24B−6 )=0
−6 B+100−96B=0
−102B+100=0
B=−100−102
B=5051
Al remplazar A y B en la ecuación diferencial (4), se obtiene:
x p=−25102
cos 4 t+ 5051
sin 4 t
Por último se remplaza xh y x p en la ecuación:
x (t )=xh+x p y seobtiene:
x (t )=e−3 t ¿
2) Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya constante es
32N/m, este llega al reposo en la posición de equilibrio, y con una fuerza igual
a f (t )=68e−2 t cos 4 t se aplica al sistema. Determine la ecuación de movimiento
en ausencia de amortiguamiento.
m=2kg k=32Nm
f (t )=68e−2 t cos 4 t
Al remplazar en la ecuación diferencial de movimiento forzado
~ 9 ~
md2 xd t2
+β dxdt
+kx=f (t )
Se obtiene:
2 x' '+32x=68e−2t cos4 t
Se Resuelve la ecuación diferencial homogénea:
2 x' '+32x=0 (1)
Aplicando la solución de la forma x (t )=c1 emt y derivando se obtiene:
x ' (t )=c1memt
x ' ' (t )=c1m2emt
Al remplazar en la ecuación diferencial (1), se obtiene:
2(c1m2emt)+32 (c1 e
mt )=0c1 emt (2m2+32 )=0
Y se utiliza la ecuación auxiliar:
2m2+32=0
2m2=−32
m2=−322
m2=−16
m=±√−16
m=±√16 i
m=±4 im1=4 i , m2=−4 i
~ 10 ~
Como las soluciones encontradas son raíces complejas conjugadas, se
utiliza la ecuación:
xh=eα ¿ (2)
Al remplazar en la ecuación diferencial (2) se obtiene:
xh=c1 cos4 t+c2 sin 4 t
Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea:
2 x' '+32x=68e−2t cos4 t (3)
La solución particular tiene la forma:
x p=Ae−2 t cos 4 t+Be−2 t sin 4 t (4)
Y derivando se obtiene:
x ' p=−2 Ae−2 t cos 4 t−4 A e−2t sin 4 t−2Be−2 t sin 4 t+4 Be−2 t cos 4 t
x ' ' p=4 Ae−2 t cos 4 t+8 A e−2 t sin 4 t+¿8 A e−2 t sin 4 t−¿16 A e−2 t cos4 t ¿¿
+4B e−2 t sin 4 t+8Be−2 t cos 4 t+8Be−2 t cos 4 t−16B e−2 t sin 4 t
Al remplazar en la ecuación diferencial (3), se obtiene:
2¿
8 Ae−2 t cos 4 t+16 A e−2 t sin 4 t+¿16 A e−2 t sin 4 t−¿32 A e−2 t cos 4 t+8B e−2 t sin 4 t+16 Be−2 t cos 4 t+16 Be−2 t cos 4 t−32Be−2 t sin 4 t+32 A e−2t cos4 t+32Be−2 t sin 4 t=68e−2t cos4 t ¿¿
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8 Ae−2 t cos 4 t+32 Ae−2 t sin 4 t−32 Ae−2 t cos 4 t+8Be−2 t sin 4 t+32B e−2 t cos 4 t−32B e−2 t sin 4 t+32 Ae−2 t cos 4 t+32 Be−2t sin 4 t=68e−2 t co s4 t
e−2 t cos 4 t (8 A−32 A+32B+32 A )+e−2 t sin 4 t (32 A+8B−32B+32 B )=68e−2 t cos 4 t
e−2 t cos 4 t (8 A+32 B )+e−2 t sin 4 t (32 A+8B )=68e−2 t cos4 t
Se halla el valor de A y B:
8 A+32 B=68
8 A=68−32 B
A=68−32B8
A=68−32 (2 )
8, A=1
2
32 A+8 B=0
32( 68+32B8 )+8B=0
272+128B+8B=0
136 B=−272
B=−272136
, B=−2
~ 12 ~
Al remplazar A y B en la ecuación diferencial (4), se obtiene:
x p=12e−2 t cos 4 t−2e−2 t sin 4 t
Y por último se remplaza xh y x p en la ecuación:
x (t )=xh+x p y seobtiene:
x (t )=c1 cos 4 t+c2 sin 4 t+¿ 12e−2 t cos 4 t−2e−2t sin 4 t ¿
3) x+ 2 x ' + 2 x = 4 cost + 2 sen
Al remplazar en la ecuación diferencial de movimiento forzado
md2 xd t2
+β dxdt
+kx=f (t )
Se obtiene: X ’’+2 x ’+2x=0
Se Resuelve la ecuación diferencial homogénea:
X ’’+2 x ’+2x=0 (1)
Aplicando la solución de la forma x (t )=c1 emt y derivando se obtiene:
x ' (t )=c1memt
x ' ' (t )=c1m2emt
Al remplazar en la ecuación diferencial (1), se obtiene:
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X=c1 emt (m2+2m+2 )=0
c1 emt≠0 m2+2m+2=0
m=−2±√4−4 (2 )
2=−2±√4
2=−2±2 i
2
m1=−1+i
m2=−1−i
α=−1 β=1
Como las soluciones encontradas son raíces complejas conjugadas, se
utiliza la ecuación:
xh=eα ¿ (2)
Para llegar a ello se realiza:
x (t )=c1 e−t e¿+c2 e
−t e−¿
e¿=cos t+ isent e¿+e−¿=2cost
e−¿=cos t−isent e¿−e−¿=2isent
Si c1=c2=1
x1 (t )=e−t (e¿+e−¿)
x1 (t )=e−x (2cosx)
S ic1=1 , c2=−1entonces :
14
x2 (t )=e−t (e¿−e−¿)
x2(t)=e−t2isent
Al remplazar en la ecuación diferencial (2) se obtiene:
xh (t )=c1 e−t2cost+c2 e
−t2 isent
Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea (primera parte):
x ' '+2 x '+2 x=4cost (3)
La solución particular tiene la forma:
p=acost+bsent (4)
Y derivando se obtiene:
x p'=−asent+bcost
x p' '=−acost−bsent
Al remplazar en la ecuación diferencial (3), se obtiene:
−acost−bsent−2asent+2bcost+2acost+2bsent=4 cost
cost (a+2b )+sent (b−2a )=4cost
Se halla el valor de A y B:
b−2a=0
B=2a
15
a+2b=4
a+4 a=4
a=45, b=8
5
Al remplazar A y B en la ecuación diferencial (4), se obtiene:
x1 p ( t )=45cost+ 8
5sent
Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea (segunda parte):
x ' '+2 x '+2 x=2 sent
xp=acost+bsent
x p'=−asent+bcost
x p' '=−acost−bsent
Al remplazar en la ecuación diferencial (3), se obtiene:
−acost−bsent−2asent+2bcost+2acost+2bsent=2 sent
cost (a+2b )+sent (b−2a )=2 sent
Se halla el valor de A y B:
a+2b=0
a=−2b
b−2a=2
B+4 b=2
5b=2
16
b=25
Al remplazar A y B en la ecuación diferencial (4), se obtiene:
x2 p (t )=−45cost+ 2
5sent
La solución general de de la ecuación diferencial no homogénea está dada
por:
x1 p+x2 p=2 sent
Y por último se remplaza xh y x p en la ecuación:
x (t )=xh+x p y seobtiene:
x (t )=c1 e−t2cost+c2 e
−t2 isent+2 sent
CONCLUSIONES
El movimiento forzado dentro de los sistemas de resorte y masa abarca
completamente los temas de movimiento libre no amortiguado y el movimiento
libre amortiguado, ya que para la solución de la ecuación diferencial del
movimiento forzado amortiguado es necesario: 1) tener claro el concepto de
los dos temas anteriores, y 2) saber utilizar e implementar las ecuaciones de
los temas, ya que estas son una base fundamental de la tercera.
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A partir de la ley de Hooke y de la segunda ley de Newton se pueden
obtener las primeras fórmulas tanto para el movimiento libre no amortiguado
como para cada uno de los siguientes temas.
En la ecuación diferencial del movimiento forzado se presenta una parte de
la ecuación como base única e irremplazable y otra segunda en la que se
conforma de constantes de proporcionalidad de acuerdo al estado o las
condiciones en las que se encuentre el resorte como: restauración,
amortiguamiento, elasticidad, distancia de elongación, etc...
La característica principal del sistema resorte/masa en movimiento forzado
es que en el sistema se presenta una fuerza ejercida sobre el resorte u objeto,
en la cual, la base también se encuentra a su vez en movimiento, situación
que no ocurría en ninguno de los movimientos anteriores.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Zill G. Dennis. “ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la
frontera”. México D.F. Grupo editorial Iberoamérica S.A.1982.pag.195-205.
Kurmyshev Evguenii. “fundamentos de métodos matemáticos para física e
ingeniería”. México D.C. Editorial Limusa. 2003. Pag.52.
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