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Modelo de Respuestas Primera Parcial Lapso 2010-2 752_757 –1/3

Elaborado por: Chanel Chacón

Área de Matemática

Universidad Nacional Abierta Álgebra I (752 - 757)

Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 580 -126

Área De Matemática Fecha: 16/10/2010

MODELO DE RESPUESTASObjetivos 1, 2 y 3.

OBJ 1 PTA 1

Simplificar la siguiente expresión usando las propiedades de la teoría deconjuntosA ∪ [ (B ∩ (A ∪ B) ) ∩ (A ∪ (A ∩ B) ) ]

Solución:

A ∪ [ (B ∩ (A ∪ B) ) ∩ (A ∪ (A ∩ B) ) ]

A ∪ [ (B ∩ (B ∪ A) ) ∩ (A ∪ (A ∩ B) ) ] Por ser la unión conmutativa.

A ∪ [ B ∩ A ] Por la ley de absorción

A ∪ [ A ∩ B ] conmutando

A aplicando nuevamente la ley de absorción.

NOTA: Aquí se observa la importancia de la lógica Matemática para el estudio delálgebra.

OBJ 2 PTA 2

En IN (conjunto de los números naturales) definimos la relación T, por aTb ↔ ∃ n ∈ IN tal

que an = b . Demuestre si T es una relación de orden-

Solución:

Para que T sea una relación de orden debe cumplirse que:i) aTa ∀a∈ IN (reflexividad)ii) ( aTb ∧ bTc ) ⇒ aTc (Transitividad)iii) (aTb ∧ bTa ) ⇒ a=b (Antisimetría)

Comencemos probando (i)

Este paso permite visualizarla presencia de la propiedadque se aplicará seguidamente

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OBJ 3 PTA 3

Sea f : X → Y. Demuestre que f es sobreyectiva si y solo si para todo B ⊂ Y se verificaf (f –1 (B)) = BSolución: Demostración: (⇒ ) Supongamos que f:X → Y es sobreyectiva y probemos quef(f -1(B)) = B para todo B ⊂ Y.

Probaremos la igualdad de conjuntos probando que se cumple la doble inclusión. Enprimer lugar f(f -1(B)) ⊂ B. Sea z ∈ f(f -1(B)).z ∈ f(f -1(B)) ⇒∃ x:x∈ f -1(B) y f(x)=z, por definición de imagen de un subconjunto: f(A).

⇒ z= f(x) ∈ B por definición de imagen recíproca: f -1(B)⇒ f(f -1(B)) ⊂ B (1)

Observe que en la demostración de esta parte no hizo falta la sobreyectividad de f dada

en la hipótesis.Veamos ahora que B ⊂ f(f -1(B)). Sea z∈B.z∈B ⇒ ∃ x ∈ X tal que f(x) = z por ser f sobreyectiva.

⇒ f(x) ∈ B⇒ x ∈ f -1(B) por definición de imagen recíproca de un subconjunto.⇒ f(x) = z ∈ f( f -1(B)) por definición de imagen de un subconjunto.⇒ B ⊂ f( f -1(B)) (2) por definición de inclusión de conjuntos.

De (1) y (2) f (f –1 (B)) = B

Demostración: (⇐ ) Supongamos ahora que f(f -1(B)) = B para todo B⊂ Y.Como esta igualdad se cumple para todo B ⊂ Y, entonces se cumple para Y pues Y⊂Y,Por lo tanto tenemos que f (f –1 (Y)) = YSea z ∈ Y, debemos probar que existe un x ∈X tal que f(x)= zEn efecto:z∈ Y ⇒ z∈ f(f -1(Y)) pues por hipótesis f (f –1 (Y)) = Y

⇒ ∃ x∈ f -1(Y) ⊂ X tal que f(x) = z , por definición de imagen de un subconjunto.⇒ f es sobreyectiva, por definición de función sobreyectiva.

De este modo hemos probado que

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Dada f: X → Y. se cumple que: f es sobreyectiva si y sólo si para todo B ⊂ Y se verificaf (f –1 (B)) = B

FIN DEL MODELO

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