ms 03 resistenzastatica&intaglio

C. Delprete - DIMEAS 1

•  La prova serve per valutare sperimentalmente le caratteristiche meccaniche statiche di un materiale

•  Fa riferimento alla norma UNI EN 10002 •  Si esegue su provette, cilindriche o piatte, che hanno un tratto

calibrato con sezione retta (iniziale) S0 e lunghezza tra i riferimenti L0

•  La macchina di prova è provvista di una traversa fissa (o basamento) e di una traversa mobile; tra le due traverse viene montato il provino per mezzo di afferraggi (meccanici o idraulici)

•  Mediante una cella di carico si misura il carico di trazione assiale applicato e mediante un estensometro si misura l’allungamento subito dal tratto calibrato del provino

PROVA DI TRAZIONE


basamento

traversa mobile

morsetti

colonne

cella di carico

provino

•  La prova procede fino alla rottura del provino

•  Si registrano i valori di forza agente sulla provetta e il suo allungamento

•  Si riportano i risultati della prova su un grafico forza-allungamento

•  Il carico unitario (indicato con il simbolo) R__) cioè la tensione, si ottiene in modo convenzionale dividendo il carico applicato al provino per la sezione retta iniziale del tratto calibrato


•  Riaccostando i monconi della provetta dopo rottura si misura la lunghezza ultima Lu tra i riferimenti e si definisce l’allungamento percentuale dopo rottura:

•  In base all’allungamento percentuale dopo rottura, nella pratica ingegneristica i materiali si distinguono convenzionalmente in: •  Fragili, A < 5% •  Duttili, A > 10%

•  Le caratteristiche meccaniche statiche di riferimento sono:

A=Lu ! L0L0

"100

Rm = Fm S0ReH = FeH S0Rp0,2 = Fp0,2 S0

!"#

$#

carico unitario di rottura (MPa) carico unitario di snervamento superiore (MPa) carico unitario di scostamento dalla proporzionalità allo 0.2% (MPa)


F

(%) A

rottura

Fm

< 5 •  La rottura è improvvisa •  La superficie di rottura perpendicolare alla direzione del carico,

ruvida e con asperità

Massima ordinata, coincide con la rottura

Materiale fragile


•  É evidente un plateau di snervamento •  La rottura è preceduta da deformazioni plastiche •  La superficie di rottura è inclinata a 45° (piano di massima

tensione tangenziale) rispetto alla direzione del carico ed è “liscia e satinata”

Massima ordinata, non coincide con la rottura

F

(%) A

rottura

def. pl. uniforme def. pl. localizzata

Fm

FeH FeL

> 10

def. elastica

Materiale duttile con evidente snervamento


•  Non esiste il plateau di snervamento e lo snervamento si definisce in modo convenzionale per un allungamento percentuale di 0,2%

•  Essendo il materiale duttile la rottura è preceduta da deformazioni plastiche, la superficie di rottura è inclinata a 45° ed è “liscia e satinata”

Massima ordinata, non coincide con la rottura

Materiale duttile senza evidente snervamento

F

(%) A 0,2%

Fm

Fp0,2

rottura

def. pl. uniforme def. pl. localizzata

> 10

def. elastica


IPOTESI DI CEDIMENTO STATICO

•  Problema: confrontare lo stato di tensione agente nel punto più sollecitato del componente (in generale 3D) con il limite di resistenza statica del materiale (un solo valore)

•  Soluzione: sostituire le tre tensioni principali con un unico valore di tensione ideale (non è necessariamente lo stato di tensione agente) equivalente dal punto di vista del pericolo di cedimento

•  La funzione f non è univoca ma dipende da come si comporta il materiale all’aumentare delle sollecitazioni: •  Materiale fragile - Ipotesi di cedimento statico della massima

tensione normale (o ipotesi di Galileo) •  Materiale duttile - Ipotesi della massima tensione tangenziale (o

ipotesi di Tresca) oppure Ipotesi della massima energia di distorsione (o ipotesi di Von Mises)

!id = !eq = f !1,!2,!3( )


Materiale fragile – Ipotesi della σmax (Galileo)

•  Il componente si rompe (il cedimento è la rottura) per decoesione frontale

σ

τ

Rm

σ1σ

2σ3

m2

2

1 22Rid ≤τ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛σ+

σ=σ=σ

! ! "="n+"f

dir. princ.


Materiale duttile – Ipotesi della τmax (Tresca)

•  Il componente inizia a deformarsi plasticamente (il cedimento è lo snervamento) per scorrimento lungo piani a 45° rispetto alla direzione di applicazione del carico

σ

τ

σ1

σ2

σ3

ReH2

eH22

31 4 Rid ≤τ+σ=σ−σ=σ

! ! "="n+"f

dir. princ.


Materiale duttile – Ipotesi della massima energia di distorsione (Von Mises)

•  Il componente inizia a deformarsi plasticamente (il cedimento è lo snervamento) quando la quota di energia potenziale elastica di deformazione che corrisponde al puro cambiamento di forma (distorsione) raggiunge un valore critico

•  Essendo un’ipotesi di tipo energetico è non lineare nelle tensioni:

•  A parità di σ e τ, calcola un valore minore di σid rispetto all’ipotesi della τmax (Tresca)

! ! "="n+"f

dir. princ.

!id =12

!1"!2( )2 + !2 "!3( )2 + !1"!3( )2 = !2 +3#2 $ ReH


Materiale duttile e stato tensione piana: confronto tra le ipotesi di cedimento statico di Tresca e di Von Mises

•  L’ipotesi di Tresca è più cautelativa (curva limite inscritta, zona di sicurezza più piccola; σid calcolata più elevata)

•  La discrepanza è comunque limitata e assorbita dalla disperzione dei dati sperimentali

•  L’ipotesi di Von Mises porta a un’unica formula (svantaggio: è non lineare)

•  L’ipotesi di Tresca è lineare (svantaggio: non porta a un’unica formula nei quattro quadranti)

σ1= σ

b σ

2=0 σ

3= σa

σ1= σ

b σ

2= σa

σ3=0

σ1= σ

a σ

2= σb

σ3=0

σb

σa

σ1= σ

a σ

2=0 σ

3= σb

σ1=0 σ

2= σa

σ3= σ

b

σ1=0 σ

2= σb

σ3= σ

a


da J.A. Collins, Failure of Materials in Mechanical Design, Wiley, 1981


•  Il calcolo strutturale ha lo scopo di garantire che il componente possa sopportare i carichi a cui sarà sottoposto durante il servizio, senza subire alterazioni che ne pregiudichino il regolare funzionamento o addirittura rotture

•  Definita una soglia di sollecitazione da non superare (p.e. la rottura o lo snervamento) è prudente che la condizione di lavoro non giunga a sfiorare tale soglia, ma se ne mantenga sufficientemente al di sotto

•  Il coefficiente di sicurezza è la “distanza” tra la sollecitazione corrispondente alla condizione di lavoro e la sollecitazione relativa alla soglia

•  Quando detto sopra è giustificato dalle seguenti osservazioni

COEFFICIENTE DI SICUREZZA STATICO


•  Lo stato di sollecitazione presente nel componente è calcolato mediante soluzioni analitiche (elementi strutturali standard) o con metodi numerici (FEM) e il risultato ottenuto non rappresenta la realtà, ma ne costituisce comunque un’approssimazione

•  La condizione di carico assunta per il calcolo è soggetta a incertezza (dispersione a cui si cerca di ovviare assumendo come riferimento la situazione peggiore) e non si può escludere che per qualche causa accidentale essa superi il valore previsto

•  Le caratteristiche di resistenza dei materiali sono soggette a incertezze legate al processo di produzione


•  Quando si cerca di quantificare il margine di sicurezza da interporre tra situazione limite e situazione di funzionamento, ci si accorge che la scelta non è unica e a essa concorrono diverse considerazioni, non solo di natura tecnica, ma anche di natura economica e/o sociale: •  Se la condizione limite fosse superata la struttura subirebbe

un eccesso di deformazione locale o una rottura? •  La rottura riguarderebbe soltanto uno o pochi elementi

oppure porterebbe alla distruzione completa? •  Il superamento della condizione limite potrebbe causare

danni ad altri beni o addirittura a persone? •  Esistono meccanismi intrinseci di limitazione del danno?

comportamento del materiale (plasticità), distribuzione delle sollecitazioni (gradiente), struttura (ridondanze)?


•  L’approccio più semplice e generalmente più utilizzato consiste nel calcolare il coefficiente di sicurezza riferito alla tensione

•  Si tratta di verificare che, nel punto più sollecitato del componente, la tensione agente (la tensione ideale scelta in base a un’ipotesi di cedimento adeguata al materiale) sia sufficientemente inferiore alla tensione limite di cedimento del materiale

•  Il margine tra le due tensioni è quantificato dal coefficiente di sicurezza statico (o fattore di sicurezza):

!id " !lim !lim = Rm, ReH o Rp0 ,2

CS =!lim!id


Caso CS

Strutture in acciao 1.5 (snervamento)

Recipienti in acciaio 1.5 (snervamento)

Recipienti in ghisa sferoidale 4-5.5 (rottura)

Recipienti in ghisa grigia 8 (rottura)

Funi (ascensori, montacarichi) 12 (rottura)

•  Valori minimi prescritti per il coefficiente di sicurezza statico (riferito alla tensione)


•  Si verifica in componenti che presentano brusche variazioni di forma della sezione resistente (in genere legate a necessità di progetto)

•  La presenza dell’intaglio provoca perturbazioni locali: •  Variazione dello stato di tensione rispetto a quanto calcolato

con la teoria di de Saint Venant •  Concentrazione localizzata delle tensioni •  Stato di tensione tridimensionale (anche nel caso di

sollecitazione monoassiale) •  Lo stato di tensione nella zona dell’intaglio è valutabile per via:

•  Analitica soltanto per alcune geometrie utilizzando la teoria dell’elasticità (equilibrio/congruenza);

•  Sperimentale (fotoelasticità, estensimetria, vernici fragili) •  Numerica (FEM, BEM)

INTAGLIO


σno

m

σm

ax

Trazione

σno

m

σm

ax

Flessione


dD

z

r

F

F

r

zσ

σ

cσ

σ

rσ

σ

σ

σ

3

2

1

2d4π

σ Fnom

=nom

nom

nomnom

•  Si tiene conto di queste variazioni con il fattore di concentrazione delle tensioni (o fattore di forma)

!nom =4F"d 2

•  Barra a sezione circolare con gola, sollecitata a trazione statica: stato di tensione 3D per effetto d’intaglio


•  Il fattore di concentrazione delle tensioni o fattore di forma è il rapporto tra la tensione massima, raggiunta all’apice dell’intaglio, nella direzione della tensione nominale di de St. Venant e la tensione nominale calcolata con le formule di de St Venant nella sezione minima dell’intaglio:

•  Kt serve per calcolare la tensione massima effettiva che si genera in prossimità dell’intaglio, nota la tensione nominale di de St. Venant

•  Kt dipende dalla geometria dell’intaglio e dalla modalità di applicazione del carico

•  I valori di Kt si ricavano da diagrammi reperibili in letteratura (una selezione è fornita da R.E. Petterson, Stress Concentration Factor, Wiley, 1974)

Kt =!max!nom


Kt: albero con spallamento

2.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0

21.51.21.051.01

0.10 0.2 0.3r/d

D/d

Kt

D d PP

r

2nomd4Pπ

σ =

3.02.92.82.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0

631.51.11.01

D/d

Kt

D d

r

Mf Mf

3f

nomd

32Mπ

σ =

0.10 0.2 0.3r/d

2.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0

21.21.1

D/d

Kt

D d

rMt Mt

3t

nomd

16Mπ

τ =

0.10 0.2 0.3r/d


3.02.92.82.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0

>21.11.031.01

D/d

Kt

D d

r

PP

2nomd4Pπ

σ =

0.10 0.2 0.3r/d

3.02.92.82.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0

≥ 21.11.031.01

D/d

Kt

D d

r

Mf Mf

3f

nomd

32Mπ

σ =

0.10 0.2 0.3r/d

2.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0

21.11.01

D/d

Kt

D d

r

Mt Mt

3t

nomd

16Mπ

τ =

0.10 0.2 0.3r/d

Kt: albero con gola


3.02.92.82.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0 0.10 0.2

Kt

0.3

D

d

d/D

dD)4/D(P

2nom⋅−

≈π

σ

d/6D)16/D(M

23t

nom−

≈π

τ

d/6D)32/D(M

23f

nom−

≈π

σ

Kt: albero con foro trasversale


3.02.92.82.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0

Ktr

PPH h

t

thP

nom ⋅=σ

21.5

1.151.051.01

H/h

0.10 0.2 0.3r/h

3.02.92.82.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0

Kt

H h

t

MfMf

r

621.21.051.01

H/h

2f

nomhtM6⋅

⋅=σ

0.10 0.2 0.3r/h

Kt: piastra con riduzione di sezione


3.02.92.82.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0

∞1.51.15

1.05

1.01

H/hKt

H h

tr

PP

thP

nom ⋅=σ

0.10 0.2 0.3r/h

H/h

∞1.51.151.051.01

Mf

3.02.92.82.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0

Kt

2f

nomhtM6⋅

⋅=σ

H h

tr

MfMf

0.10 0.2 0.3r/h

Kt: piastra con intagli laterali


3.02.92.82.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0

Kt

2nomd)h(bM6

−

⋅=σ

dhb

M M

d/h

∞2

∞

10.50.25

0

0.20 0.40.1 0.3 0.5d/b

3.02.92.82.72.62.52.42.32.22.12.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.0 0.20 0.4

Kt

dh

bP P

d)h(bP

nom −=σ

0.1 0.3d/b

Kt: piastra forata


•  Dai diagrammi che riportano i valori di Kt si nota che la geometria dell’intaglio è descritta con grandezze adimensionali: D/d e r/d

•  Il Kt dipende quindi soltanto dalle proporzioni del componente e non dalle sue dimensioni assolute

•  Se il raggio di fondo intaglio tende a zero Kt (e quindi la tensione massima) tende ad infinito

•  Fisicamente questo non può avvenire perché: •  Nel caso di materiale duttile, quando si supera il limite elastico

il materiale snerva e ridistribuisce i picchi di tensione localizzata

•  Nel caso di materiale fragile, superato il limite di rottura il materiale si rompe

•  Il picco di concentrazione delle tensioni dovuto alla presenza dell’intaglio conta quindi diversamente a seconda del materiale, fragile o duttile


•  Consideriamo una piastra intagliata, caricata in trazione (stato di tensione nominale senza gradiente)

•  Per un materiale fragile (A < 5%) l’unica modalità di cedimento è la rottura fragile (per decoesione frontale)

•  Si deve quindi evitare che il carico unitario di rottura del materiale venga superato anche soltanto in un punto della sezione

P P h

Rm

!max = Kt!nom < Rm


ReH ReH ReH

•  Per un materiale duttile le modalità di cedimento sono: •  primo snervamento •  completa plasticizzazione (o collasso plastico) •  rottura duttile

•  Data la duttilità del materiale, se lo snervamento viene raggiunto in un punto della sezione la rimanente parte di sezione può ancora plasticizzare

•  Il picco di tensione viene infatti ridistribuito per plasticizzazione progressiva della sezione finché in tutti i punti della sezione si raggiunge il carico unitario di snervamento del materiale


R eH R m

•  Da questo momento in poi il componente si comporta come se fosse un pezzo non intagliato di uguale sezione minima

•  La presenza dell’intaglio non ha quindi più alcun effetto e la

verifica contro la rottura duttile viene convenzionalmente effettuata considerando le tensioni nominali di de St. Venant


•  Nel caso di cedimento per primo snervamento, perché nessuna fibra del componente snervi deve essere:

•  Dato che l’effetto dell’intaglio è localizzato, questa condizione è molto restrittiva e porta a un sovradimensionamento del componente; spesso è sufficiente che il componente nel suo insieme rispetti la linearità, indipendentemente da ciò che accade in singoli punti

•  Si passa quindi al caso di cedimento per completa plasticizzazione della sezione in cui si sfrutta la capacità del materiale duttile di plasticizzare (formazione di cerniera plastica) e si assume Kt =1:

•  Nel caso di cedimento per rottura duttile si ha:

!max = Kt!nom < ReH o Rp0.2

!nom " ReH

!nom " Rm


•  Consideriamo ora una piastra intagliata, caricata a flessione (stato di tensione nominale con gradiente) e in materiale duttile

•  Il momento di primo snervamento (momento flettente che provoca lo snervamento di una fibra di materiale) vale:

Mf h Mf

ReH

M ps = ReHbh2

6


•  Invece il momento che porta alla formazione della cerniera plastica (momento flettente che provoca lo snervamento di tutta la sezione della piastra) vale:

•  La condizione di completa plasticizzazione avviene quindi per:

•  Lo stato di tensione nominale con gradiente ha quindi un “intrinseco” coefficiente di sicurezza (1.5) rispetto allo stato di tensione nominale senza gradiente (la trazione è più pericolosa della flessione)

Mcp = !dA " ymax =A# ReHbh2"h2= ReH

bh2

4=

= ReH "1.5"bh2

6ReH

Mcp =1.5M ps


•  Nel caso di sezione circolare anziché rettangolare, il calcolo porta allo stesso risultato anche se in meccanismo reale è più complesso

•  Consideriamo infine una piastra intagliata, caricata a torsione (stato di tensione nominale con gradiente) e in materiale duttile

•  Per la verifica a rottura duttile si considera la tensione ideale secondo l’ipotesi di Tresca (utilizzando la tensione nominale di de St Venant) e si pone convenzionalmente:

!id = 2" # Rm


!id ,max = !1,max " Rm

!1,max =!max2

+!max2

"

#$$

%

&''

2

+ (max2

!max = Kt , f )! f + Kt ,n )!n(max = Kt ,t ) (

•  Nel caso di materiale fragile, presenza di intaglio e stato di tensione multiassiale si applica l’ipotesi di cedimento della tensione normale massima (Galileo), tenendo conto dei diversi Kt per ciascuna componente di tensione:

con:


•  Nel caso di materiale duttile, presenza di intaglio e stato di tensione multiassiale non si conosce l’effettivo stato di tensione nell’intorno dell’intaglio e si procede quindi in modo convenzionale

•  La verifica convenzionale a primo snervamento si effettua calcolando la tensione ideale secondo l’ipotesi di Tresca, conteggiando le componenti massime di tensione presenti nella zona dell’intaglio (comprensive ciascuna del suo fattore di forma):

con:

!id ,max = !max, f +!max,n( )2+3"max

2 # ReH

!max, f = Kt , f "! f!max,n = Kt ,n "!n#max = Kt ,t " #


•  La verifica convenzionale a rottura duttile si effettua calcolando la tensione ideale secondo l’ipotesi di Tresca, conteggiando le componenti nominali di tensione di de St. Venant:

•  Questo perché, come già detto in precedenza, dal momento della completa plasticizzazione della sezione resistente, aumentando la sollecitazione il componente si comporta come se fosse un pezzo non intagliato di uguale sezione minima (la presenza dell’intaglio non ha quindi alcun effetto e la verifica contro la rottura duttile viene convenzionalmente fatta considerando le tensioni nominali di de St Venant)

!id ,nom = ! f +!n( )2+3"2 # Rm

ms 03 resistenzastatica&intaglio

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