c

€ ALGULI VARIATIOMMINTEGRALIUM DUPLICIUM

EXERCITATIONES

QUAS

VENIA AMPL. FACULT. PH1LOS. UPSAL.

p. p.

MAO. BBt&SVWL (SÅlällllJL MéSMärHMECHANICES DOCENS

ET

PETRUS ADOLPHUS LJUNGBERGWESTM. DALEC.

IN AUDIT. GUSTAV. DIE XIII APR. MDCCCXLII.

n. p. M. S.

p. v.

CPSALIE

WAHLSTRÖM ET IÅSTBOM.

KONUNGENS

HÖGT BETRODDE MAN,

FÖRSTE ADJUTANTEN HOS H. M. KONUNGEN,

GENERALMAJOREN OCH COMMENDÖREN MED STORA KORSET

AF KONGL. SVÄRDSORDEN,I

M. M.

HÖGVÄLBORNE HERR FRIHERRE

JOHAN GUSTAF de la »HANGE

med vördnad och tacksamhet

af

Dess

ödmjukaste tjenare

P. A. LJUNGBERG.

S,

KONUNGENS

TROMAN, BERGSRÅDETVÄLBORNE

a«»» e« w*

SAMT

BERGSRÅDINNAN VÄLBORNA

FÖDD 77XR.GXD

tacksamt och vordnadsfullt

af

äespondens

e D til fr af te /aralfrrar

Colins dessa blad

af

Sonlig vördnad, kärlek och tacksamhet.

59

unde integrale provenit liocce:

!4m = (p" + 2xp" ,v = - 2((p + 2xp) + 2(acp' + 2ßifj') - (a*(f" + 2ß*ip"),2z = - {(f 4- 2\}j ) + ct(p + 2ßip j

seu secundum (4LS):

i2x — - 2(<p + 2ifj) + 2(ct<p' + 2ßip') + j [(1 -4a8) 9/'+ (1 - 4ßz)2ifj"],2yV-1 = 2((p + 2ip) - 2(a<p' + 2ßip') + ~ [ (1+ 4a8)<//'+ (1 + 4/S8)2t//'],2z — - (<f> + 2ip') + ci(f>" + 2ß\jj".—

De caetero liccre (si placet) liuic systcmati formam reddi simplicemistam (26), perfacili equidem negotio patebit:

(*)

Nimirum positis-2(p + 2a(p + -j (1 - 4a8) p" — 2a ,

- 2<p + 2ßip' +j(1- = ;liabebitur: x = a + b 5

tum positis

(O....2 (f- 2a<p'+ v (^ + 4«®) <p" = 2©(rt). \/-i ,2 xp- 2ßipf+ j (1 + iß')ip" = >I'(b)

babebilur: y = 0a + ll'b 5

Porro ex (50) sequitur2dz = a. <p'"da + 2ß. if/"dß 5

at diflerentiando (A) erit

j(l - 4a8)<pf"da = 2da ,Y (1 - 408) = dt 5

40

atqiic diflercntiando (/):( (1 + 4az)(f,fnda — 2V -1.O'da ,

I j(l + 4 = V~. ;mide

a. (f>'f,da = 2day~ i. v/1 + <Z>'8,2ß.tp"'dß = 2dbS^7. STTF ■

atque habebitur

z =J*da\Z^T. v/1 + tf>'2(a)+^ dbS~. v/TTF\b) . —

Deniquc systemate (öO) satisfieri propositae (14), facili usque nc-gotio licet probari. — Etenim a', ß\ ßj denotantibus partiales ipsa-rum a et ß derivatas p. r. å x et jf, tertia systematis aequalio prseslat

2p = au'q!" + ßß',2 ip"',2q = acc/" + ßß/.2if/"y

a t priores ambie1 = {(1 - 4«>V"+ i(l - iß')ß'.2ip"' „o — (1 - 4a')a//'" + (1 - 4jS!)^.Oy,'" . jo = (1 + 4«>y" + (1 + 2,ß"',{

y~t = i(i + 4«>y"+ i(l + iß*)ß,2,p'"y

(m) {

linde

(»)

1 + iß' ol , 1 + 4«'^ /-.i ,iui. nr 1

, t-4ß> i. 4a« _

(«'-/»V ,A ~ "(«*-/»W ';

41

atque (m ) abeuiit in1 - Aaß

2p = ,a + ß

— 1 + 4 ctßV-!= 51

cc + ß

tum harum diflcrentiatione adhibitisque (w)

^ (1 + 4a1)y"-(l +4/*2)a.2V>'"?2) («+$a '

(1 - 4aa)V"-(l - Aß2)2.2xpm

j n = ~ -,»')(«+/»)■ 'I _ (1 _ 4a2) (1 + 4aa) y'" - (1 - 4/S2) (1 + 4/?2) 2tf/"•.Sv-I=

£»)(<,+,»)» !per quas aequationi (14) fieri satis, facillimum est probatu. —

18. In determinationem functionum arbitrariarum. — Determinentur ist«ex eo quod transeat superficies per curvam f ^ ^ 9 1, per ambitumI z —f\xt jcujus sit supcrficiei p = j\x . —

Condiliones istas in u et v transformari licet secundum (48), sintqueu = fn,z _ FjU,p = f> .

(51)

Patet equidem ip'"ß determinari licere ex (43), si modo cognitum sit,a superficiei quamam sit functio ipsius ß in ambitu curvae (51) nec nonwu . —

10

Prins qiKeratur. Est quidem a =

42

Vy

1 + v/1 + 4p,«y,\ scc. (32)

/S = '1 - v/1 + 4p,<y,

, dz dz .

p, et fl, dcnot. — et —. •— Quaerantur p, et fl, in ambitu (51). —dit dy

. . fdtt = f'y.du,Quoniam superficiei dz = p,dw + fl,dy, at in ambitu < .

idz = t,y.dy;eril ipsarum p, et <y, superficiei in ambitu altera haecce relatio:

f/y = p,.f u + <y,•

Tum quoniam superficiei p = —td h v' = p, + q i secund. (27), alteradit dyerit

f2y == p, + <7t;ex quibus sequitur esse in ambitu (51)

- f/P'=7TF = r(w)= "TT?/ = r'W"

(32)

Jam « et |S in ambitu exprimi licet in u ope a3qu. (52) vel (50), eli-minatåque v liabebitur ibidem

<*=F(ß). — (55)Porro fjiuenam ty,, superficiei sit functio ipsius ß in ambitu ijucrra-

tur. — Est quidem sec. (41) et (58) superficiei2 div dhv

iv,1 = . (34)a + ß dß dß2 ' V 1

•j i • ... . , div dhv . ,

ideoque to,, in ambitu cogmta erit in /?, si modo atque —-7 ibideminnotuerint. — ^

io

A t — facllc invenietur cognita modo w in ambitu. Esl autem sec.dß

(33) superficieiiv = piii + </i v- z,

cujus membri posterioris omnes termini, quales sint in ambitu curva;,cognitae sunt in ß ex antecedentibusj sitque in ambitu

iv = Ft(ß). — (oo)

{

dw divJam quoniam superficiei div = -j— da + dß, at in ambitu

da = Ffß.dß. , . . div div .

div = F/ß.dß$ eril ibidem una relatio lpsarum— et — ista:da dß

^ div _ divF/ß = ^F'ß + Tß-

div dw da dw dßEt quoniam — seu u — —— -—l- — -— ?

dpi da dpi dß dpt/-div dw\ 1i. c. = ( ). — — (secund. (q)5\(la dß J 2\/1 +

alteram baec dat relationem ipsarum — et — in ambitu: unde conelu-1 da dß 'di tur

dw (liv t

— et — in amb. = cogn. iunct. ß.— (ob)da dß

iVw^ fdw\ d*w d2wHestat . — Est auteni superficiei d[ — ) = -7—7- da + —— dß ;

dß2 1 \(lß) (ladß dß4(Vw

. . , / v. \ •

ideoque cognita erif in ambitu sec. (33) et (oG), si modo -——:

quam vero dat (37). —

u

llaque jam te,! in ambitu cognita est in /9; ideoque etiam consfiln-lio iunctionis xp'" (ß). —

Qua deindc Substitut» in (44), tum integrata quantitate j (a-ßYipf"dß,perfacili utique negotio determinari (fu liccbit. —

10. Quibus peractis habebitur (modo, quem in N:o 16 indicavimus)superficierum, quarum in puncto unoquoquc principales ambo radii eur-vedinis aiquales sunt signique conlrarii, ea qua; per datam curvam da-taque p transeat. Ea igitur est omnium, quas per datam curvam pcri-metrum duci liccat, superficierum cui minima sit area intercliisa peri-metro data aliaque in eadem superfieie ducta, perimetris ccrle quarumin .ryplano projeclionum altera alteri sit circumscripta. —

Jainque ut paucorum, in quibus calculum ad finem usque sine 111a-xiniis tricis perduci liceat, unicum afferatur exemplum et quidem, utividetur, admoduin simplex; idem illud, quod in fine IN:i 10, considere-tur: quod cquidem ita exprimi licet, ut sint in ambitu perimetri:

,2v/a2 + ?/? =. e ^i— ,1 Je '

(°)4x

% — 1,

V =i

seu, eliminatis x et 1/,

S2</uv = e + — ,e

z = 1,4v* + (e +

V =— V 5

45

seu posita, simplicitalis ergo,e = € + v/e8 -1, (p)

unde v

ie + — = 2« ,

e

e = 2 \/ «8 -1,e

x/uv = e, seil u = — ,v

(-/) Z = I

p =£8+t>8

«8-i

Erunt in ambitu perimetri hujusv

Pi = = >2«v/ f2-i

€

7t = = *2y\/e8-i

atque aequationes (36) dant(a + /S)« =—m/c8-1,

4aßs\/ «8 -1 = u (a + ß) J

unde sequitur esse in ambitua = /2 (i - 2«8 ± 2«\/c8 -1) =— ß (« + \/é8 -1) . —

Alteruni hcic sufficit considerare. — Erunt igitur in ambitu perimetri:« = — ß(e-\/e9-i) , (r)ü =— 2eß(e-\/ ),

11

Unde

atque

46

+ \/V-l),

0 («-✓ )

£ + \/f'1 =

\/1 + tyifji — -zu 5v/

«- \/?u = ,

v/~"

div s* (fi + v/ )Sdu 2ß(e*-i)div «2

2ß (é2 -1) 5f (f + v/ )8

düäiß^ 2/?*(e2-i)f '#Z2w «(i + )dß8 = "i^2(«8-i)l 5

— e

Wn =2ß\\Zs'-i

Xh'"ß = : —^ 20* '

/» «* - Si

f(a-ßy.y/"dß=--Jj--

47

Itaquc (44) abit in«*-ß2

(cci-ßi)ivi = (fa - - « log' ß ,

ex qua determinabitur qa. —-

In ambitu est „

ß = a (i - 2«2 - 2sV£* -1),= a (« + y/ ) " 5

alque («48) («2-ß*)wx = - 2a(i + )$unde qa = - 2a + a log«(i-2£2 -2eVt2-i).

Qua« cum ita sint, integrale (44) abit in4a

2iv = log — (i-2t2-2sVé8-i) ,*ßy ' a+ß'seu, repositis jam valoribus (42) atque quoniam

i - 2e9 - 2eV«2 -1 =t - ( s + Ve2 -i)2 = - e2,

(i-Vi2w = loge2. 2(i-V4wifl,)b4ptqt K "

(i-V/I + 4/)1<y,)2= log + 2Vi + tyiqi. —

4/M«Ia quo consequuntur:

v/i + 4Mi2m ,

Vi

2v =Vi + 4plql

?

Ii

(i + v/I + 4PifliY .

2z = log 5¥.7.

48

seti'

= (i + v/i + 4ptqt) . —

Ev hac jain facili negotio p{ et <7, eliminanlur opc aequ. (y), qua1 qui-deni dant

^pitfi.uv = i + 4/v/,,seu

fytli =—;UV - I

ideoque habebiture = s/uv + Vuv-\,

unde v

e + e — 2v/wu = 2\Zx2 + y2,«Ii supra in N;o 10 erat comparatum. —

20. Licet eliam, ut facile patet, functioncs arbitrarias ex eo de-terminari quodammodo, ut in ambitu intersectionis superficiei quaesif.Talque. cylindri y =fx,

sint p =/tx,1 =/«x;

qua; quidem condiliones, eliminatls x et y, abeant in

p = f, v, J- * (% 7)<7 = l>. J

Seiiicet, uti supra, primo quaeratur a quacnam sit functio ipsius ß inambitu intersectionis. — Quoniam superficiei

dz dzv = Tuu+Tvv>

dz dzl = Tu"'+Tvv"

eruut in ambituf> = />, +ql ,f1v = (pl-ql)\/-i',