méthode statistique des probit · ∗ méthodes adaptées à chacune des phases de la conception,...

METHODES STATISTIQUES

METHODE DES PROBIT

DOCUMENT GTPS 11 A

Version du 19 septembre 2013

Document rédigé par la commission « Fiabilité »

Méthode Statistiquedes PROBIT

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Document GTPS N°11AEdition : 19 septembre 2013

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Recommandation pour obtenir et assurer la fiabilité des produits pyrotechniques en conception

GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 1

Table des Matières:

A. GENERALITES....................................................................................................................................................... 2

A.1 OBJET................................................................................................................................................................... 2 A.2 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES............................................................................................................... 2

A.2.1 Documents de référence................................................................................................................................ 2 A.2.2 Autres documents.......................................................................................................................................... 3

A.3 TERMINOLOGIE SPECIFIQUE.............................................................................................................................. 4

B. PREMIERE PARTIE : RECOMMANDATION POUR OBTENIR ET AS SURER LA FIABILITE DES PRODUITS PYROTECHNIQUES EN CONCEPTION............................................................................................... 5

B.1 DOMAINE D’APPLICATION ............................................................................................................................. 5 B.2 METHODOLOGIE PAR PHASE ......................................................................................................................... 5

B.2.1 Règles générales ........................................................................................................................................... 5 B.2.2 Faisabilité ..................................................................................................................................................... 6 B.2.3 Avant-projet .................................................................................................................................................. 7 B.2.4 Développement ............................................................................................................................................. 8

B.3 PRESENTATION DES METHODES STATISTIQUES UTILISEES................................................................ 10 B.3.1 Objet des méthodes statistiques .................................................................................................................. 10 B.3.2 Conditions de mise en œuvre des méthodes statistiques ............................................................................. 10

B.4 COMPARAISON DES METHODES D’EVALUATION DE LA FIABILITE DES PRODUITS

PYROTECHNIQUES....................................................................................................................................................... 13

C. SECONDE PARTIE : MISE EN OEUVRE DE LA METHODE DES P ROBIT............................................. 14

C.1 CONVENTIONS DE NOTATION ..................................................................................................................... 14 C.2 PRINCIPE GENERAL DE LA METHODE PROBIT......................................................................................... 15

C.2.1 Intérêts et limiteS de la méthode PROBIT .................................................................................................. 15 C.2.2 Conditions particulières : Choix des paramètres du test............................................................................ 15

C.3 EXPLOITATION DES ESSAIS.......................................................................................................................... 18 C.3.1 Objet ........................................................................................................................................................... 18 C.3.2 Vérification des hypothèses de base ........................................................................................................... 18 C.3.3 Détermination de la droite des PROBIT..................................................................................................... 18 C.3.4 intervalles de confiance sur les estimateurs................................................................................................ 20 C.3.5 Vérification de la normalité de la loi .......................................................................................................... 23 C.3.6 Evaluation d’une probabilité de fonctionnement (ou de non-fonctionnement) et des seuils associés ........ 23 C.3.7 Feuille de calcul ......................................................................................................................................... 24

C.4 EXEMPLES D’APPLICATION.......................................................................................................................... 25 C.4.1 Fiabilité d’un inflammateur électro-pyrotechnique.................................................................................... 25 C.4.2 Procédure d’acceptation d’un lot de cordeaux de découpe ....................................................................... 28 C.4.3 PROBIT « loi vraie » d’un inflammateur électro-pyrotechnique ............................................................... 33 C.4.4 Ré-exploitation d’un test de bRUCETON non exploitable ......................................................................... 38

D. CONCLUSION ...................................................................................................................................................... 41

E. ANNEXE (TABLES) : ........................................................................................................................................... 42

E.1 PROBIT EMPIRIQUES YI EN FONCTION DES POURCENTAGES PI DE FONCTIONNEMENT OBSERVES......................... 43 E.2 COEFFICIENTS DE POIDS WI EN FONCTION DES VALEURS DES PROBIT PROVISOIRES YPI ..................................... 45 E.3 PROBIT DE TRAVAIL ZI = FN

(POURCENTAGES PI OBSERVES , PROBIT PROVISOIRES YPI)................................... 46 E.4 VALEURS DE LA FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI NORMALE REDUITE. ......................................................... 56

E.5 VALEURS DE ),2/(2

ναχ = FN(NOMBRE DE DEGRES DE LIBERTE ν , NIVEAU DE CONFIANCE 1-α)......................... 57


A. GENERALITES A.1 OBJET La première partie de cette recommandation est établie à usage des concepteurs pour obtenir et assurer la fiabilité des produits pyrotechniques. Elle doit constituer une base de dialogue dans les relations client ↔ fournisseur, dès lors que le contrat qui les lie requiert des exigences de fiabilité. Elle expose :

• la nature des phases de conception, • les dispositions d'obtention de la fiabilité pour chacune de ces phases, • une présentation des différentes méthodes statistiques à la disposition du concepteur :

∗ méthodes adaptées à chacune des phases de la conception, ∗ avantages et inconvénients de chacune des méthodes explicitées.

La seconde partie de cette recommandation présente la procédure de mise en œuvre de la méthode statistique des PROBIT. Cette méthode permet d’évaluer une probabilité de fonctionnement ou de non-fonctionnement d’un dispositif monocoup (produit pyrotechnique), à partir d’un nombre réduit d’essais. La méthode des PROBIT, développée à l'origine par les biologistes, est une méthode d'essais non séquentielle. Malgré une conduite d'essais parfaite de la méthode, il n'y a pas de garantie d'obtention de résultat. Cette méthode est donc recommandée uniquement quand c'est la seule applicable pour des raisons de conduite d'essais. A.2 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES A.2.1 DOCUMENTS DE REFERENCE

GTPS

1. Dictionnaire de pyrotechnie (éd. 6, 2008).

2. N° 11B : Méthode statistique One-Shot.

3. N° 11C : Méthode statistique de Bruceton.

4. N° 11F : Méthode statistique des essais durcis.

AFNOR 5. Recueil de normes françaises AFNOR – Statistique Tome 1, éd. 7, 2008 :

Vocabulaire, estimation et tests statistiques,

6. Groupe fiabilité (éd. 1, 1981) : Guide d’évaluation de fiabilité en mécanique par l’A.F.C.I.Q,

7. NFX 06-021 (01/10/1991) : Principes du contrôle statistique de lots - application de la statistique,

8. NFX 06-050 (01/12/1995) : Etude de la normalité d’une distribution - application de la statistique,

9. NFX 07-009, NF EN ISO 10012 (01/09/2003) : Système de management de la mesure – exigences pour les processus et les équipements de mesure,

10. NFX 50-130, NF EN ISO 9000 (01/10/2005) : Principes essentiels et vocabulaire - Systèmes de management de la qualité,

11. FD X50-127 (01/04/2002) : Maîtrise du processus de conception et développement - Outils de management,

12. NFX 60-500 (Octobre 1988) : Terminologie relative à la fiabilité, maintenabilité, disponibilité,


A.2.2 AUTRES DOCUMENTS

A caractère normatif

13. BNAe - RE Aéro 703.05 , Mars 2000 : Guide pour la maîtrise de la fiabilité,

14. ARMP 1, 08/2008 : Exigences OTAN en matière de fiabilité et maintenabilité

15. IEC 60812, CEI 60812 (2006-01-01) : Procédure d'analyse des modes de défaillance et de leurs effets (AMDE) - Techniques d'analyse de la fiabilité du système

16. IEC 61025, CEI 61025 (2006-12-01) : Analyse par arbre de panne (AAP)

17. Note Technique A5-NT-1-X-542-ASAI du 28/08/1990 : « Systèmes pyrotechniques Marges de dimensionnement et de performances ».

Bibliographie PROBIT

18. CAUSSINUS H. - MATHIEU J.R. - MESTE M. - MILHAUD X. (ATS GIAT - Université P.Sabatier du 06/85) : Etude de méthodes statistiques de contrôle d'un composant pyrotechnique.

19. CAUSSINUS H. - MATHIEU J.R. - MESTE M. - MILHAUD X. (Laboratoire de statistique et probabilités CNRS Université P.Sabatier du 11/85) : Evaluation de la distribution de sensibilité d'amorces pour les très petites valeurs du stimulus.

20. CAUSSINUS H. - MATHIEU J.R. - MESTE M. - MILHAUD X. - J.REFOUVELET (ATS GIAT - Université P.Sabatier du 03/87, 3ème congrès du GTPS de JUAN-LES-PINS) : Analyse statistique de la sensibilité d'un composant pyrotechnique.

21. FINNEY D.J. (Cambridge University Press, 1947 - 3rd Ed. 1971) : PROBIT analysis - A statistical treatment of the sigmoïd response curve.

22. MALABIAU R. (Direction des Constructions et Armes Navales de Toulon - 1979) : Méthodes statistiques utilisables pour déterminer la sensibilité des initiateurs électropyrotechniques à diverses excitations d'origine électrique ou électromagnétique.

23. NOL (US NOL, White Oak. NOLM 9910, AD 106-866 du 11/48) : Comparison of the Probit method and the Bruceton up and down method as applied to sensitivity data.

24. U.S. Naval Ordnance laboratory (NAVORD report 2101 du 20/09/54) : Statistical method appropriate for evaluation of fuze explosive - Train safety and reliability.

25. RASPAUD L. (Interface SA 843/91/CNES/6310 du 02/92) : Essais de sensibilité par les méthodes Bruceton et PROBIT.

26. RASPAUD L. - AUGER P. (Interface SA. 840/93/CNES/0132 du 06/94) : Essais de sensibilité par les méthodes One-Shot, Bruceton et PROBIT.

27. THOMSON BRANDT (Note technique 23.110 : Etablissement de la fiabilité expérimentale d'éléments et systèmes monocoups) : Proposition technique concernant la comparaison des efficacités des tests de Bruceton, One-Shot et Probit.

28. Projet PAQTE2004-DLA-05 document CNES réf. DLA-NT-0-988-AP du 24/01/2005 : « Comparaison expérimentale des méthodes ONE SHOT, BRUCETON et PROBIT »


A.3 TERMINOLOGIE SPECIFIQUE

Afin de permettre une application sans équivoque de la présente recommandation, il a été jugé nécessaire de préciser les notions suivantes :

� Conception : activité créatrice qui, partant des besoins exprimés et des connaissances existantes, aboutit à la définition d’un produit satisfaisant ces besoins et industriellement réalisable,

� Produit : terme englobant tout article issu d’opération de production ou toute prestation de service telle que les productions matérielles (matières premières, produits semi-ouvrés ou finis, ingrédients, pièces, composants, équipements matériels, systèmes, ...),

� Un paramètre fonctionnel est une grandeur physique quantifiable, associée au produit, dont la valeur intervient sur les critères de succès - échec lors de leur mise en œuvre,

� Le critère de succès ou d’échec est le moyen de caractériser la réponse du produit à la sollicitation,

� Le seuil de fonctionnement d’un produit est défini comme étant la valeur du paramètre fonctionnel pour laquelle la probabilité de succès est égale à la fiabilité R.

� Le PROBIT (Prob ability Unit ) représente la valeur augmentée de 5 du fractile d'ordre n de la loi normale centrée réduite (la valeur 5 a été introduite à l'origine de la méthode dans le but d'obtenir des PROBIT tous positifs).


B. PREMIERE PARTIE : RECOMMANDATION POUR OBTENIR ET ASSURER LA FIABILITE DES PRODUITS

PYROTECHNIQUES EN CONCEPTION B.1 DOMAINE D’APPLICATION

Ce document s’adresse à tout industriel concepteur devant répondre à un besoin formalisé sous forme de spécifications quantifiées de fiabilité d’un produit pyrotechnique. Il couvre :

� Les activités de conception comprenant, conformément à la norme NFX 50-130 réf. [10], les phases de faisabilité, d’avant projet et de développement, au cours desquelles la fiabilité est prise en compte pour aboutir à un produit pouvant être industrialisé au meilleur coût,

� Les activités de conception à caractère permanent qui permettent d’améliorer la fiabilité d’un produit donné.

Il s’applique aux produits mettant en œuvre les substances pyrotechniques définies dans le document cité alinéa 1 au § A.2.1 (produits monocoup).

B.2 METHODOLOGIE PAR PHASE B.2.1 REGLES GENERALES

1. Déterminer les objectifs à atteindre en termes de performances, caractéristiques, coûts et délais,

2. Insérer et gérer la fiabilité au cours des phases de conception du projet,

3. Disposer d’une structure de concertation systématique entre les parties concernées,

4. S’assurer de la cohérence des objectifs avec :

� Les actions envisagées,

� Les résultats obtenus,

5. S’assurer de l’adéquation entre les moyens techniques et humains mis en œuvre et le produit à concevoir.

A ces règles sont associées un certain nombre de tâches telles que tâches de management, de calcul, d’analyse ou d’essai. Elles résultent en particulier des itérations nécessaires entre le dimensionnement du produit et sa fiabilité qui s’expriment en termes de marges et de coefficients de dimensionnement.


B.2.2 FAISABILITE B.2.2.1 OBJECTIF

Cette phase a pour objet de montrer dans quelle mesure il peut être répondu aux besoins exprimés en précisant les concepts, les voies technologiques et les architectures possibles. Les besoins sont exprimés généralement en termes de mission à remplir, d’indications sur l’environnement opérationnel (profil d’emploi et conditions d’environnement associées) et d’objectifs de fiabilité.

Elle doit concourir à établir les exigences de fiabilité à inclure dans le cahier des charges fonctionnel (CdCF) et les éventuelles exigences de management de la fiabilité.

B.2.2.2 TACHES A ACCOMPLIR

Pour chacune des solutions technologiques proposées, les tâches à accomplir sont les suivantes :

� Analyse préliminaire des risques,

� Evaluation des risques par : o recherche bibliographique et/ou expérience acquise sur des

produits similaires, particulièrement au niveau des anomalies ou incidents rencontrés ; recherche de banque de données en fiabilité,

o calculs de simulation numérique permettant de comprendre qualitativement et quantitativement les phénomènes mis en jeu et de mettre en évidence certains points critiques de dimensionnement,

o utilisation d’un plan d’expérience afin de cerner les paramètres influents, leur sensibilité sur les performances et l’interaction entre ces paramètres,

o mise en œuvre d’une des méthodes préconisées dans le tableau du § B.4 pour obtenir une estimation de la moyenne sur certains paramètres en particulier,

� Bilan des points critiques mis en évidence pour chaque solution et comparaison des solutions, vis à vis des besoins exprimés.

A l’issue de cette phase, les éléments d’appréciation à caractère qualitatif devraient constituer les données d’entrée nécessaires au démarrage de la phase suivante. De ce fait, ils devraient être consignés dans le CdCF au chapitre d’exigences de fiabilité.


B.2.3 AVANT-PROJET B.2.3.1 OBJECTIF

Cette phase a pour objet d’étudier les voies faisables identifiées précédemment afin de proposer celle qui pourra être développée.

Elle permet de préparer le dossier de définition préliminaire du produit à réaliser en accord avec les exigences de fiabilité du cahier des charges fonctionnel, établies lors de la phase précédente.


Pour chaque solution considérée faisable :

� Modélisation : Construire le bloc-diagramme de fiabilité afin d’établir l’architecture du produit et d’identifier les interfaces concernées dans l’étude de fiabilité. Cette démarche permet de définir l’arborescence « produit » dont le niveau de décomposition s’arrête aux composants possédant des caractéristiques mesurables,

� Allocation : Répartir l’objectif global de fiabilité selon l’arborescence en allouant à chacun des composants et interfaces recensés un objectif prévisionnel de fiabilité : probabilité de réalisation de la fonction compte tenu du profil d’emploi et/ou de la durée de vie relatifs à chaque composant,

� Analyse : Procéder, pour chaque composant répertorié, à une analyse des modes de défaillance, de leurs effets et de leur criticité (AMDEC) afin de mettre en évidence les points jugés critiques en s’appuyant sur :

o des bases de données existantes et/ou le retour d’expérience sur composants analogues,

o éventuellement, et en fonction des produits développés, une expérimentation spécifique en appliquant la ou les méthodes préconisées dans le tableau du § B.4 afin, d’une part de confirmer la première évaluation de la moyenne m (Cf. § B.2.2.2), et, d’autre part, d’apporter une première estimation de l’écart type • lié à la dispersion autour de la valeur moyenne,

� Prévision : Recomposer, dans le bloc diagramme de fiabilité, les évaluations partielles afin d’évaluer l’adéquation de la solution proposée au besoin,

� Plan de validation : Etablir un avant-projet de plan de développement - fiabilité du produit afin d’estimer en terme de coût et de délai les travaux techniques nécessaires pour mener à bien le développement du produit,

� Choix : En considérant toutes les solutions, choisir celle qui répond le mieux au besoin exprimé et qui sera développée dans la phase suivante, en justifiant l’abandon des solutions non retenues.


B.2.4 DEVELOPPEMENT B.2.4.1 OBJECTIF

Cette phase a pour objet :

� D’établir le dossier de définition du produit répondant aux exigences de fiabilité exprimées dans la Spécification Technique de Besoin,

� De valider la conception en utilisant les résultats des études théoriques, des essais, de l’exploitation des faits techniques,

� De préparer les phases de production et d’utilisation en spécifiant les procédés qui seront nécessaires pour assurer la fiabilité au cours de ces deux phases.


Pour la solution retenue :

� Procéder à l’étude prévisionnelle de fiabilité qui permet de : o reprendre et affiner le bloc diagramme de fiabilité

précédemment établi, o optimiser les contraintes d’environnement appliquées à chaque

composant, o éventuellement, revoir les allocations de fiabilité et renégocier

les exigences de fiabilité,

� Identifier les événements redoutés par une analyse déductive au moyen d’un arbre de défaillance. L’analyse déductive est une analyse statistique qui ne prend pas en compte les aspects séquentiels des événements. Les limites inhérentes à la mise en œuvre des arbres de défaillance sont :

o définir correctement l’événement redouté (origine de l’arbre), o définir des événements élémentaires, o s’assurer de l’indépendance des événements élémentaires

recensés,

� Effectuer les analyses de défaillance, de leurs effets et de leur criticité pour chaque événement élémentaire recensé,

� Définir toutes les parades à mettre en place pour satisfaire les niveaux de fiabilité requis au moyen :

o d’étude et d’essais jusqu’à la phase qualificative du produit (fiabilité en conception), en mettant en œuvre les méthodes préconisées dans le tableau du § B.4,

o de procédures de fabrication et de recette (fiabilité en fabrication),

� Vérifier et évaluer a posteriori le niveau d’indépendance des événements,


� Mettre en place les actions « long terme » destinées à s’assurer de la fiabilité tout au long de la durée de vie du produit. En particulier, définir le programme de vieillissement qui sera conduit afin de :

o s’assurer du niveau de fiabilité supposé atteint, o évaluer le préavis nécessaire pour faire face à une défaillance

long terme éventuelle, o alimenter les banques de données, notamment celles utilisées

pour les analyses de fiabilité pendant le développement.

La politique de prélèvement associée devra être conforme au besoin opérationnel.

A la fin de la phase de développement, la conception du produit doit permettre d’atteindre les objectifs de fiabilité.

La phase de développement se concrétise par le dossier d’homologation, de qualification et/ou certification (dossier de définition et ses justificatifs, dossier d’industrialisation).


B.3 PRESENTATION DES METHODES STATISTIQUES UTILISEE S B.3.1 OBJET DES METHODES STATISTIQUES

Ces méthodes ont pour objet de :

� Caractériser la distribution des seuils de fonctionnement d’un produit par des tests de sensibilité (séquentiels ou simultanés),

� Vérifier la loi de répartition probabiliste adéquate de ces seuils de fonctionnement,

� Exploiter cette loi pour évaluer une probabilité de succès ou d’échec lors du fonctionnement du produit testé, pour un niveau de confiance donné.

B.3.2 CONDITIONS DE MISE EN ŒUVRE DES METHODES STATISTIQUES B.3.2.1 DEFINITION DES SPECIMENS D’ESSAIS

La définition des spécimens d’essais doit prendre en compte les trois points suivants :

1. Définition nominale des spécimens testés :

� La définition nominale des spécimens testés est conforme à un Dossier de Définition et constitue un échantillon représentatif d’une population (Cf. annexe 1).

� Les spécimens d’essais peuvent être :

o Un objet fonctionnel (ex : un inflammateur, le couple formé par une cisaille et le tirant à couper, etc.),

o Une quantité définie d’un produit.

2. Définition de la population :

� Les spécimens d’essais appartiennent à une population clairement identifiée.

� On recommande d’utiliser un lot homogène fabriqué en respectant une même unité de temps, de lieu, de matière première, de méthodes et de personnes, et en tout état de cause, suivant des méthodes et des moyens définis (Cf. annexe 1).


3. Définition de l’échantillon prélevé :

Il est choisi dans la population suivant un plan d’échantillonnage défini par :

� Le type de test,

� Le schéma suivant lequel le prélèvement doit être effectué, afin d’assurer la validité des résultats d’essais,

� L’effectif de l’échantillon à tester. Il est fonction de la méthode utilisée, comme explicité dans le tableau du § B.4. Il est cependant recommandé de constituer une réserve de spécimens supplémentaires pour aléas,

� La relation entre les résultats des essais et les critères d’acceptation du test.

B.3.2.2 REPRODUCTIBILITE DES ESSAIS

La reproductibilité des essais doit prendre en compte les quatre points suivants :

1. Identification des montages d’essais :

� Montage consommable conforme à un Dossier de Définition,

� Montage réutilisable dont on vérifiera la conformité à un Dossier de Définition et la stabilité de ses caractéristiques fonctionnelles.

2. Identification des moyens d’essais :

� Conditions d’environnement (Cf. norme NFX 07-009 Réf. [9]),

� Sources d’énergie connexes,

� Équipements de mesure calibrés.

3. Maîtrise des sollicitations appliquées aux spéci mens :

� L’incertitude des sollicitations appliquées doit être très inférieure à l’écart-type présumé de la population.

4. Maîtrise des conditions d’essais :

� Conditions d’environnement et d’essais stables durant une séquence d’essais,

� Représentativité des conditions et/ou spécimens d’essais par rapport à la configuration réelle (confinement, diamètre critique, échanges thermiques…),

� Moyens d’essais,

� Procédures,

� Personnel.


B.3.2.3 CONDITIONS PREALABLES

1. Choix du paramètre fonctionnel :

Il doit répondre aux critères suivants :

� Etre ajustable,

� Avoir un comportement connu et continu dans le domaine d’étude envisagé.

2. Choix du critère de succès/échec :

� Il doit être défini sans ambiguïté, après analyse de toutes les réponses possibles du produit étudié.

� Il est nécessaire de connaître le sens de variation de la probabilité de succès ou d’échec en fonction du sens de variation du paramètre fonctionnel choisi.

3. Hypothèses :

On suppose que :

� La résolution du paramètre fonctionnel, pour l’essai, doit être d’environ 10 fois inférieure à la première évaluation de l’estimateur de l’écart-type,

� Le seuil de fonctionnement du paramètre fonctionnel choisi est une variable aléatoire,

� La densité de probabilité de cette variable aléatoire suit une loi normale (1) ou log normale (2), dont le choix, a priori, tiendra compte de l’acquis.

(1) NOTA : Au sujet de l’hypothèse de normalité, il conviendra de s’assurer que le paramètre fonctionnel retenu est régi par un seul et unique phénomène physique dans le domaine d’essais. En effet, certain cas peuvent être régis par plusieurs phénomènes physiques qui conduisent à des lois multimodales comme, par exemple, le jeu d’amorçage en détonation d’un relais d’explosif par un détonateur :

(2) NOTA : Dans le cas d’une loi log-normale, il suffira d’effectuer un changement de variable pour ramener le cas étudié à une loi normale.

X = Jeu amorçage

1ier mode d’amorçage 2ième mode d’amorçage

Pression de détonation Projection de plaque (paillet)

Jeu faible Jeu fort

V

X = Jeu amorçage

1ier mode d’amorçage 2ième mode d’amorçage

Pression de détonation Projection de plaque (paillet)

Jeu faibleJeu faible Jeu fort

V

Jeu fort

V


B.4 COMPARAISON DES METHODES D’EVALUATION DE LA FIABILITE DES PRODUITS PYROTECHNIQUES

Le tableau 1 ci-dessous propose un inventaire des avantages et des inconvénients de chacune des méthodes statistiques.

Méthode Nbre essais

Avantages Inconvénients

Probit

GTPS 11A (Cf. seconde partie de ce document)

≥ 72

Test non séquentiel Possibilité d’adapter les niveaux en cours d’essais Le meilleur estimateur de l’écart type

Définir au minimum 5 niveaux Risque important d’échec de la méthode (estimé à 16%), même dans les conditions idéales du test

One-shot

GTPS 11B

(Cf. alinéa 2 du § A.2.1)

≥ 30

Tous les résultats d’essais sont exploitables Le choix de la valeur initiale du test ne joue pas sur la précision des résultats La convergence vers la moyenne est assurée et très rapide pour un faible échantillon testé :

• éventuellement mal connue, • dont la loi de probabilité est

unimodale

Test séquentiel entraînant une gestion contraignante des épreuves avec des niveaux non connus à l’avance.

Bruceton

GTPS 11C (Cf. alinéa 3 du § A.2.1)

≥ 30

Donne accès aux estimateurs statistiques de la moyenne et de l’écart type, avec une bonne précision sur la moyenne

− Test séquentiel entraînant une gestion contraignante des épreuves, mais avec un pas fixe

− Dépendance des résultats de la valeur du pas

Essais durcis

GTPS 11F

(Cf. alinéa 4 du § A.2.1)

≥ 1

≤ 10

Permet de montrer des marges sur un produit par rapport à son niveau nominal de fonctionnement, avec moins de 10 essais. Démarche analytique prenant en compte le contenu des AMDEC dont elle est un outil complémentaire. Possibilité d’accepter un échec dans la réalisation du plan d’essais durcis, moyennant :

• soit une évaluation dégradée de la fiabilité (par rapport à la valeur initiale visée)

• soit une augmentation du nombre de spécimens testés

Impose la connaissance des coefficients de variation des paramètres influents Dépendance étroite des résultats aux coefficients de variation associés aux paramètres dispersés Ne permet pas d’accéder à la loi de distribution du paramètre fonctionnel testé

Tableau 1


C. SECONDE PARTIE : MISE EN OEUVRE DE LA METHODE DES PROBIT

C.1 CONVENTIONS DE NOTATION − aj ordonnée à l’origine de la droite des PROBIT obtenue à l’itération j − b j pente de la droite des PROBIT obtenue à l’itération j − k nombre de niveaux de test (1 ≤ j ≤ k)

− ΦΦΦΦ(t) fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : duett u

⋅=Φ ∫ ∞−

− 22

2

1)(

π

− S écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement du paramètre fonctionnel X − Sp estimateur préalable de l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement du

paramètre fonctionnel X − uαααα/2 fractile de la loi normale (en bilatéral) pour un niveau de confiance 1-α − 1-α niveau de confiance − X moyenne de la distribution des seuils de fonctionnement du paramètre fonctionnel X − XF seuil de fonctionnement du paramètre fonctionnel X − XNF seuil de non fonctionnement du paramètre fonctionnel X − Xnom niveau nominal du paramètre fonctionnel X

− pX estimateur préalable de la moyenne de la distribution des seuils de fonctionnement du

paramètre fonctionnel X − XRéf niveau qui correspond au besoin nominal auquel est associé l’objectif de fiabilité − Pour chaque niveau i d’essai on appelle :

• x i niveau du paramètre fonctionnel X (éventuellement xi = Log10(hi) dans le cas où le paramètre fonctionnel H suit une loi log-normale),

• n i nombre total d'essais effectués au niveau xi • r i : nombre de succès obtenus au niveau xi, • p i pourcentage de fonctionnement calculé au niveau xi (pi = ri / ni), • Ti Intermédiaire de calcul des poids Wi et des PROBIT provisoires YPi • Qi Intermédiaire de calcul des poids Wi et des PROBIT provisoires YPi • Yi PROBIT empirique au niveau xi, • Ypi PROBIT provisoire au niveau xi, • Wi poids affecté au niveau xi, • zi PROBIT de travail au niveau xi, • Zi PROBIT final au niveau xi.


C.2 PRINCIPE GENERAL DE LA METHODE PROBIT Pour un lot donné de produits, et vis à vis du paramètre fonctionnel étudié, cette méthode permet d'évaluer à partir d’un échantillon la moyenne et l'écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement, à l'aide d'estimateurs définis avec un niveau de confiance donné. Ces estimateurs sont déterminés à partir des caractéristiques (pente et ordonnée à l'origine) d'une droite appelée "droite des PROBIT". Cette droite est obtenue après exploitation d'essais non séquentiels, par calculs itératifs. C.2.1 INTERETS ET LIMITES DE LA METHODE PROBIT

Les principaux intérêts de cette méthode sont :

• une exploitation simple d’essais en contrôle de réception (voir exemple au §C.4.2),

• la possibilité de concaténer des résultats de tests BRUCETON et/ou PROBIT obtenus lors de différentes campagnes d’essais (voir exemple au §C.4.3),

• la ré-exploitation de séquences d’essais de BRUCETON non exploitables (condition S/d non comprise entre 0,5 et 2) (voir exemple au § C.4.4).

Les limites de la méthode sont :

• sa sensibilité aux niveaux choisis et à la répartition de l’effectif du lot sur l’ensemble des niveaux : il est recommandé de se rapprocher le plus possible de la répartition N/4 sur les niveaux extrêmes et N/6 sur les niveaux intermédiaires (Cf. § C2.2.1).

• la difficulté d’adaptation des niveaux : elle n'est possible que si l'on dispose d'une réserve suffisante de spécimens (Cf. § C2.2.1)

• le risque d’aboutir à un test de PROBIT non exploitable n’est pas nul, malgré l’emploi d’une stratégie de test adaptée (Cf. § C2.2.1).

C.2.2 CONDITIONS PARTICULIERES : CHOIX DES PARAMETR ES DU TEST Il est nécessaire :

• De connaître le type de loi de répartition de la distribution des seuils de fonctionnement XF ou XNF (fonction du paramètre fonctionnel X), la méthode ne permettant d’exploiter que les résultats dans le cas d’une loi normale (*).

• De disposer d’une première évaluation des estimateurs Px et sP de la loi de probabilité du paramètre fonctionnel étudié, à partir de simulations numériques, de banques de données ou en utilisant une approche dichotomique (ex : méthode « One-Shot » - citée alinéa 2 du §A.2.1) permettant une première évaluation de ces estimateurs.

• De choisir les niveaux de tests et le nombre d’essais par niveau.

(*) NOTA : Dans le cas ou le paramètre fonctionnel H retenu suit une loi log-normale, on réalise un changement de variable X = Log10 (H), et on effectue le test sur la variable transformée X.


C.2.2.1 Détermination des niveaux et du nombre d’es sais par niveau

Px et s -p étant les estimations préalables de la moyenne et de l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement, on recommande de répartir les N spécimens d’essais sur 5 niveaux de tests (N représentant l'effectif des composants testés). Pour avoir le maximum de précision, il est recommandé de choisir les niveaux et la répartition des essais par niveau conformément au tableau suivant:

Valeurs recommandées des niveaux d’essais

Probabilité prévisionnelle de fonctionnement

Nombre d'essais recommandés par niveau

Px - s -p 16% N/4

Px - 0.5 s -p 30% N/6

Px 50% N/6

Px + 0.5 s -p 70% N/6

Px - + s -p 84% N/4

Répartition des N spécimens sur les 5 niveaux de te st :

16%

100%

PX

2

σ+PX2

σ−PX

σ−PX σ+PX

30%

50%

70%

84%

N/6

N/4

N/6

N/6

N/4

Paramètre fonctionnel X

Densité de probabilité :

dueXXX

u⋅=Φ ∫

−

∞−

−σ

π2

2

2

1)(

dX

XdX

)()('

Φ=Φ

Fonction répartition loi normale :

16%

100%

PX

2

σ+PX2

σ−PX

σ−PX σ+PX

30%

50%

70%

84%

N/6

N/4

N/6

N/6

N/4


Densité de probabilité :

dueXXX

u⋅=Φ ∫

−

∞−

−σ

π2

2

2

1)(

dX

XdX

)()('

Φ=Φ

Fonction répartition loi normale :


Remarque : Parfois, le test effectué à un niveau donné peut conduire à un pourcentage de fonctionnement observé très différent de celui attendu : on dit dans ce cas que le niveau est aberrant. Le cas le plus fréquent de niveau aberrant est d'observer 0% ou 100% de fonctionnement sur un niveau extrême. Plusieurs raisons expliquent cela :

• Le niveau où l'on a effectué les essais est bien le niveau recherché: l’utilisation de la loi binomiale permet d’expliquer ce résultat :

o La probabilité d’observer 100% de réussite, lorsqu’on se place au niveau correspondant à 84% de fonctionnement, est de P=0,2 lorsque le nombre d’essais est de 10,

o Cette probabilité tombe à P=0,04 lorsque le nombre d’essais est de 18,

o Il est donc recommandé de réaliser un minimum de 18 tirs sur un niveau extrême pour lever avec certitude la condition d’aberrance.

• Le niveau où l'on a effectué les essais n'est pas le niveau recherché: On observe un décalage de la moyenne ou un écart-type réel inférieur à l'écart-type supposé.

• Le niveau où l’on a observé 0% ou 100% de fonctionnement est un niveau intermédiaire: Les hypothèses (Cf. § B.3.2) sont à remettre en cause (normalité de la loi, représentativité de l’échantillon, ou mode opératoire).

C.2.2.2 Conduite des essais Le risque de constater un niveau aberrant n’étant pas négligeable, il est conseillé de ne pas tirer tous les objets en même temps sur tous les niveaux de test. Il est en effet souhaitable d’adopter une stratégie de conduite des essais permettant de réajuster les niveaux de test en fonction des résultats de tir obtenus, afin d’éviter d’obtenir des niveaux aberrants :

• Il est ainsi recommandé de débuter les essais par les niveaux extrêmes.,

• Si au bout du 18ème tir réalisé sur un niveau extrême, il est toujours observé 100% d’échecs ou 100% de succès, ce niveau est très probablement (96%) aberrant,

• Dans ce cas, les niveaux et la répartition des essais par niveaux devront être revus. Remarque 1 : Cette stratégie de réajustement des niveaux d’essais nécessite de disposer d’une réserve de spécimens supplémentaires. Remarque 2 : En phase d’acceptation de lot, on peut tirer les spécimens sans se préoccuper de l’évolution du test, et son exploitation aura lieu une fois les essais terminés, dans la mesure où :

• le produit est connu (vérification de la conformité du produit à une définition nominale), • la procédure est figée (critère du test, niveau et nombre de spécimens par niveau

imposés), • la réussite du test de PROBIT conditionne l’acceptation du lot.


C.3 EXPLOITATION DES ESSAIS C.3.1 OBJET L’exploitation des essais a pour objet :

• d'effectuer les calculs des paramètres de la loi de distribution, • de vérifier l’hypothèse sur la loi de distribution, • d’évaluer une probabilité de fonctionnement ou de non-fonctionnement à partir de

l’exploitation de la loi théorique retenue. C.3.2 VERIFICATION DES HYPOTHESES DE BASE On s’assure que la résolution effective du paramètre fonctionnel est suffisamment faible par rapport à l’estimateur de l’écart-type calculé (un facteur 10 est recommandé). En effet la validité des résultats du test de PROBIT dépend de la résolution d’ajustement des niveaux d'essais. C.3.3 DETERMINATION DE LA DROITE DES PROBIT Ce paragraphe expose la démarche qui conduit à la détermination de la droite des PROBIT correspondant au maximum de vraisemblance (explicité en détail dans le document cité alinéa 21 du § A2.2). Cette démarche se décompose en 8 étapes : C.3.3.1 Etape 1 : Calcul des pourcentages de foncti onnement Pour chaque niveau de sollicitation donné x i le pourcentage de fonctionnement est déterminé par la relation :

p i = r i / n i C.3.3.2 Etape 2 : Calcul des PROBIT empiriques Les PROBIT empiriques peuvent être lus directement dans la table 1 en annexe E1 à partir de la valeur de p i ou calculés avec la formule suivante :

Yi = f(p i ) = Φ-1 (r i / n i ) + 5 NOTA: A l’origine, les calculs se faisant à la main, la valeur +5 a été rajoutée pour que les valeurs des PROBIT soient toutes positives. C.3.3.3 Etape 3 : Calcul des PROBIT provisoires On détermine une droite, dite des PROBIT provisoires, par régression linéaire (par exemple approximation des moindres carrés) entre x i et Yi sur l’ensemble des niveaux d’essais x i :

Ypi = a0 + b0 x i

Cela conduit à une première estimation de la moyenne et de l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement :

0X = 5 - a

b 0

0 et s0 =

1b

0


C.3.3.4 Etape 4 : Calcul de la pondération Le poids est calculé par la relation :

Wi = ( )ii

i

QQ

T

−1.

2

avec : .2

1 T 2

)5 -( -

i

2 ipY

eπ

= et ( ) ∫∞−

=−Φ=5-

2

-

Pii . 2

15YQ

2iYp u

dueπ

Wi peut également être déterminé à l'aide de la table 2 en annexe E2 . C.3.3.5 Etape 5 : Calcul des PROBIT de travail Les PROBIT de travail correspondent à des valeurs affinées des PROBIT provisoires Ypi. Ils sont obtenus à partir des PROBIT provisoires et des pourcentages de fonctionnement p i :

zi = Ypi + T

)Q -(p

i

i i

zi peut également être déterminé à l'aide de la table 3 en annexe E3. C.3.3.6 Etape 6 : Calcul des PROBIT finaux La droite des PROBIT finaux est obtenue par régression linéaire entre Wi x i et Wi zi :

Zi = a1 + b1 x i

Pour calculer a1 et b1, on procède aux calculs intermédiaires suivants :

∑

∑

=

==k

iii

k

iiii

Wn

xWn

X

1

1

.

..)

∑

∑

=

==k

iii

k

iiii

Wn

zWn

Z

1

1

.

..)

∑∑

∑

=

=

=

−=k

ik

iii

k

iiii

iiiXX

Wn

xWn

xWnS1

1

2

12

.

..

..

∑∑

∑∑

=

=

==

−=k

ik

iii

k

iiii

k

iiii

iiiiXZ

Wn

zWnxWn

zxWnS1

1

11

.

.....

...

Ces calculs intermédiaires permettent alors le calcul de a1 et de b1 :

XbZa))

.11 −= XX

XZ

S

Sb =1

Cela conduit à une nouvelle estimation de la moyenne et de l’écart-type estimation de la distribution des seuils de fonctionnement :

1X = 5 - a

b 1

1 et s1 =

1b

1

Les PROBIT finaux représentent les résultats d’une première itération par rapport au calcul des PROBIT provisoires Ypi calculés précédemment.


C.3.3.7 Etape 7 : Test de convergence On procède à un test de convergence sur les résultats calculés de 1X et de s1 pour déterminer si on doit continuer les itérations de calcul.

Calcul d'erreur sur les valeurs des estimateurs X et s :

� Les écarts types des estimateurs X et b = 1/s sont :

( ) ( ) 21

1/2i i

Sxx

1bS&

)Wn ( b 1

XS

==∑

avec - xSxx i i

2i i i

Wn

)xWn (

2i

∑

∑= ∑ iiWn

� On peut en déduire les intervalles à +/- 1 écart-type des valeurs estimées X et b. Si les estimations précédentes sont comprises dans ces intervalles, la convergence des résultats est considérée comme suffisante :

( ) ( ))1(1

1

)1(1

1& 011011 bsb

sbsb

XsXXXsX−

<<+

+<<−

C.3.3.8 Etape 8 : Itération : Reprise des étapes 4, 5, 6 et 7 Si le test de convergence n’est pas satisfaisant, on reprend les étapes 4, 5 et 6 en remplaçant :

• Les PROBIT provisoires YPi par les PROBIT finaux Zi • L’équation de la droite des PROBIT provisoires par celle des PROBIT finaux

(a0 = a1 & b0 = b1 pour la 1ère itération) Après n itérations et réussite du test de convergence (étape 7), on détermine la droite des PROBIT correspondant au maximum de vraisemblance:

Z = an + bn X NOTA : Dans la pratique, une ou deux itérations sont généralement suffisantes. A l’issue de l’itération n, on calcule les estimateurs de la moyenne et de l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement :

b

a - 5X

n

n= et b

1S

n

=

C.3.4 INTERVALLES DE CONFIANCE SUR LES ESTIMATEURS Pour un niveau de confiance 1−α1−α1−α1−α donné, on calcule le fractile (*) de la loi normale uαααα/2 :

Niveau de confiance 1-αααα

uαααα/2 (bilatéral)

60% 0.84 90% 1.65 95% 1.96

(*) Cf. annexe E4


C.3.4.1 Intervalle de confiance sur la moyenne au n iveau 1 - αααα (risque bilatéral) La moyenne suit une loi normale.

L’écart type de l’estimateur X vaut : ( ) S X1

b ( n W )

n i i1/ 2

=∑

L’intervalle de confiance bilatéral de m au niveau 1 - α est égal à :

( ) ( ) +− =+≤≤−= mXSuXmXSuXm ..22

αα

C.3.4.2 Intervalle de confiance sur l’écart-type au niveau 1 - αααα (risque bilatéral)

Les estimateurs an et bn suivent des lois normales. L’écart type de l’estimateur bSn = 1 vaut :

( )S b = =1

Sxxn

12

avec ( )∑∑∑ −=

ii

iii

Wn

xWn2

2iiiXX xWnS

Il permet de définir l’intervalle de confiance bilatéral de bn pour un niveau de confiance 1 - α choisi :

( ) ( )nnnn bSubbbSub ⋅+≤≤⋅−22

αα

On en déduit l’intervalle de confiance bilatéral de S au niveau de confiance 1 - α :

( ) ( ) +=⋅

≤≤⋅

= SbS

SbS nn

2n

2n

- u - b

1

u + b

1S

αα

Le logigramme de la page suivante résume toute la démarche d’exploitation du test de PROBIT.


Exploitation du test de PROBIT :

Résultats des essais sur les niveaux i :- Nombre de succès : ri

Plan d’essais PROBIT :- Nombre de niveaux d’essais : k- Nombre de spécimens testé : N- Nombre d’essais par niveaux i : n i

Avec : 1 ≤ i ≤ k & ∑=

=k

ii Nn

1

Etape N°1 :Calcul du pourcentage de succès sur les niveaux i

Pi = r i / n i

Etape N°2 :Calcul des PROBIT empiriques sur les niveaux i

Yi = ΦΦΦΦ-1 (r i / n i) + 5j = 0

Etape N°3 :Régression linéaire sur les PROBIT empiriques :

Y = aj + b j.XCalcul des PROBIT provisoire sur les niveaux i

Ypi = aj + b j.Xi

1ière estimation :

00

0

00

1

5

bS

b

aX

=

−=

Etape N°5 :Calcul des PROBIT de travail sur les niveaux i

( )i

iiPii T

QpYZ

−+=

Etape N°4 :Pondération : Calcul des poids sur les niveaux

( )ii

ii QQ

TW

−=

1

2

Etape N°6 :Régression linéaire sur les PROBIT de travail :

Z = aj + b j.X

Calcul des PROBIT finaux sur les niveaux iZi = aj + b j.Xi

j = j + 1

Estimation J :

j

j

j

jj

bS

b

aX

1

5

=

−=

Etape N°7 :Test de convergence :

la précision des calculs est-elle suffisante ?j = n

Etape N°8 :Itération

jj

jj

iPi

bb

aa

ZY

=

==

−

−

1

1

Non Oui

Estimation finale :

( ) ( )

( ) ( ) +−

+−

=−

≤≤+

=−

=+≤≤−=

σσσαα

αα

nnnn bSubbSubtypeEcart

mXSuXmXSuXmMoyenne

.

1

.

1:

..:

2/2/

2/2/

nn

n

bS

b

aX

15 =−=




Avec : 1 ≤ i ≤ k & ∑=

=k

ii Nn

1


Avec : 1 ≤ i ≤ k & ∑=

=k

ii Nn

1

Etape N°1 :Calcul du pourcentage de succès sur les niveaux i

Pi = r i / n i

Etape N°2 :Calcul des PROBIT empiriques sur les niveaux i

Yi = ΦΦΦΦ-1 (r i / n i) + 5j = 0

Etape N°3 :Régression linéaire sur les PROBIT empiriques :

Y = aj + b j.XCalcul des PROBIT provisoire sur les niveaux i

Ypi = aj + b j.Xi

1ière estimation :

00

0

00

1

5

bS

b

aX

=

−=


( )i

iiPii T

QpYZ

−+=


( )i

iiPii T

QpYZ

−+=


( )ii

ii QQ

TW

−=

1

2


( )ii

ii QQ

TW

−=

1

2

Etape N°6 :Régression linéaire sur les PROBIT de travail :

Z = aj + b j.X

Calcul des PROBIT finaux sur les niveaux iZi = aj + b j.Xi

j = j + 1

Estimation J :

j

j

j

jj

bS

b

aX

1

5

=

−=

Estimation J :

j

j

j

jj

bS

b

aX

1

5

=

−=

Etape N°7 :Test de convergence :

la précision des calculs est-elle suffisante ?j = n


jj

jj

iPi

bb

aa

ZY

=

==

−

−

1

1


jj

jj

iPi

bb

aa

ZY

=

==

−

−

1

1

Non Oui

Estimation finale :

( ) ( )

( ) ( ) +−

+−

=−

≤≤+

=−

=+≤≤−=

σσσαα

αα


mXSuXmXSuXmMoyenne

.

1

.

1:

..:

2/2/

2/2/

nn

n

bS

b

aX

15 =−=Estimation finale :

( ) ( )

( ) ( ) +−

+−

=−

≤≤+

=−

=+≤≤−=

σσσαα

αα


mXSuXmXSuXmMoyenne

.

1

.

1:

..:

2/2/

2/2/

nn

n

bS

b

aX

15 =−=


C.3.5 VERIFICATION DE LA NORMALITE DE LA LOI L'hypothèse de la normalité de la distribution des seuils de fonctionnement peut être vérifiée (Cf. alinéa 8 du § A.2.1), par l’application d’un test du χ2 :

• Calcul de la valeur du χ2 :

( )Sxx

SxzSzzCalculé

22 −=χ avec :

∑

∑∑

−=

iii

iiii

iiii Wn

xWn

xWnSxx

2

2

∑

∑∑

−=

iii

iiii

iiii Wn

ZWn

ZWnSxz

2

2

∑

∑∑∑

×

−=

iii

iiii

iiii

iiiii Wn

ZWnxWn

ZxWnSxz

• Comparaison avec la valeur théorique du ( )2

2, −kαχ correspondant à k-2 degrés de liberté

(k = nombre de niveaux d’essais) et un risque αααα (Cf. annexe E5). Si χ2calculé < χ2théorique , alors on ne peut pas rejeter l’hypothèse de normalité au risque α.

C.3.6 EVALUATION D’UNE PROBABILITE DE FONCTIONNEMEN T (OU DE NON-

FONCTIONNEMENT) ET DES SEUILS ASSOCIES

Niveau nominal (X nom) : c’est la valeur de définition nominale du paramètre prépondérant

Niveau de référence (X réf) : c’est la valeur du paramètre prépondérant associée à l’évaluation de fiabilité (marges possibles par rapport au niveau nominal)

Le niveau de référence est, selon les cas, soit :

� Le niveau nominal du paramètre fonctionnel prépondérant,

� La valeur nominale du paramètre fonctionnel prépondérant, affectée d’un coefficient de marge spécifié par le client ou par des standards,

� Un majorant ou un minorant d’un besoin exprimé comme déterministe,

� Le niveau correspondant aux bornes de l’intervalle de tolérances du niveau nominal,

� Le niveau correspondant à une (ou aux) borne(s) à ±3 écarts-types du niveau nominal,

� ... Nota : Dans le cas d’un paramètre fonctionnel suivant une loi lognormale, il suffit de faire le changement de variable X=Log(H), et de travailler sur la variable transformée X.


C.3.6.1 Calcul de fiabilité (risque bilatéral)

Si Φ désigne la fonction de répartition de la loi normale réduite, la probabilité R de bon fonctionnement (PBF) au niveau de confiance (1 - α/2)2 est telle que : C.3.6.1.1 CAS 1: LA PBF CROIT AVEC LE PARAMETRE FONCTIONNEL Si la probabilité de bon fonctionnement croit avec le paramètre fonctionnel, il est nécessaire que le niveau de référence soit supérieur à la borne haute de l’intervalle de confiance de la moyenne X (Cf. §C.3.4.1) : +> mX Réf

Dans ce cas : ( )

−Φ=

+

+

− σα

mXR Réf

2

21

C.3.6.1.2 CAS 2: LA PBF DECROIT AVEC LE PARAMETRE FONCTIONNEL Si la probabilité de bon fonctionnement décroit avec le paramètre fonctionne, il est nécessaire que le niveau de référence soit inférieur à la borne basse de l’intervalle de confiance de la moyenne X (Cf. §C.3.4.1) : −< mX Réf

Dans ce cas : ( )

−Φ=

+

−

− σαRéfXm

R 2

21

C.3.6.2 Calcul des seuils de fonctionnement et de n on fonctionnement (risque bilatéral)

Pour une fiabilité R et pour un niveau de confiance (1-α/2)2 donnés, les seuils de fonctionnement xF et de non-fonctionnement xNF sont : C.3.6.2.1 CAS 1: LA PBF CROIT AVEC LE PARAMETRE FONCTIONNEL

Seuil de fonctionnement : xF = m+ + Φ-1(R).σ+

Seuil de non fonctionnement : xNF = m- - Φ-1(R).σ+ C.3.6.2.2 CAS 2: LA PBF DECROIT AVEC LE PARAMETRE FONCTIONNEL

Seuil de fonctionnement : xF = m- - Φ-1(R).σ+

Seuil de non fonctionnement : xNF = m+ + Φ-1(R).σ+ C.3.6.3 Recommandations L’ensemble des résultats des tests statistiques (Cf. document alinéa 28 du §A.2.2) a montré qu’il existe, pour chaque test de PROBIT, des écarts par rapport à la loi « vraie » :

� Pour déterminer la fiabilité au niveau XRéf, il est recommandé de majorer (ou de minorer selon les cas) de 10% le niveau de XRéf avant de procéder au calcul de la fiabilité.

� Pour déterminer un seuil de fonctionnement ou de non fonctionnement, il est aussi recommandé de majorer (ou de minorer selon les cas) de 10% la valeur du seuil de fonctionnement ou de non-fonctionnement calculée.

Un exemple d’application de cette recommandation est traité dans le §C.4.1.5.2. C.3.7 FEUILLE DE CALCUL Une feuille de calcul fonctionnant sous le tableur EXCEL est disponible sur le site du GTPS (http://www.afpyro.org)


C.4 EXEMPLES D’APPLICATION Remarques préliminaires :

� Les résultats de calculs présentés ci-après sont extraits de l’utilisation de la feuille de calculs EXCEL (cf. §C.3.7),

� Les valeurs présentées dans les exemples sont arrondies,

� La feuille de calculs (§C.3.7) ne prend en compte que les résultats de la sixième itération dans les calculs de fiabilité malgré une convergence plus précoce (les résultats obtenus sont plus précis).

C.4.1 FIABILITE D’UN INFLAMMATEUR ELECTRO-PYROTECHN IQUE C.4.1.1 Cas traité Le but est d’évaluer la fiabilité d’un inflammateur électro-pyrotechnique en fonction de l’intensité du courant de mise à feu. C.4.1.2 Conditions du test Les conditions d’application du test de PROBIT sont les suivantes :

� Le paramètre fonctionnel étudié est l’intensité du courant de mise à feu appliqué aux bornes de l’inflammateur.

� La probabilité de bon fonctionnement (PBF) varie dans le même sens que le paramètre fonctionnel étudié.

� Le critère de succès est le fonctionnement de l’inflammateur dans un délai inférieur à 10ms après la mise en application du courant. Un long-feu (> 10ms) est donc considéré comme un échec.

� On suppose que la distribution des seuils de fonctionnement en fonction de l’intensité du courant de mise à feu suit une loi normale.

� On dispose de 90 inflammateurs issus d’un lot satisfaisant les recommandations du § B.3.2.1.

� Lors du développement de l’inflammateur, la moyenne et l’écart-type de la distribution des

seuils de fonctionnement ont été évalués à : pX = 1,6 A et sp = 0,02 A

C.4.1.3 Choix des niveaux de tests On choisit les 5 niveaux de tests suivants, avec les effectifs par niveaux correspondants :

Niveau de test Valeur du paramètre

fonctionnel Nombre d'essais prévus par

niveau

pX - sp 1,63 A N/4=18

pX - 0.5 sp 1,64 A N/6=12

pX 1,65 A N/6=12

pX + 0.5 sp 1,66 A N/6=12

pX + sp 1,67 A N/4=18

Soit au total 72 tirs (il reste donc 18 inflammateurs en réserve afin de pouvoir réajuster les niveaux si nécessaire).


C.4.1.4 Déroulement des essais Comme les sens de variation du paramètre fonctionnel et de la probabilité de bon fonctionnement varient dans le même sens, le critère retenu pour la conduite des essais est le succès du tir. On effectue les tirs conformément à la stratégie du § C.2.2.2 : les tirs réalisés sur les niveaux extrêmes laissent à penser que ces niveaux ne sont pas aberrants.

Pourcentage de succès par niveau Niveau de

test

Valeur du paramètre fonctionnel

Nombre de succès observés par

niveau % observés % théoriques

attendus

pX - sp 1,63 A 1 5,56% 16%

pX - 0.5 sp 1,64 A 4 33,33% 30%

pX 1,65 A 6 50,00% 50%

pX + 0.5 sp 1,66 A 11 91,67% 70%

pX + sp 1,67 A 16 88,89% 84%

Bien que les résultats observés soient différents des résultats attendus, on décide d’exploiter ce test de PROBIT tel quel. C.4.1.5 Exploitation C.4.1.5.1 DETERMINATION DE LA MOYENNE ET DE L’ECART-TYPE La moyenne et l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement sont déterminés par l’exploitation des résultats des essais selon la méthode du §C.3. Les calculs ont été réalisés avec la feuille de calcul du §C.3.7. La première régression linéaire (PROBIT provisoires) fournit les résultats suivants :

• a0 = -117,67 et b0 = 74,41

• 0X = 1,6484A et s0 = 0,0134A

Test de convergence :

Itération Moyenne Ecart-type

i a b X S S( X ) S(b) X - S( X ) < X < X + S( X ) b - S(b) < b < b + S(b) Résultat

0 -117,66782 74,41440 1,6484E+00 1,3438E-02 - - Itération (i) Itération (i-1) Itération (i) Itération (i) Itération (i-1) Itération (i) -1 -113,38406 71,80811 1,6486E+00 1,3926E-02 2,5478E-03 1,3944E+01 1,6461E+00 1,6484E+00 1,6512E+00 5,7864E+01 7,4414E+01 8,5752E+01 Oui2 -113,63619 71,80811 1,6486E+00 1,3896E-02 2,5090E-03 1,3591E+01 1,6461E+00 1,6486E+00 1,6511E+00 5,8217E+01 7,1808E+01 8,5399E+01 Oui3 -113,62860 71,95723 1,6486E+00 1,3897E-02 2,5111E-03 1,3611E+01 1,6461E+00 1,6486E+00 1,6511E+00 5,8346E+01 7,1808E+01 8,5569E+01 Oui4 -113,62887 71,95740 1,6486E+00 1,3897E-02 2,5110E-03 1,3611E+01 1,6461E+00 1,6486E+00 1,6511E+00 5,8347E+01 7,1957E+01 8,5568E+01 Oui5 -113,62886 71,95739 1,6486E+00 1,3897E-02 2,5110E-03 1,3611E+01 1,6461E+00 1,6486E+00 1,6511E+00 5,8347E+01 7,1957E+01 8,5568E+01 Oui6 -113,62886 71,95739 1,6486E+00 1,3897E-02 2,5110E-03 1,3611E+01 1,6461E+00 1,6486E+00 1,6511E+00 5,8347E+01 7,1957E+01 8,5568E+01 Oui

La convergence du test est suffisante: Oui dès l'itération N° 1

Ce document a été édité à partir de la feuille de calcul du GTPS (Version du 07/03/2013).Son utilisation relève exclusivement de la responsabilité de son utilisateur.

Droite des PROBITS :Y = a+b*X

Ecart-types estimateurs Test de précision


On constate que les conditions d’arrêt des itérations sont bien remplies dès la première itération :

• a1 = -113,38 et b1 = 71,81 A-1

• 1X = 1,649 A et s1 = 0,0139 A

o avec les écarts types des estimateurs s( 1X ) = 2,55.10-3 A et s(b1) = 13,94 A-1

• Test de convergence :

o ( ) ( ) 6512,16484,16461,1 11011 =+<=<−= XsXXXsX

o 001728,0)(

10134,0

)(

1001166,0

110

11

=−

<=<+

=bsb

sbsb

• La première itération est donc suffisante pour le calcul de X et s. Test de normalité :

• Les résultats du test du χ2 sont rappelés ici :

o χ2 calculé = 2,46 < χ

2 théorique(3ddl, 5%) = 7,81

o On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse de normalité de la loi pour un risque de 5%. Nous retenons donc les résultats finaux suivants :

Caractéristique Estimateur Ecart-type

de l’estimateur

Moyenne X = 1,649 A ( )S X = 0,00251 A

Pente b = 71,96 A-1 s(b) = 13,6 A-1

Ecart-type s = 0,0139 A -

La droite des PROBIT est représentée sur le graphique suivant :

Méthode PROBIT : Droite des PROBIT finauxInflammateur électrique

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50

7,00

1,62E+00 1,63E+00 1,64E+00 1,65E+00 1,66E+00 1,67E+00 1,68E+00



PR

OB

ITS

Méthode GTPS N°11A


C.4.1.5.2 EVALUATION DE LA FIABILITE DE L’INFLAMMATEUR La valeur de référence xRéf du paramètre x (dans notre cas une intensité minimale de mise à feu) permet de calculer la fiabilité du dispositif à un niveau de confiance (1-α/2)2 donné en utilisant les estimations de m et s au niveau de confiance (1-α) :

−Φ=

+

+

− S

mXR

Réf2)2/1( α

Où Φ(t) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite dont les valeurs sont données table 4 en annexe E4. L’intensité nominale du courant de mise à feu visée est de 2A : compte-tenu des dispersions du système de mise à feu utilisé, elle est supérieure à 1,9A. En appliquant la recommandation du §C.3.6.3, on détermine le niveau de référence en minorant ce niveau nominal de 10%, ce qui nous donne une valeur de :

• XRéf = 1,9/1,1 = 1,727 A En prenant un niveau de confiance 1-α = 90% (soit uα/2 = 1,64), on calcule les bornes des intervalles de confiance bilatéraux de la moyenne et de l’écart-type:

• m+ = X +uα/2.s( X ) = 1,649 + 1,64.0,00251 = 1,653 A

• s+ = 6,13.28,196,71

1

)(.

1

−=

− bsub α

= 0,0202 A

D’ou l’on tire la fiabilité au niveau de confiance (1-α/2)2 = 90,25% :

• ( ) 99988,06816,30202,0

653,1727,1%25,90 =Φ=

−Φ=R

L’inflammateur électro-pyrotechnique étudié possède une fiabilité d’initiation de R = 0,99988, au niveau de confiance 90,25% sous un courant de mise à feu de référence égal à Xréf = 1,727 A. C.4.2 PROCEDURE D’ACCEPTATION D’UN LOT DE CORDEAUX DE DECOUPE On présente ci-après la méthode utilisée pour contrôler en réception la performance de cordeaux de découpe appartenant à un même lot.

Schéma du cordeau de découpe

Dièdre de découpe (charge creuse linéaire)

Enveloppe métallique du cordeau de découpe

Âme du cordeau (explosif)

Dièdre de découpe (charge creuse linéaire)

Enveloppe métallique du cordeau de découpe

Âme du cordeau (explosif)


On étudie la fiabilité d’un lot de cordeaux de découpe lors des épreuves d’acceptation : • Le critère de fonctionnement correspond à la découpe d’une cible définie (matériau,

épaisseur…)

• Ce lot comprend 19 cordeaux fabriqués : o Ils sont tous issus des mêmes lots de matières premières (explosif et métal de

l’enveloppe du cordeau), o Ils ont tous été fabriqués sur la même machine lors d’une seule campagne de

fabrication.

• Sur chaque cordeau, on prélève 3 tronçons servant aux tirs de réception (2 aux extrémités et 1 au milieu), ce qui représente au total 57 spécimens de tir,

• La condition d’acceptation du lot de cordeaux porte sur son seuil de fonctionnement : o Le seuil de fonctionnement est calculé pour une fiabilité de R=1-10-6 avec un niveau

de confiance de 90%, o Le seuil de fonctionnement (profondeur de découpe) du lot doit être supérieur ou

égal à 3,3mm.

C.4.2.1 Conditions du test Les conditions d’application du test de PROBIT sont les suivantes :

• Le paramètre fonctionnel étudié est l’épaisseur d’une plaque témoin à découper par le cordeau,

• Le brin de cordeau est placé sur une cible métallique dite étagée et comprenant plusieurs paliers d’épaisseurs,

• Le critère de succès sur un niveau est la découpe complète du palier d’épaisseur de la cible étagée,

• On suppose que la distribution des seuils de fonctionnement en fonction de la performance d’épaisseur découpée suit une loi normale,

• On dispose de 57 cibles étagées et de 57 détonateurs pour initier les brins de cordeaux,

• Les épaisseurs des cibles étagées sont prédéfinies à l’avance et figurent dans les conditions d’acceptation des lots de cordeaux : o 13 niveaux compris entre 4,3mm et 5,5mm, o Pas constant de 0,1mm entre deux niveaux successifs.

Schéma du montage d’essais de tirs de brins de cord eaux d découpe :

Cible étagée (niveaux de test)

Cordeau de découpe (prélèvement)

Détonateur

Cible étagée (niveaux de test)

Cordeau de découpe (prélèvement)

Détonateur


C.4.2.2 Déroulement des essais Les essais s’étant parfaitement passés, on a obtenu les résultats suivants :

Niveaux de test (épaisseurs de la cible étagée en m m) N° cordeau Brin N° tir

4,30 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00 5,10 5,20 5,30 5,40 5,50

A 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°1 C 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 4 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 5 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°2 C 6 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 7 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B 8 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°3 C 9 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 10 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B 11 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°4 C 12 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 13 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 14 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°5 C 15 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 16 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B 17 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°6 C 18 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A 19 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 B 20 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Cordeau N°7 C 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 A 22 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 B 23 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°8 C 24 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 A 25 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 B 26 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°9 C 27 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 A 28 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 B 29 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°10 C 30 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 A 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 B 32 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°11 C 33 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 A 34 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 B 35 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°12 C 36 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A 37 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 B 38 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°13 C 39 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 40 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 B 41 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°14 C 42 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A 43 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 44 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°15 C 45 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 46 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B 47 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°16 C 48 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 49 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B 50 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°17 C 51 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 52 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 53 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°18 C 54 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 55 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 56 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cordeau N°19 C 57 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Les succès sont repérés par les chiffres 1 et les échecs sont repérés par les chiffres 0.


C.4.2.3 Exploitation On exploite les niveaux non aberrants par la méthode de PROBIT, ce qui nous donne les résultats suivants sur les 8 niveaux exploitables (pourcentage de succès différents de 0% et de 100%) :

Paramètre fonctionnel

Effectif par niveau

Nombre de succès observé

Pourcentage de succès observé

4,4 mm 57 55 96,49%

4,5 mm 57 52 91,23%

4,6 mm 57 41 71,93%

4,7 mm 57 33 57,89%

4,8 mm 57 18 31,58%

4,9 mm 57 11 19,30%

5,0 mm 57 4 7,02%

5,1 mm 57 4 7,02%

Les calculs ont été réalisés avec la feuille de calcul du §C.3.7. La première régression linéaire (PROBIT provisoires) fournit les résultats suivants :

• a0 = 28,80 et b0 = -5,02

• 0X = 4,74mm et s0 = 0,199mm




0 28,80003 -5,01974 4,7413E+00 1,9921E-01 - - Itération (i) Itération (i-1) Itération (i) Itération (i) Itération (i-1) Itération (i) -1 28,95593 -5,06067 4,7337E+00 1,9760E-01 1,4273E-02 3,8698E-01 4,7297E+00 4,7413E+00 4,7582E+00 4,6737E+00 5,0197E+00 5,4476E+00 oui2 28,95535 -5,06067 4,7337E+00 1,9761E-01 1,4318E-02 3,8980E-01 4,7194E+00 4,7337E+00 4,7480E+00 4,6708E+00 5,0607E+00 5,4504E+00 oui3 28,95524 -5,06057 4,7337E+00 1,9761E-01 1,4318E-02 3,8980E-01 4,7243E+00 4,7337E+00 4,7529E+00 4,6708E+00 5,0607E+00 5,4504E+00 oui4 28,95524 -5,06057 4,7337E+00 1,9761E-01 1,4318E-02 3,8979E-01 4,7243E+00 4,7337E+00 4,7529E+00 4,6708E+00 5,0606E+00 5,4504E+00 oui5 28,95524 -5,06057 4,7337E+00 1,9761E-01 1,4318E-02 3,8979E-01 4,7243E+00 4,7337E+00 4,7529E+00 4,6708E+00 5,0606E+00 5,4504E+00 oui6 28,95524 -5,06057 4,7337E+00 1,9761E-01 1,4318E-02 3,8979E-01 4,7243E+00 4,7337E+00 4,7529E+00 4,6708E+00 5,0606E+00 5,4504E+00 oui







• a1 = 28,96 et b1 = -5,06

• 1X = 4,734mm et s1 = 0,1976mm

o avec les écarts types des estimateurs s( 1X ) = 1,43.10-2mm et s(b1) = 0,39mm-1


o ( ) ( ) 7582,474,47297,4 11011 =+<=<−= XsXXXsX

o 2139,0)(

1199,0

)(

11836,0

110

11

=−

<=<+

=bsb

sbsb

• La première itération est donc suffisante pour le calcul de X et s. Test de normalité :

• Les résultats du test du χ2 sont rappelés ici :



o On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse de normalité de la loi pour un risque de 5%.

Nous retenons donc les résultats suivants (6ième itération) :


de l’estimateur

Moyenne X = 4,734 mm ( )S X = 0,001432 mm

Pente b = -5,06 mm-1 s(b) = 0,39 mm-1

Ecart-type s = 0,1976 mm -


Méthode PROBIT : Droite des PROBIT finauxTirs de recette cordeaux découpeurs

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50

7,00

4,30E+00 4,40E+00 4,50E+00 4,60E+00 4,70E+00 4,80E+00 4,90E+00 5,00E+00 5,10E+00 5,20E+00



PR

OB

ITS



C.4.2.3.1 EVALUATION DU SEUIL DE FONCTIONNEMENT DU CORDEAU DE DECOUPE La probabilité de bon fonctionnement et le paramètre fonctionnel variant en sens inverse, le seuil de fonctionnement est donné par la formule suivante :

( ) +−

− Φ−= σ.1 RmX F Pour un niveau de confiance 1-α = 90%, on a :

• 64,12

=αu

• ( ) 71,4001432,064,1734,42

=•−=•−=− XsuXm α mm

• ( ) 2263,039,064,106,5

11

2

=•−

=•−

=+ bsub α

σ mm

Le seuil de fonctionnement vaut donc (pour une fiabilité de découpe de 1- 10-6) :

• ( ) ( ) 635,32263,075,471,42263,010171,4 611 =•−=•−Φ−=•Φ−= −−+

−− σRmXF mm

On constate que pour ce lot de cordeaux de découpe, le seuil de fonctionnement calculé est supérieur au critère d’acceptation (3,3 mm), ce qui valide son acceptation. C.4.3 PROBIT « LOI VRAIE » D’UN INFLAMMATEUR ELECTR O-PYROTECHNIQUE C.4.3.1 Cas traité Il s’agit de concaténer différents essais de BRUCETON et de PROBIT ayant été réalisés sur un même lot d’inflammateurs électro-pyrotechniques. Ce PROBIT généralisé a été constitué lors des essais de comparaison des méthodes statistiques menés dans le cadre des travaux PAQTE 2004 du CNES (Cf. document alinéa 28 du §A.2.2) :

• 5 tests de BRUCETON réalisés,

• 4 tests de PROBIT réalisés,

• Soit un total de 591 tirs, réalisés sur le lot d’inflammateurs, à concaténer et à exploiter. Il s’agit du même inflammateur que celui présenté en exemple au §C.4.1.


C.4.3.2 Résultats des essais concaténés La concaténation des 591 résultats de tirs sur les 38 niveaux exploitables figure dans le tableau suivant :


Niveau Paramètre fonctionnel

Effectif par niveau

Nombre de succès observé

% succès observé

1 1,675 A 14 13 92,86% 2 1,660 A 29 16 55,17% 3 1,645 A 20 4 20,00%

BRUCETON N°1 (74 tirs)

4 1,630 A 7 3 42,86% 5 1,675 A 15 12 80,00% 6 1,660 A 24 11 45,83%


7 1,645 A 16 5 31,25% 8 1,680 A 15 13 86,67% 9 1,662 A 26 13 50,00% 10 1,643 A 19 6 31,58%


11 1,625 A 7 1 14,29% 12 1,671 A 8 7 87,50% 13 1,658 A 13 6 46,15% 14 1,6456 A 16 10 62,50%


15 1,633 A 13 3 23,08% 16 1,6323 A 13 3 23,08% 17 1,639 A 20 10 50,00%


18 1,6456 A 16 9 56,25% 19 1,603 A 18 1 5,56% 20 1,618 A 12 3 25,00% 21 1,6323 A 12 2 16,67% 22 1,647 A 12 4 33,33%

PROBIT N°1 (78 tirs)

23 1,6612 A 18 11 61,11% 24 1,631 A 18 4 22,22% 25 1,6454 A 12 3 25,00% 26 1,657 A 12 3 25,00% 27 1,664 A 12 6 50,00%


28 1,670 A 18 17 94,44% 29 1,631 A 18 2 11,11% 30 1,6398 A 24 7 29,17% 31 1,646 A 12 5 41,67% 32 1,653 A 12 10 83,33%

PROBIT N°3' (82 tirs)

33 1,6601 A 18 11 61,11% 34 1,636 A 18 6 33,33% 35 1,645 A 12 4 33,33% 36 1,653 A 12 6 50,00% 37 1,662 A 12 11 91,67%


38 1,670 A 18 16 88,89%


C.4.3.3 Exploitation C.4.3.3.1 DETERMINATION DE LA MOYENNE ET DE L’ECART-TYPE La moyenne et l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement sont déterminés par l’exploitation des résultats des essais selon la méthode du § C.3. Les calculs ont été réalisés avec la feuille de calcul du §C.3.7. La première régression linéaire (PROBIT provisoires) fournit les résultats suivants :

• a0 = -59,25 et b0 = 38,93

• 0X = 1,6505 et s0 = 0,025687A




0 -59,25350 38,92970 1,6505E+00 2,5687E-02 - - Itération (i) Itération (i-1) Itération (i) Itération (i) Itération (i-1) Itération (i) -1 -55,79406 36,79644 1,6522E+00 2,7177E-02 1,4983E-03 3,8299E+00 1,6507E+00 1,6505E+00 1,6537E+00 3,2966E+01 3,8930E+01 4,0626E+01 Non2 -55,85241 36,79644 1,6522E+00 2,7150E-02 1,4884E-03 3,7722E+00 1,6507E+00 1,6522E+00 1,6536E+00 3,3024E+01 3,6796E+01 4,0569E+01 Oui3 -55,85286 36,83229 1,6522E+00 2,7150E-02 1,4886E-03 3,7733E+00 1,6507E+00 1,6522E+00 1,6536E+00 3,3059E+01 3,6796E+01 4,0606E+01 Oui4 -55,85288 36,83230 1,6522E+00 2,7150E-02 1,4886E-03 3,7733E+00 1,6507E+00 1,6522E+00 1,6536E+00 3,3059E+01 3,6832E+01 4,0606E+01 Oui5 -55,85288 36,83230 1,6522E+00 2,7150E-02 1,4886E-03 3,7733E+00 1,6507E+00 1,6522E+00 1,6536E+00 3,3059E+01 3,6832E+01 4,0606E+01 Oui6 -55,85288 36,83230 1,6522E+00 2,7150E-02 1,4886E-03 3,7733E+00 1,6507E+00 1,6522E+00 1,6536E+00 3,3059E+01 3,6832E+01 4,0606E+01 Oui





On constate que la convergence n’est atteinte qu’à partir de la deuxième itération.

� A la première itération, on a les résultats suivants :

• a1 = -55,79 et b1 = 36,80

• 1X = 1,6522A et s1 = 0,02718A

o avec les écarts types des estimateurs s( 1X ) = 1,498.10-3 et s(b1) = 3,83

• Le test de convergence sur la moyenne n’est pas satisfait :

o ( ) ( ) 6537,16505,16507,1 11011 =+<=>−= XsXXXsX

� Après la deuxième itération on obtient les résultats suivants :

• a2 = -55,85 et b2 = 36,80

• 2X = 1,6522A et s2 = 0,02715A

o avec les écarts types des estimateurs s( 2X ) = 1,498.10-3 et s(b2) = 3,77

• Cette fois, les conditions d’arrêt des itérations sont bien remplies à la deuxième itération :

o ( ) ( ) 6536,16522,16507,1 22122 =+<=<−= XsXXXsX

o 00303,0)(

1002715,0

)(

100246,0

110

11

=−

<=<+

=bsb

sbsb

Test de normalité : • Les résultats du test du χ

2 sont rappelés ici :


2 théorique(36ddl, 5%) = 51

o On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse de normalité de la loi pour un risque de 5%.




de l’estimateur

Moyenne X = 1,6522 A ( )S X = 0,00149 A

Pente b = 36,83 A-1 s(b) = 3,77 A-1

Ecart-type s = 0,02715 A -


Méthode PROBIT : Droite des PROBIT finauxPROBIT "loi vraie" inflammateur électrique (CNES-PA QTE 2004)

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50

1,59E+00 1,60E+00 1,61E+00 1,62E+00 1,63E+00 1,64E+00 1,65E+00 1,66E+00 1,67E+00 1,68E+00 1,69E+00



PR

OB

ITS



C.4.3.3.2 EVALUATION DE LA FIABILITE DE L’INFLAMMATEUR On cherche à évaluer le niveau de référence permettant de garantir une fiabilité de R=1-10-6. La probabilité de bon fonctionnement et le paramètre fonctionnel variant dans le même sens, le seuil de fonctionnement est donné par la formule suivante :

( ) +−

+ Φ+= σ.1 RmXF Pour un niveau de confiance 1-α = 90%, on a :

• 64,12

=αu

• ( ) 655,100149,064,16522,12

=•+=•+=+ XsuXm α A

• ( ) 03265,077,364,183,36

11

2

=•−

=•−

=+ bsub α

σ A

Le seuil de fonctionnement vaut donc :

• ( ) ( ) 81,103265,075,4655,103265,0101655,1 611 =•+=•−Φ+=•Φ+= −−+

−+ σRmXF A

Cette exploitation représente la « loi vraie » de l’inflammateur électro-pyrotechnique étudié :

• Compte-tenu du grand nombre de résultats de tirs exploités, il n’est pas nécessaire de marger de 10% ce résultat de calcul du seuil de fonctionnement XF (non application de la recommandation du §C.3.6.3),

• On peut conclure que ce dernier possède une fiabilité d’initiation de R = 1-10-6, au niveau de confiance 90,25% sous un courant de mise à feu de référence égal à Xréf = 1,81 A.


C.4.4 RE-EXPLOITATION D’UN TEST DE BRUCETON NON EXP LOITABLE C.4.4.1 Cas traité Nous avons réalisé la séquence fermée d’essais BRUCETON suivante (en application du document GTPS N°11C cité en alinéa 3 du §A.2.1) :

= 7

'

= 8

'

= 9'

= 1

0'

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

13 14 15 16

17 18 19 20

21

22 23 24 25

26 27 28 29 30

31 32 33 34

35 36

8,007,00 S S6,00 S E S S S S E S5,00 S E S E S E S E S E S4,00 S E E S E S E S E S3,00 S E S E E E S2,00 E E1,00

8'

9' 10'

Essais préliminaires Séquence fermée


1' 2' 3'

4' 5' 6' 7'

L’exploitation de cette séquence fermée nous donne les résultats suivants :

Xi Rang essais

i

Nombre d’essais réalisés n n*i n*i*i

8,00 0 0 0 0

7,00 5 2 10 50

6,00 4 7 28 112

5,00 3 10 30 90

4,00 2 9 18 36

3,00 1 6 6 6

2,00 0 2 0 0

∑

2941

2 =∗=∑=

k

ii inB92

1

=∗=∑=

k

ii inA36

1

==∑=

k

iiS nN

4673,14

1

2 2

2

=

−−∗∗

−=

N

ABN

N

NU 556,4=X s = 2,4944

Comme le pas du test est égal à d = 1, on constate que le rapport s/d = 2,4944 > 2. Conformément au document GTPS 11C (Cf. alinéas 3 du §A.2.1), on conclut que ce test n’est pas exploitable. C.4.4.2 Récupération des données de tirs dans un ca lcul PROBIT On peut récupérer les résultats de tirs suivants pour les exploiter par la méthode PROBIT :

Niveaux des essais

Nombre d’essais

Nombre de succès observés

% succès calculés

6,00 7 5 71,43% 5,00 10 5 50,00% 4,00 9 4 44,44% 3,00 6 2 33,33% Total 32 16 -

Ce qui nous fait un total de 32 essais à exploiter.


C.4.4.3 Exploitation La moyenne et l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement sont déterminés par l’exploitation des résultats des essais selon la méthode du § C.3. Les calculs ont été réalisés avec la feuille de calcul du §C.3.7. La première régression linéaire (PROBIT provisoires) fournit les résultats suivants :

• a0 = 7,32 et b0 = -0,50

• 0X = 4,64 et s0 = 2,00




0 7,31888 -0,49932 4,6441E+00 2,0027E+00 - - Itération (i) Itération (i-1) Itération (i) Itération (i) Itération (i-1) Itération (i) -1 7,18939 -0,47880 4,5727E+00 2,0886E+00 4,8488E-01 2,3576E-01 4,0878E+00 4,6441E+00 5,0575E+00 2,4304E-01 4,9932E-01 7,1456E-01 Oui2 7,18906 -0,47880 4,5729E+00 2,0890E+00 4,8311E-01 2,3386E-01 4,0898E+00 4,5727E+00 5,0560E+00 2,4494E-01 4,7880E-01 7,1266E-01 Oui3 7,18907 -0,47871 4,5729E+00 2,0890E+00 4,8310E-01 2,3385E-01 4,0898E+00 4,5729E+00 5,0560E+00 2,4485E-01 4,7880E-01 7,1256E-01 Oui4 7,18907 -0,47871 4,5729E+00 2,0890E+00 4,8310E-01 2,3385E-01 4,0898E+00 4,5729E+00 5,0560E+00 2,4485E-01 4,7871E-01 7,1256E-01 Oui5 7,18907 -0,47871 4,5729E+00 2,0890E+00 4,8310E-01 2,3385E-01 4,0898E+00 4,5729E+00 5,0560E+00 2,4485E-01 4,7871E-01 7,1256E-01 Oui6 7,18907 -0,47871 4,5729E+00 2,0890E+00 4,8310E-01 2,3385E-01 4,0898E+00 4,5729E+00 5,0560E+00 2,4485E-01 4,7871E-01 7,1256E-01 Oui






• a1 = 7,19 et b1 = -0,48

• 1X = 4,57 et s1 = 2,09

o avec les écarts types des estimateurs s( 1X ) = 0,485 et s(b1) = 0,236


o ( ) ( ) 06,564,409,4 11011 =+<=<−= XsXXXsX

o 1146,4)(

100,2

)(

13995,1

110

11

=−

<=<+

=bsb

sbsb

o La première itération est donc suffisante pour le calcul de X et s. Test de normalité : Les résultats du test du χ

2 sont rappelés ici :

• χ2 calculé = 0,29 < χ


• On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse de normalité de la loi pour un risque de 5%.




de l’estimateur

Moyenne X = 4,57 ( )S X = 0,483

Pente b = -0.50 s(b) = 0,234

Ecart-type s = 2,09 -

Ces valeurs sont à rapprocher des estimations initiales données par le test de BRUCETON

( 556,4=X & s = 2,4944). La droite des PROBIT est représentée sur le graphique suivant :

Méthode PROBIT : Droite des PROBIT finauxRéexploitation BRUCETON non exploitable (S/d > 2)

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50

2,00E+00 2,50E+00 3,00E+00 3,50E+00 4,00E+00 4,50E+00 5,00E+00 5,50E+00 6,00E+00 6,50E+00



PR

OB

ITS


Il est à noter que cette méthode de ré-exploitation d’un test de BRUCETON non exploitable n’est possible que dans le cas s/d>2 , car c’est le seul cas qui nous laisse suffisamment de niveaux à exploiter par la méthode PROBIT.


D. CONCLUSION Ce document expose la procédure de mise en œuvre de la méthode PROBIT applicable à l’évaluation de la fiabilité d’un dispositif monocoup. Il explicite la démarche à suivre (conditions de mise en œuvre proprement dite) en insistant notamment sur :

• la détermination des niveaux d’essais, • la conduite des essais.

Cette méthode permet d’évaluer la moyenne et la dispersion des seuils de fonctionnement avec une bonne précision pour un échantillon de taille supérieure à 72, en supposant que les seuils de fonctionnement du paramètre fonctionnel qui caractérise cet échantillon suivent une loi normale ou log-normale. Ces évaluations étendues à une population infinie et assorties d’un niveau de confiance donné permettent d’évaluer la fiabilité du dispositif monocoup pour une valeur définie du paramètre fonctionnel. La méthode reste applicable pour un échantillon de taille inférieure, avec une dégradation des résultats et un risque augmenté d’obtenir un test non exploitable (rappel : risque déjà important même dans les conditions idéales de test). Cette méthode peut être utilisée pour :

• exploiter une série d’essais, y compris en réception de lot lorsque le niveau de fiabilité et la prédétermination des niveaux d’essais font partie des critères d’acceptation (la principale application connue est la réception de cordeaux de découpe sur une cible étagée),

• concaténer des résultats de tests BRUCETON et/ou PROBIT obtenus lors de différentes campagnes d’essais pour obtenir, à partir d’un grand nombre d’essais, les caractéristiques de la « loi vraie »,

• ré-exploiter une séquence d’essais de BRUCETON non exploitable (cas S/d > 2).


E. ANNEXE (TABLES) : Annexe E1 PROBIT empiriques Yi en fonction des pourcentages pi de fonctionnement observés

Annexe E2 Coefficients de poids Wi en fonction des valeurs des PROBIT provisoires Ypi

Annexe E3 PROBIT de travail zi en fonction des pourcentages pi de fonctionnement observés et des valeurs des PROBIT provisoires Ypi

Annexe E4 Valeurs de la fonction de répartition de la loi normale réduite.

Annexe E5 Valeurs de ),2/(2

ναχ en fonction du nombre de degrés de liberté νννν et du niveau de

confiance 1-αααα)


E.1 PROBIT empiriques Y i en fonction des pourcentages p i de fonctionnement observés

% 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 1.9098 2.1218 2.2522 2.3479 2.4242 2.4879 2.5427 2.5911 2.6344 1 2.6737 2.7096 2.7429 2.7738 2.8027 2.8299 2.8556 2.8799 2.9031 2.9252 2 2.9463 2.9665 2.9859 3.0046 3.0226 3.0400 3.0569 3.0732 3.0890 3.1043 3 3.1192 3.1337 3.1478 3.1616 3.1750 3.1881 3.2009 3.2134 3.2256 3.2376 4 3.2493 3.2608 3.2721 3.2831 3.2940 3.3046 3.3151 3.3253 3.3354 3.3454 5 3.3551 3.3648 3.3742 3.3836 3.3928 3.4018 3.4107 3.4195 3.4282 3.4368 6 3.4452 3.4536 3.4618 3.4699 3.4780 3.4859 3.4937 3.5015 3.5091 3.5167 7 3.5242 3.5316 3.5389 3.5462 3.5534 3.5605 3.5675 3.5745 3.5813 3.5882 8 3.5949 3.6016 3.6083 3.6148 3.6213 3.6278 3.6342 3.6405 3.6468 3.6531 9 3.6592 3.6654 3.6715 3.6775 3.6835 3.6894 3.6953 3.7012 3.7070 3.7127

10 3.7184 3.7241 3.7298 3.7354 3.7409 3.7464 3.7519 3.7574 3.7628 3.7681 11 3.7735 3.7788 3.7840 3.7893 3.7945 3.7996 3.8048 3.8099 3.8150 3.8200 12 3.8250 3.8300 3.8350 3.8399 3.8448 3.8497 3.8545 3.8593 3.8641 3.8689 13 3.8736 3.8783 3.8830 3.8877 3.8923 3.8969 3.9015 3.9061 3.9107 3.9152 14 3.9197 3.9242 3.9286 3.9331 3.9375 3.9419 3.9463 3.9506 3.9549 3.9593 15 3.9636 3.9678 3.9721 3.9763 3.9806 3.9848 3.9890 3.9931 3.9973 4.0014 16 4.0055 4.0096 4.0137 4.0178 4.0218 4.0259 4.0299 4.0339 4.0379 4.0419 17 4.0458 4.0498 4.0537 4.0576 4.0615 4.0654 4.0693 4.0731 4.0770 4.0808 18 4.0846 4.0884 4.0922 4.0960 4.0998 4.1035 4.1073 4.1110 4.1147 4.1184 19 4.1221 4.1258 4.1294 4.1331 4.1368 4.1404 4.1440 4.1476 4.1512 4.1548 20 4.1584 4.1619 4.1655 4.1690 4.1726 4.1761 4.1796 4.1831 4.1866 4.1901 21 4.1936 4.1970 4.2005 4.2039 4.2074 4.2108 4.2142 4.2176 4.2210 4.2244 22 4.2278 4.2312 4.2345 4.2379 4.2412 4.2446 4.2479 4.2512 4.2546 4.2579 23 4.2612 4.2644 4.2677 4.2710 4.2743 4.2775 4.2808 4.2840 4.2872 4.2905 24 4.2937 4.2969 4.3001 4.3033 4.3065 4.3097 4.3129 4.3160 4.3192 4.3224 25 4.3255 4.3287 4.3318 4.3349 4.3380 4.3412 4.3443 4.3474 4.3505 4.3536 26 4.3567 4.3597 4.3628 4.3659 4.3689 4.3720 4.3750 4.3781 4.3811 4.3842 27 4.3872 4.3902 4.3932 4.3962 4.3992 4.4022 4.4052 4.4082 4.4112 4.4142 28 4.4172 4.4201 4.4231 4.4260 4.4290 4.4319 4.4349 4.4378 4.4408 4.4437 29 4.4466 4.4495 4.4524 4.4554 4.4583 4.4612 4.4641 4.4670 4.4698 4.4727 30 4.4756 4.4785 4.4813 4.4842 4.4871 4.4899 4.4928 4.4956 4.4985 4.5013 31 4.5042 4.5070 4.5098 4.5126 4.5155 4.5183 4.5211 4.5239 4.5267 4.5295 32 4.5323 4.5351 4.5379 4.5407 4.5435 4.5462 4.5490 4.5518 4.5546 4.5573 33 4.5601 4.5628 4.5656 4.5684 4.5711 4.5739 4.5766 4.5793 4.5821 4.5848 34 4.5875 4.5903 4.5930 4.5957 4.5984 4.6011 4.6039 4.6066 4.6093 4.6120 35 4.6147 4.6174 4.6201 4.6228 4.6255 4.6281 4.6308 4.6335 4.6362 4.6389 36 4.6415 4.6442 4.6469 4.6495 4.6522 4.6549 4.6575 4.6602 4.6628 4.6655 37 4.6681 4.6708 4.6734 4.6761 4.6787 4.6814 4.6840 4.6866 4.6893 4.6919 38 4.6945 4.6971 4.6998 4.7024 4.7050 4.7076 4.7102 4.7129 4.7155 4.7181 39 4.7207 4.7233 4.7259 4.7285 4.7311 4.7337 4.7363 4.7389 4.7415 4.7441 40 4.7467 4.7492 4.7518 4.7544 4.7570 4.7596 4.7622 4.7647 4.7673 4.7699 41 4.7725 4.7750 4.7776 4.7802 4.7827 4.7853 4.7879 4.7904 4.7930 4.7955 42 4.7981 4.8007 4.8032 4.8058 4.8083 4.8109 4.8134 4.8160 4.8185 4.8211 43 4.8236 4.8262 4.8287 4.8313 4.8338 4.8363 4.8389 4.8414 4.8440 4.8465 44 4.8490 4.8516 4.8541 4.8566 4.8592 4.8617 4.8642 4.8668 4.8693 4.8718 45 4.8743 4.8769 4.8794 4.8819 4.8844 4.8870 4.8895 4.8920 4.8945 4.8970 46 4.8996 4.9021 4.9046 4.9071 4.9096 4.9122 4.9147 4.9172 4.9197 4.9222 47 4.9247 4.9272 4.9298 4.9323 4.9348 4.9373 4.9398 4.9423 4.9448 4.9473 48 4.9498 4.9524 4.9549 4.9574 4.9599 4.9624 4.9649 4.9674 4.9699 4.9724 49 4.9749 4.9774 4.9799 4.9825 4.9850 4.9875 4.9900 4.9925 4.9950 4.9975 50 5.0000 5.0025 5.0050 5.0075 5.0100 5.0125 5.0150 5.0175 5.0201 5.0226


Annexe E1 (suite): PROBIT empiriques Y i en fonction des pourcentages p i de fonctionnement observés

% 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 51 5.0251 5.0276 5.0301 5.0326 5.0351 5.0376 5.0401 5.0426 5.0451 5.0476 52 5.0502 5.0527 5.0552 5.0577 5.0602 5.0627 5.0652 5.0677 5.0702 5.0728 53 5.0753 5.0778 5.0803 5.0828 5.0853 5.0878 5.0904 5.0929 5.0954 5.0979 54 5.1004 5.1030 5.1055 5.1080 5.1105 5.1130 5.1156 5.1181 5.1206 5.1231 55 5.1257 5.1282 5.1307 5.1332 5.1358 5.1383 5.1408 5.1434 5.1459 5.1484 56 5.1510 5.1535 5.1560 5.1586 5.1611 5.1637 5.1662 5.1687 5.1713 5.1738 57 5.1764 5.1789 5.1815 5.1840 5.1866 5.1891 5.1917 5.1942 5.1968 5.1993 58 5.2019 5.2045 5.2070 5.2096 5.2121 5.2147 5.2173 5.2198 5.2224 5.2250 59 5.2275 5.2301 5.2327 5.2353 5.2378 5.2404 5.2430 5.2456 5.2482 5.2508 60 5.2533 5.2559 5.2585 5.2611 5.2637 5.2663 5.2689 5.2715 5.2741 5.2767 61 5.2793 5.2819 5.2845 5.2871 5.2898 5.2924 5.2950 5.2976 5.3002 5.3029 62 5.3055 5.3081 5.3107 5.3134 5.3160 5.3186 5.3213 5.3239 5.3266 5.3292 63 5.3319 5.3345 5.3372 5.3398 5.3425 5.3451 5.3478 5.3505 5.3531 5.3558 64 5.3585 5.3611 5.3638 5.3665 5.3692 5.3719 5.3745 5.3772 5.3799 5.3826 65 5.3853 5.3880 5.3907 5.3934 5.3961 5.3989 5.4016 5.4043 5.4070 5.4097 66 5.4125 5.4152 5.4179 5.4207 5.4234 5.4261 5.4289 5.4316 5.4344 5.4372 67 5.4399 5.4427 5.4454 5.4482 5.4510 5.4538 5.4565 5.4593 5.4621 5.4649 68 5.4677 5.4705 5.4733 5.4761 5.4789 5.4817 5.4845 5.4874 5.4902 5.4930 69 5.4958 5.4987 5.5015 5.5044 5.5072 5.5101 5.5129 5.5158 5.5187 5.5215 70 5.5244 5.5273 5.5302 5.5330 5.5359 5.5388 5.5417 5.5446 5.5476 5.5505 71 5.5534 5.5563 5.5592 5.5622 5.5651 5.5681 5.5710 5.5740 5.5769 5.5799 72 5.5828 5.5858 5.5888 5.5918 5.5948 5.5978 5.6008 5.6038 5.6068 5.6098 73 5.6128 5.6158 5.6189 5.6219 5.6250 5.6280 5.6311 5.6341 5.6372 5.6403 74 5.6433 5.6464 5.6495 5.6526 5.6557 5.6588 5.6620 5.6651 5.6682 5.6713 75 5.6745 5.6776 5.6808 5.6840 5.6871 5.6903 5.6935 5.6967 5.6999 5.7031 76 5.7063 5.7095 5.7128 5.7160 5.7192 5.7225 5.7257 5.7290 5.7323 5.7356 77 5.7388 5.7421 5.7454 5.7488 5.7521 5.7554 5.7588 5.7621 5.7655 5.7688 78 5.7722 5.7756 5.7790 5.7824 5.7858 5.7892 5.7926 5.7961 5.7995 5.8030 79 5.8064 5.8099 5.8134 5.8169 5.8204 5.8239 5.8274 5.8310 5.8345 5.8381 80 5.8416 5.8452 5.8488 5.8524 5.8560 5.8596 5.8632 5.8669 5.8706 5.8742 81 5.8779 5.8816 5.8853 5.8890 5.8927 5.8965 5.9002 5.9040 5.9078 5.9116 82 5.9154 5.9192 5.9230 5.9269 5.9307 5.9346 5.9385 5.9424 5.9463 5.9502 83 5.9542 5.9581 5.9621 5.9661 5.9701 5.9741 5.9782 5.9822 5.9863 5.9904 84 5.9945 5.9986 6.0027 6.0069 6.0110 6.0152 6.0194 6.0237 6.0279 6.0322 85 6.0364 6.0407 6.0451 6.0494 6.0537 6.0581 6.0625 6.0669 6.0714 6.0758 86 6.0803 6.0848 6.0893 6.0939 6.0985 6.1031 6.1077 6.1123 6.1170 6.1217 87 6.1264 6.1311 6.1359 6.1407 6.1455 6.1503 6.1552 6.1601 6.1650 6.1700 88 6.1750 6.1800 6.1850 6.1901 6.1952 6.2004 6.2055 6.2107 6.2160 6.2212 89 6.2265 6.2319 6.2372 6.2426 6.2481 6.2536 6.2591 6.2646 6.2702 6.2759 90 6.2816 6.2873 6.2930 6.2988 6.3047 6.3106 6.3165 6.3225 6.3285 6.3346 91 6.3408 6.3469 6.3532 6.3595 6.3658 6.3722 6.3787 6.3852 6.3917 6.3984 92 6.4051 6.4118 6.4187 6.4255 6.4325 6.4395 6.4466 6.4538 6.4611 6.4684 93 6.4758 6.4833 6.4909 6.4985 6.5063 6.5141 6.5220 6.5301 6.5382 6.5464 94 6.5548 6.5632 6.5718 6.5805 6.5893 6.5982 6.6072 6.6164 6.6258 6.6352 95 6.6449 6.6546 6.6646 6.6747 6.6849 6.6954 6.7060 6.7169 6.7279 6.7392 96 6.7507 6.7624 6.7744 6.7866 6.7991 6.8119 6.8250 6.8384 6.8522 6.8663 97 6.8808 6.8957 6.9110 6.9268 6.9431 6.9600 6.9774 6.9954 7.0141 7.0335 98 7.0537 7.0748 7.0969 7.1201 7.1444 7.1701 7.1973 7.2262 7.2571 7.2904 99 7.3263 7.3656 7.4089 7.4573 7.5121 7.5758 7.6521 7.7478 7.8782 8.0902


E.2 Coefficients de poids W i en fonction des valeurs des PROBIT provisoires Yp i

PROBIT provisoire

Yp 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 0.00057 0.00082 0.00118 0.00167 0.00235 0.00327 0.00451 0.00614 0.00828 0.01104

2 0.01457 0.01903 0.02458 0.03143 0.03977 0.04979 0.06168 0.07564 0.09179 0.11026

3 0.13112 0.15436 0.17994 0.20774 0.23754 0.26907 0.30199 0.33589 0.37031 0.40474

4 0.43863 0.47144 0.50260 0.53159 0.55788 0.58099 0.60052 0.61609 0.62742 0.63431

5 0.63662 0.63431 0.62742 0.61609 0.60052 0.58099 0.55788 0.53159 0.50260 0.47144

6 0.43863 0.40474 0.37031 0.33589 0.30199 0.26907 0.23754 0.20774 0.17994 0.15436

7 0.13112 0.11026 0.09179 0.07564 0.06168 0.04979 0.03977 0.03143 0.02458 0.01903

8 0.01457 0.01104 0.00828 0.00614 0.00451 0.00327 0.00235 0.00167 0.00118 0.00082

9 0.00057


E.3 PROBIT de travail z i = Fn (pourcentages p i observés , PROBIT provisoires Yp i)

%p i PROBIT provisoire Y PI obs. 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0 1.6954 1.7865 1.8772 1.9673 2.0568 2.1457 2.2339 2.3214 2.4081 2.4938 1 3.9518 3.4665 3.1405 2.9269 2.7930 2.7162 2.6805 2.6744 2.6900 2.7212 2 6.2082 5.1465 4.4039 3.8865 3.5293 3.2867 3.1270 3.0275 2.9719 2.9486 3 8.4646 6.8264 5.6672 4.8461 4.2655 3.8573 3.5736 3.3805 3.2537 3.1759 4 8.5064 6.9306 5.8057 5.0017 4.4278 4.0201 3.7335 3.5356 3.4033 5 8.1939 6.7653 5.7379 4.9983 4.4666 4.0865 3.8175 3.6306 6 9.4573 7.7249 6.4741 5.5688 4.9132 4.4395 4.0994 3.8580 7 8.6845 7.2103 6.1393 5.3597 4.7926 4.3813 4.0853 8 9.6442 7.9466 6.7098 5.8062 5.1456 4.6632 4.3127 9 8.6828 7.2803 6.2528 5.4986 4.9451 4.5401 10 9.4190 7.8508 6.6993 5.8516 5.2270 4.7674 11 8.4213 7.1459 6.2046 5.5089 4.9948 12 8.9918 7.5924 6.5577 5.7908 5.2221 13 9.5623 8.0389 6.9107 6.0727 5.4495 14 8.4855 7.2637 6.3546 5.6768 15 8.9320 7.6167 6.6365 5.9042 16 9.3785 7.9697 6.9183 6.1316 17 9.8251 8.3228 7.2002 6.3589 18 8.6758 7.4821 6.5863 19 9.0288 7.7640 6.8136 20 9.3818 8.0459 7.0410 21 9.7348 8.3278 7.2683 22 8.6097 7.4957 23 8.8916 7.7231 24 9.1735 7.9504 25 9.4554 8.1778 26 9.7373 8.4051 27 8.6325 28 8.8598 29 9.0872 30 9.3146 31 9.5419 32 9.7693 33 9.9966 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


Annexe E3 (suite): PROBIT de travail z i = Fn (pourcentages p i observés , PROBIT provisoires Yp i)


0 2.5786 2.6624 2.7449 2.8261 2.9060 2.9842 3.0606 3.1351 3.2074 3.2773 1 2.7638 2.8148 2.8716 2.9325 2.9961 3.0614 3.1274 3.1935 3.2589 3.3232 2 2.9491 2.9672 2.9982 3.0388 3.0863 3.1386 3.1942 3.2518 3.3104 3.3691 3 3.1343 3.1196 3.1249 3.1451 3.1764 3.2158 3.2610 3.3102 3.3619 3.4150 4 3.3195 3.2720 3.2515 3.2515 3.2666 3.2930 3.3278 3.3685 3.4134 3.4609 5 3.5047 3.4244 3.3782 3.3578 3.3567 3.3702 3.3946 3.4269 3.4649 3.5068 6 3.6899 3.5768 3.5049 3.4641 3.4469 3.4474 3.4614 3.4853 3.5164 3.5527 7 3.8751 3.7292 3.6315 3.5704 3.5370 3.5247 3.5282 3.5436 3.5679 3.5986 8 4.0604 3.8816 3.7582 3.6768 3.6272 3.6019 3.5949 3.6020 3.6194 3.6445 9 4.2456 4.0340 3.8849 3.7831 3.7173 3.6791 3.6617 3.6603 3.6709 3.6904 10 4.4308 4.1864 4.0115 3.8894 3.8075 3.7563 3.7285 3.7187 3.7224 3.7363 11 4.6160 4.3388 4.1382 3.9957 3.8977 3.8335 3.7953 3.7770 3.7739 3.7822 12 4.8012 4.4912 4.2648 4.1021 3.9878 3.9107 3.8621 3.8354 3.8254 3.8281 13 4.9864 4.6436 4.3915 4.2084 4.0780 3.9879 3.9289 3.8937 3.8769 3.8740 14 5.1717 4.7960 4.5182 4.3147 4.1681 4.0651 3.9957 3.9521 3.9284 3.9199 15 5.3569 4.9484 4.6448 4.4211 4.2583 4.1423 4.0625 4.0104 3.9799 3.9658 16 5.5421 5.1008 4.7715 4.5274 4.3484 4.2195 4.1292 4.0688 4.0314 4.0117 17 5.7273 5.2532 4.8982 4.6337 4.4386 4.2967 4.1960 4.1271 4.0829 4.0576 18 5.9125 5.4056 5.0248 4.7400 4.5287 4.3740 4.2628 4.1855 4.1344 4.1035 19 6.0977 5.5580 5.1515 4.8464 4.6189 4.4512 4.3296 4.2439 4.1859 4.1494 20 6.2830 5.7104 5.2781 4.9527 4.7090 4.5284 4.3964 4.3022 4.2374 4.1953 21 6.4682 5.8628 5.4048 5.0590 4.7992 4.6056 4.4632 4.3606 4.2889 4.2412 22 6.6534 6.0152 5.5315 5.1654 4.8894 4.6828 4.5300 4.4189 4.3404 4.2871 23 6.8386 6.1676 5.6581 5.2717 4.9795 4.7600 4.5968 4.4773 4.3919 4.3330 24 7.0238 6.3200 5.7848 5.3780 5.0697 4.8372 4.6636 4.5356 4.4434 4.3789 25 7.2090 6.4724 5.9115 5.4843 5.1598 4.9144 4.7303 4.5940 4.4949 4.4248 26 7.3943 6.6248 6.0381 5.5907 5.2500 4.9916 4.7971 4.6523 4.5463 4.4707 27 7.5795 6.7772 6.1648 5.6970 5.3401 5.0688 4.8639 4.7107 4.5978 4.5166 28 7.7647 6.9296 6.2914 5.8033 5.4303 5.1461 4.9307 4.7690 4.6493 4.5625 29 7.9499 7.0820 6.4181 5.9096 5.5204 5.2233 4.9975 4.8274 4.7008 4.6084 30 8.1351 7.2344 6.5448 6.0160 5.6106 5.3005 5.0643 4.8857 4.7523 4.6543 31 8.3203 7.3868 6.6714 6.1223 5.7007 5.3777 5.1311 4.9441 4.8038 4.7002 32 8.5055 7.5392 6.7981 6.2286 5.7909 5.4549 5.1979 5.0025 4.8553 4.7461 33 8.6908 7.6916 6.9248 6.3350 5.8811 5.5321 5.2646 5.0608 4.9068 4.7920 34 8.8760 7.8440 7.0514 6.4413 5.9712 5.6093 5.3314 5.1192 4.9583 4.8379 35 9.0612 7.9964 7.1781 6.5476 6.0614 5.6865 5.3982 5.1775 5.0098 4.8838 36 9.2464 8.1488 7.3047 6.6539 6.1515 5.7637 5.4650 5.2359 5.0613 4.9298 37 9.4316 8.3012 7.4314 6.7603 6.2417 5.8409 5.5318 5.2942 5.1128 4.9757 38 9.6168 8.4536 7.5581 6.8666 6.3318 5.9181 5.5986 5.3526 5.1643 5.0216 39 9.8021 8.6060 7.6847 6.9729 6.4220 5.9954 5.6654 5.4109 5.2158 5.0675 40 9.9873 8.7584 7.8114 7.0792 6.5121 6.0726 5.7322 5.4693 5.2673 5.1134 41 8.9108 7.9380 7.1856 6.6023 6.1498 5.7989 5.5276 5.3188 5.1593 42 9.0632 8.0647 7.2919 6.6924 6.2270 5.8657 5.5860 5.3703 5.2052 43 9.2156 8.1914 7.3982 6.7826 6.3042 5.9325 5.6443 5.4218 5.2511 44 9.3681 8.3180 7.5046 6.8728 6.3814 5.9993 5.7027 5.4733 5.2970 45 9.5205 8.4447 7.6109 6.9629 6.4586 6.0661 5.7611 5.5248 5.3429 46 9.6729 8.5714 7.7172 7.0531 6.5358 6.1329 5.8194 5.5763 5.3888 47 9.8253 8.6980 7.8235 7.1432 6.6130 6.1997 5.8778 5.6278 5.4347 48 9.9777 8.8247 7.9299 7.2334 6.6902 6.2665 5.9361 5.6793 5.4806 49 8.9513 8.0362 7.3235 6.7675 6.3333 5.9945 5.7308 5.5265 50 9.0780 8.1425 7.4137 6.8447 6.4000 6.0528 5.7823 5.5724




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51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 0.0127 61 0.1979 62 0.3832 63 0.5684 64 0.7536 65 0.9388 66 1.1240 67 1.3092 0.0034 68 1.4945 0.2307 69 1.6797 0.4581 70 1.8649 0.6854 71 2.0501 0.9128 72 2.2353 1.1402 73 2.4205 1.3675 74 2.6057 1.5949 0.2627 75 2.7910 1.8222 0.5446 76 2.9762 2.0496 0.8265 77 3.1614 2.2769 1.1084 78 3.3466 2.5043 1.3903 79 3.5318 2.7317 1.6722 0.2652 80 3.7170 2.9590 1.9541 0.6182 81 3.9023 3.1864 2.2360 0.9712 82 4.0875 3.4137 2.5179 1.3242 83 4.2727 3.6411 2.7998 1.6772 0.1749 84 4.4579 3.8684 3.0817 2.0303 0.6215 85 4.6431 4.0958 3.3635 2.3833 1.0680 86 4.8283 4.3232 3.6454 2.7363 1.5145 87 5.0136 4.5505 3.9273 3.0893 1.9611 0.4377 88 5.1988 4.7779 4.2092 3.4423 2.4076 1.0082 89 5.3840 5.0052 4.4911 3.7954 2.8541 1.5787 90 5.5692 5.2326 4.7730 4.1484 3.3007 2.1492 0.5810 91 5.7544 5.4599 5.0549 4.5014 3.7472 2.7197 1.3172 92 5.9396 5.6873 5.3368 4.8544 4.1938 3.2902 2.0534 0.3558 93 6.1249 5.9147 5.6187 5.2074 4.6403 3.8607 2.7897 1.3155 94 6.3101 6.1420 5.9006 5.5605 5.0868 4.4312 3.5259 2.2751 0.5427 95 6.4953 6.3694 6.1825 5.9135 5.5334 5.0017 4.2621 3.2347 1.8061 96 6.6805 6.5967 6.4644 6.2665 5.9799 5.5722 4.9983 4.1943 3.0694 1.4936 97 6.8657 6.8241 6.7463 6.6195 6.4264 6.1427 5.7345 5.1539 4.3328 3.1736 98 7.0509 7.0514 7.0281 6.9725 6.8730 6.7133 6.4707 6.1135 5.5961 4.8535 99 7.2362 7.2788 7.3100 7.3256 7.3195 7.2838 7.2070 7.0731 6.8595 6.5335 100 7.4214 7.5062 7.5919 7.6786 7.7661 7.8543 7.9432 8.0327 8.1228 8.2135


E.4 Valeurs de la fonction de répartition de la loi normale réduite.

( ) duett

u

∫∞−

−=Φ 22

2

1

π

t 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


E.5 Valeurs de ),2/(2

ναχ = Fn(nombre de degrés de liberté νννν , niveau de confiance 1- αααα)

Niveau de confiance: 1−α 1−α 1−α 1−α Nbre de degrés de

liberté

νννν 0,99 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5

1 0,00004 0,00098 0,00393 0,01579 0,03577 0,06418 0,10153 2 0,01002 0,05064 0,10259 0,21072 0,32504 0,44629 0,57536 3 0,07172 0,21579 0,35185 0,58438 0,79777 1,00517 1,21253 4 0,20698 0,48442 0,71072 1,06362 1,36648 1,64878 1,92256 5 0,41175 0,83121 1,14548 1,61031 1,99381 2,34253 2,67460 6 0,67573 1,23734 1,63538 2,20413 2,66127 3,07009 3,45460 7 0,98925 1,68986 2,16735 2,83311 3,35828 3,82232 4,25485 8 1,34440 2,17972 2,73263 3,48954 4,07820 4,59357 5,07064 9 1,73491 2,70039 3,32512 4,16816 4,81653 5,38006 5,89882 10 2,15585 3,24696 3,94030 4,86518 5,57006 6,17908 6,73720 11 2,60320 3,81574 4,57481 5,57779 6,33643 6,98867 7,58414 12 3,07379 4,40378 5,22603 6,30380 7,11384 7,80733 8,43842 13 3,56504 5,00874 5,89186 7,04150 7,90083 8,63386 9,29906 14 4,07466 5,62872 6,57063 7,78954 8,69630 9,46733 10,16531 15 4,60087 6,26212 7,26093 8,54675 9,49928 10,30696 11,03654 16 5,14216 6,90766 7,96164 9,31224 10,30902 11,15212 11,91222 17 5,69727 7,56418 8,67175 10,08518 11,12486 12,00226 12,79192 18 6,26477 8,23074 9,39045 10,86494 11,94625 12,85695 13,67529 19 6,84392 8,90651 10,11701 11,65091 12,77272 13,71579 14,56200 20 7,43381 9,59077 10,85080 12,44260 13,60386 14,57844 15,45177 21 8,03360 10,28291 11,59132 13,23960 14,43930 15,44461 16,34439 22 8,64268 10,98233 12,33801 14,04149 15,27875 16,31404 17,23962 23 9,26038 11,68853 13,09051 14,84795 16,12192 17,18650 18,13729 24 9,88620 12,40115 13,84842 15,65868 16,96855 18,06180 19,03725 25 10,51965 13,11971 14,61140 16,47341 17,81844 18,93975 19,93934 26 11,16022 13,84388 15,37916 17,29188 18,67138 19,82019 20,84343 27 11,80765 14,57337 16,15139 18,11389 19,52720 20,70298 21,74940 28 12,46128 15,30785 16,92788 18,93924 20,38573 21,58797 22,65716 29 13,12107 16,04705 17,70838 19,76774 21,24682 22,47505 23,56659 30 13,78668 16,79076 18,49267 20,59924 22,11034 23,36411 24,47760 31 14,45774 17,53872 19,28056 21,43357 22,97617 24,25506 25,39014 32 15,13402 18,29079 20,07191 22,27059 23,84419 25,14778 26,30411 33 15,81518 19,04666 20,86652 23,11019 24,71430 26,04221 27,21944 34 16,50130 19,80624 21,66428 23,95225 25,58640 26,93827 28,13608 35 17,19173 20,56938 22,46501 24,79665 26,46042 27,83588 29,05396 36 17,88675 21,33587 23,26862 25,64329 27,33625 28,73496 29,97305 37 18,58588 22,10562 24,07494 26,49209 28,21383 29,63547 30,89326 38 19,28882 22,87849 24,88389 27,34296 29,09306 30,53734 31,81456 39 19,99583 23,65430 25,69538 28,19579 29,97392 31,44051 32,73692 40 20,70658 24,43306 26,50930 29,05052 30,85632 32,34495 33,66029 41 21,42075 25,21452 27,32556 29,90708 31,74020 33,25060 34,58463 42 22,13838 25,99866 28,14405 30,76542 32,62553 34,15740 35,50992 43 22,85957 26,78537 28,96471 31,62546 33,51221 35,06533 36,43608 44 23,58362 27,57454 29,78750 32,48713 34,40023 35,97435 37,36313 45 24,31098 28,36618 30,61226 33,35038 35,28954 36,88441 38,29101 46 25,04130 29,16002 31,43900 34,21517 36,18009 37,79548 39,21971 47 25,77450 29,95616 32,26761 35,08142 37,07184 38,70752 40,14919 48 26,51067 30,75450 33,09807 35,94914 37,96477 39,62051 41,07943 49 27,24937 31,55493 33,93029 36,81823 38,85881 40,53441 42,01040 50 27,99082 32,35738 34,76424 37,68864 39,75392 41,44921 42,94208