método de galerkin discontinuo híbrido para la ecuación de darcy · 2016-06-09 · métodos...

Método de Galerkin Discontinuo

Híbrido para la Ecuación de Darcy

Manuela Bastidas Olivares

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Escuela de Matemáticas

Medellín, Colombia

2016

Método de Galerkin Discontinuo

Híbrido para la Ecuación de Darcy

Manuela Bastidas Olivares

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Ciencias Matemáticas

Director:

Ph.D. Mauricio Andres Osorio L.

Co-Directora:

Ph.D. Bibiana López Rodríguez.

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Escuela de Matemáticas

Medellín, Colombia

2016

A mis padres.

Augusto Bastidas y Silvia Olivares.

Agradecimientos

Si dejas obra, muere tranquilo, conando en unos pocos buenos amigos.Andrés Caicedo. ½Que viva la música!

Este trabajo está dedicado a Silvia Olivares por el apoyo constante y la compañiaincondicional, y de forma muy especial a Augusto Bastidas que aunque ya no está estoysegura que se sentiría muy orgulloso de este logro.

Los últimos meses han sido, sin duda alguna, los más difíciles que he tenido que vivir ypor eso ha sido fundamental la fuerza de mis amigos, los más cercanos, los eternos, losingenieron matemáticos, los matemáticos, los académicos y los más recientes que mehan acompañado para hacer de esta tesis una realidad.

Agradezco a mis asesores Mauricio y Bibiana por la paciencia innita todos los díasde este proceso y por la conanza que depositaron en mi; siempre fueron fuente deinspiración y tranquilidad.

En especial, quiero agradecer a la Universidad Nacional de Colombia y a su escuela deMatemáticas por abrirme las puertas de la manera más desinteresada, por permitirmela experiencia enseñar a otros temas que me apasionan y por darme la oportunidadde conocer un mundo que me ha sorprendido mucho y donde he conocido personas,estudiantes y profesores, que recordaré siempre con mucho cariño y admiración.

vi

Resumen

En el presente documento se propone el método Galerkin Discontinuo Híbrido (HDG)para solucionar uno de los problemas clásicos de la mecánica de uidos, la ecuaciónde Darcy, que describe el comportamiento de un uido en un medio poroso. Ademásse exponen los resultados teóricos de existencia y unicidad de la solución aproximadade la ecuación de Darcy y el respectivo análisis de error del método Galerkin Discon-tinuo Local (LDG) y del método HDG con el n de comparar sus características y losresultados de ambos sobre un problema particular.

Palabras clave: Galerkin Discontinuo, Darcy, Solución numérica, Análisis de error.

Abstract

In this document we propose the Hybrid Discontinuous Galerkin (HDG) method tosolve a classic problem of uids mechanics, the Darcy's equation, which describes thebehavior of a uid in a porous medium. Further we present the theoretical resultsof existence and uniqueness of the approximated solution for Darcy's equation and therespective error analysis for the Local Discontinuous Galerkin method (LDG) and HDGin order to compare their features and results.

Keywords : Discontinuous Galerkin , Darcy , Numerical solution , Error Analysis.

vii

Contenido

Agradecimientos vi

Resumen vii

Introducción xiv

1. Introducción a los métodos DG 1

1. Formulación método LDG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Formulación método HDG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1. Hibridización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. El método LDG para la ecuación de Darcy 27

1. Formulación LDG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Existencia y unicidad de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Formulación Primal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3. Existencia y unicidad de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Análisis de Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Estimaciones del error en la norma L2 . . . . . . . . . . . . . . 43

viii

CONTENIDO ix

4. Implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5. Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3. El método HDG para la ecuación de Darcy. 61

1. Formulación del problema (HDG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2. Hibridización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3. Análisis de Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1. Los operadores de proyección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2. Estimativos de error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4. Implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5. Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Conclusiones y Trabajo futuro 93

A. Espacios de Hilbert y el Teorema de Lax-Milgram 95

B. Desigualdad de la traza e Identidades de Green 98

C. Operadores proyección y Bramble-Hilbert 100

Lista de Figuras

1.1. Introducción LDG - Ejemplo 1 - Solución P1 − P 20 . . . . . . . . . . . . 8


1.3. Introducción LDG - Ejemplo 1 - Solución vectorial P1 − P 20 . . . . . . . 9

1.4. Introducción LDG - Ejemplo 1 - Solución vectorial P1 − P 21 . . . . . . . 10

1.5. Introducción LDG - Ejemplo 1 - Convergencia Error P1 − P 20 . . . . . . 11






1.11. Introducción HDG - Ejemplo 1 - Solución P1 − P 20 . . . . . . . . . . . . 19


1.13. Introducción HDG - Ejemplo 1 - Solución vectorial P1 − P 20 . . . . . . . 20

1.14. Introducción HDG - Ejemplo 1 - Solución vectorial P1 − P 21 . . . . . . . 20

1.15. Introducción HDG - Ejemplo 1 - Convergencia Error P1 − P 20 . . . . . . 22






x

LISTA DE FIGURAS xi

2.1. Darcy LDG - Ejemplo 1 - Solución P1 − P 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 48


2.3. Darcy LDG - Ejemplo 1 - Solución vectorial P1 − P 20 . . . . . . . . . . 50


2.5. Darcy LDG - Ejemplo 1 - Convergencia Error P1 − P 20 . . . . . . . . . 54








3.1. Darcy HDG - Ejemplo 1 - Solución P1 − P 20 . . . . . . . . . . . . . . . 81


3.3. Darcy HDG - Ejemplo 1 - Solución vectorial P1 − P 20 . . . . . . . . . . 82


3.5. Darcy HDG - Ejemplo 1 - Convergencia Error P1 − P 20 . . . . . . . . . 85








Lista de Tablas

1.1. Introducción LDG - Ejemplo 1 - Error P1 − P 20 . . . . . . . . . . . . . . 11




1.5. Introducción HDG - Ejemplo 1 - Error P1 − P 20 . . . . . . . . . . . . . 21




2.1. Darcy LDG - Ejemplo 1 - Error P1 − P 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2. Darcy LDG - Ejemplo 1 - Errror P1 − P 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3. Darcy LDG - Ejemplo 1 - Convergencia del Error . . . . . . . . . . . . 53

2.4. Darcy LDG - Ejemplo 2 - Error P1 − P 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5. Darcy LDG - Ejemplo 2 - Errror P1 − P 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6. Darcy LDG - Ejemplo 2 - Convergencia del Error . . . . . . . . . . . . 60

3.1. Darcy HDG - Ejemplo 1 - Error P1 − P 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2. Darcy HDG - Ejemplo 1 - Errror P1 − P 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3. Darcy HDG - Ejemplo 1 - Convergencia del Error . . . . . . . . . . . . 85

3.4. Darcy HDG - Ejemplo 2 - Error P1 − P 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.6. Darcy HDG - Ejemplo 2 - Convergencia del Error . . . . . . . . . . . . 90

xii

LISTA DE TABLAS xiii

3.5. Darcy HDG - Ejemplo 2 - Errror P1 − P 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Introducción

El análisis numérico es una de las ramas de la matemática que más se ha desarrolladodurante las últimas décadas, especialmente al procurar solucionar ecuaciones diferen-ciales que modelan fenómenos físicos asociados con aplicaciones concretas. Entre losmétodos numéricos más conocidos para solución de ecuaciones diferenciales parcialesse encuentran los métodos de elementos nitos (FEM), volumenes nitos, elementos defrontera, front tracking, Galerkin discontinuo (DG), entre otros.

En 1973 Reed y Hill [1] presentaron la primera aproximación de elementos nitos dis-continuos para ecuaciones hiperbólicas, sin embargo, desde hace solo cerca de 20 añoseste método ha sido usado para resolver problemas elípticos [2]. Desde entonces se havenido dando un importante avance en investigaciones sobre el comportamiento de estemétodo para solucionar problemas en áreas como electrodinámica [3] y mecánica deuidos [4], [5], [6]. Cabe destacar que el trabajo con ecuaciones de tipo elíptico [7], [8]o difusivo [9], [10] ha permitido la aparición de diferentes esquemas tipo Galerkin dis-continuo (DG) [11]; ejemplos de ellos son: el método de Galerkin Discontinuo Local(LDG) [12], el método de la Penalización Interior (IP),el método de Brezzi-Douglas-Marini (BDM), entre otros [2].

En general los métodos DG se basan en aproximar la formulación débil o variacionalde la ecuación diferencial que se pretende resolver, y guardan una estrecha relacióncon el método de elementos nitos. Se puede pensar en Galerkin discontinuo como untipo de método de elementos nitos no conforme; es decir, los espacios de aproximaciónno necesariamente son subespacios de los espacios continuos a los que pertenecen lassoluciones exactas [11]. Es importante resaltar que los métodos DG no exigen quela solución aproximada tenga la continuidad necesaria para pertenecer al espacio deaproximación al que pertenece la solución original, aunque es necesario que cuando lamalla sea sucientemente na la solución se aproxime a la esperada. Para esto último seintroducen términos de estabilización relacionados con saltos y promedios de la soluciónaproximada en cada lado o cara interior de la malla [2].

En el presente trabajo se expone la aplicación de dos métodos tipo Galerkin discontinuo(el método de Galerkin Discontinuo Local (LDG) y el método de Galerkin DiscontinuoHíbrido (HDG)) para solucionar numéricamente la conocida ecuación de Darcy en dosdimensiones, que modela el comportamiento de un uido en un medio poroso [13]. Ésta

xiv

xv

área ha sido ampliamente estudiada desde todos los frentes; muchos trabajos durantelos últimos 20 años han mostrado avances en la solución numérica de la ecuación deDarcy y de otras ecuaciones propias de la mecánica de uidos. Algunos ejemplos de estose encuentran en [9] donde se propone un método DG para solucionar el problema deNavier-Stokes usando elementos de Raviart-Thomas y constituye una de las primeraspropuestas para solucionar esta ecuación basada en su formulación mixta. De forma mássencilla en [14] se muestran paso a paso las formulaciones necesarias para solucionarecuaciones clásicas de dinámica de uidos y de transferencia de calor; por otra parte y demanera más especíca en [15] se propone un estudio detallado del método HDG aplicadoa la solución numérica de problemas asociados a uidos compresibles empleando méto-dos tipo Runge-Kutta además de diferenciación numérica para problemas dependientesdel tiempo. Igualmente cabe resaltar los trabajos en [16], [17], [18], [19], [2] y [12] dondese presenta el método LDG para solucionar problemas tipo Stokes y otros problemaselípticos. Más recientemente, se destacan algunos resultados relevantes para solucionarla ecuación de Stokes y otros problemas de uidos usando HDG, en [20], [21], [22], [23].Sin embargo, en general, el desarrollo matemático alrededor del método HDG no hasido tan amplio como el de otros métodos tipo DG (como el LDG) lo que nos motiva atrabajar en esta dirección.

Teniendo en cuenta lo anterior se propone el estudio del método de Galerkin Dis-continuo Híbrido (HDG), cuyo nombre se extiende de la denición de los métodos deelementos nitos híbridos y que tiene como ventaja fundamental la reducción de los gra-dos de libertad de la formulación, respecto a otros métodos DG. Estos están basados enformulaciones donde una de las incógnitas del problema es una función, o alguna de susderivadas (denida en todo el dominio) y la otra incógnita es la traza de la misma fun-ción, o de alguna de sus derivadas, sobre los lados o caras de los elementos nitos [24]. Sepretende implementar este método para solucionar numéricamente la ecuación de Darcyque, como se mencionó antes, es una ley empírica que modela la pérdida de presión deun uido en relación con la fricción a lo largo de un dominio y que está relacionada a suvez con la velocidad media del ujo [25]. El estudio de esta ecuación clásica de mecánicade uidos permite el análisis más básico de la interacción de un uido con el medio y esampliamente utilizada para avanzar en modelos más robustos como las ecuaciones deStokes-Darcy [23] o Navier-Stokes [9]. Algunos resultados relevantes sobre la soluciónde la ecuación de Darcy se presentan en [23], [26], [27], [28], [29], [25], [13], [30] y [31].Todos estos están centrados en la ecuación de Darcy y los uidos en medios porosos, tra-tados desde el punto de vista de la aproximación numérica y en especíco con métodosdiscontinuos o formulaciones mixtas. En estos se discuten ampliamente característicascomo la estabilidad de los métodos usados, la precisión de estos y fundamentalmente,el análisis de error apriori de las soluciones numéricas [32], [33] y [34].

Aunque existen los avances que se mencionaron antes respecto a los métodos DG y ala solución de la ecuación de Darcy no conocemos ningún trabajo donde se presentenlos resultados teóricos que se exponen en este y es por esta razón se resalta el aporte

xvi INTRODUCCIÓN

teórico del mismo, además aunque en la formulación mixta del problema clásico delLaplaciano las similitudes con la ecuación de Darcy son evidentes, esto solo permitió laextrapolación de técnicas utilizadas en los artículos mencionados anteriormente.

Uno de los grandes retos de la solución numérica de ecuaciones diferenciales parcia-les por medio de métodos discontinuos está asociado con la implementación, todas lasimplementaciones de los métodos que se presentan aquí son propias y están basadassolo en los análisis teóricos que se exponen, todos los métodos fueron programados enMatlab 2015a y no necesitaron toolbox especiales. Es importante aclarar que el tiempode cómputo no es el problema principal que deseamos atacar, ya que la eciencia de losalgoritmos desarrollados en este trabajo no es nuestro principal objetivo; aún así, hayavances signicativos en esta dirección y existen estrategias que son muy útiles en variasetapas de la programación. Los trabajos [35] y [36] en cuanto a integración numéricaen Matlab y [37], [38] y [39] proporcionan herramientas fundamentales para el manejode mallas y operaciones matriciales básicas.

El trabajo está organizado de la siguiente manera: en el capítulo 1 se da una introduc-ción a los métodos tipo DG (en particular el LDG y el HDG). Para esto se presenta laformulación mixta del problema del laplaciano (que resulta ser similar a la formulaciónde la ecuación de Darcy, y se ha vuelto muy popular en el campo de los elementos nitosdiscontinuos, donde se pretende probar las características de los métodos bajo algunascircunstancias especícas). Luego, en los capítulos 2 y 3 se plantean esquemas discretosde la ecuación de Darcy correspondientes a los métodos LDG y HDG, respectivamen-te, con el n de compararlos en términos de resultados teóricos y prácticos. En estoscapítulos se demuestra además la existencia y unicidad de la solución y el respectivoanálisis de error para cada método. Por último se presentan algunos comentarios sobrelos resultados y sobre el trabajo que naturalmente sigue de éste, además de 3 anexoscon algunos preliminares teóricos importantes.

Capıtulo 1Introducción a los métodos DG

En este capítulo se presenta la estrategia general de solución numérica de ecuacionesdiferenciales parciales propuesta por los métodos Galerkin Discontinuo (DG) en regionesde R2.

Para contextualizar las deniciones generales de los métodos DG que se proponen eneste documento, consideraremos un problema clásico, su formulación estándar y algunosresutados numéricos.

Sea Ω ⊆ R2 un dominio acotado y simplemente conexo con frontera poligonal Γ :=ΓD ∪ ΓN , con |ΓD| 6= 0 y ΓD ∩ ΓN = ∅, un término fuente f ∈ L2(Ω) y condiciones defrontera gD ∈ H1/2(ΓD) y gN ∈ L2(ΓN).

Consideremos el problema:

Encontrar u ∈ H2(Ω) tal que:

−∆u = f en Ω,

u = gD en ΓD,

∇u · n = gN en ΓN .

(1.1)

Sea σ := ∇u, el problema (1.1) se puede escribir como sigue: Encontrar (σ, u) ∈H(div,Ω)×H1(Ω) tal que:

σ = ∇u en Ω,

div σ = −f en Ω,

u = gD en ΓD,

σ · n = gN en ΓN .

(1.2)

Donde div es el operador divergencia usual y n denota el vector unitario normal exteriora Γ.

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DG

Sea Thh>0 una familia regular de triangulaciones de Ω. Dada una triangulación Th deΩ, en lo siguiente se dene:

Lado interior de Th al conjunto no vacío de puntos de ∂K ∩ ∂K ′ siendo K,K ′ ∈ Thelementos adyacentes. Lado de frontera de Th el conjunto no vacío de puntos de ∂K∩Γ,donde K ∈ Th es un elemento con algún lado sobre Γ.

Cada triángulo K ∈ Th tiene diámetro hK y vector normal unitario exterior a ∂K :nK .Además el tamaño de la malla o triangulación se denota y dene por h := max

K∈ThhK y

suponemos que la triangulación Th es de variación acotada, es decir, existe una constantel > 1, independiente de h, tal que para cada par de triángulos adyacentes K y K ′ secumple:

l−1 ≤ hKhK′≤ l.

Además las aristas o lados de la triangulación Th se expresan así:

EI : Conjunto de las aristas interiores de Th.

EΓ : Conjunto de las aristas de frontera de Th. Además ED y EN los conjuntos delas aristas de la frontera Dirichlet y Newmann respectivamente.

Eh : Conjunto de todas las aristas de Th, es decir, Eh := EI ∪ EΓ (Esqueleto).

Para obtener el esquema DG, primero obtenemos la formulación variacional sobre cadaelemento de la triangulación y posteriormente formulamos el esquema sobre todo Th.Para esto, testeamos las dos primeras ecuaciones de (1.2) con funciones sucientementesuaves τ y v respectivamente, integramos sobre cada tríangulo K ∈ Th y usamos lasidentidades de Green (ver anexo B) para obtener∫

K

σ · τ +

∫K

u divτ −∫∂K

u (τ · nK) = 0,∫K

σ · ∇v −∫∂K

v (σ · nK) =

∫K

f v.

El objetivo es aproximar la solución exacta (σ, u) con funciones discontinuas (σh, uh)en H(div, Th)×H1(Th) donde:

H1(Th) :=vh ∈ L2(Ω) : vh|K ∈ H1(K) ∀K ∈ Th

,

H(div, Th) :=τ h ∈ [L2(Ω)]2 : τ h|K ∈ H(div,K) ∀K ∈ Th

,

y a su vez (σh, uh) se aproximan por (σr2h , ur1h ) en Σh × Vh donde

Vh :=vh ∈ L2(Ω) : vh|K ∈ Pr1(K) ∀K ∈ Th

,

Σh :=τ h ∈ [L2(Ω)]2 : τ h|K ∈ [Pr2(K)]2 ∀K ∈ Th

,

3

con Pri(K) igual al espacio de polinomios de grado menor o igual a ri, denidos enel elemento K. Acá los grados ri son tales que satisfacen las condiciones para que elproblema esté bien puesto, es decir, para garantizar la existencia única de la solución.Veremos que r1 − 1 ≤ r2.

Para aligerar la notación llamaremos (σh, uh) a las aproximaciones (σr2h , ur1h ) en Σh×Vh.

La idea general de los métodos DG es forzar el cumplimiento de las leyes de conservación,reemplazando los valores de las funciones σ y u en la frontera de cada K ∈ Th poraproximaciones numéricas de ellas (que denotaremos σ y u), y para forzar la continuidadde las trazas impondremos que u y σ sean univaluados. En principio, las aproximacionespara σ y u van a pertenecer a los espacios

Wh :=v ∈ L2(Eh) : v|e ∈ Pr1(e) ∀e ∈ Eh

,

Φh :=τ ∈ [L2(Eh)]2 : τ |e ∈ [Pr2(e)]2 ∀e ∈ Eh

,

respectivamente.

Introduciendo los ujos numéricos, el problema inicial (1.2) se convierte en:

∫K

σh · τ h +

∫K

uh divτ h −∫∂K

u (τ h · nK) = 0,∫K

σh · ∇vh −∫∂K

vh (σ · nK) =

∫K

f vh.

(1.3)

El ujo numérico escalar u = (uK)K∈Th y el ujo numérico vectorial σ = (σK)K∈Th sonoperadores lineales denidos por

u : H1(Th) →∏

K∈ThL2(∂K)

v → u(v) := (uK(v))K∈Th ,

σ : H1(Th)×H(div, Th) →∏

K∈Th[L2(∂K)]2

(v,σ) → σ(v,σ) := (σK(v,σ))K∈Th .

Se dice que los ujos numéricos son consistentes si se cumple:

uK(v) = v|∂K y σK(v,∇v) = ∇v|∂K ,

además los ujos numéricos u y σ son conservativos si para cada par de funciones (v,σ)y para cada e ∈ EI :

uK(v) = uK′(v) y σK(v,σ) = σK′(v,σ) en e = ∂K ∩ ∂K ′.


Al sumar sobre toda la triangulación, la formulación DG del problema del Laplaciano(1.1) es:

Encontrar (σh, uh, σ, u) ∈ Σh × Vh × Φh ×Wh tales que∫Thσh · τ h +

∫Thuh divhτ h −

∫∂Th

u (τ h · nK) = 0,∫Thσh · ∇hvh −

∫∂Th

vh (σ · nK) =

∫Thf vh,

(1.4)

∀τ h ∈ Σh y ∀vh ∈ Vh; las expresiones∇h y divh representan el gradiente y la divergencia

restringidos a cada elemento y se usan las expresiones∑K∈Th

∫K

=

∫Th

y∑K∈Th

∫∂K

=

∫∂Th

para aligerar la notación.

Note que aún no se han impuesto las condiciones de frontera en la formulación o enlas espacios de aproximación, estas condiciones se imponen de manera fuerte o débildependiendo de cada método DG.

La elección de los ujos numéricos que se usarán para solucionar la formulación (1.4)da origen a los distintos métodos DG, por ejemplo el LDG y HDG que expondremosa continuación. En el método LDG las condiciones de frontera se imponen de manerafuerte mediante la denición de los ujos numéricos y en el método HDG se imponende manera débil.

1. Formulación método LDG

En particular, el método Galerkin Discontinuo Local (LDG) dene especicamente losujos numéricos en términos de los saltos y promedios de las aproximaciones σh, uh yde las condiciones de frontera gD y gN , que se denen a continuación.

Dadas dos funciones w := (wK)K∈Th ∈∏

K∈ThL2(∂K) y τ := (τK)K∈Th ∈

∏K∈Th

[L2(∂K)]2

se denota wK,e := wK |e y τK,e := τK |e para cada (K, e) ∈ Th × Eh. Para cada e ∈ EI ,perteneciente a dos elementos adyacentes K y K ′ de Th denimos y denotamos lospromedios y saltos de w y τ por

w :=1

2(wK,e + wK′,e) y JwK := (wK,enK + wK′,enK′) ,

τ :=1

2(τK,e + τK′,e) y Jτ K := τK,e · nK + τK′,e · nK′ .

1. FORMULACIÓN MÉTODO LDG 5

Y para todo e ∈ EΓ denimos y denotamos los promedios y saltos de w y τ por

JwK := wK,enK y τ := τK,e,

w := wK,e y Jτ K := τK,e · nK .

Los ujos numéricos se denen de la siguiente manera

uK,e(uh) = uK,e =

uh+ β · JuhK, si e ∈ EI

gD, si e ∈ EDuh, si e ∈ EN

σK,e(σh) = σK,e =

σh − βJσhK− αJphK, si e ∈ EI ,

σh − α(uh − gD)nK , si e ∈ EDgN nK , si e ∈ EN

(1.5)

donde α y β son funciones escalar y vectorial respectivamente, que están denidas sobreel esqueleto y son univaluadas en cada arista.

De la denición (1.5) se deduce fácilmente que

u = u, JuK = 0, σ = σ y JσK = 0 en EI

lo que implica que los ujos son consistentes y conservativos.

Para escribir la formulación LDG del problema (1.2) será muy útil la siguiente identidadque relaciona los conceptos de salto y promedio. Su prueba es básicamente algebráicay se encuentra detallada en la sección 3 de [25].

Proposición 1.1. Para cualquier par de funciones w ∈∏

K∈ThL2(∂K) y τ ∈

∏K∈Th

[L2(∂K)]2

se cumple ∑K∈Th

∫∂K

(τ · n)w =

∫Ehτ · JwK +

∫EI

Jτ Kw.

Usando nuevamente las identidades de Green en la primera ecuación de (1.4) y lasdeniciones de los ujos (1.5) y la Proposición 1.1 tenemos que ∀τ ∈ Σh∫

Thσh · τ h −

∫Th∇huh · τ h +

∑K∈Th

∫∂K

(uh − u) τ h · nK = 0∫Thσh · τ h −

∫Th∇huh · τ h +

∫EI

JuhK · (τ h − Jτ hKβ)

+

∫ENuh(τ h · n) =

∫EDgD (τ h · n).


Además, reemplazando las deniciones del ujo en la ecuación (1.5) y usando la Pro-posición 1.1, tenemos que ∀vh ∈ Vh∫

Thσh · ∇hvh −

∫EI

JvhK · (σh − JσhKβ)−∫EDvh (σh · n) +

∫EIαJuhK · JvhK

+

∫EDαuh vh =

∫EDαgD vh +

∫ENgN vh +

∫Thf vh

donde se han usado las expresiones∑e∈Eh

∫e

=

∫Eh,∑e∈ED

∫e

=

∫ED,∑e∈EN

∫e

=

∫EN

para

aligerar la notación.

El esquema LDG para (1.2) en términos de formas bilineales es: Encontrar (σh, uh) ∈Σh × Vh tales que

A(σh, τ h) +B(τ h, uh) = G(τ h) ∀τ h ∈ Σh,

−B(σh, vh) + C(uh, vh) = F (vh) ∀vh ∈ Vh,(1.6)

donde A : Σh×Σh → R, B : Σh×Vh → R, C : Vh×Vh → R, F : Σh → R y G : Vh → Restán denidos de la siguiente forma:

A(σh, τ h) :=

∫Thσh · τ h,

B(σh, vh) := −∫Th∇huh · τ h +

∫EI

JuhK · (τ h − Jτ hKβ) +

∫EDuh(τ h · n),

C(uh, vh) :=

∫EIαJuhK · JvhK +

∫EDαuh vh,

G(τ h) :=

∫EDgD (τ h · n),

F (vh) :=

∫EDαgD vh +

∫ENgN vh +

∫Thf vh,

para σh, τ h ∈ Σh y uh, vh ∈ Vh.

Los resultados sobre la existencia y unicidad de la solución del problema (1.6) se men-cionan en la sección 3 de [2] y por esta razón no se detallan aquí, aún así es importanteprobar una relación entre los espacios de aproximación que garantiza la existencia yunicidad de la solución del problema (1.6).

Teorema 1.2. Si r1−1 ≤ r2 el problema (1.6) tiene única solución (σh, uh) ∈ Σh×Vh.

Prueba. Será suciente probar que si (σh, uh) ∈ Σh × Vh es solución del problemahomogéneo, entonces debe ser la solución trivial. Sea (σh, uh) ∈ Σh × Vh solución delproblema homogéneo

A(σh, τ h) +B(τ h, uh) = 0 ∀τ h ∈ Σh ,

−B(σh, vh) + C(vh, uh) = 0 ∀vh ∈ Vh .


Tomando τ h = σh y vh = uh y sumando las ecuaciones resultantes, obtenemos

A(σh,σh) + C(uh, uh) = 0,

esto es ∫Thσh · σh +

∫EIαJuhK · JuhK +

∫EDαuh uh = 0,

‖σh‖L2(Th) + ‖JuhK‖L2(EI) + ‖uh‖L2(ED) = 0.

De donde

‖σh‖L2(Th) = 0 entonces σh = 0 en Th,

‖JuhK‖L2(EI) = 0 entonces JuhK = 0 en EI ,

y por último

‖uh‖L2(ED) = 0 entonces uh = 0 en ED.

Reemplazando estos resultados en la primera ecuación del problema homogéneo, obte-nemos ∫

Th∇huh · τ h = 0 ∀τ h ∈ Σh,

y dado que r1 − 1 ≤ r2 es claro que ∇huh ∈ Σh, entonces es posible tomar τ h = ∇huhy por lo tanto

‖∇huh‖L2(Th) = 0 entonces ∇huh = 0 en Th

por esto uh debe ser constante en Th y por lo tanto al tener JuhK = 0 en EI y uh = 0 enED, se garantiza que uh = 0 en Th.

La formulación LDG (1.6) representa un sistema donde incógnitas o grados de libertadpor elemento están asociadas a la dimensión de los espacios de aproximación escalary vectorial, esto representa un conjunto muy grande de incógnitas. El objetivo delmétodo HDG que se propone más adelante es reducir la cantidad de grados de libertaddel sistema.

1.1. Resultados Numéricos

En lo siguiente se exponen los resultados numéricos obtenidos con el método LDG paraaproximar la solución de dos problemas particulares.


Ejemplo 1

Considere el siguiente problema no homogéneo con Ω := [0, 1]× [0, 1] y ΓN = ∅.

Hallar u ∈ H2(Ω) tal que:

−∆u = −4, en Ω.

u(0, y) = u(1, y) = y(y − 1),

u(x, 0) = u(x, 1) = x(x− 1).

(1.7)

La solución analítica del problema anterior es u(x, y) = x(x−1) + y(y−1) y los erroresque se enuncian a continuación corresponden a la comparación de la aproximaciónobtenida con LDG con α = 1 y β = [1, 1]t, contra la solución real de la ecuación.

0

0.5

1

0

0.5

1

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0

0.5

1

0

0.5

1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Figura 1.1: Solución aproximada uh (Izq.) vs Solución exacta u (Der.)Método LDG (P1(K)− [P0(K)]2).Malla 704 elementos y h = 0,08226.

En la gura (1.1) se presenta la comparación de la solución obtenida con el métodoLDG con espacios de aproximación P1(K) − [P0(K)]2 en cada K ∈ Th y la soluciónexacta del ejemplo 1. Por otra parte en la gura 1.2 se presenta la comparación de lasolución obtenida con el método LDG con espacios de aproximación P1(K)− [P1(K)]2

en cada K ∈ Th y la solución exacta del ejemplo 1.


0

0.5

1

0

0.5

1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.5

1

0

0.5

1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0


0

0.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion uhx

0

0.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion uhy

00.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion Exacta ux

0

0.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion Exacta uy

Figura 1.3: Solución aproximada σh (Izq.) vs Solución exacta σ (Der.)Método LDG (P1(K)− [P0(K)]2).


0

0.5

1

00.5

1−2

0

2

Solucion uhx

0

0.5

1

00.5

1−2

0

2

Solucion uhx

00.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion Exacta ux

0

0.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion Exacta uy

Figura 1.4: Solución aproximada σh (Izq.) vs Solución exacta σ (Der.)Método LDG (P1(K)− [P1(K)]2).

Además en las guras (1.3) y 1.4 se presenta la comparación del gradiente de la soluciónσ = ∇u obtenida con el método LDG en los espacios de aproximación indicados y sobrela misma malla.

En la tabla 1.1 se presentan las normas del error en los espacios de la solución delejemplo 1 cuando se usa el método LDG con espacios de aproximación P1(K)−[P0(K)]2

en cada K ∈ Th. Análogamente la tabla 1.2 corresponde a las normas del error cuandose usa el método LDG con espacios de aproximación P1(K)− [P1(K)]2 en cada K ∈ Th.Es claro que para u y σ los errores son menores cuando la dimensión del espacio depolinomios que se usa en la aproximación es mayor, es decir, cuando se usa el métodoLDG con espacios de aproximación P1(K)− [P1(K)]2 en cada K ∈ Th. Este resultado esesperado y con las tablas de error presentadas abajo se conrma que a mayor númerode elementos (o equivalentemente a menor tamaño de la malla) el error disminuye. Estoda pie para comprobar experimentalmente la convergencia de cada uno de los errores.

Las guras 1.5 y 1.6 presentan grácamente los resultados de los errores que ya se hancomentado antes. La escala logarítmica es estratégicamente elegida para expresar elcomportamiento del error que disminuye conforme disminuye el tamaño de la malla;además se muestra una aproximación a la convergencia del error. Esto se detallarámejor en los ejemplos de la ecuación de Darcy, donde los resutlados serán teóricos yexperimentales.


nElementos h dof ‖u− uh‖L2(Ω) ‖u− uh‖H1(Ω)

10 0.57714 50 0.19683 0.39107

44 0.31886 220 0.042142 0.1794

176 0.15381 880 0.010896 0.089008

704 0.082264 3520 0.0028127 0.044669

2816 0.044868 14080 0.00071957 0.02242

Tabla 1.1: Errores de la solución aproximada uhMétodo LDG (P1(K)− [P0(K)]2)


10 0.57714 90 0.017892 0.10538

44 0.31886 396 0.00312 0.066385

176 0.15381 1584 0.00071358 0.033526

704 0.082264 6336 0.00017588 0.017001

2816 0.044868 25344 4.4307e-05 0.0086422


0.5 1 1.5 2 2.5 3−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

Log(1/h)

Log(

Err

or)

2.2

1.1

‖u − uh‖L2(Ω)

‖u − uh‖H1(Ω)

Figura 1.5: Convergencia Error.Método LDG (P1(K)− [P0(K)]2).


0.5 1 1.5 2 2.5 3−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

Log(1/h)

Log(

Err

or)

2.2

1.1

‖u − uh‖L2(Ω)

‖u − uh‖H1(Ω)

Figura 1.6: Convergencia Error.Método LDG (P1(K)− [P1(K)]2).

Ejemplo 2

Sea f ≡ 0 en el dominio (L-Shape) Ω := [−1, 1]2\ ([0, 1]× [−1, 0]), u ≡ 0 en la fronteraDirichlet ΓD := (0 × [−1, 0])∪([0, 1]× 0) y en la frontera Newmann ΓN := ∂Ω\ΓD:

g(r, ϕ) :=2

3r−1/3(− sin(ϕ/3), cos(ϕ/3)) · n

en cordenadas polares (r, ϕ); la solución exacta de 1.1 es:

u(r, ϕ) = r2/3 sin(2ϕ/3)

(Ejemplo propuesto en [39])

En las guras 1.7 y 1.8 se presenta la solución del problema propuesto que fue obtenidacon el método LDG con espacios de aproximación P1(K)− [P0(K)]2 y P1(K)− [P1(K)]2

en cada K ∈ Th, además de los parámetros α = 1 y β = [1, 1]t.

En este caso no se presenta la solución del gradiente ya que sus componentes sondiscontinuas en el origen y no es necesaria la comparación gráca.


−1

−0.5

0

0.5

1 −1

−0.5

0

0.5

1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1

−0.5

0

0.5

1 −1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

Figura 1.7: Solución aproximada uh (Izq.) vs Solución exacta u (Der.)Método LDG (P1(K)− [P0(K)]2).Malla 2096 elementos y h = 0,08567

−1

−0.5

0

0.5

1 −1

−0.5

0

0.5

1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1

−0.5

0

0.5

1 −1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

1.5



En las tabla 1.3 y 1.4 se presentan las normas del error en los espacios de la solución delejemplo cuando se usa el método LDG con espacios de aproximación P1(K)− [P0(K)]2

en cada K ∈ Th y P1(K)− [P1(K)]2 en cada K ∈ Th respectivamente.


12 1 60 0.10347 0.30942

34 0.64349 170 0.053774 0.22145

128 0.35278 640 0.022615 0.14862

524 0.17135 2620 0.0072283 0.081721

2096 0.085677 10480 0.0028576 0.051309



12 1 108 0.037606 0.19269

34 0.64349 306 0.018845 0.14554

128 0.35278 1152 0.0077423 0.091605

524 0.17135 4716 0.0026792 0.049834

2096 0.085677 18864 0.0011956 0.03167


Por último en las guras 1.9 y 1.10 se muestra el comportamiento decreciente del errorobtenido en la solución con el método LDG en los respectivos espacios de aproximación.


0 0.5 1 1.5 2 2.5−6

−5.5

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

Log(1/h)

Log(

Err

or)

1.6

0.83

‖u − uh‖L2(Ω)

‖u − uh‖H1(Ω)

Figura 1.9: Convergencia del error.Método LDG (P1(K)− [P0(K)]2).

0 0.5 1 1.5 2 2.5−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

Log(1/h)

Log(

Err

or)

1.5

0.85

‖u − uh‖L2(Ω)

‖u − uh‖H1(Ω)

Figura 1.10: Convergencia del error.Método LDG (P1(K)− [P1(K)]2).


2. Formulación método HDG

Con el n de introducir un método DG con menor número de incógnitas se proponeel método discontinuo HDG, donde el objetivo principal es expresar las incógnitas delproblema solo en términos de los ujos en las aristas de la triangulación y esto reducesustancialmente los grados de libertad del problema. A continuación se exponen lasprincipales características del esquema HDG para solucionar el problema (1.2) (ver[24], [34] y [21]).

Retomando la formulación integral (1.3) y usando identidad de Green en la segundaecuación, obtenemos

∫K

σh · τ h +

∫K

uh divτ h −∫∂K

u (τ h · nK) = 0,

−∫K

divσh vh +

∫∂K

vh (σh − σ) · nK =

∫K

f vh.

(1.8)

En HDG a diferencia de LDG no se expresarán los ujos en términos de saltos y pro-medios, el objetivo principal es garantizar la continuidad de la traza normal del ujovectorial, imponiendo una condición sobre el esqueleto que relacione las incógnitas de-nidas sobre Eh, es decir, los métodos híbridos consisten en expesar uno de los ujos entérminos de las demás incógnitas del problema; en el caso de (1.2) la relación entre losujos numéricos es:

σ · n = σh · n + ξ(uh − u), (1.9)

donde ξ > 0 es una función de penalización no negativa que se supone constante encada arista de la triangulación (ver [32]).

Reemplazando (1.9) en (1.8), sumando sobre toda la triangulación e imponiendo lascondiciones de frontera de manera débil, el problema HDG para (1.2) se reduce a:Encontrar (σh, uh, u) ∈ Σh × Vh ×Wh tal que:∫

Thσh · τ h +

∫Thuh divhτ h −

∫∂Th

u (τ h · nK) = 0

−∫Thvh divhσh −

∫∂Th

ξ vh (uh − u) =

∫Thf vh∫

∂Th(σh · n + ξ(uh − u)) µ =

∫∂Th

gNµ∫∂Th

u µ =

∫∂Th

gDµ

(1.10)

∀τ h ∈ Σh, ∀vh ∈ Vh y ∀µ ∈ Wh. Acá gN y gD representan las extensiones por cero,sobre todo el esqueleto, de las funciones gN y gD.

2. FORMULACIÓN MÉTODO HDG 17

El problema global (1.10) tiene solución única (σh, uh, u) ∈ Σh×Vh×Wh (ver sección 2en [24]). Una prueba similar se expone con detalle en la formulación del método HDGpara solucionar la ecuación de Darcy.

2.1. Hibridización

En la formulación HDG las incógnitas del problema σh y uh están denidas en elvolumen y u sobre el esqueleto. La Hibridización del método consiste en expresar elproblema (1.10) solo en términos del ujo numérico u, es decir, reducir el problemasobre todo el dominio a un problema en el esqueleto.

Es claro que si se conoce el ujo de la incógnita escalar u y la fuente f en cada triángulo,será posible encontrar la solución (σh, uh) ∈ Σh × Vh en cada K ∈ Th tal que∫

K

σh · τ h +

∫K

uh divτ h =

∫∂K

u (τ h · nK)

−∫K

divσh vh +

∫∂K

ξvh uh =

∫K

f vh +

∫∂K

ξvh u

(1.11)

∀(τ h, vh) ∈ Σh × Vh.

El problema (1.11) tiene solución única (σh, uh) ∈ Σh×Vh, como se expone con detalleen la formulación del método HDG para solucionar la ecuación de Darcy y además seencuentra en [24].

Entonces es posible escribir el problema (1.11) en términos de operadores

L(u, f) = (σh, uh).

Dicha expresión se llama local solver e indica la relación entre una función sobre elesqueleto y las soluciones del problema mixto sobre el volumen.

Si para cada λ ∈ Wh denotamos las soluciones de los local solvers así:

L(λ, 0) = (σλh, uλh),

L(0, f) = (σfh, ufh),

entonces la solución única (σh, uh, u) ∈ Σh × Vh ×Wh del problema (1.10) se reescribeasí:

uh = uλh + ufh,

σh = σλh + σfh,

u = λ,

(1.12)

donde λ ∈ Wh es la solución del problema

A(λ, µ) = b(µ) ∀µ ∈ Wh.


con la forma bilineal A : Wh ×Wh → R denida por

A(λ, µ) :=

∫∂Th

(σλh · n

)µ+

∫∂Th

ξ(uλh − λ)µ,

y el funcional b : Wh → R denido por

b(µ) := −∫∂Th

(σfh · n + ξufh

)µ+

∫∂Th

gNµ,

que se obtienen reemplazando (1.12) en la tercera ecuación del problema global (1.10),para µ ∈ Wh . En efecto∫

∂Th

((σλh + σfh

)· n + ξ(uλh + ufh − λ)

)µ =

∫∂Th

gNµ,∫∂Th

(σλh · n

)µ+

∫∂Th

ξ(uλh − λ)µ = −∫∂Th

(σfh · n + ξufh

)µ+

∫∂Th

gNµ.

Así que el problema se ha reducido a un problema sobre el esqueleto, comparando conLDG, en LDG uh y σh son funciones denidas sobre cada K ∈ Th, en cambio en HDGλ está denido sobre Eh y las variables de volumen se recuperan facilmente usando loslocal solvers.

2.2. Resultados Numéricos

En lo siguiente se exponen los resultados numéricos obtenidos con el método HDG paraaproximar la solución de dos problemas particulares. Los resultados que se presentancorresponden a aproximaciones de la solución con polinomios de grado 0 y 1.

La comparación con los resultados numéricos expuestos en la sección anterior se daen términos de grados de libertad de los sistemas que se han resuelto. En el métodoLDG se resolvieron sistemas completos con [5∗nElementos] ó [9∗nElementos] gradosde libertad, dependiendo del grado de aproximación de los polinomios, en cambio enel método HDG se resuelve un sistema global con [2 ∗ nLados] incógnitas y luego seresuelve cada sistema local que corresponde a 5 ó 9 grados de libertad.

Ejemplo 1

Considere el problema no homogéneo descrito en la sección anterior (Ejemplo (1.7)).

En las guras 1.11 y 1.12 se presenta la comparación de la solución obtenida con elmétodo HDG con espacios de aproximación P1(K)− [P1(K)]2 en cada K ∈ Th y ξ = 1,contra la solución exacta de la ecuación (1.7) sobre una triangulación de 704 elementosy diametro h = 0,08226.


0

0.5

1

0

0.5

1

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.5

1

0

0.5

1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Figura 1.11: Solución aproximada uh (Izq.) vs Solución exacta u (Der.)Método HDG (P1(K)− [P0(K)]2).Malla 704 elementos y h = 0,08226

.

0

0.5

1

0

0.5

1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.5

1

0

0.5

1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Figura 1.12: Solución aproximada uh (Izq.) vs Solución exacta u (Der.)Método HDG (P1(K)− [P1(K)]2).Malla 704 elementos y h = 0,08226

.


0

0.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion uhx

0

0.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion uhy

00.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion Exacta ux

0

0.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion Exacta uy

Figura 1.13: Solución aproximada σh (Izq.) vs Solución exacta σ (Der.)Método HDG (P1(K)− [P0(K)]2)

.

0

0.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion uhx

0

0.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion uhy

00.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion Exacta ux

0

0.5

1

00.5

1−1

0

1

Solucion Exacta uy

Figura 1.14: Solución aproximada σh (Izq.) vs Solución exacta σ (Der.)Método HDG (P1(K)− [P1(K)]2)

.


Por otra parte, las guras 1.13 y 1.14 muestran una comparación de la solución delgradiente de la solución σ = ∇u obtenida con el método HDG en los espacios deaproximación indicados y sobre la misma malla.


10 0.57714 38 0.26135 0.3968

44 0.31886 148 0.12943 0.18855

176 0.15381 560 0.066318 0.095171

704 0.082264 2176 0.033516 0.047808

2816 0.044868 8576 0.016844 0.023961

11264 0.022434 34048 0.0084399 0.011993

Tabla 1.5: Errores de la solución aproximada uhMétodo HDG (P1(K)− [P0(K)]2)


10 0.57714 38 0.013086 0.025517

44 0.31886 148 0.0019263 0.0052372

176 0.15381 560 0.00034599 0.0012448

704 0.082264 2176 7.2078e-05 0.00030703

2816 0.044868 8576 1.6349e-05 7.6437e-05

11264 0.022434 34048 4.0872e-06 1.9129e-05


En las tabla 1.5 y 1.6 se presentan las normas del error en los espacios de la solución delproblema (1.7) cuando se usa el método HDG con espacios de aproximación P1(K) −[P0(K)]2 en cada K ∈ Th y P1(K)− [P1(K)]2 en cada K ∈ Th respectivamente.


1.5 2 2.5 3 3.5−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

Log(1/h)

Log(

Err

or)

0.998

0.997

‖u − uh‖L2(Ω)

‖u − uh‖H1(Ω)

Figura 1.15: Convergencia del error.Método HDG (P1(K)− [P0(K)]2)

.

1.5 2 2.5 3 3.5−13

−12

−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

Log(1/h)

Log(

Err

or)

2

1.999

‖u − uh‖L2(Ω)

‖u − uh‖H1(Ω)

Figura 1.16: Convergencia del error.Método HDG (P1(K)− [P1(K)]2)

.


Ejemplo 2

Para el segundo ejemplo del problema del laplaciano se presentan los resultados de lasolución aproximada con el método HDG. El problema se presentó en la sección 1.1 ycorresponde al Ejemplo 2 sobre el dominio L-shape.

En las guras 1.17 y 1.18 se presenta la solución del problema propuesto que fue obtenidacon el método HDG con espacios de aproximación P1(K)− [P0(K)]2 y P1(K)− [P1(K)]2

en cada K ∈ Th, ambos con parámetro ξ = 1.

En este caso no se presenta la solución del gradiente ya que sus componentes sondiscontinuas en el origen y además no es necesaria la comparación gráca.

En las tabla 1.7 y 1.8 se presentan las normas del error en los espacios de la solución delejemplo cuando se usa el método HDG con espacios de aproximación P1(K)− [P0(K)]2

en cada K ∈ Th y P1(K)− [P1(K)]2 en cada K ∈ Th respectivamente.

−1

−0.5

0

0.5

1 −1

−0.5

0

0.5

1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1

−0.5

0

0.5

1 −1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

Figura 1.17: Solución aproximada uh (Izq.) vs Solución exacta u (Der.)Método HDG (P1(K)− [P0(K)]2).Malla 2096 elementos y h = 0,08567.


−1

−0.5

0

0.5

1 −1

−0.5

0

0.5

1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1

−0.5

0

0.5

1 −1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

Figura 1.18: Solución aproximada uh (Izq.) vs Solución exacta u (Der.)Método HDG (P1(K)− [P1(K)]2).Malla 2096 elementos y h = 0,08567.

nElementos h grad. ‖u− uh‖L2(Ω) ‖u− uh‖H1(Ω)

12 1 44 0.10451 0.31006

34 0.64349 118 0.064129 0.23888

128 0.35278 416 0.027249 0.16334

524 0.17135 1636 0.0091091 0.091467

2096 0.085677 6416 0.0036033 0.057697

8140 0.046573 24676 0.0017611 0.040281


Finalmente en las guras 1.19 y 1.20 y se muestra el comportamiento decreciente delerror obtenido en la solución con el método HDG en los respectivos espacios de aproxi-mación, es importante resaltar que en este ejemplo se diculta evidenciar la convergenciadel error (en ambos métodos) porque este ejemplo particular presenta una discontinui-


nElementos h grad. ‖u− uh‖L2(Ω) ‖u− uh‖H1(Ω)

12 1 44 0.028363 0.16587

34 0.64349 118 0.015478 0.134

128 0.35278 416 0.0065431 0.08743

524 0.17135 1636 0.0018725 0.043837

2096 0.085677 6416 0.00070522 0.027532

8140 0.046573 24676 0.00035145 0.019919


dad en el origen y además porque dado el cambio de coordenadas, los cálculos estánsujetos a mayores errores de redondeo que no son casos de estudio propios de estetrabajo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

Log(1/h)

Log(

Err

or)

1.5

0.81

‖u − uh‖L2(Ω)

‖u − uh‖H1(Ω)

Figura 1.19: Convergencia del error.Método HDG (P1(K)− [P0(K)]2).


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

Log(1/h)

Log(

Err

or)

1.7

0.96

‖u − uh‖L2(Ω)

‖u − uh‖H1(Ω)

Figura 1.20: Convergencia del error.Método HDG (P1(K)− [P1(K)]2).

Capıtulo 2El método LDG para la ecuación de Darcy

Como se mencionó antes, en este trabajo se exponen los resultados teóricos y compu-tacionales obtenidos al aplicar los métodos DG para solucionar numéricamente la ecua-ción de Darcy (ver [25]).

Consideremos Ω ⊆ R2 un dominio acotado y simplemente conexo con frontera poligonalΓ. Dado un término fuente f ∈ L2(Ω) y el ujo en la frontera g ∈ H1/2(Γ), el problemapropuesto será (ver [28], [25]):

Encontrar la velocidad u y la presión p de un uido, (u, p) ∈ (H(div,Ω), H1m(Ω)), tales

que:

u = −κ∇p en Ω

div u = f en Ω

u · n = g en Γ,

(2.1)

donde κ ∈ L∞(Ω) es el coeciente de permeabilidad del medio (κ > 0).

El espacio H1m(Ω) denido como sigue:

H1m(Ω) :=

f ∈ H1(Ω) :

∫Ω

f = 0

garantiza que el problema (2.1) tenga solución única.

Considere la primera ecuación del problema (2.1) sobre cada tríangulo K ∈ Th; multi-plicando por una función test sucientemente suave v y usando identidades de Green

27

28 CAPÍTULO 2. EL MÉTODO LDG PARA LA ECUACIÓN DE DARCY

se obtiene: ∫K

κ−1u · v +

∫K

∇p · v = 0,∫K

κ−1u · v−∫K

p divv +

∫∂K

(v · n)p = 0. (2.2)

Análogamente, para la segunda ecuación de (2.1) sobre cada triángulo K ∈ Th; multi-plicando por una función test sucientemente suave q y usando identidades de Greense obtiene: ∫

K

divu q =

∫K

f q,

−∫K

u · ∇q +

∫∂K

(u · n) q =

∫K

f q. (2.3)

Entonces, el objetivo es aproximar la solución exacta (u, p) con funciones discretas(uh, ph) en Vh ×Qh, donde:

Qh :=qh ∈ L2

0(Ω) : qh|K ∈ Pr1(K) ∀K ∈ Th,

Vh :=vh ∈ [L2(Ω)]2 : vh|K ∈ [Pr2(K)]2 ∀K ∈ Th

,

(2.4)

siendo

L20(Ω) :=

f ∈ L2(Ω) :

∫Ω

f = 0

.

Reemplazando los valores de u y p en ∂K en las ecuaciones (2.2) y (2.3) por los ujosnuméricos obtenemos∫

K

κ−1uh · vh −∫K

ph divvh +

∫∂K

(vh · n)p = 0,

−∫K

uh · ∇qh +

∫∂K

(u · n) qh =

∫K

f qh,

(2.5)

donde los ujos numéricos u y p dependen solo de uh, ph y de la condición de fronteray serán elegidos estrategicamente. El ujo numérico escalar p = (pK)K∈Th y el ujonumerico vectorial u = (uK)K∈Th son operadores lineales y estarán denidos como enel capítulo de introducción al método LDG.

Sumando sobre toda la triangulación en el problema (2.5) obtenemos la formulaciónLDG para la ecuación de Darcy (2.1). Encontrar (uh, ph) ∈ Vh ×Qh tales que:∫

Thκ−1uh · vh −

∫Thph divhvh +

∫∂Th

(vh · n)p = 0

−∫Thuh · ∇hqh +

∫∂Th

(u · n) qh =

∫Thf qh

(2.6)

1. FORMULACIÓN LDG 29

∀vh ∈ Vh y ∀qh ∈ Qh. Este problema tiene como incógnitas tambien a p y u, pero estosujos se escribirán en términos de saltos y promedios de uh y ph, y de la condición defrontera de la ecuación (2.1), como se mencionó en el capítulo anterior.

1. Formulación LDG

Los ujos para el caso particular de la formulación débil del problema de Darcy sedenen de la siguiente manera

pK,e(ph) = pK,e =

ph+ β · JphK, si e ∈ EIph, si e ∈ EΓ

uK,e(uh) = uK,e =

uh − βJuhK + αJphK, si e ∈ EIg nK , si e ∈ EΓ

(2.7)

donde las funciones α y β se eligen apropiadamente y son univaluadas en cada arista.Es importante resaltar que con el n de garantizar la existencia y unicidad de la so-lución del problema discreto que se propone a continuación, los ujos se modicaronadecuadamente (con respecto a los denidos para el problema del Laplaciano).

De la denición (2.7) se deduce fácilmente que

p = p, JpK = 0, u = u y JuK = 0 en EI .

Usando la Proposición 1.1 en la primera ecuación de (2.6) se obtiene:∫Thκ−1uh · vh −

∫Thph divhvh +

∫Ehvh · JpK +

∫EI

JvhKp = 0∫Thκ−1uh · vh −

∫Thph divhvh +

∫EΓvh · pnK,e +

∫EI

JvhKp = 0

∀vh ∈ Vh. Usando la Proposición 1.1 en la segunda ecuación (2.6) y nuevamente lasidentidades de Green, obtenemos


∫Ehu · JqhK +

∫EI

JuKqh =

∫Thf qh∫

Thqh divhuh −

∫EΓuh · JqhK +

∫EIuh · JqhK

+

∫EI

JuhKqh+

∫EIu · JqhK =

∫Thf qh −

∫EΓg qh∫

Thqh divhuh −

∫EI

((uh − u) · JqhK + JuhKqh)−∫EΓ

(uh · n)qh =

∫Thf qh −

∫EΓg qh


∀qh ∈ Qh. Al reemplazar la denición de los ujos numéricos (2.7) en las ecuacionesanteriores la formulación LDG para el problema de Darcy (2.1) es:

Encontrar (uh, ph) ∈ Vh ×Qh tales que∫Thκ−1uh · vh −

∫Thph divhvh +

∫EΓ

(vh · n)ph+

∫EI

JvhKβ · JphK

+

∫EI

JvhKph = 0,∫Thqh divhuh −

∫EΓ

(uh · n)qh −∫EI

JuhKβ · JqhK−∫EI

JuhKqh

+

∫EIαJphK · JqhK =

∫Thf qh −

∫EΓg qh,

(2.8)

∀vh ∈ Vh y ∀qh ∈ Qh, que en términos de formas bilineales y funcionales es: Encontrar(uh, ph) ∈ Vh ×Qh tales que

A(uh,vh) +B(vh, ph) = 0, ∀vh ∈ Vh.−B(uh, qh) + C(qh, ph) = F (qh), ∀qh ∈ Qh.

donde A : Vh × Vh → R, B : Vh ×Qh → R y C : Qh ×Qh → R son formas bilineales yF : Qh → R es un funcional cuyas deniciones son

A(uh,vh) :=

∫Thκ−1uh · vh,

B(vh, ph) := −∫Thph divhvh +

∫EΓ

(vh · n)ph

+

∫EI

JvhKph+

∫EI

JvhKβ · JphK,

C(qh, ph) :=

∫EIαJphK · JqhK,

F (qh) :=

∫Thf qh −

∫EΓg qh,

para todo uh,vh ∈ Vh y ph, qh ∈ Qh.

Paa garantizar la existencia y unicidad de la solución de la formulación LDG de Darcyexiste una relación necesaria entre las dimensiones de los espacios de aproximación quese han usado, esta prueba es similar a la que se presentó en el Lema 1.2 y se debecumplir r1 − 1 ≤ r2. A continuación haremos otra demostración de existencia únicade la solución de la formulación LDG que nos permitirá hacer el respectivo análisis deerror.

2. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN 31

2. Existencia y unicidad de la solución

Con el n de demostrar existencia y unicidad de la solución del problema (2.8), seránecesario escribir una formulación primal equivalente donde se elimine la incógnita uh,es decir, se escriba la incógnita uh en términos de ph.

Primero, se considerará una forma auxiliar del problema (2.8); aplicando identidades deGreen, la Proposición 1.1 y la denición de los ujos (2.7), el problema (2.8) se reescribecomo: Encontrar (uh, ph) ∈ Vh ×Qh tales que:∫

Thκ−1uh · vh +

∫Th∇hph · vh −

∫EI

JphK · (vh − βJvhK) = 0

−∫Th∇hqh · uh +

∫EI

JqhK · (uh − βJuhK) +


∫Thf qh −

∫EΓg qh

(2.9)∀vh ∈ Vh y ∀qh ∈ Qh.

2.1. Preliminares

Primero, se denen las funciones α y β que se usaron en los ujos numéricos (2.7):

α :=α

h

donde α ∈ L∞(Eh) y α > 0

h(x) :=

mınhK , hK′ si x ∈ int(∂K ∩ ∂K ′)

hK si x ∈ int(∂K ∩ Γ)

y β ∈ [L∞(EI)]2 tal que existe β ≥ 0 con

‖β‖[L∞(EI)]2 ≤ β.

Además la permeabilidad se asumirá continua y denotaremos

κ := maxκ y κ := mınκ.

Para hacer el análisis de error y convergencia de la solución numérica propuesta, enel espacio H1

m(Th) := H1(Th) ∩ L20(Ω) se introduce la norma de la energía 9 · 9h :=

H1m(Th)→ R denida por

9 q92h := ‖∇hq‖2

[L2(Th)]2 + ‖α1/2JqK‖2L2(EI) ∀q ∈ H1

m(Th), (2.10)


y la semi-norma de la energía | · |h := H1m(Th)→ R está denida:

|q|2h := ‖α1/2JqK‖2L2(EI) ∀q ∈ H1

m(Th).

Es importante resaltar que dada la condición sobre el espacio H1m(Th),

∫Ωq = 0, la

norma y la seminorma están bien denidas.

Para probar la existencia y unicidad de la solución del esquema LDG (2.9) y paraprobar la convergencia del error, son necesarias algunas herramientas que relacionanlas normas de los ujos y promedios en volumenes y fronteras; para esto mencionamoslos siguientes lemas.

Lema 2.1. Existen constantes C1, C2 > 0 independientes del tamaño de la malla talque para todo τ := (τK)K∈Th ∈

∏K∈Th

[L2(∂K)]2 se cumple:

i) ‖h1/2τ‖2L2(EI) ≤ C1

∑K∈Th

hK‖τK‖2[L2(∂K)]2

ii) ‖h1/2Jτ K‖2L2(EI) ≤ C2

∑K∈Th

hK‖τK‖2[L2(∂K)]2 .

Prueba. Sea τ := (τK)K∈Th ∈∏

K∈Th[L2(∂K)]2, teniendo en cuenta las deniciones de los

saltos y los promedios:

‖h1/2τ‖2L2(EI) =

1

4

∑e∈EI

∫e

h|τK,e + τK′,e|2

≤ 1

2

∑e∈EI

∫e

h

(|τK,e|2 + |τK′,e|2

)≤ 3

2

∑K∈Th

∫∂K

hK |τK |2

= C1

∑K∈Th

hK‖τK‖2[L2(∂K)]2 .

donde C1 depende solo de la dimensión del dominio, y por otra parte

‖h1/2Jτ K‖2L2(EI) =

∑e∈EI

∫e

h|τK,e · nK + τK′,e · nK′|2

≤ 2∑e∈EI

∫e

h

(|τK,e|2 + |τK′,e|2

)≤ 4C1

∑K∈Th

hK‖τK‖2[L2(∂K)]2 .


Lema 2.2. Sea w ∈ [L2(K)]d tal que w|K ∈ [Pr(K)]d. Existe una constante Cinv > 0que solo depende de la dimensión del espacio [Pr(K)]d y la regularidad de la malla, talque para cada d ∈ 1, 2 se cumple:

‖w‖2[L2(∂K)]d ≤ Cinv h

−1K ‖w‖

2[L2(K)]d .

Esta desigualdad es llamada desigualdad inversa; los detalles de su prueba se encuentranen [40].

2.2. Formulación Primal

Para obtener una formulación primal que corresponda al esquema LDG (2.8) deniremosuna forma lineal S y un operador ∇∗ que permitirán escribir uh en términos de ph.

Lema 2.3. Para K ∈ Th, sea S : H1m(Th)× Vh → R la forma bilineal denida por:

S(q,vh) :=

∫EI

(vh − βJvhK) · JqK.

Entonces existe Cs > 0 independiente del tamaño de la malla, tal que:

|S(q,vh)| ≤ Cs|q|h‖vh‖[L2(Th)]2

∀(q,vh) ∈ H1m(Th)× Vh.

Prueba. Usando la desigualdad triangular, propiedades de las integrales y la desigualdadde Cauchy-Schwarz resulta

|S(q,vh)| ≤(∫EI|α−1/2vh| |α1/2JqK|

)+√

2‖β‖[L∞(EI)]2

(∫EI|α−1/2JvhK| |α1/2JqK|

)≤ ‖α−1/2vh‖[L2(EI)]2‖α1/2JqK‖[L2(EI)]2 +

√2β‖α−1/2JvhK‖[L2(EI)]2‖α1/2JqK‖[L2(EI)]2

≤ C|q|h(‖α−1/2vh‖2

[L2(EI)]2 + ‖α−1/2JvhK‖2[L2(EI)]2

)1/2

donde C :=

√2 max1, 2β2 y además, usando los Lemas 2.1 y 2.2, se deduce que

‖α−1/2vh‖2L2(EI) = α−1‖h1/2vh‖2

L2(EI) ≤ α−1C1Cinv‖vh‖2[L2(Th)]2 ,

y de manera similar que

‖α−1/2JvhK‖2L2(EI) = α−1‖h1/2JvhK‖2

L2(EI) ≤ α−1C2Cinv‖vh‖2[L2(Th)]2 .


Reemplazando|S(q,vh)| ≤ Cs‖vh‖[L2(Th)]2|q|h,

donde Cs depende de las constantes C1,C2,Cinv, α y β.

Sea S : H1m(Th) → Vh el operador lineal y acotado inducido por la forma bilineal y

acotada S, es decir, dado q ∈ H1m(Th), S(q) es el único elemento en Vh tal que∫

ThS(q) · vh = S(q,vh) ∀vh ∈ Vh.

Es claro que la existencia del operador S está garantizado por el Teorema de represen-tación de Riesz y además por el Lema 2.3

‖S(q)‖[L2(Th)]2 ≤ Cs|q|h. (2.11)

Considere ahora (u, p) la solución del problema de Darcy (2.1), dado que p ∈ H1m(Ω) ⊂

H1m(Th), es claro que∫

ThS(p) · vh = S(p,vh) = 0 ∀vh ∈ Vh,

y por lo tanto S(p) = 0.

La primera ecuación del problema discreto LDG (2.9) se puede escribir usando la formabilineal S, esto es∫

Thκ−1uh · vh +

∫Th∇hph · vh − S(ph,vh) = 0 ∀vh ∈ Vh.

entonces, si denimos el operador:

∇∗ = ∇h − S,

y dado que −κuh +∇hph − S(ph) ∈ Vh, se cumple que:

uh = −κ (∇hph − S(ph)) = −κ∇∗ph.

Al reemplazar en la segunda ecuación del problema discreto LDG (2.9), para todoqh ∈ H1

m(Th), se tiene que


∫ThS(qh) · uh +


∫Thf qh −

∫EΓg qh∫

Thκ∇∗ph · ∇hqh −

∫ThS(qh) · κ∇∗ph +


∫Thf qh −

∫EΓg qh∫

Thκ∇∗ph · ∇∗qh +


∫Thf qh −

∫EΓg qh.


Concluimos que la formulación primal del problema (2.8) es: Encontrar ph ∈ Qh talque:

A(ph, qh) = L(qh) ∀qh ∈ Qh, (2.12)

donde A : H1m(Th)×H1

m(Th)→ R y L : H1m(Th)→ R están dados por

A(ph, qh) :=

∫Thκ∇∗ph · ∇∗qh +

∫EIαJphK · JqhK,

L(qh) :=

∫Thf qh −

∫EΓg qh.

(2.13)

2.3. Existencia y unicidad de la solución

El objetivo principal de esta subsección es demostrar que la forma bilineal A y el fun-cional L satisfacen las hipótesis del Teorema de Lax-Milgram para probar existencia yunicidad de la solución del problema primal (2.12).

Lema 2.4. La forma bilineal A, denida en (2.13), es acotada en la norma de laenergía, es decir, existe una constante CA1 > 0 independiente del tamaño de la malla,tal que:

|A(q, w)| ≤ CA1 9 q 9h 9w 9h ∀q, w ∈ H1m(Th).

Prueba. Sean q, w ∈ H1m(Th), entonces

|A(q, w)| ≤ κ

∫Th|∇∗q‖∇∗w|+

∫EI|α1/2JqK‖α1/2JwK| (2.14)

Usando la desigualdad triangular, la desigualdad de Cauchy- Schwarz y el Lema 2.3 setiene que∫Th|∇∗q‖∇∗w| ≤ ‖∇hq‖[L2(Th)]2‖∇hw‖[L2(Th)]2 + ‖∇hq‖[L2(Th)]2‖S(w)‖[L2(Th)]2

+ ‖∇hw‖[L2(Th)]2‖S(q)‖[L2(Th)]2 + ‖S(q)‖[L2(Th)]2‖S(w)‖[L2(Th)]2

≤ 2(‖∇hq‖2

[L2(Th)]2 + C2s |q|2h

)1/2 (‖∇hw‖2

[L2(Th)]2 + C2s |w|2h

)1/2

≤ 2 max1, Cs(‖∇hq‖2

[L2(Th)]2 + |q|2h)1/2 (

‖∇hw‖2[L2(Th)]2 + |w|2h

)1/2

.

Y por otra parte, usando la desigualdad de Cauchy - Schwarz vemos que∫EI|α1/2JqK‖α1/2JwK| ≤ ‖α1/2JqK‖[L2(EI)]2‖α1/2JwK‖[L2(EI)]2 = |q|h|w|h ≤ 9q 9h 9w9h,


y reemplazando en (2.14) se obtiene:

|A(q, w)| ≤ CA1 9 q 9h 9w9h,

donde CA1 = κ(1 + 2 max1, Cs)

Lema 2.5. La forma bilineal A, denida en (2.13), es coerciva ó H1m(Th) - elíptica en

la norma de la enería, es decir, existe una constante CA2 > 0 independiente del tamañode la malla, tal que:

A(q, q) ≥ CA2 9 q 92h ∀q ∈ H1

m(Th).

Prueba. Sea q ∈ H1(Th) entonces

A(q, q) =

∫Thκ∇∗q · ∇∗q +

∫EIαJqK · JqK

≥ κ

[‖∇hq‖2

[L2(Ω)]2 + ‖S(q)‖2[L2(Ω)]2 − 2

∫Th∇hq · S(q)

]+ ‖α1/2JqK‖2

[L2(EI)]2 .

Usando la desigualdad generalizada de Cauchy-Schwarz con ε > 0 y usando la cota parael operador S descrita en (2.11) se deduce que

A(q, q) ≥ κ

[(1− ε) ‖∇hq‖2

[L2(Ω)]2 +

(1− 1

ε

)‖S(q)‖2

[L2(Ω)]2

]+ ‖α1/2JqK‖2

[L2(EI)]2

≥ κ

[(1− ε)‖∇hq‖2

[L2(Ω)]2 +

(1− 1

ε

)C2s |q|2h

]+ |q|2h

= κ

[(1− ε) ‖∇hq‖2

[L2(Ω)]2 +

((1− 1

ε

)C2s +

1

κ

)|q|2h].

Entonces eligimos ε tal que (1− ε) > 0 y(1− 1

ε

)C2s + 1

κ> 0, esto es, ε ∈

(κC2

s

κC2s+1

, 1)y

será suciente escribir

A(q, q) ≥ CA2 9 q92h,

donde CA2 := mınκ(1− ε), κ

(1− 1

ε

)C2s + 1

.

Para probar que el funcional L es acotado, debemos probar antes una útil relación entrelas normas ‖ · ‖L2(Ω) y 9 · 9h.

Lema 2.6. Existe una constante CL > 0 independiente del tamaño de la malla tal que:

‖q‖L2(Ω) ≤ CL 9 q 9h ∀q ∈ H1m(Th).


Prueba. Dado q ∈ H1m(Th), consideremos el problema auxiliar clásico con solución única

ϕ ∈ H1m(Ω) tal que:

−∆ϕ = q en Ω,∂ϕ

∂n= 0 en Γ.

Dado que Ω es un dominio convexo y q ∈ L2(Ω), entonces ϕ ∈ H2(Ω) y además existeCw > 0 tal que ‖ϕ‖H2(Ω) ≤ Cw‖q‖L2(Ω). (Ver anexo A).

Usando la fÓrmula de integración de Gauss (ver anexo B) sobre cada K ∈ Th se obtiene:

‖q‖2L2(Ω) =

∑K∈Th

(−∫K

q∆ϕ

)=∑K∈Th

(∫K

∇q · ∇ϕ−∫∂K

q∂ϕ

∂nK

)=∑K∈Th

(∫K

∇q · ∇ϕ)−∑e∈EI

(∫e

JqK · ne∂ϕ

∂ne

)

Aplicando la desigualdad triangular y Cauchy-Schwarz se obtiene:

‖q‖2L2(Ω) ≤ ‖∇hq‖[L2(Ω)]2‖∇hϕ‖[L2(Ω)]2 +

∑e∈EI

‖JqK‖[L2(e)]2

∥∥∥∥ ∂ϕ∂ne∥∥∥∥

[L2(e)]2

≤

(‖∇hq‖2

[L2(Ω)]2 +∑e∈EI

h−1e ‖JqK‖2

[L2(e)]2

)1/2(‖∇ϕ‖2

[L2(Ω)]2 +∑e∈EI

he

∥∥∥∥ ∂ϕ∂ne∥∥∥∥2

[L2(e)]2

)1/2

.

Por otra parte, usando la desigualdad de la traza normal (ver anexo B), se deduce queexiste una constante Ctr > 0 tal que para todo e ∈ ∂K∥∥∥∥ ∂ϕ∂ne

∥∥∥∥2

[L2(e)]2≤ Ctr

(h−1e |ϕ|2H1(K) + he|ϕ|2H2(K)

)≤ Ctr

(h−1e ‖ϕ‖2

H2(K)

),

donde Ctr := Ctr max1, diam(Ω)2. Entonces(‖∇ϕ‖2

[L2(Ω)]2 +∑e∈EI

he

∥∥∥∥ ∂ϕ∂ne∥∥∥∥2

[L2(e)]2

)1/2

≤(

1 + Ctr

)1/2

‖ϕ‖H2(Ω) ≤ Cw‖q‖L2(Ω),

donde Cw := Cw

(1 + Ctr

)1/2

y se concluye

‖q‖L2(Ω) ≤ Cw

(‖∇q‖2

[L2(Ω)]2 +∑e∈EI

h−1e ‖JqK‖2

[L2(e)]2

)1/2

,


y dado que se supone una malla de variación acotada, existe C > 0 que dependeunicamente de l, α tal que(

‖∇hq‖2[L2(Ω)]2 +

∑e∈EI

h−1e ‖JqK‖2

[L2(e)]2

)1/2

≤ C 9 q 9h .

Luego‖q‖L2(Ω) ≤ CL 9 q9h,

con CL := CwC.

Lema 2.7. El funcional L, denido en (2.13), es acotado en la norma de la energía,es decir, existe una constante CL1 > 0 independiente del tamaño de la malla, tal que:

|L(q)| ≤ CL1

(‖f‖2

L2(Th) + ‖α1/2g‖2L2(EΓ)

)1/2

9 q 92h ∀q ∈ H1

m(Th).

Prueba. Usando la desigualdad triangular y además Cauchy-Schwarz

|L(q)| ≤∫Th|f | |q|+

∫EΓ|g‖q|

≤ ‖f‖L2(Th)‖q‖L2(Th) + ‖α1/2g‖L2(EΓ)‖α−1/2q‖L2(EΓ)

≤(‖f‖2

L2(Th) + ‖α1/2g‖2L2(EΓ)

)1/2 (‖q‖2

L2(Th) + ‖α−1/2q‖2L2(EΓ)

)1/2

.

Por el Lema 2.2‖α−1/2q‖2

L2(EΓ) ≤ α−1Cinv‖q‖2L2(Th),

y usando el Lema 2.6 se obtiene

|L(q)| ≤(‖f‖2

L2(Th) + ‖α1/2g‖2L2(EΓ)

)1/2 (‖q‖2

L2(Th) + α−1Cinv‖q‖2L2(Th)

)1/2

≤ CL1

(‖f‖2

L2(Th) + ‖α1/2g‖2L2(EΓ)

)1/2

9 q9h,

donde CL1 := CL(1 + α−1Cinv)1/2.

Finalmente, es posible enunciar la existencia de la única solución del problema primal(2.12).

Teorema 2.8. El problema primal reducido (2.12) tiene solución única, es decir, existeun único ph ∈ Qh que satisface (2.12) y además

9 p− ph9h ≤(

1 +CA1

CA2

)ınf

qh∈Qh

9p− qh 9h +1

CA2

supw∈Qhw 6=0

|A(p, w)− L(w)|9w9h

, (2.15)

donde CA1 y CA2 son las constantes de continuidad o acotamiento y de coersividad deA.

3. ANÁLISIS DE ERROR 39

Prueba. Dados los Lemas 2.4, 2.5, 2.7, la existencia y unicidad de la solución del pro-blema primal reducido (2.12) es consecuencia directa del Teorema de Lax-Milgram (veranexo A)

Por otra parte, con el n de probar (2.15), sea qh ∈ Qh, entonces por propiedades de lanorma:

9p− ph9h ≤ 9p− qh 9h + 9 qh − ph 9h .

Entonces por la coercividad de A

CA2 9 qh − ph92h ≤ A(qh − ph, qh − ph)

= A(qh − p, qh − ph) + A(p− ph, qh − ph)= A(qh − p, qh − ph) + A(p, qh − ph)− L(qh − ph)≤ CA1 9 p− qh 9h 9qh − ph 9h + (A(p, qh − ph)− L(qh − ph)) .

Operando adecuadamente, para qh 6= ph:

9qh − ph9h ≤CA1

CA2

9 p− qh 9h +A(p, qh − ph)− L(qh − ph)

CA2 9 qh − ph9h

≤ CA1

CA2

9 p− qh 9h +1

CA2

supw∈Qhw 6=0

|A(p, w)− L(w)|9w9h

,

y usando ambos resultados se obtiene

9p− ph9h ≤(

1 +CA1

CA2

)9 p− qh 9h +

1

CA2

supw∈Qhw 6=0

|A(p, w)− L(w)|9w9h

∀qh ∈ Qh.

El resultado se sigue directamente de la denición del ínmo.

3. Análisis de Error

En esta sección se presenta el análisis del error obtenido al aproximar la solución delproblema de Darcy con el método LDG, con este n, se introduce un teorema clásicode aproximación.

En lo siguiente siempre que se nombre una constante C > 0 será suciente aclarar queson diferentes en cada paso y que no dependen del tamaño de la triangulaciones usadas.

Lema 2.9. Sea Th una triangulación regular, s ≥ 0 y d ∈ 1, 2. Para cada K ∈ Th sedene el operador lineal y acotado Πrd

K : [Hrd+1(K)]d → [Prd(K)]d dado por la proyecciónortogonal de [L2(K)]d que satisface Πrd

K (v) = v para todo v ∈ [Prd(K)]d. Existe C > 0independiente del tamaño de la malla tal que:

‖(I− ΠrdK )q‖[L2(K)]d ≤ Chs+1

K |q|[Hs+1(K)]d ∀q ∈ [Hs+1(K)]d,


‖(I− ΠrdK )q‖[H1(K)]d ≤ ChsK |q|[Hs+1(K)]d ∀q ∈ [Hs+1(K)]d

y además

‖(I− ΠrdK )q‖[L2(∂K)]2 ≤ Ch

s+1/2K |q|[Hs+1(K)]d ∀q ∈ [Hs+1(K)]d.

La demostración de este lema se sigue del Lema Bramble-Hilbert y de la desigualdadde la traza, ambos resultados se encuentran con detalle en [41]. (Ver anexo C)

Ahora, nuestro objetivo será acotar el segundo término de la ecuación (2.15) en términosde la norma de la energía, para esto denimos el operador global discontinuo Πr2

h :[H1(Ω)]2 → Vh que dado τ ∈ [H1(Ω)]2, Πr2

h (τ ) es el único elemento en Vh tal queΠr2h (τ )|K = Πr2

K(τ |K) para todo K ∈ Th.

Lema 2.10. Sea s ∈ N∪0 tal que 0 ≤ s ≤ r1 y sea p solución de (2.1). Supongamosque p ∈ Hs+2(Th), entonces existe C > 0 independiente del tamaño de la malla ydependiendo de α, β, l, l y el grado de los polinomios de aproximación r1, tal que paratodo q ∈ H1

m(Th)

|A(p, q)− L(q)| ≤ C

(∑K∈Th

h2(s+1)K |∇p|2[Hs+1(K)]2

)1/2

9 q 9h .

Prueba. Sea q ∈ H1m(Th) , dado que S(p) = 0 y JpK = 0 sobre EI y f = div(−κ∇p) en

Ω y −κ∇p · n = g sobre Γ, entonces

A(p, q)− L(q) =

∫Thκ (∇p− S(p)) · (∇hq − S(q)) +

∫EIαJpK · JqK−

∫Thf q +

∫EΓg q

=

∫Thκ∇p · ∇hq −

∫Thκ∇p · S(q)−

∫Thf q +

∫EΓg q.

Usando la identidad de Green y la Proposición 1.1

A(p, q)− L(q) =∑K∈Th

∫∂K

κ q(∇p · n)−∫Thκ∇p · S(q) +

∫EΓg q

=

∫EIκ∇p · JqK +

∫EΓκ∇p · JqK +

∫EIκJ∇pKq

−∫Thκ∇p · S(q) +

∫EΓg q

=

∫EIκ∇p · JqK +

∫EIκJ∇pKq −

∫Thκ∇p · S(q).


Considerando que J∇pK = 0 obtenemos∫Thκ∇p · S(q) =

∫ThκΠr2

h (∇p) · S(q) = S(q, κΠr2h (∇p))

=

∫EIκ (Πr2

h (∇p)+ βJ(I− Πr2h )∇pK) · JqK.

Luego

A(p, q)− L(q) =

∫EIκ ((I− Πr2

h )∇p+ βJ(I− Πr2h )∇pK) · JqK.

Entonces, por la desigualdad de Cauchy Schwarz

|A(p, q)− L(q)| ≤ C(‖h1/2(I− Πr2

h )∇p‖2[L2(EI)]2 + ‖h1/2J(I− Πr2

h )∇pK‖2L2(EI)

)1/2

‖α1/2JqK‖[L2(EI)]2 ,

donde ‖α1/2JqK‖[L2(EI)]2 ≤ 9q9h.

Además usando la denición de Πr2h y el Lema 2.1

|A(p, q)− L(q)| ≤ C

(∑K∈Th

hK

(‖(I− Πr2

K)∇p‖2[L2(∂K)]2 + ‖(I− Πr2

K)∇p‖2[L2(∂K)]2

))1/2

9 q9h,

donde C no depende del tamaño de la malla. Por el Lema 2.9

hK‖(I− Πr2K)∇p‖2

[L2(∂K)]2 ≤ C2h2(s+1)K |∇p|2[Hs+1(K)]2 ,

Y así, reemplazando, obtenemos

|A(p, q)− L(q)| ≤ C

(∑K∈Th

h2(s+1)K |∇p|2[Hs+1(K)]2

)1/2

9 q 9h .

Ahora es importante encontrar una cota para la norma de la energía que será útil luegopara acotar el error de aproximación.

Lema 2.11. Existe C > 0 independiente del tamaño de la malla tal que

9q92h ≤ C

∑K∈Th

(|q|2H1(K) + h−1

K ‖q‖2L2(∂K)

)∀q ∈ H1

m(Th).

Prueba. Sea q ∈ H1m(Th), por la denición de la norma de la energía (2.10)

9q92h ≤

∑K∈Th

|q|2H1(K) + α‖h−1/2JqK‖2[L2(EI)]2 .


Usando el Lema 2.1, como la malla es de variación acotada, es claro que

‖h−1/2JqK‖2[L2(EI)]2 = ‖h1/2Jh−1qK‖2

[L2(EI)]2

≤ C2

∑K∈Th

hK‖h−1q‖2L2(∂K)

≤ C∑K∈Th

h−1K ‖q‖

2L2(∂K),

Y al reemplazar esta cota se obtiene el resultado esperado.

Teorema 2.12. Sean (uh, ph) y (u, p) las soluciones de (2.12) y del problema de Darcy(2.1) respectivamente. Supongamos p ∈ Hs+2(Th) con 0 ≤ s ≤ r1, entonces existeC > 0 independiente del tamaño de la malla, pero dependiendo de α, β, l, l y del gradode aproximación polinomial ri tal que:

9p− ph9h ≤ C

(∑K∈Th

h2sK‖p‖2

Hs+1(K) +∑K∈Th

h2(s+1)K |∇p|2[Hs+1(K)]2

)1/2

.

Prueba. Denimos el operador global discontinuo Πr1h : H1

m(Ω) → Qh que dado w ∈H1m(Ω), Πr1

h (w) es el único elemento en Qh tal que Πr1h (w)|K = Πr1

K(w|K) para todoK ∈ Th.

Es claro que Πr1h (p) ∈ Qh, entonces de acuerdo al Teorema 2.8 y al Lema 2.10

9p− ph92h ≤

(1 +

CA1

CA2

)9 (I− Πr1

h )p 92h +

1

CA2

C

(∑K∈Th

h2(s+1)K |∇p|2[Hs+1(K)]2

).

Aplicando el Lema 2.11 y las cotas del Lema 2.9, se tiene que

9(I− Πr1h )p92

h ≤ C∑K∈Th

(|(I− Πr1

h )p|2H1(K) + h−1K ‖(I− Πr1

h )p‖2L2(∂K)

)≤ C

∑K∈Th

h2sK‖p‖2

Hs+1(K),

y reemplazando esta cota se obtiene

9p− ph9h ≤ C

(∑K∈Th

h2sK‖p‖2

Hs+1(K) +∑K∈Th

h2(s+1)K |∇p|2[Hs+1(K)]2

)1/2

.


Lema 2.13. Sean (uh, ph) y (u, p) las soluciones de (2.12) y del problema de Darcy (2.1)respectivamente. Supongamos p ∈ Hs+2(Th) con 0 ≤ s ≤ r1, existe C > 0 independientedel tamaño de la malla tal que

‖u− uh‖[L2(Ω)]2 ≤ C

(∑K∈Th

h2sK‖p‖2

Hs+1(K) +∑K∈Th

h2(s+1)K |∇p|2[Hs+1(K)]2

)1/2

.

Prueba. Dado que uh = −κ (∇hph − S(ph)) , u = −κ∇p y S(p) = 0 se obtiene

‖u− uh‖[L2(Ω)]2 ≤ κ‖∇h (p− ph) ‖[L2(Th)]2 + κ‖S (p− ph) ‖[L2(Th)]2

≤ κ‖∇h (p− ph) ‖[L2(Th)]2 + (κ Cs)|p− ph|h≤ κ(1 + Cs) 9 p− ph 9h .

Entonces es posible reemplazar el resultado del Teorema 2.12 y se obtiene la cotadeseada.

En este punto tenemos una cota del error de la energía

9p− ph9h ≤ C hs(‖p‖2

Hs+1(Th) + |∇p|2Hs+1(Th)

)1/2

≤ Chs‖p‖Hs+2(Th),

y por lo tanto las siguientes cotas de la solución escalar y vectorial de la solución

‖u− uh‖L2(Ω) ≤ Chs‖p‖Hs+2(Th) y ‖p− ph‖H1(Ω) ≤ Chs‖p‖Hs+2(Th).

3.1. Estimaciones del error en la norma L2

En lo siguiente se pretende hallar un mejor estimativo para la norma L2 del error de lavariable escalar. Con este objetivo suponga el siguiente problema de Darcy asociado ala fuente (p− ph) :

Encontrar (σ, z) ∈ H(div,Ω)×H1m(Ω) la única solución de problema de frontera

σ = −κ∇z en Ω,

div σ = p− ph en Ω,

σ · n = 0 en Γ,

o equivalentemente Encontrar z ∈ H1m(Ω) la única solución de problema de frontera

−∆z = κ−1(p− ph) en Ω,

∂z

∂n= 0 en Γ.

(2.16)


Dado que Ω es un dominio convexo y p− ph ∈ L2(Ω) entonces z ∈ H2(Ω) y además

‖z‖H2(Ω) ≤ Creg‖p− ph‖L2(Ω), (2.17)

donde Creg > 0 es una constante independiente del tamaño de la malla, de p y de ph;Creg depende del máximo de la permeabilidad del medio.

Como z ∈ H2(Ω), usando los estimativos de la norma de la energía que se encontraronen la subsección anterior (con r1 = s = 1) obtenemos

9(I− Π1h)z9

2h ≤ C

∑K∈Th

h2K‖z‖2

H2(K) ≤ C2regC

∑K∈Th

h2K‖p− ph‖2

L2(K),

es decir ,9 (I− Π1

h)z9h ≤ C h‖p− ph‖L2(Ω). (2.18)

Además, es posible aplicar al problema auxiliar el proceso LDG propuesto en estecapítulo, y el problema LDG primal asociado sería: Encontrar zh ∈ Qh tal que:

A(zh, qh) = L(qh) ∀qh ∈ Qh

donde L(qh) :=∫Th

(p− ph)qh.

Aplicamos el Lema 2.10 con s = 0 para z ∈ H2(Ω), esto es, existe C > 0 independientedel tamaño de la malla tal que

|A(z, w)− L(w)| ≤ Ch‖∇z‖[H1(Ω)]2 9 w9h ≤ Ch‖p− ph‖L2(Ω) 9 w 9h ∀w ∈ H1(Th).

Teorema 2.14. Sea ph y p las soluciones de (2.12) y del problema de Darcy (2.1)respectivamente. Supongamos p ∈ Hs+2(Th) con 0 ≤ s ≤ ri. Existe C > 0 independientedel tamaño de la malla tal que:

‖p− ph‖L2(Ω) ≤ Chs+1

(∑K∈Th

‖p‖2Hs+1(K) +

∑K∈Th

|∇p|2[Hs+1(K)]2

)1/2

.

Prueba. Usando los resultados anteriores sobre la solución del problema auxiliar (2.16)se tiene que

‖p− ph‖2L2(Ω) = L(p− ph) = A(z, p− ph)−

(A(z, p− ph)− L(p− ph)

)≤ |A(z, p− ph)|+ Ch‖p− ph‖L2(Ω) 9 p− ph 9h . (2.19)

Además A es una forma bilineal simétrica, entonces es claro que

A(z, p− ph) = A(p− ph, z) = A(p− ph, (I− Π1h)(z)) + A(p− ph,Π1

h(z)), (2.20)

y de la formulación primal A(ph,Π1h(z)) = L(Π1

h(z)), entonces

4. IMPLEMENTACIÓN 45

A(p− ph,Π1h(z)) = A(p,Π1

h(z))− L(Π1h(z)).

Aplicando el Lema 2.10

|A(p− ph,Π1h(z))| ≤ Chs+1

(∑K∈Th

|∇p|2[Hs+1(K)]2

)1/2

9 Π1h(z)9h,

y usando (2.18), (2.17) y la denición de la norma de la energía

9Π1h(z)9h ≤ 9Π1

h(z)− z 9h + 9 z9h ≤ C‖p− ph‖L2(Ω).

Por otra parte, por el Lema 2.4 y (2.18)

|A(p− ph, (I− Π1h)(z))| ≤ Ch 9 p− ph 9h ‖p− ph‖L2(Ω).

Finalmente reemplazando en (2.20) y luego en (2.19)

‖p− ph‖L2(Ω) ≤ C

hs+1

(∑K∈Th

|∇p|2[Hs+1(K)]2

)1/2

+ h 9 p− ph9h

,y usando la cota de la energía del Teorema 2.12 concluimos que existe C > 0 indepen-diente del tamaño de la malla tal que

‖p− ph‖L2(Ω) ≤ Chs+1

(∑K∈Th

‖p‖2Hs+1(K) +

∑K∈Th

|∇p|2[Hs+1(K)]2

)1/2

.

Hemos mejorado la cota del error en la norma L2 para p:

‖p− ph‖L2(Ω) ≤ Chs+1‖p‖Hs+2(Th).

4. Implementación

En esta sección se presentan los aspectos básicos de la implementación del método LDGpropuesto antes para solucionar la ecuación de Darcy.

Inicialmente en cada tríangulo K ∈ Th se toman las bases de los espacios de aproxima-ción (2.4) como sigue

Pr1(K) = 〈ψjdim1j=1 〉 y [Pr2(K)]2 = 〈ϕjdim2

j=1 〉 .


Entonces podemos escribir las incógnitas como combinaciones lineales de los elementosde las bases

ph∣∣K

=dim1∑i=1

ai,Kψi y uh∣∣K

=dim2∑i=1

bi,Kϕi. (2.21)

Reemplazando las combinaciones lineales (2.21) en (2.8), tomando las funciones testvh = ϕj para j = 1, ..., dim2 se tiene que

∑K∈Th

[dim2∑i=1

bi,K

∫K

κ−1ϕi ·ϕj

]+

∑K∈Th

[ dim1∑i=1

ai,K

(−∫K

ψi divhϕj +

∫EΓ∩∂K

(ϕj · n)ψi +

∫EI∩∂K

(JϕjKβ · JψiK + JϕjKψi

))]= 0,

y con qh = ψj para j = 1, ..., dim1 se obtiene que

∑K∈Th

dim2∑i=1

bi,K

(∫K

ψj divhϕi −∫

EΓ∩∂K

(ϕi · n)ψj −∫

EI∩∂K

(JϕiKβ · JψjK− JϕiKψj))−

∑K∈Th

dim1∑i=1

ai,K

∫EI∩∂K

αJψiK · JψjK

=∑K∈Th

∫K

f ψj −∫

EΓ∩∂K

g ψj

.Entonces si se denotan AK , BK , CK y FK las matrices y el vector cuyas entradas son:

AKij :=

∫K

κ−1ϕi ·ϕj,

BKij := −

∫K

ψi divhϕj +

∫EΓ∩∂K

(ϕj · n)ψi +

∫EI∩∂K

(JϕjKβ · JψiK + JϕjKψi

),

CKij := −

∫EI∩∂K

αJψiK · JψjK,

FKj :=

∫K

f ψj −∫

EΓ∩∂K

g ψj,

el problema se escribe en forma matricial A B

−BT C

[uh]

[ph]

=

0

F

, (2.22)

donde A, B, C, F son los ensambles de las matrices locales, es decir, las entradas de A,B, C, F corresponden a la solución de las integrales localmente. Es importante resaltar


que este ensamble, al ser un método discontinuo, no implica la suma de los resultadoslocales. Además, [uh] serán los grados de libertad (bi con i = 1, ..., dim2 ∗nElementos)asociados a la incógnita vectorial uh y [ph] serán los grados de libertad (ai con i =1, ..., dim1 ∗ nElementos) asociados a la incógnita escalar ph.

Es claro que en este punto el método LDG se ha reducido a la solución de un siste-ma lineal donde por cada elemento hay (dim1 + dim2) incógnitas, para un total de[(dim1 + dim2) ∗ nElementos] grados de libertad.

En particular, en este trabajo se implemetaron aproximaciones en los espacios P1(K)−[P0(K)]2 y P1(K) − [P1(K)]2 es decir, en el primer caso dim1 = 3 y dim2 = 2 y enel segundo caso dim1 = 3 y dim2 = 6, es decir, se presentan las aproximaciones a lasolución del problema 2.1 con (5 ∗nElementos) y (9 ∗nElementos) grados de libertad.

Hasta ahora no es posible garantizar la unicidad de la solución del problema (2.22) yaque no se ha impuesto la restricción de la solución del problema al espacio L2

0(Ω); paraesto se usará una técnica de condensación estática con el n de imponer

∫Ωph = 0.

Debemos imponer

0 =

∫Ω

ph =∑K∈Th

dim1∑i=1

ai,K

∫K

ψi =dim1∑i=1

ai,K1

∫K1

ψi +∑K∈ThK 6=K1

dim1∑i=1

ai,K

∫K

ψi .

Para ello jaremos la primer incognita del primer elemento K1 en términos de lasrestantes, es decir,

a1,K1 = −dim1∑i=1

ai,K1

∫K1ψi∫

K1ψ1

−∑K∈ThK 6=K1

3∑i=1

ai,K

∫Kψi∫

K1ψ1

,

que se puede escribir de forma matricial

[ph] =

a1,K1

¯[ph]

= H ¯[ph], (2.23)

donde H es la matriz cuya primera la son los coecientes de la ecuación anterior ylas demás las corresponden a la matriz identidad, es decir, las dimensiones de H son((dim1 ∗ nElementos)× (dim1 ∗ nElementos− 1)).

Reemplazando en el sistema (2.22) se obtiene: A BH

−HTBT HTCH

[uh]

[ph]

=

0

HTF

. (2.24)

Solucionamos el sistema (2.24), recuperamos [ph] usando (2.23) y así se obtiene la únicasolución aproximada del problema (2.1) en los espacios indicados.


5. Resultados Numéricos

En esta sección se presentan dos ejemplos particulares de solución numérica de la ecua-ción de Darcy obtenidos con el método LDG. Además se comentan los resultados entérminos del error y la convergencia de cada una de las normas de los errores numéricos.

5.1. Ejemplo 1

Sea Ω := [0, 1]2, el término fuente denido como

f(x, y) := −κ

(2

(2π

L

)2

sin

(2πy

L

)sin

(2πx

L

)),

y en Γ := ∂Ω la función g obtenida al operar la componente normal en la frontera deΩ de la solución exacta del campo de la presión p = sin

(2πxL

)sin(

2πyL

), donde L = 1.

Además se toma como caso de prueba la constante de permeabilidad constante en todoel dominio κ = 1. Este es un clásico ejemplo teórico de la ecuación de Darcy, ver [25].

0

0.5

1

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

Figura 2.1: Solución aproximada ph (Izq.) vs Solución exacta p (Der.)Método LDG (P1(K)− [P0(K)]2).Malla 1152 elementos y h = 0,0586.

5. RESULTADOS NUMÉRICOS 49

0

0.5

1

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1


En las guras 2.1 y 2.2 se muestra la solución aproximada de la presión en una mallaintermedia obtenida con el método LDG y para los espacios de aproximación P1(K)−[P0(K)]2 - P1(K) − [P1(K)]2 respectivamente, ambos con parámetros con α = 1 yβ = [1, 1]t. Es evidente que ambas soluciones se aproximan correctamete a la soluciónexacta, aunque son evidentes las discontinuidades propias del método DG. Ahora bien,es claro que cuando los espacios de aproximación a la solución son P1(K) − [P1(K)]2

la aproximación parece ser más el que el el caso de aproximaciones vectoriales en elespacio [P0(K)]2; este resultado es de esperarse dado que a mayor grado de aproximaciónmás suavidad y regularidad se presentan en los resultados.

Por otra parte en las guras 2.3 y 2.3 se muestra la solución para la velocidad uh com-parada con cada componente de la solución exacta u. En estas guras es evidente ladiferencia en los espacios de aproximación. En la gura 2.3 es claro en cada compo-nente que la solución es constante a trozos y aún así la forma de la solución evidenciael mismo comportamiento de la solución exacta, y por otra parte, cuando la aproxi-mación es [P1(K)]2, la solución aproximada parece ser más suave, y tambien reeja elcomportamiento general de ambas componentes de la velocidad.


0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Aprox. Solucion ux

0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Aprox. Solucion uy

00.5

1

00.5

1−10

0

10

Solucion Exacta ux

0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Solucion Exacta uy

Figura 2.3: Solución aproximada uh (Izq.) vs Solución exacta u (Der.)Método LDG (P1(K)− [P0(K)]2).

0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Aprox. Solucion ux

0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Aprox. Solucion uy

00.5

1

00.5

1−10

0

10

Solucion Exacta ux

0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Solucion Exacta uy



En la tabla 2.1 se presentan las normas del error en los espacios de la solución delproblema (2.8) cuando se usa el método LDG con espacios de aproximación P1(K) −[P0(K)]2 en cada K ∈ Th. Análogamente la tabla 2.2 corresponde a las normas del error(en este caso los errores se presentan cómo errores relativos) cuando se usa en métodoLDG con espacios de aproximación P1(K)− [P1(K)]2 en cada K ∈ Th.

nElementos h dof‖p−ph‖L2(Ω)

‖p‖L2(Ω)

‖p−ph‖H1(Ω)

‖p‖H1(Ω)

8 0.70711 40 6.7846 8.2791

18 0.4714 90 1.9038 3.6161

32 0.35355 160 1.2733 2.7298

50 0.28284 250 0.85889 2.1721

72 0.2357 360 0.61012 1.7969

98 0.20203 490 0.45408 1.5288

128 0.17678 640 0.3506 1.3289

162 0.15713 810 0.27865 1.1746

200 0.14142 1000 0.22668 1.0522

288 0.11785 1440 0.15833 0.87065

392 0.10102 1960 0.11674 0.74261

512 0.088388 2560 0.089584 0.64752

648 0.078567 3240 0.070897 0.5741

800 0.070711 4000 0.057492 0.51571

1152 0.058926 5760 0.039985 0.42864

Tabla 2.1: Errores de la solución aproximada phMétodo LDG (P1(K)− [P0(K)]2)

Es claro que para p, u y p los errores son menores cuando el espacio de polinomiosque se usa en la aproximación es mayor, es decir, cuando se usa el método métodoLDG con espacios de aproximación P1(K) − [P1(K)]2 en cada K ∈ Th. Este resultadoes esperado, se evidenciaba en las grácas de la solución y además con las tablas deerror presentadas antes. Tambien se conrma que a mayor número de elementos, oequivalentemente a menor tamaño de la malla, el error disminuye. Esto da pie paracomprobar expirementalmente la convergencia de cada uno de los errores y genera latabla 2.3.



‖p‖L2(Ω)

‖p−ph‖H1(Ω)

‖p‖H1(Ω)

8 0.70711 72 0.21312 4.2243

18 0.4714 162 0.21186 2.7961

32 0.35355 288 0.15571 2.0252

50 0.28284 450 0.10933 1.508

72 0.2357 648 0.078637 1.1709

98 0.20203 882 0.058652 0.94712

128 0.17678 1152 0.045232 0.79157

162 0.15713 1458 0.035875 0.67848

200 0.14142 1800 0.029122 0.59306

288 0.11785 2592 0.020266 0.47322

392 0.10102 3528 0.014902 0.39349

512 0.088388 4608 0.011414 0.33675

648 0.078567 5832 0.0090209 0.29434

800 0.070711 7200 0.0073078 0.26144

1152 0.058926 10368 0.0050756 0.21375


La convergencia del error experimental de la solución en cada una de las normas secalcula de la siguiente forma

eL2

h :=‖p− ph‖L2(Ω)

‖p‖L2(Ω)

,

eH1

h :=‖p− ph‖H1(Ω)

‖p‖H1(Ω)

.

Entonces el orden de convergencia de los errores será calculado como sigue

αi =log(ehi/ehi+1

)

log(hi/(hi+1)), (2.25)

donde i indica el nivel o la malla que se está operando.


P1(K)− [P0(K)]2 P1(K)− [P1(K)]2

αL2(Ω) αH1(Ω) αL2(Ω) αH1(Ω)

2.7795 1.6882 -0.34007 0.66293

1.3981 0.97734 1.0703 1.1212

1.7645 1.0241 1.585 1.3214

1.8757 1.0402 1.8072 1.3876

1.9161 1.0481 1.9022 1.3761

1.9369 1.0495 1.9457 1.3436

1.95 1.0477 1.9676 1.3089

1.9591 1.0444 1.9795 1.2771

1.9685 1.0389 1.9885 1.2382

1.977 1.0319 1.9943 1.1969

1.9825 1.0262 1.9968 1.1662

1.9863 1.0217 1.9981 1.1429

1.9891 1.0181 1.9988 1.1247

1.9918 1.0142 1.9993 1.1047

Tabla 2.3: Convergencia del error. Método LDG

La tabla 2.3 corresponde experimentalmente a la convergencia de los errores calculadoscomo en (2.25) y que rearman los resultados obtenidos en el análisis de error que sepresentó antes.

Las guras 2.5 y 2.6 presentan grácamente los resultados de los errores que ya se hancomentado antes. La escala logarítmica es estratégicamente elegida para expresar elcomportamiento del error que disminuye conforme disminuye el tamaño de la malla.


1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Log(1/h)

Log(

Err

or)

‖p − ph‖L2(Ω)

‖p − ph‖H1(Ω)

Figura 2.5: Convergencia del Error. Método LDG (P1(K)− [P0(K)]2).

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

Log(1/h)

Log(

Err

or)

‖p − ph‖L2(Ω)

‖p − ph‖H1(Ω)



5.2. Ejemplo 2

Sea Ω := [−1, 1]2, f := 0 y en Γ := ∂Ω la función g obtenida al operar la componentenormal en la frontera de Ω de la solución exacta del campo de la presión p = 60x2y−20y3

con permeabilidad constante en todo el dominio κ = 1. (Ejemplo propuesto en [22])

En las guras 2.7 y 2.8 se muestra la solución aproximada de la presión en una mallaintermedia obtenida con el método LDG con espacios de aproximación P1(K)−[P0(K)]2

- P1(K)− [P1(K)]2 respectivamente, ambos con parámetros con α = 1 y β = [1, 1]t. Esevidente que ambas soluciones se aproximan correctamete a la solución exacta aunqueson claras las discontinuidades propias del método DG que se expuso antes. Ahora bien,es claro que cuando los espacios de aproximación a la solución son P1(K) − [P1(K)]2

la aproximación parece ser más el que en el caso de aproximaciones vectoriales en elespacio [P0(K)]2. Dicho resultado se esperaba dado que a mayor grado de aproximación,más suavidad y regularidad se presenta en los resultados.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−40

−20

0

20

40

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−40

−20

0

20

40



−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−40

−20

0

20

40

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−40

−20

0

20

40


−1

0

1

−10

1−200

0

200

Solucion uhx

−1

0

1

−10

1−100

0

100

Solucion uhy

−10

1

−10

1−200

0

200

Solucion Exacta ux

−1

0

1

−10

1−100

0

100

Solucion Exacta uy



−1

0

1

−10

1−200

0

200

Solucion uhx

−1

0

1

−10

1−100

0

100

Solucion uhy

−10

1

−10

1−200

0

200

Solucion Exacta ux

−1

0

1

−10

1−100

0

100

Solucion Exacta uy


Por otra parte, en las guras 2.9 y 2.10 se muestra la solución del mismo método parala velocidad uh comparada con cada componente de la solución exacta u.

Es importante resaltar que tanto en este ejemplo como en el anterior, se usó la técnicade condensación estática para jar la unicidad de la solución de la presión y cabe aclararque en ningún momento intervino el conocimiento previo de la solución del problemaen la aproximación obtenida con el método LDG.

En la tabla 2.4 se presentan las normas del error en los espacios de la solución delproblema (2.8) cuando se usa el método LDG con espacios de aproximación P1(K) −[P0(K)]2 en cada K ∈ Th. Análogamente la tabla 2.5 corresponde a las normas del errorcuando se usa el método LDG con espacios de aproximación P1(K)− [P1(K)]2 en cadaK ∈ Th.

Las tablas 2.4 - 2.6 corresponden a los resultados de los errores experimentales de ph, uhy p y la convergencia del error calculados como en (2.25). Por último, las guras 2.11 y2.12 presentan grácamente los resultados de los errores para este ejemplo. Nuevamentela escala logarítmica es estratégicamente elegida para expresar el comportamiento delerror que disminuye conforme disminuye el tamaño de la malla.



‖p‖L2(Ω)

‖p−ph‖H1(Ω)

‖p‖H1(Ω)

32 0.70711 160 13.8954 46.3548

72 0.4714 360 5.3005 29.8955

128 0.35355 640 2.7804 22.2133

200 0.28284 1000 1.7149 17.7077

288 0.2357 1440 1.1653 14.734

392 0.20203 1960 0.84436 12.6209

512 0.17678 2560 0.64041 11.0405

648 0.15713 3240 0.50263 9.8134

800 0.14142 4000 0.40512 8.8326

1152 0.11785 5760 0.27944 7.3625

1568 0.10102 7840 0.20442 6.3128




nElementos h grad.‖p−ph‖L2(Ω)

‖p‖L2(Ω)

‖p−ph‖H1(Ω)

‖p‖H1(Ω)

32 0.70711 288 5.4008 26.6979

72 0.4714 648 2.5227 15.6282

128 0.35355 1152 1.4552 10.7943

200 0.28284 1800 0.94577 8.1563

288 0.2357 2592 0.66363 6.5175

392 0.20203 3528 0.49122 5.4093

512 0.17678 4608 0.37822 4.6138

648 0.15713 5832 0.30016 4.017

800 0.14142 7200 0.24399 3.5538

1152 0.11785 10368 0.17035 2.8831

1568 0.10102 14112 0.12563 2.4223




P1(K)− [P0(K)]2 P1(K)− [P1(K)]2


2.3755 1.0814 1.876 1.3204

2.2424 1.0324 1.912 1.2862

2.1654 1.0159 1.931 1.2558

2.1192 1.0083 1.9431 1.2303

2.0899 1.0043 1.9515 1.209

2.0704 1.0019 1.9578 1.1912

2.0568 1.0004 1.9625 1.176

2.047 0.99938 1.9664 1.163

2.037 0.99852 1.9707 1.1471

2.028 0.99788 1.9751 1.1297

Tabla 2.6: Convergencia del error. Método LDG

Capıtulo 3El método HDG para la ecuación de Darcy.

1. Formulación del problema (HDG)

Considere el problema (2.1) como en el capítulo anterior, y los espacios de aproximación:

Wh :=q ∈ L2(Eh) : q|e ∈ Pr1(e) ∀e ∈ Eh

,

Rh :=v ∈ [L2(Eh)]2 : v|e ∈ [Pr2(e)]2 ∀e ∈ Eh

.

(3.1)

Retomemos el problema integral (2.5). Es claro que localmente (uh, ph, u, p) ∈ Vh ×Qh ×Rh ×Wh son tales que satisfacen en cada K ∈ Th∫

K


ph divvh +

∫∂K

(vh · n)p = 0,∫K

qh divuh −∫∂K

(uh · n)qh +

∫∂K

(u · n) qh =

∫K

f qh,

(3.2)

∀(vh, qh) ∈ Vh ×Qh.

Consideremos la condición de continuidad de la traza normal (1.9) dada por

u · n = uh · n + ξ(ph − p), (3.3)

donde ξ > 0 es una función de penalización no negativa que se asume constante en cadaarista de la triangulación (ver [32]).

Sumando sobre toda la triangulación, el problema original se transforma en:

61

62 CAPÍTULO 3. EL MÉTODO HDG PARA LA ECUACIÓN DE DARCY.

Encontrar (uh, ph, p) ∈ Vh ×Qh ×Wh tales que:∫Thκ−1uh · vh −

∫Thph divvh +

∫∂Th

(vh · n)p = 0,∫Thqh divuh +

∫∂Th

ξ (ph − p) qh =

∫Thf qh,∫

∂Th(uh · n + ξ(ph − p)) µ =

∫∂Th

gµ,

(3.4)

∀(vh, qh, µ) ∈ Vh × Qh ×Wh, donde g representa la extensión por cero de la función ga todo el esqueleto de la triangulación.

Lema 3.1. El problema global (3.4) tiene solución única (uh, ph, p) ∈ Vh ×Qh ×Wh.

Prueba. Será suciente probar que si (uh, ph, p) ∈ Vh×Qh×Wh es solución del problemahomogéneo, entonces debe ser la solución trivial.

Tomemos f ≡ 0 y g ≡ 0, ∀(vh, qh, µ) ∈ Vh ×Qh ×Wh se tiene∫Thκ−1uh · vh −

∫Thph divvh +

∫∂Th

(vh · n)p = 0,∫Thqh divuh +

∫∂Th

ξ (ph − p) qh = 0,

−∫∂Th

(uh · n + ξ(ph − p)) µ = 0.

Tomando vh = uh, qh = ph y µ = p y sumando se obtiene

‖κ−1/2uh‖2[L2(Th)]2 + ‖ξ1/2(ph − p)‖2

L2(∂Th) = 0.

Entonces todas las normas son cero y por lo tanto

uh = 0, en Th,(ph − p) = 0, en ∂Th,

es decir, ph = p en ∂Th, y de la primera ecuación del problema homogéneo, usando laidentidad de Green y teniendo en cuenta que uh = 0 en Th tenemos∫

Thvh · ∇ph −

∫∂Th

(vh · n)ph +

∫∂Th

(vh · n)p = 0,∫Thvh · ∇ph = 0,

∀vh ∈ Vh. Así que si tomamos vh = ∇ph entonces ‖∇ph‖[L2(Th)]2 = 0 y por lo tanto

ph es constante en Th y por la restricción del espacio Qh

(∫Thph = 0

)se garantiza que

ph = 0 en Th y por lo tanto p = ph = 0 en ∂Th.

2. HIBRIDIZACIÓN 63

Una vez que se ha demostrado la existencia de una única solución del problema sobretoda la triangulación (3.4) el objetivo será escribir este problema solo en términos dela variable p sobre el esqueleto.

2. Hibridización

De las dos primeras ecuaciones de (3.4) es claro que si se conoce el ujo de la incógnitaescalar (p) en cada tríangulo y la fuente f , será posible encontrar la solución (uh, ph) ∈Vh ×Qh en cada K ∈ Th al resolver∫

K


ph divvh = −∫∂K

(vh · n)p,∫K

qh divuh +

∫∂K

ξ ph qh =

∫∂K

ξ p qh +

∫K

f qh,

(3.5)


Lema 3.2. El problema (3.5) tiene solución única (uh, ph) ∈ Vh×Qh en cada K ∈ Th.

Prueba. Será suciente probar que si (uh, ph) ∈ Vh × Qh es solución del problemahomogéneo, entonces debe ser la solución trivial.

Tomemos f ≡ 0 y p ≡ 0. ∀(vh, qh) ∈ Vh ×Qh se obtiene∫K


ph divvh = 0,∫K

qh divuh +

∫∂K

ξ ph qh = 0.

En particular, estas ecuaciones se satisfacen si vh = uh y qh = ph y sumando ambasecuaciones se obtiene

‖κ−1/2uh‖2[L2(K)]2 + ‖ξ1/2ph‖2

L2(∂K) = 0,

y por lo tanto

uh = 0 en K,

ph = 0 en ∂K.

Operando análogamente al Lema anterior ‖∇ph‖[L2(K)]2 = 0 y por lo tanto concluimosque ph es constante en cada tríangulo K e igual a cero en la frontera ∂K; esto garantizaque ph = 0 en K.


Por el Lema anterior, es posible escribir el problema (3.5) en términos de operadores

L(p, f) = (uh, ph). (3.6)

La ecuación (3.6) se llama local solver e indica la relación entre una función sobre elesqueleto y las soluciones del problema mixto sobre el volumen.

Gracias a la linealidad del problema (3.5), denotamos (uλh, pλh) a la solución de (3.5) con

p = λ y f = 0, y (ufh, pfh) a la solución de (3.5) con p = 0 y el dato f ; es decir, para

cada λ ∈ Wh denotamos las soluciones de los local solver así:

L(λ, 0) = (uλh, pλh)

L(0, f) = (ufh, pfh),

y obtenemos el siguiente teorema que nos permite escribir (uh, ph) ∈ Vh×Qh en términosde p ∈ Wh. Para esto basta usar la tercera ecuación del problema (3.2).

Teorema 3.3. La solución única (uh, ph, p) ∈ Vh×Qh×Wh del problema (3.2) se puedereescribir como

ph = pλh + pfh,

uh = uλh + u

fh,

p = λ,

(3.7)

donde λ es la solución del siguiente problema sobre el esqueleto: Encontrar λ ∈ Wh talque

A(λ, µ) = b(µ) ∀µ ∈ Wh (3.8)

con A : Wh ×Wh → R y b : Wh → R denidos así:

A(λ, µ) =

∫∂Th

(uλh · n

)µ+

∫∂Th

ξ(pλh − λ)µ

b(µ) =

∫∂Th

gµ−∫∂Th

(ufh · n + ξpfh

)µ.

Prueba. Sean (uλh, pλh) y (ufh, p

fh) las soluciones de los local solver L(λ, 0) y L(0, f) res-

pectivamente. Reemplazando las expresiones (3.7) en la tercera ecuación del problemaglobal (3.4), ∀µ ∈ Wh obtenemos∫

∂Th

((uλh + ufh

)· n + ξ(pλh + pfh − λ)

)µ =

∫∂Th

gµ,∫∂Th

(uλh · n

)µ+

∫∂Th

ξ(pλh − λ)µ =

∫∂Th

gµ−∫∂Th

(ufh · n + ξpfh

)µ.

y asi el problema se ha reducido a un problema solo sobre el esqueleto y se puedeexpresar de la siguiente manera: Encontrar λ ∈ Wh tal que

A(λ, µ) = b(µ) ∀µ ∈ Wh.

2. HIBRIDIZACIÓN 65

Una vez resolvamos (3.8), podremos recuperar las variables globales usando los localsolvers (3.5). Esto no es muy costoso computacionalmente.

Es claro que el problema (3.8) tiene una única solución ya que hereda las propiedadesde los local solvers y del problema local que se probaron en los Lemas 3.1 y 3.2.

Por otro lado notemos que la forma bilineal A puede reescribirse como una forma bilinealsimétrica.

Considere el solver local L(µ, 0) para algún µ ∈ L2(∂K), tomando vh = uλh con λ ∈L2(∂K) y sumando sobre toda la triangulación se obtiene∫

Thκ−1uµh · u

λh −

∫Thpµh divuλh = −

∫∂Th

(uλh · n)µ.

Por otra parte tomando qh = pµh en el problema local L(λ, 0) y sumando sobre toda latriangulación se obtiene∫

Thpµh divuλh +

∫∂Th

ξ pλh pµh =

∫∂Th

ξ λ pµh,

y al sumar ambas ecuaciones obtenemos∫∂Th

(uλh · n)µ = −∫Thκ−1uµh · u

λh −

∫∂Th

ξ pµh(pλh − λ

).

Entonces remplazando en la forma bilineal A del problema global (3.8), el problema sereescribe así: Encontrar λ ∈ Wh tal que

A(λ, µ) = b(µ) ∀µ ∈ Wh

donde A : Wh ×Wh → R y b : Wh → R

A(λ, µ) =

∫Thκ−1uµh · u

λh +

∫∂Th

ξ(pλh − λ

)(pµh − µ) ,

b(µ) =

∫∂Th

(ufh · n + ξpfh

)µ−

∫∂Th

gµ,

que es un problema simétrico y bien denido.

Por último el siguiente lema muestra una relación entre las normas de las funcionesescalar y vectorial sobre el volumen y la norma de la función denida sobre el esqueleto.

Lema 3.4. Sean (uλh, pλh) ∈ Vh × Qh la solución del problema local L(λ, 0) = (uλh, p

λh),

para algún λ ∈ Wh. Entonces existe una constante C > 0 diferente en cada caso eindependiente del tamaño de la malla, tal que:(

‖uλh‖2[L2(K)]2 + ‖pλh‖2

L2(∂K)

)1/2

≤ C‖λ‖L2(∂K),

y por lo tanto (‖uλh‖2

[L2(Th)]2 + ‖pλh‖2L2(∂Th)

)1/2

≤ C‖λ‖L2(∂Th).


Prueba. Considere el problema local L(λ, 0) = (uλh, pλh) como sigue:∫

K

κ−1uλh · vh −∫K

pλh divvh = −∫∂K

(vh · n)λ∫K

qh divuλh +

∫∂K

ξ pλh qh =

∫∂K

ξ λ qh


Si tomamos vh = uλh y qh = pλh y sumamos las ecuaciones resultantes obtenemos

κ−1‖uλh‖2[L2(K)]2 + ξ‖pλh‖2

L2(∂K) =

∫∂K

ξ λ pλh −∫∂K

(uλh · n)λ.

Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad de la traza (ver anexo C)se obtiene

κ−1‖uλh‖2[L2(K)]2 + ξ‖pλh‖2

L2(∂K) ≤ ξ‖λ‖L2(∂K)‖pλh‖L2(∂K) + Ctr‖λ‖L2(∂K)‖uλh‖[L2(K)]2

≤√

2‖λ‖L2(∂K)

(ξ2‖pλh‖2

L2(∂K) + C2tr‖uλh‖2

[L2(K)]2

)1/2

.

Entonces (‖uλh‖2

[L2(K)]2 + ‖pλh‖2L2(∂K)

)1/2

≤ C‖λ‖L2(∂K),

donde

C :=(2 maxξ2, Ctr)1/2

mınκ−1, ξ.

Análogamente, si se suma sobre toda la triangulación en el problema local L(λ, 0) =(uλh, p

λh) y se opera como antes resulta(

‖uλh‖2[L2(Th)]2 + ‖pλh‖2

L2(∂Th)

)1/2

≤ C‖λ‖L2(∂Th),

donde

C :=2 (maxξ2, Ctr)1/2

mınκ−1, ξ.

3. Análisis de Error

En esta sección se presenta el análisis de error de la solución aproximada de (3.4)basados en proyecciones sobre las espacios de aproximación (3.1) y (2.4).


3.1. Los operadores de proyección.

Sean ΠQ : H1m(Th) → Qh y ΠV : [H1(Th)]2 → Vh proyecciones sobre los espacios

discretos Qh y Vh respectivamente, de tal manera que sobre cada K ∈ Th se satisface:∫K

ΠV (u) · vh =

∫K

u · vh ∀vh ∈ [Pr2−1(K)]2,∫K

ΠQ(p) qh =

∫K

p qh ∀qh ∈ Pr1−1(K),∫∂K

(ΠV (u) · n + ξΠQ(p) )µ =

∫∂K

(u · n + ξp)µ ∀µ ∈ Pr1(e) y e ∈ ∂K ∩ Eh,

(3.9)

con (u, p) ∈ ([H1(Th)]2, H1m(Th)).

Primero resaltamos que el sistema anterior tiene solución única (ΠV (u),ΠQ(p)) ∈[Pr2(K)]2 × Pr1(K) dado que el número de ecuaciones del problema corresponde a

dim([Pr2−1(K)]2) + dim(Pr1−1(K)) + 3 dim(Pr1(e))

= 2

(r2 + 1

2

)+

(r1 + 1

2

)+ 3

(r1 + 1

1

)= r2

2 + r2 +1

2r2

1 +7

2r1 + 3

y las incógnitas del problema son

dim([Pr2(K)]2) + dim(Pr1(K))

= 2

(r2 + 2

2

)+

(r1 + 2

2

)= r2

2 + 3r2 +1

2r2

1 +3

2r1 + 3.

Para que el número de incógnitas y de ecuaciones coincidan y podamos asegurar queel sistema es cuadrado es necesario que r1 = r2. Así si tomamos u = 0 y p = 0 lasproyecciones van a cero y esto garantiza la unicidad de la solución, es decir, la unicidadde los proyectores. Resaltamos que en adelante se tomará r := r1 = r2.

Para comenzar, denamos el espacio ortogonal

P⊥r (K) :=

q ∈ L2(K) :

∫K

q p = 0, ∀p ∈ Pr

que será de utilidad en las pruebas de esta sección. Además tenemos los siguientes doslemas técnicos.

Lema 3.5. La traza sobre una arista e de K ∈ Th,

γe : P⊥r (K)→ Pr(e)


con γe(q) = q|e es un mapeo biyectivo y además existe C > 0 independiente del tamañode la malla tal que:

‖q‖L2(K) ≤ Ch1/2K ‖q‖L2(e) ∀q ∈ P⊥r (K).

Prueba. La prueba de este lema está directamente relacionada con la dimensión delespacio Pr(K) y se encuentra como anexo en [32].

Lema 3.6. Sea q ∈ P⊥r (K) tal que satisface la ecuación∫∂K

ξ q w = b(w) ∀w ∈ P⊥r (K),

donde b : P⊥r (K) → R es un funcional lineal. Entonces existe C > 0 independiente deltamaño de la malla tal que

‖q‖L2(K) ≤ Chk

ξ‖b‖,

donde

‖b‖ := supw∈P⊥r (K)w 6=0

b(w)

‖w‖L2(K)

,

y ξ = maxξ sobre las aristas de ∂K.

Prueba. La prueba de este lema es consecuencia directa del lema anterior y nuevamentese encuentra como anexo en [32].

Lema 3.7. Sobre cada elemento K ∈ Th la proyección ΠQ(p) satisface

∫K

ΠQ(p) qh =

∫K

p qh ∀qh ∈ Pr−1(K),∫∂K

ξΠQ(p)w =

∫K

div(u)w +

∫∂K

ξ pw ∀w ∈ P⊥r (K).

(3.10)

Prueba. La primera ecuación de (3.10) corresponde a la segunda ecuación de (3.9),y para la segunda ecuación de (3.10) consideremos la tercera ecuación de (3.9) y labiyectividad de la traza:∫

∂K

(ΠV (u) · n + ξΠQ(p))w =

∫∂K

(u · n + ξp)w∫∂K

ξΠQ(p)w =

∫∂K

((u− ΠV (u)) · n + ξp)w


∀w ∈ P⊥r (K). Usando las identidades de Green, las ecuaciones (3.9) y ∇w ∈ Pr−1(K)se cumple∫

∂K

((u− ΠV (u)) · n) w =

∫K

div (u− ΠV (u)) w +

∫K

(u− ΠV (u)) · ∇w

=

∫K

div (u− ΠV (u)) w

=

∫K

div(u)w,

y reemplazando se obtiene el resultado esperado.

Teorema 3.8. Sea r ≥ 0, ξ > 0, (ΠV (u),ΠQ(p)) la única solución de (3.9), p ∈Hr+1(Th) y div(u) ∈ Hr(Th) . Existe C > 0 independiente del tamaño de la malla talque

‖ΠQ(p)− p‖L2(K) ≤ C[hr+1K |p|Hr+1(K) + hr+1

K |div(u)|Hr(K)

],

y por lo tanto:

‖ΠQ(p)− p‖L2(Th) ≤ C[hr+1|p|Hr+1(Th) + hr+1|div(u)|Hr(Th)

].

Prueba. Para cada K ∈ Th denimos el operador lineal y acotado ΠrK : Hr+1(K) →

Pr(K) dado por la proyección ortogonal de L2(K) que satisface ΠrK(q) = q para todo

q ∈ Pr(K). Por la desigualdad triangular tenemos que

‖ΠQ(p)− p‖L2(K) ≤ ‖p− ΠrK(p)‖L2(K) + ‖ΠQ(p)− Πr

K(p)‖L2(K).

Para el primer término, dadas las propiedades de la proyección ortogonal de L2(K) yel Lema 2.9 con s = r, se tiene:

‖(I− ΠrK)(p)‖L2(K) ≤ Chr+1

K |p|Hr+1(K).

Por otra parte, (ΠQ(p)− ΠrK(p)) ∈ P⊥r (K) ya que∫

K

(ΠQ(p)− ΠrK(p)) q =

∫K

p q −∫K

ΠrK(p) q = 0.

Ahora, de la segunda ecuación de (3.10)∫∂K

ξ (ΠQ(p)− ΠrK(p)) w =

∫K

div(u)w +

∫∂K

ξ (p− ΠrK(p)) w

∀w ∈ P⊥r (K). Denotemos

bu(w) :=

∫K

div(u)w,

bp(w) :=

∫∂K

ξ (p− ΠrK(p)) w,


ambos funcionales lineales. Entonces el Lema 3.6 implica que

‖ΠQ(p)− ΠrK(p)‖L2(K) ≤ C

hK

ξ(‖bu‖+ ‖bp‖) ,

así que, usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, dado que Πr−1K (p) ∈ Pr(K) y usando

el Lema 2.9 con s = r − 1,

|bu(w)| ≤ ‖(I− ΠrK)(divu)‖L2(K)‖w‖L2(K)

≤ ChrK |divu|Hr(K)‖w‖L2(K)

‖bu‖ ≤ ChrK |divu|Hr(K).

Por otra parte, usando la desigualdad inversa 2.2, la desigualdad de la traza y el lema2.9

|bp(w)| ≤ ξ‖(I− ΠrK)p‖L2(∂K)‖w‖L2(∂K)

≤ ξ√Cinvh

−1/2K ‖(I− Πr

K)(p)‖L2(∂K)‖w‖L2(K)

≤ ξCh−1K

[‖(I− Πr

K)(p)‖L2(K) + hK |(I− ΠrK)(p)|H1(K)

]‖w‖L2(∂K)

≤ ξCh−1K

[Chr+1

K |p|Hr+1(K) + hr+1K |p|Hr+1(K)

]‖w‖L2(K)

‖bp‖ ≤ ChrK |p|Hr+1(K).

Reemplazando las cotas obtenidas resulta

‖ΠQ(p)− p‖L2(K) ≤ C[hr+1K |p|Hr+1(K) + hr+1

K |div(u)|Hr(K)

].

Por otra parte, para obtener una cota para la proyeccción de la variable vectorial esnecesario introducir un nuevo operador de proyección ΠV (u). Sobre K ∈ Th ΠV (u) esel único elemento de [Pr(K)]2 que satisface∫

K

ΠV (u) · vh =

∫K

u · vh ∀vh ∈ [Pr−1(K)]2,∫∂K

ΠV (u) · nµ =

∫∂K

u · nµ ∀µ ∈ P⊥r (e),

(3.11)

para todo e ∈ ∂K excepto una arista e∗.

El proyector ΠV es introducido en [42] donde se prueba que está bien denido y quecumple

‖(ΠV (u)− u) · n‖L2(K) ≤ C[hr+1K |u|[Hr+1(K)]2 + hr+1

K |p|Hr+1(K)

].

Esta última será la propiedad que usaremos en la prueba del Teorema.


Teorema 3.9. Sean r > 0, ξ > 0, (ΠV (u),ΠQ(p)) la única solución de (3.9), u ∈[Hr+1(Th)]2 y p ∈ Hr+1(Th). Existe C > 0 independiente del tamaño de la malla tal que

‖ΠV (u)− u‖[L2(K)]2 ≤ C[hr+1K |u|[Hr+1(K)]2 + hr+1

K |p|Hr+1(K)

], (3.12)

y por lo tanto

‖ΠV (u)− u‖[L2(Th)]2 ≤ C[hr+1|u|[Hr+1(Th)]2 + hr+1|p|Hr+1(Th)

]. (3.13)

Prueba. Para cada K ∈ Th denotamos por ne los vectores normales a e ∈ ∂K ∩Eh paralas aristas de la frontera de K excepto e∗.

Es claro que para cada e ∈ ∂K ∩ Eh‖ (ΠV (u)− u) · ne‖L2(K) ≤ ‖(ΠV (u)− u) · ne‖L2(K) + ‖(ΠV (u)− ΠV (u)) · ne‖L2(K).

Dadas las propiedades de la proyección ΠV (u) será suciente estimar

‖(ΠV (u)− ΠV (u)) · ne‖L2(K).

De la primera ecuación de (3.9) y (3.11) es claro que (ΠV (u)− ΠV (u)) · ne ∈ P⊥r (K), yrestando la segunda ecuación de (3.11) y la tercera de (3.9) se obtiene∫

e

(ΠV (u)− ΠV (u)) · ne)µ =

∫e

ξ(p− ΠQ(p))µ ∀µ ∈ Pr(e), e 6= e∗.

Por el Lema 3.6

∫∂K

(Ie(ΠV (u)− ΠV (u)) · ne)w = b(w) ∀w ∈ P⊥r (K),

donde Ie es la función característica de e y b(w) :=∫∂ξIe(p− ΠQ(p))w. Entonces

‖(ΠV (u)− ΠV (u)) · ne‖L2(K) ≤ ChK‖b‖.

Para estimar ‖b‖ usamos estrategias similares a las que se usaron en el Teorema 3.8, ladesigualdad de la traza y (3.12).

|b(w)| ≤ Cξh1/2K ‖p− ΠQ(p)‖L2(∂K)‖w‖L2(K),

‖b‖ ≤ ChrK |div(u)|Hr(K) + CξhrK |p|Hr+1(K),

y esto completa la prueba.

Hemos obtenido estimativos de error para los proyectores, tales que si la solución exactadel problema 2.1, (p,u) es sucientemente suave existe C > 0 independiente del tamañode la malla tal que:

‖ΠQ(p)− p‖L2(Th) ≤ Chr+1(‖p‖Hr+1(Th) + ‖u‖[Hr+1(Th)]2

),

‖ΠV (u)− u‖[L2(Th)]2 ≤ Chr+1(‖p‖Hr+1(Th) + ‖u‖[Hr+1(Th)]2

).

(3.14)


3.2. Estimativos de error.

Por último, con el n de estimar el error obtenido al aproximar la solución de (2.1),planteamos el problema local (3.2) en términos de los errores εuh = ΠV u − uh, ε

ph =

ΠQp− ph, y εph = PWp− p, donde ΠV Y ΠQ corresponden a los proyectores en (3.9) yPW es la proyeccción ortogonal L2 sobre el espacio Wh.

Lema 3.10. Los errores (εuh, εph, ε

ph) ∈ Vh ×Qh ×Wh son tales que satisfacen

∫Thκ−1εuh · vh −

∫Thεph divvh +

∫∂Th

(vh · n)εph =

∫Thκ−1 (ΠV u− u) · vh

−∫Thεuh · ∇qh +

∫∂Th

(εh · n) qh = 0

(3.15)

para todo vh ∈ Vh, qh ∈ Qh y µ ∈ Wh, donde

εh · n := εuh · n + ξ(εph − εph) = PW (u · n)− u · n sobre ∂Th. (3.16)

Prueba. La solución discreta (uh, ph) ∈ Vh × Qh satisface el problema (3.4). Usandoidentidades de Green y sumando sobre la triangulación se tiene∫

Thκ−1uh · vh −

∫Thph divvh +

∫∂Th

(vh · n)p = 0,

−∫Thuh · ∇qh +

∫∂Th

uh · n qh =

∫Thf qh,

(3.17)

∀(vh, qh, µ) ∈ Vh ×Qh ×Wh, y análogamente, u, p la solución exacta de (2.1) satisface∫Thκ−1u · vh −

∫Thp divvh +

∫∂Th

(vh · n)p = 0,

−∫Thu · ∇qh +

∫∂Th

u · n qh =

∫Thf qh,

∀(vh, qh, µ) ∈ Vh ×Qh ×Wh.

Por las deniciones de los proyectores (3.9), dado que divvh ∈ Pr−1(K) y por la deni-ción del proyector PW ,∫

Thκ−1u · vh −

∫Th

ΠQp divvh +

∫∂Th

(vh · n)PWp = 0∫Thκ−1ΠV u · vh −

∫Th

ΠQp divvh +

∫∂Th

(vh · n)PWp =

∫Thκ−1 (ΠV u− u) · vh (3.18)


Además, usando la primera y tercera ecuación de (3.9) dado que qh|e ∈ Pr(e) y ∇qh ∈[Pr−1(K)]2, la segunda ecuación de (3.17) implica que

−∫Th

ΠV u · ∇qh +

∫∂Th

(ΠV u · n− ξ(p− ΠQp)) qh =

∫Thf qh. (3.19)

Restando la primera ecuación de (3.17) y (3.18)∫Thκ−1εuh · vh −

∫Thεph divvh +

∫∂Th

(vh · n)εph =

∫Thκ−1 (ΠV u− u) · vh.

De manera similar, restando la segunda ecuación de (3.17) de (3.19) se obtiene

−∫Thεuh · ∇qh +

∫∂Th

(εh · n) qh = 0.

Lema 3.11. Los errores (εuh, εph, ε

ph) ∈ Vh ×Qh ×Wh son tales que satisfacen

∫Thκ−1(εuh)2 +

∫∂Th

ξ(εph − εph)

2 =

∫Thκ−1(ΠV u− u) · εuh . (3.20)

Prueba. Tomando vh = εuh , qh = εph y µ = −εph · n y sumando las ecuaciones en (3.15)∫Thκ−1(εuh)2 −

∫Thεphdivεuh +

∫∂Th

εph(εu

h · n)

−∫Thεuh · ∇(εph) +

∫∂Th

(εh · n)εph =

∫Thκ−1(ΠV u− u) · εuh−

Usando la identidad de Green obtenemos∫Thκ−1(εuh)2 −

∫∂Th

(εuh · n)(εph − εph) +

∫∂Th

(εh · n)εph =

∫Thκ−1(ΠV u− u) · εuh . (3.21)

Por otra parte, dada la denición de εh ·n, tenemos ∀µ ∈ Pr(e) con e sobre el esqueleto∫∂Th

(εh · n)µ =

∫∂Th

(εuh · n + ξ(εph − ε

ph))µ

=

∫∂Th

(ΠV u · n + ξ(ΠQp))µ+

∫∂Th

(uh · n + ξ(p− ph − PWp))µ.

Usando la tercera ecuación de (3.9) y la denición de PW∫∂Th

(εh · n)µ =

∫∂Th

((u− uh) · n + ξ(p+ ph − p+ p))µ.


Luego, por la condición (3.3)∫∂Th

(εh · n)µ =

∫∂Th

(u− uh) · n− (u · n− uh · n)µ =

∫∂Th

(u · n− u · n)µ.

Usando la denición de la proyeccción PW∫∂Th

(εh · n)µ =

∫∂Th

(PW (u · n)− u · n)µ = 0, (3.22)

lo que prueba además la equivalencia en (3.16).

Tomando µ = εph en (3.22) y restándola al resultado (3.21), al considerar la denición(3.16) tenemos∫Thκ−1(εuh)2 −

∫∂Th


∫∂Th

(εh · n)εph −∫∂Th

(εh · n)εph =

∫Thκ−1(ΠV u− u) · εuh∫

Thκ−1(εuh)2 −

∫∂Th


∫∂Th

(εh · n)(εph − εph) =

∫Thκ−1(ΠV u− u) · εuh∫

Thκ−1(εuh)2 +

∫∂Th

ξ(εph − εph)

2 =

∫Thκ−1(ΠV u− u) · εuh

Por último, con el n de encontrar un estimativo de error para la incógnita escalar delproblema (2.1) usamos un argumento similar al usado en el capítulo anterior.

Considere el problema auxiliar: Encontrar (σ, z) ∈ H(div,Ω)×H1m(Ω) la única solución

de problema de fronteraκ−1σ = ∇z en Ω,

div σ = Θ en Ω,

σ · n = 0 en Γ,

(3.23)

con Θ ∈ L2(Ω). Dado que Ω es un dominio convexo y f ∈ L2(Ω) entonces z ∈ H2(Ω) yademás

‖z‖H2(Ω) ≤ Creg‖Θ‖L2(Ω),

donde Creg > 0 es una constante independiente del tamaño de la malla, p y ph.

Lema 3.12. Para cualquier z ∈ Qh, (ΠV (u),ΠQ(p)) la única solución de (3.9), u ∈[Hr+1(Th)]2 y p ∈ Hr+1(Th) se tiene∫

Thεph Θ =

∫Thκ−1(u− uh) · (ΠVσ − σ) +

∫Th

(u− ΠV u) · (∇z −∇zh)

y por lo tanto

‖εph‖L2(Th) ≤ C

supΘ∈L2(Ω)

Θ6=0

‖ΠV σ − σ‖[L2(Th)]2

‖Θ‖L2(Th)+ sup

Θ∈L2(Ω)Θ6=0

ınfzh∈Qh

‖∇z −∇zh‖[L2(Th)]2

‖Θ‖L2(Th)

‖ΠV u−u‖[L2(Th)]2


Prueba. Dado el problema auxiliar (3.23), usando identidades de green y la denicónde los proyectores (3.9) es claro que∫

Thεph Θ =

∫Thεph divσ

=

∫Thεph div(ΠVσ) +

∫∂Th

εph ξ(ΠQz − z).

Despejando el término∫Thεph div(ΠVσ) de (3.15), obtenemos∫

Thεph Θ =

∫Thκ−1εuh · ΠVσ +

∫∂Th

(ΠVσ · n)εph −∫Thκ−1 (ΠV u− u) · ΠVσ +

∫∂Th

εph ξ(ΠQz − z)

=

∫Thκ−1 (u− uh) · ΠVσ +

∫∂Th

εph(ΠVσ · n) +

∫∂Th


Además, dado que∫∂Th

εph(σ · n) = 0 por la continuidad de σ y la tercera ecuación delproblema auxiliar (3.23)∫

Thεph Θ =


∫∂Th

εph(ΠVσ − σ) · n +

∫∂Th


Usando la tercera ecuación de los proyectores si tenemos en cuenta que εph ∈ Pr(e) yademás por la denición de PW∫Thεph Θ =


∫∂Th

ξ(εph − εph) (ΠQz − z)

=


∫∂Th

ξ(εph − εph) (ΠQz)−

∫∂Th

ξ(εph − εph) (PW z).

Además de la denición de εh · n que corresponde a la ecuación (3.16), y usando elresultado (3.22), la denición de los proyectores ΠQ y PW y usando la identidad deGreen en la segunda ecuación de (3.15) obtenemos∫

Thεph Θ =


∫∂Th


∫∂Th

εuh · n (PW z)

=


∫∂Th


∫∂Th

(εuh · n) z

=


∫Th

divεuh (ΠQz)−∫∂Th

(εuh · n) z

=


∫Thz divεuh −

∫∂Th

(εuh · n) z

=

∫Thκ−1 (u− uh) · ΠVσ −

∫Thεuh · ∇z.


Al sumar y restar el término∫Thκ−1 (u− uh) · σ obtenemos∫

Thεph Θ =

∫Thκ−1 (u− uh) · (ΠVσ − σ) +

∫Thκ−1 (u− uh) · σ −

∫Th

(ΠV u− uh) · ∇z

=

∫Thκ−1 (u− uh) · (ΠVσ − σ) +

∫Th

(u− ΠV u) · ∇z.

Por último, para todo zh ∈ Qh entonces ∇zh ∈ [Pr−1]2 y usando la primera ecuación de(3.9) ∫

Th(u− ΠV u) · ∇zh = 0,

y restando estos resultados se obtiene∫Thεph Θ =

∫Thκ−1 (u− uh) · (ΠVσ − σ) +

∫Th

(u− ΠV u) · (∇z −∇zh).

Ahora bien, el estimativo esperado es la aplicación directa de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la igualdad anterior.

El lema anterior permite encontrar mejores órdenes de convergencia sin necesidad deaumentar la regularidad requerida para la solución del problema (2.1).

Teorema 3.13. Suponga que f ∈ L2(Ω), (ΠV (u),ΠQ(p)) la única solución de (3.9),u ∈ [Hr+1(Th)]2 y p ∈ Hr+1(Th), entonces

‖ΠQp− ph‖L2(Th) ≤ CCh‖ΠV u− u‖[L2(Th)]2 . (3.24)

donde Ch := (Creg max 1, h).

Prueba. Teniendo en cuenta el estimativo (3.13) con r = 0 para el problema auxiliar

‖ΠV (σ)− σ‖[L2(Th)]2 ≤ Ch[‖σ‖[H1(Th)]2 + ‖z‖H1(Th)

].

Por la regularidad de z y además tomando ∇zh = 0 en el resultado del lema anteriorpor propiedades del ínmo

‖εph‖L2(Th) ≤ C

supΘ∈L2(Ω)

Θ 6=0

‖σ‖[H1(Th)]2 + ‖z‖H1(Th)

‖Θ‖L2(Th)

‖ΠV u− u‖[L2(Th)]2

≤ C Ch‖ΠV u− u‖[L2(Th)]2 , (3.25)

donde Ch := (Creg max 1, h).


Teorema 3.14. Si (u, p) ∈ [Hr+1(Th)]2 ×Hr+1(Th) y h ≤ 1 entonces existe una cons-tante C > 0 independiente del tamaño de la malla, tal que

‖p− ph‖L2(Th) ≤ Chr+1(‖p‖Hr+1(Th) + ‖u‖[Hr+1(Th)]2

),

‖u− uh‖[L2(Th)]2 ≤ Chr+1(‖p‖Hr+1(Th) + ‖u‖[Hr+1(Th)]2

).

Prueba. Usando la desigualdad triangular y los resultados (3.24) (3.20) y (3.14)

‖ΠQp− ph‖L2(Th) ≤ C‖ΠV u− u‖[L2(Th)]2 .

Entonces‖p− ph‖L2(Th) ≤ ‖ΠQp− p‖L2(Th) + ‖ΠQp− ph‖L2(Th)

≤ Chr+1(‖p‖Hr+1(Th) + ‖u‖[Hr+1(Th)]2

),

nuevamente usando la desigualdad triangular (3.25) y (3.14) concluimos que

‖ΠV u− uh‖[L2(Th)]2 ≤ C‖ΠV u− u‖[L2(Th)]2

y‖u− uh‖[L2(Th)]2 ≤ ‖ΠV u− uh‖[L2(Th)]2 + ‖ΠV u− u‖[L2(Th)]2

≤ Chr+1(‖p‖Hr+1(Th) + ‖u‖[Hr+1(Th)]2

).

Estos estimativos de error se expondrán de manera experimental en los resultados nu-méricos.

4. Implementación

En esta sección se presentan los aspectos básicos de la implementación del método HDGpropuesto para solucionar la ecuación de Darcy.

Inicialmente en cada tríangulo K ∈ Th y en cada e ∈ Eh se toman las bases de losespacios de aproximación Vh, Qh y Wh como sigue

Pr1(K) = 〈ψjdim1j=1 〉, [Pr2(K)]2 = 〈ϕjdim2

j=1 〉 y Pr1(e) = 〈φjdim1−1j=1 〉.

Entonces podemos escribir las incógnitas como combinaciones lineales de los elementosde las bases:

ph∣∣K

=dim1∑i=1

ai,Kψi , uh∣∣K

=dim2∑i=1

bi,Kϕi y p∣∣e

=dim1−1∑i=1

ci,eφi. (3.26)


Reemplazando las combinaciones lineales (3.26) en los local solvers (3.5) y tomando lasfunciones vh = ϕj para j = 1, ..., dim2

dim2∑i=1

bi,K

∫K

κ−1ϕi ·ϕj −dim1∑i=1

ai,K

∫K

ψi divϕj = −∑e∈∂K

dim1−1∑i=1

ci,e

∫e

(ϕj · n)φi,

y qh = ψj para j = 1, ..., dim1

dim2∑i=1

bi,K

∫K

ψj divϕi +∑e∈∂K

dim1∑i=1

ai,K

∫e

ξ ψj ψi =∑e∈∂K

dim1−1∑i=1

ci,e

∫e

ξ φi ψj +

∫K

f ψj.

Entonces si se denotan AK , BK , CK , DK ,EK y FK las matrices locales cuyas entradasson:

AKij :=

∫K

κ−1ϕi ·ϕj, BKij := −

∫K

ψi divϕj,

CKij :=

∫e

ξ ψi ψj, DKij :=

∫e

(ϕj · n)φi,

EKij :=

∫e

ξ φi ψj, FKj :=

∫K

f ψj,

el problema se escribe en forma matricial así: AK BK

BKT

CK

[uh]

[ph]

=

−DK

EK

[p] +

0

FK

MK

[uh]

[ph]

=

−DK

EK

[p] +

0

FK

,(3.27)

donde [uh] serán los grados de libertad (bi con i = 1, ..., dim2) asociados a la incógnitavectorial uh , [ph] serán los grados de libertad (ai con i = 1, ..., dim1) asociados a laincógnita escalar ph y por último [p] son los grados de libertad (ci con i = 1, ..., dim1−1)asociados al ujo p.

Luego, para imponer la continuidad de la traza normal, descrita antes se expresannuevamente las incógnitas como combinaciones lineales de la base de los espacios deaproximación antes mencionados, entonces para φj con j = 1, ..., dim1− 1∫

∂K

(uh · n + ξ(ph − p))φj =∑e∈∂K

dim2∑i=1

bi,K

∫e

(ϕi · n)φj +∑e∈∂K

dim1∑i=1

ai,K

∫e

ξ ψi φj −

∑e∈∂K

dim1−1∑i=1

ci,K

∫e

ξ φi φj,


es decir,

∫∂K

(u · nK)φj =

DK

EK

T [uh]

[ph]

−RK [p],

donde RK es la matriz local con entradas

RKij :=

∫e

ξ φi φj.

Si se considera la solución de los problemas locales (3.27)

∫∂K

(u · nK)φj =

DK

EK

T MK−1

−DK

EK

[p] + MK−1

0

FK

−RK [p]

=

DK

EK

T MK−1

−DK

EK

−RK

[p] +

DK

EK

T MK−1

0

FK

= XK [p] + YK .

Sumando sobre todo K ∈ Th∫Eh

(g IEΓ · n)φj =∑K∈Th

XK [p] + YK

H[p] = GN + K,

(3.28)

donde GN es la matriz que contiene en las posiciones de la frontera el valor asociado ag y ceros en las demás, H es el ensamble de las matrices locales XK y K el ensamblede las YK .

Al solucionar el sistema (3.28) se obtiene la aproximación a los valores del ujo p entodo el esqueleto y luego es posible solucionar cada uno de los sistemas locales (3.27).Es claro que el sistema global (3.28) tiene ((dim1 − 1) ∗ nLados) incógnitas y luegocada sistema local corresponde a (dim1 + dim2) grados de libertad.

Hasta ahora, el método HDG escrito de forma matricial no tiene solución única ya queno se ha impuesto la condición de que la solución ph en todo el dominio pertenezca al es-pacio L2

0(Ω). En este caso, resulta conveniente imponer la presión usando un argumentodiferente. Es claro que el espacio L2

0(Ω) es equivalente al espacio L2(Ω)/R que contienesolo las funciones en L2(Ω) excepto las constantes, es decir, si se usa este espacio seeliminan todas las posibilidades escalares de la solución de la presión. Entonces en laimplementación será suciente imponer la presión a su solución exacta (si es conocida)en un punto [25], esto será posible si se impone el ujo de la presión en un punto de lafrontera donde coinciden los valores de ph y p.


5. Resultados Numéricos

En esta sección se presentan los resultados numéricos del método HDG amplicado alos ejemplos de la ecuación de Darcy propuestos en el capítulo anterior. Además secomentan los resultados en términos del error y la convergencia de cada una de lasnormas de los errores numéricos.

5.1. Ejemplo 1

Sea Ω := [0, 1]2, el término fuente denido como sigue.

f(x, y) := −κ

(2

(2π

L

)2

sin

(2πy

L

)sin

(2πx

L

))

y en Γ := ∂Ω la función g obtenida al operar la componente normal en la frontera deΩ con la solución exacta del campo de la presión p = sin

(2πxL

)sin(

2πyL

), donde L = 1.

Además se toma como caso de prueba la constante de permeabilidad constante en todoel dominio κ = 1.

En las guras 3.1 y 3.2 se muestra la solución aproximada de la presión, en una mallaintermedia obtenida con el método HDG propuesto antes, y para los espacios de apro-ximación P1(K) − [P0(K)]2 - P1(K) − [P1(K)]2 respectivamente, ambos con ξ = 1. Esevidente que ambas soluciones se aproximan correctamete a la solución exacta, aunqueson evidentes las discontinuidades propias del método DG que se expuso antes.


0

0.5

1

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

Figura 3.1: Solución aproximada ph (Izq.) vs Solución exacta p (Der.)Método HDG (P1(K)− [P0(K)]2).Malla 1152 elementos y h = 0,0586.

0

0.5

1

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1



0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Aprox. Solucion ux

0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Aprox. Solucion uy

00.5

1

00.5

1−10

0

10

Solucion Exacta ux

0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Solucion Exacta uy

Figura 3.3: Solución aproximada uh (Izq.) vs Solución exacta u (Der.)Método HDG (P1(K)− [P0(K)]2).

0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Aprox. Solucion ux

0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Aprox. Solucion uy

00.5

1

00.5

1−10

0

10

Solucion Exacta ux

0

0.5

1

00.5

1−10

0

10

Solucion Exacta uy

Figura 3.4: Solución aproximada uh (Izq.) vs Solución exacta u (Der.)Método HDG (P1(K)− [P1(K)]2)


Por otra parte, en las guras 3.3 y 3.4 se muestra la solución del mismo método enambos espacios de la velocidad uh comparada con cada componente de la soluciónexacta u. En estas guras es evidente la diferencia en los espacios de aproximación. Enla gura 3.3 es claro en cada componente que la solución es constante a trozos y aúnasí la forma de la solución evidencia el mismo comportamiento de la solución exacta.Por otra parte, cuando la aproximación es [P1(K)]2, la solución aproximada parce sermás suave y también reeja el comportamiento general de ambas cmponentes de lavelocidad.


‖p‖L2(Ω)

‖p−ph‖H1(Ω)

‖p‖H1(Ω)

8 0.70711 32 9.3171 1.3817

18 0.4714 66 6.7572 1.0054

32 0.35355 112 7.6592 1.002

50 0.28284 170 7.8437 0.9762

72 0.2357 240 7.5192 0.91613

98 0.20203 322 7.0192 0.84598

128 0.17678 416 6.4929 0.77764

162 0.15713 522 5.9963 0.71529

200 0.14142 640 5.5464 0.65985

288 0.11785 912 4.7903 0.56801

392 0.10102 1232 4.1957 0.49658

512 0.088388 1600 3.7233 0.44016

648 0.078567 2016 3.3418 0.39476

800 0.070711 2480 3.0286 0.35757

1152 0.058926 3552 2.5467 0.30048

2048 0.044194 6272 1.9272 0.22726

Tabla 3.1: Errores de la solución aproximada phMétodo HDG (P1(K)− [P0(K)]2)

En la tabla 3.1 se presentan las normas del error en los espacios de la solución delproblema (2.8) cuando se usa en método HDG con espacios de aproximación P1(K)−[P0(K)]2 en cada K ∈ Th. Análogamente la tabla 3.2 corresponde a las normas del errorcuando se usa en método HDG con espacios de aproximación P1(K)− [P1(K)]2 en cada


K ∈ Th.

Es claro que para p, u y p los errores son menores cuando el espacio de polinomios quese usa en la aproximación es mayor, es decir, cuando se usa el método método HDG conespacios de aproximación P1(K)− [P1(K)]2 en cada K ∈ Th. Este resultado es esperado,se evidenciaba en las grácas de la solución y además con las tablas de error presentadasantes también se conrma a mayor número de elementos o equivalentemente, a menortamaño de la malla el error disminuye. Esto da pie para comprobar expirementalmentela convergencia de cada uno de los errores y genera la tabla 3.3.


‖p‖L2(Ω)

‖p−ph‖H1(Ω)

‖p‖H1(Ω)

8 0.70711 32 2.7975 0.86635

18 0.4714 66 1.0718 0.45941

32 0.35355 112 0.64998 0.25602

50 0.28284 170 0.43672 0.16165

72 0.2357 240 0.3124 0.11101

98 0.20203 322 0.23406 0.080865

128 0.17678 416 0.18172 0.061519

162 0.15713 522 0.14508 0.048373

200 0.14142 640 0.11846 0.039037

288 0.11785 912 0.083225 0.026967

392 0.10102 1232 0.061633 0.019745

512 0.088388 1600 0.04746 0.015082

648 0.078567 2016 0.037663 0.011896

800 0.070711 2480 0.030612 0.0096237

1152 0.058926 3552 0.021365 0.0066716

2048 0.044194 6272 0.01209 0.0037458



P1(K)− [P0(K)]2 P1(K)− [P1(K)]2


0.79227 0.78412 2.366 1.5645

-0.43555 0.011614 1.7387 2.0323

-0.10665 0.11711 1.782 2.0606

0.23177 0.34835 1.8375 2.0616

0.44636 0.51676 1.8727 2.0552

0.58363 0.6308 1.8957 2.0478

0.67565 0.70956 1.9118 2.041

0.74015 0.76574 1.9237 2.0353

0.80388 0.82202 1.9364 2.0287

0.85965 0.8718 1.9485 2.0222

0.89453 0.9032 1.9568 2.0177

0.91784 0.9243 1.9629 2.0144

0.93421 0.93917 1.9676 2.012

0.95046 0.95398 1.9726 2.0095

0.96891 0.97088 1.9791 2.0065

Tabla 3.3: Convergencia del error. Método HDG

1.5 2 2.5 3−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Log(1/h)

Log(

Err

or)

‖p − ph‖L2(Ω)

‖p − ph‖H1(Ω)

Figura 3.5: Convergencia del Error. Método HDG (P1(K)− [P0(K)]2).


1.5 2 2.5 3−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

Log(1/h)

Log(

Err

or)

‖p − ph‖L2(Ω)

‖p − ph‖H1(Ω)


La tabla 3.3 corresponde experimentalmente a la convergencia del error calculados comoen (2.25) y que rearman los resultados obtenidos en el análisis de error que se presentóantes.

Las guras 3.5 y 3.6 (la primera considera los errores relativos por efectos de visuali-zación de los datos) presentan grácamente los resultados de los errores que ya se hancomentado antes. La escala logarítmica es estratégicamente elegida para expresar elcomportamiento del error que disminuye conforme disminuye el tamaño de la malla.

5.2. Ejemplo 2

Sea Ω := [−1, 1]2, f := 0 y en Γ := ∂Ω la función g obtenida al operar la componentenormal en la frontera de Ω de la solución exacta del campo de la presión p = 60x2y−20y3

con permeabilidad constante en todo el dominio κ = 1. (Ejemplo propuesto en [22])


−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−40

−20

0

20

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−40

−20

0

20

40


−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−20

0

20

40

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−40

−20

0

20

40



En las guras 3.7 y 3.8 se muestra la solución aproximada de la presión en una mallaintermedia obtenida con el método HDG propuesto antes, y para los espacios de aproxi-mación P1(K)− [P0(K)]2 - P1(K)− [P1(K)]2 respectivamente, ambos con el parámetroξ = 1. Es evidente que ambas soluciones se aproximan correctamete a la solución exac-ta, aunque son evidentes las discontinuidades propias del método DG que se expusoantes. Ahora bien, es claro que cuando los espacios de aproximación a la solución sonP1(K)− [P1(K)]2, la aproximación parece ser más el que el el caso de aproximacionesvectoriales en el espacio [P0(K)]2. Este resultado se esperaba dado que a mayor gradode aproximación más suavidad y regularidad se presenta en los resultados.

−1

0

1

−10

1−200

0

200

Solucion uhx

−1

0

1

−10

1−100

0

100

Solucion uhy

−10

1

−10

1−200

0

200

Solucion Exacta ux

−1

0

1

−10

1−100

0

100

Solucion Exacta uy


Por otra parte, en las guras 3.9 y 3.10 se muestra la solución del mismo método enambos espacios de la velocidad uh comparada con cada componente de la soluciónexacta u. En las grácas de la solución de este ejemplo no se muestran las líneas de lamalla ya que se ha elegido una malla muy renada y las discontinuidades en la soluciónaproximada se hacen difíciles de percibir de otra manera. Aún así, se nota ampliamentela aproximación constante a tramos de uh con el método [P0(K)]2. Por otra parte,cuando la aproximación es [P1(K)]2 la solución aproximada parece ser más suave ytambién reeja el comportamiento general de ambas componentes de la velocidad.


−1

0

1

−10

1−200

0

200

Aprox. Solución dux

−1

0

1

−10

1−100

0

100

Aprox. Solución duy

−10

1

−10

1−200

0

200

Solucion Exacta ux

−1

0

1

−10

1−100

0

100

Solucion Exacta uy


Es importante resaltar que tanto en este ejemplo como en el anterior, no se usó latécnica de condensación estática para jar la unicidad de la solución de la presión, sinoque se jó la presión en un punto de la malla.

En la tabla 3.5 se presentan las normas del error en los espacios de la solución delproblema (2.8) cuando se usa en método HDG con espacios de aproximación P1(K)−[P0(K)]2 en cada K ∈ Th. Análogamente, la tabla 3.5 corresponde a las normas delerror cuando se usa en método HDG con espacios de aproximación P1(K) − [P1(K)]2

en cada K ∈ Th.

Las tablas 3.4 - 3.6 corresponden a los resultados de los errores experimentales de ph, uhy p y la convergencia del error calculados como en (2.25). Por último las guras 3.11 y3.12 presentan grácamente los resultados de los errores para este ejemplo. Nuevamentela escala logarítmica es estratégicamente elegida para expresar el comportamiento delerror que disminuye conforme disminuye el tamaño de la malla.



‖p‖L2(Ω)

‖p−ph‖H1(Ω)

‖p‖H1(Ω)

32 0.70711 112 2.4065 0.72571

72 0.4714 240 1.9534 0.56006

128 0.35355 416 1.6004 0.45029

200 0.28284 640 1.3458 0.37502

288 0.2357 912 1.1578 0.32078

392 0.20203 1232 1.0145 0.28001

512 0.17678 1600 0.90214 0.24831

648 0.15713 2016 0.81178 0.223

800 0.14142 2480 0.73766 0.20232

1152 0.11785 3552 0.62342 0.17062

1568 0.10102 4816 0.53961 0.14746

2048 0.088388 6272 0.47554 0.12981


P1(K)− [P0(K)]2 P1(K)− [P1(K)]2


0.51449 0.63907 2.0547 2.0078

0.69283 0.7583 2.0619 2.0155

0.77648 0.81967 2.0599 2.0168

0.82515 0.8569 2.0562 2.0166

0.85698 0.88182 2.0524 2.0158

0.87939 0.89965 2.0488 2.015

0.896 0.91301 2.0457 2.0141

0.90879 0.92337 2.0428 2.0134

0.92284 0.93486 2.0393 2.0124

0.93668 0.94626 2.0353 2.0112

0.94652 0.95442 2.032 2.0102

Tabla 3.6: Convergencia del error. Método HDG



‖p‖L2(Ω)

‖p−ph‖H1(Ω)

‖p‖H1(Ω)

32 0.70711 112 0.30486 0.10269

72 0.4714 240 0.13252 0.045495

128 0.35355 416 0.073227 0.025477

200 0.28284 640 0.046243 0.016244

288 0.2357 912 0.031786 0.011247

392 0.20203 1232 0.023165 0.0082428

512 0.17678 1600 0.01762 0.0062983

648 0.15713 2016 0.013848 0.0049681

800 0.14142 2480 0.011166 0.0040185

1152 0.11785 3552 0.0076988 0.0027844

1568 0.10102 4816 0.0056256 0.0020421

2048 0.088388 6272 0.0042887 0.0015614


1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

Log(1/h)

Log(

Err

or)

‖p − ph‖L2(Ω)

‖p − ph‖H1(Ω)



1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4−6.5

−6

−5.5

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

Log(1/h)

Log(

Err

or)

‖p − ph‖L2(Ω)

‖p − ph‖H1(Ω)


Conclusiones y Trabajo futuro

Este trabajo deja en evidencia algunas características generales de los métodos DG yademás, permite concluir algunas de las ventajas de usar el método HDG para solucionarla ecuación de Darcy. Es claro que las ventajas de los métodos DG están asociadas a lascaracterísticas del medio. Los preliminares de este trabajo, donde se aplican los métodosDG al problema clásico del Laplaciano, resultaron una guía muy útil para describir eimplementar los métodos LDG y HDG. Los resultados de convergencia del error de lasolución en ambos métodos fueron los esperados, aclarando que en el ejemplo no convexolos resultados varían y los argumentos que se deben usar están fuera del alcance deesta tesis; no obstante, este es un ejemplo clásico y demuestra bien el comportamientodecreciente del error al renar las mallas.

Al plantear las formulaciones LDG y HDG para solucionar la ecuación de Darcy seencontraron similitudes prácticas con el problema inicial del Laplaciano y esto permitiólograr niveles de detalle mayores en la implementación de los métodos y en la descripciónde sus características teóricas. Es importante resaltar que, imponer las condiciones sobrelos espacios de aproximación que se usaron, tanto en LDG como en HDG para aproximarla solución de Darcy, es la parte fundamental, más diferenciadora y novedosa tanto delos resultados teóricos como de las implementaciones de los métodos. Además, dadaslas características computacionales de ambos, las restricciones sobre los espacios deaproximación se impusieron de dos formas diferentes.

Con el n de evidenciar el comportamiento decreciente de los errores de cada uno de losmétodos DG propuestos, se expusieron totalmente las tablas de convergencia del erroren la solución de la ecuación de Darcy. Para el caso del Laplaciano esto no fue necesario(pues solo se hizo a manera de introducción) y se expuso solo la naturaleza decrecientedel error. En términos de la tasa de convergencia del error, que es el indicador másrelevante de la calidad de las aproximaciones de la solución real, es importante resaltarque en el método LDG las normas L2(Ω) y H1(Ω) convergen a velocidades diferentes,y este es un comportamiento usual en los métodos numéricos. En cambio, en el métodoHDG las normas L2(Ω) y H1(Ω) del error convergen a la misma tasa.

93


Por otra parte, son evidentes las ventajas computacionales del método HDG sobre elmétodo LDG. Los grados de libertad para las mismas geometrías (para ambos ejemplos)disminuyen de manera sustancial cuando se utiliza el método híbrido y aunque no esel fuerte de este trabajo, es posible concluir que este método genera aproximaciones debuena calidad con menor costo computacional.

Por último, este trabajo abre las puertas para profundizar en algunos temas técnicosy teóricos relacionados con DG y con la ecuación de Darcy. Cambios de medio o deporosidades sobre el dominio para la ecuación de Darcy, espacios de aproximaciones condistintas bases (Dubiner o Raviart-Thomas), los casos no convexos (desde el punto devista teórico), la extensión de estos resultados a dominios en R3 y la solución numéricade otras ecuaciones de mecánica de uidos, son algunos de los ejemplos de casos que sepropone explorar en trabajos futuros.

Anexo AEspacios de Hilbert y el Teorema de

Lax-Milgram

En este anexo se nombran algunos espacios, propiedades, teoremas y demás resultadosque son necesarios en el desarrollo de los aspectos matemáticos de este trabajo.

Dado Ω ⊂ Rn abierto

L2(Ω) :=

v : Ω→ R medible :

∫Ω

|v|2 <∞

se dota al espacio L2(Ω) con la norma inducida por el producto interior 〈u, v〉L2(Ω) :=∫Ωu v, dada por

‖v‖L2(Ω) :=

(∫Ω

|v|2)1/2

.

Se tiene que (L2(Ω), ‖ · ‖L2(Ω)) es espacio de Hilbert.

El espacio de Sobolev de orden 1 dado por

H1(Ω) :=

v ∈ L2(Ω) :

∂v

∂xi∈ L2(Ω) i = 1, 2...n

donde ∂v

∂xi∈ L2(Ω) es la derivada de v en el sentido de las distribuciones, lo que signica

que existe zi ∈ L2(Ω) tal que:

−∫

Ω

v∂ψ

∂xi=

∫Ω

ziψ ∀ψ ∈ C∞0 (Ω).

El espacio H1(Ω) dotado con la norma

‖v‖H1(Ω) :=|v|2H1(Ω) + ‖v‖2

L2(Ω)

1/2

95

96 ANEXO A. ESPACIOS DE HILBERT Y EL TEOREMA DE LAX-MILGRAM

donde la seminorma corresponde a

|v|H1(Ω) := ‖∇v‖L2(Ω).

es también espacio de Hilbert.

El espacio de Sobolev de orden 2 dado por

H2(Ω) :=v ∈ L2(Ω) : Dαv ∈ L2(Ω) ∀α ∈ Nn : |α| ≤ 2

donde Dαv ∈ L2(Ω) es la notación multi-índice para las derivadas parciales en el sentidode las distribuciones y fácilmente se prueba que H2(Ω) es un espacio de Hilbert dotadocon la norma

‖v‖H2(Ω) :=

∑|α|≤2

‖Dαv‖2L2(Ω)

1/2

.

Otro espacio escencial en el desarrollo de este trabajo es el espacio

H(div,Ω) :=v ∈ [L2(Ω)]n : div v ∈ L2(Ω)

donde div v ∈ L2(Ω) es la divergencia en el sentido de la distribuciones, lo que signicaque existe z ∈ L2(Ω) tal que:

−∫

Ω

∇ψ · v =

∫Ω

zψ ∀ψ ∈ C∞0 (Ω).

El espacio H(div,Ω) dotado con el producto interno denido por

〈u,v〉div,Ω =

∫Ω

u · v + divu div v ∀u,v ∈ H(div,Ω)

y la norma inducida ‖ · ‖H(div,Ω) es espacio de Hilbert.

Estos y otros resultados fundamentales del análisis funcional son claros en [43] y de lamisma forma se enuncia el Teorema de Lax-Milgram que es la herramienta fundamentalpara demostrar la existencia y unicidad de las formulaciones primales, la versión másconocida de éste se expone acontinuación.

Teorema A.1 (Lax-Milgram). Sean (H, 〈·, ·〉) un espacio de Hilbert real y B : H ×H → R una forma bilineal, acotada y H-elíptica con constantes M y α respectivamente,es decir,

|B(u, v)| ≤M‖u‖H‖v‖H ∀u, v ∈ H,

B(u, u) ≥ α‖u‖H ∀u ∈ H.

Entonces para cada F ∈ H ′ existe un único u ∈ H tal que:

97

B(u, v) = F (v) ∀v ∈ Hy además

‖u‖H ≤M

α‖F‖H′ .

Para demostrar la propiedad de H-elipticidad ocasionalmente es necesario usar la si-guiente desigualdad.

Teorema A.2 (Desigualdad de Poincaré Generalizada). Sea Ω ∈ Rn abierto y Funa familia nita de funcionales lineales y continuos sobre Hm(Ω) para algún m ∈ N.Supongamos que se cumple: si v ∈ Pm−1(Ω) y F (v) = 0, ∀F ∈ F implica v = 0, entoncesla aplicación

9 · 9 : Hm(Ω)→ R

v → 9v9 :=

(|v|2Hm(Ω) +

∑F∈F

|F (v)|2)1/2

dene una norma en Hm(Ω) equivalente a ‖ · ‖Hm(Ω).

Una de las aplicaciones directas del Teorema de Lax-Milgram es la existencia única dela solución del siguiente problema auxiliar:

Encontrar z, la única solución de problema de frontera

−∆z = v en Ω,

∂z

∂n= 0 en Γ,

(A.1)

con v ∈ L2(Ω) y Ω es un dominio convexo y acotado con frontera poligonal Γ.

La formulación variacional del problema (A.1) es:

Encontrar z ∈ H1m(Ω) tal que

A(z, w) = F (w) ∀w ∈ H1(Ω) (A.2)

donde la forma bilineal A : H1m(Ω)×H1

m(Ω)→ R denida por A(z, w) :=∫

Ω∇z ·∇w es

acotada y coerciva (usando la desigualdad de Poincaré generalizada) y el funcional F :H1m(Ω)→ R denido por F (w) :=

∫Ωvw, es lineal y acotada. Entonces por Lax-Milgram

existe una única solución z ∈ H1m(Ω) del problema (A.2) que además se satisface que

‖z‖H1(Ω) ≤ C‖v‖L2(Ω)

donde C > 0 depende únicamente de las cotas de continuidad y coercividad de A.Además si Ω es un dominio acotado y simplemente conexo, el mapeo z → ∇z es unisomorsmo y se cumple: z ∈ H2(Ω) y existe Creg > 0 tal que

‖z‖H2(Ω) ≤ Creg‖v‖L2(Ω),

ver Teorema 1.8 en [44].

Anexo BDesigualdad de la traza e Identidades de

Green

Uno de los teoremas más utiles para obtener los resultados de existencia y unicidad dela solución y el análisis de error que se expusieron en este trabajo es la Desigualdad dela traza en H1(Ω) (ver [41] [Capítulo 1 - Teorema 1.4]).

Teorema B.1 (Desigualdad de la traza). Sea Ω un dominio acotado de Rn confrontera Lipschitz continua Γ y sea γ0 : C∞0 (Ω)→ L2(Γ) el mapeo denido así

γ0(ψ) := ψ∣∣Γ

∀ψ ∈ C∞0 (Ω).

Entonces existe Ctr > 0 tal que

‖γ0(ψ)‖L2(Γ) ≤ Ctr‖ψ‖H1(Ω) ∀ψ ∈ C∞0 (Ω).

Resaltamos que H1(Ω) = C∞0 (Ω)‖·‖H1(Ω) entonces el operador γ0(ψ) se extiende de

manera natural a H1(Ω), es decir, γ0 : H1(Ω)→ L2(Γ) satisface

‖γ0(ψ)‖L2(Γ) ≤ Ctr‖ψ‖H1(Ω) ∀ψ ∈ H1(Ω).

Note que si v es un polinomio, dada las ventajas proporcionadas por la equivalencia denormas en espacios de dimensión nita la desigualdad anterior se puede escribir comosigue:

‖v‖L2(∂K) ≤ Ctr‖v‖L2(K)

para todo K ∈ Th (ver preliminares - [8]).

Además, las fórmulas de integración por partes y las identidades de Green particular-mente en H(div,Ω) son muy útiles en el momento de escribir las formulaciones débilesde cada uno de los problemas mixtos que se plantean.

98

99

Teorema B.2 (Integración por partes). Sea Ω un dominio acotado de Rn con fron-tera Lipschitz continua Γ. Entonces para cada v, w ∈ H1(Ω) se cumple que∫

Ω

v∂w

∂xi= −

∫Ω

w∂v

∂xi+

∫Γ

γ0(v)γ0(w)ni ∀i ∈ 1, 2...n,

donde ni es la i−ésima componente del vector normal a Γ.

La prueba de la fórmula anterior se sigue directamente del teorema de la traza y de losresultados de densidad de C∞0 (Ω) en H1(Ω) (ver [41] [Capítulo 1 - Teorema 1.6]).En lo siguiente se denota: H1/2(Γ) := γ0(H1(Ω)) y además H−1/2(Γ) el dual de H1/2(Γ).

Teorema B.3 (Traza normal en H(div,Ω)). Sea Ω un dominio acotado de Rn confrontera Lipschitz continua Γ. Entonces existe un operador lineal, acotado y sobreyectivoγn : H(div,Ω) → H−1/2(Γ) tal que para cada v ∈ [H1(Ω)]n, γn(v) se identica conγ0(v) · n por medio del producto interno de L2(Γ).

Con las deniciones anteriores, se da origen a la Identidad de Green en H(div,Ω).

Teorema B.4 (Identidad de Green en H(div,Ω)). Sea Ω un dominio acotado deRn con frontera Lipschitz continua Γ. Entonces

〈γn(u), γ0(v)〉 =

∫Ω

u · ∇v +

∫Ω

v div(u) ∀v ∈ H1(Ω), ∀u ∈ H(div,Ω). (B.1)

(ver [41] [Capítulo 1 - Lema 1.4]).

Resaltamos que cuando las funciones u y v son sucientemente suaves, el productode dualidad 〈γn(u), γ0(v)〉 corresponde al producto interno en L2(Γ) y por lo tanto elresultado (B.1) se puede escribir como∫

Γ

(u · n)v =

∫Ω

u · ∇v +

∫Ω

v div(u).

Anexo COperadores proyección y Bramble-Hilbert

Sea Ω un dominio acotado y simplemente conexo de R2 con frontera poligonal Γ, ysea Th una triangulación regular de Ω. Dado un entero no negativo k, se denen lasproyecciones ortogonales de L2 sobre los espacios indicados.

Para cada K ∈ Th el proyector local está dado por

ΠkK : Hk+1(K)→ Pk(K)

v → ΠkK(v),

donde ΠkK(v) es el único elemento en Pk(K) que satisface∫

K

v w =

∫K

wΠkK(v) ∀w ∈ Pk(K).

En particular, si v ∈ Pk(K) entonces ΠkK(v) = v.

Si consideramos los espacios discretos Qh := w ∈ L20(Ω) : w|K ∈ Pk(K) ∀K ∈ Th y

Vh := w ∈ [L2(Ω)]2 : w|K ∈ [Pk(K)]2 ∀K ∈ Th, los proyectores globales sobre estosespacios discretos están dados por:

Πkh : H1

m(Ω)→ Qh ΠVh : H(div,Ω)→ Vh

w → Πkh(w) w → ΠVh(v)

donde Πkh(w) es el único elemento de Qh tal que Πk

h(w)|K = ΠkK(w|K) para todo K ∈ Th

y de forma análoga ΠVh(w) es el único elemento de Vh tal que ΠVh(w)|K = ΠkK(w|K)

para todo K ∈ Th.

El siguiente teorema presenta un resultado fundamental para acotar la norma de losoperadores denidos sobre los espacios Sobolev y los espacios de polinomios.

100

101

Teorema C.1 (Lema Bramble-Hilbert). Sean m y k dos enteros no negativos talesque 0 ≤ m ≤ k + 1, y sea Π : Hk+1(K)→ Hm(K) dado por la proyección ortogonal deL2(K) que satisface Π(v) = v para todo v ∈ Pk(K). Existe C, C(Π, K) > 0, tal que:

|(I− Π)q|Hm(K) ≤ C|q|Hk+1(K) ∀q ∈ Hk+1(K).

La prueba del lema Bramble-Hilbert es clásica y se obtiene directamente del Teore-ma de Hahn-Banach, el teorema de representación de Riesz y las propiedades de lasproyecciones ortogonales (ver [41] [Capítulo 1 - Lema 1.4]).

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