m.transporte ii

5/10/2018 M.TRANSPORTE II - slidepdf.com

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I ) ,.

PR08RAMACION LINEAL,.

LOS METODOS DE

TRANSPORTE VASIG ACIGNLa preocupacion por el hombre y su destine siempre debeconstituir el interes principal de todos los esjuerzos tecnicos, lapreocupact6n par los grandee problemas no resueltos de laorganizaci6n del trabaio y la distribucion de los bienes, para quelas creaciones de nuestro mente sean una bendici6n y no unacalamidad para la humanidad. Nunca oloides esto en medio de

tus diagramas y ecuaciones.

Albert Einstein

PERFil DEL CAPiTULO

Objetivos de aprendizaje

Caracterlsticas de un problema detransporte

Solucion por el metoda de transports

Construccion de la matriz de

transporteC6ma eneontrar un a soluclon lnicialEjercicio de practica (10-1)

Otros rnetodosC6mo encontrar la solucion 6ptima

Metodo de la distribucion

modificada (MODI)Paso 1: calculo de los coeficientesde rengl6n y columna

E jerc icio de practice (10-2)Paso 2: ealculo de costosrnarginales en las celdas vacias

Ejercicio de practica (10-3)

Revisi6 n de la soluci6nResumen del MOD I

Ejercicio de practica (10-4 )Metodo de la piedra que rueda

Ejercicio de practica (10-5)Caws espeoiales

Soluciones 6ptimas multiplesMuy pocas celdas Ilenas,Degeneraci6n

Cuando se quiere rnaximizarMetodo A: rninirnizar el costode oportunidad

Metodo B: minimizurganancias negativasMetodo C: inversion de todaslas reglas de decision

Cuando alzunas rutas estanprohibidas

Otros tipos de problemas de transports

Seleccton de un medio de publicidadProgramaoion de la produceion

Traslado de carros para renta

Caracter isticas de los problemas deasignaci6n

Soluci6n por el metodo de asignacionLa matriz de asignacion



Desarrollo de la rnatriz de coste de Asignaciones prohibidasoportunidad Maximi zaci6nPrucha de optimalidad Costas negativesRevision de In matriz Expe riencias d ~ l mundo realLa asignacion optima Resu menResumen del metodo de asignaci6n

E jercrciosE jercicio de practlca (10-6)Casas pec iales Est udio de un caso: You-Drive Truck

EI problem a no balanceado Ren tal Co mpa nySolue iones 6ptimas multiples Bibliograffa

La prograrnacion lineal es un campo tan amplio que se extiende a subclases de pro blemas para los cuales existen rnetodos de soluci6n especiales.Dos de estas dos subclases se conocen como problemas de transporte y

problemas de asignaci6n. Cualquiera de los metodos generales de soluci6nde PL, como el metodo simplex 0 el algebraico, puede servir par a resolverestos problemas. Pero se han desarrollado rnetodos mas sencillos que ap rovechan ciertas car acterfsticas de los problemas. Entonces, el metoda del

transports y el metoda de asignacion son s610 tecnicas especiales par a resolver cier tos tipos de problemas de PL.

El tr ansporte desempeiia un papel importante en la economia y en lasdecisiones administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de tr ansporteeconornico critica para la sobrevivencia de una empr esa. Este cap itulono cubre todo el campo del tr ansport e ya que es demasiado extenso. Masbien se hace hincapie en una clase especial de problemas de transporte yen c6mo pueden resolverse. Despues se vera que estes mismos metodospueden usarse para resolver problemas que no t ienen relacion con eltransporte.

~ d FAbrica

$ 3

282



cQue significa problema de transporte? En la Figura 10-1 se rnuestra

un a situacion tipica. Supongase que un fabricante tiene tres plantas que

producen el mismo producto. Estas plantas a su vez mandan el producto a

cuatro almacenes . Cada planta tiene una capacidad limitada y cada almacen

tiene una demanda maxima. Cada planta puede mandar productos a to

dos los almacenes, pero el costa detransporte

varia con lasdiferente

s combinaciones. El problema es determinar la cantidad que cada planta debe

manda r a cada almaeen can el fin de minimizar el costa total de transporte.

Los problemas de asignacion en realidad son un caso especial del

problema de transporte. Aqui solo puede mandarse una unidad de cada

origen a cada destino . En efecto, cada origen se " asigna" a un destino . Los

problemas pequefios de este tipo pueden resolverse con s6lo enumerando

todas las posibilidades y escoglendo la menos costosa. En problemas mas

gran des puede utilizarse el metodo del transporte 0 el metodo de asignacion, que todavia es mas sencillo ,

En este capitulo se estudia primero el metoda del transporte y despues

el de asignaci6n. Ambos tienen amplias aplicaciones en los negocios debi

do a que, como se veri , tratan directamente con las tareas de organiza

cion del trabajo y 13 distribucion de los bienes.

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

En este capitulo el lector debe aprender:

1 Como reconocer los problemas de transporte y los problemas de asigna

cion

2 Como desarrollar una matriz de transporte y aplicar el metoda del

transporte

3 C6mo resolver problemas de asignacion con el metodo de asignacion

4 El significado de los siguientes terrninos:

metoda del costa minirno MOD I

metodo de la p ied ra que rueda metoda hungaro

AR CTERiSTlCAS DE UN PROBLEMA DE TRANSPORTE

La rnanera mas facil de reconocer un problema de transporte es por su natu raleza a estructura "de-bacia": de un origen hacia un destine, de una

fuente hacia un usuario, del presente hacia el futuro, de aqui hacia alla.

Al enfr entar este tipo de problemas , la intuicion dice que debe haber una

manera de obtener una soluci6n. Se conocen las fuentes y los destines, las

capacidades y demandas y los costas de cada trayectoria. Debe haber una

combinaoion optima que minirnice el costa (0 maximice la ganancia). La

dificultad estriba en el gran nurnero de combinaciones posibles.

Puede formularse un problema de transporte como un problema de PL

y aplic rse el metodo simplex. Si se hicier a, se encontraria que los proble

mas de transporte tienen caracteristicas maternaticas unic as, Para visu alizar

to, escrfbanse las relaciones de PL para el ejemplo de la figur a 10-1. representa la cantidad que se ruan da de la Fabrica Sf al de stino D;. En forma analoga , GIl es e l costo de mandar una unidad de SI haci a Dr' 283



EI objetivo es minimizar los costos tot ales de transporte. La funcion ob jetivo de PL es, entonces, minimizar la suma de los costos de transporte)para las 12 rutas. Es decir, la funcion objetivo es

Minimizar: Z CuXu + C I ~ X + CI3XI3 + CI4XI4 Fabrica 51

+ C21XZ + C22X22 + C23X23 + C :J,4XZ4 Iabrica 52

+ C31X31 + C32X32 + C33X33 + C34X34 fabrlca 5.,

Las restricciones van de la capacidad limitada de cada planta a la deman

da de cada almacen, Para la Fabrica 51 la restriccion es

Esto significa que la cantidad total que se manda desde la f:ibri ca 51 debe

ser igual que su capacidad 81' Analogarnente, se debe sati sfacer la dernan da de cada almacen. Para el almacen D I se tiene

Si se escribe todo el problema, resulta

Minimizar Z = CIlXu + CI2XI2 + CI3XI3 + CI4X14 + CZX21 +

CZZX

22+ C23Xz:j + C

24X

24+ C

31X

31+ C32X32

+ C33X33 + C34X34

Hestricciones: Xu + XI2 + XI3 + XI4 = 81

XZI + X22 + Xz:j + X24 82 Restricciones

X31 + X32 + X33 + X34 = 83 de origen

Xu + X21 + X31 dl

XI2 + X22 + X32 dz RestriccionesXI3 + X23 + X 3.1 d3

de destinoXu + X24 + X34 d4

Xi; 0 par a i = 1,2,3,:j 1,2,3,4

eQue tiene esto de especial? N6tense los coeficientes en cada restriccion:

todos son 1 0 cero (para las variables que no aparecen). Esto siempre es

cierto para un problema de transporte. Otra caracteris tica es que si se su

man las constantes del lado derecho para los origenes el total es el rnisrno

que al sumar las de los destines (81 + 82 + S.1 + d, + dz+ dJ + d4) . Lo que

resulta es que, debido a estas caraeteristicas unicas, es posible que ha ya un

rnetodo mas sencillo de solucion, a saber, el metoda del transporte .Es necesario exarninar otra caracteristica de la Forrnulacion de PL. Se

tiene un total de siete restricciones: una para cada origen y cada destine .

Sin embargo , una de ellas es redundante. Realmente se necesitan solo seis

restricciones, La razon es que se sabe que Ia cantidad total que se manda

desde todas las Fabricas debe ser igual que la cantidad total que se recibeen todos los almacenes. Supongase que se ornite la restriccion del cu artoalmacen, Al resolver el problema se sabe cuanto se mand6 de cada Iabricaa los tres primeros almacenes y la can tidad total que se maude desde lasFabricas . Se sabra entonces que la diferencia entre estas dos cantidades setuvo que mandar al cuarto alrnacen .84



Esto lleva a la regIa general de que el nurnero de restricciones indepcn

dicntes siempre sera una menos que la suma del mimero de origenes y el

nurnero de destinos . Heeuerdese que para cualquier problema de PL el numero de variables en Ia soluci6n final no puede exceder el nurnero derestricciones independientes. Entonces, para el ejemplo, cuando rnucho se

usaran 6 de las 12 rutas para la soluci6n optima. Esta regIa es muy impor

tante al resolver problemas can el metoda del transporte.

SOLUCION POR EL METODO DE TRANSPORTE

El metoda del transporte en realidad no es un metodo, sino varios. Sin

embar go, existe una estrategia general, como se muestra en la figura 10-2.Primero, se construye una matriz de transporte y despues se encuentra

una solucion inicial. Esta soluci6n inicial puede ser optima 0 no. La (mica

manera de saberlo es probandolo y existen varias tecnicas para hacerlo. Si

la solucion no es Optima, se revisa y la prueba se repite, Cada interacci6n la

soluciones tara mas cerca del optirno.Se examina esta estrategia por partes, una ala vez, comenzando con la

matriz de transporte .

Construccl6n de la matriz de transporte

En In tabla 10-1 se muestra la forma general de una rnatriz de transporte .A cada origen corresponde un reng16n y a cada destine una columna . La

capacidad de cada origen se muestra al final del rengl6n y la demanda de

cada destino se escribe abajo de la columna correspondiente: Estas capaci

dades y demandas se conocen como condiciones de frontera. Finalmente ,

Construc ci6n

de la matriz

de transport s

Encuentro en la

soluci6n inicial

Revir.;6n d.,

la sotuclon

Rn )

FIGURA 1()'2

El metodo del transporte

PRQGPA!v1AClO rJlIt·JEAl LOS

. 0 . E J ; ; x : P ~

285



TABLA 10-1Mahlz general de transports

) Destino

Origen Recursos totales

I

II I~ - - - E j

temanda

d _ Condic ionesto taln

de frontera

e1costo unitario de tr ansporte desde cad a origen a cada destino se escribe

en la esquina superior derecha de cada celda de 1a matriz.

Existe una flexibilidad considerable en la con strucci6n de una matr iz de

transporte . Por ejernplo , los renglones podrian ser los destinos y las co1um

nas los origenes. Los datos del costa unitar io pueden ponerse en cualquier

lugar de la ce1da . Ni siquiera se necesita una regla para trazar la matriz,

Sin embargo, se piensa que po ner un poco de cuid ado a1dibujarla' tendra

ven tajas como la de reducir los errores .

Se entendera mejor 1a matriz can un ejernplo. En Ia tabla 10-2 se dan

algunos datos para el ejemplo de la figura 10-1. Se dan las capacidades de

las tres f:ibricas junto con las necesldades de los cuatra a1macenes y los cos

tas unitarios de transporte .

Notese que los recursos tota1es de las Fabricas exceden a la demanda tota l de los almacenes (600 contra 500) , Esto signifiea que e1 problema nocsta balanceado. EI metodo de transporte se aplica mejor a los problemas

balanceados, por tanto, se echa mana de un sencillo truca. Se agrega un

almacen ficticio para absorber la ho1gura. Este destino se rnuestra en 1a

t bla 10-3, qu e es 1a matriz comp1eta . EI costa unitario de tra nsporte ha

cia e1 almacen Iicticio siem pre es cero, ya que las 100 unidades no se man

dan en la realidad . Cuando se llegue a 1a solucion optima, las fabricas que

"mandan" algo al desti no ficticio senci llamente tendran esa ean tidad deeapacidad sin usar. N6tese que de In misma manera puede usarse un origen fieticio que absorba e1 faltante en la capacidad . Una vez construida latabla, e1 siguiente paso es encontrar una soluci6 n inicial.286



TABLA 10-2

Datos para el problema muestra

Recur sos Tn la fab rica Demands en el alrn acen

Fabrica

5,

5.

S3

-/ Cap acidad Almacen Dernan da

100 unidades

200

300-600 un idades

D1

D2

D3

D4

150 un idades

150

120

80

500 unidades

Costos de transporte ($/unidad)

A

De D, D. D. D.

5, 7 3 8 85. 5 5 6 853 7 4 9 10

C6mo encontrar una solucl6n Iniclal

El metodo para encontrar una soluci6n inicial se llama rnetodo del costominimo (LCM). Este metoda esta basado en la int uici6n y la habilidadp ara descubrir la matriz rapidamente. Como el objetivo es minimizar loscostas de transporte la int uici6n debe conducir a escoger las rutas menoscostosas. Esto es exactamente 10 que hac e el LCM.

Observese la tabla 10-3 y encuentrese la celda con el menor costo (ignorando por ahora la columna fictic ia). El lector debe poder descubrir con

TABLA 10-3Construccl6n de una matrlz

Destine (Almacen)

Oriqen

(FlJbrica)

100

20 05 2

3003

150 150 120 80 100 600

287

PPO:;PNvi.UCl6 ' ILit lEAL If>5



facilidad que la celda SJDz con un costo de $3 es la que se busca. Sf.' lleua

)ahora csa celda hosta el maximo que petimten lay condiciones de jrontera.

El almacen D2 necesita 150 unidades, pero la Fabrica SJ solo puede proporcionar 100. Asl, se ponen 100 unidades en la celda SID: como se hizo enIa tabla 1O -4a. N6tese que esto agot a los recursos de la fabrica S1> de rna

. /

nera que las demas celdas del primer reng16n se eliminan .Ahora observense las celdas restantes y encuentrese la que tiene el siguien te costo mas barato: SJ) 2con $4. Asignesele 10mas que permitan lascondiciones de frontera (50 uni dades, 10qlJe agota la columna ~ ) . Contimiese este proceso hasta tener la soluci6n completa, como en la tabla 10-5.Si se encuentra un empate par a la celda con el menor costo, la seleccion esarbitraria. Las celdas ficticias se llenan al Ultimo. Se quiere:

Niimero de celdas llenas = (mimero de renglones +numero de columnas) - 1 = (3 + 5) - 1

= 7

Si se tienen menos celdas llenas que las requeridas, la soluci6n es degenerada, No hay nada de malo en ello, s610 tienen que hacerse algunos ajustescuando se hace la pr ueba de optimalidad (que se describiran despues). Sise tienen mas que el numero de celdas requeridas, lse ha cometido un

error I Encuentrese el error y corrijase antes de seguir adelante. En latabla 10-5c hay siete celdas llen as; esta bien .

En resumen, los pasos en el LCM son:

1 Localicese la celda menos costosa en la matriz. (Ign6rense las celdas fieticias hasta el final; los empates se rompen arbitrariamente.)

2 Llenese la celda hasta el maximo permitido por las condiciones de Irontera . Eliminense las demas celdas en el rengl6n 0 columna que se agota.

3 Repitanse los pasos (1) y (2) pa ra las celdas restantes hasta que se llega auna soluci6n completa.

EJERCICIO DEPRACTICA 10-1Antes de continuar, practiquese el metcdo del costa minimo con la siguiente matriz. Si 10 encuentra muy sencillo, eso es 10 correcto.

0 , O2 Flcticio°3

5, 600

400

BOO

500 700 400 200 1800

1800

288



eSe tiene el numero correcto de celdas !lenas?

Otros metodos Existen otros dos metodos para encontrar la soluci6n inicial. La regla de la esquina noroeste se programa con facilidad en una

computadora, pew da una soluci6n inicial muy pobre. El otro, el metoda

de aproximacion de Vogel, casi siempre lleva a soluciones un poco mejores

que el rnetodo del costo minimo pero requiere mayores calculos. Consultese la bibliograHa para estos otros metodos,

C6mo encontror 10 solucl6n 6ptlmoUna vez encontrada una soluci6n inicial, el siguiente paso es probar la optimalidad. Existen dos rnetodos para esta prueba. £1 metoda de la distribuci6n modificada (MODI) y el metodo de la piedra que rueda . Difieren

en la mecanica, pero ambos dan exactamente los mismos resultados con lamisma estrategia de prueba. Esta estrategia consiste en probar cada celdaoacia (ruta no usada), una a la vez, calculando el costo marginal por usaresa celda . Despues, si una 0 mas celdas tienen costo marginal negative, serevisa la soluci6n. Se explorara esta estrategia un poco mas, antes de

entrar en los detalles para ponerla en practica .Considerese una porci6n de la soluci6n inicial que se muestra en la

tabla 10-5e, en particular las cuatro celdas que se incluyeron en la tabla

10-& . Tres celdas estan llenas y una esta vacia. La pregunta que debe hacerse es: lse ahorrarla dinero usando la celda vacia? La respuesta se obtiene tratando. Sup6ngase que se trata de mandar una unidad de S2 a D2 •

Para mantener balanceadas las condiciones de Frontera, debe reducirseS2D3a 49 unidades. Esto a su vez afecta la columna D3 ; por tanto, se agrega una unidad a S3D3. Por ultimo, S3D2 debe reducirse a 49 unidades y lascondiciones de Frontera se satisfacen, esto se muestra en la tabla 10-6b.

lC6mo han afectado al costo estos cambios? Los cambios son:

Sumar I unidad a S2D2 + 5Restar 1 unidad de S2D3 - 6Sumar I unidad a S3D3 + 9

Restar 1 unidad de S3D2 - 4Costo marginal + 4

Para cada unidad que se agrega a la celda S2D,., los costos aumentaran en

$4. Como se quiere minimizar el costo , Ia celda S2D2 no es apropiada.La estrategia completa, entonces, es usar un proceso de eliminaci6n.

Encuentrese el costo marginal que corresponde al uso de cada una de lasceldas vacias. La solucion sera 6ptima cuando todos los costos marginalessean 110 nCi!.ativos}

Metoda de I dlstrlbuci6 modificada (MODI)El metodo MODI obtiene los costos marginales a traves de un proceso dedos pasos. Primero, se calculan los coeflcientes de los renglones y las co

1 Estos costos rnarginales son identicos a los va lores de C; - Zi que se encuentran con elrnetodo simplex. 289



TABLA 10·4Solucl6n inlcial po r el metodo del mlnlmo c osto

)

53

150 r ~ f 5 120 80 100

50

(a) L16nesa la celda de manor costo ($ 3°1)

Ficticio°1 ° 2 ° 3 °4

5 1

Ib) Despues lIenesa la celda con '01siquiente costo manor

200

IrJli

300

600

o

20 0

300

jlilt 0

600

lumnas usando s610 las celdas llenas. Despues, con estos coeficientes, secalculan los costas marginales para cada celda vae ia . Se encontrar a que elpr ocedirniento es Facil de aplicar, aunque parezca peculiar, casi como unatreta . Los autores afir man que existe una justificaci6n maternatica muy

seria para el proceso complete."

2 El procedirniento so b a en las propi dades del dual com o 10 exp lica Rich ard E.T rueman en An Int roduction to Quantitattv Meth odsfor Decision Making, 2& ici6n (NewYork: Holt, 1977), pp . 323-325.290



f ~ r ; i

'tr;5rj

irJrI

TABLA 10·5

Termlnacl6n de 10 solucl6n Inicial con el metodo del costo

Ficticio°3 °4

051

502

2503

f ~ ¢ izti 120 80 100 600

0 ~ p 0

(8] usn ese la ceida 5 zD I

°1 °2 °3 D4 Ficticio

5 1 i lig 0

52 irJrj jl'rj 0

53 trjfi 250

80 100 600

l bJ Decpu63 Ih\nese 1acelda 52 0 3

°1 D2 Ficticio°4

01

i¢ 052

53 ~ 5 0 0

i0(i

1.rjrj

20P

r ~ 0 0

t 5'¢j )

f ~ i¢

lop0

600

0 0(c I Soluci6n cornpteta

291

PP l..GR,AMAC! l) ( JI I I I ~ A I I I r



TABLA 10·6

Una matrlz parcial de transporte

)200

300

150 120

(8) Una celda vscte

200

300

150 120

(b ) Cambio da una unidad

Paso 1: cdlculo de los cocjicicntes de rcngl6n y columna Los calculospueden hacerse directamente en la matriz . Despues de encontrar una so

luci6n inicial, debe dibujarse de nuevo la matriz para comenzar en limpio. Se continua con el ejemplo de las Iabricas y los almacenes y con la 50

luci6n del metodo del minimo costo , como se observa en la tabla 10-7. Seinicia el proceso asignando un cera a un coeficiente arbitrario de cual

quier rengl6n 0 columna. Par costumbre se asigno un cero al pr imer

ren gl6n en la tab la 10-7a. Ahora se busca una cclda llcna en ese rengl6n:SlD2• Puede pivo tearse sobre esta celda para encontrar el coefioiente de lacolumna D2 usando la relacion:

Coeficiente desconocido de columna 0 ren g16n costa en la celda

coeficiente conocido dereng16n 0 columnaCoeficiente de columna D2 = costa en celda SlD 2 - coeficiente del reng16n 1

Coeficiente de columna D2 = 3 - 0 = 392



Mentalmente, al ver In matriz en la tabla 10-7a, puede decirse "0 para 3igual a 3" , siguiendo la linea punteada.

Se busca otra celda llena en el rengl6n 51' Como no hay , se busca hacia

abajo por Ia columna [ ) ~ , La celda 3 D ~ esta llena, Una vez conocldo el

coeficiente de la columna D : , puede pivotearse sabre la celda SJD2 para encontrar el coeficiente del renglon 53' Siguiendo las lineas punteadas en la

tabla10-7b,

se dice "3para

4 igual a I" . Es alga parecido al juego de lapata

coja. Se tom a un coeficiente conocido es un rengl6n (0 columna) y se pivotea sabre una celda llcna en ese mismo rengl6n (0 columna) para encontrar otro coeficiente.

Continuando can el ejemplo, el coeficiente del renglon 53puede usarsepara encontrar otros tres, como se muestra en la tabla 1O-7c. Para la co

lumna D3 se obtiene "1 para 9 igual a 8" y analogarnente para la columna

D j • N6tese que ahora sc incluy l..' la columna jicticia y se trata en la misma

forma que las demas columnas y renglones. Entonces, para la columnaDs, "1 para 0 igual a - I " , Se permiten los coeficientes negativos. Los ca l

culos para los coeficientes quedan terminados en la tabla 10-7d usando D3

para encontrar 52 y, por ultimo , 52para encontrar el coeficiente de D I .

Lo que en realidad se hizo fue resolver un conjunto de ecuaciones si

multaneas que contiene mas variables que ecuaciones. Para cada celda

llena puede escribirse la siguiente ecuaci6n:

coeficiente del reng16n + coeficiente de la columna = costa en la celda

en donde R = coefidente del rengl6n y C = coeficiente de la columna .

EcuaciOn Cdda

RI + Cn 3 51DzRz + C; 5 5zDI

Rn + C3 6 SzDR; + Co 4 53D zR3 + C; 9 53D 3R3 + C4 10 53D 4R3 + Cs = 0 S3DS

Esto proporciona siete ecuaciones con ocho incognitas. Como el metodo

MODI se basa en los costos relatioos, puede asignarse cualquier valor arbitrario a una de las variables, Sl se hace RI = 0, puede encontrarse Czcon la primera ecuacion:

RI + C2 =.3

o + C;: 3

C;: = 3

Ahara que se conoce Cz, puede encontrarse R,:

R :> + C;: 4R3 + 3 4

Rs 1 293

PPCx;PAI,,1AClLli J1 11'_II:'A j I / ""V::



N"0

TABLA 10-7

Metodo MODI

°1 °3 °4Ficticio °1

3II

°2 °3 °4Fictici o

0 -51 100 " C'I / 1/ f 1/l l" / 1 / 1/ 1100

5 2 200 s ~ 1 / (1 50 11/ I 1 ( 50 11/ 1 1200

53

(a) Se c:omi..enza con coef iciente cere

para el prirner renglon

300

600

I

150

I

(b)

<::« I "---'15 0 120

Se encuent ra el coeticiente

del tercer rengJ6n

3 8 9 - 1 7 3 8 9 - 1

+ + t

FiClicio FiClicio

°1 °3 °41 °2 •3 °4100lV' ~ r r [ 100 o 51

200 - L :>2 20052

3000 0 4 5 3

i150 150 120 80 100 16 00 150 150 120 80 100 1600

(c) Con el coeficierue del primer reng l6n (d ) Se completan los coe1icientesse encuantran orros rres de rengJ6n y columna



no se tenga practica en el procedimiento, podria resultar mas sencillo de---hecho escr ibir las ecuaciones y resolverlas de esta manera para obtener los

coeficientes . Mas adelante, cu ando aurnente la confianza, puede hac erse

par inspeccion en la matriz.

EJERCICIG DEPRACTICA 10-2

Calculense los coeficientes de reng16n y columna para el problema que si

gue. Asegurese que se entiende este procedimiento antes de seguir adelante.

300

400

( 150 200 350

Paso 2: calculo 'de costas marginales en las celdas oacias Una vez que setienen los coeficlentes de renglones y columnas, se pone atencion a las eel

das vacias en la tabla 10-8. Tomando una ala vez y en cualquier orden, el

costa marginal es la diferencla entre el costa de la celda y la suma de los

coeficientes del reng16n y la columna correspondientes. Para la celda

SIDI, se tiene

Casto marginal = costa de la celda - (coeficiente del reng16n +coeficiente de la columna )

Casto marginal de (SID1) = 7 - (0 + 7) = 0

Para la celda S3Dh el resultado es:

Costa marginal de (SID1) = 7 - (0 + 7) = 7 - 8 = -1

AI ir calculando estas costas se colocan en la esquina inferior derecha de

cada celda. Observando en la tabla 10-8 la matriz terminada, puede observarse cuales son las dos celdas que tienen costas marginales negatives:

SlD 4 y S3DI. Esto significa que los costas pueden reducirse ernpleando

cualquiera de estas celdas y, por tanto, la solucion no cs optima.

EJERCICIG DEPRACTIC;A 10-3

Hagase aqui un alto para adquirir un poco de practica en el calculo de loscostas marginales. La matriz que sigue es la misma que se us6 en el ejerci

cio de practica 10-2. Encuentrense los costas marginates p ara cada celd avacia , eEs 6ptima la soluci6n? 295



Coeficlentes de columna

o 300Coeficienles

de rengl6n

400

150 200 350

TABLA 10-8ceicuto de indices de mejoramlento

150 150 120 80 100 60 0

Revision de la solucio« Puede revisarse la soluci6n por inspecci6n usando 10 que puede llam arse regia de la traqectotia cerrada con dngulos rec

tos en las celdas llcnas 0 , dicho con menos palabras, regia de la piedra que

rueda, Esta regla esta diseiiada para asegurar que las dos condiciones secumplan siernpre en el proceso de revisi6n. Prirnero deben satisfacerse lascondiciones de frontera. Como pudo observarse en la explicaci6n de laestrategia MODI, el llenai una celda vacia siernpre implica cambios por

10 menos en otras tres celdas. Segundo, el numero de celdas llenas nopuede exceder la suma del numero de renglones y columnas mends uno. Elproceso de revisi6n tarnbien debe obedecer estas condiciones.

Puesto que s610 puede revisarse una celda a la vez, el proceso de revisi6nse inicia identificando la celda vacia que se debe lIenar. En la tabla 10-8

hay dos celd as con costos marginales negativos. Siempre debe seleccionarse la celd a con el costa mas negativo; en caso de ernpates, se rompen ar

bitrari amente. En el ejernplo, se selecciono Ia celda S3Dj. Como habra unahorro de $1 por cada unidad que se mande por esa celda, se quiere man

dar 10 mas posible, que sea congruente con las condiciones de frontera y elmimero de celdas llenas,

100

-2 20 0

30 0

296



53

En seguida se aplica la regia de la trayectoria cerrada con angulos reo< tos en las eeldas llenas. Comenzando can la celda vacia (S:,D 1) , se en

cuentra una trayectoria cerrada que vaya por las celdas de la matriz yregrese a la celda y que cumpla dos condiciones. Primero, s610 se puede irvertical u horizontalmente, no se permiten las curvas a las diagonales, Segundo, cada esquina en angulo recto debe estar en una celda llcna,

Siempre existird una fj solo una traqectoria de cste tipo. dPuede el lectorencontrarla? En la tabla 10-9 se muestra la trayectoria para S3DI'

N6tese que pueden "saltarse" tanto celdas vacias como llenas. Las esquinas 0 pivotes son las celdas criticas. Se pone ahora un signo mas en la

celda vac ia y se da la vuelta a la trayectoria altemando los signos menos y

TABLA 10-9Revlsl6n de 10solucl6n

/

100

200

300

150 150 120 80

raj tdenutlcaclon de la travec toria de revisi6n

100 600

°1 °2 °3 °4 Ficticio

5 1 100

200

300

150 150 120

lb J .SoJuci6n rev isada

80 100 600

297

mas en las celdas pivote llenas. Estas son las piedras que ruedan. Las eeldas con signa meno s se reduciran y las celdas can signo mas se incrementa



hi n. dCmi ntas uni dades pueden cambiarse? La cantidad mcnor en las eel

qas con signo menos. En la tabla 1O-9a hay dos celdas, 150 y 70, quetienen signa menos, de manera que puede hacerse un carnbio de 70 un idades alreded or de la trayectoria cerr ad a . En la tabla 1O-9b se da esta revision cornpleta .

dEs op tima esta nueva soluci6n? Para saberlo, se debe repetir todo el

proceso desde el principia. Se calculan todos los nuevas coeficientes de

rengl6n y columna y despues se encuen tra n los nuevas costas rnarginalespara todas las celdas vacias . Esto se hace en la tabla lO-lOa. Como puede

observarse, la celda S1D4 tien e un costa marginal nega tivo 10 cual indica

que todavia es posible hacer mejoras. La tr ayectoria de la revisi6n semuestr a en la tabla l a-lab y la tercera soluci6n en la tabla 10- lOc . Se apli

ca el metoda MOI?I una vez mas y resulta que todos los costas marginales

son no negativos. Esta es I soluci6n 6ptima . EI costa total de esta solucionse encuentra sumando los productos de los costas en las celdas pa r las uni

dades mand adas en cada celd a llena .

Resumen de MODI Los pasos del metoda MODI son, en resJmen :

1 Se calcul an los coeficientes de rengl6n y colu mna usando las c e ~ s Henas:

coeficiente del rengl6n + coeficiente de la columna = costa en la celda

2 Se calcula el costa marginal de usar cada celda vacia :

Costa marginal = costa en la celd a - (coeficiente del renglon +coeficiente de la columna)

3 Se selecciona la celd a vacia can eI coste ma rginal mas negativo (los empates se rompen arb itrari amente).

4 Se encuen tra la t rayectoria de revisi6n y se liena la celda vacia al maxi

mo que permita la trayectoria .

5 Se repiten los pasos 1 al4 hasta que todos los costas marginales sean cera

a positives.

EJERCICIO DE PRAcTICA /10-4

(a) Continuese el ejercicio de practice que se ha veni do tr ab jando. En

cuen trese la tra yectoria de revision y revisese la solucion que se da en

seguida.

300

~ o o

298 150 200 350

I

TABLA 10·10

0 0 1, segundo cIcIo

I

\



-6 3 7 9 ·- 1

0 -, Fict icio 0 ) - 0 2 Ficticio° 31 °3 °4 °4

100

20 0

300

150 150 120 80 100 600

5 , 11 0051

- 1 S2 52 1200

S3

150 150 120 80 100 6001

(II ) La celda $184 se puede m ejorar (b l Trayectoria de revision

6 3 7 13 - 1

Ficti cio°1 0 '2 °3 °4

Costo total 3 X 20 = 60

ax 80 = 64 0

5 X 80 = 400

6 X 120 = 720

7 X 70 = 490

4 X 130 =5 20

OX10 0 = 0

283 000

600

Ie ) Soluci6n revisada, optima

rv 1 A". __ I / 1 r , 1 /

1 /?" \1 / ' 1 A" \I / I 1 /

53 1 A" ' \ 1 E '-. 1 / 1 r---....... I / '- . / 30 0

0 5 1 1 l/ f . ,,, \ 1 r-IZIY 1100

- 1 5 2 1/1 An , V _17'120)V . . 1 . _ 1 200

5 3

150 150 1:' 0 80 100

I \ )

-0-0

(b) Apliquese de nuevo el metoda MODI ala solucion revisada. dEs optima esta solucion?



(c) Apliquese el metoda MODI al problema cit!transporte que se muestraen la tabla 10-11. dCu.U es el costa total para 13 solucion optima?

Metodo de la piedra que rueda

Can el metoda de la piedra que rueda no se tienen que ealcular coeficientes intermedios. Los costos marginales para cada celda vacia se encuentran directamente obteniendo la trayectoria de revisi6n para cadacelda vacla . Esta es justa la trayectoria que se encontro al revisar una solu

cion MODI y se usan tambien las mismas reglas . Otra vez, siempre habra

una y s610 una de estastrayectorias para cada eelda vaeia . Cuando se encuentra la trayectoria para una celda dada , se ponen signos ( + ) y ( - ) enforma alternada en las "piedras que ruedan" en toda la trayectoria, igual

que antes. Para encontrar el coste marginal, se suman los costas de la eelda vacia y de las esquinas de la trayectoria que tienen signa ( +) y se restan los costos de todas las esqu inas que tienen signa ( - ) . EI resultado serael costa marginal para esa celda vacia. Esto se hace par a'cada celda vacia,Si esto pareee familiar , se debe a que se hizo antes usando una matriz par

cial (vease Ia tabla 10-6). \Este metoda debe su nombre a las piedras que se usarian para cruzar un

arrollo. Uno podria imaginarse qu e la matriz de transporte.esta cubierta

par agua, a excepci6n de las celdas llenas, que son las piedras . Para encontraruna trayeetoria de revision se debe dejar una celda vacia y regresar a ellausando solo las piedras como pivotes 0 esquinas. No se debe olvidar que solose permiten vueltas en angulo recto ; no se permiten los movimientos endiagonal.

Algun as veces las trayectorias de revisi6n son indirectas. Par ejemplo,observese la tabla 10-12 (rnues tra la soluci6n 6ptima encontrada en la tablalO-lOc). Se usara el metoda de la piedra que rueda para veriflcar la celda

TABLA 10-11Elerclcio de procttco para 91 MODI

1000

14 00

1600

400000 1500 1200 500

PIA f IE.ACK. J DELAS.A.CTIVI /lQES

300

I TABLA 10·12



/ Metodo de la piedra que rueda

100

200

300

600

(

\

la) Una trayectoria de revisi6n large para la celda S 2D4

150 150 120 80 100

100

200

300

600

(b I Verificaci6n de las otras celdas vaclas

5 2 D ~ Como 0010 se tiene una celda llena en la columna ~ , se sabe que debe

formar parte de la trayectoria, asf que se parte de ahi , De nuevo en elrengl6n 5110 unico que puede hacerse es moverse hacia la izquierda hastaSID2 • Dando la vuelta hacia abajo por la column a D2, se debe llegar hastael rengl6n inferior a S3D2. Aqui puede escogerse entre ir a la derecha 0 a laizquierda . Sin embar go, al ir a la derecha a la celda 53Ds no habra despues

a d6nde ir, ya que no hay otra celda llena en la columna Ficiticia, Entonees, la trayectoria va a 1a izquierda a S3D I despues hacia arriba a S2D1 y deregreso a1 inicio.

Una vez identificad a 1a trayeetoria de revision, puede encontrarse elcosto marginal.

P[.'()(?-i-AMAClO! J

LIt-JEAl LOSIvlETCOOS DE

301

, -, e aa va : ~ Z V 4 : + 8Celdas de esquinas: SID4 : - 8

S I D ~ : + 3



3 D ~ : -4

S3D l : + 7S ~ l -5

+ 18 -1 7 = + 1

Este es el misrno costo marginal que se muestra en la tab la lO-lOc , que seencontr6 con el metod o MODI . Como ejercicio de practica el lector puedeverificar todas las otras celdas de la tabla lO-12b. Las respuestas debencoincidir con las que se muestr an en la tabla lO-lOc.

cQue rnetod o es mejor , el MODI 0 el de la piedra que ru eda? Los auto

res prefieren el metodo MODI , porque en problemas grandes lIega a loscostos rnarginales con mayor rapidez. EI metodo de la piedra que rueda

puede resultar bastante laborioso cuando hay muchas celd as vacia s que

verificar. Sin embargo, este metodo es mas eficaz eli'problemas pequenos

y es util para corroborar algunos datos en problemas grandes. Porejemp lo, si el MODI indica que una soluci6n es optima , pueden buscarselas celdas vacias que tienen costos bajos. Si las hay, puede.usarse el meto do de la piedra que rueda para verificarlas. Esto da alguna protecci6n

contra los errores mat ernaticos.

EJERC ICIO DE PRAc TICA 10-5

Con el metodo de la piedra que rueda pruebese la siguiente solucion. cEs6ptima? Si no 10 es, revisese la solucion y repitase hasta encontrar una so lucian optima.

700 1200

600

800

1000

Casos especlales

En esta secci6n se analizan cuatro casos especiales . Los dos primeros soncirc unstancias que pueden surgir al probar la optimalidad . Los dos ulti mos son pro blemas especiales .

ptp J !EACICN DEAC '

302

Solucioncs optimas multiples Si una celda vacia tiene un costa marginal



de cera, signifiea qu e existe otra soluei6n optima . Un cero en el costo mar

ginal significa que esa eelda puede usarse sin aumentar los costos totales ,

En la tabla lO-13a se muestra un ejemplo. La celda S 2 D tiene costo mar

ginal de cero. Si se llena esta celda, se encontrara una segunda soluci6noptima , esto se muestra en la tabla 1O-13b.

Las soluciones optirnas multiples son importantes porque dan a la ad ministraci6n mayor flexibilidad en la toma de decisiones.

Muy pocas celdas llenas, degeneracion La regia para el numero correcto

de celdas llenas es una menos queel numero de renglones y columnas. Si la

soluci6n tiene menos, se dice que es degenerada . Esto no indica que haya un

error. Ocurre cuando alllenar una celda se satisfacen las condiciones deFrontera tanto del reng16n como de la columna. Sin duda una soluci6n 6p

tima puede ser degenerada. No obstante, esto quiere decir que se tendranproblemas al probar la soluci6n con cualquier rnetodo, el MODI 0 el de la

piedra que rueda, Para analizar estos poblernas, considerese el ejemplo deI la tabla 1O-14a. _

Ai probar la solucion, MODI comienza con cero en e1 coeficiente del

primer rengl6n. Con 1& celda SID I resulta que e1 coeficiente de la columna

TABA 10·13Soluclones 6pllmas multiples

52 0

Costo total

150 5 X 50 = 250

4 X 100= 400

6 X 50 = 3003 X 250 = 750

170030 0

100 250 100 45 0

la) Primera soluci6n optima

°1 °2 °3

51

100 250 100

Coste total

150 5 X 100 = 50 0

4 X 50 = 200

3 X 250 = 750

5 X 50 = 250

170030 0

45 0

(b) Sequnda 50luci6n optima

PRQ3RArv1ACIO JI ~ J E A L LOS,

303

D 1 es (5 - 0 = 5). Ahora no hay a d6nde ir . Ni el pri mer rengi6n ni Ia pri



mera columna tienen otra ceida llena.

Par a corregir esto , sencillamente se Ilena una celda vacia arbitraria. EnIa tabla 1O-14b se puso Ia letra griega t'psilon (E) en la celda SlD3 para indiear que esta llena. Epsilon es un dispositivo maternatico maravilloso:representa una cantidad mayor que cero e infinitamente pequeiia . Real mente es un trueo par a permitir que se realice la prueba. Algunas celdas

vacias resul tan mas iitiles par a esto que otras, pero es diflcil saber eso deantema no . Se vera 10 que sucede euando se escoge la ceida equivocad a .

En la tabla lO-14b el eosto marginal de la celda SlD 2 es negative, 10cualindica que es necesaria una revision . Sin embargo, la trayectoria de revisi6n tiene un signo menos en la celda de E . Esto signifiea que 5610 puede

agregarse E a la celda SlD 2 • En terminos practices, esto quiere decir quese coloe6 E en el Iugar equivoeado. As] , 10mejor es cambiar E ala celda

SlDzy repetir la p rueba , como se muestra en la tabla lO-15a.Con E en una nueva celda, el costa marginal negative aparece en lacelda S2Dl' La celda se llena y la revisi6n (vease la tabla 1O-15b) resulta6ptima. N6tese que la soluci6n final no es degenerada. Esto es una coincidencia, pudo haber resultado degenerada . \

\

TABLA 10-14Una soluc l6n degenerada

30052

150 200 100 450

[al EI rnstodo MODI bloqueado

5 E 5

D, D2 D3

'50

a 5, 150

300

450

lb ) Sa liena otra ce lda arbilrariamente304

' l t ' E A C l C i DElAS ACTIVIDADES____r.""' r, ADDl'<;A

dQue pasa si se esta usando el metoda de Ia piedra que rueda con una

soluci6n dege nerada? Finalmente se llegara a una celda vacla desde la



cual no puede trazarse una trayectoria de revision, Para observarse esto

vease la tabla lO-14a . Sup6ngase que se trata de probar la celda S2D1• No

existe una trayectoria que tenga celdas llenas en todas las esquinas. Pararemediar esto , se agrega E a una celda vacia que perrnita establecer un atrayectoria . En este ejemplo cualquiera de las celdas S\D2 0 SlD3 servira .

Se dara una ultima advertencia sobre la degeneraci6n . Una vez que seha pues to una E en una celda vacia , debe dejar se ah i par a esa revisi6n, nopuede moverse a otra celda . Es claro que si hace falta mas de una celda

llena, se necesitaran varias E 's. Pero una vez que se colocan , deben per

manecer ahi dur ante toda la prueba .

Cuando se quiere marimizar El rnetodo del transporte esta disenado paraproblemas de minimizaci6n. Sin embargo, ha bra veces que se tenga un

problema de tr ansporte que requiera maXimizaci6n . Por ejemplo, si lasrutas alte rnativas incl uyen un a funci6n del rendimiento, deb e rnaximizar

se ese rendimiento (0 ganancia).

TABLA 10·15Soluclones revlsadas

150

5 6

°1

o 51

300

-1

150 200 100 450

2 52

(aJ Cambio de

4 6 3

°1 ° 2 °3

0 5 1 150

300

150 200 100 450

(bl So lucion revisads. optima

PROGP'AJv1AClO JLI lEAL LOS

METODOS DE

305

Existen tres forrnas de adaptarse a la maximizaci6n. Aunque todas lle

van al mismo resultado, los autores prefieren la prirnera.



PLAJEACIOr I DELASACTIVIDADES

[ lELA EMFPESA

Metodo A: minimizacion del costa de oportunidad Si se esta maximizan

do, entonces las ganancias grandes son buenas y las pequefias son rnalas. Sele puede dar la vuelta al problema encontrando .la celda can la mayor ga

na ncia y restando de esta todos los nurneros en las celdas, Estas diferencias

son los costos de oportunidad por no usa r las celdas de gnnancia alta. Seincluyen estes costos de oportunidad en la matriz de transporte y se apli

can los metodos estandares para encontrar la soluci6n 6ptima. En In tabla

10-16 se muestra un ejemplo. .

Metoda B: minimizacion de las ganancias negatioas Otro metodo es

multip licar por - 1 todas las ganancias en las celdas y proceder con el

metodo del transporte, Esto funciona muy bien para las soluciones por

computadora . Si se esta resolviendo el problema en forma manual , puedecrear confusion es, a menos que se tenga mucha ~ n l c t i c a en el manejo de

numeros negativos. \.

Metoda C: inversi6n de todas las reglas de decision ,AI invertir todas las

reglas de dec isi6n, se maximiza directamente. Se incluyen las ganancias

en cada cel da y se aplica el metoda del transporte reinterpretando las

reglas de decisi on . Para encontrar una solucion inicial con el metodo del

menor costo , se comienza con el "coste" ttuis grande. AI final, la prueba

de optimalidad tendril que tener tod os los valores no positioos para indi

car que la soluci6n es 6ptima. Este enfoque esta limitado a soluciones rna

nuales y requiere una gran flexibilidad mental.

Cuando algunas rutas estan prohibidas dQue se haee cuando algunas delas celdas (rutas) en un problema no pueden usarse, si estan prohibidas por

alguna raz6n exte rn a? Esto no causara ninguna dificultad real. Las celdasse incluyen en la ma t riz y se les asigna un costo muy alto. Si se les asigna,

por ejernplo, 100, el costo mas alto de los permitidos, esas celdas no apa re

oeran en la soluci6n final . Para mayor rapidez, puede usarse la letr a M para

representar un rnimero muy grande. Esto simplifiea los calculos, ya que sumar

o restar cualquier rnirnero finito no afecta a M. Por ejemplo, M + 6 = M.

OTRO TIPOS DEPROBLEMAS DETRANSPORTEExisten much as aplicaci ones del me toda de transporte a problemas que no

tienen ninguna relaci6n con el envio de bienes. Estes son problemas de

"transp orte" s6lo en un sen tido muy general. A continua ci6n se dan tres

ejemplos para ilust rar la variedad de problemas a los que el me todo se

aplica . Pa r sup uesto, esta no es una list a complet a . La intenci6n ejerci

tar la me n te para ampliar la imaginacion.

Seleccl6n de un medlo de publlcldadLa publicidad lleva un mensaje de una compafifa desde va rios origenes 0

m edias a los destinos deseados por la compafiia como metas de mercado306

TABLA 10-16

Conversl6n a costos de oportunldad



200

400

250 350 600

(\f 2 - 10 =: 2- - ---t-

1 2 - 8 = 4 - - - + ~

(b ) Minimizaci6n de los costas de oportunidad

(grupos por edades par ejemplo) . Los origenes, televisi6n, radio, periodico, tienen capacidades totales en terrninos de la audiencia a la que puedenlIegar en un periodo de tiempo limitado. La campania puede formularobjetivos para cada meta en el mercado en terrninos del numero de personas que se desea queden expuestas a su mensaje. Esto constituye las demandas en los destines. La ultima cornponente que se necesita es el costapor persona expuest a para cada uno de los medios en cada categoria de

mercado. Estos costas pueden ser proporcionados par los medics para laaudiencia estandar en las ca tegorias. EI problema general sera , entonces,encontra r la combinaci6n de menor costa para enviar los mensajes de losmedias a sus destinos en el mercado . En In tabla 10-17 se ilustra unejemplo.

Programacl6n de la produccl6nUna de las tareasen la planeaci6n de la producci6n es encontrar el prograrna de menor costa para cumplir con la demanda en los meses fut uros. Engeneral, la demanda se conoce, pero varia de un mes a otro . Para suavizarestas variaciones, los articulos se producen para inventario en los meses de

/ TABLA 10-17

Seleccl6n de l medic de publlcldad



Destinos (grupos de edades)

17 -24 25 -45 4 6 -6 5 M:i s de 65 FicticioOrigenas

Peri6dico

Un peri6dico

Radio

Televisi6n

c= 20 000 35 00 0 30 000 20 000 60 000

' - --- - Tamafio del grupo de mercado al que Sf.' debe expon er

Aud iencia

metatotal

35 00 0

30 000

20 00 0

80 000

165 000

Nota : la) Los costos reflejan 01costo por cada mil personas qua ven el anun cio .tbl Esta soluci6n recomienda el uso de cada medio con anuncios

disefiados an especial para un grupo de edad.

holgura y se usa tiempo extra en los meses pico . En efec to, los turnos normales y los de tiempo extra constituyen los origenes. En forma analoga, la

demanda en cad a mes es un destine. Los costos de "transporte" varian. Se

incurre en un costo de pro ducci6n regular cuando los artfculos se producen en el mismo rnes en que se demandan. Si se usa el tiempo extra, existeun costo unitario agregado. Cuando Ia produccion es para inventario , se

agrega ta rnbien un costo de invent ario mensual. Por sup uesto, la deman

da de enero no puede satisfacerse en febrero . Este tipo de pr oblema seilustra en la tabla 10-18.

Traslado de carros para renta INo es dificil que una agencia de renta de carrosse encuentre con que tieneexceso de carros en algun punta y deficiencia de los mismos en otros. Para

corregir to, los carros deben trasladarse. Pero ~ . q u e lugares origcn deben

mandar carros a cada lugar destino? Si se conoce el costo de transporteunitario para cada ru ta posible, este problema puede resol verse ca n e l metodo de tr ansporte. En la tabla 10-19 se muestra un problema de este tipo.

CARACTERiSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE ASIGNACIONLos problemas de asignacion forman una subclase especial de los proble

308 mas de transpor te. Par quedar clasificado como un problema de asign -PLAI JEA(I(_"1 DE

A ~ ArTlVIDADES

TABLA 10·18

Programocl6n de 10 producci6n



Origenes

Period o 1: reg ular

Periodo 1: t iem po extra

Periodo 2: regular

Periodo 2: t iempo ext ra

Periodo 3: regular

Periodo <I : t iempo extra

Destin es

Period o 1 Periodo 2 Periodo 3Capacidades

de producci6n

20 000

10 000

20 000

10 000

20 000

10 00 0

20 000 <10 000 90 00 0

"Dernanda en cada periodo

Costos : Tiempo regul 3r : $3

Diferencia por tiempo eXU3: + 1.50

Costas de inv entario: $1 por mes

M = un coste muy alt o

cion, la capacidad en cada origen y la dernanda en carla destine debe serigual a 1. Como su nornbre 10 dice, el problema trata de decidir que ori gen asig na r a cada destino. Los problemas tipicos de esta natur alezaincluyen el de asign ar trabaj adores a m ..iqui nas , equipos de trab ajo a pro

yectos y agentes de ventas a distritos.Los problemas de asignacion de pequena escala pueden resolverse con

la enume racion de todas las com binaciones y la seleccion de la mejor. Peropara uu problema de 11 x n , cxisten nl soluciones posibl es. Au n un peq uefioproblema de .5 x .5 tien e 120 solucion es. Se podria usar el metoda de rami

ficacion y acotamien to del capitulo 9. Tam bien los rnetodos generales desolucion de PL como el simplex. 0 aun el metoda del transporte. Sin em

m.transporte ii

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