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Mucho gusto. Soy Función.¡Te presento a mi familia!

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Por:

Lizbeth Silva González

Rosa E. Padilla Torres

AFAMaC

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Funciones

• Función: relación que asigna exactamente un valor del rango a cada valor del dominio.

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Funciones

• Relación� cualquier conjunto de pares ordenados.

• Dominio� son todos los valores de x en

21• Dominio� son todos los valores de x en una relación.

• Rango� son todos los valores de y en una relación.

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Relación vs. Función

• Ejemplos:– {(2,-3), (4, 3), (5,6), (2,8)}

– {(3,5) , (8,4), (9,4), (1,5)}

21– {(3,5) , (8,4), (9,4), (1,5)}

– {(1,-2), (3, -2), (5, -2)}

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La prueba de la recta vertical

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La prueba de la recta vertical

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Funciones

• Las funciones se pueden transformar utilizando la reflexión, la traslación, la extensióny la compresión.

21extensióny la compresión.

• Todas esas transformaciones forman una familia de funciones.

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21FUNCIONES BÁSICAS Y SUS FAMILIAS

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f(x) = x²

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f(x)= -x²

• ¿Qué tiene de diferente la función?

• ¿Qué efecto tiene ese negativo?

• ¿De qué forma altera la gráfica con respecto

21• ¿De qué forma altera la gráfica con respecto a la función original?

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El negativo en la función crea una reflexiónde la gráfica en el eje de x

f(x)= -x²

21f(x)= -x²

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• f(x) = x² +4

• Vamos a graficarla.

Y esta función, ¿qué tiene de diferente?

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f(x) = x² +4

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f(x) = x² +4

• El 4, por ser positivo, ocasiona una traslaciónde la función.

• La función se trasladó 4 unidades hacia

21• La función se trasladó 4 unidades hacia arriba con respecto a su posición original.

• En conclusión, la suma o resta de constantes hará una traslaciónen el eje de y.

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El próximo miembro en la familia de f(x)=x² es

f(x)=(x+3)²

• ¿Qué crees que pasará?

21• ¿Qué crees que pasará?

• ¿Se trasladará también hacia arriba como ocurrió cuando le sumamos 4 a la función?

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f(x)=(x + 3)²

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f(x)=(x + 3)²• A diferencia de la función anterior, tanto el 3

como la x están siendo afectadas por el exponencial.

• En este caso, la función se traslada hacia la

21• En este caso, la función se traslada hacia la izquierda. Exactamente 3 unidades.

• Cuando se le suma o resta una constante dentro del paréntesis, esto crea una traslación en el en eje de x.

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¿Cuál de estas funciones muestra una traslación hacia la derecha?

• f(x)= x² - 8

• f(x) = (x – 8)²

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Te presento al último miembro de la familia de la función f(x) = x²

• Grafiquemos f(x) = 2x² y veamos qué pasa.

21x f(x)

-2 8

-1 2

0 0

1 2

2 8

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f(x) = x²

• 2 es un número mayor que 1. ¿Qué crees que ocurrirá si el número es menor que 1?

• Por ejemplo: f(x) = ½ x²

21• Por ejemplo: f(x) = ½ x²

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Transformaciones• Estas transformaciones se llaman extensión

y compresión.

• La extensiónocurre cuando el coeficiente es mayor que 1.

21mayor que 1.

• La compresiónocurre cuando el coeficiente es mayor que 0 pero menor que 1.

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Transformaciones• Mientras más grande sea el coeficiente más

estrecha será su gráfica. Se acercará más al eje de y, sin nunca tocarlo.

• Mientras más cerca de 0 sea el coeficiente, más

21• Mientras más cerca de 0 sea el coeficiente, más amplia será su gráfica. Se acercará más al eje dex, pero nunca lo tocará.

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f(x) = x³

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f(x) = x³

• Si nos dejamos llevar por las transformaciones de f(x) = x² ; ¿Qué crees que pasará si le añadimos un negativo?

21que pasará si le añadimos un negativo?

• ¿Cómo será la gráfica de f(x) = -x³?

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f(x) = -x³

21• El negativo de la función crea una reflexión

de la gráfica en el eje de x.

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f(x) = x³

• ¿Qué pasará si le sumamos o restamos una constante a la función?

• Por ejemplo:

21• Por ejemplo: • f(x) = x³ + 1

• f(x) = x³ - 3

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f(x) = x³

• Al igual que en la función f(x) = x² + 4, la suma o resta de una constante hará que la gráfica de la función se traslade.

21gráfica de la función se traslade.

• En el caso de f(x) = x³ + 1 se trasladará exactamente 1 unidad hacia arriba.

• En f(x) = x³ - 3, la función se trasladará exactamente 3 unidades hacia abajo de la función básica .

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f(x) = x³ + 1

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f(x) = x³ - 3

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¿Puedes imaginar que pasará en f(x) = (x – 5)³ ?

• La función básica se trasladará

21trasladará exactamente 5 unidades hacia la derecha.

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¿Cómo debo escribir la función para demostrar una traslaciónde 10 unidades hacia la izquierda?

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Veamos ahora cómo funciona la extensióny compresiónen f(x) = x³

• Si graficamos f(x) = 10x³ notaremos que la gráfica se hará más estrecha.

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Veamos ahora cómo funciona la extensióny compresiónen f(x) = x³

• Mientras que en la gráfica será más amplia

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La próxima función básica es f(x)= |x|

• Grafiquemos esta función:

x f(x)

21x f(x)

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

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f(x)= |x|

• Ahora, veamos si ya entiendes las transformaciones.

• ¿Cómo será cada una de las siguientes

21• ¿Cómo será cada una de las siguientes gráficas?� f(x) = -|x|

� f(x) = |x| + 6

� f(x) = |x + 6|

� f(x) = |x| - 9

� f(x) = |x - 9|

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La última función básica es

• Grafiquemos esta función:

x f(x)

21x f(x)

0 0

1 1

2 1.14

3 1.73

4 2

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Practiquemos una vez más las transformaciones

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011• Hay que destacar un detalle muy importante en la

extensión y compresiónde .

• En la extensión, contrario a los casos anteriores, la gráfica de la función se verá más amplia a la vez

21gráfica de la función se verá más amplia a la vez que se acerca al eje de y.

• Mientras que en la compresión, la gráfica se ve más estrecha a la vez que se acerca al eje de x.

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Practiquemos ahora como graficar funciones que tienen más de una transformación.

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Fue un placer compartir contigo. Cuando quieras puedes regresar. Mi familia estará muy contenta

en recibirte otra vez.

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