DVLA 03 - REPRESENT A ES MATRICIAIS E

MUDANGA DE BASE

I Auto vetoes come kits de base .

Vi mos que auto vetoes normalizations de A formanum conjunto complete onto normal . Um kit

arbihcirio em Epode see expand. to em terms dos

auto vetoes de A, seja I 27 E E

la > = ? Ci I ai )

Multiplicand a expresses acima por Cail,

tend

( aj I L ) = ? Ci Gaj la i ) = ? Ci Si j = Cj .

On sips ,

H ) = ? I ai X ai la )-

Ci

Umavez que la > e- um but arbitrates

,terms

¥ lai X ai I = IRelasiao de

complete za on

fechamento

Note que ,u son do a relagoio de complete ya ,

at a > = at I I aiX ai la ) = ? Cit Ci = E Ici I'

se It ) E E for normalized ,i. a KID = t

,

I I Cil'

= I.

Lembremos do projectorPa=

laxat , que e- um

operator que profit a um estado ID ma dimaio

de la ).

A relaxed de complete ga po de see

escrita como

A- = I I ai X ai I = ? Pai .

2 Represents sins matrices

Umavez especifcados as Gets de base

,

mostraremos come represents um operator X por

Uma matriz quadrada. Veja mos

,

X = E I I

aiX

aiI x la ; X

as. I

Ai Aj -

X i j

U sando o fate s pl x la > *= Lal x t I p >

,

podemos escrever

( ai I Xt I a j) = C aj I x I ai ) *

.

Xist= (X ji )

't

,

que nos remit ao conceit bem familiar de

que a operations adjunta hermitian e- tomar a

"

transporter complexes conjugate"

.

Se ja 2- = X Y .

A representative matric I de Z

deve su lida come

( aj I Z I ai > = haj I X Y I a ;) = Cajl x I Y I ai )

= ? C aj I x I ar . Xan I Y I ai )

: . Zj i = I X j u Y ki, que

i o potato usual de

matings quadra das.

Vamos agora examiner come

18 > = X 127

pole see represents do faze n do u so dos mound Lets

de base.

Cail D = Cail X la > = sail x I ID

laminin:*

ou sofa ,um bet pod see representsdo por una

mating column ma forma

me!:3 )

Da ones ma forma ,

< r'

I = Lal x

L o' la i > = Cat x I ai ) = 611x la is

= § C L l a ; Xaj I X I ai )- -

Cj Xj i

que I a nigrade multiplicative de una matriz

linha por uma quadra La. Logo

Lrt = f Cr la . >,

Lola , >,

. . . )

= ( La . I D*,

La . I r )*,

. . . )

As sin,

o produto interns

C at p > = GII Ip > = I at ai Xailp )

= ( Ci , ca,

. . . ) . ( dd! ) .

di

= ( Ca.

KH,

Carla ) *

,. . . ) .

f dd! )

Final ment,

a representation national do

produto extern Ipx at e- data por

Ipx at = laixailpxxlajxa ; I

= Iai ) La ; Ip ) L ajl a) * Lajl

mafia::÷:'

: *

'

i::xn÷::*

A representative de um obscura - wel A e-

particular merit simples , poi s A Iai) = ai I ai ),

logoAij = Lajl A Iai ) = Gaj lait ai ) = ai La j I ai )

÷

A ij = ai Si j ,e portanto diagonal !

• Sistema de spin %

Vamos considerate agora um case especial de

sistema de spin Ya .Vamos demotion os bets de base

por I I ),

on sofa ,

Sz It ) = hz I t ) e Sa I - > = - I I -7,

de forma que a representagain national de Sz

e- dada por

Sz = FgIi Xi I Szljxj I

Sz = It Xttsz It X t I t It Xt I Sz I - X - II

+ I - X - ISH txt I t I - X - ISH - X - I-= O

Sz = I [ I txt I - I - X - I ]Sz If too , ) .

Vamos considered tambim autos do is operators ,

St = t It X - I e S- =t I - X t I

Oque

tais operators fazem ?

St I - > = tilt X - I - S = t It >-

= I

St I t ) = hi It X - I t ) = O

S - I - > = t I - Xt I - > = O

S - It > = t I - XtIt> = t I - >

St i ¥ Ii Xi I htt X - Ij Xj I

-

- t It X - I = t (Ooto )S

- i ¥ Ii Xi It I - Xttjxj I

= hi I - X H i t ( 9Oo )Como podemos represents as kits It > ?

I > = ¥ Sz I >

it= j ÷.

Citszlj > = j ¥ I sit sztrxklj )

FE? :c

kgpl o but Its limosIt in

It ) f t 4kSttStt t Ht St - 8 - t ) to )+ 21k S

- t Stt t Ht s - - S - t

= (T ¥

De marina similar,

I - s = (9)

3 Mu dan.ca de base ( representscaio)

Numa da da representation ,um but ( ou um

bra,

on um operator ) i representsdo por uma

matriz . Se mudamos a representative ( a base)

o mesmo but seria represents do por Uma matrizdi fuente . Por exempla ,

em sistema de spin 112

podemos war as kits I Sxt ) come mosses bets de

base no lugar de I S z t ). Eskimos intense dos

em saber come euros die as mateys se rebacionam .

Sejcrm dois opera does in compativeis A e B.

O

espacio de buts pode see risto come gwado por

I I ai ) I on I I b ' > I . Nossa tarefa e- determiner

um operator que correct e as duras bases .

There ma i .3

- Dada dois conjunto de bets de base,

ambos sat isfazendo as condign de orthonormal da de

e complete ya ,exist um operator vnitaiio U I

I b ' ' ' > = U Ici " ),

Ibl " > = U I am >,

. . .

,lb " > .

-U I ah ' ) .

Operator vnitaiio : U U t= Ut U = I

.

Afinmamos queU = I lb ' " ' X a' " I . Clara ment

U I are' ) = I b " ' ), por aorta da onto normal date

de I Ici> I.

Alim dis so,

UTU = If I talk'Xb"' I bee ' X are ' I

-

= Skl

= I la ' " X or " I = I.

.

.

U unitaiio.

• Matriz de transformativeA representative matric al de U ma

"

antigen"

base

Heist e-

( ai I U I a j ) = ( ai lbj )

on sofa ,os elements de matriz de U nai

construei dos dos products interns entrees bras da

base antiga pecos bets da nora base

.

Nos referimos'

a Lai I U I ai ) come matriz de

transfer maxoio da base Ha ' > I µ 1lb ' > I .

Dado um but arbitiario K > = Iai X ai ID,

come ester Cb ; ID ?

Lbj ID = ? Lbj I ai Xa ;I x )

= ? C advt I ai X ai la >

ore sofa , a matriz column para la > ma nova base

e- obtida pelo produto da matriz quadra da Ut

peba mating column escrita ma base antiga .

Para um dado operator X,

< bi I X lbj > = ME NE C bi I am X am I X I an X an I b j )

= Em § C ai I U t I am X am I x Ian Xan I U la j )

Esta e- a con hear da transformation de si mi la ri -

dade da cilgebra matric al

X'

= Ut x U

O trace de um operator X e- difini do como

tr I x ) = I sail X I ai ).

Note que o trace e- independent da representative :

Zi Cai I x I ai ) = ? Lai II x a I ai )

= ? § I Cail bj X b j I X I bk X b K la i >

= ? I -2 C b at ai Xa ; lbj ) Lbj I X I b u )K

8 Kj-

= §I Cbr. I bj ) Lbj I x I b K ) = § C b j I x I b j )

• Tn ( x y ) = Tr I Y Xt

Tr Ix y ) = I C ai I XIYI ai )

= Cail x taj X aj I Y I ai )

= ¥ Caj I Y I ai X ai I X I aj >

= Ej C aj I Y X I aj > = Tr ( Y x )

• Tn ( Ut X U ) = Tr C x )

Tn ( Ut x U ) = I Cail I I aj X bj I x I b r. Xavi 1) I ai )

=

,Cail aj X bj I X I b K Xan I ai )

- -

Si j 8 k i

=

µ

8 ij Lbj I X I b k ) Ski = § C bi I X I bi )

come o tha.co i independent de represents .cat,

Tr ( Ut X U ) = Tr ( x )

• Tn I I ai X a j I ) = Si j

Tr ( O ) = E Car .I O I ar . >

= I Ca k I ai Xaj I a K ) = Ek Ski Sj K = Sij

• Tn ( Ibi X ai I ) = Sail bi >

Tr (Ibi X ai I ) = I Car . I bi X ai I ar . )

= ¥ Car .I bi ) Sir = C ai I bi >

4 Diagonalize ,iao

Vamos agora dis actin come determiner auto wa -

lores e autostradas de um operator B ayios elements

de matriz numa base antiga I I a > I siao conhecidos .

B I b r. > =

braI b k >

( ai I B Ibra> = b k Lai lb K >

I C ai I B I a j X aj I b K ) = bra C ai Iba )j - -

-

I D D

§Lai IBlaj Xaj I b K ) = bra Cai Iba )

§ Bij Cj "= bra Ci "

§ ( Bij -b K Si j )

Cj"

a O

centre a. do da AL que Cj Wao trivial se e so ment-

se / Det I B - bn. I] = O I Ez .

caracteristica-

• Exempla : Sx = I ( Yto )2

Det I ( Esst's)) -- O

,s2 - tf so

i.

S = ± I2

§ I Sxij - s 8 ij ) Cj = O

( Sip - s Sir ) C , t ( S iz - s Si a ) Cz = O

( S , , - s Su ) C , t ( S , 2 - S Sir ) C a = O

{ (Sze - s Sz , ) C , t ( S 22 - S 822 ) Cz = O

Sx -- Iffto )2

( Si , - s Su ) C , t ( S , 2 - S Sir ) Cz = O

{ (Sze - s Sze ) C , t ( 522 - S 822 ) Cz = O

- LIC , t HI Cz = O( Ici - Ic , = o

⇒ c , = c , sohanaindependent

Para o automaton- LI limos ca = - c , ,

de forma

que os auto vetoes do operator Sx podem ser

exits come

lsxt > i c , ( y ) e tsx - ) = Ci ( I )

come Lsxtlsxt ) = Csx - I Sx - > = I

Cill 1) c. ( I ) = t ⇒ c ? ( i t I ) -

-

I i. 92 = z

C, = tf e- Uma sohu.in .

Em qual sail Ulaj > = Cai lbj ). Asim

,

raben do que 15×+7 = It > tf I -7 ,

terms

Utt =Lt lsxt ) =

t Nz,

Ut - = Lt 15×-7 = HE

U- t =

C- IS xt ) = Yrs,

U- -

=L - I Sx - > =- Yrs

U f. (.

'

.

'

,) : U faff ! , ) .

Utu = a

Vejamos ,

utsxu = I 's I :.

'

, )l9f) lit )= ¥1 ::X :

.it#a.:t-hItt.:lObviamente,

Sx ma base de 1sx± ) i diagonal .

I

Sx±)ziEz f ! ,) ,

Ubx± ? = IS x± >x

lsxtsx Eli.:) I - Eli :i )

:. lsxt ) = ( to ) e 15×-7 = ( on ) .

5 Obseruoiueis equivalents vnitaiios

Consider dais conjunto de vetoes de base

ortonormais 31 aisle t I bi ) I cone ctados via

U = § I

bjxajl,e A Iai > = ai Iai ) .

Po demo constrain uma transformative unitaiia de um

operator A como

B = A'

= U A U- '

Sofa B = UAV- '

,e I bi > = U I ai >

,entail

Bl bi > = UAV- '

U I ai > = U Alai > = U ( ai lait )-

I

= ai Ul ai ) = ai I bi >- IOs operators A e B = U AU possum o

mesmo aspects . Operators equivalents unitaiios

possum o mesmo espectro .