DİFERANSİYEL DENKLEMLER VE UYGULAMALARI

1.Giriş

Matematikte karşılaşılan problemlerin çoğu şu biçime indirgenebilir: f(x)=b biçimindeki

bağıntı göz önüne alındığında f,bir E kümesinin bir F kümesi içinde belirli bir

gönderimi(uygulaması),b’de f’nin belli bir öğesidir. İşte böyle bir bağıntıya, denklem adı

verilir.E’nin x öğesi verilmemiştir;buna bilinmeyen denir. E’nin, f(x)=b bağıntısını sağlayan

her öğesine denklemin çözümü adı verilir. Çözümlerin belirlenmesi denklemin çözümü

demektir. Buradan diferansiyel denklem kavramına geçersek;

Fizik, mühendislik, kimya, astronomi, biyoloji, tıp, psikoloji, sosyal

bilimler ve ekonomi gibi dallardaki belli problemleri temsil etmek için bir matematiksel

model gerekli olur. Bu matematiksel modeller, içinde değişkenleri ve türevleri bulunduran bir

denklemi ve bu denklemi bazı koşullarda sağlayan bir bilinmeyen fonksiyonu bulmak için

kaynak oluşturur. Buradaki bütün durumlar birbirleri ile bağlantılı olarak değişirler. Örneğin

düşen bir cismin hızı mesafe ile, fırlatılan bir roketin izleyeceği yol hızı ve ateşleme anındaki

açısı ile değişmektedir. Matematikte birbirine bağlı olarak değişen bu büyüklüklere

değişkenler yani bağımlı ve bağımsız değişkenler; bir değişkenin diğer bir değişkene göre

değişme oranına (kabaca) türev; bağımlı değişken, bağımsız değişken ve türevleri arasındaki

bağıntıya da diferansiyel denklem adı verilir.

Fizik ve mühendislikteki birçok dalda karşılaşılan problemlerin diferansiyel denklemlerle

ilgisi vardır. Bunlardan bazılar roket ve uyduların hareketi, bir elektrik devresindeki akım

veya elektrik yükü, bir tel veya zarın titreşimi, iletken bir çubuktaki ısı akımı, radyoaktif bir

maddenin parçalanması, kimyasal reaksiyonların belirlenmesi, belirli bir geometrik özellikteki

eğrilerin bulunması gibi... Bir başka deyişle, bu tür problemlerin matematiksel modeli

karşımıza diferansiyel denklemler olarak çıkar. Örneğin, radyum’un halihazırdaki miktarına

göre belli bir oranda parçalandığı (deneylerden) varsayılmaktadır ve bu matematiksel olarak

diferansiyel denklemi ile ifade edilmektedir. Bu denklemi, 100 mg bir parça için çözerek ve

deneyden bulunan sonuçları kullanarak,

denklemi bulunur.

Bu bize, bundan 20 yüzyıl sonra

bırakacağını ve 20 yüzyıl önce bırakılan birikintinin

olduğunu açıklar. Genel olarak, belirtilen herhangi bir zamandaki bağıntılarda tanımlanabilir.

Newton yerçekimi kanununu tasarlayıp dünyanın, yörüngesinin birinde güneş olan yaklaşık

bir elips çevresince güneş etrafında hareket ettiğini göstermek için ilgili diferansiyel

denklemler sistemini çözdü. Uydular, uyduların yörüngeleri ve ilgili yöntemleri öğrenmek

için halen aynı teorileri kullanırız. 1865’lerde Maxwell bir elektrik akımı ve karşı gelen

manyetik alan arasındaki bir bağıntıyı tasarlayıp bağıntıyı bir kısmi diferansiyel denklem

sistemi olarak ifade etti. Bunları çözüp sonuçlarından radyo dalgalarını tahmin etti.

Diferansiyel denklemler genellikle radyo, radar, televizyon ve elektrik teorisinin gelişiminde

önemli bir rol oynadı. Benzer düşünceler hemen hemen bilimin her dalına uygulanmaktadır.

1.1.Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi

Diferansiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar, 17. yüzyılın ikinci yarısında,

diferansiyel ve integral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen sonra, İngiliz

matematikçi Newton (1642-1727) ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716) ile başlar.

Daha sonraları, matematik tarihinde büyük isim yapmış olan, İsviçreli matematikçilerden

Bernouilli kardeşlerin, 18. yüzyılda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D'Alembert. Charbit,

Monge, Laplace ile 19. yüzyılda da, Chrystal, Cauchy, Jacobi, Ampere, Darboux, Picard ,

Fusch ve F.G. Frobenius, diferansiyel denklemler teorisini, bugünkü ileri seviyeye getiren

matematikçilerdir.

Belli tip diferansiyel denklemlerin, belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının

ispatı, diferansiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup, bu da,

ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında, Fransız matematikçi A.L. Cauchy tarafından tesis

edilmiş ve daha sonra gelenler tarafından geliştirilmiştir.

1.1.2Newton ve Diferansiyel Denklem

İngiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferansiyel denklemler üzerindeki

çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır. 1671 yılında yayınladığı bir makale ile, diferansiyel

denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir. Bunlar:

Birinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, dy/dx tipinde olanlardır. Burada

y, x'in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur.

İkinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, (dy/dx) = f(x,y) tipinde olanlardır.

Üçüncü Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıftaki diferansiyel denklemler ise, kısmi

diferansiyel tipinde olanlardır.

1.1.3.Leibniz ve Diferansiyel Denklem

Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716), diferansiyel denklemler üzerine

çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır. Bu konudaki çalışmalarını, 1684 ile 1686 yılları

arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur.

Leibniz'in bu eseri, yayınlandığı yıllarda Almanya'da gereken ilgiyi görmemiştir. Fakat,

İsviçre'de, Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından, ilgiyle incelenmiştir. 1690

yılında,Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayınlanmıştır. Yine aynı yıllarda;

Leibniz ve Bernouilli kardeşler tarafından, diferansiyel üzerinde önemli araştırmalar

yapmışlardır. Yeni çözüm yolları geliştirmişlerdir. Leibniz 1691 yılında; f (x,y) = f (x.g (y))

şeklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmıştır.

1.1.4.Euler ve Diferansiyel Denklem

Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783), 1728 yılında, diferansiyel denklemler

üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır. Diferansiyel denklemlerin derecesini düşürme

yöntemlerini geliştirmiştir. Seri çözümleri:

(1-x4)-1/2dx + (1-y4)1/2dy = 0

şeklinde olan Abel'in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur. Bu çözüm, eliptik

fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır.

1.1.4.1.Euler'in Denklemi

ai’ler sabit olmak üzere, denklemin genel şekli:

a0xnyn + a1xn-1yn-1 + ... + an-1 xy + an = q(x)

olan bu denklem, y'ye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayılar değişkendir.

2.Genel Kavramlar ve Tanımlar

Tanım 1. Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve

bağımlı değişkenlerin bağımsız değişkenlere göre türevlerini veya diferansiyellerini içeren bir

bağıntıya diferansiyel denklem denir.

Tanım 2.Bir fonksiyon veya denklemin diferensiyelini bulmak için yapılan işleme diferensiyel alma denir. Tanım 3.Değişenlerin sonsuz küçük farklardaki artma değerlerini bulmaya yarayan hesaba diferansiyel hesap denir.

Örnek1.

, veya (1)

ifadeleri, bir diferansiyel denklemin değişik formlardaki yazılışıdır. Birinci ve ikinci denklem

y bağımlı, x bağımsız değişkenli türev formundaki diferansiyel denklem; üçüncü denklem ise

diferansiyel formdaki diferansiyel denklemdir. (1) denklemi, x bağımlı, y bağımsız değişkenli

olarak

, ,

şeklinde yazılabilir.

Örnek2.

diferansiyel denkleminde s bağımlı değişken, x bağımsız değişken;

diferansiyel denkleminde ise s bağımlı değişken, x,y ve t bağımsız değişken olup a ise belli

bir sabittir.

Tanım4. Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir tek bağımsız değişken ve bağımlı

değişkenin (veya değişkenlerin) bir tek bağımsız değişkene göre türevlerini veya

diferansiyellerini içeren bir diferansiyel denkleme adi diferansiyel denklem denir. Kısaca bir

diferansiyel denklemde bir tek bağımsız değişken varsa denkleme adi diferansiyel denklem

denir.

Genel olarak y bağımlı, x bağımsız değişkenli bir adi diferansiyel denklem,

bilinmeyenli

(2)

şeklinde bir fonksiyon olarak tanımlanır.

Örnek3.

Adi diferansiyel denklemlere örnek olarak;

a) b)

c) , d) ,

denklemlerini verebiliriz.

şeklinde bir fonksiyon olarak tanımlanır.

Tanım5. Bir veya daha çok bağımlı değişkenin birden çok bağımsız değişkene göre

kısmi türevleri ile beraber bağımlı ve bağımsız değişkenleri içeren diferansiyel denkleme

kısmi diferansiyel denklem denir. Kısaca bir diferansiyel denklemde birden çok bağımsız

değişken varsa denkleme kısmi diferansiyel denklem denir.

Genel olarak u bağımlı, x ve y bağımsız değişkenli bir kısmi diferansiyel denklem,

(3)

şeklinde bir fonksiyon olarak tanımlanır.

Örnek 4.

Kısmi diferansiyel denklemlere örnek olarak,

a) b)

c) d)

denklemleri örnek verilebilir.

Örnek 5.

, , denklemleri adi diferansiyel

denklemler,

, ,

denklemleri ise kısmi diferansiyel denklemlerdir.

Tanım6. Bir diferansiyel denklem içinde bulunan en yüksek mertebeli türevin

mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi; en yüksek mertebeli türevin derecesine de

diferansiyel denklemin derecesi denir. Diferansiyel denklemin derecesi hesaplanırken,

denklem türevlerine göre polinom olarak yazılmalıdır.

Örnek 6.

; 2. mertebe ve 1. dereceden

; 2. mertebe ve 4. dereceden

; 2. mertebe ve 1. dereceden

; 3. mertebe ve 1. dereceden

; 2. mertebe ve 3. dereceden

; 3. mertebe ve 6. dereceden

; 3. mertebe ve 2. dereceden

Türevlere göre cebrik bir adi diferansiyel denklemin derecesi, en yüksek mertebeli

türevin cebrik derecesidir. Fakat bir diferansiyel denklem bir dereceye sahip olmayabilir.

Örneğin

diferansiyel denklemi hiçbir dereceye sahip değildir.

3.Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması

1. Bir diferansiyel denklem, içinde bulunan bağımsız değişkenlerin sayısına göre önce ikiye

ayrılır.

a) Adi türevli diferansiyel denklemler (bağımsız değişken sayısı bir tek

ise)

b) Kısmi türevli diferansiyel denklemler (bağımsız değişken sayısı

birden fazla ise)

2. Diferansiyel denklemler, denklemde bulunan en yüksek mertebeli türevin mertebe ve

derecesine göre sınıflandırılabilir.

3. Denklemde bulunan bağımlı değişken ve türevlerinin lineerlik koşullarını sağlamasına göre

a) Lineer (doğrusal) diferansiyel denklemler

b) Lineer olmayan (nonlinear) diferansiyel denklemler şeklinde

sınıflandırılabilir.

4. Bağımlı değişkenler ve türevlerinin katsayılarının cinsine göre

a) Sabit katsayılı diferansiyel denklemler

b) Değişken katsayılı diferansiyel denklemler olarak sınıflandırılabilir.

5. Diferansiyel denklemler, yapısına göre homojen ve homojen olmayan olarak da

sınıflandırılabilir.

4.Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler

Tanım 7. Bağımsız değişken x, bilinmeyen fonksiyon y(x) ve bilinmeyen fonksiyonun

bağımsız değişkene göre türevi olan i içeren,

ifadesine birinci mertebeden adi diferansiyel denklem denir.

Tanım 8. (a,b) aralığında sürekli türeve sahip fonksiyonu her x(a,b) için koşullarını sağlarsa fonksiyonuna

denkleminin çözümü denir.

adi diferansiyel denkleminin çözümünün grafiğine diferansiyel denklemin integral eğrisi denir.

denklemi ye göre açık formda yazılırsa,

diferansiyel denklemi bulunur. Bu denkleme birinci mertebeden açık diferansiyel denklem denir.

Bu kısımda, denklemi için diferansiyel denklemler teorisinin genel kavramları verilip, daha sonra bu tip denklemlerin bazı çeşitleri incelenecektir.

fonksiyonu xy düzleminin herhangi bir D bölgesinde tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer (a,b) aralığında diferansiyellenebilir bir fonksiyonu,

a)

b)

koşullarını sağlarsa , fonksiyonuna denkleminin (a,b) aralığındaki çözümü denir.

Örnek 7. denkleminin (-1,1) aralığındaki çözümüdür.

Çözüm: dir. ve nin bu ifadelerini denklemde yerine

yazarsak,

,

elde ederiz. Bu ise, fonksiyonunun denkleminin aralığında

çözümü olduğunu gösterir.

(6) diferansiyel denkleminin [a,b] aralığındaki çözümü benzer şekilde tanımlanabilir.

Bazı hallerde, diferansiyel denklemin çözümünü kapalı fonksiyon veya parametrik biçimde bulmak daha faydalı olur. Eğer

(x,y) = 0

eşitliğinden kapalı fonksiyon gibi tanımlanan fonksiyonu denkleminin çözümü ise, (x,y) = 0 ifadesine denkleminin kapalı formdaki çözümü denir.

(x,y) = 0 eşitliğinin ne zaman denkleminin çözümü olduğunu belirtmek için, fonksiyonunda y yi x in fonksiyonu gibi düşünüp türevini bulursak, bu türev

olur. Burada nün yerine yazdığımızda özdeşlik gibi

sağlanırsa, (x,y) = 0eşitliği denkleminin kapalı şekildeki çözümü olur.

Örnek 8. denkleminin kapalı formdaki çözümüdür.

Çözüm: Gerçekten dir. Bu fonksiyonun türevi dir. Burada

nün yerine yazarsak,

olur. Böylece ifadesi diferansiyel denkleminin kapalı formdaki

çözümüdür.

Parametrik formda,

(*)

fonksiyonu verilmiş olsun ve her bir için,

a)

b) sonlu türevler mevcut

c)

olur.

Bu takdirde (*) fonksiyonuna denkleminin aralığındaki parametrik formdaki çözümü denir.

Örnek 9. denkleminin aralığında

parametrik formdaki çözümüdür.

Tanım 9. ile denkleminin bir tek çözüme sahip olduğu

bölgeyi gösterelim. Yani bölgesinin her bir noktasından denkleminin bir tek

integral eğrisi geçer. Keyfi c sabitine bağlı

eğriler ailesi verilsin.

a) Her bir için denklemi c’ye göre çözülebilirse, yani

şeklinde ise,

b) için c sabitinin ile tanımlanan her bir değerinde

ifadesi (6) denkleminin çözümü ise, bu takdirde ailesine denkleminin

genel çözümü denir.

Genel çözüm

veya

kapalı şekilde verilebilir. Çözüm şeklinde verildiğinde, ona denklemin genel

integrali , şeklinde verildiğinde ise, ye onun integrali denir.

Tanım 10. fonksiyonu (a,b) aralığında denkleminin çözümü olsun. Eğer her bir x(a,b) için denkleminin noktasından geçen integral eğrisi tek ise, çözümüne denkleminin özel çözümü denir.

5.Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözüm Yöntemleri

5.1.Değişkenlere ayrılabilir denklemler:

A(y)dy+B(x)dx =0 şeklindedir

biçiminde çözümlenir.

5.2.Homojen diferansiyel denklemler:

F(tx,ty) =Tf(x,y) şeklindedir.

y=vx , dy =xdv+vdx veya

biçiminde çözümlenir.

5.3. Homojen biçime dönüşebilen denklemler:

y =f olmak üzere

x = X+h dx=dX

h ve k bulunur. y = Y+h dy=dY

işleme devam edilerek denklem homojen hale dönüştürülür.

5.4. Tam diferansiyel denklemler:

M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 denkleminde eğer

My = Nx oluyorsa denklem tam diferansiyel denklemdir.

5.5. Birinci basamaktan lineer denklemler:

A(x) +b(x)y = c(x) lineer denklemin genel halidir. Her taraf a(x) ‘le bölünürse

olur. P(x) = , Q(x) =

denirse denklem

ve bağıntıları yardımıyla denklem çözülür.

5.6. İntegral çarpanı:

Eğer bir diferansiyel denklem tam diferansiyel denklem değilse = (x,y) gibi bir integral çarpanıyla çarpılarak tam diferansiyel denklem yapılabilir.

5.6.1.İntegral çarpanıyla ilgili özel durumlar:

1- x

2- y)

3- u =x.y

4- u = y/x

5-Denklemin biçiminde bir integral çarpanı olabilir.

6-Eğer denklem y f(x,y) dx + x g(x,y) dy =0 biçiminde yazılabiliyorsa, olur.

Bazı denklemler ydx-xdy, ydx+xdy vs. gibi terimler içeriyorsa denklem ifadelerle bölünerek tam diferansiyel denklem yapılabilir.

d

d

d

d

d

5.7. Bernolli diferansiyel denklemi:

denklemin genel halidir.

olduğunda y(x) = 0 belirgin çözümdür.

Belirgin olmayan çözümü bulmak için her iki ’e böler p(x)katsayısına ‘u’ der ve x ‘e göre türev alınarak denklem lineer denkleme

dönüştürülür.

5.8. Riccati diferansiyel denklemi:

denklemin genel halidir.

*p(x)= 0 için denklem lineer, r(x)= 0 için denklem n=2 Bernolli’ye dönüşür.

* riccati denkleminin bir çözümü ise denklem dönüşümü ile lineere

çevrilir.

* ve denklemin iki özel

çözümü ise

ile çözülür.

* değişken değiştirmesi yapılırsa

denklem II basamaktan lineer denkleme dönüşür.

* reel sabitler olmak üzere (özel riccati) denklemi

verilirse olur.

5.9.Clairaut denklemi:

h(p)’nin ikinci türevi sıfırdan farklıysa aykırı çözüm vardır.

5.10. Lagrange denklemi:

her iki tarafın x’e göre türevini alırsak;

olur.

6.Birinci ve Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin UygulamalarıBirinci Mertebeden Diferansiyel denklemlerin birçok uygulaması vardır.Şimdi bunları

örneklerle inceleyelim.

6.1Hız Problemlerine uygulamalar

Genel olarak hız denildiği zaman birim zamanda gidilen yol akla gelir. Bunun dışında hız, bir fiziksel büyüklükte birim zaman içinde meydana gelen değişme olarak tarif edilir. Örneğin, bir radyoaktif elementin miktarı zamana bağlı olarak azalır ve birim zaman içinde meydana gelen azalma miktarına bu radyoaktif elementin bozunma hızı denir. Herhangi bir cismin büyüme hızı, bir kimyasal reaksiyonun hızı, difüzyon hızı hep aynı şekilde tarif edilir. öyle ise, zamana bağlı olarak değişik değerler alan bir fiziksel büyüklük Q(t) ile gösterilirse, bir dt zaman aralığında Q’da meydana gelen değişme dQ olur ve bu durumda Q’nün değişme hızı , dQ/dt şeklinde tarif edilir. bu nedenle uygulamada karşılaşılan bazı hız problemlerini, birinci dereceden bir adi diferansiyel denklemin çözümü olarak kolayca çözümleyebiliriz.Örnek 10. Bir radyoaktif element olan toryum–234(Th234) izotopu -ışınları neşrederek Pa234’ye dönüşmektedir. Bu izotopun bozunma hızı, elementin mevcut miktarı ile doğru orantılıdır. Ayrıca, 100 miligram Th–234 izotopundan bir hafta içinde geriye 82,04 miligram kaldığı bilindiğine göre , (a) herhangi bir t anında geriye ne kadar Th–234 kaldığını ve (b) mevcut miktarın yarıya inmesi için ne kadar zaman geçmesi gerektiğini bulunuz.

Problemin çözümünü veren diferansiyel denklem, bir başlangıç – değer problemi olarak ,

=kQ, Q(0)=100

Q(7)=82,04

Şeklinde yazılır.Burada t zamanı “gün” cinsinden ve herhangi bir anda maddenin mevcut miktarı Q(t) ise “miligram” cinsinden ifade edilmiştir. k katsayısına gelince bu problemde, zaman geçtikçe madde miktarı azaldığından k katsayısı bir negatif sayıdır.

Diferansiyel denklemin çözümü, Q=cekt (5)

dir. burada başlangıç şartlarından ilki uygulanırsa c=100 bulunur. Bu değer yukarıdaki denklemde yerine konursa ve ikinci başlangıç şartı fonksiyona uygulanırsa

82,04=100.e7k

k= = -0,0283-1

elde edilir. k nın bu değeri denklemde yerine konulursaQ(t)=100.e-0,0283t (6)

olur. herhangi bir t anında geriye kaç miligram Th-234 kaldığı denklem yardımıyla kolayca bulunur.

bir radyoaktif elementin miktarını yarıya inmesi için geçen zamana o elementin yarı ömrü denir ve T ile gösterilir. bu durumda denklem (6)’da

50=100e-0,0283T

şeklinde yazılır. Buradan ,

T= =24,5 gün bulunur.

Örnek 11. Newton’un soğuma kanununa göre, soğuyan bir cismin sıcaklığındaki değişme hızı, cisme ve dış ortamın sıcaklıkları arasındaki fark ile orantılıdır. Buna göre, zamana bağlı olarak cismin sıcaklığını veren ifadeyi bulunuz. Herhangi bir anda cismin sıcaklığını T ile ve dış ortamın sabit kabul edilen sıcaklığını da T d

ile gösterelim. O zaman, cismin sıcaklığını zamanın fonksiyonu olarak veren diferansiyel denklem,

= -k(T-Td) (7)

olur. Burada k pozitif bir katsayıdır. Denklem (79’yi yeniden düzenlenirse,

(8)

yazılır. T(0) = T0 başlangıç koşulu kullanılarak denklem (8) çözülürse,

T=Td+(T0-Td)e-kt

elde edilir.6.2Kimya Ve Kimyasal Karışımlara Uygulamalar

Diferansiyel denklemlerin kimya ve kimyasal olaylarda birçok uygulaması vardır.Şimdi

bunları örneklerle inceleyelim.

Örnek 12. A ve B gibi iki kimyasal madde reaksiyona girerek diğer bir C maddesi

belirlenmektedir. C nin belirme hız A ve B nin o andaki miktarlarının çarpımı ile orantılı

olarak değişmektedir. Olay esnasında B nin her poundu için A dan 2 ıb. gerekmektedir.

Başlangıçta 10 ıb. Ave 20 ıb. B varsa 20 dakika sonra 6 ıb. C belirmektedir. Herhangi bir anda

C nin miktarını bulunuz.

Matematiksel bağıntı:t saatte beliren C miktarı x poundu olsun.Bu taktirde belirme hızı dx/dt

dir.x pound C meydana gelmesi için 2x/3 ıb. A ve x/3 ıb. B’ye gerek vardır.Buna göre x

pound C nin belirlendiği t anında 10- pound A ve 20- pound B mevcuttur.Bu

nedenle

veya

dir. Burada K orantı değişmezidir. Bu denklem k diğer bir değişmez olmak üzere

olarak da yazılabilir.İki koşul mevcuttur.Başlangıçta hiç C olmadığından t=0 iken x=0 dır.

Diğer taraftan t=1/3 için x=6 dır.Gerçekten biri k yı belirlemek için diğeri diferansiyel

denklem çözümünde çıkan keyfi değişmezi bulmak için iki koşul gereklidir.Böylece. tam

kuruluş ,

t=0 iken x=0, t=1/3 iken x=6 dir.

Çözüm= Değişkenlere ayırarak,

bulunur.

dir. Böylece gösterilebilir ki,

dir.t=0 için x_0 olduğundan c=4 dür.Buna göre

ve t=1/3 iken x=6 olduğundan ve

bulunur. buradan

dir. iken x=15 ıb.dir

Örnek 13. Bir A maddesi, kimyasal reaksiyon sonucu başka bir maddeye dönüşmektedir. t=0

anında mevcut madde miktarı 60 kg olsun. Bu madde miktarının üçte biri 20 dakika içinde

diğer maddeye dönüşmektedir. Herhangi bir t anında A maddesinden geriye ne kadar

kaldığını bulunuz.

Çözüm: Herhangi bir t anında maddenin miktarı olsun. A maddesi zamanla

azaldığından ve azalma hızı mevcut madde miktarı ile orantılı olduğundan

(1)

olur. Burada k, orantı sabitidir.

Bu diferansiyel denklemin çözümü

(2) dir.

t=0 anında madde miktarı olduğundan, (2)’da t=0 yazılırsa, c=60 bulunur. c nin bu

değeri (2)’da yerine konulursa,

bulunur. Problemin şartına göre mevcut madde miktarının üçte biri 20 dakika sonra diğer

maddeye dönüşmektedir , yani kg dır. Bunu yukarıdaki denklemde dikkate alırsak,

k parametresini bulmak için

bulunur. Buradan

elde edilir. Böylece, madde miktarını zamanın fonksiyonu olarak veren ifade

olur.

Örnek 14.Bir kimyevi madde, suda erimemiş miktar ve doymuş eriyik ile o anındaki

konsantrasyon farkının çarpımı ile doğru orantılı olarak çözülmektedir.100 gr doymuş eriyikle

50 gr kimyevi maddenin çözüldüğü bilinmektedir.30 gr madde 100 gr su ile karıştırıldığında

iki saatte 10 gr eriyorsa, 5 saatte ne kadar madde çözülmüş olur?

Çözüm= x, t saat sonunda erimemiş kimyevi maddenin miktarını göstersin.Bu anda eriyiğin

hakiki konsantrasyonu ve doymuş eriyiğinki ise dür.Böylece

100

20xkx

dt

dx

yazılabilir. Bu diferansiyel denklem t=0 için x=30 ve t=2 için x=30–10=20

Sınırları arasında entegre edilirse,

bulunur.

t=0 için x=30 ve t=5 için x=20 sınırları için tekrar integral alınırsa,

Buradan,

ve x=12

Bulunur.Böylece 5 saat sonra çözülme miktarı

30-12=18 gr’dır.

6.3Biyolojik Uygulama

Örnek 15.Bir bakteri kültüründe, bakteri artış hızı mevcut bakteri miktarına orantılıdır.Eğer

her dört saatte iki misli olduğu biliniyorsa,12 saat sonunda adet varsa,başlangıçta kaç

bakteri mevcut idi?

Çözüm=.x, t anındaki bakteri sayısını göstersin. Böylece muhakeme ile

veya

Diferansiyel denklemi elde edilir.Bu diferansiyel denklem integre edilerek,

Lnx=kt+LnC veya

bulunur.

t=0 da x= farz edilerek C= ve =

yazılır.

t=4 iken x=2 yani 2 = ve

dır.

t=12 iken x=

bulunur.Yani sayının 8 misli elde edilir.

t=3 iken x= olduğundan = ve

olup,

t=5 iken x=4. oluğuna göre de 4. ve

dır.Burada C’nin değerleri eşitlenerek,

ve olup

dır.Böylece C’nin ilk değeri

bakteri bulunur.

Örnek 16. Deneylerden bilindiği üzere yeteri kadar yem olduğunda , bakterilerin artması

yemlerin miktarına bağlıdır. Bakterilerin başlangıç miktarı ise , ne kadar zaman sonra

bakterilerin miktarı m defa artar.

Çözüm: Bakterilerin t anındaki miktarı olsun. O zaman bakterilerin değişme

hızı , o anda mevcut bakterilerin miktarı ile orantılı olduğundan ;

şeklinde yazılır. Bu denklem değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklemdir ve bunun

genel çözümü

olarak bulunur. Bakterilerin başlangıç miktarı olduğundan olur. Bu başlangıç

koşulundan yararlanılırsa , , yani

(167)

bulunur. Bakterilerin m defa artma zamanını ile gösterelim. Koşula göre dır. O

zaman (167)’den

ve buradan ,

elde edilir.

6.4.Nüfüs artışına uygulamalar

Örnek 17.Belli bir bölgenin nüfusunu göz önüne alalım. Bu bölgeden dışarıya veya

dışarıdan bu bölgeye herhangi bir insan göçü olmadığını kabul edelim. Bir t zamanda bu

bölgedeki insanların sayısı N, doğum oranı k ve ölüm oranı m olsun. Birim zamanda nüfus

değişimi nüfus sayısı ile orantılı olduğundan;

(165)

yazılır. Eğer t=0 anında nüfus sayımını ile gösterirsek problem başlangıç değer

problemine dönüşür. Yani fonksiyonu (165) ile birlikte başlangıç koşulunu da

sağlamalıdır. Böylece,

olur. Görüldüğü gibi k>m ise nüfus artar , k<m ise nüfus azalır.

Örnek 18. Isparta ilinin nüfusu 20 yılda iki katına çıkmıştır. Bu ilin nüfusu kaç yılda

dört katına ulaşacağını hesaplayınız.

Çözüm: Artış hızını ilde yaşayanlarla orantılı olduğundan

(166)

yazılır. t=0 anında ilde yaşayanların sayısı olsun. O zaman

olur. Problemin şartına göre ilin nüfusu 20 yılda iki katına çıkmıştır , yani dır.

Bunu (166) denkleminde dikkate alırsak,

olur. Buradan ,

veya

bulunur. (166) denkleminde yerine yazarsak ;

bulunur. Nüfusun 4 katına ulaşacağı zamanı ile gösterelim. Problemin koşuluna göre

olmalıdır. O zaman

olur. Burada olduğunu dikkate alırsak ,

elde edilir. Buradan ise yıl bulunur.

6.5.Geometrik uygulamalar

Örnek 19. Herhangi bir noktasındaki teğetinin koordinat

eksenlerinden ayırdığı parçaların çarpımı sabit reel a değerine eşit olan eğrileri bulunuz.

A y

0 B x

Çözüm: Problemi çözmek için eğrisi üzerinde keyfi bir noktası

alalım. Bu noktadaki teğetin denklemi

olur. Burada , teğet üzerinde keyfi bir noktadır. Bu teğetin apsis ekseni ile kesim

noktasını bulalım. Bunun için teğetin denkleminde yazarsak , kesim noktası

olur. Ordinat ekseni ile kesim noktası olur. Problemin şartına

göre

dır, yani,

dır. Bunu yeniden düzenlersek

veya

Clairaut diferansiyel denklemi elde edilir. Bu denklemde dönüşümü yapılarak

denklemi elde edilir. Bu halde ,

veya

olur. Buradan ;

yazılır. Buna göre

Clairaut diferansiyel denkleminde yazılırsa;

genel çözümü elde edilir.

diğer taraftan;

olup;

ifadesi, Clairaut diferansiyel denkleminin parametrik çözümüdür. Bunlar ise istenen eğri

ailesinin denklemidir.

Örnek 20. Her noktasında çizilmiş teğetinin uzunluğu, sabit sayısına eşit olan eğriyi

bulunuz.

Çözüm: Problemi çözmek için önce teğetin uzunluğunu eğri üzerinde alınmış

noktasının koordinatları ve teğetin eğim açısı ile ifade edelim. , eğrisi

üzerinde keyfi bir nokta ve ise eğrinin aynı noktada çizilmiş teğetinin keyfi noktası

olduğunu kabul edelim.

y

x

0 A B

O zaman, teğetin denklemi

şeklinde olur. Bu teğetin apsis ekseni ile kesişim noktası

olur. Böylece, teğetin uzunluğu ye eşittir. dik üçgen olduğundan

dir. Buradan

,

olduğundan elde ederiz ki, teğetin uzunluğu

formülü ile hesaplanır. Problemin koşuluna göre elde ederiz ki, aranan eğrinin keyfi

noktasında

olmalıdır. Bu denklem türeve göre çözülmemiş birinci mertebeden diferansiyel denklemdir.

Bu denklem

değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklemdir. Bu denklemin genel çözümü

şeklindedir. Bu eğriler traktirisa olarak adlandırılır.

Örnek 21. Koordinat merkezinden geçen çemberler ailesinin dik yörüngelerinin denklemini

bulunuz.

Çözüm: Koordinat merkezinden geçen çemberler ailesinin denklemi

x2+y2=R2

dir.

Bu ailenin diferansiyel denklemi

x+yy=0

dır. Bu diferansiyel denklemde y yerine koyarsak dik yörüngelerin diferansiyel

denklemini

veya

elde ederiz. Buradan

bulunur. Bu istenen dik yörüngelerin denklemidir.

6.6.Elektrik devrelerine uygulama

Örnek 22.Bir RL devresinde 5 Volt elektromotor kuvveti,50 ohm’luk resistans ve 1

Henry’lik indüktans olup,başlangıç akımının olmadığı düşünülerek,devrenin herhangi bir t

zamanı için akımını bulunuz.

RL devresi=Bu devrede R(ohm) resistans L(Henry) indüktans,I(Amper)akım ve bir E(Volt)

elektromotor kuvvetin varlığını kabul edelim.Bu devre elemanlarını bulunduran devreye RL

basit devresi denir.

Çözüm: Devrenin denklemini,

olarak yazabiliriz.Verilen değerleri yerlerine yazarsak

Lineer diferansiyel denklemi elde edilir. integral çarpanından yararlanarak

I

Akım fonksiyonu bulunur.t=0 için I(0)=0 başlangıç şartları kullanılırsa,

veya C=-

bulunur.Böylece akım fonksiyonu

bulunur.Burada iki çeşit akım olduğunu görmekteyiz.

Transit (geçici) akımdır.Çünkü için sıfıra giden bir akım olup,yok olan akım da

denilebilir. ise daimi akımdır.Çünkü t nin her değeri için durumunu muhafaza eden bir

akımdır.

6.7.Mekaniğe uygulama

Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin en önemli uygulama alanı elemanter mekaniktir. Bu kısımda , bir rijid cismin Newton’un ikinci hareket kanununa uyan doğrusal hareketi ile ilgili bazı problemler ele alınacaktır.Bilindiği gibi Newton’un ikinci hareket kanunu,F = ma

=

=

şeklinde ifade edilir. Burada m rijid cismin kütlesi , F cisme etki eden sabit kuvvet, a cismin hareketinin ivmesi , v hız ve p cismin momentumudur. Kuvvet sabit olduğu zaman a ivmesi sabittir ve bu durumda cismin hızı zamana bağlı olarak değişir. Gidilen yol x ile ifade edildiği zaman cismin v ani hızı dx/dt olarak tarif edilir.

Örnek 23. Kütlesi m olan bir cismin yerden oldukça yüksekte bulunan bir noktadan ilk hızsız olarak serbest düşmeye bırakılıyor. Cisme etki eden yer çekim kuvveti sabit ve hava direncinin cismin hızı ile orantılı olduğu kabul edildiğine göre , herhangi bir t anında cismin başlangıç noktasından hangi uzaklıkta olduğunu ve o anda hangi hızla hareket etmekte olduğunu bulunuz.

Pozitif x ekseni boyunca aşağı doğru düşmekte olan cisim bir t anında O başlangıç noktasından x kadar uzakta ve bir v hızı ile hareket etmekte olsun. k pozitif bir katsayı olmak üzere , cisim v hızı ile aşağı doğru hareket etmekte iken cismin hareketine engel olmaya çalışan hava direnme kuvveti cismin hızı ile orantılıdır ve kv’ye eşittir. Cisme etki eden yer çekim kuvveti de mg olduğuna göre , t anında cisme etki eden toplam kuvvet mg-kv olur. o zaman , Newton’un ikinci hareket kanununa göre ,

=mg-kvs

+ =g (1)

yazılır. (1) denklemi , birinci dereceden sabit katsayılı lineer bir diferansiyel denklemdir. Bu denklem kolayca çözülür ve

v= +c1e -kt/m (2)

elde edilir. t=0 anında cismin hızı (ilk hız) sıfır olduğundan ,

0= +c1 ve buradan c1=

bulunur . c1’in bu değeri denklem(2)’de yerine konursa ,

v= (1-e-kt/m) (3)

elde edilir. burada t için v’nin alacağı değer v1(limit hızı) ile gösterilir ve denklem (3)’ten v1=mg/k bulunur.

Ayrıca ifade edelim ki , hava direnme kuvveti cismin hızı ile orantılı olduğuna göre cismin hızı arttıkça hava direnme kuvveti de artacak ve bir süre sonra hava direnme kuvveti cisme etki eden yer çekim kuvvetine eşit olacaktır. Bu duruma ulaşıldığında cisme etki eden toplam kuvvet “sıfır” olacağından , o andan itibaren cismin hızı değişmeyecek ve sabit kalacaktır. Cismin bu hızına tarif olarak limit hız denir. Bu durumda ,

mg-kv1=0olacağından , limit hızın değeri yukarıda olduğu gibi v1=mg/k bulunur.

t anında cismin 0’dan uzaklığını bulmak için , (3) denkleminde v=dx/dt yazılır ve integral alınır. Problemin ifadesinde verilen başlangıç şartlarından biri olan x(0)=0 şartı kullanılarak integral sabitinin değeri bulunur ve sonuç olarak

x= (1-e-kt/m) (4)

elde edilir.(3) ve (4) denklemlerinde görülen m , g ve k değerleri , genel olarak seçilen birim

sistemine bağlı olmak üzere verilen sayısal değerlerdir.

Örnek 24.Bir top 128 ft/sn lik bir hızla düşey olarak yukarı doğru atılmıştır.2.4 ve 6 sn.

sonraki hızları nedir? Geri dönmeden erişeceği maksimum yükseklik nedir?

Çözüm.Burada x eksenini düşey olarak başlangıcını A da yer üzerinde alalım.Böylece t=0

iken x=0 olur.[yukarı tarafı pozitif seçelim].Topa etki kuvvet ağırlığıdır.Dolayısıyla bu

kuvveti-mg olarak göz önüne almak gerekir.Buna göre hareketin diferansiyel denklemi,

veya

dir.

x’ i belirlemek için iki koşula gerek vardır.Bir tanesi t=0 da x=0 olduğu diğeri ise ilk hızın

128 ft/sn olduğu düşünülerek elde edilir.Bu hız yukarı doğrudur.Ve dolayısıyla

pozitiftir.Buna göre ikinci koşul

t=0 da v= =+128

dir.Tam matematik kuruluş ise ,

, t=0 da x=0 ve =+128

dir.

Bu diferansiyel denklemin integrasyonu ;

Bu diferensiyel denklemde t=0 iken dx/dt=128 olduğundan =128 böylece,

olur.Diğer integrasyon

x=

çıkar.t=0 iken x=0 olduğu için =0 dır.Dolayısıyla

x= veya x=

dir.

2,4 ve 6 saniye sonraki hız: t anındaki hızın denklemi

dir.t=2 koyarak v=64 bulunur.Bu topun 64 ft/sn hızla yükselmesi demektir.t=4 koyarak v=0

bulunur.Bu topun durması demektir.t=6 koyarak v= -64 bulunur.Bu ise topun geri döndüğü ve

64 ft/sa. hızla aşağı indiğini gösterir.

Kazanabileceği maksimum yükseklik= x in maksimum değeri koyarak elde

edilebilir.Bu ne zaman v=0 olduğunu bulmaya eşdeğerdir.

T=4 iken v=

olduğu görülür. negatif olduğundan t=4 için x gerçekten maksimumdur.t=4 için x in

değeri 256 dır.Dolayısıyla topun kazanacağı maksimum yükseklik 256 ft. dir.

Örnek 25.m=1 kütleli bir cisim küçük bir havuzun yüzeyinden 50 ft bir yükseklikten

bırakılıyor.Cisim havada iken cisme etki eden hava direnci kuvveti v dir.Ayrıca cisim

havuzdayken cisme etki eden kaldırma kuvveti 6v dir.Cismin havuzdan 25 fitlik bir derinliğe

ulaşması için gerekli olan zamanı bulunuz.

Çözüm.Bu problem iki kısımda incelenebilir.Birincisi cismin havuzun üzerinde olması

halindeki başlangıç değer problemi,ikincisi de cismin havuzun yüzeyinin altında olması

halindeki bir başlangıç değer problemidir.Birinci başlangıç değer problemi

, v(0)=0

Olarak kolayca bulunur. Ayrıca bizim cismin havuz yüzeyinin altında olması halindeki hızı

bulmak için gerekli olan başlangıç değer problemini tanımlayabilmemiz için cismin havuz

yüzeyine ulaşması halindeki hızını bilmemiz gerekir.

Öyleyse cismin havuz yüzeyinin üstündeki hızı yukarıdaki birinci başlangıç değer problemini

çözerek,

v(t)=32(1- )

olarak bulunur.Cismin havuz yüzeyine çarptığı andaki hızını bulmak için cismin yol

fonksiyonu hız fonksiyonun integrali alınmak suretiyle, x(0)=0 şartını kullanarak,

x(t)=32(t-1+ )

şeklinde bulunur.

Yol fonksiyonundan cismin 50 fit yol alabilmesi için geçen t zamanı

x(t)=50=32(t-1+ )

Denkleminden çözülerek yaklaşık t=2,47864 saniye olduğu ortaya çıkmaktadır.

Dolayısıyla cismin havuzun yüzeyine çarptığı zamandaki hız fonksiyonu

olur.

Şimdi artık havuzun yüzeyin altındaki cismin hızını veren başlangıç değer problemini,

v(0)=

Şeklinde ifade edebiliriz.Bu problem çözülürse hız fonksiyonu

Olarak bulunur.Dolayısıyla hız fonksiyonundan intagral alma ve x(0)=0 şartını kullanma ile

X(t)=

yol fonksiyonu bulunur.

Sonrada yol fonksiyonunu, cismin havuzun yüzeyinin 25 fit altında olması halindeki zamanı

bulmak için kullanırsak x(t)=25 olacak şekildeki zaman değeri yaklaşık olarak t=3.93802

bulunur.

Sonuç olarak cismin havuzun yüzeyine ulaşması için gerekli zaman, havuzun yüzeyinin

altında 25 fit yol alması için geçen zamana ilave edilmelidir. Bu işlem yapılırsa cismin havuz

yüzeyinin üstünde 50 fit lik bir yükseklikten havuz yüzeyinin altında 25 fitlik bir derinliğe

ulaşması için geçen zamanın yaklaşık olarak 6.41667 saniye olduğu görülür.

6.8.Düzgün Isı Akışına Uygulama

Birim zamanda bir Alanından akan ısı miktarı,

ile verilir.Yukarıda kullanılan Orantı değişmezi materyalin cinsine bağlıdır.Ve buna ısısal

geçirgenlik denir.

Örnek 26.Isısal geçirgenliği K=0.15 c.g.s lan uzun bir çelik borunun iç yarı çapı 10 cm.

ve dış yarı çapı 20 cm. dir. İç yüzey 200 C de dış yüzey 50 C de tutulmaktadır.

(a)Aynı merkezli silindirlerin ortak ekseninden olan r uzaklığının fonksiyonu olarak sıcaklığı

bulunuz.

(b)r, 15 cm. iken sıcaklığı bulunuz.

(c)Borunun 20 metre uzunluğundaki bir kısmından dakikada ne kadar ısı kaybolur.

Çözüm.Aşikar olarak izotermal yüzeyler verilenlerle aynı merkezli silindirlerdir.Yarı

çapı r,uzunluğu I olan böyle bir yüzeyin alanı Rı’ dir.dn uzaklığı bu hal için dr

‘dir.Bunlara göre

denklemi

olarak yazılabilir.K=0.15, I=20m=2000cm. olduğundan,

dir.Bu denklemde, şüphesiz q değişmezdir.Koşullar ise

r= 10 iken U= 200 C ve r= 20 iken U=50 C

dir.

denkleminde değişkenler ayrılıp integre edilirse,

elde edilir.r= 10 iken U= 200 C ve r= 20 iken U=50 C koşulları kullanılırsa;

,

bulunur ki bunlar,

Q=408000 ve c=-1317000

dir.Dolayısıyla denkleminden,

U=699-216 lnr

çıkar.Eğer r=15 ise,yerine koyarak U=114 C elde edilir.q nin yukarıdaki saniyede kalori

değerinden © bölümünün cevabı açık olarak

q=408000*60 cal/dak=24480000 cal/dak

dır.

6.9.Çeşitli Artma Ve Azalma Problemleri İle İlgili Uygulamalar

Bir y büyüklüğünün zamana göre değişme hızının y ile orantılı olduğu,

Diferansiyel denklemi ile belirlenir.Eğer a orantı değişmezi pozitif ve y de pozitif ise dy/dt

pozitif ve buda y’nin arttığını gösterir.Bu takdirde y için artıyor denir.Ve problem bir artma

problemidir.Diğer taraftan eğer a negatif ise ve y pozitif ise dy/dt negatif ve buda y nin

azaldığını gösterir bu takdirde bir azalma problemi bahis konusudur.

Örnek 27. Bir miktar su, kaynama noktası olan 100 C ye kadar ısıtılıyor.Sonra sıcaklık

kaynağından alınıp 60 C değişmez sıcaklıktaki bir odaya götürülerek muhafaza ediliyor.3

dakika sonra suyun sıcaklığı 90 olarak ölçülüyor.

(a)6 dakika sonraki suyun sıcaklığını bulunuz.

(b)Su sıcaklığının ne zaman 75 C ve ne zaman 61 C olacağını bulunuz.

Çözüm.Suyun sıcaklık kaynağından uzaklaştırılmasından t dakika sonra ki sıcaklığını U

ile gösterelim.Oda ile sıcaklığı arasındaki fark U-60 dır.U2 nun zamana göre değişme oranı

dU/dt dir.

Deneylerimize dayanarak (U-60) en büyük değere sahip iken sıcaklığın en hızlı,(U-60) küçük

iken ise en yavaş şekilde değişeceğini söyleyebiliriz.Şimdi çeşitli zaman aralıkların da

sıcaklıkları ölçtüğümüz bir deney yapalım. sıcaklıktaki değişme miktarını, t ise bu

değişmenin meydana gelmesi için gerekli zaman aralığını göstersin.Küçük bir t zaman

aralığı aldığımız takdirde / t nin dU/dt ye çok yakın olacağını varsayabiliriz.- / t

nin (U-60)’a göre çizildiğinde yukarıdaki grafiğe benzer bir grafik ortaya çıkar.Çarpı işareti

ile gösterilen noktalar deney ile bulunan değerlere karşılık gelmektedir.Grafikte görülen

bağıntı bir doğru olduğundan yaklaşık olarak dU/dt nin (U-60) ile orantılı olduğu

varsayılır.Yani:

yazılabilir.Burada a orantı katsayısıdır.Şimdi (U-60) pozitif iken dU/dt negatif k>0 olmak

üzere a=k yazalım.Bu takdirde;

olur.Bu denklem fizikte Newton soğuma kanunu adı ile tanınır.Ve birçok sıcaklık

problemlerinde önemlidir.Bu denklem aslında gerçek fiziksel durumun yaklaşık bir

deyiminden başka bir şey değildir.Bu denklem ile ilgili bilinen koşullar

t=0 için U= 100 C ve t=3 dak. için U=90 dir.

denklemi değişkenlerin ayırımı yöntemi ile çözecek olursak:

,

veya

bulunur.t=0 için U=100 olduğundan c=40 dır.Dolayısıyla U-60= dir.t=3 için U=90

olduğundan veya dür.Buradan da

yani

elde edilir.

6 Dakika sonra sıcaklık: denkleminde t=6 konursa U=82.5 bulunur.

Sıcaklığın 75 C ve 61 C olduğu zamanlar:Denklemde U= 61 C konursa

, ve t=10.2 ve

U= 61 C konursa,

ve t=38.5 bulunur.

Böylece 100 C daki suyun sıcaklığının 75 C ye düşmesi için 10.2 dak. 61 C ye düşmesi

için de 38.5 dak. geçmesi gerekmektedir.

6.9.Newton’un Soğuma Kanunu

Soğuyan bir cismin y(t) sıcaklığındaki değişim oranının, cismin bulunduğu ortamdaki sabit

sıcaklığı ve cismin sıcaklığı arasındaki farkla orantılı olduğunu ifade etmektedir.Bu kanun

matematiksel olarak cismin başlangıç sıcaklığı ve k da orantı sabiti olmak üzere,

, y(0)=

Birinci mertebeden başlangıç değer problemi ile ifade edilir.

Şimdi Newton’un soğuma kanunu içinde bulunduran örnekleri inceleyelim.

Örnek 28.Bir evin içinde sıcaklığı termometre göstermektedir. Termometreyi evin

dışına aldığımızda termometre hava sıcaklığının olduğunu göstermiştir.Fakat 3 dakika

sonra sıcaklık olarak ölçülmüştür.Bu verileri kullanarak sonraki değişik zamanlarda

termometrenin göstereceği sıcaklığı bulunuz.

Çözüm. y(t) termometreyi evin dışına aldığımızda başlayan t(min) zamanındaki

termometrenin sıcaklığı olsun. Bize t=0 için y=70 ve t=3 için y=25 oldukları verilmiştir.

Newton’un soğuma kanununa göre; sıcaklığın zamana göre değişimi , (y–10) sıcaklık

farkı ile orantılıdır. Termometrenin sıcaklığı düştüğünden oran sabitini (-k) olarak seçmek

uygundur.Öyleyse y;

(1)

Diferansiyel denkleminden

y(0)=70, y(3)=25 (2)

şartlarıyla elde edilecektir.

Bizim burada (1) denkleminin genel çözümünden bulunan keyfi sabiti ve (1) denklemindeki

k değerini elde edeceğimizden dolayı termometrenin iki farklı t zamanındaki sıcaklık

göstergelerini bilmemiz gereklidir.

(1) Denkleminin entegralini alırsak, c keyfi sabit olmak üzere genel çözümü

olarak buluruz.Şimdi (2) şartlarını uygularsak

ve

olur.O halde bu değerlerin kullanılmasıyla herhangi bir t zamanında termometrenin

göstereceği sıcaklık,

veya ln4=1.39 olduğundan,

)

denklemiyle bulunur.

Örnek 29.Bir bakır top lik bir sıcaklıkla ısıtılıyor. Sonra t=0 zamanında lik

bir sıcaklıktaki suyun içine koyuluyor.3 dakika sonra topun sıcaklığı ye düşüyor.Topun

sıcaklığının ye düşmesi için geçecek zamanı bulunuz.

Çözüm. Newton’un soğuma kanununa göre bakır topun sıcaklığının zamana göre değişim

oranı ,topun içinde bulunduğu ortamın ve y(t) sıcaklıkları arasındaki farkla orantılı

olacaktır.Ayrıca,bakırdaki ısı akışı, herhangi bir zamanda topun bütün noktalarında sıcaklık

aynı olacağından dolayı,oldukça yüksek olacaktır.

Şimdi Newton kanunu, k orantı sabiti olmak üzere bir denklem olarak,

Şeklinde ifade edelim. Değişkenlerine ayırarak integral alırsak genel çözümü,

Şeklinde buluruz. Şimdi verilen y(0)=100 ve y(3)=70 şartlarını kullanarak c ve k yi

belirleyelim.

100=c+30 c=70

olduğundan

ve

olduğundan,

buluruz.k sayısının negatif olması, y’ nin azalmasını gerektirdiğinden değerini negatif

yapar.Şimdi de y(t)=31 olacak şekilde t zamanını belirleyelim:

dakika

olarak bulunur.O halde yaklaşık 23 dakika sonra bakır top lik bir sıcaklığa erişecektir.

6.10.Radyo Aktif Çözülme Kanununa Uygulama

Bir radyoaktif cismin herhangi bir andaki çözülme hızı, cismi o anda mevcut miktarı ile

orantılıdır.

Örnek 30.Radyum’un %5 inin 12 yılda kaybolduğu hesaplanmıştır.

(a)1000 yılda kütlenin % kaçı kaybolur.

(b)Radyum’un yarı ömrü nedir?

Çözüm.Varsayalım ki A gr. cinsinden radyum’un t yıl sonundaki miktarını göstersin.Bu

takdirde dA/dt (matematiksel yaklaşım yöntemi düşünülürse) Radyumun çözülme hızını

gösterir.Burada,

yazılabilir.Burada orantı katsayısıdır.Daima A>0 ve azaldığından <0 ve dolayısıyla

negatif olmalıdır. =-k ile gösterilerek

yazılır.Şimdi yine varsayalım ki, , gr. Cinsinden radyumun başlangıçtaki kütlesini

göstersin.Bu takdirde verilen bilgilere göre 12 yıl sonunda 0.005 gr. Radyum kaybolmuş

ve geriye 0.995 gr. kalmış olacaktır.Dolayısıyla t=0 için A= ve t=12 yıl için A=0.995

yazılabilir.Değişkenleri ayırarak yapacağımız integral hesab ile

lnA=-kt+ veya A=c.e

bulabiliriz.t=0 için A= olduğundan c= dır.Buradan,

A= e

yazılabilir.t=12 için A=0.995 olduğundan

0.995 = . , =0.995 , = … (1)

dolayısıyla

… (2)

Veya (1) den k çözülürse k=0.000418 bulunur.Buradan,

(3)

dir.

1000 yıl sonunda kaybolan % kütle: t=1000 konursa (2) ve (3) ten A=0.658 veya

kütlenin %34.2 sinin kaybolacağı hesaplanabilir.

Radyum’un yarı ömrü: Radyoaktif yok olmanın yarı ömür süresi, kütlenin yarısının

kaybolduğu zaman olarak tanımlanır. Böylece problemimizde A=1/2 olduğu zamanı

bulmamız, istenmektedir.(3) nolu denklemi kullanarak,

yaklaşık olarak t=1660 yıl buluruz.

6.11.Asılı Kablolar

Genelde köprülerde kullanılan kabloların hani şekillerde olabileceği hakkında yorum

yapabilmemiz için diferansiyel denklemler kullanılmaktadır. Buna bir örnek vererek

açıklayalım.

Örnek 31.Ağırlığı az(ikmal edilebilir) bir kablo üniform bir köprüyü taşımaktadır. Kablonun

şeklini belirleyiniz.(Bu tip problemler modern köprü yapımında çok kullanılmaktadır.

Çözüm.Bu probleme aşağıdaki denklemi uygulayabiliriz.

Ve bize, sadece yatay doğrultudaki birim artma için yükün yani dW/dx belirlenmesi kalır.

Bu halde dW/dx bir değişmezdir. Veya köprünün birim boyunun ağırlığıdır.Bu değişmeze w

denirse,

elde edilir.Kablonun en alt noktasının köprüden uzaklığı b ile gösterilirse,aşağıdaki

X=0 iken y=b ve x=0 iken koşulları vardır. İkinci koşul x=0 olan noktanın

köprüden uzaklığının minimum olması nedeni ile yazılmıştır.

denklemini iki defa integre edip verilen koşulları kullanarak

bulunur ki bu kablonun parabol şeklini aldığını gösterir.

6.12.Roketlere Uygulamalar

Roketler, bir yakıtın yanması ile oluşan gaz kütlesinin dışarı atılması ile hareket eder.Bu

kütle değişimi roketin ileri doğru hızını arttırır.Ve böylece roket tek başına hareketine devam

edebilir.Şimdi diferansiyel denklemlerin roketlerde uygulanması ile ilgili örnekleri

inceleyelim.

Örnek 32.Başlangıçta gram gaz kapsayan bir roket yer yüzeyinden harekete

başlıyor.Roketten saniyede a gramlık değişmez bir hızla gaz dışarı atılıyor.Gazın rokete

nazaran hızı saniyede b olup a>0 ve b>0 dır.Roket üzerine hiçbir dış kuvvetin etki etmediğini

kabul ederek herhangi bir andaki hızını ve aldığı yolu bulunuz.

Çözüm. Öncelikle roket hareketinin temel denklemini yazalım.

Roket hareketinin temel denklemidir.Temel denkleme göre hiçbir dış kuvvet

olmadığından F=0 dır.Roket saniyede a gram kaybettiğinden,t saniye sonra a gram

kaybedecek ve kütlesi M=M - at olacaktır.Ayrıca gazın rokete nazaran hızı v= - b ile

verilmiştir.Böylece temel denklem,

veya (1)

olur. Başlangıç koşulu olarak t=0 iken V=0 kabul edilir.(1) nolu denklem entegre edilerek,

Bulunur. t=0 iken V=0 olduğundan, ve

(2)

dir, ki bu roketinin istenen hızıdır. t zamanı içinde,roketin yer yüzeyinden itibaren gittiği

mesafeye x denirse ve V=dx/dt olduğundan (2) denklemi

olur.Buradan entegrasyonla ve t=0 iken x=0 olarak,

(3)

Elde edilir. Bu istenen mesafedir.(2) ve (3) nolu denklemleri sadece t< için doğrudur. Bu

uçuş zamanı için teorik bir limittir. Pratik limit bundan çok daha küçüktür.

7. Diferansiyel Denklem Sistemlerine Uygulamalar

7.1.Bir Füzenin Uçuşçu

Bir füzenin yatayla açısı yapan bir rampadan ft/sn ilk hızı ile fırlatıldığını

varsayalım. Hava direnci olmadığına göre ve yer yüzeyini düzlem varsayarak,uçuşun bundan

sonraki kısmını incelemek istiyoruz.

Rampa x-y koordinat sisteminin 0 orijinine göre yerleştirilmiş olsun.noktalı eğri

merminin yörüngesi olup OV vektörü ilk hızı gösterir.Bunun büyüklüğü dır.Ve x-y

düzleminde x ekseninin pozitif yönü ile açısı yapacak şekilde yönelmiştir.Bu hızın x ve y

doğrultusundaki bileşenlerin büyüklükleri, sırasıyla, ve dır.Hava direnci

olmadığından, m kütleli füze üzerine etki eden tek kuvvet mg ağırlığıdır.Şimdi ‘yukarı’ ve

‘sağa’ doğru olan yönleri pozitif seçelim.Newton kanununa göre:

X doğrultusundaki net kuvvet=kütle * x doğrultusundaki ivme

Y doğrultusundaki net kuvvet=kütle*y doğrultusundaki ivme

Yani , dır.Fakat x doğrultusundaki net kuvvet sıfır ve

olduğundan,

ve (1)

bulunur.y doğrultusundaki net kuvvet – mg (çünkü ‘aşağı’ yön negatiftir.) ve

olduğundan,

veya (2)

dir.Fazla olarak problemin verilişinden,

t=0 iken x=0 , y=0, , (3)

koşulları vardır.Dolayısıyla (3) koşullarına bağlı olarak (1) ve (2) denklemlerini çözmek

gerektir.Diferansiyel denklemlerden hava direnci olmadığı takdirde, hareketin , m kütlesine ve

dolayısıyla füzenin şekline bağlı olmadığı, derhal görülür.

(1) i entegre ederek dx/dt= bulunur.

t=0 iken koşulu uygulanırsa , olduğu görülür. Bir kere daha

integre ederek x= ve t=0 iken ve

(4)

bulunur.Benzer şekilde (2) nin entegrasyonu,

ve t=0 iken olduğundan verir, buradan;

(5)

bulunur.t=0 iken y=0 koşulu uygulanıp bu ifade bir kere daha integre edilirse,

(6)

elde edilir. Dolayısıyla istenen çözümler,

, (7)

dir.Bu denklemler, fırlatıldıktan t zaman sonra füzenin (x,y) konumunu verirler.Bunlardan

hareketle ilgili her husus elde edilebilir.Örneğin aşağıdaki soruların sorulduğunu varsayalım.

1.O ’dan A’ya (yukarıdaki şekle göre) kadar geçen süreyi bulunuz?

2.Menzil(x ekseni üzerindeki OA uzaklığı) nedir?

3.Erişilen maksimum yükseklik nedir?

4.Füzenin yörüngesi ne tip bir eğridir?

Cevaplar.1. y=0 yapan t değerleri bulalım.(6) denkleminden,

veya ,

İken y=0 olduğu görülür.t nin ikinci değeri füzenin A da olduğu zamanı verir.Dolayısıyla,

Uçuş süresi= (8)

dir.t=uçuş süresi olduğu zaman x in değeri hesaplanırsa soru 2 cevaplandırılmış olur.(7)

denklemlerinin birincisinden,

Menzil= (9)

Olarak bulunur.(9) denkleminde veya olduğunda menzilin maksimum

ve maksimum menzilin de, olduğu açıktır.

Soru 3 ü cevaplandırmak için y nin ne zaman maksimum olduğunu, yani ne zaman dy/dt=0

olduğunu bulmak gerekir. Bu en üst noktada y doğrultusundaki hızın sıfır olsuğunu

söylemekle aynıdır.(5) denkleminde t nin değeri yerine konursa,

Maksium yükseklik=

bulunur.

4.soru gerçekte, bir parabolün parametrik denklemlerinin verildiği (7) ifadesi ile

cevaplandırılmıştır. Dolayısıyla füzenin yörüngesi bir parabol parçasıdır.Bu denklemler

arasındaki t yok edilirse, parabolün diğer bir gösterilişi olan,

bulunur.

7.2.Titreşen kütleler problemi:

Bir sistem sürtünmesiz bir RS (şekildeki) masası üzerinde birbirlerine bağlanmamış

A ,B yayları ile C,D cisimlerini kapsamaktadır.A yayının ucu 0 noktasına tespit

edilmiştir.Her iki yayın yay değişmezi k olup cisimlerin kütleleri M dir.Sistem, D yi yerinde

tutup C yi a>0 kadar sola çektikten sonra her iki cismi bırakarak titreştiriliyor.Problem,

bundan sonraki herhangi bir t anında C ve D cisimlerinin yerlerinin belirlenmesidir.

Hareketin diferansiyel denklemini belirlemek için C ve D denge durumlarından,

şekildede gösterildiği gibi, bir miktar ayrılmış olacaklardır. Varsayalım ki,kütleler bu anda

şekilde noktalı çizgi ile gösterilmiş olan, denge durumlarından ve mesafede

olsunlar.Sağa doğru olan yönlü pozitif kabul ederek, t anında C ve D üzerindeki kuvvetleri

göz önüne alalım.A yayı C üzerine sola doğru k x, büyüklüğünde bir kuvvet etti ettirir.

B yayı C üzerine sağa doğru k( ) büyüklüğünde bir kuvvet etki ettirir.Sağa doğru olan

net kuvvet ise k( )-k =k( ) dir.

Dolayısıyla, Newton kanununa göre,

(1)

dir.Benzer şekilde, A yayı D üzerine doğrudan doğruya bir kuvvet etki ettirmez.Fakat B yayı

sola doğru k( ) büyüklüğündeki bir kuvvet etki ettirir.

Sağa doğru olan net kuvvet ise 0-k.( )= - k.( ) dir.Böylece, Newton kanunu ile,

(2)

Dir.Başlangıç koşulları ise,

t=0 iken , , , (3)

ile verilir.Dolayısıyla (3) koşulları altında (1) ve (2) denklemlerini çözmek gerektir.

Çözüm. koyarak ve D=d/dt olmak üzere (1) ve (2) denklemleri.

, (4)

Şeklinde yazılabilir.Birinci denkleme operatörünü uygulayıp ikinci denklemi ise

ile çarpıp toplarsak yok edilir ve,

(5)

bulunur.Buna karşılık yardımcı denklem olup buradan

elde edilir.Yaklaşık olarak alınırsa dört kök ,

olur.Böylece (5) in çözümü ,

+ + + (6)

dir.

( ifadesi gerçekte , dir. )

Tamamen benzer yolla ve i yok ederek , (5) in aynı olan

denklemi bulunur.

Bunun çözümünde,

+ + + (7)

dir.(4) denklemindeki katsayıların determinantı,

Şeklinde D nin dördüncü dereceden bir polinomudur. O halde, çözüm, toplam olarak dört

keyfi değişmezi kapsamalıdır. Hâlbuki bizim çözümümüzde sekiz tane vardır. ve ilk

denklemlerde yerine konursa, değişmezler arasında;

, , ,

Bağıntıları bulunur.Dolayısıyla (6) ve (7) çözümleri,

+ + +

+ - -

Olur.(3) koşulları uygulanırsa,

, ,

Bulunur, ve istenilen çözüm,

Olarak yazılır.Buradan sistemi, yaklaşık olarak,

ve

İle verilen iki frekansı olduğu görülür. Bunlar sistemin normal frekanslarıdır.