muestreo estratificado

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Facultad de Ciencias Matemáticas – Maestría en Estadística Matemática- Bioestadística Técnicas de Muestreo

Capítulo III

MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO

“Llamar al estadístico cuando ya se hizo el experimento es tanto como pedirle que haga un examen postmortem: tan solo podrá decirnos de qué murió el experimento”

Ronald Fisher

1. Introducción

En el muestreo aleatorio simple, se selecciona una muestra de una población cuyos elementos suelen ser homogéneos. Sin embargo, esto no necesariamente puede ocurrir, debido a que la población podría presentar ciertos elementos heterogéneos, lo que implica que estos elementos pueden agruparse de tal manera que se formen subpoblaciones. Por lo tanto, se obtendrían varias subpoblaciones donde exista homogeneidad de los elementos dentro de cada subpoblación, pero heterogeneidad entre los elementos de las subpoblaciones. A estas subpoblaciones las denominaremos estratos. Esto quiere decir, que la población objetivo es previamente dividida en estratos y de cada uno de los estratos (de manera independiente) se debe seleccionar una muestra. Si la muestra de cada estrato es seleccionada mediante un muestreo aleatorio simple, se le denomina muestreo aleatorio estratificado, pero en general nada impide utilizar diferentes tipos de selección de la muestra en un estrato. El presente capítulo tiene como objetivo presentar el procedimiento de estimación de los parámetros de interés (mencionados en capítulos anteriores); así como el cálculo del tamaño de muestra cuando se utiliza un diseño de muestreo aleatorio estratificado.

2. Muestreo Aleatorio Estratificado En este diseño de muestreo una población heterogénea con N unidades

1,2, ,i i N

U

se divide en L estratos (no traslapados), los cuales son lo más

homogéneos posible. Los estratos 1,2, ,1,2, ,

h Lhii N

U

son de tamaño 1 2, , , LN N N

y se cumple que 1 2 LN N N N . Como se muestra a continuación:

Población (N)

N1

n1

N2

n2

N3

n3

Nh

nh

N4

n4

....


La muestra estratificada de tamaño n se obtiene seleccionando (de forma

independiente) hn elementos 1,2, ,h L de cada uno de los L estratos

en los que se subdivide la población. Como se mencionó anteriormente la selección de unidades dentro de cada estrato es mediante un muestreo aleatorio simple.

Una manera simple de resumir la información general cuando se trabaja con muestreo estratificado es la siguiente:

Estrato Población Muestra Pesos hW hf

1 111 12 1, , , NU U U

111 12 1, , , nU U U 1 1W N N 1 1 1f n N

h

1 2, , ,hh h hNU U U 1 2, , ,

hh h hnU U U h hW N N h h hf n N

L

1 2, , ,LL L LNU U U 1 2, , ,

LL L LnU U U L LW N N L L Lf n N

Total

1

L

h

h

N N

1

L

h

h

n n

1

1L

h

h

W

Más aún estamos interesados en obtener estimaciones de parámetros, cuya información resumida, podría presentarse de la siguiente manera:

Estrato Media Total Proporción Total de clase

1 1y 1y 1p

1A

h

hy ˆhy hp ˆ

hA

L

Ly ˆLy Lp ˆ

LA

3. Razones para el uso de Muestreo Estratificado

Algunas de las razones por las que se aconseja efectuar particiones de la población son las siguientes: El muestreo estratificado puede aportar información más precisa en la

estimación de parámetros de algunas subpoblaciones que varían en tamaño entre sí, pero son homogéneas dentro de sí. Esto se logra si los estratos están constituidos por unidades homogéneas.

La estratificación puede producir un límite más pequeño para el error de estimación que el que se generaría por una muestra aleatoria simple del mismo tamaño. Es decir, el uso del muestreo estratificado puede generar ganancia en precisión.


En muchos casos la estratificación es motivada por el requerimiento de estimaciones para ciertas áreas o regiones geográficas. Lo que implica indirectamente que el costo por observación en la encuesta pueda ser reducido.

La existencia de una variable precisa para la estratificación cuyos

valores permiten dividir convenientemente la población en estratos homogéneos. La variable utilizada para la estratificación deberá presentar una fuerte relación con la variable objeto de estudio.

4. Forma de selección de una muestra aleatoria estratificada

El primer paso en la selección de una muestra aleatoria estratificada es especificar claramente los estratos; de tal manera que cada unidad muestral sea ubicado en el estrato que le corresponda. Después que las unidades de muestreo han sido divididas en estratos, se selecciona una muestra aleatoria simple de cada uno de los estratos considerados (utilizando la tabla de números aleatorios ó un método computacional). Se debe asegurar que las muestras seleccionadas en cada uno de los estratos sean independientes, aplicando diferentes esquemas de muestreo aleatorio dentro de cada estrato, de tal manera que las observaciones elegidas en un estrato no dependan de las que han sido elegidas en otro estrato. Por ejemplo, si se utiliza la tabla de números aleatorios, para seleccionar las unidades del primer estrato se puede empezar con la columna 3, para seleccionar las unidades del siguiente estrato se puede empezar con la columna 6 y así sucesivamente hasta completar todos los estratos inicialmente definidos.

5. Estimación del Promedio, Total Poblacional y de sus respectivos intervalos de Confianza Un estimador de un parámetro poblacional (como la media y el total) puede expresarse como la suma de las estimaciones para el parámetro en los diferentes estratos. Además, si se considera que: Se selecciona en cada estrato las unidades para la muestra estratificada

mediante muestreo aleatorio simple (sin reemplazo y sin considerar el orden).

La selección se realiza de forma independiente en cada estrato. La variable objetivo es de tipo cuantitativa. Los estimadores de la media y el total poblacional pueden ser obtenidos mediante las expresiones que se presentaran a continuación:


El estimador de la media poblacional

Sea hy la media muestral correspondiente al estrato h , (para

1,2, ,h L ). La media poblacional estimada mediante muestreo

aleatorio estratificado es obtenida utilizando la siguiente expresión:

1

L

hst h

h

y W y

Es la expresión de una media ponderada por el tamaño de cada estrato. Como se puede apreciar, el estimador de la media poblacional en muestreo aleatorio estratificado es igual a la media de los estimadores de la media muestral ponderada por el tamaño de cada estrato.

La variancia de sty es estimada por:

2

2

1

1L

hh hst

h h

sV y W f

n

Un intervalo de confianza para la media poblacional es dado por:

2

2

,112

1L

hh hst

n Lh h

sIC y t W f

n

Donde:

hh

NW

N y

22 2

1

1

1

hn

h i

ih

s y nyn

1,2, ,h L

El estimador del Total poblacional

Sea ˆhy el total muestral correspondiente al estrato h , (para

1,2, ,h L ). El total poblacional estimado mediante muestreo

aleatorio estratificado es obtenido por:

1

ˆ ˆL

st h h

h

y W y

El estimador del total poblacional, también es obtenido mediante:

ˆst sty N y


El estimador del total poblacional en muestreo aleatorio estratificado es la suma de los estimadores del total en cada estrato (ejercicio propuesto Nº 1).

La variancia de ˆsty es estimada por:

2

2

1

ˆ 1L

hst h h

h h

sV y N f

n

Un intervalo de confianza para el total poblacional es dado por:

2 2

,112

ˆ 1L

h hst h

n Lh h

N sIC y t f

n

6. Estimación de la Proporción Poblacional, Total de Clase y sus

respectivos Intervalos de Confianza Al igual que el caso anterior, un estimador de un parámetro poblacional (como la proporción y el total de clase) puede expresarse como la suma de las estimaciones para el parámetro ponderado por el tamaño en los diferentes estratos. Además, si se considerada que: Se selecciona en cada estrato las unidades para la muestra estratificada

mediante muestreo aleatorio simple (sin reemplazo y sin considerar el orden)

La selección se realiza de forma independiente en cada estrato La variable objetivo es de tipo cualitativa. Los estimadores de la proporción y el total de clase pueden ser obtenidos mediante las expresiones que se presentaran a continuación:

El estimador de la proporción poblacional

Sea hp la proporción muestral correspondiente al estrato h , (para

1,2, ,h L ). La proporción poblacional estimada mediante

muestreo aleatorio estratificado es obtenido por:

1

n

st h h

i

p W p

Es decir, el estimador de la proporción en muestreo aleatorio estratificado es la media ponderada de los estimadores de la proporción ponderado por el tamaño de cada estrato.


La variancia de stp es estimada por:

2

1

11

Lh h

st h h

h h

p qV p W f

n

Un intervalo de confianza para la proporción poblacional es dado

por:

2

112

11

Lh h

st h h

h h

p qIC p Z W f

n

El estimador del Total de clase

Sea ˆhA el total de clase muestral correspondiente al estrato h , (para

1,2, ,h L ). El total de clase poblacional estimado mediante muestreo

aleatorio estratificado es:

1

ˆ ˆL

st h h

h

A W A

El estimador del total de clase poblacional, también es obtenido

mediante:

ˆst stA Np

El estimador del total de clase en muestreo aleatorio estratificado es la suma de los estimadores del total de clase ponderado por el tamaño en cada estrato (ejercicio propuesto Nº 2).

La variancia de ˆstA es estimada por:

2

1

ˆ 11

Lh h

st h h

h h

p qV A N f

n

Un intervalo de confianza para el total de clase poblacional es dado por:

2

112

ˆ 11

Lh h h

st h

h h

N p qIC A A Z f

n


7. Afijación o Asignación de la Muestra

Al igual que el M.A.S., cuando se utiliza muestreo estratificado primero se debe determinar el tamaño de la muestra estratificada n , para

posteriormente distribuirla en cada uno de los estratos considerados, de tal

forma que se cumpla que 1 2 Ln n n n . A esta repartición se le

denomina afijación o asignación de la muestra a cada uno de los estratos. Pueden establecerse diferentes maneras de repartir la muestra entre los estratos pero las más importantes son: la afijación uniforme, la afijación proporcional, la afijación de mínima variancia y la afijación óptima. De acuerdo a la afijación que se considere se puede obtener diferentes expresiones de variancia, es por esta razón que aquí primero se desarrollarán los tipos de afijaciones y posteriormente se determinará el tamaño de la muestra.

7.1. Afijación Uniforme Consiste en tratar de asignar el mismo número de unidades muestrales a

cada estrato, con lo que se trataría de tomar todos los hn iguales a n L . En

el caso que n no es múltiplo de L se aumenta o disminuye este tamaño en

una unidad, esto es 1hn E n L , donde E denota la parte entera.

Si n es múltiplo de L se cumple:

hn k 1 1

1,2, ,L L

hh h

h h h h

n kh L n k n Lk f

N N

Donde: :k Es el número de unidades en cada estrato.

Este tipo de afijación da la misma importancia a todos los estratos, en cuanto al tamaño de la muestra, con lo cual favorecerá a los estratos de menor tamaño y perjudicará a los estratos grandes en cuanto a precisión. Sólo es conveniente en poblaciones con estratos cuyo de tamaño es aproximadamente similar.

Si se reemplaza h

h

kf

N en cada una de las fórmulas de variancia para los

estimadores estratificados de: la media, el total, la proporción y el total de clase, vistas anteriormente, se tendría: Para la media:

2

2

1

1L

hhst

h h h

s kV y W

n N

Para el total:

2

2

1

ˆ 1L

hst h

h h h

s kV y N

n N


Para la proporción:

2

1

11

Lh h

st h

h h

p q kV p W

k N

Para el total de clase:

2

1

ˆ 11

Lh h

st h

h h

p q kV A N

k N

7.2. Afijación Proporcional

Consiste en asignar a cada estrato un número de unidades muestrales proporcional a su tamaño. Las n unidades de la muestra se distribuyen

proporcionalmente a los tamaños de los estratos, con lo que se trataría de

tomar todos los hn iguales a hnW . Por lo tanto se tiene:

1 1 1

L L Lh

h h h h

h h h

n

N nn nW n nW n n fN f

N N

Es fácil deducir que hf f , a partir de hh

h

nf

N , es decir, las fracciones de

muestreo en los estratos son iguales y coinciden con la fracción global de muestreo.

También se cumple que h h hh h

N n f nW w

N n f n , es decir, los coeficientes

de ponderación hW se obtienen exclusivamente a partir de la muestra, pues

para su cálculo solo son necesarios valores muestrales hn y n .

Finalmente, no es muy complicado probar que

1

L

h

hst

yTotal muestral

yn Tamaño de muestra

, es decir, el estimador insesgado para la

media poblacional puede expresarse como el cociente entre el total muestral y el tamaño total de la muestra. Similar propiedad tiene el estimador insesgado para la proporción poblacional.

Si se reemplaza hf f en cada una de las fórmulas de variancia para los

estimadores estratificados de: la media, el total, la proporción y el total de clase, vistas anteriormente, se tendría: Para la media:

2 2 2

2

21 1

1 1L L

h h hhst

h hh h

s n sV y W f f

n n n

2

1

1 L

h hst

h

fV y W s

n


Para el total:

2

2 2

1 1

ˆ 1 1L L

h hst h h h h

h hh h

s NV y N f N s f

n n

2

1

1ˆ

L

st h h

h

fV y N s

f


2

1

11

L

h hst h

h h

p qV p f W

n


2

1

ˆ 11

L

h hst h

h h

p qV A f N

n

7.3. Afijación de Mínima Variancia (o afijación de Neyman)

Consiste en determinar los valores de hn de forma que para un tamaño de

muestra fijo igual a n la variancia de los estimadores sea mínima.

Para poder determinar la expresión que permita obtener la afijación mediante mínima variancia, se debe resolver un problema de optimización con las siguientes restricciones (para cada uno de los estimadores de manera independiente):

Media Proporción Total Total de clase

1

min st

L

h

h

V y

n n

1

min st

L

h

h

V p

n n

1

ˆmin st

L

h

h

V y

n n

1

ˆmin st

L

h

h

V A

n n

Este problema se revuelve aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange, cuyo resultado para el caso de los estimadores de la media y el total es:

1

h hh L

h h

h

N sn n

N s

Otra expresión equivalente es:

1

h hh L

h h

h

W sn n

W s


Para el caso de la proporción y el total de clase se reemplaza hs por h hp q .

1

h h h

h L

h h h

h

N p qn n

N p q

Otra expresión equivalente es:

1

h h h

h L

h h h

h

W p qn n

W p q

Los valores de hn son proporcionales a los productos h hN s y en el supuesto

que hs s , 1,2, ,h L esta afijación de mínima variancia coincidiría con

la proporcional

1

h hh h hL

h

h

N s nNs s n n nW

NN s

Si se reemplaza

1

h hh L

h h

h

W sn n

W s

en cada una de las fórmulas de variancia

para los estimadores estratificados de: la media y el total se obtendría: Para la media:

2

2

1 1

1 1L L

h h h hst

h h

V y W s W sn N

Para el total:

2

2

1 1

1 1ˆ

L L

st h h h h

h h

V y N s N sn N

Si se reemplaza

1

h h h

h L

h h h

h

W p qn n

W p q

en cada una de las fórmulas de

variancia para los estimadores estratificados de: la proporción y el total de clase se obtendría:



2

1 1

1 1L L

st h h h h h h

h h

V p W p q W p qn N


2

1 1

1 1ˆL L

st h h h h h h

h h

V A N p q N p qn N

7.4. Afijación Óptima

Consiste en determinar los valores de hn de forma que para un costo fijo C

la variancia de los estimadores sea mínima. El costo fijo C será la suma de

los costos derivados de la selección de las unidades muestrales de los

estratos, es decir, si hc es el costo por unidad de muestreo en el estrato h

el costo total de selección de las hn unidades muestrales en ese estrato es

h hc n . Sumando los costos h hc n para los L estratos tenemos el costo total de

selección de la muestra estratificada. Para poder determinar la expresión que permita obtener la afijación óptima, se debe resolver un problema de optimización con las siguientes restricciones (para cada uno de los estimadores de manera independiente):

Media Proporción Total Total de clase

1

minst

L

h h

h

V y

c n C

1

min st

L

h h

h

V p

c n C

1

ˆmin st

L

h h

h

V y

c n C

1

ˆmin st

L

h h

h

V A

c n C

Este problema se revuelve aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange, cuyo resultado para el caso de los estimadores de la media y el total es:

1

h h h

h L

h h h

h

N s cn n

N s c

Para el caso de la proporción y el total de clase se reemplaza hs por h hp q .

1

h h h h

h L

h h h h

h

N p q cn n

N p q c


Se puede apreciar que los valores de hn son proporcionales a los productos

h h hN s c y en el supuesto que los hc 1,2, ,h L sean iguales

(constantes en todos los estratos) la afijación óptima coincide con la de

mínima variancia, y si además hs s 1,2, ,h L la afijación óptima

coincidirá con la de mínima variancia y con la proporcional.

Si se reemplaza

1

h h h

h L

h h h

h

N s cn n

N s c


variancia para los estimadores estratificados de: la media y el total se obtendría: Para la media:

2

2

1 1

1 1L L

h h h h hst

h h

V y W s c W sn N

Para el total:

2

2

1 1

1 1ˆ

L L

st h h h h h

h h

V y N s c N sn N

Si se reemplaza

1

h h h h

h L

h h h h

h

N p q cn n

N p q c


variancia para los estimadores estratificados de: la proporción y el total de clase se obtendría: Para la proporción:

2

1 1

1 1L L

st h h h h h h h

h h

V p W p q c W p qn N


2

1 1

1 1ˆL L

st h h h h h h h

h h

V A N p q c N p qn N

Nota: Cuando se hace la distribución de la muestra en cada uno de los estratos y no se obtiene un número entero, estos pueden obtenerse mediante un redondeo

simple pues se debe cumplir que 1 2 ... Ln n n n


8. Tamaño de la muestra para variables cuantitativas y cualitativas

Se va a analizar el tamaño de muestra estratificada necesario para cometer un determinado error de muestreo (conocido de antemano). Se desarrollará solo el caso cuando se presenta un límite de confianza adicional (límite de tolerancia) pero se distinguirá los diferentes tipos de afijación de la muestra.

Algunos textos utilizan 1 2

Z

en lugar de ,1 2n Lt

esto se debe a que a

medida que n , el valor del quantil t se aproxima al valor del cuantil Z

8.1. Afijación Proporcional

Para la media

2 2 2 2 2 2

,1 2 ,1 2 ,1 21 1

11 L L

h h h hstn L n L n Lh h

n

f Ne t V y t W s t W s

n n

Despejando n se tiene que:

2

1

22

21,1 2

1

L

h h

h

L

h h

hn L

W s

ne

W st N

Para el total

2 2 2 2 2 2

1,1 2 ,1 2 ,1 21 1

11

ˆL L

st h h h hn n L n Lh h

n

f Ne t V y t N s t N s

n n

Despejando n se tiene que:

2

1

22

21,1 2

L

h h

h

L

h h

hn L

N N s

ne

N st

Para la proporción

1

2

21,1 2

1

L

h h h

h

L

h h h

hn L

W p q

ne

W p qt N


1

2

21,1 2

L

h h h

h

L

h h h

hn L

N N p q

ne

N p qt

8.2. Afijación de mínima variancia Para la media

2

2 2 2 2

1,1 2 ,1 21 1

1 1L L

h h h hstn n Lh h

e t V y t W s W sn N

Despejando n se tiene:

2

1

22

21,1 2

1

L

h h

h

L

h h

hn L

W s

ne

W st N

Para el total

2

2 2 2 2

1,1 2 ,1 21 1

1 1ˆ

L L

st h h h hn n Lh h

e t V y t N s N sn N

Despejando n se tiene:

2

1

22

21,1 2

L

h h

h

L

h h

hn L

N s

ne

N st

Para la proporción

2

1

2

21,1 2

1

L

h h h

h

L

h h h

hn L

W p q

ne

W p qt N

Para el total de clase

2

1

2

21,1 2

L

h h h

h

L

h h h

hn L

N p q

ne

N p qt

muestreo estratificado

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