[muhamad abdul rosid (masrosid)] soal aljabar abstact

courtesy of masrosid

http://masrosid.wordpress.com

Soal Latihan

Aljabar Abstrak II

BAB I Gelanggang

Buktikan bahwa himpunan-himpunan berikut ini dilengkapi dengan operasi yang diketahui

merupakan suatu gelanggang. Kemudian, periksa apakah komutatif? Apakah mempunyai

elemen kesatuan?

1. ( )⊗⊕,,B dengan ⊕ dan ⊗ didefinisikan oleh 1−+=⊕ baba dan

2)( ++−=⊗ baabba , B∈∀ ba, .

2. ( )∗,,oQ dengan odan ∗ didefinisikan oleh 1−+= baba o dan abbaba −+=∗ ,

Q∈∀ ba, .

3. ( )⊗⊕,,Q dengan ⊕ dan ⊗ didefinisikan oleh 1++=⊕ baba dan abbaba ++=⊗ ,

Q∈∀ ba, .

4. { }B∈+= bapbaR ,| dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian bilangan real,

dan p suatu bilangan asli prima.

5. { }Q∈+= bapbaR ,| dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian bilangan real,

dan p suatu bilangan asli prima.

6. { }1,,| 2 −=∈+= ibabiaR B dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian bilangan

kompleks.

7. { }1,,| 2 −=∈+= ibabiaR Q dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian bilangan

kompleks.

8. ( )⊗⊕×= ,,21 RRR dengan ⊕ dan ⊗ didefinisikan oleh ),(),(),( dbcadcba ++=⊕

dan ),(),(),( bdacdcba =⊗ , Rdcba ∈∀ ),(),,( . Jika 1R dan 2R keduanya merupakan

gelanggang.

9. ( )⊗⊕×= ,,QQR dengan ⊕ dan ⊗ didefinisikan oleh ),(),(),( dbcadcba ++=⊕

dan ),(),(),( bcadbdacdcba +−=⊗ , Rdcba ∈∀ ),(),,( .

10. { }RRR →= :|)( ffF dilengkapi dengan + dan • yang didefinisikan oleh

( ) )()())(()(, xgxfxgfFgf +=+∈∀ R dan )()())(( xgxfxgf •=• , R∈∀x



11.

∈

= RR dcba

dc

baM ,,,)(2 dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian

matriks.



BAB II Tipe dan Sifat Gelanggang

2.1 Tipe Gelanggang

1. Tentukan tipe dari setiap gelanggang pada soal-soal latihan Bab I

2.2 Sifat-sifat Gelanggang

1. Diketahui R suatu gelanggang nontrivial. Buktikan:

i. Jika R komutatif, Rba ∈, dan ab suatu pembagi nol sejati, maka a atau b

adalah suatu pembagi nol sejati.

ii. Jika R komutatif dengan elemen kesatuan, maka suatu pembagi nol sejati

bukanlah suatu unit, dan sebaliknya.

iii. Jika R komutatif dan Rba ∈, dengan zab ≠ , maka jika a atau b suatu

pembagi nol sejati mengakibatkan ab suatu pembagi nol sejati.

iv. Jika Ra ∈ , za ≠ dan a bukan suatu pembagi nol sejati, maka

( ) cbacabRba =⇒=∈∀ , dan cbcaba =⇒=

2. Buktikan bahwa jika 1R dan 2R keduanya meruakan gelanggang, maka 21 RR × selalu

mempunyai pembagi nol sejati.

3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan, dan Rba ∈, .

Tentukan bentuk umum dari nba )( + untuk A∈n

4. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan. Buktikan jika

Rba ∈, dan keduanya nilpotent, maka ba + dan ab keduanya nilpotent juga.

5. Tentukan elemen-elemen pembagi nol sejati, unit, idempotent dan nilpotent dari setiap

gelanggang pada soal-soal latihan Bab I.

2.3 Karakteristik Gelanggang

1. Tentukan karakteristik dari setiap gelanggang pada soal-soal latihan Bab I

2. Misalkan D adalah suatu daerah integral. Buktikan sifat-sifat berkikut ini.

i. Jika Da ∈ , za ≠ dan B∈n , 0≠n dengan zna = , maka n adalah suatu

keliapatan dari karakteristik D.

ii. Jika karakteristik D adalah 0, dan B∈n , 0≠n dengan zna = untuk suatu

Da ∈ , maka za =

iii. Jika karakteristik D adalah 3 dan za =5 untuk suatu Da ∈ , maka za = .

iv. Jika Da ∈ , karakteristik D adalah p dengan p adalah sautu bilangan prima,

dan zna = dengan p tidak habis membagi n untuk suatu B∈n , maka za =



3. Misalkan D adalah suatu daerah integral berhingga. Buktikan sifat-sifat berkikut ini.

i. Jika karakteristik D adalah 2, maka 2 adalah suatu pembagi dari order D.

ii. Jika order D adalah p dengan p adalah suatu bilangan prima, maka

karakteristik D adalah suatu p.

iii. Jika order D adalah pm dengan p adalah suatu bilangan prima dan A∈m ,

maka karakteristik D adalah p

iv. Jika karakteristik D adalah 81, maka karakteristik D adalah 3.



BAB III Anak Gelanggang

1. Buktikan bahwa { }1,,|77 2 −=∈+= ibabiaS B adalah suatu anak gelanggang dari

gelanggang { }1,,| 2 −=∈+= ibabiaR B terhadap penjumlahan dan perkalian

bilangan-bilangan kompleks.

2. Buktikan bahwa { }Q∈+= bapbaS ,|44 adalah suatu anak gelanggang dari

gelanggang { }Q∈+= bapbaR ,| terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan-

bilangan real, dengan p adalah suatu bilangan asli prima.

3. Buktikan bahwa { }B∈= aaaS |),( adalah suatu anak gelanggang dari gelanggang

BB× .

4. Buktikan bahwa

∈

= Ryx

y

xS ,

0

0 adalah suatu anak gelanggang dari

gelanggang )(2 RM terhadap penjumlahan dan perkalian matriks.

5. { }RxzaxRaS ∈∀=∈= ,| adalah suatu anak gelanggang dari gelanggang R, dan

disebut pembuat nol atau pengenol atau annihilator dari R. Buktikan!

6. { }RxxaaxRaS ∈∀=∈= ,| adalah suatu anak gelanggang dari gelanggang R, dan

disebut center dari R. Buktikan!

7. Tentukan semua anak gelanggang dari gelanggang { }17...,,3,2,1,018 =B terhadap

18+ dan 18×

8. Buktikan bahwa { }1,,| 2 −=∈+= ibabiaS Q adalah suatu anak medan (subfield)

dari medan semua bilangan kompleks K .

9. Buktikan bahwa { }Q∈+= babaS ,|2 adalah suatu anak medan (subfield) dari

medan semua bilangan kompleks R .



Soal Latihan

Aljabar Abstrak II

BAB IV Ideal dan Gelanggang Faktor

Ideal

1. Tentukan semua ideal dari ( )181818 ,, ×+B !

2. Buktikan:

i. ( ){ }B∈= aaS |0,5 adalah suatu ideal dari BB×

ii. ( ){ }B∈= aaaS |, adalah bukan suatu ideal dari BB×

3. Buktikan bahwa { }QR ∈∀=∈= xxfFfS ,0)(|)( adalah suatu ideal dari

gelanggang ( )•+,),(RF

4. Buktikan bahwa { }Q∈+= babaS ,|355 adalah suatu ideal dari gelanggang

{ }Q∈+= babaR ,|3

5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif, buktikan:

i. { }RxzaxRaS ∈∀=∈= ,| adalah suatu ideal dari R

ii. { }RxxaaxRaS ∈∀=∈= ,| adalah suatu ideal dari R

6. Misalkan S1 dan S2 adalah ideal-ideal dari gelanggang R. Buktikan:

i. S1 + S2 adalah suatu ideal dari R

ii. 211 SSS +⊆ dan 212 SSS +⊆

7. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan J adalah ideal dari R. Radikal dari J,

{ }JrRrJ n ∈∈= |rad dengan A∈n adalah suatu ideal dari R.

8. Tentukan ideal-ideal maksimal dan ideal-ideal prima dari ( )181818 ,, ×+B .

9. Buktikan bahwa { }B∈= nnS |5 adalah suatu ideal maksimal sekaligus ideal primal

dari B .

10. Buktikan bahwa { }B∈= nnS |6 adalah bukan suatu ideal maksimal sekaligus bukan

suatu ideal primal dari B .



11. Buktikan bahwa { }1,,|22 2 −=∈+= ibabiaS B adalah bukan suatu ideal maksimal

sekaligus bukan suatu ideal primal dari { }1,,| 2 −=∈+= ibabiaR B

12. Buktikan bahwa { }B∈+= babaS ,|355 adalah suatu ideal maksimal sekaligus ideal

primal dari { }B∈+= babaR ,|3 .

13. Periksa apakah ( ){ } ( )5,2,|5,2 =∈= BbabaS merupakan suatu ideal prima dari

BB× atau bukan. Juga, periksa apakah S nerupakan suatu ideal maksimal dari BB×

atau bukan.



BAB IV Ideal dan Gelanggang Faktor

Gelanggang Faktor

1. Untuk setiap gelanggang dan suatu idealnya berikut ini, tentukanlah gelanggang

faktornya. Kemudian, periksa apakah gelanggang factor tersebut merupakan suatu

medan atau bukan. Jka suatu meda, apakah suatu daerah intergral? Berikan penjelasan

secukupnya.

i. ( )181818 ,, ×+B dan { }15, 12 ,9 ,6 ,3 ,0=S

ii. { }1,,| 2 −=∈+= ibabiaR B dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian

bilangan kompleks, serta { }1,,|44 2 −=∈+= ibabiaS B

iii. { }B∈+= babaR ,|3 dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian bilangan

kompleks, serta { }B∈+= babaS ,|333

iv. BB× dan ( ){ } ( )5,2,|5,2 =∈= BbabaS

v. ( )B2M dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian matriks serta

∈

= Bdcba

dc

baS ,,,

22

22

2. Misalkan R gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan, dan S suatu ideal dari R.

buktikan:

i. S suatu ideal maksimal dari R jika dan hanya jika SR suatu daerah integral.

ii. Jika S suatu ideal maksimal dari R, maka S suatu ideal prima dari R.

(Petunjuk kerjakan bagian ii sesudah mengerjakan bagian i)



BAB V Homomorfisme Gelanggang

1. Buktikan bahwa setiap pemetaan berikut ini adalah suatu homomorfisme gelanggang.

Kemudian, periksa apakah suatu monomorfisma, apakah epimorfisme, dan apakah

suatu isomorfisme?

i. ( )RRR 2: Mf →× didefinisikan oleh ( ) R∈∀

= ),(,

0

0),( yx

y

xyxf

ii. ( ) RR →f:θ didefinisikan oleh ( )RFfff ∈∀= ),1()(θ

iii. R→Qg : didefinisikan oleh Qaaag ∈∀−= ,1)( dengan Q adalah suatu

gelanggang yang dilengkapi dengan ⊕ dan ⊕ yang didefinisikan oleh

1++=⊕ baba dan abbaba ++=⊕ , Qba ∈∀ ,

2. Tentukan semua homomorfisme gelanggang dari 2B ke 4

B , dari 3B ke 6

B dan

dari 4B ke 2

B .

3. Tunjukkan bahwa anak gelanggang

∈

= Rx

xR ,

0

00dari gelanggang ( )R2M

isomorfik dengan gelanggang R

4. Misalkan 21: RRf → adalah suatu epimorfisme gelanggang dengan kernel K dan S

adalah suatu ideal dari 1R dengan SK ⊆ . Buktikan bahwa )(Sf suatu ideal dari 2R

5. Diketahui

=

210210

543210f adalah suatu homomorfisme dari 6

B ke 3B .

dengan teorema homomorfisme dasar, buktikan bahwa 3

6B

isomorfik dengan 3B

6. Misalkan R adalah suatu gelanggang komutatif dan Ra ∈ dengan aa =2 . Buktikan

bahwa RRa →:π dengan Rxaxxa ∈∀= ,)(π adalah suatu homomorfisme

gelanggang. Kemudian jika { }zaxRxI a =∈= | yaitu pembuat nol dari a dan a

adalah ideal dari yang dihasilkan oleh a. Buktikan bahwa aI

R isomorfik dengan a .

7. Misalkan α adalah suatu pemetaan dari ( )Rf ke RR × yang didefinisikan oleh

( ) ( )RFffff ∈∀= ,)1(),0()(α . Buktikan bahwa α adalah suatu epimorfisme

gelanggang dari ( )Rf ke RR × dan tentukan kernelnya.

[muhamad abdul rosid (masrosid)] soal aljabar abstact

Documents