mur de soutenement rideau de palplancheskutsize78.free.fr/cours/coursg2c2.pdf · module g2 cours 2...

Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée

Les ouvrages partiellement enterrés subissent la poussée des terres. Ce cours présente les différentes façon d ’évaluer cette poussée.Voici des exemples d ’ouvrages soumis à la poussée des terres

MUR DE SOUTENEMENT RIDEAU DE PALPLANCHES

Diapo n° 1 Eric Gervreau 2005


BATIMENT ENTERRE EXCAVATION AVEC BLINDAGE



LES CALCULS DE POUSSÉE DES TERRES HYPOTHÈSES :

-Un écran rigide-Un milieu homogène isotrope-Un massif entièrement en rupture (les lignes de rupture sont entièrement développées) ce qui signifie que le critère de coulomb est vérifié :

τ = σ tg ϕ + C



Qo

élastique

déformationdéformation déformationplastique plastique

0,1% 3%

expansioncompression

Qplimite

Qalimite

Effort Q

Qo : Effort exercé par les terres sur un écran à l'état de repos, (calculé avec Ko et σ'v)Qa : Effort exercé par les terres sur un écran à l'équilibre actif, de poussée ( avec Ka et σ'v)Qp : Effort exercé par les terres sur un écran à l'équilibre passif, de butée (avec Kp et σ'v)



butée passive

poussée active

repos

σ'

τ

Kp Coefficient de butée des terres, état passifKa Coefficient de poussée des terres, état actif



poussée

butée



poussée

pousséebutée



SELON LE MODE DE CONSTRUCTION ADOPTE REPOS OU POUSSEE



La théorie de Charles Augustin COULOMB (1773)

Soit un écran rigide qui soutient une hauteur de terre. Considérons le bloc ABC de poids P qui glisse sur la surface AC La résistance au frottement de ce bloc de terre est calculée par la relation

Pour que ce bloc soit en équilibre l ’écran oppose une force Q

τ = σ tg ϕ + C

A

CB

θ

H

Q

P

R ϕδ

β>0

i>0

A

CB

θ

H

Q

P

R ϕδ

β>0

i>0



Cette force Q nécessaire à retenir les terres servira de base au dimensionnement du mur.

L ’angle θ de la surface de glissement AC parrapport à l ’horizontale est inconnu à priori.

C.A. COULOMB propose de retenir l ’angle θ qui correspond à la force Q la plus importante , c ’est l ’angle critique de glissement

A

CB

θ

H

Q

P

R ϕ

δ

β>0

i>0



DIAGRAMME TRIANGULAIRE ÉCRAN VERTICALCoefficient Ka

La répartition des contraintes de contact le long de l ’écran est triangulaire :

v

haK

σσ

= z

Hzv ×γ=σ Qa

ah Kz)z( ××γ=σ

ah KH)H( ××γ=σ

a

2

a K2H

Q ××γ

=



COEFFICIENT DE POUSSÉE DE COULOMB Ka

?

?)isin()sin()isin()sin(

1)sin(sin

)(sin2H

Q2

22

22

a

β+⋅δ−β−ϕ⋅δ+ϕ+×δ−β×β

β+ϕ⋅γ=

Dans le cas général on calcule Qa avec la relation suivante :

A

CB

θ

H

Q

P

R ϕδ

β>0

i>0

A

CB

θ

H

Q

P

R ϕδ

β>0

i>0

=

avec δ compris entre 0 et ϕ



CAS PARTICULIER D ’UN ÉCRAN VERTICAL NON FROTTANT δ = 0 , β = π/2 et i = 0

Qa

( )22

22

asin1

)(sin

2H

Qϕ+

+ϕ×γ=

π

H( )222

asin1

cos2H

Qϕ+

ϕ×γ=

ϕ−

π×γ=

24tg

2H

Q 22

a

a

2

a K2H

Q ××γ

=



DÉMONSTRATION POUR LE CAS PARTICULIERÉCRAN VERTICAL FROTTANT β = π/2 et i = 0

R

P

R ϕ

Q

δ

H

P L = H/tgθ

Q

θ



Q

θ×γ

=tg2H

P2

δ

π/2 - δ

R

Q

ϕθ - ϕ

P R P

θ θ

∑ = 0forcesdesehorizontalprojection

∑ = 0forcesdesverticaleprojection



(1) 0)cos(RsinQP =ϕ−θ−δ−

0)sin(RcosQ =ϕ−θ−δ(2)

)sin(cosQ

Rϕ−θδ

=D ’où :

θtg2

2×γ=

HPEn réinjectant dans (1) avec on a :

0)(tg

cossinQ

tg2H2

=

ϕ−θδ

+δ×−θ

×γ



On retient l ’angle θ qui donne la valeur la plus grande pour Q×cosδ

)(tgcos

sin

tg2H

coscosQ

2

ϕ−θδ+δ

θ×γ×δ

=δ×

)(tgcos

sin

tgcos

A

ϕ−θδ+δ

θδ

=H et γ étant des constantes,On pose :



Valeurs de A en fonction de θ

pour ϕ égal à 10°, 20°, 30°, 40° et 50°

Avec δ = ϕ

0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,70

25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

ϕ = 10°

ϕ = 20°

ϕ = 40°ϕ = 30°

ϕ = 50°



On constate que si ϕ augmente, l ’angle critique de glissement θ augmente aussi :

θ = 48° θ = 60°

ϕ = 20° ϕ = 40°



On constate que si ϕ augmente, le coefficient A maximum, directement proportionnel à la poussée des terres, diminue :

ϕ = 20° ϕ = 40°



Valeurs de A en fonction de θ

pour ϕ égal à 10°, 20°, 30°, 40° et 50°

Avec δ = 0

0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,75

30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

ϕ = 50°

ϕ = 40°ϕ = 30°

ϕ = 20°

ϕ = 10°



On constate également que si ϕ augmente, l ’angle critique de glissement θ augmente :

θ = 55° θ = 65°

ϕ = 20° ϕ = 40°

θcritique = π⁄ 4 + ϕ/2



θcritique = π⁄ 4 + ϕ/2

σ1

θ

σ3 σ

τ

2θϕ

σ1

σ3

Plan de glissement



COEFFICIENT DE BUTÉE DE COULOMB Kp

?

?)isin()sin()isin()sin(

1)sin(sin

)(sin2H

Qp2

22

22

β+⋅δ−β+ϕ⋅δ−ϕ−×δ−β×β

ϕ−β⋅γ=

avec δ compris entre -ϕ et 0

Lorsque les terres retiennent le mouvement du mur on dit que l ’on est à l ’état d ’équilibre limite passif de butée. Cette situation est rencontrée dans les parties avals des murs enterrés :le diagramme de butée des terres n ’est pas uniforme, il est triangulaire tel que sarésultante soit égale à Qp

Cette résultant s ’applique au tiers inférieur.

Qp

=



FAIBLESSE DE LA THÉORIE DE COULOMB

La théorie de COULOMB sur la poussée des terres ne tient pas compte de la courbure de la surface de glissement.

Les résultats expérimentaux de poussée concordent toutefois approximativement avec les formules de COULOMB pour les cas de mur poids dans le sable (C=0). L'utilisation de la théorie de COULOMB est donc tout à fait valable pour calculer la poussée des terres dans ces cas.



THÉORIE DE RANKINE (1856)

L'hypothèse de COULOMB (surface de rupture plane) est un moyen de simplifier les problèmes, mais elle est inexacte dans un grand nombre de cas.

Dès le milieu du XIXème Siècle plusieurs auteurs se sont efforcé d'établir une théorie plus rigoureuse, qui corresponde mieux au comportement réel d'un massif de sol derrière un mur de soutènement.

La théorie de RANKINE s'appuie sur une analyse du champs de contrainte pour définir les lignes de glissement (plans de rupture), il s'agit de la théorie des états limites (ou équilibres limites).



EQUILIBRES LIMITES DE RANKINE (1856)

RANKINE cherche à représenter les contraintes qui règnent dans le massif pulvérulent au moment de l ’équilibre limite :

β

A B

σv

β

z

ds

β××γ=β×××γ

=σ coszds

cosdszV



Il existe deux états d ’équilibre limite possibles sur la facette AB :L ’équilibre limite de poussée activeL ’équilibre limite de butée passive

B

A β σ

τ

E

A partir de cette contrainte σv représentée par le point E, il ne passe que deux cercles tangents aux droites de COULOMB. Ce sont les cercles C1 et C2



Le plus petit cercle correspond à l ’équilibre limite de poussée

Le plus grand correspond à l ’équilibre limite de butée.

B

A β

τ

E

ϕ

σ



On va déterminer la contrainte σ ’ qui agit sur les facettes verticales.

Dans le plan physique, pour passer de l ’orientation de la facette AB à une facette verticale CD on doit tourner d ’un angle égal à 270° + β (pour la poussée) ou 270° - β (pour la butée)

σvz



Poussée : rotation de ¾ π + β

Butée : rotation de ¾ π - β

Dans le plan de Mohr on devra donc tourner le long des cercles d ’un angle égal au double et dans le sens inverse (avec la convention de signe du poly):


τ

E

3π - 2β

F ’

3π + 2β


F

β

O

σ

Les contraintes qui s ’appliquent sur une facette verticale ont pour intensité OF (pour la poussée) et OF ’ (pour la butée)

Autrement dit :OEKOF a ×=

OEKFO p ×=′



Remarque : Ces contraintes OF et OF’ ne sont pas normales aux écrans verticaux. Il y a donc une composante de cisaillement et l’inclinaison de la résultante est égale à la pente du terrain.

Sur l’écran vertical en poussée : σn = σv Ka cos βτ = σv Ka sin β



Nous pouvons déterminer l ’expression des coefficients Ka et Kp

par des calculs trigonométriques assez simples mais fastidieux.Je vous laisse le soin de la trouver.

L ’expression qui en résulte est assez longue, elle est peu utilisée.

On lui préfère des tableaux de valeurs numériques de ces coefficients (qui dépendent de ϕ).

N.B. On peut compléter le sujet en envisageant une facette non verticale inclinée d ’un angle λ .



CAS SIMPLE D ’ÉCRAN VERTICAL AVEC SURFACE LIBRE HORIZONTALE (β=0)

Ka = tg2(π/4 - ϕ/2)

Kp = tg2(π/4 + ϕ/2)

τ

EO

F ’F σ



Dans le cas général d ’une surface libre inclinée et d ’un écran non vertical avec un frottement du sol sur l ’écran de δon a pour expression de la poussée élémentaire : σ

δ+

+

+

θ

λ

h

sinsin

sinArcϕθ

=ω

pa = h × γ ×Ka

[ ]))2cos((sin1)sin(cos

sincosKa λ+θ−ωϕ−×

θ+ω×δω×θ

=



FAIBLESSES DE LA THÉORIE DE RANKINE

La théorie de RANKINE sur la poussée des terres ne tient pas compte de la cohésion du sol (C = 0).

De plus la théorie de RANKINE impose, à priori l ’orientation de la contrainte qui s ’applique sur les écrans : parallèle à la pente.Or il est bien connu que c ’est le déplacement relatif du mur avec le sol qui impose l ’obliquité δ de cette contrainte.

Enfin la théorie de RANKINE, comme celle de COULOMB du reste , présuppose des glissements rectilignes.



TRAVAUX DE RESAL

En 1910, Jean RESAL admet comme RANKINE que les argiles peuvent perdre leur cohésion, mais il doit y avoir beaucoup de cas où la cohésion peut être considérée comme un élément permanent de la résistance.Il est donc revenu au critère de rupture énoncé par COULOMB et a repris les calculs de RANKINE en considérant que la résistance de rupture par glissement est exprimée par la somme de deux termes.L'un est proportionnel à l'étendue de la surface de rupture qui représente la force de cohésion, et l'autre, proportionnel à la pression normale mutuelle des deux parties disjointes, qui représente la force de frottement.



THÉORIE DE BOUSSINESQ (1882) MÉTHODE DES ÉQUILIBRES LIMITES

FORMULES DE CAQUOT (1934)Des expériences ont été faites vers 1870 en Angleterre par M. DARWIN et en France par M. GOBIN, elles ont montré que les valeurs expérimentales trouvées étaient notablement inférieures à celles que donnaient la théorie de RANKINE , avec des écarts allant jusqu'à 50%, en particulier pour les solscohérents.Plusieurs auteurs se sont attachés à lever cette approximation, comme Résal en France.C'est en fait BOUSSINESQ, en 1882, qui propose une théorie de poussée des terres plus juste. Il pose les équations différentielles de tous les équilibres de poussée sur un parement quelconque avec une obliquité quelconque entre +ϕ et -ϕ donnant ainsi la solution du problème dans tous les cas de déplacement relatif du mur par rapport au massif et de rugosité du mur sur le sol



Boussinesq détermine l'équation de ces courbes, mais ses calculs l'ont conduit à des équations différentielles non intégrables.

Jean Resal(1910), mathématicien également donna quelques valeurs numériques de coefficient à partir des équations de Boussinesq, mais ce fut Albert Caquot en 1934, après avoir réécrit les équations de Boussinesq en coordonnées polaires, qui donna la méthode d’intégration complète.

En 1948, Caquot et Kerisel rassemblent des tables de coefficients de poussée et de butée des terres qui sont encore utilisée aujourd ’hui.



D’une façon pratique, on déterminera l’action des terre derrière un écran en distinguant trois actions :

ACTION DU POIDS PROPRE

zb

za

σ 'h (za) = σ 'v (za ) . K pγ σ 'h (zb) = σ 'v (zb ) . K aγ

exp a ns io n

com p re ss io n



ACTION DE LA SURCHARGE

σ'h = pa . Kpq σ'h = pb . Ka q

e xpa ns ion

compre ss ion

charge uniformé ment répa rtie pb

charge uniformé ment répa rtie pa



C/tgϕ

. Kpq

C/tgϕ

. Kaq

e xpa ns ion

compre ss ion

C/tgϕ

c/tgϕ

c/tgϕ

C/tgϕ

En butée σ'h = C/tgϕ (Kpq - 1) = C/tgϕ . Kpc, qui est supérieure à zéro c'est à dire que la cohésion pousse l'écran vers l'amontEn poussée σ'h = C/tgϕ (Kaq - 1) = C/tgϕ . Kac, qui est inférieure à zéro c'est à dire que la cohésion tire l'écran vers l'amont

ACTION DE LA COHESION



tables de Poussée-butée

tables de COULOMB

Lσ(L)

δ+

+

+

i

λ

λ=90°-βσ (L) = K × L × γ



tables de RANKINE

σ

δ+

+

+

θ

λ

hσ (h) = K × h × γ



tables de CAQUOT-KERISEL (EQUILIBRES LIMITES)

L

σ(L)

δ+

+

+

β

λσ (L) = K × L × γ


mur de soutenement rideau de palplancheskutsize78.free.fr/cours/coursg2c2.pdf · module g2 cours 2...

Documents