muzaffer topçu-sonlu elemanlar-Ödevler
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
1/43
ÖDEV 1
SORU:
100 mm
ÇÖZÜM:
a)
Şekilde görülen sistemin ;Elastisite modülü E= 1*105 N/ mm2,
yoğunluğu ise ρ= 0,25 N/mm3’ tür. Sistem kendi ağırlığı yanındaF= 200 N’luk bir yük altında bulunmaktadır.
a) Sistemi üç sonlu elemanla modelleyiniz.
b) Elemanlar için rijitlik matrisi ve kütle kuvveti vektörlerini
elde ettikten sonra bunlar ı genel rijitlik matrisi ve kuvvet
vektöründe yerleştiriniz.
c) Eliminasyon yaklaşımını kullanarak global deplasman
vektörü {Q}’yu hesaplayınız.
d) Her elemandaki gerilmeyi hesaplayınız.
e)
Reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.
1 5 0
m m
F=200 N
1 0 0 m m
50mm
D=100 mm
Q2
F=200 N
Q4
Q3
Q1
F4
F3
F2
F1
1
7 5 m m
7 5 m m
1 0 0 m m
3
4
2
2
3
1
D=75 mm
A1=4
100. 2Π= 7853,9816 mm2
A2=4
100. 2Π= 7853,9816 mm
2
A3=4
75. 2Π= 4417,8647 mm
2
Sınır şartı:Q1= 0
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
2/43
b)Rjitlik matrisi:
k=l
E A.
11
11
−
− ;
k 1=75
10.1.9816,7853 5
11
11
−−
=47,1047197547,10471975
47,1047197547,10471975
−−
k 2=75
10.1.9816,7853 5
11
11
−
− =
47,1047197547,10471975
47,1047197547,10471975
−
−
k 3=100
10.1.8647,4417 5
11
11
−
− =
7,44178647,4417864
7,44178647,4417864
−
−
K=
7,44178647,441786400
7,441786417,1488984047,104719750
047,1047197594,2094395047,10471975
0047,1047197547,10471975
−
−−−−
−
, bulunur.
Kütle kuvveti vektörü:
(f 1)e=2
75.9816,7853.25,0
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
1
1=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
0775,73631
0775,73631
(f 2)e=2
75.9816,7853.25,0⎭⎬⎫
⎩⎨⎧1
1=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ 0775,73631
0775,73631
(f 3)e=2
100.8647,4417.25,0
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
1
1=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
3087,55223
3087,55223
F= , bulunur.
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
3087,55223
3862,129054
155,147262
0775,73631
c)
7,44178647,441786400
7,441786417,1488984047,104719750
047,1047197594,2094395047,10471975
0047,1047197547,10471975
−
−−
−−
−
. =
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
4
3
2
1
Q
Q
Q
Q
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
3087,55223
3862,129054
155,147262
0775,73631
K Q F
Q1=0 Q3=0,04925694739
Q2=0,03165972369 Q4=0,06175694738
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
3/43
Q= mm olarak bulunur.
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
80617569473,0
90492569473,0
90316597236,0
0
d)
σ =E.B.q
1σ =1.105. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−75
1
75
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
90316597236,0
0=42,21296 N/mm2
2σ =1.105. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−75
1
75
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
90492569473,0
90316597236,0=23,46296 N/mm2
3σ =1.105. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −100
1
100
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
80617569473,0
90492569473,0=12,49999 N/mm2
e)
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
4
3
2
1
R
R
R
R
=
7,44178647,441786400
7,441786417,1488984047,104719750
047,1047197594,2094395047,10471975
0047,1047197547,10471975
−
−−
−−
−
. -
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
80617569473,0
90492569473,0
90316597236,0
0
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
3087,55223
3862,129054
155,147262
0775,73631
R 1= -405139,511442248 N
R 2= 000 N
R 3= 200 N
R 4= 000 N
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
4/43
ÖDEV 2
mm1=δ
a)Verilen çubukta C mesnedinde 1 mm lik
boşluk vardır. B noktasından 1000 N
gösterilen yönde kuvvet etkidiğine göre
çubuklarda doğan gerilmeleri penaltı yöntemi
ile hesaplayınız.
b)Yüklemelerden dolayı meydana gelen
deplasmanlar ı hesaplayınız.
Aab=500mm2
A bc=300mm2
Eçel= 210000N/mm2
610.12 −=çelα 1/0C
300mm500mmCBA
2
F=1000N
1
2
1 500 mm A = ,,2
2 300 mm A =
210000210000
210000210000
11
11
500
210000.500
11
11.1
−
−
=
−
−
=
−
−
=
l
E Ak
210000210000
210000210000
11
11
300
210000.300
11
11.2
−
−
=
−
−
=
−
−
=
l
E Ak
Burada penaltı yaklaşım kullanır ız. Burada C nin değeri matristeki en büyük değerin 104
katsayısı ile çarpılarak elde edilir. Burada C = 420000.104 dür ve ilgili düğümlere eklenir.
99
999
99
10.2002,410.0002,00
10.0002,010.0004,010.0002,0
010.0002,010.2,4
−
−−
−
=K
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
5/43
Genel yük vektörü;
910.2000,4
0
0
=F
9
3
2
1
10.2000,4
0
0
. =
Q
Q
Q
K buradaki denklem çözülürse deplasmanlar aşağıdaki gibi
bulunur.
mmQmmQmmQ 1,,,5024,0,,,0 321 ===
Gerilme bileşenleri ise;
q B E ..1 =σ ise buradan;
[ ] MPa98,2105024,0
0.11.
500
1110.2 51 =−=σ
[ ] MPa31,3481
5024,0.11.
300
1110.2 52 =−=σ
N QC R N QC R 5435
11 10.0449,1.,,,10.0549,1. =−=−=−=
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
6/43
ÖDEV 3
Verilen bağlantıda;
a ) Cıvata 1/2 devir döndüğünde cıvatada ve
boruda meydana gelen gerilmeleri
hesaplayınız.(penaltı yaklaşımı ile)
)(1
/110.16....../110.12
/100000.../210000
150......78
0606
22
22
ADIM mmh
C C
mm N E mm N E
mm Amm A
borucıı
borucıı
borucıı
=
==
==
==
−−
α α
100mm
a..) Mil İçin;
2
1 78 mm A = ,,2
2 78 mm A =
327600327600
327600327600
11
11
50
210000.78
11
11.1
−
−
=
−
−
=
−
−
=
l
E Ak
327600327600
327600327600
11
11
50
210000.78
11
11.2
−
−
=
−
−
=
−
−
=
l
E Ak
Burada penaltı yaklaşım kullanır ız. Burada C nin değeri matristeki en büyük değerin 104
katsayısı ile çarpılarak elde edilir. Burada C = 6552200.104 dür ve ilgili düğümlere eklenir.
99
999
99
10.5523,610.0003,00
10.0003,010.0007,010.0003,0
010.0003,010.5523,6
−
−−
−
=K
Genel yük vektörü;
910.2760,3
0
0
=F
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
7/43
9
3
2
1
10.2760,3
0
0
. =
Q
Q
Q
K buradaki denklem çözülürse deplasmanlar aşağıdaki gibi
bulunur.
mmQmmQmmQ 5000,0,,,2500,0,,,0 321 ===
Gerilme bileşenleri ise;
q B E ..1 =σ ise buradan;
[ ] MPa10492500,00.11.
501110.2 51 =−=σ
[ ] MPa10495000,0
2500,0.11.
50
1110.2 52 =−=σ
N QC R N QC R4
43
4
11 10.189,8.,,,10.189,8. −=−=−=−=
b..) Boruİçin;
2
1 150 mm A = ,,2
2 150 mm A =
300000300000
300000300000
11
11
50
210000.150
11
11.1
−
−
=
−
−
=
−
−
=
l
E Ak
300000300000
300000300000
11
11
50
210000.150
11
11.2
−
−
=
−
−
=
−
−
=
l
E Ak
Burada penaltı yaklaşım kullanır ız. Burada C nin değeri matristeki en büyük değerin 104
katsayısı ile çarpılarak elde edilir. Burada C = 600000.104 dür ve ilgili düğümlere eklenir.
99
999
99
10.0003,610.0003,00
10.0003,010.0006,010.0003,0
010.0003,010.0003,6
−
−−
−
=K
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
8/43
Genel yük vektörü;
910.0000,3
0
0
=F
9
3
2
1
10.0000,3
0
0
.
−
=
Q
Q
Q
K buradaki denklem çözülürse deplasmanlar aşağıdaki gibi
bulunur.
mmQmmQmmQ 5000,0,,,2500,0,,,0 321 −=−==
Gerilme bileşenleri ise;
q B E ..1 =σ ise buradan;
[ ] MPa97,4992500,00
.11.50
1
110.25
1 −=
−
−=σ
[ ] MPa97,4995000,0
2500,0.11.
50
1110.2 52 −=
−
−
−=σ
N QC R N QC R 4434
11 10.499,7.,,,10.499,7. −=−==−=
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
9/43
ÖDEV 4
Şekilde kütlesi ihmal edilebilir rijit bir çubuk bir ucundan duvara sabitlenmiş olarak EB ve
CF çubuğu taraf ından taşınmaktadır. Yük P = 30kN olduğuna göre;
Çok noktalı sınır şartlar ı yaklaşımı ile EB ve CF çubuğundaki deplasman ve gerilmeleri
bulunuz.
a) İki elemanlı bir model oluşturarak sınır şartlar ını belirleyiniz
b)
Değiştirilmiş genel rijitlik matrisini ve yük vektörümü elde ettikten sonra deplasman
ve gerilmeleri hesaplayınız.
2 m 1 mA=500 mm2
E=2.105 N/mm2
L=5 m
30 kN
E
D
FBA
3 m
A=500 mm2
E=2.105 N/mm2
L=5 m
C
a..)
4 P
1
F1
3
A 1
2D
2
F2Q1 Q2
Q
X
1
1
2,,,3
6QQ
Q
Q== 2
2
2,1,,,5
6QQ
Q
Q==
P’nin potansiyelinin nin toplam potansiyeline eşit olması gerekir.21 ,F F
02,12,,,... 212211 =−+= QQQF QF QP ve buradan da;
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
10/43
0,,,2,1,,,2 021 =−== β β β olarak elde edilir.
∑ = 0 A M dan;
1
3
2
37 .10.3.10.510.18 F F +=
53
21 ll ∆=∆
,,22
22
11
11
..5
.
..3
.
E A
lF
E A
lF = buradan gerekli olan hesaplamalar yapıldıktan sonra;
N F
N F
794,1504
123,35097
2
1
=
= olarak bulunur.
b..) Elemanın rijitlik matrisinin hesaplanması;
2000020000
2000020000
11
11
5000
10.2.500
11
11.5
1−
−=
−
−=
−
−=
l
E Ak
280000280000
280000280000
11
11
2000
10.70.800
11
11. 4
2−
−=
−
−=
−
−=
l
E Ak
28000002800000
020000020000
28000002800000
020000020000
−
−
−
−
=K
4
10 10.280000,,0,,0 === C β β
42
242142
1 10.403200.,,10.672000..,,10.1120000. =−== β β β β C C C
Genel yük vektörü;
0
0
123,35097
794,1504
=F
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
11/43
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
12/43
ÖDEV 5
Şekilde gösterilen silindirik çubuğa F = 20 kN’ luk bir eksenel yük uygulanmaktadır. Penaltı
yaklaşımını kullanarak ;
a) Dügüm deplasmanlar ını
b) Her elemandaki gerilmeyi
c) Reaksiyon kuvvetlerini bulunuz.
E = 2.105 N/mm2
50 mm
30 mm10 mm 40 mm
F
a..)
20 mm20 mm
x
10 mm
F
321
4321
222
1 49,19634
50
4mm
D A ===
π π
22222
2 63,12564
)3050(
4
)(mm
D D A
iç=
−
=
−
=
π π
2
23 63,1256 mm A A ==
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
13/43
16,3926990816,39269908
16,3926990816,39269908
11
11
10
10.2.49,1963
11
11.5
1−
−
=
−
−
=
−
−
=
l
E Ak
61,1256637061,12566370
61,1256637061,12566370
11
11
20
10.2.63,1256
11
11.5
2−
−
=
−
−
=
−
−
=
l
E Ak
61,1256637061,12566370
61,1256637061,125663703
−
−
=k
61,1256637061,1256637000
61,1256637022,2513274161,125663700
061,1256637077,5183627816,39269908
0016,3926990816,39269908
−
−−
−−
−
=K
Genel yük vektörü;
0
0
10.20
03
−
=F
010.77,51836278 414
===
QQveC olduğuna göre;
Sonlu elemanlar denklemi şu şekilde formül ize edilebilir
0
0
010.20
0
.
4
4
3
2
1
−
=
Q
Q
Q
Q
K buradaki denklem çözülürse deplasmanlar aşağıdaki gibi bulunur.
mmQmmQ
mmQmmQ
9
4
4
2
4
3
8
1
10.322087323,5,,,10.390775263,4
10.195414242,2,,,10.32609292,3
−−
−−
−=−=
−=−=
b..)
Gerilme bileşenleri ise;
q B E ..1 =σ ise buradan;
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
14/43
[ ] MPa78088,810.390775263,4
10.32609292,3.11.
10
1110.2
4
85
1 −=
−
−
−=−
−
σ
[ ] MPa19524,210.195414242,210.390775263,4.11.
201110.2 4
4
52 =
−
−
−=−
−
σ
[ ] MPa19536,210.322087323,5
10.195414242,2.11.
20
1110.2
9
45
3 =
−−
−
−=−
−
σ
c..)
N QC R N QC R 772021,2758.,,,22798,17241. 4411 =−==−=
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
15/43
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
16/43
Sıcaklıktan dolayı meydana gelen sıcaklık yükünün hesaplanması;
189000
189000]1;1).[150.10.12.500.210000( 61
−
=−= −
θ
113400
113400]1;1).[150.10.12.300.210000( 62
−
=−= −
θ
21 θ θ ve matrisleri birleştirilerek büyük matrisi T θ elde edilir.
113400
75600
189000−
=T θ
Burada sıcaklık yük vektörü ve tekil yükü toplarsak;
9
9
9
10.2001,4
10.0001,0
10.0002,0
−
−
−
=+ F T θ
9
9
9
3
2
1
10.2001,4
10.0001,0
10.0002,0
.
−
−
−
=
Q
Q
Q
K buradaki denklem çözülürse deplasmanlar aşağıdaki gibi
bulunur.
mmQmmQmmQ 1,,,6824,0,,,0 321 ===
Gerilme bileşenleri ise;
q B E ..1 =σ ise buradan;
[ ] MPa39,915024,0
0.11.
500
1110.2 51 −=−=σ
[ ] MPa65,1551
5024,0.11.
300
1110.2 52 −=−=σ
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
17/43
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
18/43
ÖRNEK 7
5 m
5 m
1
4
300 cm2
500 cm2
2
3
5
(üst görünüş)
)0(
/10.5
/2000
5
27
3
=→
=
=
u sıınır şart
cm N E
mk ρ
Verilen şekildeki yüklemelerden dolayı meydana gelecek deplasmanlar ı ve gerilmeleri
quadratik olarak hesaplayınız.
a..)
2
1 300 mm A = ,,2
2 500 mm A =
700000008000000010000000
8000000016000000080000000
100000008000000070000000
1688
871
817
500.3
10.5.300
1688
871
817
.3
. 7
1
−
−−
−
=
−−
−
−
=
−−
−
−
=
l
E Ak
888
888
888
7
2
10.1667,110.3333,110.1667,010.3333,110.6667,210.3333,1
10.1667,010.3333,110.1667,1
1688871
817
500.3
10.5.500
1688871
817
.3
.
−
−−
−
=
−−
−
−
=
−−
−
−
=
l
E A
k
888
888
88888
888
888
10.7000,010.7000,010.1667,000
10.3333,110.6667,210.3333,100
10.1667,010.3333,110.8667,110.8000,010.1000,0
0010.8000,010.6000,110.8000,0
0010.1000,010.8000,010.7000,0
−−
−−
−−
−
= K
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
19/43
Genel yük vektörü;
8
8
8
8
8
10.8333,0
10.3333,3
10.3000,1
10.0000,2
10.5000.0
= F
8
8
8
8
8
5
4
3
2
1
10.8333,0
10.3333,3
10.3000,1
10.0000,2
10.5000.0
. =
Q
Q
Q
Q
Q
K buradaki denklem çözülürse deplasmanlar aşağıdaki gibi bulunur.
mmQmmQ
mmQmmQmmQ
0,,,0000,16
2500,9,,,0000,5,,,2500,1
54
321
=−=
−=−=−=
Gerilme bileşenleri ise;
q B E ..1 =σ ise buradan;
MPar r r 5575000]0000,162500,9].[.22/).21(2/).21(.[500/2.10.5 711 −=−−−+−=σ
Yukar ıdaki formülasyon diğer gerilmelerde uygulanarak aşağıdaki sonuçlar ı verir.
MPa MPa
MPa MPa MPa
3875000,,,2525000
7575000,,,2325000,,,625000
2322
211312
−=−=
−===
σ σ
σ σ σ
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
20/43
ÖRNEK 8
2
2
2
1
23
21
0
1000
600
/10.70
50
500
mm A
mm A
mm N E E
C T
kN F
=
=
==
=∆
=
F21 1
200 mm200 mm 300 mm
Verilen şekildeki yüklemelerden dolayı meydana gelecek deplasmanlar ı ve gerilmeleri
hesaplayınız.
2
21 600 mm A A == ,,2
2 1000 mm A =
210000210000
210000210000
11
11
200
70000.600
11
11.1
−
−=
−
−=
−
−=
l
E Ak
233330233330
233330233330
11
11
300
70000.1000
11
11.2
−
−=
−
−=
−
−=
l
E Ak
210000210000
210000210000
11
11
200
70000.600
11
11.3
−
−=
−
−=
−
−=
l
E Ak
21000021000000
2100004433302333300
0233330443330210000
00210000210000
−
−−
−−−
−
=K
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
21/43
5040
5040]1;1).[50.10.4,2.600.70000( 61
−=−=
−θ
8400
8400
]1;1).[50.10.4,2.1000.70000(6
2
−
=−= −
θ
5040
5040]1;1).[50.10.4,2.600.70000( 63
−=−=
−θ
321 θ θ θ veve matrisleri birleştirilerek büyük matrisi T θ elde edilir.
5040
3360
3360
5040
−
−
=T θ
Burada sıcaklık yük vektörü ve tekil yükü toplarsak;
50403360
496640
5040−
=+ F T θ
5040
3360
496640
5040
.
4
3
2
1 −
=
Q
Q
Q
Q
K buradaki denklem çözülürse deplasmanlar aşağıdaki gibi bulunur.
mmQmmQmmQmmQ 0,,,0050,0,,,0050,0,,,0 4321 ==−==
Gerilme bileşenleri ise;
q B E ..1 =σ ise buradan;
MPa1379,1050.10.4,2.70000].00].[11.[200/700006
1 −=−= −
σ
MPa9241,450.10.4,2.70000].0050,00].[11.[200/700006
2 −=−−= −
σ
MPa1379,1050.10.4,2.70000].000500,0].[11.[200/70000 63 −−=−= −
σ
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
22/43
ÖRNEK 9
a)
5 kN
3 0 0 m
m
3
2
1
3
2
1
y
x
400 mm
Şekilde verilen 3 çubuklu kafes sisteminde E = 2.105
N/mm2 ve tüm elemanlar ın alanı Ae = 500mm2
olduğuna göre a) eliminasyon metodu kullanarakdeplasmanlar ı, gerilmeleri ve reaksiyon kuvvetlerini
hesaplayınız.
b) ise
sıcaklık etkisi altında değerleri bulunuz.
610.5,1 −=α C T 050=∆
DüğümNo
X Y
1 0 02 0 3003 400 300
1- 1 2 3 4
Eleman No 1.Düğüm 2.Düğüm le l m1 1 2 300 0 12 2 3 400 1 03 1 3 500 0,8 0,6
2- 3 4 5 6
3- 1 2 5 6
3333,303333,30
0000
3333,303333,30
0000
10.1 51
−
−=k
0000
02500000250000
0000
02500000250000
2−
−
=k
72,096,072,096,096,028,196,028,1
72,096,072,096,0
96,028,196,028,1
10.1 53
−−−−
−−
−−
=k
72,096,00072,096,0
96,078,305,296,028,1
003333,303333,30
05,205,200
72,096,03333,300533,496,0
96,028,10096,028,1
10.1 5
−−
−−−
−
−
−−−
−−
=k
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
23/43
72,096,00072,096,0
96,078,305,296,028,1003333,303333,30
05,205,200
72,096,03333,300533,496,0
96,028,10096,028,1
10.1 5
−−
−−−−
−
−−−
−−
=k . =
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
2
0
0
0
q
q
q
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
− 5000
00
0
0
0
mmq
mmq
mmq
1200,0
0267,0
0150,0
6
5
2
−=
=
−=
1σ =el
E . =10 N/mm[ mlml −− ]
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
4
3
2
1
q
q
q
q
2
2σ =el
E . [ =13,33 N/mm]mlml −−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
q
q
q
q
2
3σ =el
E . [ = -16,66N/mm]mlml −−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
6
5
2
1
q
q
q
q
2
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
0
0
0
4
3
1
R
R
R
=
72,096,00072,096,0
96,078,305,296,028,1
003333,303333,30
05,205,200
72,096,03333,300533,496,0
96,028,10096,028,1
10.1 5
−−
−−−
−−
−−−
−−
. -
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
− 1200,0
0267,0
0
0
01500,0
0
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
− 5000
0
0
0
0
0
N R
N R
N R
5000
7,6666
7,6666
4
3
1
=
−=
=
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
24/43
b)
sıcaklık yükü: işlemler yapılırsa sırasıyla...
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
∆=
m
l
m
l
T A E Q .... α
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
7500
0
7500
0
1Q ise
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧−
=
0
7500
0
75000
2Q
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
=
4500
6000
4500
6000
3Q
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
=
4500
13500
7500
7500
12000
6000
Q
sıcaklık yükü +dış kuvvetler:
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−−
=+
500
13500
7500
7500
12000
6000
F Q Q + F yükü ile eliminasyon yapılırsa;
mmq
mmq
mmq
1200,0
0567,0
0375,0
6
5
2
−=
=
−=
Gerilmeler;
σ =el
E . [ -]mlml −−
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
4
3
2
1
q
q
q
q
T E ∆..α
2
3
2
2
2
1
/66,16
/33,13
/10
mm N
mm N
mm N
−=
=
=
σ
σ
σ
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
25/43
ÖRNEK 9
a)
x
y
Şekilde verilen 5 çubuklu kafes sisteminde E = 2.105
N/mm2 ve tüm elemanlar ın alanı Ae = 100mm2
olduğuna göre a) eliminasyon metodu kullanarakdeplasmanlar ı, gerilmeleri ve reaksiyon kuvvetlerini
hesaplayınız.
1000N4
3
21
2
1 5 0 m m
1 5 0 m m
200 mm200 mm
DüğümNo
X Y
1 0 02 400 03 200 1504 400 300
1- 1 2 3 4
Eleman No 1.Düğüm 2.Düğüm le l m1 1 2 400 1 02 1 3 250 0,8 0,63 3 2 250 0,8 -0,64 3 4 250 0,8 0,6
5 2 4 300 0 1
2- 1 2 5 63- 5 6 3 44- 5 6 7 85- 3 4 7 8
0000
050000050000
0000
050000050000
1−
−
=k
88,284,388,284,3
84,312,584,312,5
88,284,388,284,3
84,312,584,312,5
10.1 42
−−
−−
−
−−
=k
88,284,388,284,3
84,312,584,312,5
88,284,388,284,3
84,312,584,312,5
10.1 43
−−
−−
−−
−−
=k
88,284,388,284,3
84,312,584,312,5
88,284,388,284,3
84,312,584,312,5
10.1 44
−−
−−
−
−−
=k
6667,606667,60
0000
6667,606667,60
0000
10.1 45
−
−=k
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
26/43
9547,03840,02880,03840,06667,0000
3840,05120,03840,05120,00000
2880,03840,08640,03840,02880,03840,02880,03800,0
3840,05120,03840,05360,13840,05120,03840,05120,0
6667,002880,03840,09547,03840,000
003840,05120,03840,00120,105000,0
002880,03840,0002880,03840,0
003840,05120,005000,03840,00120,1
10.1 5
−−−
−−
−−−−−
−−−−−
−−
−−−
−−
−−−
=k
eliminasyon yapılırsa:
.q = mm
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
− 0112,0
0475,0
0130,0
0098,0
0
0000,0
0
0
Gerilmeler;
2
5
2
4
216
3
2
2
2151
/5,7
/5,12
/10.3323,1
/5,12
/10.977,1
mm N
mm N
mm N
mm N
mm N
−=
=
−=
=
=
−
−
σ
σ
σ
σ
σ
Reaksiyon kuvvetleri;
N R
N R
N R
750
750
1000
4
3
1
=
−=
−=
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
27/43
ÖDEV 12
Verilen şekildeki yüklemelerden dolayı meydana gelecek deplasmanlar ı hesaplayınız.
4
3
1
2
3
2
1
F2F1
F1 =10 kN
F2 =15 kN
E = 2.105 N/mm2
I = 4.106 mm4
A = 1500 mm2
a..)
Bu problemin çözümünde ilk önce düğüm noktalar ının koordinatlar ı bulunur. Daha sonra
şekil izoparametrik elemanlara bölünür ve düğüm numaralar ı ve eleman numaralar ı ile
numaralandır ılır. Eleman boylar ı hesaplanır, ve l, m ve n gibi doğrultman kosinüsleri
hesaplanır. Aşağıda bu işlemler tek tek verilmiştir.
Her bir eleman için düğüm noktalar ına göre l1, m1, n1’ ler hesaplanır. Hesaplanma yöntemi
de şöyledir. Burada l eleman boyudur.
l1=(x1-x2)/l
m1=(y1-y2)/l
n1=(z1-z2)/l
Eleman
No
Düğüm1 Düğüm2 le l m Düğüm
No
x y
1 1 2 30 0 -1 1 0 0
2 2 3 30 -1 0 2 0 30
3 3 4 40 -0,5 0,75 3 30 30
4 50 0
k eleman matrisinin hesaplanması için kullanılacak olan matris;
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
28/43
[ ]
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI l
EI
l
EI
l
EI
l
EI l
EA
l
EAl
EI
l
EI
l
EI
l
EI l
EI
l
EI
l
EI
l
EI l
EA
l
EA
k e
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
22
2323
22
2323
−
−−−−
−
−
−
=
Kullanılacak olan transformasyon matrisi L aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
[ ]
100000
0000
0000
000100
0000
0000
lm
ml
lm
ml
L
−
−
=
Bundan sonra gerekli olan değerler yerlerine konularak k 1 k 2 ve k 3 ‘ler bulunur.
k 1
1.0e+011 x
0.0001 0 0 -0.2667 0 0
0 0.0036 0.0533 0 0.0036 0.0533
0 0.0533 1.0667 0 -0.0533 0.5333
-0.0001 0 0 0.0001 0 0
0 -0.0036 -0.0533 0 -0.0036 -0.0533
0 0.0533 0.5333 0 -0.0533 1.0667
k 2
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
29/43
1.0e+011 x
0.0001 0 0 -0.2667 0 0
0 0.0036 0.0533 0 0.0036 0.0533
0 0.0533 1.0667 0 -0.0533 0.5333
-0.0001 0 0 0.0001 0 0
0 -0.0036 -0.0533 0 -0.0036 -0.0533
0 0.0533 0.5333 0 -0.0533 1.0667
k 3
1.0e+010 x
0.0008 0 0 -2.0000 0 0
0 0.0150 0.3000 0 0.0150 0.3000
0 0.3000 8.0000 0 -0.3000 4.0000
-0.0008 0 0 0.0008 0 0
0 -0.0150 -0.3000 0 -0.0150 -0.3000
0 0.3000 4.0000 0 -0.3000 8.0000
Büyük K matrisinin oluşturulması;
1.0e+011 x
Columns 1 through 7
0.0001 0 0 -0.2667 0 0 0
0 0.0036 0.0533 0 0.0036 0.0533 0
0 0.0533 1.0667 0 -0.0533 0.5333 0
-0.0001 0 0 0.0002 0 0 -0.2667
0 -0.0036 -0.0533 0 0 0 0
0 0.0533 0.5333 0 0 2.1333 0
0 0 0 -0.0001 0 0 0.0010
0 0 0 0 -0.0036 -0.0533 0.0005
0 0 0 0 0.0533 0.5333 -0.0225
0 0 0 0 0 0 -0.0009
0 0 0 0 0 0 -0.0005
0 0 0 0 0 0 -0.0225
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
30/43
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
Columns 8 through 14
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0.0036 0.0533 0 0 0 0 0
-0.0533 0.5333 0 0 0 0 0
0.0005 -0.0225 -0.0492 0.0756 -0.0225 0 0
-0.0031 -0.0683 0.0756 -0.1121 -0.0150 0 0
-0.0683 1.8667 0.0225 0.0150 0.4000 0 0
-0.0005 0.0225 -0.0008 -0.0006 0.0225 0 0
-0.0004 0.0150 -0.0006 -0.0003 0.0150 0 0
-0.0150 0.4000 0.0225 0.0150 0.8000 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
Columns 15 through 18
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
31/43
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Şeklinde’ dir. Burada hesap yapılabilmesi için aşağıdaki formüle gerekli değerler
yerleştirilerek hesap tamamlanabilir. Buradan da deplasman değerleri aşağıdaki gibi
bulunabilir.
F QK =.
mm0.08,mm0.01
-0.01,,,05,0,,,03,0,,,0
65
4321
==
====
QQ
mmQmmQmmQmmQ
Burada bu işlemi, matlap programı kullanarak hesaplanmıştır. Matlap’ ta yazılı olan program
aşağı verilmiştir.
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
32/43
Matlab Programı;
clc
clear
syms z n
%Frame icin kucuk k matrislerinin bulunmasi
e=2*10^5;
a=1500;
I=4*10^6;
%z=1;
string = ['Malzemenin Elastiste Modulu ' num2str(e)];
disp(string);
string = ['Malzemenin Alani ' num2str(a)];
disp(string);
string = ['Malzemenin Atalet Momenti' num2str(I)];
disp(string);
fprintf('*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*\n')
fprintf('Frame icin kucuk k matrislerinin bulunmasi\n')
%*************************************************************************
*******************************
for i = 1:3
z=input('li boyunu giriniz: ');
ki=[ e*a/z 0 0 -e*I/z 0 0; 0 12*e*I/z^3 6*e*I/z^2 0 12*e*I/z^3 6*e*I/z^2; 0 6*e*I/z^2
4*e*I/z 0 -6*e*I/z^2 2*e*I/z; -e*a/z 0 0 e*a/z 0 0;0 -12*e*I/z^3 -6*e*I/z^2 0 -12*e*I/z^3 -
6*e*I/z^2;0 6*e*I/z^2 2*e*I/z 0 -6*e*I/z^2 4*e*I/z];
ki
end
%*************************************************************************
********************************
z=input('l1 boyunu giriniz: ');
k1=[ e*a/z 0 0 -e*I/z 0 0; 0 12*e*I/z^3 6*e*I/z^2 0 12*e*I/z^3 6*e*I/z^2; 0 6*e*I/z^2
4*e*I/z 0 -6*e*I/z^2 2*e*I/z; -e*a/z 0 0 e*a/z 0 0;0 -12*e*I/z^3 -6*e*I/z^2 0 -12*e*I/z^3 -
6*e*I/z^2;0 6*e*I/z^2 2*e*I/z 0 -6*e*I/z^2 4*e*I/z];
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
33/43
z=input('l2 boyunu giriniz: ');
k2=[ e*a/z 0 0 -e*I/z 0 0; 0 12*e*I/z^3 6*e*I/z^2 0 12*e*I/z^3 6*e*I/z^2; 0 6*e*I/z^2
4*e*I/z 0 -6*e*I/z^2 2*e*I/z; -e*a/z 0 0 e*a/z 0 0;0 -12*e*I/z^3 -6*e*I/z^2 0 -12*e*I/z^3 -
6*e*I/z^2;0 6*e*I/z^2 2*e*I/z 0 -6*e*I/z^2 4*e*I/z];
z=input('l3 boyunu giriniz: ');
k3=[ e*a/z 0 0 -e*I/z 0 0; 0 12*e*I/z^3 6*e*I/z^2 0 12*e*I/z^3 6*e*I/z^2; 0 6*e*I/z^2
4*e*I/z 0 -6*e*I/z^2 2*e*I/z; -e*a/z 0 0 e*a/z 0 0;0 -12*e*I/z^3 -6*e*I/z^2 0 -12*e*I/z^3 -
6*e*I/z^2;0 6*e*I/z^2 2*e*I/z 0 -6*e*I/z^2 4*e*I/z];
%3 numarali eleman icin transformasyon matrisi
fprintf('***********************************************\n')
fprintf('3 numarali eleman icin transformasyon matrisi\n')
l=input('l1 i giriniz: ');
m=input('m1 i giriniz: ');
L1=[l m 0 0 0 0; -m l 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 l m 0;0 0 0 -m l 0;0 0 0 0 0 1];
l=input('l2 i giriniz: ');
m=input('m2 i giriniz: ');
L2=[l m 0 0 0 0; -m l 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 l m 0;0 0 0 -m l 0;0 0 0 0 0 1];
l=input('l3 i giriniz: ');
m=input('m3 i giriniz: ');
L3=[l m 0 0 0 0; -m l 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 l m 0;0 0 0 -m l 0;0 0 0 0 0 1];
k3=(L3)'*(k3)*L3;
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
34/43
v1=[1 2 3 4 5 6];
v2=[4 5 6 7 8 9];
v3=[7 8 9 10 11 12];
bk=zeros(18);
bk(v1,v1)=bk(v1,v1)+k1;
bk(v2,v2)=bk(v2,v2)+k2;
bk(v3,v3)=bk(v3,v3)+k3;
bk
v4=[4 5 6 7 8 9];
bkk=bk(v4,v4);
fk=[10000;0; 0; 0; -15000;0];
gk=inv(bkk)*fk
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
35/43
ÖRNEK.13
Verilen şekildeki yüklemelerden dolayı meydana gelecek deplasmanlar ı ve gerilmeleri
hesaplayınız.
F2 = 15 kN
E = 2.105 N/mm2
t = 2 mm25,0=υ
300 mm
400 mm
F1 = 10 kN
a..)
Problem çözülürken ilk önce eleman numaralar ı ve düğüm numaralar ı sistematik olarak
yerleştirilir. Daha sonra düzlem gerilme hali için elastiste matrisi hesaplanır. k e ‘ler bulunur,
büyük K matrisi hesaplanır ve çözüm yoluna gidilir. İşlem basamaklar ı aşağıda verilmiştir.
Düzlem gerilme hali için D matrisinin bulunması;
8000000
0333333213333.33333333353333.3333
033333353333.3333333333213333.333
2
100
01
01
1 2 =
−−
=
vv
v
v
E D
Düğüm numaralar ının yerleri
1. Düğüm numaralar ının yeri: 0,0
2. Düğüm numaralar ının yeri: 400,0
3. Düğüm numaralar ının yeri: 400,300
4. Düğüm numaralar ının yeri: 0,300
B matrisinin hesaplanması;
[ ]
025,0003,00025,000003,0
003,0000003,00
00.0025-00.002500
1
−−
−= B
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
36/43
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
37/43
Columns 5 through 8
0 -133333.333333333 -106666.666666667 80000-133333.333333333 0 53333.3333333333 -284444.444444445
-106666.666666667 53333.3333333333 0 0
80000 -284444.444444445 0 0
266666.666666667 0 -160000 53333.3333333333
0 344444.444444445 80000 -60000
-160000 80000 266666.666666667 -133333.333333333
53333.3333333333 -60000 -133333.333333333 344444.444444445
Şeklinde’ dir. Burada hesap yapılabilmesi için aşağıdaki formüle gerekli değerler
yerleştirilerek hesap tamamlanabilir. Buradan da deplasman değerleri aşağıdaki gibi
bulunabilir.
F QK =.
mm0,mm0,mm0.00,mm0.06
0.01,,,06,0,,,0,,,0
8765
4321
====
====
QQQQ
mmQmmQmmQmmQ
olarak hesaplanır. Matlap ta yapılmış olan program aşağıdaki şekilde verilmiştir.
Matlab Programı;
clc
clear
%Soru1 in ücgen eleman metodu ile cözümü
fprintf('SORU 1 UCGEN ELEMANL METODU ILE COZUMUNUN YAPILMASI\n')
fprintf('---------------------------------------------------\n')
%ilk önce verileri girelim
e=2*10^5;
v=0.25;
t=2;
string = ['Malzemenin Elastiste Modulu '...num2str(e) 'N/mm^2'];
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
38/43
disp(string);
string = ['Poisson orani v='...
num2str(v) 'mm^2'];
disp(string);
string = ['Malzemenin kalinligi t='...
num2str(t) 'mm'];
disp(string);
fprintf('*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*\n')
%Öncelikle düzlem gerilme hali için elastiste matrisi su sekildedir
fprintf('Düzlem gerilme hali için elastiste matrisi D\n')
D=e/(1-v^2)*[ 1 v 0; v 1 0; 0 0 (1-v)/2];
D
fprintf('+++++++++++++++++++++++++++++++\n')
fprintf('-------------------------------\n')
%Dügüm numaralarinin yerlerinin bulunmasi
fprintf('Dügüm numaralarinin yerleri\n')
x1=0;
y1=0;
x2=400;
y2=0;
x3=400;
y3=300;
x4=0;
y4=300;
string = ['1. Dügüm numaasinin yeri: '...
num2str(x1) ',' num2str(y1)];
disp(string);
string = ['2. Dügüm numaasinin yeri: '...
num2str(x2) ',' num2str(y2)];
disp(string);
string = ['3. Dügüm numaasinin yeri: '...
num2str(x3) ',' num2str(y3)];disp(string);
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
39/43
string = ['4. Dügüm numaasinin yeri: '...
num2str(x4) ',' num2str(y4)];
disp(string);
%Determinent j nin hesaplanmasi
fprintf('+++++++++++++++++++++++++++++++\n')
fprintf('-------------------------------\n')
fprintf('Determinent j nin hesaplanmasi\n')
J1=((x1-x4)*(y3-y4))-((x3-x4)*(y1-y4));
J2=((x1-x3)*(y2-y3))-((x2-x3)*(y1-y3));
%Local dügüm numaralarini kullanarak B matrisinin bulunmasi
fprintf('Local dügüm numaralarini kullanarak B matrislerinin bulunmasi\n')
%1. eleman için B1 in bulunmasi
B1=(1/J1)*[(y3-y4) 0 (y4-y1) 0 (y1-y3) 0; 0 (x4-x3) 0 (x1-x4) 0 (x3-x1); (x4-x3) (y3-y4) (x1-
x4) (y4-y1) (x3-x1) (y1-y3)];
B1
%2. eleman için B2 in bulunmasi
B2=(1/J2)*[(y2-y3) 0 (y3-y1) 0 (y1-y2) 0; 0 (x3-x2) 0 (x1-x3) 0 (x2-x1); (x3-x2) (y2-y3) (x1-
x3) (y3-y1) (x2-x1) (y1-y2)];
B2
%[D].[B] matrislerinin elde edilmesi
fprintf('+++++++++++++++++++++++++++++++\n')
fprintf('-------------------------------\n')
fprintf('[D].[B] matrislerinin elde edilmesi\n')
%1. Eleman için D.B1
% D.B ye o deyelim
o1=D*B1
%2. Eleman için D.B2
o2=D*B2
%Rijitlik matrisleri olan k nin elde edilmesi
fprintf('+++++++++++++++++++++++++++++++\n')
fprintf('-------------------------------\n')
fprintf('Rijitlik matrisleri olan k nin elde edilmesi\n')
%k1 in elde edilmesik1=t*0.5*J1*B1'*o1
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
40/43
k2=t*0.5*J2*B2'*o2
%Büyük matris bk nin elde edilmesi
fprintf('+++++++++++++++++++++++++++++++\n')
fprintf('-------------------------------\n')
fprintf('Büyük matris bk nin elde edilmesi\n')
bk=zeros(8);
v1=[ 1 2 5 6 7 8];
v2=[1 2 3 4 5 6];
bk(v1,v1)=bk(v1,v1)+k1;
bk(v2,v2)=bk(v2,v2)+k2;
bk
v3=[3 4 5 6];
bk1=bk(v3,v3);
%Kuvvet terimleri f lerin bulunmasi
fprintf('+++++++++++++++++++++++++++++++\n')
fprintf('-------------------------------\n')
fprintf('Kuvvet terimleri f lerin bulunmasi\n')
f=[0;0;10000;0;10000;0;0;0];
f1=[f(3,1);f(4,1);f(5,1);f(6,1)];
string = ['f1: ' num2str(f(1,1)) ' N'];
disp(string);
string = ['f2: ' num2str(f(2,1)) ' N'];
disp(string);
string = ['f3: ' num2str(f(3,1)) ' N'];
disp(string);
string = ['f4: ' num2str(f(4,1)) ' N'];
disp(string);
string = ['f5: ' num2str(f(5,1)) ' N'];
disp(string);
string = ['f6: ' num2str(f(6,1)) ' N'];
disp(string);string = ['f7: ' num2str(f(7,1)) ' N'];
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
41/43
disp(string);
string = ['f8: ' num2str(f(8,1)) ' N'];
disp(string);
%Çökmelerin bulunmasi q
fprintf('+++++++++++++++++++++++++++++++\n')
fprintf('-------------------------------\n')
fprintf('Çökmelerin bulunmasi q\n')
q1=inv(bk1)*f1;
q=[0;0;q1(1,1);q1(2,1);q1(3,1);q1(4,1);0;0];
qs1=[0;0;q(3,1);q(4,1);0;0];
qs2=[0;0;q(1,1);q(2,1);q(3,1);q(4,1)];
%q nun tek tek gösterilmesi
string = ['q1: ' num2str(q(1,1)) ' mm'];
disp(string);
string = ['q2: ' num2str(q(2,1)) ' mm'];
disp(string);
string = ['q3: ' num2str(q(3,1)) ' mm'];
disp(string);
string = ['q4: ' num2str(q(4,1)) ' mm'];
disp(string);
string = ['q5: ' num2str(q(5,1)) ' mm'];
disp(string);
string = ['q6: ' num2str(q(6,1)) ' mm'];
disp(string);
string = ['q7: ' num2str(q(7,1)) ' mm'];
disp(string);
string = ['q8: ' num2str(q(8,1)) ' mm'];
disp(string);
fprintf('+++++++++++++++++++++++++++++++\n')
fprintf('-------------------------------\n')
% Sigmalarin hesablanmasi s
fprintf('Sigmalarin hesablanmasi s \n')
% s1 in bulunmasis1=o1*qs1;
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
42/43
% s2 in bulunmasi
s2=o1*qs2;
string = ['Sigma 1: ' num2str(s1(1,1)) ' N/mm^2'];
disp(string);
string = ['Sigma 2: ' num2str(s1(2,1)) ' N/mm^2'];
disp(string);
string = ['Sigma 3: ' num2str(s1(3,1)) ' N/mm^2'];
disp(string);
string = ['Sigma 4: ' num2str(s2(1,1)) ' N/mm^2'];
disp(string);
string = ['Sigma 5: ' num2str(s2(2,1)) ' N/mm^2'];
disp(string);
string = ['Sigma 6: ' num2str(s2(3,1)) ' N/mm^2'];
disp(string);
Matlab tan çıkan sonuçlar ise;
Kuvvet terimleri f lerin bulunmasi
f1: 0 N
f2: 0 N
f3: 10000 N
f4: 0 N
f5: 10000 N
f6: 0 N
f7: 0 N
f8: 0 N
Çökmelerin bulunmasi qq1: 0 mm
q2: 0 mm
q3: 0.067602 mm
q4: 0.010204 mm
q5: 0.06148 mm
q6: -0.0020408 mm
q7: 0 mmq8: 0 mm
-
8/17/2019 Muzaffer Topçu-Sonlu Elemanlar-Ödevler
43/43
Sigmalarin hesablanmasi s
Sigma 1: 36.0544 N/mm^2
Sigma 2: 9.0136 N/mm^2
Sigma 3: 2.0408 N/mm^2
Sigma 4: -34.2404 N/mm^2
Sigma 5: -1.7574 N/mm^2
Sigma 6: 15.9864 N/mm^2