МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов

ФУНКЦИОНАЛЫ ЛЯПУНОВА

В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ

АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ

Ульяновск

УлГТУ

2019

УДК 533.6.013.42

ББК 22 я43

А67

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой «Информационная

безопасность и теория управления» Ульяновского гос. университета

А. С. Андреев;

д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой «Прикладная математика»

Ульяновского гос. университета А. А. Бутов

Научный редактор

д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой «Высшая математика»

Ульяновского гос. технического университета П. А. Вельмисов

A 67 Анкилов, А. В.

Функционалы Ляпунова в некоторых задачах аэрогидроупругости

/ А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов. – Ульяновск : УлГТУ, 2019. –

201 с.

ISBN 978-5-9795-1978-4

В монографии рассматриваются математические постановки

некоторых плоских задач аэрогидроупругости для различных моделей

газожидкостной среды и деформируемого твердого тела. Рассмотрены

модели конструкций при сверхзвуковом обтекании потоком газа,

модели трубопроводов, крыловых профилей и вибрационных

устройств при взаимодействии с дозвуковым потоком газа или

жидкости.

На основе построения функционалов Ляпунова для

разработанных моделей получены достаточные условия динамической

устойчивости деформируемых элементов.

Предназначена для научных работников, аспирантов,

специализирующихся в области механики сплошных сред, теории

дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с

частными производными, устойчивости движения механических

систем с распределенными параметрами.

Печатается в авторской редакции.

УДК 533.6.013.42

ББК 22 я43

© Анкилов А. В., Вельмисов П. А., 2019

ISBN 978-5-9795-1978-4 © Оформление. УлГТУ, 2019

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ....................................................................................................... 5

1 Исследование динамики и устойчивости упругих элементов

системы крыловых профилей .................................................................

12

1.1 Математическая модель .................................................................

1.2 Определение силового воздействия потока ...............................

1.3 Исследование динамики в случае симметричных профилей

1.4 Численный эксперимент ..............................................................

1.5 Исследование устойчивости ..........................................................

2 Исследование динамической устойчивости упругих

элементов вибрационного устройства, расположенных

на стенках проточного канала ...............................................................

2.1 Модель вибрационного устройства бесконечной длины .........

2.1.1 Линейная математическая модель ...................................

2.1.2 Определение силового воздействия потока ...................

2.1.3 Исследование устойчивости ..............................................

2.1.4 Пример исследования устойчивости ...............................

2.1.5 Исследование динамики упругих элементов .................

2.1.6 Численный эксперимент в случае несинхронных

колебаний ....................................................................................

2.1.7 Случай синхронных колебаний .......................................

2.1.8 Численный эксперимент в случае синхронных

колебаний ....................................................................................

2.1.9 Нелинейная математическая модель. Исследование

устойчивости ..............................................................................

2.2 Модель вибрационного устройства конечной длины ...............

2.2.1 Линейная математическая модель ...................................

2.2.2 Определение силового воздействия потока.

Исследование устойчивости .....................................................

2.2.3 Нелинейная математическая модель. Исследование

устойчивости ..............................................................................

2.2.4 Нелинейная математическая модель вибрационного

устройства с одним упругим элементом. Исследование

динамики и устойчивости .........................................................

12

13

17

20

23

29

29

29

30

37

46

48

52

56

64

66

70

70

71

77

77

3 Исследование динамической устойчивости упругих

элементов вибрационного устройства, расположенных внутри

проточного канала последовательно ....................................................

3.1 Линейная модель упругого тела. Несжимаемая среда. ............

3.2 Нелинейная модель упругого тела. Несжимаемая среда. ........

3.3 Линейная модель упругого тела. Сжимаемая среда. ................

3.4 Нелинейная модель упругого тела. Cжимаемая среда. ............

84

84

93

96

101

3

4 Исследование динамической устойчивости упругих

элементов вибрационного устройства, расположенных внутри

проточного канала параллельно ….........................................................

4.1 Линейная модель упругого тела. Несжимаемая среда. ............

4.2 Нелинейная модель упругого тела. Несжимаемая среда. ........

4.3 Линейная модель упругого тела. Сжимаемая среда. ................

4.4 Нелинейная модель упругого тела. Cжимаемая среда. ..............

105

105

118

121

131

5 Динамическая устойчивость упругой пластины

при струйном обтекании ...........................................................................

5.1 Математическая модель ...............................................................

5.2 Определение силового воздействия потока ...............................

5.3 Исследование устойчивости ........................................................

134

134

135

138

6 Динамическая устойчивость упругого трубопровода ................

6.1 Линейная математическая модель ..............................................

6.2 Исследование устойчивости ........................................................

6.3 Исключение параметров ..............................................................

6.4 Нелинейная математическая модель. Исследование

устойчивости .......................................................................................

148

148

150

153

161

7 Исследование динамической устойчивости деформируемых

элементов конструкций при сверхзвуковом режиме обтекания ...

7.1 Математическая модель ...............................................................

7.2 Исследование устойчивости ......................................................

7.3 Анализ условий устойчивости ....................................................

7.4 Оценка амплитуды деформаций .................................................

7.5 Пример механической системы ..................................................

167

167

168

172

174

176

Заключение ................................................................................................ 179

Библиографический список ................................................................... 180

4

ВВЕДЕНИЕ

При проектировании конструкций, взаимодействующих с потоком

жидкости или газа, одним из важнейших является вопрос о динамике и

устойчивости колебаний деформируемых элементов, так как воздействие

потока может не только возбуждать колебания, но и приводить к

увеличению амплитуды, или скорости, или ускорения колебаний до

значений, при которых может произойти разрушение конструкции или ее

элементов, или, по крайней мере, нарушение надежности эксплуатации и

необходимой функциональной точности работы.

Задача об исследовании динамической устойчивости, а именно –

устойчивости по начальным данным (аналог устойчивости по Ляпунову),

может быть сформулирована так: при каких значениях параметров,

характеризующих систему «газ-тело» (основными параметрами являются

скорость потока, прочностные и инерционные характеристики тела, силы

трения и т.д.), малым отклонениям тела от положения равновесия и малым

возмущениям потока газа в начальный момент времени 0=t будут

соответствовать малые отклонения тела и малые возмущения потока газа в

любой момент времени 0>t . Такая постановка вопроса является

существенной для многих задач механики и техники, описываемых

дифференциальными уравнениями, в которых важно знать не только (а

иногда не столько) конкретные значения решения этих уравнений при

данном конкретном значении аргумента, а характер поведения при

изменении аргумента, в частности, при его неограниченном возрастании.

Примерами потери динамической устойчивости являются: изгибно-

крутильный флаттер крыла самолета и панельный флаттер пластин и

оболочек, обтекаемых потоком; срывной флаттер лопаток турбин и винтов,

возникающих в случае обтекания с большими углами атаки; колебания

проводов, дымовых труб, балок жесткости висячих мостов и т. д.

В то же время для функционирования некоторых технических

устройств (например, вибрационных устройств, используемых для

интенсификации технологических процессов) явление возбуждения

колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в

качестве негативного, является необходимым. В качестве примера можно

привести устройства, служащие для получения смесей, например,

смазочно-охлаждающих жидкостей, используемых при шлифовании и

лезвийной обработке в машиностроении. Основной частью широкого

класса подобных устройств является проточный канал, на стенках

которого (или внутри него) расположены упругие элементы. Работа таких

устройств основана на вибрации упругих элементов при протекании

внутри каналов жидкости.

Таким образом, при проектировании конструкций и устройств,

5

находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо

решать задачи, связанные с определением характеристик, требуемых для

их функционирования и надежности их эксплуатации.

Тонкостенные элементы в форме оболочки, пластины, стержня могут

относительно легко изгибаться и заметно изменять форму при воздействии

потока. Это в свою очередь приводит к изменению поля скоростей и

давлений в жидкости (газе) около тела, и, как следствие, нагрузок на него.

Поэтому существенным моментом в теории аэрогидроупругости является

учет взаимного (обратного) влияния деформаций тела и поля скоростей и

давлений потока (т.е. учет взаимодействия аэрогидродинамических сил,

сил упругости, сил инерции и т.д.). Следовательно, теория аэроупругости

является комплексной областью механики, в которой объединены методы

механики деформируемого тела с одной стороны, и методы

аэрогидромеханики – с другой.

В настоящее время аэрогидроупругость представляет собой хорошо

развитый раздел механики сплошной среды.

Большие успехи достигнуты в исследованиях динамики и статики

несущих поверхностей (крыловых профилей). Задачи, поставленные в этом

направлении еще на ранних стадиях развития авиационной техники, в

дальнейшем стали актуальными и в турбо-компрессоростроении.

Соответствующие результаты освещены в работах Белоцерковского С.М.,

Кочеткова Ю.А., Красовского А.А., Новицкого В.В. [63], Белоцерковского

С.М., Ништа М.И. [65], Белоцерковского С.М., Скрипача Б.К.,

Табачникова В.Г. [66], Келдыша М.В., Гроссмана Е.П., Марина Н.И. [161],

Красильщиковой Е.А. [177], Морозова В.И., Пономарева А.Т., Рысева О.В.

[201], Седова Л.И. [223], Смирнова А.И. [224, 225], Фершинга Г. [231],

Фына Я.Ц. [237] и др. Существенным является предположение о малой

относительной толщине профиля, что позволяет применять линейную

теорию течения. Облегчает исследование часто принимаемое допущение о

возможности рассматривать только изгиб и кручение крыла как балки.

Более сложные модели движения и взаимодействия приходится

принимать при исследовании поведения упругих пластин и оболочек в

потоке. Это диктуется как более сложной формой их деформирования, так

и ориентацией по отношению к направлению невозмущенного потока

(например, большой угол атаки). В этих задачах предполагается малая

толщина стенок, в связи с чем при сопряжении решений для двух сред

контактная поверхность отождествляется со срединной поверхностью.

Сведение деформированной срединной поверхности к исходной и

предположение о малых возмущениях течения позволяют использовать

линейную теорию движения жидкости (газа). В частности, подробно

изучен сверхзвуковой панельный флаттер с применением закона плоских

сечений («поршневой» теории). Результаты, полученные в этом

6

направлении, представлены в работах Амбарцумяна С.А. [11],

Бисплингхоффа Р.Л., Эшли Х., Халфмана Р.Л. [70], Болотина В.В. [75],

Вольмира А.С. [113-117], Гонткевича В.С. [123], Григолюка Э.И. и др.

[127-132], Ильгамова М.А. [145, 146], Ильюшина А.А. [148], Ильюшина

А.А., Кийко И.А. [149-151], Кийко И.А. [163], Колкунова Н.В. [170], Дж.

Майлса [186,187], Мовчана А.А. [194, 195], Новичкова Ю.Н. [205],

Пановко Я.Г., Губанова [207], Потапенко Э.Н. [216], Фершинга Г. [231],

Фына Я.Ц. [236, 237], Доуелла Е.Х. [261-264], Доуелла Е.Х., Ильгамова

М.А. [265] и др.

Гидроупругость плохообтекаемых элементов конструкций (в том

числе антенн, мостов, трубопроводов) рассматривалась в работах

Горшкова А.Г., Тарлаковского Д.В. [126], Девнина С.И. [138], Казакевича

М.И. [154,155], Пирумова У.Г., Рослякова Г.С. [208] и др. Существенным

здесь является отрыв потока с поверхности, моделирование которого

представляет большие трудности. К этим вопросам тесно примыкают и

задачи о динамическом поведении мягких оболочек в потоке, сложность

моделирования поведения которых заключается в больших изменениях

формы тела и картины течения, а также проницаемости оболочек.

Исследованию парашютных систем посвящены работы Белоцерковского

С.М., Ништа М.И., Пономарева А.Т., Рысева О.В. [67], Гулина Б.В.,

Ильгамова М.А. [136] и др.

Широкий круг исследований включает в себя описание колебаний и

распространение волн в оболочке, находящейся в газожидкостной среде

или содержащей ее, в частности, анализ динамических явлений в камерах

сгорания и реакторах. Этой проблеме посвящены работы Баничука Н.В.

[56], Баничука Н.В., Бирюка В.И., Сейраняна А.П., Фролова В.М.,

Яремчука Ю.Ф. [57], Барштейна М.Ф., Бородачева Н.М., Блюминой Л.Х.

[61], Буйвола В.Н. [82], Ильгамова М.А. [146], Рапопорта И.М. [221],

Фролова К.В., Антонова В.Н. [235] и др.

Поведение конструкций при набегании волн давления

рассматривалось в работах Бабаева А.Э. [51], Вестяка А.В., Горшкова А.Г.,

Тарлаковского Д.В. [112], Галиева Ш.У. [118,119], Горшкова А.Г. [124],

Григолюка Э.И., Горшкова А.Г. [130-132], Гузя А.Н., Кубенко В.Д. [134],

Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Бабаева А.Э. [135], Кармишина А.В., Скурлатова

Э.Д., Старцева В.Г., Фельдштейна В.А. [159], Кубенко В.Д. [180], Мнева

Е.И., Перцева А.К. [193] и др.

В работах Казакевича М.И. [155], Милославского А.И. [190],

Томпсона Дж.М.Т. [229], Челомея С.В. [241, 242], и др. рассматривается

динамика трубопроводов.

Существенным фактором, влияющим на прочностные характеристики

деформируемых тел, является старение материала (изменение его физико-

механических свойств с течением времени). Хорошо разработанной

7

является модель стареющего вязкоупругого тела, согласно которой

напряжение в любой точке тела зависит от предыстории деформирования

материала в данной точке, а связь между напряжением и деформацией

подчиняется уравнению Вольтерра-Фойхта. Фундаментальные результаты

в теории вязкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел изложены в

работах Александрова А.В., Потапова В.Д. [9], Арутюняна Н.Х., Дроздова

А.Д., Колмановского В.Б. [49], Арутюняна Н.Х., Колмановского В.Б. [50],

Ильюшина А.А., Победри Б.Е. [152], Качанова Л.М. [160], Клюшникова

В.Д. [168], Колмановского В.Б., Носова В.Р. [172], Колтунова М.А. [173],

Кравчука А.С., Майбороды В.П., Уржумцева Ю.С. [176], Пальмова В.А.

[206], Постникова В.С. [215], Работнова Ю.Н. [218-220], Ржаницына А.Р.

[222] и др.

Исследованию устойчивости упругих тел, взаимодействующих с

потоком газа или жидкости, в последние десятилетия посвящено много

теоретических и экспериментальных исследований. Среди них отметим

исследования [1–8, 52-54, 58-60, 62, 69, 71-73, 76-81, 83-86, 121, 122, 125,

137, 140-144, 147, 153, 158, 162, 164-167, 178, 179,181, 182, 191, 192, 197-

200, 202, 203, 212-214, 226, 227, 238-240, 243, 245-248, 254-260, 266-276,

278-289, 302-309]. Среди работ авторов отметим [12-48, 55, 88-11, 249-253,

277, 292-301].

Невозможность в задачах аэрогидроупругости определения силового

воздействия потока на обтекаемое деформируемое тело до решения задачи

об определении его деформации (математически это выражается в том, что

совместное движение тела и жидкости или газа описывается связанной

системой дифференциальных уравнений для функций прогибов и

аэрогидродинамических функций) и учет вязкоупругих свойств материала

(что приводит к появлению в уравнениях движения тел дополнительных

интегральных членов) увеличивают сложность решения задач о динамике

и устойчивости деформируемых (упругих, вязкоупругих) конструкций при

аэрогидродинамическом воздействии, не позволяют использовать

некоторые классические подходы и приводят к необходимости разработки

специальных методов исследования, отличающихся от методов расчета

деформаций упругих элементов конструкций при заданных нагрузках.

Аналитические (в т.ч. приближенные аналитические, численно-

аналитические) решения явно содержат основные параметры

механической системы, и в таком виде они наиболее приспособлены для

решения задач оптимизации, автоматического управления,

автоматизированного проектирования, а также для работы в диалоговом

режиме с ЭВМ, что существенно повышает эффективность их

использования. Определение требуемых свойств конструкций

осуществляется на основе вычислительного эксперимента. В то же время

такие решения получены лишь для некоторых классов задач

8

аэрогидроупругости. Поэтому разработка аналитических методов,

ориентированных на решение широкого класса новых задач динамики и

устойчивости деформируемых конструкций в потоке газа (жидкости),

является актуальной научно-технической проблемой.

Монография состоит из семи глав. В первой главе предложена

математическая модель системы крыловых профилей типа «тандем»,

содержащих упругие элероны и обтекаемых дозвуковым потоком

идеального газа (жидкости). Предполагается, что крылья абсолютно

жесткие, а элероны упругие. Исследуется динамика и динамическая

устойчивость элеронов. Модель описывается связанной системой

дифференциальных уравнений в частных производных для неизвестных

функций – потенциала скорости газа и деформаций упругих элеронов.

На основе методов теории функций комплексного переменного из системы

уравнений исключен потенциал скорости и решение задачи

аэрогидроупругости сведено к исследованию системы интегро-

дифференциальных уравнений, содержащей только неизвестные функции

деформаций упругих элеронов. В случае двух профилей, один из которых

содержит упругий элемент, проведено исследование устойчивости на

основе построения положительно определенного функционала,

соответствующего полученному интегро-дифференциальному уравнению с

частными производными. Получены условия устойчивости, налагающие

ограничения на скорость набегающего потока, толщину, изгибную

жесткость элерона и другие параметры механической системы. Решение

указанной системы интегро-дифференциальных уравнений для функций

деформаций элементов строится на основе метода Галеркина. Проведен

численный эксперимент для случая двух профилей с упругими элеронами.

Во второй главе рассмотрена математическая модель вибрационного

устройства, моделируемого прямолинейным каналом конечной и

бесконечной длины. Стенки канала содержат упругие элементы.

Для описания динамики упругих элементов используется как линейная, так

и нелинейная теории твердого деформируемого тела. Рассматривается

случай дозвукового протекания. На основе методов теории функций

комплексного переменного из системы уравнений исключен потенциал

скорости и решение задачи аэрогидроупругости сведено к исследованию

системы интегро-дифференциальных уравнений, содержащей только

неизвестные функции деформаций упругих элементов. На основе

построения функционала получены достаточные условия устойчивости

колебаний упругих элементов, налагающие ограничения на скорость

однородного потока жидкости, изгибную жесткость элементов и другие

параметры механической системы.

В третьей главе рассмотрена математическая модель вибрационного

устройства с произвольным количеством упругих элементов

9

(расположенных внутри канала последовательно) с учетом их

взаимодействия с потоком жидкости. Рассмотрены модели сжимаемой и

несжимаемой среды. Для описания динамики упругих элементов

используется линейная и нелинейная модели упругого тела. На основе

построения «смешанных» функционалов (для исходных систем)

получены достаточные условия устойчивости колебаний упругих

элементов, налагающие ограничения на скорость однородного потока

жидкости, изгибную жесткость упругих элементов и другие параметры

механической системы.

В четвертой главе рассмотрена математическая модель

вибрационного устройства с двумя упругими элементами

(расположенных внутри канала параллельно) с учетом их взаимодействия

с потоком жидкости. Рассмотрены модели сжимаемой и несжимаемой

среды. Для описания динамики упругих элементов используется

линейная и нелинейная модели упругого тела. На основе построения

«смешанных» функционалов (для исходных систем) получены

достаточные условия устойчивости колебаний упругих элементов,

налагающие ограничения на скорость однородного потока жидкости,

изгибную жесткость упругих элементов и другие параметры

механической системы.

В пятой главе предложена математическая модель динамической

системы, содержащей упругую пластину при одностороннем обтекании ее

потоком идеального несжимаемого газа с отрывом струи по схеме

Кирхгофа. Поведение упругого материала описывается нелинейной

моделью, учитывающей как продольные, так и поперечные деформации

упругой пластины. Дано решение аэрогидродинамической части задачи,

основанное на методах теории функций комплексного переменного.

Получена связанная система интегро-дифференциальных уравнений с

частными производными, содержащая только неизвестные функции

деформации пластины. На основе построения функционала,

соответствующего этой системе уравнений, получены достаточные

условия устойчивости нулевого решения системы. Определение

устойчивости упругого тела соответствует концепции устойчивости

динамических систем по Ляпунову.

В шестой главе рассматривается плоская задача аэрогидроупругости о

колебаниях, возникающих при протекании жидкости с переменной

скоростью через трубопровод. Математическая модель описывается

дифференциальным уравнением в частных производных для неизвестной

функции поперечной деформации упругого трубопровода. Исследование

устойчивости проведено на основе построения положительно

определенного функционала, соответствующего этому уравнению.

Получены достаточные условия устойчивости колебаний трубопровода,

10

налагающие ограничения на параметры механической системы.

Исследование устойчивости проводится также на основе нелинейной

математической модели, учитывающей продольную и поперечную

деформации.

В седьмой главе исследуется устойчивость деформируемого элемента

конструкции в виде пластины-полосы при обтекании ее сверхзвуковым

потоком идеального газа. Для описания динамики упругого тела

используется математическая модель, учитывающая поперечные и

продольные деформации упругой пластины. Модель описывается

связанной системой дифференциальных уравнений в частных производных

для двух неизвестных функций деформаций. Аэродинамическое давление

на пластину определяется согласно «поршневой» теории А.А. Ильюшина.

На основе построенного функционала получены достаточные условия

устойчивости решений предложенной системы уравнений, описывающей

продольно-поперечные колебания пластины. Произведена оценка

амплитуды деформаций в зависимости от начальных условий.

На конкретном примере одной механической системы показано

использование доказанных теорем и оценок.

В каждой главе принята своя двойная нумерация формул, теорем,

рисунков. Первое число номера указывает номер главы, второе – номер в

главе.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 18-41-730015.

11

1 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ

ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ КРЫЛОВЫХ ПРОФИЛЕЙ

1.1 Математическая модель

Рассматривается плоская задача аэроупругости о малых колебаниях

упругих элеронов системы n крыловых профилей типа «тандем»

(расположенных последовательно друг за другом вдоль одной линии) при

дозвуковом обтекании их потоком идеального несжимаемого газа. Пусть

на плоскости Oxy , в которой происходят совместные колебания упругих

элеронов и дозвукового потока идеального газа (жидкости), крыльям

соответствуют на оси Ox отрезки [ , ], 1 ,k ka с k n а элеронам – отрезки

[ , ], 1 ,k kb c k n где 1 , 1 1k ka c k n (рис. 1.1).

Рисунок 1.1 – Двустороннее безотрывное обтекание системы n профилей

с упругими элеронами

В бесконечно удаленной точке скорость газа равна V и имеет

направление, совпадающее с направлением оси Ox . Здесь и в дальнейшем

будем предполагать, что прогибы элеронов и возмущение однородного

потока малы, то есть ( , ) ( , )k kw x t w x t , ( , , ) ( , , )x y t Vx x y t , 1 ,

1k n . Здесь 1w ,...,

nw и – соответственно прогибы элеронов и

потенциал скоростей возмущенного потока газа.

Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

0xx yy , 2

1 1( , ) \ [ , ] .... [ , ] , 0n nx y G R a с a с t , (1.1)

условию отсутствия возмущений в бесконечно удаленной точке

2 2 2 0x y t

(1.2)

и линеаризованным граничным условиям

( ), ( , ), 1 ,

( , ) ( , ), ( , ), 0, 1 ,

k k ky

k k k k

Vf x x a b k n

w x t Vw x t x b c t k n

(1.3)

где 0 0

lim ( , , )y yy

x y t

.

Аэродинамические воздействия на элероны выражаются через

потенциал скорости ( , , )x y t по формулам

( , ) ( ) ( )k t t x xP x t V , ( , ), 1k kx b c k n , 0t , (1.4)

где 0 0 0 0

lim ( , , ), lim ( , , )t t x xy y

x y t x y t

.

12

Рассмотрим линейную модель упругого тела. Тогда уравнения малых

колебаний упругих элеронов, моделируемых упругими пластинами, с

учетом силового воздействия потока kP на них имеют вид

0 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).k k k k k k k k k k k kM w x t D w x t w x t w x t I w x t P x t (1.5)

Здесь и в дальнейшем индексы , ,x y t снизу обозначают производные

по , ,x y t ; штрих обозначает производную по x и , а точка – производную

по t ; – плотность газа; 3 2/ (12(1 ))k k kI h ; k k kD E I – изгибные

жесткости элеронов; kh – толщина элеронов;

k k kM h – погонные массы

элеронов; kE ,

k – модули упругости и линейные плотности элеронов;

2 1,k k – коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования;

0k – коэффициенты жесткости обжимных слоев; k – коэффициенты

Пуассона.

1.2 Определение силового воздействия потока

Выражая потенциал ( , , )x y t через функции прогиба ( , )kw x t , запишем

уравнения колебаний пластин (1.4), (1.5) относительно этих функций. С

этой целью в области G введем комплексный потенциал

( , )W f z t i , где ( , , )x y t – функция тока, z x iy . Для

функции скоростей ( , )z x yf z t i согласно условиям (1.1), (1.3) имеем

следующее интегральное представление

1

1

1 11

1 1

1

1 ( , )( , ) ( 1) ( )

( )

( 1) ( ) ( )( ) ( )

2

( ) ( ),

2

k

k

k

k

k

k

cnk k

z

k b

bkn nkk k

k

k ka

bnk k

k a

v tf z t h d

zh z

V f fh d t z

z

V f fd

z

(1.6)

где 1 1 2 2 1 1( ) ( )( )( )( )...( )( )( )( )n n n nh z z a z c z a z c z a z c z a c z ;

( , ) , ( , ), 1k k k k kv t w Vw x b c k n ; 1 1( ),..., ( )nt t

– действительные

функции, определяющие циркуляцию скорости газа вокруг каждого

профиля. Ветвь корня в формуле (1.6) фиксирована условием

1 1 2 2( ) ( )( )( )( )...( )( )n nh z i x a x c x a x c x a x c , nz x c . (1.7)

Разложение функции ( , )zf z t в окрестности z начинается с члена

порядка 11 nz , поэтому общая циркуляция равна нулю. Циркуляция вокруг

каждой пластины может отличаться от нуля. Заметим также, что 2 2( ) 0x y .

13

Перейдем в (1.6) к пределу при 0z x i , ( , )m mx a c . Согласно

условию (1.7) имеем

( ) ( 1) ( ), 0, ( , ), 1 .k

k kh z h x z x i x a c k n (1.8)

Применяя формулы Сохоцкого и учитывая (1.8), получим

1

1

1 11

1 1

2( 1) ( , )( 1) ( )

( )

( 1) ( ) ( )( ) ( ) , ( , ), 1 .

2

k

k

k

k

cm nk k

x x

k b

bkn nkk k

k m m

k ka

v th d

xh x

V f fh d t x x a c m n

x

(1.9)

Для комплексного потенциала имеем следующее выражение

( , ) ( , ) ( )

m

z

z

a

W f z t f z t dz C t , (1.10)

где ( )C t – произвольная функция времени, z G . Так как G – n-связная

область, то интегралы, вообще говоря, зависят от линии интегрирования.

Следовательно, потенциал , а значит аэродинамические воздействия (1.4)

однозначно не определяются. Подберем функции 1 1( ), ..., ( )nt t

так, чтобы

циркуляция вокруг каждой пластины равнялась нулю.

При обходе разреза [ , ]m ma c против часовой стрелки циркуляция

( ) ( )m m m

m m m

c a c

m x x x x

a c a

t dx dx dx , 1m n . Воспользовавшись

формулами (1.9), получим 1

1

1

1 11

1 1

2( 1) 1 ( , )( ) ( 1) ( )

( )

( 1) ( ) ( )( ) ( ) .

2

m k

m k

k

k

c cm nk k

m

ka b

bkn nkk k

k

k ka

v tt h d

xh x

V f fh d t x dx

x

(1.11)

Сумма циркуляций равна нулю 1

( ) 0n

m

m

t

.

Положим 1 1( ) 0,..., ( ) 0nt t и найдем функции

1 1( ),..., ( )nt t как

решение системы

1

1

1 11

1 1

1 ( , )( 1) ( )

( )

( 1) ( ) ( )( ) ( ) 0, 1 1.

2

m k

m k

k

k

c cnk k

ka b

bkn nkk k

k

k ka

v th d

xh x

V f fh d t x dx m n

x

(1.12)

14

Тогда из равенств 1 1( ) 0,..., ( ) 0nt t следует, что

1

1

( ) ( ) 0n

n m

m

t t

.

В этом случае интеграл от функции ( , )zf z t по любому замкнутому

контуру, принадлежащему области G , равен нулю. Отсюда следует, что

значение потенциала W , определяемое формулой (1.10), не зависит от

линии интегрирования, соединяющей точки 1a и z . Поскольку

10

( )( ) ...

a tW i a t

z

в окрестности z , то функцию ( )C t в (1.10) можно подобрать так,

чтобы выполнялось условие ( ) 0t .

Чтобы найти предельные значения ( , , )x y t на границе области G ,

преобразуем каждый из интегралов в правой части формулы (1.6).

Интегрируя по частям, получим

/

1

/1

1

1 1

1

( )1( , ) ( 1) ( , )

( )

( )( 1)( ) ( ) ( )

2

( ) ( ),

2

k

k

k

k

k

k

cnk

z k

k b

bkn nk

k k k

k ka

bnk k

k a

hf z t v t d

zh z

hVf f d t z

z

V f fd

z

(1.13)

где ( , ) ( , )

k

k k

a

v t v x t dx

, 1k n .

С учетом того, что / /

( ) ( ) ( )( , )

( )z

h h z h zz

z zh

, (1.14)

где

2

( )( ( ) ( )) 2( ( ) ( ))( , ) ,

2( ) ( )

z h h z h z hz

z h

(1.15)

имеем /

1

1 1

( )1 ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( 1) ( 1)

( ) ( )

k k

k k

c cn nk kk k

z

k kb bz

h zv t v t zf z t d d

zh h z

/

1

1 1

( ) ( ) ( , )( )( 1) ( ) ( ) ( 1)

2 2( ) ( )

k k

k k

b bk kn nk kk k

k ka az

f f zh zV f f Vd d

zh h z

15

11

1 1

( ) ( ) ( ),

2( )

k

k

bkn nk k k

k k a

t z V f fd

zh z

(1.16)

Подставляя (1.16) в (1.10), получим

1

1 1

( ) ( , ) 1 ( , )( 1) ( 1) ( , )

( ) ( )

k k

k k m

c c zn nk kk

k

k kb b a

h z v t d zW i v t dz d

zh h z

1

1 1

( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)( ) ( )

2 2( )

k k

k k

b bk kn nk k

k k

k ka a

h z V f f d Vf f

zh

(1.17)

11

1 1

( , ) 1( ) ( ) ( ) ln ( ).

2( ) ( )

k

m m k

bz z kn n

k k k

k ka a a

z z dz Vdz d t f f z d C t

h z h z

Из (1.17) при 0z x i , ( , ), 1m mx b c m n , находим

1 11

1 1

2( 1) ( ) ( , ) 2( 1)( 1) ( 1) ( , )

( )

k k

k k

c cm mn nk kk

k

k kb b

h x v t dv t

xh

1

1

( 1) ( )( , ) ( ) ( )( 1)

( ) ( )

k

m k

bx m nk k k

ka a

V h xx f f ddx d

xh x h

(1.18)

1 11

1

1 1

( 1) ( , ) 2( 1)( 1) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( )

( , ).

k

k m m

b x xm m kn nk

k k k

k ka a a

m m

V x x dxf f dx d t

h x h x

x b c

Дифференцируя (1.18) по t , получим 1 1

1

1 1

11

1

2( 1) ( ) ( , ) 2( 1)( 1) ( 1) ( , )

( )

( , ) 2( 1)( ) , ( , ), 1 ,

( ) ( )

k k

k k

m m

c cm mn nk kk

t t k

k kb b

x xm kn

k m m

ka a

h x v t dv t

xh

x x dxdx d t x b c m n

h x h x

(1.19)

где ( , ) ( ( , ) ( , ))

k

kk k k

b

vv t w x t Vw x t dx

t

.

Согласно формулам (1.9), (1.19) аэродинамические воздействия (1.4)

принимают вид 1 1

1

1 1

111

1 1

2 ( 1) ( ) ( , ) 2 ( 1)( , ) ( 1) ( 1) ( , )

( )

( , ) 2 ( 1) 2 ( 1) ( , )( ) ( 1) ( )

( ) ( ) ( )

k k

k k

k

m m k

c cm mn nk kk

m k

k kb b

cx xm k mn nk k

k

k ka a b

h x v t dP x t v t

xh

x x dx V v tdx d t h d

xh x h x h x

16

1 11

1 1

( 1) ( ) ( )( ) ( ) , ( , ), 1 ;

2

k

k

bkn nkk k

k m m

k ka

V f fh d t x x b c m n

x

(1.20)

1 1( ), ..., ( )nt t – решение системы (1.12); ( , )z определяется равенством

(1.15).

Таким образом, получим связанную систему уравнений (1.5)

относительно функций прогиба 1( , ),..., ( , )nw x t w x t

0 1 2

1 11

1 1

1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 ( 1) ( ) ( , ) 2 ( 1)( 1) ( 1) ( , )

( )

( , ) 2 ( 1)( )

( )

k k

k k

m

m m m m m m m m m m m

c cm mn nk kk

k

k kb b

x m k

k

a

M w x t D w x t w x t w x t I w x t

h x v t dv t

xh

x x dxdx d t

h x h

1

1

1 1

1 11

1 1

2 ( 1)( 1)

( ) ( )

( , ) ( 1) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ,

2

( , ), 1 ;

m

k k

k k

x mn nk

k ka

c bkn nkk k k

k

k kb a

m m

V

x h x

v t V f fh d h d t x

x x

x b c m n

(1.21)

Система уравнений (1.21) получена при любых способах закрепления

упругих элеронов. Исследуем случай упругого закрепления левого конца

элеронов с крыльями и свободного правого конца, тогда граничные

условия на концах элеронов имеют вид:

( , ) 0, ( , ) ( , ), ( , ) 0, ( , ) 0, 1m m m m m m m m m m mw b t w b t w b t w c t w c t m n , (1.22)

где числа m – коэффициенты жесткости упругих связей между крыльями

и элеронами.

1.3 Исследование динамики в случае симметричных профилей

Решение системы уравнений (1.21) будем искать методом Бубнова-

Галеркина, подчинив искомые функции ( , )mw x t краевым условиям (1.22),

в виде

=1

( , ) = ( ) ( ), 1 ,N

m mk mk

k

w x t a t g x m n (1.23)

где базисные функции возьмем в виде

( ) cos sin ch shmk mk mk mk mk mk mk mk mkg x A x B x C x D x . (1.24)

Коэффициенты , , ,mk mk mk mkA B C D и параметр mk выберем так, чтобы на

каждом из концов отрезка [ , ]m mb c выполнялись уcловия:

( ) = 0; ( ) = ( ); ( ) = 0; ( ) = 0;

1 , =1,2,3,

mk m mk m m mk m mk m mk mg b g b g b g c g c

m n k

(1.25)

Тогда функции ( , )mw x t в виде (1.23) будут удовлетворять условиям (1.22).

17

Заметим, что mk и ( )mkg x – собственные значения и собственные функции

краевой задачи 4( ) = ( )IV

m m mg x g x (1.26)

с граничными условиями (1.25). Задача (1.26), (1.25) при 0m является

самосопряженной и полностью определенной, следовательно, система

функций =1{ ( )}mk kg x ортогональна на [ , ]m mb c . В этом случае согласно

теореме о разложении любую функцию ( )U x , четырехкратно непрерывно

дифференцируемую в ( , )m mb c и удовлетворяющую соответствующим

краевым условиям, можно разложить в ряд =1

( ) = ( )mk mk

k

U x c g x

, абсолютно

и равномерно сходящийся в ( , )m mb c .

Базисные функции (1.24) для краевых условий (1.25) примут вид:

( ) sin ( ) sinh ( ) sin ( )cosh ( )

cos ( )sinh ( ) cosh ( )sin ( )

sinh ( )cos ( ).

mk mk m mk m mk m mk m m

mk m mk m m mk m mk m m

mk m mk m m

g x b x b x c x c b

c x c b c x c b

c x c b

(1.27)

где mk – корни уравнения

cos ( )ch ( ) sin ( )ch ( )

cos ( )sh ( ) 0.

m m mk m m mk m m mk mk m m mk m m

mk mk m m mk m m

c b c b c b c b

c b c b

Рассмотрим случай симметричных профилей

( ) ( ), 1m mf x f x m n ,

тогда система (1.21) примет вид

0 1 2

1

1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 ( 1) ( ) ( , )( 1)

( )

k

k

m m m m m m m m m m m

cm nk k

k b

M w x t D w x t w x t w x t I w x t

h x v t d

xh

(1.28)

1 111

1 1

11 1

1 1

2 ( 1) ( , ) 2 ( 1)( 1) ( , ) ( )

( ) ( )

2 ( 1) ( , )( 1) ( ) ( ) ,

( )

k

k m m

k

k

c x xm m sn nk

k s

k sb a a

cm n nk sk

s

k sb

x x dxv t dx d t

h x h x

V v th d t x

xh x

где ( , ), 1 ,m mx b c m n а 1 1( ),..., ( )nt t

являются решением линейной

системы

11 1

1 1

1 ( , )( 1) ( ) ( ) 0, 1 1.

( )

m k

m k

c cn nk sk

s

k sa b

v th d t x dx m n

xh x

(1.29)

Запишем систему (1.29) в виде

18

11

1 1

( ) ( 1) ( , ) ( ) , 1 1,( ) ( ) ( )

m k m

m k m

c c csn nk

s k

s ka b a

x dx dxt v t h d m n

h x x h x

(1.30)

тогда решение

1

1 1

( ) ( 1) ( , ) ( ) , 1 1,( ) ( )

k m

k m

c cn nk

s k sm

k mb a

dxt v t h G d s n

x h x

(1.31)

где G – матрица, обратная к матрице 1

, , 1 1( )

m

m

c s

a

x dxs m n

h x

.

Введем обозначения 11 1

1 1

( )( , ) 2 2 ( ) .

( )( ) ( ) ( ) ( )

m

m m m

cx x sn n

sm

s ma a a

h x dx dxK x dx h G

h x x h x x h x

(1.32)

Тогда, подставляя ( , )kv t , систему (1.28) можно записать в виде

0 1 2

1

1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( 1)( 1) ( ( , ) ( , )) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) .

k

k

k

k

m m m m m m m m m m m

cm nk

k k

k b

c

k k x

b

M w x t D w x t w x t w x t I w x t

w t Vw t K x d

V w t Vw t K x d

(1.33)

Подставим ( , )mw x t в виде (1.23). Тогда согласно методу Бубнова-

Галеркина, условия ортогональности невязок m -го уравнения системы

(1.33) к базисным функциям =1{ ( )}N

mj jg x позволяют записать систему

уравнений 4 4

2 1 0

1

1 =1

2

=1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 1)( 1) ( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( , )

m i

m i

m i

m i

m mj mj m mj m m mj mj m mj m mj mj

c cm n Ni

ik ik mj

i k b b

c cN

ik ik mj

k b b

D a t M a t I a t a t a t

a t dx g g x K x d

V a t dx g g x K x d

(1.34)

=1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) , 1 , 1 ,m i

m i

c cN

ik ik mj ik mj

k b b

V a t dx g g x g g x K x d m n j N

где 2= ( ) .m

m

c

mj mj

b

g x dx

Получили систему N n обыкновенных дифференциальных

уравнений второго порядка для определения N n неизвестных функций.

19

Условия ортогональности невязки начальных условий

1 2( ,0) = ( ), ( ,0) = ( ), [ , ], 1 ,m m m m m mw x f x w x f x x b c m n (1.35)

к базисным функциям позволяют найти начальные условия:

1 2

1 1(0) ( ) ( ) , (0) ( ) ( ) .

m m

m m

c c

mj m mj mj m mj

mj mjb b

a f x g x dx a f x g x dx

(1.36)

Таким образом, получили задачу Коши для системы обыкновенных

дифференциальных уравнений (1.34) с начальными условиями (1.36).

1.4 Численный эксперимент

Рассмотрим случай двух профилей 2n . Решая задачу (1.34), (1.36)

при 2, 4n N

с помощью математической системы Mathematica,

получим графики функций 4

1

( , ) ( ) ( )m mk mk

k

w x t a t g x

при различной

толщине упругих элеронов.

Будем считать, что крылья находятся в потоке воздуха ( 1 ), а

элероны изготовлены из алюминия ( 107 10mE , 8480m ). Другие

параметры механической системы: 1 1 10; 2; 3;a b c

2 25; 7;a b

2 8;c 0,31m ; 0 4m ;

1 10m ; 2 10m mI ; 0,1m ; V=30;

m m mM h ; 3

2,

12(1 )

m mm

m

E hD

1,2m (все значения приведены в системе СИ).

I. Пусть 1 20.02; 0.02h h . Начальные условия

1 11 1 11

2 21 2 21

( ,0) 0,01 ( ); ( ,0) 0,005 ( );

( ,0) 0,001 ( ); ( ,0) 0,0005 ( ).

w x g x w x g x

w x g x w x g x

Рисунок 1.2 – Деформация первого элерона 1( , )w x t в точке 2.5x

20

Рисунок 1.3 – Деформация второго элерона 2( , )w x t в точке 7.5x

В этом случае характер колебаний первого элерона устойчивый, у второго

наблюдается неустойчивость.

II. Пусть 1 20.02; 0.02h h . Изменим начальные условия

1 11 1 11

2 21 2 21

( ,0) 0,01 ( ); ( ,0) 0,005 ( );

( ,0) 0,01 ( ); ( ,0) 0,005 ( ).

w x g x w x g x

w x g x w x g x

Рисунок 1.4 – Деформация первого элерона 1( , )w x t в точке 2.5x

Рисунок 1.5 – Деформация второго элерона 2( , )w x t в точке 7.5x

В этом случае характер колебаний первого и второго элерона устойчивый.

III. Уменьшим толщину первого элерона 1 20.015; 0.02h h .

Начальные условия те же, что и в примере II.

21

Рисунок 1.6 – Деформация первого элерона 1( , )w x t в точке 2.5x

Рисунок 1.7 – Деформация второго элерона 2( , )w x t в точке 7.5x

При уменьшении толщины элерона наблюдается уменьшение частоты

колебаний.

IV. Увеличим толщину первого элерона, а толщину второго

уменьшим 1 20.019; 0.0116h h . Начальные условия те же, что и в

примере II.

Рисунок 1.8 – Деформация первого элерона 1( , )w x t в точке 2.5x

22

Рисунок 1.9 – Деформация второго элерона 2( , )w x t в точке 7.5x

В этом случае из-за неустойчивости второго элерона имеет место

неустойчивость первого.

1.5 Исследование устойчивости

Рассмотрим плоскую задачу аэрогидроупругости о малых колебаниях

системы двух крыльев типа «тандем». Первый профиль с упругим

закрылком, второй – недеформируемый (случай 2 22,n b c ) без

закрылка.

Согласно (1.21) получим уравнение 1

1

1 1

1 1

1

1

0 1 2

2

2( , ) ( , )

2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2( , ) ( , ) .

c

b

c c

x

b b

c

x

b

Mw Dw w w Iw w t K x d

V Vw t K x d w t K x d

Vw t K x d

(1.37)

где 1 1 2 2( ) ( )( )( )( )h x x a c x b x c x , 1

1

*

( )

с

a

dxM

h x ,

1

1 1 1

*

( ) ( )1( , )

( )( ) ( ) ( )( )

сx x

a a a

h hdxK x dx dx

Mh x x h x h x x

. (1.38)

Разложим ядро на симметричную и кососимметричную части

1 2

1 2

( , ) ( , ) ( , ),

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) , ( , ) .

2 2

K x G x G x

K x K x K x K xG x G x

(1.39)

Введем функционал

1

1

2 2 2 2 2

0 1 2 1 1 1 0 1= 2 2

c

b

Mw Dw w D w w I w w ww

23

2 2 2

2 2 2 1 2 1 1 1 12 2 ( , ) ( , ) ( , )M ww I w w dx D w b t w b t Dw b t

2 2

2 1 1 2 2 1( , ) ( , )I w b t I w b t (1.40)

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

2

1 1

12

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

4 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

c c c c

b b b b

c c c c

b b b b

Vdx w x t w t G x d dx w x t w t G x d

V Vdx w x t w t G x d dx w x t w t K x d

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

2

1 21

2 22 2

2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

c c c c

b b b b

c c c c

b b b b

V Vdx w x t w t K x d dx w x t w t G x d

Vdx w x t w t G x d dx w x t w t G x d

где 1 2, некоторые положительные параметры, определяемые по ходу

решения задачи.

Введем обозначения 1 1

1 1 1 11 1

1 1

1 1 1 11 1

10 1 20 2[ , ] [ , ]

10 20[ , ] [ , ]

sup ( , ) , sup ( , ) ,

sup ( , ) , sup ( , ) ,

c c

x b c x b cb b

c c

x b c x b cb b

G G x d G G x d

K K x d K K x d

(1.41)

тогда, пользуясь очевидными неравенствами 2 22ab a b и

симметричностью ядер 1( , )G x , 2( , )G x , получим

1

1

22 2

2 1 20 1 10 2 10

2 2201 0 1 2 1 20 1 10 2 10 2 20

22 2 2

20 2 10 2 2 0 10 20

2 4 ( , )

3 4

3 2 ( , ) 2

c

b

VI D w G G G w x t

GM w M G G G G w

VG G w x t D w G G w dx

2 2

2 1 1 2 12 ( , ) 2 ( , ).I D w b t D w b t (1.42)

Для оценки интегралов в (1.42) воспользуемся неравенствами

Буняковского и Рэлея [171]:

1 1

1 1

1 1

1 1

22

12

1 1

22

12

1 1

2( , ) ( , ) ( , ) ,

( )

2( , ) ( , ) ( , ) ,

( )

c c

b b

c c

b b

w x t dx w x t w b t dxc b

w x t dx w x t w b t dxc b

(1.43)

24

1 1

1 1

1 1

1 1

2 2 2

1 1

2 2 2

1 1

( , ) ( , ) ( , ) ,

( , ) ( , ) ( , ) .

c c

b b

c c

b b

w x t dx w b t w x t dx

w x t dx w b t w x t dx

(1.44)

где 1 – наименьшее собственное значение краевой задачи для уравнения

1 1( ) = ( ), [ , ]IV x x x b c с соответствующими краевыми условиями. Эта

задача является самосопряженной и полностью определенной при условии 0 . (1.45)

Пусть выполняются условия

2 1 0I D , (1.46)

201 0 1 2

1 1 201 0 1 2

201 0 1 2

2 1 1

1, 0,

(0,1],

1 , 0,

GM

GM

GM

D

(1.47)

0 10 20

2 20 10 20

0 10 20

1

1, 2 0,

(0,1],2

1 , 2 0.

G G

G GG G

D

(1.48)

20 1 10 2 10 2 20

1

3 4 ,M G G G G

(1.49)

тогда из (1.42) получим

1

1

222 1 1

20 1 10 2 102

1 1

22 4 ( , )

( )

c

b

I D VG G G w x t

c b

22 1 1 2 1 1

1 1 1 12 2

1 1 1 1

222 2

20 2 102

1 1

22 2 2 21 1 1 12 2

1 1 1 1

4( , ) ( , ) 2 ( ) ( , )

( ) ( )

23 2 ( , )

( )

4( , ) ( , ) 2 ( ) ( , ) .

( ) ( )

I D I Dw x t w b t c b w b t

c b c b

D VG G w x t

c b

D Dw x t w b t c b w b t dx

c b c b

(1.50)

Таким образом, получили две квадратичные формы относительно

1( , ), ( , )w x t w b t и 1( , ), ( , )w x t w b t . Согласно критерию Сильвестра запишем

условия их неотрицательности:

25

2 2

2 1 1 1 1 20 1 10 2 10

1 1 2 1 1

2 2

2 2 1 1 20 2 10 1 1 2 2

2 ( ) 4

2 ( ) 4 ,

2 ( ) 3 2 2 ( ) 4 .

I D V c b G G G

c b I D

D V c b G G c b D

(1.51)

С учетом (1.51) неравенство (1.50) примет вид 0. Интегрируя от 0

до t, получим:

( ) (0).t (1.52)

Оценим (0) , используя неравенство 2 22ab a b :

1

1

22 2

10 20 1 20 2 10 0 1 2 2 0

2

0 1 1 1 2 10 20 1 20 2 20 0

22 22 1 10

0 0 1 2 1 2 20 20 0 0

2 2

1 2 1 0 1 2 2

(0) 2

2

2

c

b

VG G K K w D D I w

M M G G K G w

V KM K G w w

D I w dx D D I w

1

2

1 2 1 1

( ,0)

( ,0),

b

D I w b

(1.53)

где

0 0 0 0 0 0= ( ,0), = ( ,0), = ( ,0) , = ( ,0), = ( ,0), = ( ,0).w w x w w x w w x w w x w w x w w x

Получим оценку для функционала (1.40), используя неравенства

(1.43), (1.44) и неравенство 2 22 ( )ab a b

1

1

2

5 6 2 1 1 1 1 10 20 1 20 2 20(1 ) 2 ( , )

c

b

I M G G K G w x t

1

1

1

1

0 1 2

223 4 2 2 1 0 1 2 20 20

2 2

2 2 4 1 2 1 6

23 2 2

10 20 1 20 2 102

1 1

2 ( , ) ( , )

(1 ) ( , )

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )

22

( )

c

b

c

b

M w x t w x t

D I K G w x t dx

D I w x t D w x t w x t I w x t dx

D I VG G K K

c b

2

23 2 2 2 21 3 3 4 1 1 12 2

1 1 1 1

( , )

4( , ) ( , ) 2 ( )( ) ( , )

( ) ( )

w x t

D I D Iw x t w b t c b w b t

c b c b

222 1 5 1 10 2 1 5

12 2

1 1 1 1

2 2 4( , ) ( , ) ( , )

( ) ( )

I V K Iw x t w x t w b t

c b c b

(1.54)

26

21 2 11 1 5 5 6 1 1 12

1 1 1 1

2( , ) ( , ) 2 ( )( ) ( , ) .

( )

D Iw b t w b t c b w b t dx

c b c b

где

3 4 5 6 3 4 5 6(0,1], (0,1], (0,1], (0,1], (0,1], (0,1] . (1.55)

Согласно критерию Сильвестра, квадратичные формы в (1.54) будут

неотрицательными, если выполняются условия:

5 6 2 1 1 1 1 10 20 1 20 2 20

5 6 2 1 1 1 1 10 20 1 20 2 20

23 4 2 2 1 0 1 2 20 20

2

0 1 2

(1 ) 2 0,

(1 ) 2

(1 )

0.

I M G G K G

I M G G K G

D I K G

M

(1.56)

2

2 2 2 4 6 1 0.D I D (1.57)

2 2 2 2

11 33 11 22 12 11 22 12 33 44 34 11 33 240, 0, 0, 0,a a a a a a a a a a a a a a (1.58)

где

23 2 2 3 2 2

11 10 20 1 20 2 10 122 2

1 1 1 1

2 22 , ,

( ) ( )

D I D IVa G G K K a

c b c b

2

2 2 2 1 5 1 1022 3 3 4 1 1 332 2

1 1 1 1

2 1 2 1 5 144 5 5 6 1 1 34 242 2

1 1 1 1 1 1

2 22 ( )( ) , ,

( ) ( )

22 ( )( ) , , .

( ) ( )

D I I V Ka c b a

c b c b

I I Da c b a a

c b c b c b

Пусть выполняются условия (1.55)–(1.58), тогда, согласно последнему

неравенству (1.56), из (1.54) получим

1

1

2 2 2 2211 33 24 12 33 44 12 34

2

22 33 44 34

( ) ( , ) .

c

b

a a a a a a a at w x t dx

a a a a

(1.59)

Для дальнейшей оценки ( )t воспользуемся неравенством

Буняковского: 1

1

2 2

1 1( , ) ( ) ( , )

c

b

w x t с b w x t dx . (1.60)

С учетом (1.60) из (1.59) получим

2 2 2 2211 33 24 12 33 44 12 34

2

22 33 44 34 1 1

( ) ( , ).a a a a a a a a

t w x ta a a a c b

(1.61)

Из (1.52), (1.53), (1.61) следует неравенство

27

1

1

2 2 2 2 22 211 33 24 12 33 44 12 34

10 20 1 20 2 10 02

22 33 44 34 1 1

2

0 1 1 1 2 10 20 1 20 2 20 0

2 221 2 2 0 0 0 1 2 1 2 20 20 0

( , ) 2

2

c

b

a a a a a a a a Vw x t G G K K w

a a a a c b

M M G G K G w

D D I w M K G w

22 2 21 10

0 1 2 1 0 1 2 2 1

2

1 2 1 1

2( ,0)

( ,0).

V Kw D I w dx D D I w b

D I w b

(1.62)

Таким образом, если выполняются условия (1.45), (1.46), (1.49), (1.51),

(1.55)–(1.58), то Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (1.54) можно

сделать вывод: функции ( , ), ( , )w x t w x t устойчивы по отношению к

возмущениям начальных данных. Из оценки (1.62) следует, что решение

( , )w x t устойчиво по отношению к возмущениям начальных данных

0 0 0 0 0 0 1 1, , , , , , ( ,0), ( ,0)w w w w w w w b w b . Следовательно, на основании

проведенного исследования функционала доказана теорема.

Теорема 1.1 Пусть выполнены условия (1.45), (1.46), (1.49), (1.51),

(1.55)–(1.58). Тогда решение ( , )w x t уравнения (1.37) и производные

( , ), ( , )w x t w x t устойчивы по отношению к возмущениям начальных

значений 0 0 0 0 0 0, , , , , ,w w w w w w

1 1( ,0), ( ,0)w b w b , если ( , )w x t удовлетворяет

краевым условиям (1.22).

28

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ВИБРАЦИОННОГО УСТРОЙСТВА,

РАСПОЛОЖЕННЫХ НА СТЕНКАХ ПРОТОЧНОГО КАНАЛА

Исследуется задача о плоском движении идеальной несжимаемой

жидкости (газа) в канале, стенки которого содержат деформируемые

упругие элементы (пластины-вставки). Исследование устойчивости

проводится как в линейной, так и в нелинейной постановке,

соответствующей малым возмущениям однородного дозвукового потока (в

модели идеальной среды) и малым прогибам упругих элементов стенок

канала.

2.1 Модель вибрационного устройства бесконечной длины

2.1.1 Линейная математическая модель

Рассмотрим плоское течение жидкости или газа (в модели идеальной

несжимаемой среды) в прямолинейном канале 2

0= ( , ) :0 < <J x y R y y .

Предполагается, что продольный размер канала значительно превосходит

его поперечный размер. Скорость невозмущенного потока в бесконечно

удаленной точке будем считать равной V и направленной вдоль оси Ox .

Предположим, что упругими являются части стенки = 0y и 0=y y при

[ , ]x a b (рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – Канал бесконечной длины, стенки которого содержат

деформируемые элементы

Введем обозначения: 1( , )w x t и

2( , )w x t – упругие перемещения

пластин-вставок в направлении оси Oy стенок = 0y и 0=y y ; ( , , )x y t –

потенциал скорости возмущенного потока.

Потенциал возмущенного потока удовлетворяет уравнению

Лапласа:

= 0, ( , ) .xx yy x y J (2.1)

Линеаризованные граничные условия, вытекающие из условия

непротекания, имеют вид:

0( ,0, ) = ( , , ) 0, ( , ] [ , );y yx t x y t x a b (2.2)

29

1 1( ,0, ) = ( , ) ( , ), ( , );y x t w x t Vw x t x a b (2.3)

0 2 2( , , ) = ( , ) ( , ), ( , ).y x y t w x t Vw x t x a b (2.4)

Условия отсутствия возмущений в бесконечно удаленной точке:

2 2 2

0== 0, (0, ).x y t x

y y

(2.5)

Граничные условия, соответствующие жесткому закреплению концов

пластин:

( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = 0, 1,2.i i i iw a t w a t w b t w b t i (2.6)

Аэродинамические воздействия на элементы выражаются через

потенциал скорости ( , , )x y t по формулам

1 * 0

2 0 * 0 0

( , ) ( ,0, ) ( ,0, ) ,

( , ) ( , , ) ( , , ) , ( , ), 0.

t x

t x

P x t P P x t V x t

P x t P P x y t V x y t x a b t

(2.7)

Рассмотрим линейную модель упругого тела. Тогда уравнения малых

колебаний упругих пластин примут вид

0 1

2

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ), 1,2, ( , ).

i i i i i i i i i i

i i i i

M w x t D w x t N t w x t w x t w x t

I w x t P x t i x a b

(2.8)

Здесь ( )iN t – сжимающие ( 0)iN или растягивающие ( 0)iN пластины

силы; 0P – давление в однородном потоке;

*P – внешняя распределенная

нагрузка, действующая на стенки канала.

Сжимающие (растягивающие) пластины силы ( )iN t могут зависеть от

времени. Например, при изменении теплового воздействия на пластины с

течением времени ( )iN t имеет вид:

0 ( )i i TiN t N N t , 0 ( )( ) ,

1

iTi

i

T tN t

/2

0

/2

( ) , ,i

i

h

i i Ti i

h

T t E T z t dz

(2.9)

где Ti – температурные коэффициенты линейного расширения, ( , )iT z t –

законы изменения температуры по толщине пластин, 0iN – постоянные

составляющие усилий, созданные при закреплении пластин.

Таким образом, получена линейная краевая задача (2.1)–(2.8) для

определения трех неизвестных функций – деформаций упругих элементов

1( , )w x t , 2( , )w x t и потенциала скорости жидкости ( , , )x y t .

2.1.2 Определение силового воздействия потока

В области J введем комплексный потенциал ( , ) ,W f z t i

,z x iy и рассмотрим аналитическую функцию ( , )z x xf z t i

x yi . При помощи функции 0/z ye

конформно отобразим полосу

J на верхнюю полуплоскость { : Im 0}H комплексного переменного

i . Упругим пластинам при этом отображении будут

30

соответствовать отрезки [ , ] и [ , ] на вещественной оси, причем 0/b y

e

, 0/a ye

.

Согласно граничным условиям (2.2)–(2.4) будем иметь

1

2

0, [ , ] [ , ],

Re{ ( ( ), )} ( ( ), ), [ , ],

( ( ), ), [ , ],

z yif z t w x t

w x t

01 1 1 2 2 2( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ), ( ) ln

yw x t w x t Vw x t w x t w x t Vw x t x

.

Применяя интеграл Шварца, получим:

1 21 ( ( ), ) ( ( ), )( ( ), ) ( )z

w x t w x tf z t d d C t

. (2.10)

Так как ( )z x yf i C t при ( )x , то из (2.5) следует, что

( ) 0C t . В силу этого же условия при 0 ( )x из (2.10) будем

иметь

1 2( ( ), ) ( ( ), )0,

w x t w x td d

(2.11)

или, учитывая, что 0( ) lny

x

,

1 1 2 2 .

b b

a a

w Vw dx w Vw dx (2.12)

Физический смысл (2.12) состоит в том, что поток газа через границу

области J равен нулю, что соответствует модели несжимаемой среды.

Согласно граничным условиям (2.6) из (2.12) получим

1 2 .

b b

a a

w dx w dx (2.13)

Далее, поскольку

0 0 1 2

2

( ( ), ) ( ( ), ),z z

dz y y w x t w x tW f f d d

d

то, интегрируя по , получаем:

0 1 212

( ( ), ) ( ( ), )( ( ), ) ln ln ( ),

y w x t w x tW f z t d d C t

или с учетом (2.11)

31

0 1 212

( ( ), )

( ( ), ) ( ( ), )ln ln ( ),

W f z t

y w x t w x td d C t

(2.14)

где 1( )C t – произвольная функция времени t. Полагая

11

1 ( ( ), )w x tw d

, 22

1 ( ( ), )w x tw d

, (2.15)

проинтегрируем каждый интеграл в (2.14) по частям:

01 2

1 21

( , ) ln( ) ( , ) ln( )

( ( ), ) ( ( ), )( ).

yW w t w t

w x t w x td d C t

(2.16)

Согласно (2.5) должно также выполняться условие ( ) 0t x . Так как

0 1 2

1 21

( , ) ( , )ln( ) ln( )

( ( ), ) ( ( ), )( ),

t t t

y w t w tW i

t t

w x t d w x t dC t

t t

(2.17)

то при ( )x , учитывая (2.11), получим 1Re 0C , т. е.

потенциал ReW определяется формулой (2.16) с точностью до

вещественной постоянной.

Дифференцируя (2.14) по t, получим

0 1 222

ln ln( ( ), ) ( ( ), )( ),

t t tW i

y w x t w x td d iC t

t t

(2.18)

где 2( )C t – произвольная действительная функция времени t. Согласно

(2.5) должно выполняться условие ( ) 0t x . Учитывая, что

Re ln ln при ( , ) и Re ln ln при ( , ) , из

(2.18) при 0 ( )x получим условие

1 2ln ln( ( ), ) ( ( ), )

0,w x t w x t

d dt t

(2.19)

или, учитывая, что 0( ) lny

x

,

1 1 2 2 .

b b

a a

w w w wx V dx x V dx

t x t x

(2.20)

32

Пользуясь интегральными представлениями (2.10), (2.17),

преобразуем правые части выражений (2.7), (2.8). С этой целью в (2.17)

перейдем к пределу при ( , ) (при этом 0, )z x i a x b .

Применяя формулы Сохоцкого, будем иметь:

0 1 2

1 21 1

( , ) ( , )( ,0, ) ( ,0, ) ln( ) ln( )

( ( ), ) ( ( ), )( , ) ( ).

t t

y w t w tx t i x t

t t

w x t d w x t diw t C t

t t

Отсюда

0 1 2

1 2

( , ) ( , )( ,0, ) ln( ) ln( )

( ( ), ) ( ( ), ),

t

y w t w tx t

t t

w x t d w x t d

t t

(2.21)

где 0/,

x ye a x b

. Для нахождения ( ,0, )x x t используем

выражение (2.10), из которого, переходя к пределу при ( , ) ,

по формуле Сохоцкого получим:

1 21

1 ( ( ), ) ( ( ), )( ,0, ) ( ,0, ) ( , )x y

w x t w x tx t i x t d iw t d

.

Отделяя вещественную часть, получим

1 21 ( ( ), ) ( ( ), )( ,0, )x

w x t w x tx t d d

. (2.22)

Аналогично, при 0( , ) ( , )z x i y a x b находим

предельные значения 0 0( , , ), ( , , )t xx y t x y t , которые будут определяться

выражениями (2.21), (2.22) при 0/,

x ye a x b

. Таким образом,

аэрогидродинамические воздействия в (2.7) запишутся в виде

0

0 11 * 0

2 1 2

/1 2

( , )( , ) ln( )

( , ) ( ( ), ) ( ( ), )ln( )

( ( ), ) ( ( ), ), , ,

x y

y w tP x t P P

t

w t w x t d w x t d

t t t

V w x t w x td d e a x b

(2.23)

33

0

0 12 0 *

2 1 2

/1 2

( , )( , ) ln( )

( , ) ( ( ), ) ( ( ), )ln( )

( ( ), ) ( ( ), ), , .

x y

y w tP x t P P

t

w t w x t d w x t d

t t t

V w x t w x td d e a x b

(2.24)

Проводя интегрирование по частям в третьих и четвертых слагаемых

выражений (2.23), (2.24) и учитывая формулы (2.15), получим

0 1 21 * 0 2

ln ln( ( ), ) ( ( ), )( , )

y w x t w x tP x t P P d d

t t

0/1 2( ( ), ) ( ( ), ), , ,

x yV w x t w x td d e a x b

(2.25)

0 1 22 0 * 2

ln ln( ( ), ) ( ( ), )( , )

y w x t w x tP x t P P d d

t t

0/1 2( ( ), ) ( ( ), ), , .

x yV w x t w x td d e a x b

(2.26)

Подставляя 0/,

x ye

1 0/x y

e

, запишем выражения (2.25), (2.26) в

виде 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0

/ /

1 1 2 11 * 0 1 1/ / / /

0 0

/ / / /1 1 2 11 1

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )ln ln ,

( , ),

b bx y x y

x y x y x y x y

a a

b b

x y x y x y x y

a a

V w x t e w x t eP x t P P dx dx

y e e y e e

w x t w x te e dx e e dx

t t

x a b

(2.27)

1 0 1 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0

/ /

1 1 2 12 0 * 1 1/ / / /

0 0

/ / / /1 1 2 11 1

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )ln ln ,

( , ).

b bx y x y

x y x y x y x y

a a

b b

x y x y x y x y

a a

V w x t e w x t eP x t P P dx dx

y e e y e e

w x t w x te e dx e e dx

t t

x a b

(2.28)

Производя замену 1x на , учитывая условие (2.12), а также используя

тождество

34

0 0

0 0 0 0

1

x

y y

x x

y y y y

e e

e e e e

,

запишем выражения (2.27), (2.28) следующим образом 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

/ /

1 21 * 0 / / / /

0 0

/ / / /1 2

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )ln ln ,

( , ),

b bx y x y

y x y y x y

a a

b b

y x y y x y

a a

V w t e w t eP x t P P d d

y e e y e e

w t w te e d e e d

t t

x a b

(2.29)

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

/ /

1 1 2 12 0 * / / / /

0 0

/ / / /1 2

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )ln ln ,

( , ).

b bx y x y

y x y y x y

a a

b b

y x y y x y

a a

V w x t e w x t eP x t P P d d

y e e y e e

w t w te e d e e d

t t

x a b

(2.30)

Положим

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

1 2

1 2

2 2( , ) ln , , ( , ) ln ,

( , ) ( , ) ( , ) ln , .

a a

y y

x x

y y y y

x

y y

x

y y

e eK x x K x

e e e e

e eK x K x K x x

e e

(2.31)

Нетрудно заметить, что 1 1 2 2( , ) ( , ), ( , ) ( , ),K x K x K x K x

( , ) ( , )K x K x , т. е. ядра симметричные. Кроме того

1 2( , ) ( , ) ( , ) 0K x K x K x . Учитывая равенства

0 0

0 0 0 0

1 2

0 0

( , ) ( , ),

x x

y y

x x

y y y y

K x e K x e

x y x ye e e e

и условие (2.12), получим

1 21 * 0 1 2

1 21 2

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) , ( , ),

b b

a a

b b

a a

V K x K xP x t P P w t d w t d

x x

w t w tK x d K x d x a b

t t

35

2 12 0 * 1 2

1 22 1

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) , ( , ).

b b

a a

b b

a a

V K x K xP x t P P w t d w t d

x x

w t w tK x d K x d x a b

t t

Подставляя 1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , )w t w t Vw t w t w t Vw t , получим

1 * 0( , )P x t P P (2.32)

1 21 1 2 2

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b b

a a

V K x K xw t Vw t d w t Vw t d

x x

1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ),

b b

a a

w t Vw t K x d w t Vw t K x d x a b

2 0 *( , )P x t P P (2.33)

2 11 1 2 2

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b b

a a

V K x K xw t Vw t d w t Vw t d

x x

1 1 2 2 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ).

b b

a a

w t Vw t K x d w t Vw t K x d x a b

Эти выражения получены при любых способах закрепления упругих

пластин. Подставляя (2.32), (2.33) в уравнения (2.8), получим систему двух

интегро-дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями

1 2( , ), ( , )w x t w x t :

1 1 1 1 1 1 01 1 11 1 21 1 1 *

1 20 1 1 2 2

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b b

a a

M w x t D w x t N t w x t w x t w x t I w x t P

V K x K xP w t Vw t d w t Vw t d

x x

1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

( , )

b b

a a

w t Vw t K x d w t Vw t K x d

x a b

(2.34)

2 2 2 2 2 2 02 2 12 2 22 2 2 0

2 1* 1 1 2 2

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b b

a a

M w x t D w x t N t w x t w x t w x t I w x t P

V K x K xP w t Vw t d w t Vw t d

x x

1 1 2 2 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

( , ).

b b

a a

w t Vw t K x d w t Vw t K x d

x a b

(2.35)

36

2.1.3 Исследование устойчивости

Получим достаточные условия устойчивости решений системы

интегро-дифференциальных уравнений (2.34), (2.35) по отношению к

возмущениям начальных условий. Так как уравнения линейные, то

достаточно исследовать устойчивость нулевого решения

1 2( , ) 0, ( , ) 0w x t w x t соответствующей однородной системы:

1 1 1 1 1 1 01 1 11 1 21 1 1

1 21 1 2 2

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b b

a a

M w x t D w x t N t w x t w x t w x t I w x t

V K x K xw t Vw t d w t Vw t d

x x

1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

( , )

b b

a a

w t Vw t K x d w t Vw t K x d

x a b

(2.36)

2 2 2 2 2 2 02 2 12 2 22 2 2

2 11 1 2 2

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b b

a a

M w x t D w x t N t w x t w x t w x t I w x t

V K x K xw t Vw t d w t Vw t d

x x

1 1 2 2 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

( , ).

b b

a a

w t Vw t K x d w t Vw t K x d

x a b

(2.37)

Введем функционал

2 3

2 2 2 2

0

=1 =1

( ) = ( ) ( ( ) ( )),

b

i i i i i i i i i i

i ia

t M w D w N t w w dx I t J t (2.38)

1 1 1 1

2 1 2 2

( ) = ( , ) ( , ) ( , ) ,

2( ) = ( , ) ( , ) ( , ) ,

b b

a a

b b

a a

I t dx w x t w t K x d

I t dx w x t w t K x d

3 2 2 1

2

1 1 1 1

( ) = ( , ) ( , ) ( , ) ,

( ) = ( , ) ( , ) ( , ) ,

b b

a a

b b

a a

I t dx w x t w t K x d

VJ t dx w x t w t K x d

(2.39)

2

2 1 2 2

2

3 2 2 1

2( ) = ( , ) ( , ) ( , ) ,

( ) = ( , ) ( , ) ( , ) .

b b

a a

b b

a a

VJ t dx w x t w t K x d

VJ t dx w x t w t K x d

37

Найдем производную от по t 2

2

0

=1

3

=1

1( ) = 2 ( ) ( )

2

( ),

b

i i i i i i i i i i i i i i

i a

i i

i

t M w w D w w N t w N t w w w w dx

I J

(2.40)

Для функций ( , )kw x t , являющихся решениями системы уравнений

(2.36), (2.37), равенство (2.40) принимает вид:

2

0 1 2

=1

2

0 1

1 1 1 2 2 2

( ) 2 ( )

1( ) ( ) 2 ( , )

2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b

i i i i i i i i i i i i i i i

i a

b

i i i i i i i i

a

b b

a a

t w D w N t w w w I w D w w

N t w N t w w w w dx w x t

w t Vw t K x d w t Vw t K x d

1 21 1 2 2

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b b

a a

V K x K xw t Vw t d w t Vw t d dx

x x

2 2 2 12 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b b

a a

w x t w t Vw t K x d

(2.41)

1 1 2 2 2

31 2

1 1

=1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ).

b b

a a

b

i i

ia

Vw t Vw t K x d w t Vw t

K x K xd w t Vw t d dx I J

x x

Проведем интегрирование по частям с учетом граничных условий

(2.6):

,

b b b bb b

i i i i i i i i i i i ia a

a a a a

w w dx w w w w dx w w w w dx w w dx

2 ,

b b b bb b

i i i i i i i i i i ia a

a a a a

w w dx w w w w dx w w w w dx w dx

, 1,2.

b b bb

i i i i i i i ia

a a a

w w dx w w w w dx w w dx i

Изменяя порядок интегрирования и используя условия (2.6), проведем

интегрирование по частям

38

1 11 1 1 1

( , ) ( , )( , ) ( , ) = ( , ) ( , )

b b b b

a a a a

K x K xdx w x t w t d d w x t w t dx

x x

=

1 1 1 = 1 1 1= ( , ) ( , ) ( , ) | ( , ) ( , ) ( , )

b b b

x b

x a

a a a

w x t w t K x d d w x t w t K x dx (2.42)

1 1 1 1 1 1= ( , ) ( , ) ( , ) = ( , ) ( , ) ( , ) .

b b b b

a a a a

dx w t w x t K x d dx w x t w t K x d

В последних двух равенствах поменяли местами переменные

интегрирования x и (учитывая, что 1 1( , ) = ( , )K x K x ).

Аналогичные равенства можно получить для интегралов с

подынтегральными функциями 21 2

( , )( , ) ( , )

K xw x t w t

x

, 1

2 2

( , )( , ) ( , )

K xw x t w t

x

,

22 1

( , )( , ) ( , )

K xw x t w t

x

, 1

1 1

( , )( , ) ( , )

K xw x t w t

x

, 2

1 2

( , )( , ) ( , )

K xw x t w t

x

,

12 2

( , )( , ) ( , )

K xw x t w t

x

, 2

2 1

( , )( , ) ( , )

K xw x t w t

x

.

Преобразуем интеграл 1( )I t :

1 1 1 1( ) = ( , ) ( , ) ( , ) =

b b

a a

dI t dx w x t w t K x d

dt

1 1 1 1 1= ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

b b

a a

dx w x t w t w x t w t K x d

Поскольку 1 1( , ) = ( , )K x K x , то, меняя сначала порядок

интегрирования, а затем переменные и x , будем иметь:

1 1 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

b b b b

a a a a

dx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

Для 1( )I t , таким образом, получаем следующее выражение:

1 1 1 1

2( ) = ( , ) ( , ) ( , ) .

b b

a a

I t dx w x t w t K x d

Аналогично преобразовывая интегралы 2( )I t , 3( )I t , 1( )J t , 2( )J t , 3( )J t

с учетом симметричности ядер 1 1( , ) = ( , )K x K x ,

2 2( , ) = ( , )K x K x ,

получим

2 1 2 2 2 1 2

2 2( ) = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

b b b b

a a a a

I t dx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

3 2 2 1

2( ) = ( , ) ( , ) ( , ) ,

b b

a a

I t dx w x t w t K x d

39

2

1 1 1 1

2( ) = ( , ) ( , ) ( , )

b b

a a

VJ t dx w x t w t K x d

,

2

2 1 2 2 2 1 2

2 2( ) = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

b b b b

a a a a

VJ t dx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

2

3 2 2 1

2( ) = ( , ) ( , ) ( , ) .

b b

a a

VJ t dx w x t w t K x d

Подставляя эти равенства в правую часть (2.41), имеем 2

2 2 2

1 2

=1

1( ) 2 ( ) .

2

b

i i i i i i i

i a

t w I w N t w dx

Рассмотрим краевые задачи для уравнений , ,

( , )x a b с граничными условиями (2.6) для функций ( , )iw x t . Эти задачи

являются положительно определенными и полностью определенными. Для

функции ( , )iw x t , согласно неравенству Рэлея [171], справедливы оценки

2 2 2 2

1 1

2 2

1

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ,

( , ) ( , ) ,

b b b b

i i i i i i

a a a a

b b

i i i

a a

w x t dx w x t dx w x t dx w x t dx

w x t dx w x t dx

(2.43)

где

2

1

2i

b a

,

4

1

4,73i

b a

– наименьшие собственные значения

краевых задач [36].

Используя первое неравенство (2.43), получим

2

2 2

1 2 1

=1

1( ) 2 ( ) .

2

b

i i i i i i i

i a

t I w N t w dx

Пусть выполняются условия

1 2 1 0, ( ) 0,i i i i iI N t (2.44)

тогда окончательно будем иметь

( ) 0.t

Интегрируя от 0 до t , получим неравенство

( ) (0)t . (2.45)

Для оценки (2.45) воспользуемся следующим утверждением,

доказанным в [36].

Утверждение 2.1. Пусть выполняются условия:

1) функция ( )f x непрерывна на отрезке [ , ]x a b ;

2) функция ( , , )K x b определена и непрерывна по x и в области

40

[ , ], [ , ]x a b a b (за исключением, быть может, линии x ) и

интегрируема в этой области;

3) функция ( , , )K x b непрерывно дифференцируема по b и

выполняется равенство ( , ) ( , )K

x b bb

;

4) для любого ( , ], , ( , )a b x a выполняется равенство

( , , ) ( , , ) 0K x K ;

5) lim ( , , ) 0

b b

b aa a

dx K x b d

.

Тогда повторный интеграл ( ) ( ) ( , , ) 0

b b

a a

dx f x f K x b d неотрицателен.

При этом справедливо равенство 2

( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , )

b b b

a a a a

dx f x f K x b d f x x dx d

.

Используя утверждение 2.1, докажем неотрицательность интеграла

( ) ( ) ( , )

b b

a a

dx g x g K x d ,

где ( , )K x , согласно (2.31), имеет вид 0 0

0 0

( , ) ln

x

y y

x

y y

e eK x

e e

.

Обозначим

0, ( , ) ( , );( )

( ), [ , ].

x a bf x

g x x a b

(2.46)

Интеграл примет вид

( ) ( ) ( , )dx f x f K x d

.

Сделаем замену

0

0

0 01 1 1

1

0 01 1 1

1

1, ln | |, , ( , ) ( , ),

2 2

1, ln | |, , ( , ) ( , ),

2 2

y

x

y

y ye b b d d b

b

y ye b x x b x dx dx b

b x

при этом отрезок [ , ]a b перейдет в отрезок 0 0

2 2

,

a b

y yb e b e

. Тогда

41

получим интеграл

0 02 1 1

1 101 12

1 1 1 1

( ) ( ) ( , )

ln | |, ln | |,2 2

ln .4

b b

dx f x f K x d

y yf b x t f b t

b b xydx d

b x b b b x

Введем обозначения

01

1 101 1 1 1

1 1 1

ln | |2

( ) , ( , ) ln ,2

yf b x

b b xyf x K x

b x b b x

(2.47)

тогда интеграл примет вид

1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

b b

dx f x f K x d dx f x t f t K x d

Ядро (2.47) удовлетворяет условиям утверждения 2.1:

1) 1 1

1 1 1 1

1 1 1( , ) ( , )

( )( )

Kx b b

b b x b b x b

;

2) 1 1

1 1

1 1

( , , ) ln 0, ( , , ) ln 0, , ( , )b x b

K b x b K b b x bb x b

;

3) по теореме о среднем найдутся числа 1 2 1 2, 0 , 1 , такие, что

21 1 1 2

1 1 1 2

1 1lim ln lim( ) ln 0

1 1

b b

b c b cc c

b b xdx d b c

b b x

при любых ( , )с b .

Следовательно, согласно утверждению 2.1, несобственный интеграл

неотрицателен

2

1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

1

( , )( , ) ( , ) ( , ) 0

b b bf x t

dx f x t f t K x d dx dx

. (2.48)

Делая обратную замену 0 0

2 2

1 ,

x

y yx b e b e

, получим

42

0

2

2 ( )0

2( ) ( ) ( , ) .

1

x

y

f xdx f x f K x d dx d

ye

Подставляя (2.46), (2.47), окончательно получим

0

2

2 ( )0

2( ) ( ) ( , ) 0.

1

b b

xa a a a y

g xdx g x g K x d dx d

ye

(2.49)

Оценим повторные интегралы (2.39) в выражении для (0) , пользуясь

равенством 1 2( , ) ( , ) ( , )K x K x K x , доказанным неравенством (2.49):

( , ) ( , ) ( , ) 0

b b

i i

a a

dx w x t w t K x d ,

и очевидным неравенством 2 22cd c d , а также симметричностью и

неотрицательностью ядер 1 2( , ), ( , )K x K x , следующим образом:

2 2

1 1

2

1

1( ,0) ( ,0) ( , ) ( ,0) ( ,0) ( , )

2

( ,0) ( , ) ,

b b b b

i i i i

a a a a

b b

i

a a

dx w x w K x d dx w x w K x d

dx w x K x d

(2.50)

2

1 2 2 1 2

2

2 2

2 ( ,0) ( ,0) ( , ) ( ,0) ( , )

( ,0) ( , ) ,

b b b b

a a a a

b b

a a

dx w x w K x d dx w x K x d

dx w x K x d

(2.51)

1

2

2 2

( ,0) ( ,0) ( , ) ( ,0) ( ,0) ( , )

( ,0) ( ,0) ( , ) ( ,0) ( , ) ,

b b b b

i i i i

a a a a

b b b b

i i i

a a a a

dx w x w K x d dx w x w K x d

dx w x w K x d dx w x K x d

(2.52)

2

1 2 2 1 2

2

2 2

2 ( ,0) ( ,0) ( , ) ( ,0) ( , )

( ,0) ( , ) .

b b b b

a a a a

b b

a a

dx w x w K x d dx w x K x d

dx w x K x d

(2.53)

Из (2.38), (2.39), (2.50) – (2.53) следует

22

2 2 2 20 00 0 0 0 0

=1

(0) (0) ,

b

i i i i i i i i

i a

K V GM w D w N w w dx

(2.54)

43

где 0 0 0 0= ( ,0), = ( ,0), = ( ,0), = ( ,0) ( =1,2),i i i i i i i iw w x w w x w w x w w x i

0 1 1 1 2

(

= ( ), ( ) = ( , ) ( , ) ,sup, )

b b

x a b a a

K G x G x K x d K x d

0 2 2 2

(

= ( ), ( ) = 2 ( , ) .sup, )

b

x a b a

G G x G x K x d

Оценим повторные интегралы (2.39) в выражении для ( )t , пользуясь

равенством 1 2( , ) ( , ) ( , )K x K x K x , доказанным неравенством (2.49):

( , ) ( , ) ( , ) 0

b b

i i

a a

dx w x t w t K x d ,

неравенством 2 22 (c )cd d , а также симметричностью и

неотрицательностью ядер 1 2( , ), ( , )K x K x .

Используя условия (2.6), получим

1

1 1 1

1 1 1

2 2

1 1 1

2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

1( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

2

( ,

b b

i i

a a

b b

i i

a a

b b

i i

a a

b b

i i

a a

b

i

a

dx w x t w t K x d

dx w x t w t K x g x g d

dx w x t w t K x g x g d

dx w x t w t K x g x g d

dx w x

1 1 1) ( , ) ( ) ( ) ,

b

a

t K x g x g d

(2.55)

1 2 2

1 2 2 2 2

2 ( , ) ( , ) ( , )

2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

b b

a a

b b

a a

dx w x t w t K x d

dx w x t w t K x g x g d

1 2 2 2 2

2 2

1 2 2 2 2

2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

b b

a a

b b

a a

dx w x t w t K x g x g d

dx w x t w t K x g x g d

(2.56)

2

1 2 2 2( , ) ( , ) ( ) ( )

b b

a a

dx w x t K x g x g d

44

2

2 2 2 2( , ) ( , ) ( ) ( ) ,

b b

a a

dx w x t K x g x g d

где 1 2( ), ( )g x g x – произвольные интегрируемые по x на отрезке [ , ]a b

функции.

Используя неравенство (2.49), получим

1

2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

b b b b

i i i i

a a a a

b b b b

i i i i

a a a a

dx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

dx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

(2.57)

Используя условие (2.13) с учетом (2.57), будем иметь

3

1 1 2 1 2 2

=1

1 2 2 1 1 2 2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )

b b b b

i

i a a a a

b b b b

a a a a

I t dx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

dx w x t w t K x d dx w x t w t K x g x

2 1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

1 2 2 2

2

2 2 2 2

( ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

2 ( , ) ( , ) ( ) ( )

2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) .

b b

a a

b b

a a

b b

a a

b b

a a

g d dx w x t w t K x g x g d

dx w x t w t K x g x g d

dx w x t K x g x g d

dx w x t K x g x g d

(2.58)

Таким образом, согласно (2.38), (2.39), (2.55) – (2.58) получим

неравенство

22

2 2 2 2

0

=1

( ) ( ) ,

b

i i i i i i i i

i a

K V Gt M w D w N t w w dx

(2.59)

где

1 1 1 2 2 2[ , ]

2 2 2[ , ]

sup ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ,

sup 2 ( , ) ( ) ( ) .

b

x a ba

b

x a ba

G K x g x g K x g x g d

K K x g x g d

(2.60)

Функции 1 2( ), ( )g x g x выбираем так, чтобы ,K G были наименьшими.

Используя второе неравенство (2.43), из (2.59) получим

45

22

2 2 2

1 0

=1

( ) ( ) .

b

i i i i i i i i

i a

K V Gt M w D N t w w dx

(2.61)

Далее, воспользовавшись неравенством Буняковского, будем иметь 2

2( , )( , ) .

( )

b

ii

a

w x tw x t dx

b a

(2.62)

Пусть выполняются условия 2

0 10, , ( ) ,i i i i i

K V GM N t D

(2.63)

тогда с учетом (2.54), (2.61) – (2.63) из (2.45) получаем неравенство

2 22

1

=1

222 2 2 20 00 0 0 0 0

=1

( , )( )

( )

(0) .

ii i i

i

b

i i i i i i i i

i a

V G w x tD N t

b a

K V GM w D w N w w dx

Таким образом, если выполняются условия (2.44), (2.63), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (2.61) можно сделать вывод:

функции ( , ), ( , ), 1,2i iw x t w x t i устойчивы по отношению к возмущениям

начальных данных. Из последней оценки следует, что решение

( , ), 1,2iw x t i устойчиво по отношению к возмущениям начальных

данных ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0) ( =1,2)i i i iw x w x w x w x i . Следовательно, на

основании проведенного исследования функционала доказана теорема.

Теорема 2.1 Пусть выполняются условия (2.44), (2.63). Тогда решения

( , ) ( 1,2)iw x t i системы уравнений (2.36), (2.37) и производные

( , ), ( , ) ( 1,2)i iw x t w x t i устойчивы по отношению к возмущениям начальных

значений ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0) ( =1,2),i i i iw x w x w x w x i если функции

( , ) ( 1,2)iw x t i удовлетворяют краевым условиям (2.6).

2.1.4 Пример исследования устойчивости

Приведем примеры расчета области устойчивости на плоскости двух

параметров «скорость потока V – сжимающее (растягивающее) усилие N

». Будем считать, что протекает поток жидкости ( 1000 ), а элементы

изготовлены из стали ( 1020,6 10iE , 7850i ). Другие параметры

механической системы: 0; 1;a b 0 1;y

0,25i ; 0 4i ; 1 0,4i ;

2 0,4i ; 1 0,01h ,

2 0,012h (все значения приведены в системе СИ).

Производя расчеты получим 2

1 4i ; 1 1 1 78,5M h ; 2 2 2 94,2M h ;

3

1 11 2

1

18311,112(1 )

E hD

;

3

2 22 2

2

31641,612(1 )

E hD

.

46

Согласно условиям (2.63) необходимо найти коэффициенты ,K G .

Для расчета подобраны функции

1( ) 1,25sin 0,23cos 0,37,2 2

x xg x

2( ) 0,21 (1 ) 0,198

2

xg x x x

и с помощью математической системы Mathcad найдены коэффициенты 1

2 2(0,1) 0

2= 2 ln ( ) ( ) 2 0,243 0,486;sup

xx

K g x g de e

1

1 1 2 2[0,1]

0

2 2sup ln ( ) ( ) ln ( ) ( )

0,956 0,243 1,199.

x xx

G g x g g x g de e e e

Первое и второе условия (2.63) выполняются, а из третьего условия

получим 2 2

1 2( ) 722893,252 381,654 , ( ) 1249160.298 381,654 .N t V N t V (2.64)

На рисунках 2.2, 2.3 изображены области устойчивости (2.64) – серые

области ниже параболы.

Рисунок 2.2 – Область устойчивости на плоскости (N1,V)

Рисунок 2.3 – Область устойчивости на плоскости (N2,V)

47

Если значения ( ), 0iN t t не выходят за границу серой области, то

решения ( , ) ( 1,2)iw x t i системы уравнений (2.36), (2.37) устойчивы по

отношению к возмущениям начальных значений ( ,0), ( ,0), ( ,0),i i iw x w x w x

( ,0) ( =1,2).iw x i

2.1.5 Исследование динамики упругих элементов

Рассмотрим систему уравнений (2.36), (2.37). Решение системы

уравнений будем искать методом Галеркина, подчинив искомые функции

( , )iw x t краевым условиям, в виде

, ,

=1

( , ) = ( ) ( ), 1,2.m

i i k i k

k

w x t a t g x i (2.65)

Согласно (2.6), получим условия

, , , ,( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 0, 1,2.i k i k i k i kg a g a g b g b i (2.66)

В качестве базисных возьмем функции

, , , , , , ,

, ,

( ) = cos ( ) sin ( ) ch ( )

sh ( ), 1,2, =1,2,3,

i k i k i k i k i k i k i k

i k i k

g x A x a B x a C x a

D x a i k

(2.67)

Коэффициенты , , , ,, , ,i k i k i k i kA B C D и параметр ,i k выберем так, чтобы на

каждом из концов отрезка [ , ]a b выполнялись уcловия (2.66). Тогда

функции ( , )iw x t в виде (2.65) будут удовлетворять условиям (2.6).

Заметим, что ,i k и , ( )i kg x – собственные значения и собственные функции

краевой задачи 4( ) = ( )IV

i ig x g x (2.68)

с граничными условиями (2.66).

Согласно [36] собственные функции для условий (2.6) примут вид

, , ,

, ,

, ,

, ,

( ) sin ( ) sh ( )

cos ( ) ch ( )(cos ( ) ch ( )),

sin ( ) sh ( )

i k i k i k

i k i k

i k i k

i k i k

g x x a x a

b a b ax a x a

b a b a

где собственные значения ,i k – корни уравнения

, ,cos ( ) ch ( ) 1i k i kb a b a ,

т.е. , ( ) 4,7300; 7,8532;10,9956;14,1372;i k b a

Кроме того задача (2.66), (2.68) самосопряженная и полностью

определенная, следовательно, система функций , =1{ ( )}i k kg x ортогональна

на [ , ]a b , т. е. справедливы равенства

, , , ,( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0,

b b

IV

i k i j i k i j

a a

g x g x dx g x g x dx k j (2.69)

и, как следствия,

48

4

, , , , , , ,

2 4 2

, , , , ,

( ) ( ) 0, , ( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2,

b b b

IV

i k i j i j i j i j i j i j

a a a

b b b

IV

i j i j i j i j i j

a a a

g x g x dx k j g x g x dx g x g x dx

g x dx g x g x dx g x dx j

(2.70)

Учитывая условия (2.66), получим

, , , ,

4 4 2

, , , , , , ,

( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2,

b b

i k i j i k i j

a a

b b b

IV

i j i j i j i j i j i j i j

a a a

g x g x dx g x g x dx

g x g x dx g x g x dx g x dx j

(2.71)

В этом случае согласно теореме о разложении любую функцию ( )iU x ,

четырехкратно непрерывно дифференцируемую в ( , )a b и

удовлетворяющую соответствующим краевым условиям, можно разложить

в ряд , ,

=1

( ) = ( )i i k i k

k

U x a g x

, абсолютно и равномерно сходящийся в ( , )a b .

Подставляя ( , )iw x t в виде (2.65) в (2.36), (2.37), получим систему

уравнений

, , , , , ,

=1 =1 =1

0 , , 1 , , 2 2 , ,

=1 =1 =1

, , 1

=1 =1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( , )

m m m

i i k i k i i k i k i i k i k

k k k

m m m

i i k i k i i k i k i i i k i k

k k k

m m

i k i k i

k k

M a t g x D a t g x N t a t g x

a t g x a t g x I a t g x

a t g K x d V a

, , 1( ) ( ) ( , )

b b

k i k

a a

t g K x d

3 , 3 , 2 3 , 3 , 2

=1 =1

2

, , 1 1

=1 =1

2

3 , 3 , 2 3 ,

=1 =1

( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( , )

b bm m

i k i k i k i k

k ka a

b bm m

i k i k x ik ik x

k ka a

m m

i k i k x i

k k

a t g K x d V a t g K x d

V a t g K x d V a t g K x d

V a t g K x d V a

3 , 2( ) ( ) ( , ) ,

( , ), 1,2.

b b

k i k x

a a

t g K x d

x a b i

(2.72)

Согласно методу Галеркина, условия ортогональности невязок i -го

уравнения системы (2.72) к базисным функциям , =1{ ( )}m

i j jg x позволяют

записать систему уравнений

49

, , , , , ,

=1 =1

, , , 0 , , ,

=1 =1

1 , , , 2 2

=1 =1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

b bm m

i i k i k i j i i k i k i j

k ka a

b bm m

i i k i k i j i i k i k i j

k ka a

bm m

i i k i k i j i i i

k ka

M a t g x g x dx D a t g x g x dx

N t a t g x g x dx a t g x g x dx

a t g x g x dx I a

, , ,( ) ( ) ( )

b

k i k i j

a

t g x g x dx

, , , 1 , ,

=1 =1

, 1 3 , 3 , , 2

=1

3 , 3 , , 2

=1

( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( , )

b b b bm m

i k i k i j i k i k

k ka a a a

b bm

i j i k i k i j

k a a

bm

i k i k i j

k a

a t dx g g x K x d V a t dx g

g x K x d a t dx g g x K x d

V a t dx g g x K x d

, ,

=1

( ) ( )

b b bm

i k i k

ka a a

V a t dx g

(2.73)

2

, 1 , , , 1

=1

2

3 , 3 , , 2 3 , 3 ,

=1 =1

, 2

( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( , ) , ( , ), 1,2, 1 .

b bm

i j x i k i k i j x

k a a

b b b bm m

i k i k i j x i k i k

k ka a a a

i j x

g x K x d V a t dx g g x K x d

V a t dx g g x K x d V a t dx g

g x K x d x a b i j m

С учетом (2.66) проинтегрируем последние четыре интеграла по

частям по переменной x и, учитывая (2.69)–(2.71), получим: 4 4

, , , 2 2 , , 1 , 0 , ,

, , , , , , 1

=1 =1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

i i j i j i i j i i i j i j i i j i i j i j

b b bm m

i i k i k i j i k i k i j

k ka a a

D a t M a t I a t a t a t

N t a t g x g x dx a t dx g g x K x d

3 , 3 , , 2

=1

, , , , , 1

=1

3 , 3 , , 3 , , 2

=1

2

=1

( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

b bm

i k i k i j

k a a

b bm

i k i k i j i k i j

k a a

b bm

i k i k i j i k i j

k a a

m

k

a t dx g g x K x d

Va t dx g g x g g x K x d

Va t dx g g x g g x K x d

V

, , , 1( ) ( ) ( ) ( , )

b b

i k i k i j

a a

a t dx g g x K x d

50

2

3 , 3 , , 2

=1

( ) ( ) ( ) ( , ) 0,

b bm

i k i k i j

k a a

Va t dx g g x K x d

где 2

, ,1,2, 1 , = ( ) .

b

i j i j

a

i j m g x dx

Получили систему 2m обыкновенных дифференциальных уравнений

второго порядка для определения 2m неизвестных функций:

(1) (2)

, , , , , , , , , , , ,

=1

(3) (4) (5) (6)

, , , , , 3 , , , 3 , , , 3 ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0,

m

i j i j i j i j i j i j i j k i k i j k i k

k

i j k i k i j k i k i j k i k i j k i k

A a t B a t C a t D a t D a t

D a t D a t D a t D a t

(2.74)

( , ), 1,2, 1 ,x a b i j m

где введены обозначения

4

, , , , 1 , 1 2 2 , ,( ) ( ) ( , ) , ,

b b

i j i i j i j i j i j i i i i j i j

a a

A M dx g g x K x d B I

2

4 2

, , 0 , , , , 1

(1)

, , , , 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ,

(1 )( ) ( ) ( , ) ,

b b b

i j i i j i i j i i j i j i j

a a a

k b b

j

i j k i k i j

a a

VC D N t g x dx dx g g x K x d

D dx g g x K x d

(2)

, , , , , , 1

2

(3)

, , , , , , 1

(4)

, , 3 , , 2

(1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ,

(1 )( )(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ,

( ) ( ) ( , ) ,

k b b

j

i j k i k i j i k i j

a a

kb b b

jk

i j k i j i k i j i k i j

a a a

i j k i k i j

VD dx g g x g g x K x d

VD N t g x g x dx dx g g x K x d

D dx g g x K x d

(5)

, , 3 , , 3 , , 2( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ,

b b

a a

b b

i j k i k i j i k i j

a a

VD dx g g x g g x K x d

2(6)

, , 3 , , 2( ) ( ) ( , ) ,

b b

i j k i k i j

a a

VD dx g g x K x d

k

j – символ Кронекера.

Условия ортогональности невязки начальных условий

1 2( ,0) = ( ), ( ,0) = ( ), [ , ], 1,2i i i iw x f x w x f x x a b i (2.75)

к базисным функциям позволяют записать начальные условия:

, 1 , 2 ,

, ,

1 1(0) ( ) ( ) , (0) ( ) ( ) .

b b

i j i ij i j i i j

i j i ja a

a f x g x dx a f x g x dx

(2.76)

51

Таким образом, получили задачу Коши для системы обыкновенных

дифференциальных уравнений (2.74) с начальными условиями (2.76).

2.1.6 Численный эксперимент в случае несинхронных колебаний

Приведем примеры численного расчета динамики упругих элементов

при различных значениях скорости потока V и сжимающих

(растягивающих) усилий ( )iN t при введенных в разделе 2.1.4 параметрах

механической системы.

С помощью математической системы Mathematica получены графики

функций 4

, ,

1

( , ) ( ) ( )i i k i k

k

w x t w t g x

и производных 4

, ,

1

( , ) ( ) ( )i i k i k

k

w x t w t g x

в

точке ( ) / 2x a b при различных скоростях набегающего потока.

Возьмем начальные условия 1 1,1( ,0) 0,001 ( );w x g x 1 1,1( ,0) 0,0005 ( );w x g x

2 2,1( ,0) 0,001 ( );w x g x 2 2,1( ,0) 0,0005 ( ).w x g x

1) При ( ) 0iN t cогласно (2.64) должны выполняться условия

722893,252 / 381,654 43,52, 1249160.298/381,654 57,21.V V

Следовательно, колебания устойчивы при 43,52.V

a) Результаты расчетов при 40.V

Рисунок 2.4 – Деформация первого элемента

1( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

Рисунок 2.5 – Скорость колебаний первого элемента

1( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

52

Рисунок 2.6 – Деформация второго элемента

2( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

Рисунок 2.7 – Скорость колебаний второго элемента

2( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

б) Результаты расчетов при 50.V

Рисунок 2.8 – Деформация первого элемента

1( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

Рисунок 2.9 – Скорость колебаний первого элемента

1( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

53

Рисунок 2.10 – Деформация второго элемента

2( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

Рисунок 2.11 – Скорость колебаний второго элемента

2( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

в) Результаты расчетов при 55.V

Рисунок 2.12 – Деформация и скорость колебаний первого элемента в точке 0.5x

Рисунок 2.13 – Деформация и скорость колебаний второго элемента в точке 0.5x

54

Анализируя рис. 2.4–2.13, делаем вывод, что при 40V и 50V

колебания носят устойчивый характер, а при 55V колебания становятся

неустойчивыми.

2) При 4( ) 3 10 (10 sin(5 ))iN t t cогласно (2.64) должны выполняться

условия

1 2722893,252 sup ( ) 1249160.298 sup ( )

31,1, 49,1.381,654 381,654

t t

N t N t

V V

Следовательно, колебания устойчивы при 31,1.V

a) Результаты расчетов при 40.V

Рисунок 2.14 – Деформация первого элемента

1( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

Рисунок 2.15 – Скорость колебаний первого элемента

1( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

Рисунок 2.16 – Деформация второго элемента

2( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

55

Рисунок 2.17 – Скорость колебаний второго элемента

2( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

б) Результаты расчетов при 43.V

Рисунок 2.18 – Деформация и скорость колебаний первого элемента в точке 0.5x

Рисунок 2.19 – Деформация и скорость колебаний второго элемента в точке 0.5x

Анализируя рис. 2.14–2.19, делаем вывод, что при 40V колебания

носят устойчивый характер, а при 43V колебания становятся

неустойчивыми.

2.1.7 Случай синхронных колебаний

Рассмотрим начально-краевую задачу (2.6), (2.36), (2.37), (2.75).

Введем обозначение 1 2( , ) ( , ) ( , )u x t w x t w x t . Если пластины имеют

одинаковые характеристики (массу, изгибную жесткость, сжимающеее

(растягивающее) усилие, коэффициенты демпфирования) и начальные

условия совпадают, то получим задачу

56

0 1 2

1 2

1 2

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

b

a

b

a

Mu x t Du x t N t u x t u x t u x t Iu x t

K x K xVu t Vu t d

x

u t Vu t K x K x d

(2.77)

( ,0) = 0, ( ,0) = 0, ( , ),u x u x x a b (2.78)

( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = 0.u a t u a t u b t u b t (2.79)

Так как уравнение (2.77) однородное, а граничные и начальные

условия нулевые, то решение ( , ) 0u x t . Следовательно, 1 2( , ) ( , )w x t w x t ,

т.е. происходят синхронные колебания. При этом условия (2.13), (2.20)

выполняются. Введем обозначение 1 2( , ) ( , ) ( , )w x t w x t w x t , тогда задача

(2.6), (2.36), (2.37), (2.75) примет вид:

0 1 2( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

b b

a a

Mw x t Dw x t N t w x t w x t w x t Iw x t

V K xw t Vw t d w t Vw t K x d

x

(2.80)

( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = 0,w a t w a t w b t w b t (2.81)

1 2( ,0) = ( ), ( ,0) = ( ), ( , ).w x f x w x f x x a b (2.82)

Имеет также физический смысл задача об устойчивости для ( , )u x t ,

математическая постановка которой имеет вид (2.80)–(2.82) при

( , ) ( , )w x t u x t .

Получим достаточные условия устойчивости нулевого решения

интегро-дифференциального уравнения (2.80) по отношению к

возмущениям начальных условий. Введем функционал

2 2 2 2

0( ) = ( ) ( ) ( ),

b

a

t Mw Dw N t w w dx I t J t (2.83)

2

( ) = ( , ) ( , ) ( , ) ,

( ) = ( , ) ( , ) ( , ) .

b b

a a

b b

a a

I t dx w x t w t K x d

VJ t dx w x t w t K x d

(2.84)

Найдем производную от по t

2

0

1( ) = 2 ( ) ( ) ,

2

b

a

t Mww Dw w N t w N t w w ww dx I J

(2.85)

Для функции ( , )w x t , являющейся решением уравнения (2.80),

равенство (2.85) принимает вид:

57

2

0 1 2

0

1( ) 2 ( ) ( )

2

( ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b

a

bb

a a

t w Dw N t w w w Iw Dw w N t w

N t w w ww dx w x t w t Vw t K x d

( , )

( , ) ( , ) .

b

a

V K xw t Vw t d dx I J

x

Произведем интегрирование по частям с учетом граничных условий

(2.81):

,

b b b bb b

a a

a a a a

ww dx ww w w dx w w w w dx w w dx

2 ,

b b b bb b

a a

a a a a

ww dx ww w w dx w w w w dx w dx (2.86)

.

b b bb

a

a a a

ww dx ww w w dx w w dx

Изменяя порядок интегрирования и используя условия (2.81),

произведем интегрирование по частям

( , ) ( , )( , ) ( , ) = ( , ) ( , )

b b b b

a a a a

K x K xdx w x t w t d d w x t w t dx

x x

=

== ( , ) ( , ) ( , ) | ( , ) ( , ) ( , )

b b b

x b

x a

a a a

w x t w t K x d d w x t w t K x dx (2.87)

= ( , ) ( , ) ( , ) = ( , ) ( , ) ( , ) .

b b b b

a a a a

dx w t w x t K x d dx w x t w t K x d

В последних двух равенствах поменяли местами переменные

интегрирования x и (учитывая, что ( , ) = ( , )K x K x .

Аналогично получим

( , ) ( , )( , ) ( , ) = ( , ) ( , )

b b b b

a a a a

K x K xdx w x t w t d d w x t w t dx

x x

=

== ( , ) ( , ) ( , ) | ( , ) ( , ) ( , )

b b b

x b

x a

a a a

w x t w t K x d d w x t w t K x dx (2.88)

= ( , ) ( , ) ( , ) = ( , ) ( , ) ( , ) .

b b b b

a a a a

dx w t w x t K x d dx w x t w t K x d

Преобразуем интеграл ( )I t :

58

( ) = ( , ) ( , ) ( , ) =

b b

a a

dI t dx w x t w t K x d

dt

= ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

b b

a a

dx w x t w t w x t w t K x d

Поскольку ( , ) = ( , )K x K x , то, меняя сначала порядок

интегрирования, а затем переменные и x , будем иметь:

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

b b b b

a a a a

dx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

Для ( )I t , таким образом, получаем следующее выражение:

2( ) = ( , ) ( , ) ( , ) .

b b

a a

I t dx w x t w t K x d

(2.89)

Аналогично получим 22

( ) = ( , ) ( , ) ( , ) .

b b

a a

VJ t dx w x t w t K x d

(2.90)

Учитывая (2.86)–(2.90), находим

2 2 2

1 2

1( ) 2 ( ) .

2

b

a

t w Iw N t w dx

Используя первое неравенство (2.43), получим

2 2

1 2 1

1( ) 2 ( ) .

2

b

a

t I w N t w dx

Пусть выполняются условия

1 2 1 0, ( ) 0,I N t (2.91)

Тогда ( ) 0.t Интегрируя от 0 до t , получим неравенство

( ) (0)t . (2.92)

Оценим повторные интегралы (2.84) в выражении для (0) . Согласно

неравенству (2.49)

( , ) ( , ) ( , ) 0

b b

a a

dx w x t w t K x d . (2.93)

Используя очевидное неравенство 2 22cd c d , а также симметричность

и неотрицательность ядра ( , )K x , получим

2 2

2

1( ,0) ( ,0) ( , ) ( ,0) ( ,0) ( , )

2

( ,0) ( , ) ,

b b b b

a a a a

b b

a a

dx w x w K x d dx w x w K x d

dx w x K x d

(2.94)

59

Из (2.83), (2.84), (2.93), (2.94) следует

2 2 2 200 0 0 0 0(0) (0) ,

b

a

KM w Dw N w w dx

(2.95)

где 0 0 0 0= ( ,0), = ( ,0), = ( ,0), = ( ,0),w w x w w x w w x w w x

0

(

= ( , ) .sup, )

b

x a b a

K K x d

Оценим повторные интегралы (2.84) в выражении для ( )t . Согласно

неравенству (2.49)

( , ) ( , ) ( , ) 0

b b

a a

dx w x t w t K x d (2.96)

Используя очевидное неравенство 2 22cd c d , симметричность и

неотрицательность ядра ( , )K x , условия (2.81), получим

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

b b

a a

b b

a a

b b

a a

dx w x t w t K x d

dx w x t w t K x g x g d

dx w x t w t K x g x g d

(2.97)

2

1( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

2

( , ) ( , ) ( ) ( ) ,

b b

a a

b b

a a

dx w x t w t K x g x g d

dx w x t K x g x g d

где ( )g x – произвольная интегрируемая по x на отрезке [ , ]a b функция.

Таким образом, согласно (2.83), (2.84), (2.96), (2.97) получим

неравенство 2

2 2 2 2

0( ) ( ) ,

b

a

V Gt Mw Dw N t w w dx

(2.98)

где

[ , ]

sup ( , ) ( ) ( ) .

b

x a ba

G K x g x g d

(2.99)

Функцию ( )g x выбираем так, чтобы G было наименьшим.

Используя второе неравенство (2.43), из (2.98) получим

2

2 2 2

1 0( ) ( ) .

b

a

V Gt Mw D N t w w dx

(2.100)

60

Далее, воспользовавшись неравенством Буняковского, будем иметь 2

2( , )( , ) .

( )

b

a

w x tw x t dx

b a

(2.101)

Пусть выполняется условие 2

1( ) ,V G

N t D

(2.102)

тогда с учетом (2.95), (2.100) – (2.102) из (2.92) получаем неравенство

2 2

2 2 2 201 0 0 0 0 0

( , )( ) (0) .

( )

b

a

V G w x t KD N t M w Dw N w w dx

b a

Таким образом, если выполняются условия (2.91), (2.102), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0.t t На основании неравенства (2.100) можно сделать вывод:

функции ( , ), ( , )w x t w x t устойчивы по отношению к возмущениям

начальных данных. Из последней оценки следует, что решение ( , )w x t

устойчиво по отношению к возмущениям начальных данных ( ,0),w x

( ,0), ( ,0),w x w x ( ,0)w x . Следовательно, на основании проведенного

исследования функционала доказана теорема.

Теорема 2.2. Пусть выполняются условия (2.91), (2.102). Тогда

решение ( , )w x t уравнения (2.80) устойчиво по отношению к возмущениям

начальных значений ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0),w x w x w x w x если функция ( , )w x t

удовлетворяет краевым условиям (2.81).

Приведем примеры расчета области устойчивости на плоскости двух

параметров «скорость потока V – сжимающее (растягивающее) усилие N

». Будем считать, что протекает поток жидкости ( 1000 ), а элементы

изготовлены из стали ( 1020,6 10iE , 7850i ). Другие параметры

механической системы: 0; 1;a b 0 1;y

0,25i ; 0 4i ; 1 0,4i ;

2 0,4i ; 0,01ih (все значения приведены в системе СИ). Производя

расчеты, получим 2

1 4 ; 78,5i iM h ; 3

218311,1

12(1 )

i i

i

E hD

.

Согласно условию (2.102) необходимо найти коэффициент G . Для

расчета подобрана постоянная функция ( ) 0,374g x

и с помощью математической системы Mathcad найден коэффициент 1

[0,1]0

sup ln ( ) ( ) 0,770.x

xx

e eG g x g d

e e

Из условия (2.102) получим 2( ) 722893,252 245,099 .N t V (2.103)

61

На рисунке 2.20 изображена область устойчивости (2.103) – серая

область ниже параболы.

Рисунок 2.20 – Область устойчивости

Если значения ( ), 0N t t не выходят за границу серой области, то

решение ( , )w x t уравнения (2.80) устойчиво по отношению к возмущениям

начальных значений ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0).w x w x w x w x

Рассмотрим уравнение (2.80). Решение уравнения будем искать

методом Галеркина, подчинив искомую функцию ( , )w x t краевым

условиям, в виде

=1

( , ) = ( ) ( ).m

k k

k

w x t a t g x (2.104)

Согласно (2.81), получим условия

( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 0.k k k kg a g a g b g b (2.105)

В качестве базисных возьмем функции (2.67)

( ) sin ( ) sh ( )

cos ( ) ch ( )(cos ( ) ch ( )).

sin ( ) sh ( )

k k k

k kk k

k k

g x x a x a

b a b ax a x a

b a b a

(2.106)

Подставляя ( , )w x t в виде (2.104) в (2.80), получим уравнение

0

=1 =1 =1 =1

1 2

=1 =1 =1

=1 =1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( , )

m m m m

k k k k k k k k

k k k k

bm m m

k k k k k k

k k k a

bm m

k k k

k ka

M a t g x D a t g x N t a t g x a t g x

a t g x I a t g x a t g K x d

V Va t g K x d a

2

=1

( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( , ) , ( , ), 1,2.

b

k x

a

bm

k k x

k a

t g K x d

Va t g K x d x a b i

(2.107)

62

Согласно методу Галеркина, условия ортогональности невязки

уравнения (2.107) к базисным функциям =1{ ( )}m

j jg x позволяют записать

систему уравнений

=1 =1

0

=1 =1

1 2 2

=1 =1

=1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

b bm m

k k j k k j

k ka a

b bm m

k k j k k j

k ka a

b bm m

k k j k k j

k ka a

m

k

k

M a t g x g x dx D a t g x g x dx

N t a t g x g x dx a t g x g x dx

a t g x g x dx I a t g x g x dx

a

) ( ) ( ) ( , )

b b

k j

a a

t dx g g x K x d

(2.108)

=1

=1

2

=1

( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( , ) , ( , ), 1 .

b bm

k k j

k a a

b bm

k k j x

k a a

b bm

k k j x

k a a

Va t dx g g x K x d

Va t dx g g x K x d

Va t dx g g x K x d x a b j m

С учетом (2.105) проинтегрируем предпоследние четыре интеграла по

частям по переменной x и, учитывая (2.69)–(2.71), получим:

4 4

2 2 1 0

=1 =1

=1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

j j j j j j j j

b b bm m

k k j k k j

k ka a a

b bm

k k j k j

k a a

D a t Ma t I a t a t a t

N t a t g x g x dx a t dx g g x K x d

Va t dx g g x g g x K x d

2

=1

( ) ( ) ( ) ( , ) 0, 1 ,

b bm

k k j

k a a

Va t dx g g x K x d j m

где 2= ( ) .

b

j j

a

g x dx

Получили систему m обыкновенных дифференциальных уравнений

второго порядка для определения m неизвестных функций:

(1) (2) (3)

, , ,

=1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

( , ), 1 ,

m

j j j j j j j k k j k k j k k

k

A a t B a t C a t D a t D a t D a t

x a b j m

(2.109)

63

где введены обозначения

4

1 2 2( ) ( ) ( , ) , ,

b b

j j j j j j j

a a

A M dx g g x K x d B I

2

4 2

0

(1)

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ,

(1 )( ) ( ) ( , ) ,

b b b

j j j j j j

a a a

k b b

j

j k k j

a a

VC D N t g x dx dx g g x K x d

D dx g g x K x d

(2)

,

2

(3)

,

(1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ,

(1 )( )(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ,

k b b

j

j k k j k j

a a

kb b b

jk

j k j k j k j

a a a

VD dx g g x g g x K x d

VD N t g x g x dx dx g g x K x d

k

j – символ Кронекера.

Условия ортогональности невязки начальных условий

1 2( ,0) = ( ), ( ,0) = ( ), [ , ]w x f x w x f x x a b (2.110)

к базисным функциям позволяют найти начальные условия:

1 2

1 1(0) ( ) ( ) , (0) ( ) ( ) .

b b

j j j j

j ja a

a f x g x dx a f x g x dx

(2.111)

Таким образом, получили задачу Коши для системы обыкновенных

дифференциальных уравнений (2.109) с начальными условиями (2.111).

2.1.8 Численный эксперимент в случае синхронных колебаний

Приведем примеры численного расчета динамики упругих элементов

при различных значениях скорости потока V и сжимающего

(растягивающего) усилия N . Будем считать, что протекает поток

жидкости ( 1000 ), а элементы изготовлены из стали ( 1020,6 10iE ,

7850i ). Другие параметры механической системы: 0; 1;a b 0 1;y

0,25i ; 0 4i ; 1 0,4i ;

2 0,4i ; 0,01ih (все значения приведены в

системе СИ). Производя расчеты, получим 2

1 4 ; 78,5i iM h ; 3

218311,1

12(1 )

i i

i

E hD

. Начальные условия 1( ,0) 0,001 ( );w x g x

1( ,0) 0,0005 ( )w x g x

С помощью математической системы Mathematica получены графики

функций 4

1 2

1

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )k k

k

w x t w x t w x t w t g x

в точке 2

a bx

при

различных скоростях набегающего потока.

64

1) При ( ) 0N t cогласно (2.103) должно выполняться условие

722893,25254,3.

245,099V А по теореме 2.1 колебания устойчивы при

43,52,V т.е. теорема 2.2 является уточнением теоремы 2.1 на случай

синхронных колебаний.

a) Результаты расчетов при 50.V

Рисунок 2.21 – Деформация элементов ( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

Рисунок 2.22 – Скорость колебаний элементов ( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

б) Результаты расчетов при 56.V

Рисунок 2.23 – Деформация элементов ( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

65

Рисунок 2.24 – Скорость колебаний элементов ( , )w x t в точке 0.5x :

слева при [0,1]t , справа при [0,5]t

в) Результаты расчетов при 61.V

Рисунок 2.25 –Деформация и скорость колебаний элементов в точке 0.5x

Анализируя рис. 2.21–2.25, делаем вывод, что при 50V и 56V

колебания носят устойчивый характер, а при 61V колебания становятся

неустойчивыми.

2.1.9 Нелинейная математическая модель. Исследование

устойчивости.

Рассмотрим нелинейную модель упругого тела. Тогда уравнения

малых колебаний упругих элементов с учетом силового воздействия

потока ( , )iP x t на них имеют вид

2

2

2

2 1 0

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,

2

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i

E F u x t w x t M u x t Fu x t

E F w x t u x t w x t D w x t M w x t

N t w x t I w x t w x t w x t P x t

( , ), 1,2, 0,x a b i t

(2.112)

66

где ( , ), ( , ), 1,2i iu x t w x t i – упругие перемещения элементов в направлении

осей Ox и Oy стенок = 0y и 0=y y ; аэрогидродинамические воздействия

( , )iP x t имеют вид (2.32), (2.33). Здесь и в дальнейшем введено обозначение

=1

ii

i

hF

.

Предположим, что концы упругих элементов закреплены жестко,

тогда выполняются условия:

( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = 0, 1,2.i i i i i iw a t w a t u a t w b t w b t u b t i (2.113)

Если * 0P P , то из (2.112) получим однородную систему четырех

нелинейных дифференциальных уравнений:

2

1 1 1 1 1 1 21 1 1

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 21 1 1 11 1 01 1

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,

2

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

E F u x t w x t M u x t Fu x t

E F w x t u x t w x t D w x t M w x t

VN t w x t I w x t w x t w x t

w

1 21 1 2 2

1 1 1 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 22 2

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

1( , ) ( , ) ( , )

2

b b

a a

b b

a a

K x K xt Vw t d w t Vw t d

x x

w t Vw t K x d w t Vw t K x d

E F u x t w x t M u x t F

2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 12 2 02 2

2 11 1 2 2

( , ) 0,

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) (( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b

a

u x t

E F w x t u x t w x t D w x t M w x t

VN t w x t I w x t w x t w x t

K x Kw t Vw t d w t Vw t

x

1 1 2 2 2 1

, )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

b

a

b b

a a

xd

x

w t Vw t K x d w t Vw t K x d

(2.114)

Исследуем устойчивость нулевого решения 1 2( , ) 0, ( , ) 0w x t w x t

системы (2.114). Введем функционал

67

222 2 2

=1

32 2 2

0

=1

1( ) = ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ( ) ( )),

b

i i i i i i i

i a

i i i i i i i i

i

t E F u x t w x t M u x t w x t

D w x t N t w x t w x t dx I t J t

(2.115)

где ( ), ( )i iI t J t определены в (2.39).

Найдем производную от по t

2

2

=1

32

0

=1

1( ) = 2

2

1( ) ( ) ( ),

2

b

i i i i i i i i i i i i i i i i

i a

i i i i i i i i i i

i

t E F u w u w w M u u M w w D w w

N t w N t w w w w dx I J

(2.116)

Для функций ( , )iw x t , являющихся решениями системы уравнений

(2.114), равенство (2.116) принимает вид:

2

2 2

=1

2

2

0 1

1 1( ) 2 ( , ) ( , )

2 2

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( )

b

i i i i i i i i i i i i

i a

i i i i i i i i i

i i i i i i i i

t E F u w u w w u E F u x t w x t

Fu x t w E F w x t u x t w x t

D w N t w w w

2

2

0 1

1 1 1 2 2 2

11 1

1( ) ( ) 2 ( , )

2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

i i i i i i

b

i i i i i i i i

a

b b

a a

b

a

I w D w w

N t w N t w w w w dx w x t

w t Vw t K x d w t Vw t K x d

V K xw t Vw t d

x

22 2

( , )( , ) ( , )

b

a

K xw t Vw t d dx

x

2 2 2 12 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b b

a a

w x t w t Vw t K x d

(2.117)

1 1 2

12 2

( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

b

a

b

a

w t Vw t K x d

V K xw t Vw t d

x

68

3

21 1

=1

( , )( , ) ( , ) ( ).

b

i i

ia

K xw t Vw t d dx I J

x

Произведем интегрирование по частям с учетом граничных условий

(2.113):

2

2 2 2

2

, , ,

1 1, ,

2 2

1

2

b b b b b b

i i i i i i i i i i i

a a a a a a

b b b b

i i i i i i i i i

a a a a

b

i i i i

a

w w dx w w dx w w dx w dx w w dx w w dx

u u dx u dx u u w dx u u w dx

w w u w dx

21

, 1,2.2

b

i i i i

a

w w u w dx i

(2.118)

Подставляя (2.118) и полученные ранее выражения для ( ), ( )i iI t J t в

(2.117), а также используя первое неравенство (2.43), получим

2

2 2 2

2 1 2 1

=1

1( ) 2 ( ) .

2

b

i i i i i i i i i i

i a

t Fu I w N t w dx

Пусть выполняются условия (2.44), тогда справедливо неравенство

(2.45).

Из (2.115), (2.39), (2.50) – (2.53) следует 22

2 2 200 0 0 0

=1

22 2 20

0 0 0 0

1(0)

2

(0) ,

b

i i i i i i i i

i a

i i i i i i

KE F u w M u M w

V GD w N w w dx

(2.119)

где 0 0 0 0 0= ( ,0), = ( ,0), = ( ,0), = ( ,0), = ( ,0),i i i i i i i i i iw w x u u x w w x u u x w w x

0 0 1 1 1 2

(

= ( ,0) ( =1,2), = ( ), ( ) = ( , ) ( , ) ,sup, )

b b

i i

x a b a a

w w x i K G x G x K x d K x d

0 2 2 2

(

= ( ), ( ) = 2 ( , ) .sup, )

b

x a b a

G G x G x K x d

Так как значения функционала (2.115) больше значений функционала

(2.38), то справедлива оценка (2.61):

22

2 2 2 2

1 0

=1

( ) ( ) .

b

i i i i i i i i i i

i a

K V Gt M u M w D N t w w dx

(2.120)

С учетом (2.119), (2.120), (2.62), (2.63) из (2.45) получаем неравенство

69

22 22 22

1 0 0

=1 =1

22 2 2 2 20 00 0 0 0 0 0

( , ) 1( )

( ) 2

(0) .

b

ii i i i i i i

i i a

i i i i i i i i i i

V G w x tD N t E F u w

b a

K V GM u M w D w N w w dx

Таким образом, если выполняются условия (2.44), (2.63), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (2.120) можно сделать вывод:

функции ( , ), ( , ), ( , ), 1,2i i iu x t w x t w x t i устойчивы по отношению к

возмущениям начальных данных. Из последней оценки следует, что

решение ( , ), 1,2iw x t i устойчиво по отношению к возмущениям

начальных данных ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0) ( =1,2)i i i i i iu x u x w x w x w x w x i .

Следовательно, на основании проведенного исследования функционала

доказана теорема.

Теорема 2.3. Пусть выполняются условия (2.44), (2.63). Тогда

решения ( , ) ( 1,2)iw x t i системы уравнений (2.114) и производные ( , ),iu x t

( , ), ( , ), 1,2i iw x t w x t i устойчивы по отношению к возмущениям начальных

значений ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0) ( =1,2),i i i i i iu x u x w x w x w x w x i если

функции ( , ), ( , ) ( 1,2)i iu x t w x t i удовлетворяют краевым условиям (2.113).

2.2 Модель вибрационного устройства конечной длины

2.2.1 Линейная математическая модель

Рассматривается плоское движение жидкости в прямолинейном

канале 2

0 0= ( , ) :0 < < , 0 < <J x y R x x y y . Скорость невозмущенного

потока жидкости равна V и направлена вдоль оси Ox . Предположим, что

упругими являются части стенки = 0y и 0=y y при [ , ]x a b (рис. 2.26).

Рисунок 2.26 – Канал конечной длины, стенки которого содержат

деформируемые элементы

Введем обозначения: 1( , )w x t и

2( , )w x t – упругие перемещения

элементов в направлении оси Oy стенок = 0y и 0=y y ; ( , , )x y t –

потенциал скорости возмущенного потока.

70

Потенциал возмущенного потока удовлетворяет уравнению

Лапласа:

= 0, ( , ) .xx yy x y J (2.121)

Линеаризованные граничные условия, вытекающие из условия

непротекания, имеют вид:

0 0( ,0, ) = ( , , ) 0, (0, ] [ , );y yx t x y t x a b x (2.122)

1 1( ,0, ) = ( , ) ( , ), ( , );y x t w x t Vw x t x a b (2.123)

0 2 2( , , ) = ( , ) ( , ), ( , ).y x y t w x t Vw x t x a b (2.124)

Условия отсутствия возмущений на входе и выходе из канала:

0 0(0, , ) = 0, ( , , ) = 0, [0, ], 0.x xy t x y t y y t (2.125)

Граничные условия, соответствующие жесткому закреплению концов

пластин:

( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = 0, 1,2.i i i iw a t w a t w b t w b t i (2.126)

Аэродинамические воздействия на элементы выражаются через

потенциал скорости ( , , )x y t по формулам

1 * 0

2 0 * 0 0

( , ) ( ,0, ) ( ,0, ) ,

( , ) ( , , ) ( , , ) , ( , ), 0.

t x

t x

P x t P P x t V x t

P x t P P x y t V x y t x a b t

(2.127)

Рассмотрим линейную модель упругого тела. Тогда уравнения малых

колебаний упругих пластин примут вид

0 1

2

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ), 1,2, ( , ).

i i i i i i i i i i

i i i i

M w x t D w x t N t w x t w x t w x t

I w x t P x t i x a b

(2.128)

Таким образом, получена линейная краевая задача (2.121)–(2.128) для

определения трех неизвестных функций – деформаций упругих элементов

1( , )w x t , 2( , )w x t и потенциала скорости жидкости ( , , )x y t .

2.2.2 Определение силового воздействия потока. Исследование

устойчивости.

В области J введем комплексный потенциал ( , ) ,W f z t i

,z x iy и рассмотрим аналитическую функцию ( , ) .z x yf z t i При

помощи функции

0 0

0

( ) (2 2 )( ) = sn ,

K k i z x iyz

y

где sn x – эллиптический синус,

1

2 2 20

( ) =(1 )(1 )

dtK k

t k t – полный

эллиптический интеграл первого рода, модуль k определяется из

соотношения 2

0 01 = 2 ( ) ,K k y K k x конформно отобразим

71

прямоугольник J на верхнюю полуплоскость : Im 0H

комплексного переменного .i Граничным точкам

0 0 0 0(0, ), ( , ), ( ,0), (0,0)A y B x y C x D прямоугольника в -плоскости будут

соответствовать точки вещественной оси с абсциссами –1/k, –1, 1, 1/k.

Упругим пластинам при этом отображении будут соответствовать отрезки

[ , ] и [ , ] на вещественной оси, причем = ( ),a = ( )b .

Согласно граничным условиям (2.122)–(2.124) для аналитической

функции )),(( tzifz получим следующие граничные условия:

1

2

0, ( 1 / , ) ( , 1) (1, ) ( ,1 / ),

Re{ ( ( ), )} ( ( ), ), [ , ],

( ( ), ), [ , ],

z y

k k

if z t w x t

w x t

Im ( ( ), ) = = 0, | |>1/ , | |<1,z xif z t k

1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ).w x t w x t Vw x t w x t w x t Vw x t

Зависимость

00

2 2 21

00

2 2 21

, ( 1 / , 1),2 ( ) ( 1)(1 )

( ) =

, (1,1 / ),2 ( ) ( 1)(1 )

y dx k

K k kx

y dx k

K k k

определяется связью между z и :

0 00

2 2 20

= ,2 2 ( ) (1 )(1 )

iy iy dtz x

K k t k t

где у функции ))(1(1=)( 222 kQ рассматривается та ветвь корня,

которая положительна в интервале .1,1)( Таким образом, для функции

),( tif имеем смешанную краевую задачу в верхней полуплоскости.

Решение этой задачи, ограниченное в точках k1/=1,= , дается

формулой:

1 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ( ), ) ( ( ), )( ( ), ) = .

( 1)(1 )( ) ( 1)(1 )( )z

Q w x t d w x t df z t

i k k

(2.129)

При этом должно выполняться условие

1 2

2 2 2 2 2 2

( ( ), ) ( ( ), ),

( 1)(1 ) ( 1)(1 )

w x t d w x t d

k k

(2.130)

которое можно записать в виде

72

1 1 2 2 .

b b

a a

w Vw dx w Vw dx (2.131)

Физический смысл (2.131) состоит в том, что поток газа через границу

области J равен нулю, что соответствует модели несжимаемой среды.

Согласно граничным условиям (2.126) из (2.131) получим

1 2 .

b b

a a

w dx w dx (2.132)

Далее, поскольку

0 1

2 2 2

2

2 2 2

( ( ), )= =

2 ( ) ( 1)(1 )( )

( ( ), ),

( 1)(1 )( )

z

dz y w x t dW f

d K k k

w x t d

k

то, интегрируя по , получаем

0 1 2

2 2 2 2 2 2

( ( ), )ln( ) ( ( ), )ln( )( ( ), ) = .

2 ( ) ( 1)(1 ) ( 1)(1 )

y w x t d w x t df z t

K k k k

(2.133)

Перейдем к пределу в (2.129), (2.133) при ( , ) (при этом

, ( , )).z x x a b Приравнивая вещественные части, по формуле Сохоцкого

получим:

2 2 2

1

2 2 2

2

2 2 2

( 1)(1 ) ( ( ), )( ( ),0, ) =

( 1)(1 )( )

( ( ), ), ( , ),

( 1)(1 )( )

x

k w x t dx t

k

w x t d

k

(2.134)

0 1

2 2 2

2

2 2 2

( ( ), )ln( )( ( ),0, )

2 ( ) ( 1)(1 )

( ( ), )ln( ), ( , ).

( 1)(1 )

y w x t dx t

K k k

w x t d

k

(2.135)

Перейдем к пределу в (2.129), (2.133) при ( , ) (при этом

0, ( , )).z x iy x a b Приравнивая вещественные части, по формуле

Сохоцкого находим: 2 2 2

10 2 2 2

( 1)(1 ) ( ( ), )( ( ), , ) =

( 1)(1 )( )x

k w x t dx y t

k

73

2

2 2 2

( ( ), ), ( , ),

( 1)(1 )( )

w x t d

k

(2.136)

0 10 2 2 2

2

2 2 2

( ( ), )ln( )( ( ), , )

2 ( ) ( 1)(1 )

( ( ), )ln( ), ( , ).

( 1)(1 )

y w x t dx y t

K k k

w x t d

k

(2.137)

Дифференцируя (2.135), (2.137) по переменной t, запишем

аэрогидродинамические воздействия (2.127) в виде

0 11 * 0 2 2 2

2 2 2

2 1

2 2 2 2 2 2

( ( ), )ln( )( ( ), )

2 ( ) ( 1)(1 )

( 1)(1 )( ( ), )ln( ) ( ( ), )

( 1)(1 ) ( 1)(1 )( )

y w x t dP x t P P

K k k

V kw x t d w x t d

k k

2

2 2 2

( ( ), ), ( , ), 0,

( 1)(1 )( )

w x t dt

k

(2.138)

0 12 0 * 2 2 2

2 2 2

2 1

2 2 2 2 2 2

( ( ), )ln( )( ( ), )

2 ( ) ( 1)(1 )

( 1)(1 )( ( ), )ln( ) ( ( ), )

( 1)(1 ) ( 1)(1 )( )

y w x t dP x t P P

K k k

V kw x t d w x t d

k k

2

2 2 2

( ( ), ), ( , ), 0.

( 1)(1 )( )

w x t dt

k

(2.139)

Положив 2 ( )

( , ) =a

K ln

, учитывая равенство

2 2 2

0

2 2 2

0

( 1)(1 )2 ( ), ( 1 / , 1),

( , ) ( , )= =

( 1)(1 )2 ( ), (1,1 / ),

kK kk

yK K

x x kK kk

y

и условие (2.130), запишем выражения (2.138), (2.139) в виде:

74

0 11 * 0 2 2 2

2 0 1

2 2 2 2 2 2

( ( ), ) ( , )( ( ), )

2 ( ) ( 1)(1 )

( ( ), ) ( , ) ( ( ), ) ( , )

2 ( )( 1)(1 ) ( 1)(1 )

y w x t K dP x t P P

K k k

w x t K d y V w x t Kd

K k xk k

2

2 2 2

( ( ), ) ( , ), ( , ), 0,

( 1)(1 )

w x t Kd t

xk

0 12 0 * 2 2 2

2 0 1

2 2 2 2 2 2

( ( ), ) ( , )( ( ), )

2 ( ) ( 1)(1 )

( ( ), ) ( , ) ( ( ), ) ( , )

2 ( )( 1)(1 ) ( 1)(1 )

y w x t K dP x t P P

K k k

w x t K d y V w x t Kd

K k xk k

2

2 2 2

( ( ), ) ( , ), ( , ), 0.

( 1)(1 )

w x t Kd t

xk

Подставляя выражения 0 0 1

0 0

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )| |= , | |=

K k i x x K k i xcd cd

y y

, где

сd sn ( )x x K k , и заменяя затем 1 на , получим

1 * 0 1 1 2 2

1 21 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) , ( , ), 0,

b b

a a

b b

a a

P x t P P w t K x d w t K x d

V K x K xw t d w t d x a b t

x x

(2.140)

2 0 * 1 2 2 1

2 11 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) , ( , ), 0,

b b

a a

b b

a a

P x t P P w t K x d w t K x d

V K x K xw t d w t d x a b t

x x

(2.141)

где

1

0 0

1 1 1

0 0 0 0

1

0 0

2 1 1

0 0 0 0

2cd 2 ( ) ( )( , ) = ln ,

cd 2 ( ) ( ) cd 2 ( ) ( )

2cd 2 ( ) ( )( , ) = ln ,

cd 2 ( ) ( ) cd 2 ( ) ( )

K k i x a yK x

K k i x y K k i x x y

K k i x a yK x

K k i x y K k i x x y

(2.142)

75

1 1

0 0 0 0

1 1

0 0 0 0

cd 2 ( ) ( ) cd 2 ( ) ( )( , ) = ln .

cd 2 ( ) ( ) cd 2 ( ) ( )

K k i x y K k i x x yK x

K k i x y K k i x x y

Заметим, что 1 1 2 2( , ) ( , ), ( , ) ( , ),K x K x K x K x ( , ) ( , )K x K x , т. е.

ядра симметричные. Кроме того 1 2( , ) ( , ) ( , ) 0K x K x K x . Можно

показать, что ядро ( , )K x удовлетворяет условиям утверждения 2.1.

Подставляя 1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , )w t w t Vw t w t w t Vw t , из

(2.140), (2.141) получим

1 * 0 1 1 1

12 2 2 1 1

22 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) ( , ) , ( , ), 0,

b

a

b b

a a

b

a

P x t P P w t Vw t K x d

V K xw t Vw t K x d w t Vw t d

x

K xw t Vw t d x a b t

x

(2.143)

2 0 * 1 1 2

22 2 1 1 1

12 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) ( , ) , ( , ), 0.

b

a

b b

a a

b

a

P x t P P w t Vw t K x d

V K xw t Vw t K x d w t Vw t d

x

K xw t Vw t d x a b t

x

(2.144)

Получили выражения (2.143), (2.144) такие же, как (2.32), (2.33), где в

отличие от ядер (2.31) используются ядра (2.142). Поэтому справедливо

утверждение теоремы 2.1.

Теорема 2.4. Пусть выполняются условия

2 1 2 10, 0, ( ) 0,i i i i i iI N t (2.145) 2

0 10, , ( ) ,i i i i i

K V GM N t D

(2.146)

где 1 1 1 2 2 2[ , ]

sup ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ,

b

x a ba

G K x g x g K x g x g d

2 2 2[ , ]

2 sup ( , ) ( ) ( ) .

b

x a ba

K K x g x g d

Тогда решения ( , ) ( 1,2)iw x t i

системы уравнений (2.128), (2.143), (2.144) и производные

( , ), ( , ) ( 1,2)i iw x t w x t i устойчивы по отношению к возмущениям начальных

76

значений ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0) ( =1,2),i i i iw x w x w x w x i если функции

( , ) ( 1,2)iw x t i удовлетворяют краевым условиям (2.126).

2.2.3 Нелинейная математическая модель. Исследование

устойчивости.

Рассмотрим нелинейную модель упругого тела (2.112) с

аэрогидродинамическими воздействиями (2.143), (2.144) при 0 *P P с

краевыми условиями (2.113). Аналогично теореме 2.3 доказана следующая

теорема.

Теорема 2.5. Пусть выполняются условия (2.145), (2.146). Тогда

решения ( , ) ( 1,2)iw x t i системы уравнений (2.112), (2.143), (2.144) и

производные ( , ),iu x t ( , ), ( , ), 1,2i iw x t w x t i устойчивы по отношению к

возмущениям начальных значений

( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0) ( =1,2),i i i iw x w x w x w x i если функции

( , ), ( , ) ( 1,2)i iu x t w x t i удовлетворяют краевым условиям (2.113).

2.2.4 Нелинейная математическая модель вибрационного

устройства с одним упругим элементом. Исследование динамики и

устойчивости.

Рассматривается плоское движение жидкости в прямолинейном

канале 2

0 0= ( , ) :0 < < , 0 < <J x y R x x y y . Скорость невозмущенного

потока жидкости равна V и направлена вдоль оси Ox . Предположим, что

упругой является часть стенки 0=y y при [ , ]x a b (рис. 2.27).

Рисунок 2.27 – Канал конечной длины, стенка которого содержит

деформируемый элемент

Введем обозначения: ( , )u x t и ( , )w x t – упругие перемещения элемента

в направлении осей Ox и Oy соответственно; ( , , )x y t – потенциал

скорости возмущенного потока.

Потенциал возмущенного потока удовлетворяет уравнению

Лапласа:

77

= 0, ( , ) .xx yy x y J (2.147)

Линеаризованные граничные условия, вытекающие из условия

непротекания, имеют вид:

0( ,0, ) = 0, (0, );y x t x x (2.148)

0 0( , , ) 0, (0, ] [ , );y x y t x a b x (2.149)

0( , , ) = ( , ) ( , ), ( , ).y x y t w x t Vw x t x a b (2.150)

Условия отсутствия возмущений на входе и выходе из канала:

0 0(0, , ) = 0, ( , , ) = 0, [0, ], 0.x xy t x y t y y t (2.151)

Граничные условия, соответствующие шарнирному закреплению

концов пластины:

( , ) = ( , ) ( , ) = ( , ) = ( , ) ( , ) = 0.w a t w a t u a t w b t w b t u b t (2.152)

Аэродинамическое воздействие на элемент выражается через

потенциал скорости ( , , )x y t по формуле

0 * 0 0( , ) ( , , ) ( , , ) , ( , ), 0.t xP x t P P x y t V x y t x a b t (2.153)

Рассмотрим нелинейную модель упругого тела. Тогда уравнения

малых колебаний упругой пластины примут вид

2

2

2

0 1 2

2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,2

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

( , ), 0,

EFu x t w x t Mu x t Fu x t

EFw x t u x t w x t Mw x t Dw x t

N t w x t w x t w x t w x t P x t

x b c t

(2.154)

Таким образом, получена нелинейная краевая задача (2.147)–(2.154)

для определения трех неизвестных функций – деформаций упругого

элемента ( , ), ( , )u x t w x t и потенциала скорости жидкости ( , , )x y t .

Так как имеем частный случай задачи на рис. 2.26 при 1( , ) 0,w x t

1 2 2( , ) 0, ( , ) ( , ), ( , ) ( , ),u x t w x t w x t u x t u x t то согласно (2.144)

аэрогидродинамическое воздействие (2.153) примет вид

0 * 1

12 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) ( , ) , ( , ), 0,

b

a

b

a

P x t P P w t Vw t K x d

V K xw t Vw t d x a b t

x

(2.155)

где 1( , )K x определено в (2.142). Условие (2.131) примет вид

0.

b

a

w Vw dx (2.156)

Согласно граничным условиям (2.152) из (2.156) получим

78

0.

b

a

wdx (2.157)

Зададим начальные условия

1 2 3 4( ,0) ( ), ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), ( ,0) ( ),t tu x f x w x f x u x f x w x f x (2.158)

которые должны быть согласованы с краевыми условиями (2.152).

Таким образом, получена нелинейная начально-краевая задача (2.152),

(2.154), (2.155), (2.158) для определения двух неизвестных функций –

деформаций упругого элемента ( , ), ( , )u x t w x t . При 0 *P P задача (2.152),

(2.154), (5.155) однородная, поэтому достаточно исследовать устойчивость

нулевого решения ( , ) 0,u x t ( , ) 0w x t системы интегро-

дифференциальных уравнений (2.154), (5.155) по отношению к

возмущениям начальных условий (2.158). Введем функционал 2

2 2 2 2 2 2

0

2

1 1

1( ) = ( ) ( )

2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

b

a

b b b b

a a a a

t M u w Dw EF u w N t w w dx

Vdx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

(2.159)

Для функций ( , ), ( , )u x t w x t , являющихся решениями системы

уравнений (2.154), (5.155) и удовлетворяющих краевым условиям (2.152),

оценка для производной ( )t принимает вид:

2 2 2

2 1 2 1

1( ) 2 ( ) .

2

b

a

t Fu I w N t w dx

Пусть выполняются условия

2 1 2 10, 0, ( ) 0,I N t (2.160)

тогда ( ) 0t . Интегрируя от 0 до t, получим:

( ) (0).t (2.161)

Оценим повторные интегралы (2.159) в выражении для ( )t ,

пользуясь равенством 1 2( , ) ( , ) ( , )K x K x K x , доказанным

неравенством (2.49):

( , ) ( , ) ( , ) 0

b b

a a

dx w x t w t K x d (2.162)

и неравенством 2 22 (c )cd d , а также симметричностью и

неотрицательностью ядер 1 2( , ), ( , )K x K x . Используя условия (2.152),

получим

2

1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ,

b b b b

a a a a

dx w x t w t K x d dx w x t K x g x g d (2.163)

79

2

1 1 1 1( ,0) ( ,0) ( , ) ( ,0) ( , ) ( ) ( ) ,

b b b b

a a a a

dx w x w K x d dx w x K x g x g d (2.164)

где 1( )g x – произвольная интегрируемая по x на отрезке [ , ]a b функция.

Используя неравенства (2.157), (2.162), получим

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b b b b

a a a a

dx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

2 2

2

2 2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( ) ( ) .

b b b b

a a a a

b b

a a

dx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

dx w x t K x g x g d

(2.165)

2

1 1 1 1( ,0) ( ,0) ( , ) ( ,0) ( , ) ( ) ( ) .

b b b b

a a a a

dx w x w K x d dx w x K x g x g d

Учитывая неравенства (2.43), (2.163)–(2.165), оценим правую и левую

части неравенства (2.161) 2

2 2 2

22 2

1 0

1( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( ) ( , ) ( , ) ,

b

a

Kt Mu x t M w x t EF u x t w x t

V GD N t w x t w x t dx

(2.166)

2

2 2 2

22 2 2

0

1(0) ( ,0) ( ,0) ( ,0) ( ,0)

2

( ,0) (0) ( ,0) ( ,0) .

b

a

GMu x M w x EF u x w x

V GDw x N w x w x dx

(2.167)

где

1 1 1[ , ]

2 2 2[ , ]

sup ( , ) ( ) ( ) ,

sup ( , ) ( ) ( ) .

b

x a ba

b

x a ba

G K x g x g d

K K x g x g d

(2.168)

Функции 1 2( ), ( )g x g x выбираем так, чтобы ,K G были наименьшими.

Пользуясь условиями (2.152) и неравенством Буняковского, будем

иметь

2 2( , ) ( ) ( , ) .

b

a

w x t b a w x t dx (2.169)

Пусть выполняются условия

80

2

0 10, 0, ( ) 0,K V G

M D N t

(2.170)

тогда, согласно неравенству (2.169), из (2.166) получим 2 2

1

( , )( ) ( ) .

V G w x tt D N t

b a

(2.171)

С учетом (2.161), (2.167), (2.171) получаем неравенство 2 2

1

( , )( )

V G w x tD N t

b a

2

2 2 2

22 2 2

0

1( ,0) ( ,0) ( ,0) ( ,0)

2

( ,0) (0) ( ,0) ( ,0) .

b

a

GMu x M w x EF u x w x

V GDw x N w x w x dx

Таким образом, если выполняются условия (2.160), (2.170), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (2.166) можно сделать вывод:

функции ( , ), ( , ), ( , )u x t w x t w x t устойчивы по отношению к возмущениям

начальных данных. Из последней оценки следует, что решение ( , )w x t

устойчиво по отношению к возмущениям начальных данных

( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0)u x u x w x w x w x w x . Следовательно, на

основании проведенного исследования функционала доказана теорема.

Теорема 2.6. Пусть выполняются условия (2.160), (2.170). Тогда

решение ( , )w x t системы уравнений (2.154), (2.155) и производные ( , ),u x t

( , ), ( , )w x t w x t устойчивы по отношению к возмущениям начальных

значений ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0),u x u x w x w x w x w x если функции

( , ), ( , )u x t w x t удовлетворяют краевым условиям (2.152).

Решение системы уравнений (2.154), (2.155) будем искать методом

Галеркина, подчинив искомые функции ( , ), ( , )w x t u x t краевым условиям

(2.152).

Согласно методу Галеркина решение системы уравнений (2.154),

(2.155) ищется в виде

1 1

( , ) ( )sin ( ), ( , ) ( )sin ( ), ,m m

n n n n n

n n

nw x t w t x a u x t u t x a

b a

где функции ( ), ( )n nw t u t определяются из условия ортогональности невязок

уравнений системы (2.154), (2.155) к функциям sin ( ), 1, , ,n x a n m а,

следовательно, являются решением системы 2m нелинейных

обыкновенных дифференциальных уравнений. Для нахождения начальных

81

данных (0), (0),n ntw w (0), (0)n ntu u воспользуемся ортогональностью невязок

уравнений (13) к функциям sin ( ), 1, , .n x a n m Таким образом,

получена задача Коши для системы 2m обыкновенных дифференциальных

уравнений, решение которой находилось с помощью пакета

математических программ Wolfram Mathematica 9.

Возьмем следующие параметры исследуемой механической системы: 83.8 10EF , 100M ; 810D ; 4( ) 2 10N t ; 840 ;

0 2x ; 0 0.5y ;

0.8a ; 1.2b ;0 4 ;

1 0.1 ; 2 0.2 ; 3m . Все величины приведены в

системе СИ.

Из уравнения 21 = 8 ( )K k K k находим модуль 51.4 10 .k

Выбирая функцию

( ) 0.27 sin 2.5 ( ) 0.49 cos 2.5 ( ) 0.79g x x a x a , находим

1 = 0.37.K Следовательно, условия (2.160) и первые два условия (2.170)

выполняются. Учитывая, что при условиях (2.152) наименьшее

собственное значение 2

1 6.25 , третье условие (2.170) примет вид 249964.87 98.93 .N V

Это неравенство задает область устойчивости на плоскости ( ; )V N ,

изображенную на рисунке 2.28 (серая область). Выберем точки 4

1(15;2 10 ),P 4

2(24;2 10 )P .

На рисунке 2.28 изображены эти точки. Точка 1P принадлежит

области устойчивости, а точка 2P не принадлежит этой области. Возьмем

начальные условия в виде1 2 3( ) ( ) ( ) 0,f x f x f x 4

( )( ) 0.02 sin .

x af x

b a

Рисунок 2.28 – Область устойчивости

82

На рисунках 2.29, 2.30 виден характер колебаний упругого элемента при

1x в точках 1P ,

2P . Численные расчеты на рисунке 2.29 подтверждают

устойчивый характер колебаний упругого элемента, а на рисунке 2.30

имеем неустойчивость колебаний упругого элемента.

Рисунок 2.29 – Деформации элементов ( , ), ( , )u x t w x t в точке 1x при 15V

Рисунок 2.30 – Деформации элементов ( , ), ( , )u x t w x t в точке 1x при 24V

83

3 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ВИБРАЦИОННОГО УСТРОЙСТВА,

РАСПОЛОЖЕННЫХ ВНУТРИ ПРОТОЧНОГО КАНАЛА

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО

3.1 Линейная модель упругого тела. Несжимаемая среда.

Рассматривается плоское течение в вибрационном устройстве,

моделируемом прямолинейным каналом 2{( , ) :G x y R 00 ,x x

0 }y H , в котором расположены упругие элементы. Скорость

невозмущенного однородного потока равна V и направлена вдоль оси Ox .

Упругими являются пластины 2

0( , ) : (0, ), [ , ] ,i i iJ x y R y y H x b c

1,i n (рис. 3.1). Обозначим 1

n

ii

J J

.

Рисунок 3.1 – Канал, внутри которого расположены деформируемые элементы

Введем обозначения: ( , ), ( , ), 1,i iu x t w x t i n – функции, определяющие

прогибы элементов в направлении осей Ox и Oy соответственно

(продольные и поперечные составляющие деформации элементов);

( , , )x y t – функция, определяющая потенциал скорости возмущенного

потока газа; a – скорость звука в невозмущенном потоке газа ( )a V ;

( , ), 1,iP x t i n – аэрогидродинамические воздействия на элементы.

Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

0,xx yy ( , ) \x y G J , 0,t (3.1)

что соответствует модели несжимаемой среды, линеаризованным

граничным условиям

0( , , ) ( , ) ( , ),y i ix y t w x t Vw x t ( , ), 1, ,i ix b c i n 0,t (3.2)

( , , ) 0,y x H t 0(0, ),x x 0,t (3.3)

( ,0, ) 0,y x t 0(0, ),x x 0t (3.4)

и условию отсутствия возмущений на входе и выходе из канала

(0, , ) 0,y t 0( , , ) 0,x y t (0, ),y H 0.t (3.5)

84

Аэродинамические воздействия на элементы выражаются через

потенциал скорости ( , , )x y t по формулам

0 0 0 0( , ) ( ( , , ) ( , , )) ( ( , , ) ( , , )),

( , ), 1, , 0,

i t t x x

i i

P x t x y t x y t V x y t x y t

x b c i n t

(3.6)

где 0 0

0 00 0

( , , ) lim ( , , ), ( , , ) lim ( , , ).t t x xy y y y

x y t x y t x y t x y t

Предположим, что концы упругих элементов закреплены либо жестко,

либо шарнирно, тогда при ix b и ix c выполняется одно из условий:

1) ( , ) ( , ) 0i iw x t w x t , 2) ( , ) ( , ) 0, 1, , 0i iw x t w x t i n t . (3.7)

Рассмотрим линейную модель упругого тела. Тогда уравнения малых

колебаний упругих элементов, моделируемых упругими пластинами, с

учетом силового воздействия потока ( , )iP x t на них имеют вид

2

1 0

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ), ( , ), 1, , 0.

i i i i i i i i i

i i i i i i i

D w x t M w x t N t w x t I w x t

w x t w x t P x t x b c i n t

(3.8)

Сжимающие или растягивающие элементы силы iN могут зависеть от

времени. Например, при изменении теплового воздействия на пластины с

течением времени ( )iN t имеют вид (2.9).

Получили связанную краевую задачу (3.1)–(3.8) для (n+1)-й

неизвестной функции – деформации упругих элементов ( , ), 1,iw x t i n и

потенциала скорости жидкости (газа) ( , , )x y t .

Зададим начальные условия:

1 2( ,0) = ( ), ( ,0) = ( ), ( , ), 1, ,i i i i i iw x f x w x f x x b c i n (3.9)

которые должны быть согласованы с краевыми условиями (3.7).

Зададим также начальное условие:

3( , ,0) = ( , ), ( , ) \ ,x y f x y x y G J (3.10)

которое должно быть согласовано с краевыми условиями (3.3), (3.4), (3.5).

Исследуем устойчивость нулевого решения ( , , ) 0,x y t ( , ) 0,iw x t

1,i n задачи (3.1)–(3.8) по отношению к возмущениям начальных данных

(3.9), (3.10). Рассмотрим функционал

2 2

0 0

1\

2 2 2 2

0

1

( ) 2 ( ( , , ) ( , , )) ( , )

1( ) ,

i

i

i

i

cn

x y i

iG J b

cn

i i i i i i i i

i b

t dxdy V x y t x y t w x t dx

M w D w w N t w dx

(3.11)

где 0

00

( , , ) lim ( , , ).y y

x y t x y t

Найдем производную от Φ по t

85

0

1\

0 0 0

( ) 2 2 ( ( , , )

( , , )) ( , ) ( ( , , ) ( , , )) ( , )

i

i

cn

x xt y yt t

iG J b

t i i

t dxdy V x y t

x y t w x t x y t x y t w x t dx

2

0

1

2 ( )( ) .

2

i

i

cni

i i i i i i i i i i i i i

i b

N tM w w D w w w N t w w w w dx

(3.12)

Для функций ( , ), 1,iw x t i n , удовлетворяющих уравнениям (3.6), (3.8),

равенство (3.12) примет вид

\

0 0

1

0 0 0

1

0 0 0 2

( ) 2

2 ( , , ) ( , , ) ( , )

2( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

(

i

i

i

i

x xt y yt

G J

cn

t t i

i b

cn

i i t

i b

t x x i i i i i

i

t dxdy

V x y t x y t w x t

x y t x y t w x t dx w x y t

x y t V x y t x y t D w I w

N

2

1 0 0) ( ) ( ) .2

ii i i i i i i i i i i i i i i

Nt w w w D w w t w N t w w w w dx

(3.13)

Произведем интегрирование с учетом условий (3.2)–(3.5). Применяя

формулу Грина и учитывая, что при бесциркуляционном обтекании

( , ) 0J

f x y dy

, получим

\ \ \ \

0 0

0 0 \ \

( , , ) ( , , ) (0, , ) (0, , ) ,

t xx t x xt x t x t x xt xx

G J G J G J G J G J

H H

t x t x xt x xt x

G J G J

dxdy dxdy dxdy dy dy dxdy

x y t x y t dy y t y t dy dxdy dxdy

0

0

\ \ \

\ 0

0 0

10

0 0

( ,0, ) ( ,0, )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

i

i

i

i

t yy t y yt y t yyG J G J G J G

x

t y yt y t y

J G J

x cn

t y t y

i b

c

t y

b

dxdy dxdy dxdy dx

dx dxdy x t x t dx

x H t x H t dx x y t x y t dx

x y t x y t dx

0

1 1\

( , , ) ( , )i

i

cn n

yt y t i

i iG J b

dxdy x y t w x t

86

0

1 \

0 0

1 \

( , ) ( , , ) ( , ) ( , )

( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ,

i

i

i

i

cn

i t i i yt y

i b G J

cn

t t i i yt y

i b G J

Vw x t dx x y t w x t Vw x t dx dxdy

x y t x y t w x t Vw x t dx dxdy

Следовательно, с учетом уравнения (3.1) получим

\ \

0 0

1

0 0

1

( , , ) ( , , ) ( , ) ( , )

( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) .

i

i

i

i

x xt y yt t xx yy

G J G J

cn

t t i i

i b

cn

t t i i

i b

dxdy dxdy

x y t x y t w x t Vw x t dx

x y t x y t w x t Vw x t dx

(3.14)

Произведем интегрирование с учетом условий (3.7):

2

0 0

0 0

, , ,

( , , ) ( , , ) ( , )

( , , ) ( , , ) ( , ) , 1, .

i i i i i i

i i i i i i

i

i

i

i

c c c c c c

i i i i i i i i i i i

b b b b b b

c

i

b

c

x x i

b

w w dx w w dx w w dx w dx w w dx w w dx

x y t x y t w x t dx

x y t x y t w x t dx i n

(3.15)

Подставляя (3.14), (3.15) в (3.13), получим

2 2 2

2 1

1

2 ( )( ) .

2

i

i

cni

i i i i i i

i b

N tt w I w w dx

Пусть выполняются условия

( ) 0iN t , 2 0,iβ 1 0,iβ 1,i n , (3.16)

тогда

Φ( ) 0t Φ( ) Φ(0).t (3.17)

Проведем оценки для функционала с учетом граничных условий (3.7).

Воспользуемся неравенствами Рэлея [171] и Коши-Буняковского:

2 2

1( , ) ( , ) , 1, ,i i

i i

c c

i i i

b b

w x t dx w x t dx i n (3.18)

2 2

1( , ) ( , ) , 1, ,i i

i i

c c

i i i

b b

w x t dx μ w x t dx i n (3.19)

87

2 2( , ) ( ) ( , ) , 1, ,i

i

c

i i i i

b

w x t c b w x t dx i n (3.20)

где 1iλ ,

1iμ – наименьшие собственные значения краевых задач для

уравнений , ,ψ λψ ψ μψ ( , ), 1,i ix b c i n с краевыми условиями

(3.7).

Оценим Φ(0) сверху, используя неравенства (3.18), (3.19) и

очевидное неравенство 2 22ab a b :

2 2

0 0 0

1\

2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0

1

(0) 2 ( ( , ,0)

1( , ,0)) (0)

i

i

i

i

cn

x y

iG J b

cn

i i i i i i i i i

i b

dxdy V x y

x y w dx M w D w w N w dx

2 2 2

0 0 0 0

1\

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

1 1

( ( , ,0) ( , ,0))

1(0)

i

i

i i

i i

cn

x y

iG J b

c cn n

i i i i i i i i i

i ib b

dxdy x y x y dx

V w dx M w D w w N w dx

(3.21)

2 2 2

0 0 0 0

1\

2

2 200 0

1 1 1

( ( , ,0) ( , ,0))

(0)1.

i

i

i

i

cn

x y

iG J b

cni i

i i i i

i i ib

dxdy x y x y dx

N VM w D w dx

Здесь введены обозначения 0 ( , ,0),x x x y 0 ( , ,0),y y x y 0 ( ,0),i iw w x

0 ( ,0),i iw w x0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0).i iw w x

Оценим Φ( )t снизу:

2 2

0 0

1\

2

1

1

( ) 2 ( ( , , ) ( , , )) ( , )

1( ) .

i

i

i

i

cn

x y i

iG J b

cn

i i i i

i b

t dxdy V x y t x y t w x t dx

D N t w dx

(3.22)

Для оценки двойного интеграла разобьем область \G J на две

области 2

1 {( , ) :G x y R 00 ,x x 00 }y y и 2

2 {( , ) :G x y R

00 ,x x 0 }y y H . Согласно неравенству Коши-Буняковского

1 1 2 2

2 22 2 2 2

2 2

0 0

, .x x

G G G G

dxdy dxdy dxdy dxdyx x

(3.23)

88

Складывая, получим 2

2 2

2

0\ \

.x

G J G J

dxdy dxdyx

(3.24)

Согласно неравенству Коши - Буняковского, имеем

0 0 0

2

2 21

y y y

y y

y y y

dy dy dy

.

Следовательно,

0 0

22 2

0 0 0

0

( , , ) ( , , ) ( ) ( ) .

y y

y y

y

x y t x y t y y dy y y dy

Интегрируя от 0 до 0y по переменной y , получим

0 02

220

0

0 0

( , , ) ( , , ) .2

y y

y

yx y t x y t dy dy

Интегрируя от 0 до 0x по переменной x , окончательно находим

1 1

22

02

0

2( , , ) ( , , ) .y

G G

dxdy x y t x y t dxdyy

(3.25)

Аналогично, применяя неравенство Коши-Буняковского, получим

0 0 0

2

2 21

y y y

y y

y y y

dy dy dy

.

Следовательно,

0 0

22 2

0 0 0( , , ) ( , , ) ( ) ( ) .

y H

y y

y y

x y t x y t y y dy y y dy

Интегрируя от 0y до H по переменной y , получим

0 0

22

0 2

0( , , ) ( , , ) .2

H H

y

y y

H yx y t x y t dy dy

Интегрируя от 0 до 0x по переменной x , окончательно находим

2 2

22

02

0

2( , , ) ( , , ) .y

G G

dxdy x y t x y t dxdyH y

(3.26)

Применяя (3.23), (3.25), (3.26) для (3.22), получим неравенство

1

2

22

2

02 2

0 0

22

2

02 2

0 0

2( ) ( , , ) ( , , )

2( , , ) ( , , )

( )

G

G

t x y t x y t dxdyx y

x y t x y t dxdyx H y

(3.27)

89

2

0 0 1

1 1

12 ( ( , , ) ( , , )) ( , ) ( ) .

i i

i i

c cn n

i i i i i

i ib b

V x y t x y t w x t dx D N t w dx

Введем обозначения

11,

( ) min ( )i i ii n

K t D N t

,

1

1 1 01

0, (0, ] [ , ] [ , ),( , )

( , ), ( , ).

n

i i ni

i i i

x b c b c xf x t

w x t x b c

тогда из (3.27) получим неравенство

1

2

0 0

22

2

02 2

0 0

22

2

02 2

0 0

2

0 0

0 0

2( ) ( , , ) ( , , )

2( , , ) ( , , )

( )

( )2 ( ( , , ) ( , , )) ( , ) ( , )

G

G

x x

t x y t x y t dxdyx y

x y t x y t dxdyx H y

K tV x y t x y t f x t dx f x t dx

(3.28)

1

22

2

0 02 2 2 2

0 0 0 0

2 4 2( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

G

x y t x y t x y t x y tx y y y

2

22 2

0 2 2

0 0 0 0

2

0 02 2

0 0

2

0

0 0

2 ( ) 2( , , ) ( , ) ( , ) ( , , )

( )

4 2( , , ) ( , , ) ( , , )

( ) ( )

2 (1 ) ( )(1 )( , , ) ( , ) ( , ) ,

G

V K tx y t f x t f x t dxdy x y t

y y x H y

x y t x y t x y tH y H y

V K tx y t f x t f x t dxdy

H y H y

где (0,1) – постоянный параметр.

Введем обозначения 2

(1) (1) (1) (1) (1)

11 22 12 23 332 2 2

0 0 0 0 0

2 2 ( ), , , .

V K td d d d d

x y y y y

(3.29)

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t 0( , , ),x y t

( , )f x t в (3.28). Соответствующая матрица формы имеет вид:

(1) (1)

11 12

(1) (1) (1)

12 22 23

(1) (1)

23 33

0

0

d d

d d d

d d

.

90

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(1) (1)

1 11 0,d 2

(1) (1) (1) (1)2

2 11 22 12 2 2

0 0

20d d d

x y

, (3.30)

(1) (1) (1) (1)2 (1)

3 33 2 23 11 0.d d d (3.31)

Согласно (3.29) условия (3.30) выполняются. Неравенство (3.31)

примет вид: 2 2 2

0 0

2 2 2

0 0

2( ) .

2

V x yK t

x y

(3.32)

Введем обозначения 2

(2) (2) (2)

11 22 122 2 2

0 0 0

(2) (2)

23 33 2

0 0

2 2, ,

( ) ( )

( )(1 ), .

( )

d d dx H y H y

V K td d

H y H y

(3.33)

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t 0( , , ),x y t

( , )f x t в (3.28). Соответствующая матрица имеет вид:

(2) (2)

11 12

(2) (2) (2)

12 22 23

(2) (2)

23 33

0

0

d d

d d d

d d

.

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(2) (2)

1 11 0,d 2

(2) (2) (2) (2)2

2 11 22 12 2 2

0 0

20

( )d d d

x H y

, (3.34)

(2) (2) (2) (2)2 (2)

3 33 2 23 11 0d d d . (3.35)

Условия (3.34) выполняются. Неравенство (3.35) примет вид: 2 2 2

0 0

2 2 2

0 0

( ) 2( ) .

2 (1 ) ( )

V x H yK t

x H y

(3.36)

Из неравенств (3.32), (3.36) найдем оптимальный параметр ,

обеспечивающий наиболее широкую область значений параметров,

входящих в условия (3.32), (3.36). Для этого приравняем их правые части 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

2 ( ) 2.

2 2 (1 ) ( )

V x y a V x H y

x y x H y

Тогда получим

91

2 2 2

0 0 0

2 2

0 0 0

2 ( ).

( ) 2

y x H y

H H y y x H

(3.37)

Таким образом, оба условия (3.32) и (3.36) примут вид

2 2 2

0 0 0

2

0 0

( ) 2( ) .

2 ( )

V H H y y xK t

y H y

(3.38)

Используя метод Лагранжа, с учетом неравенства (3.32) оценим

квадратичную форму в (3.28) (1)

230 (1)

2

( ( , , ), ( , , ), ( , )) ( , ).F x y t x y t f x t f x t

Из (3.28) с учетом (3.20) получим 0

1

(1) (1)2 23 3 0

(1) (1)

2 20

( ) ( , ) ( , )

x

G

yt f x t dxdy f x t dx

(1) (1)2 23 0 3 0

(1) (1)1 12 2

( , ) ( , ).( )

i

i

cn n

i i

i i i ib

y yw x t dx w x t

c b

(3.39)

Учитывая (3.17), (3.21), (3.39), приходим к неравенству

(1)

2 2 23 00 0 0(1)

1 12 \

2

2 2 200 0 0

1 1 1

( , ) ( ( , ,0)( )

(0)1( , ,0)) .

i

i

i

i

cn n

i x y

i ii i G J b

cni i

i i i i

i i ib

yw x t dxdy x y

c b

N Vx y dx M w D w dx

(3.40)

Таким образом, если выполняются условия (3.16), (3.38), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (3.28) можно сделать вывод:

функции ( , , )x y t , ( , ), 1,iw x t i n устойчивы по отношению к возмущениям

начальных данных. Из неравенства (3.17), согласно (3.11), следует, что

функции ( , , )x x y t , ( , , )y x y t , ( , ), ( , ), 1,i iw x t w x t i n устойчивы по

отношению к возмущениям начальных данных. Из оценки (3.40) следует,

что решение ( , ), 1,iw x t i n устойчиво по отношению к возмущениям

начальных данных 0 0 0 0 0 0, , ( , ,0), ( , ,0), , .x y i ix y x y w w Следовательно,

на основании проведенного исследования функционала доказана теорема.

Теорема 3.1 Пусть выполняются условия (3.16), (3.38). Тогда решение

( , ), 1,iw x t i n , ( , , )x y t задачи (3.1)–(3.8) и производные ( , , ),x x y t

( , , )y x y t , ( , )iw x t , ( , )iw x t , ( , ), 1,iw x t i n устойчивы по отношению к

возмущениям начальных данных 0 0 0, , ( , ,0),x y x y

0 0 0( , ,0), , .i ix y w w

92

3.2 Нелинейная модель упругого тела. Несжимаемая среда.

Рассмотрим нелинейную модель упругого тела. Тогда уравнения

малых колебаний упругих элементов, моделируемых упругими

пластинами, с учетом силового воздействия потока ( , )iP x t на них имеют

вид

2

2

2

2 1 0

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,

2

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i

E F u x t w x t M u x t Fu x t

E F w x t u x t w x t D w x t M w x t

N t w x t I w x t w x t w x t P x t

( , ), 1, , 0.i ix b c i n t

(3.41)

Предположим, что концы упругого элемента закреплены либо жестко,

либо шарнирно, тогда при ix b и ix c выполняется одно из условий:

1) ( , ) ( , ) ( , ) 0i i iw x t w x t u x t , 2) ( , ) ( , ) ( , ) 0, 1,i i iw x t w x t u x t i n . (3.42)

Зададим начальные условия (3.9), (3.10) и

4 5 6( , ,0) = ( , ), ( ,0) = ( ), ( ,0) = ( ), 1, ,t i i i ix y f x y u x f x u x f x i n (3.43)

которые должны быть согласованы с краевыми условиями (3.3)–(3.5),

(3.42).

Исследуем устойчивость нулевого решения ( , , ) 0,x y t ( , ) 0,iu x t

( , ) 0, 1,iw x t i n задачи (3.1)–(3.6), (3.41), (3.42) по отношению к

возмущениям начальных данных (3.9), (3.10), (3.43). Рассмотрим

функционал

2 2

0 0

1\

2

2 2 2

1

2 2 2

0

( ) 2 ( ( , , ) ( , , )) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( , ) ( , ) ( ) ( , ) .

i

i

i

i

cn

x y i

iG J b

cn

i i i i i i i

i b

i i i i i i

t dxdy V x y t x y t w x t dx

E F u x t w x t M u x t w x t

D w x t w x t N t w x t

(3.44)

Найдем производную отΦ по t

0

1\

0 0 0

( ) 2 2 ( ( , , )

( , , )) ( , ) ( ( , , ) ( , , )) ( , )

i

i

cn

x xt y yt t

iG J b

t i i

t dxdy V x y t

x y t w x t x y t x y t w x t dx

93

2

1

2

0

2 1

2

( )( ) .

2

i

i

cn

i i i i i i i i i i

i b

ii i i i i i i i i i i i i

E F u w u w w M u u

N tM w w D w w w N t w w w w dx

Для функций ( , ), ( , ), 1,i iu x t w x t i n , удовлетворяющих уравнениям (3.6),

(3.41), равенство примет вид

0

1\

0 0 0

2 2

1

( ) 2 2 ( ( , , )

( , , )) ( , ) ( ( , , ) ( , , )) ( , )

2 1 1( , ) ( , )

2 2

i

i

i

i

cn

x xt y yt t

iG J b

t i i

cn

i i i i i i i i i i i i

i b

t dxdy V x y t

x y t w x t x y t x y t w x t dx

E F u w u w w u E F u x t w x t

2 0 0

2

0 0

( , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

i i i i t t

x x i i i i i

Fu x t w x y t x y t

V x y t x y t E F w x t u x t w x t

(3.45)

2 1 0

2

0

( )

( )( ) .

2

i i i i i i i i i i i

ii i i i i i i i i i

D w I w N t w w w

N tD w w w N t w w w w dx

Произведем интегрирование с учетом условий (3.42):

2 2 2

2 2

1 1, ,

2 2

1 1.

2 2

i i i i

i i i i

i i

i i

c c c c

i i i i i i i i i

b b b b

c c

i i i i i i i i

b b

u u dx u dx u u w dx u u w dx

w w u w dx w w u w dx

(3.46)

Подставляя (3.14), (3.15), (3.46) в (3.45), получим

2 2 2 2

2 2 1

1

2 ( )( ) .

2

i

i

cni

i i i i i i i i i

i b

N tt w Fu I w w dx

Пусть выполняются условия (3.16), тогда справедливо неравенство

(3.17).

Оценим Φ(0) сверху, используя неравенства (3.18), (3.19) и

очевидное неравенство 2 22ab a b :

94

2 2

0 0 0 0 0

1\

2

2 2 2

0 0 0 0

1

(0) 2 ( ( , ,0) ( , ,0))

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

i

i

i

i

cn

x y i

iG J b

cn

i i i i i i i

i b

dxdy V x y x y w dx

E F u x t w x t M u x t w x t

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

\

2 2 2

0 0 0

1 1

2

2 2 2

0 0 0 0

1

2 2

0 0 0

(0)

( ( , ,0) ( , ,0))

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

i i

i i

i

i

i i i i i i x y

G J

c cn n

i

i ib b

cn

i i i i i i i

i b

i i i i

D w w N w dx dxdy

x y x y dx V w dx

E F u x t w x t M u x t w x t

D w w

2 2 2

0 0 0

\

(0)i i x y

G J

N w dx dxdy

(3.47)

2

2 2

0 0 0 0

1 1

2

2 2 200 0 0

1 1

1 1( ( , ,0) ( , ,0)) ( , ) ( , )

2

(0)( , ) ( , ) .

i i

i i

c cn n

i i i i

i ib b

i ii i i i i

i i

x y x y dx E F u x t w x t

N VM u x t w x t D w dx

Здесь введены обозначения 0 ( , ,0),x x x y 0 ( , ,0),y y x y 0 ( ,0),i iu u x

0 ( ,0),i iu u x 0 ( ,0),i iw w x0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0).i iw w x

ОцениваяΦ( )t снизу, получим оценку (3.22), поэтому производя

аналогичные преобразования, придем к неравенству (3.39). Учитывая

(3.17), (3.47), (3.39), приходим к неравенству

(1)2 2 23 0

0 0(1)1 2 \

2

2 2

0 0 0 0

1 1

2

2 2 200 0 0

1 1

( , )( )

1 1( ( , ,0) ( , ,0)) ( , ) ( , )

2

(0)( , ) ( , )

i i

i i

n

i x y

i i i G J

c cn n

i i i i

i ib b

i ii i i i i

i i

yw x t dxdy

c b

x y x y dx E F u x t w x t

N VM u x t w x t D w

.dx

(3.48)

Таким образом, если выполняются условия (3.16), (3.38), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (3.28) можно сделать вывод:

функции ( , , )x y t , ( , ), 1,iw x t i n устойчивы по отношению к возмущениям

начальных данных. Из неравенства Φ( ) Φ(0)t , согласно (3.44), следует,

что функции ( , , )x x y t , ( , , )y x y t , ( , ), ( , ), ( , ), 1,i i iu x t w x t w x t i n устойчивы

95

по отношению к возмущениям начальных данных. Из оценки (3.48)

следует, что решение ( , ), 1,iw x t i n устойчиво по отношению к

возмущениям начальных данных 0 0 0 0 0 0, , ( , ,0), ( , ,0), , ,x y i ix y x y u u

0 0 0, , .i i iw w w

Следовательно, на основании проведенного исследования

функционала доказана теорема.

Теорема 3.2 Пусть выполняются условия (3.16), (3.38). Тогда решение

( , ), 1,iw x t i n , ( , , )x y t задачи (3.1)–(3.6), (3.41), (3.42) и производные

( , , ),x x y t ( , , )y x y t , ( , )iu x t , ( , )iw x t , ( , )iw x t , ( , ), 1,iw x t i n устойчивы по

отношению к возмущениям начальных данных 0 0 0, , ( , ,0),x y x y

0 0 0 0 0 0( , ,0), , , , , .i i i i ix y u u w w w

3.3 Линейная модель упругого тела. Сжимаемая среда.

Рассмотрим модель сжимаемой среды, тогда потенциал

удовлетворяет уравнению 2 22 ( ),tt xt xx xx yyV V a ( , ) \x y G J , 0.t (3.49)

Исследуем устойчивость нулевого решения ( , , ) 0,x y t ( , ) 0,iw x t

1,i n задачи (3.49), (3.2)–(3.8) по отношению к возмущениям начальных

данных (3.9), (3.10). Рассмотрим функционал

2 2 2 2 2 2 2

0

1\

22 2 2 2

0 0

1

( ) 2 ( ( , , )

( , , )) ( , ) ( ) .

i

i

i

i

cn

t x y

iG J b

cn

i i i i i i i i i

i b

t a V a dxdy a V x y t

ax y t w x t dx M w D w w N t w dx

(3.50)

Найдем производную от Φ по t

2 2 2

\

2

0 0

1

0 0

22

0

( ) 2 ( )

2 ( ( , , ) ( , , )) ( , )

( ( , , ) ( , , )) ( , )

2 ( )( ) .

2

i

i

i

t tt x xt y yt

G J

cn

t t i

i b

i

c

ii i i i i i i i i i i i i

b

t a V a dxdy

a V x y t x y t w x t

x y t x y t w x t dx

a N tM w w D w w N t w w w w w dx

1

in

i

(3.51)

Для функций ( , , )x y t и ( , ), 1,iw x t i n , удовлетворяющих уравнениям

(3.49) и (3.6), (3.8), равенство (3.51) примет вид

96

2 2 2 2

\

( ) 2 2 ( )t xt xx xx yy x xt

G J

t V V a a V

2 2

0 0

1

2

0 0 0

1

0 0 0 2

1

2 ( , , ) ( , , ) ( , )

2( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

( )

i

i

i

i

cn

y yt t t i

i b

cn

i i t

i b

t x x i i i i i

i i i

a dxdy a V x y t x y t w x t

ax y t x y t w x t dx w x y t

x y t V x y t x y t D w I w

N t w w

2

0 0( ) ( ) .i i i i i i i i i i i i i iw D w w N t w N t w w w w dx

(3.52)

Произведем интегрирование с учетом условий (3.5). Применяя

формулу Грина, получим

2 2 2

\ \

2 2

0

0 0

2

( , , ) (0, , ) 0.

t xt t t txG J G J G J

H H

t t

dxdy dxdy dy dy

x y t dy y t dy

(3.53)

Подставляя (3.14), (3.15), (3.53) в (3.52), получим 2

2 2 2

2 1

1

2( ) ( ( ) ) .

i

i

cn

i i i i i i i

i b

at N t w I w w dx

Пусть выполняются условия (3.16), тогда справедливо неравенство

(3.17).

Оценим Φ(0) сверху, используя неравенства (3.18), (3.19) и

очевидное неравенство 2 22ab a b :

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

1\

22 2 2 2

0 0 0 0 0 0

1

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

1\

(0) 2 ( ( , ,0)

( , ,0)) ( ,0) (0)

( ( , ,0) ( , ,

i

i

i

i

i

i

cn

t x y

iG J b

cn

i i i i i i i i i

i b

cn

t x y

iG J b

a V a dxdy a V x y

ax y w x dx M w D w w N w dx

a V a dxdy a x y x y

2

22 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

1\

0))

(0)

( ( , ,0) ( , ,0))

i i

i i

i

i

c cn n

i i i i i i i i i

i ib b

cn

t x y

iG J b

dx

aa V w dx M w D w w N w dx

a V a dxdy a x y x y dx

97

222 200 0

1 1 1

(0).

i

i

cni i

i i i i

i i ib

N VaM w D w dx

(3.54)

Здесь введены обозначения 0 ( , ,0),t t x y 0 ( , ,0),x x x y 0 ( , ,0),y y x y

0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0),i iw w x0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0).i iw w x

Оценим Φ( )t снизу:

2 2 2 2 2 2 2

0

1\

22

0 1

1

( ) 2 ( ( , , )

( , , )) ( , ) ( ) .

i

i

i

i

cn

t x y

iG J b

cn

i i i i i

i b

t a V a dxdy a V x y t

ax y t w x t dx D N t w dx

(3.55)

Применяя (3.23), (3.25), (3.26) для (3.55), получим неравенство

1

2

2 22

2 2 2 2

02 2

0 0

2 22

2 2 2 2

02 2

0 0

2( ) ( ) ( , , ) ( , , )

2( ) ( , , ) ( , , )

( )

t

G

t

G

at a V x y t x y t dxdy

x y

aa V x y t x y t dxdy

x H y

(3.56)

2

2 2

0 0 1

1 1

2 ( ( , , ) ( , , )) ( , ) ( ) .i i

i i

c cn n

i i i i i

i ib b

aa V x y t x y t w x t dx D N t w dx

Введем обозначения

11,

( ) min ( )i i ii n

K t D N t

,

1

1 1 01

0, (0, ] [ , ] [ , ),( , )

( , ), ( , ).

n

i i ni

i i i

x b c b c xf x t

w x t x b c

тогда из (3.56) получим неравенство

1

2

0 0

2 22

2 2 2 2

02 2

0 0

2 22

2 2 2 2

02 2

0 0

22 2

0 0

0 0

2( ) ( ) ( , , ) ( , , )

2( ) ( , , ) ( , , )

( )

( )2 ( ( , , ) ( , , )) ( , ) ( , )

t

G

t

G

x x

at a V x y t x y t dxdy

x y

aa V x y t x y t dxdy

x H y

a K ta V x y t x y t f x t dx f x t dx

(3.57)

1

2 2 22 2 2 2

02 2 2

0 0 0

2 4( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )t

G

a ax y t a V x y t x y t x y t

x y y

98

2

2 2 22

2

0 02

0 0 0

2 22 2 2 2

2 2

0 0

2 22

0 02 2

0 0

2

0

0

2 2 ( )( , , ) ( , , ) ( , ) ( , )

2( , , ) ( ) ( , , )

( )

4 2( , , ) ( , , ) ( , , )

( ) ( )

2 (1 )( , ,

t

G

a a V a K tx y t x y t f x t f x t dxdy

y y y

ax y t a V x y t

x H y

a ax y t x y t x y t

H y H y

a Vx y t

H y

22

0

( )(1 )) ( , ) ( , ) ,

a K tf x t f x t dxdy

H y

где (0,1) – постоянный параметр.

Введем обозначения 2 2 2 2 2 2 2

(1) (1) (1) (1) (1)

11 22 12 23 332 2 2

0 0 0 0 0

( ) 2 2 ( ), , , .

a V a a a V a K td d d d d

x y y y y

(3.58)

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t 0( , , ),x y t

( , )f x t в (3.57). Соответствующая матрица формы имеет вид:

(1) (1)

11 12

(1) (1) (1)

12 22 23

(1) (1)

23 33

0

0

d d

d d d

d d

.

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(1) (1)

1 11 0,d 2 2 2 2

(1) (1) (1) (1)2

2 11 22 12 2 2

0 0

2( )0

a V ad d d

x y

, (3.59)

(1) (1) (1) (1)2 (1)

3 33 2 23 11 0.d d d (3.60)

Согласно (3.58) условия (3.59) выполняются. Неравенство (3.60)

примет вид: 2 2 2 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2

0 0

( ) 2( ) .

2( )

V x y a V aK t

a V x y

(3.61)

Введем обозначения 2 2 2 2 2

(2) (2) (2)

11 22 122 2 2

0 0 0

2 2(2) (2)

23 33 2

0 0

( ) 2 2, ,

( ) ( )

( )(1 ), .

( )

a V a ad d d

x H y H y

a V a K td d

H y H y

(3.62)

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t 0( , , ),x y t

( , )f x t в (3.57). Соответствующая матрица имеет вид:

99

(2) (2)

11 12

(2) (2) (2)

12 22 23

(2) (2)

23 33

0

0

d d

d d d

d d

.

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(2) (2)

1 11 0,d 2 2 2 2

(2) (2) (2) (2)2

2 11 22 12 2 2

0 0

2( )0

( )

a V ad d d

x H y

, (3.63)

(2) (2) (2) (2)2 (2)

3 33 2 23 11 0d d d . (3.64)

Условия (3.63) выполняются. Неравенство (3.64) примет вид: 2 2 2 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2

0 0

( ) ( ) 2( ) .

2( ) (1 ) ( )

V x H y a V aK t

a V x H y

(3.65)

Из неравенств (3.61), (3.65) найдем оптимальный параметр ,

обеспечивающий наиболее широкую область значений параметров,

входящих в условия (3.61), (3.65). Для этого приравняем их правые части 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

( ) 2 ( ) ( ) 2.

2( ) 2( ) (1 ) ( )

V x y a V a V x H y a V a

a V x y a V x H y

Тогда получим

2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2 2 2 2

0 0 0

( ) 2 ( ).

( ) ( ) 2

a V y a x H y

a V H H y y a x H

(3.66)

Таким образом, оба условия (3.61) и (3.65) примут вид

2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2 2

0 0

( ) ( ) 2( ) .

2( ) ( )

V H a V H y y a xK t

a V y H y

(3.67)

Используя метод Лагранжа, с учетом неравенства (3.61) оценим

квадратичную форму в (3.57) (1)

230 (1)

2

( ( , , ), ( , , ), ( , )) ( , ).F x y t x y t f x t f x t

Из (3.57) с учетом (3.20) получим 0

1

(1) (1)2 23 3 0

(1) (1)

2 20

(1) (1)2 23 0 3 0

(1) (1)1 12 2

( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ).( )

i

i

x

G

cn n

i i

i i i ib

yt f x t dxdy f x t dx

y yw x t dx w x t

c b

(3.68)

Учитывая (3.17), (3.54), (3.68), приходим к неравенству

(1)

2 2 2 2 2 2 23 00 0 0(1)

1 2 \

( , )( )

n

i t x y

i i i G J

yw x t a V a dxdy

c b

100

2 2

0 0

1

222 200 0

1 1 1

( ( , ,0) ( , ,0))

(0).

i

i

i

i

cn

i b

cni i

i i i i

i i ib

a x y x y dx

N VaM w D w dx

(3.69)

Таким образом, если выполняются условия (3.16), (3.67), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (3.56) можно сделать вывод:

функции ( , , )x y t , ( , , )t x y t , ( , ), 1,iw x t i n устойчивы по отношению к

возмущениям начальных данных. Из неравенства Φ( ) Φ(0)t , согласно

(3.50), следует, что функции ( , , )x x y t , ( , , )y x y t , ( , )iw x t , ( , ), 1,iw x t i n

устойчивы по отношению к возмущениям начальных данных. Из оценки

(3.69) следует, что решение ( , ), 1,iw x t i n устойчиво по отношению к

возмущениям начальных данных 0 0 0 0 0 0, , , ( , ,0), ( , ,0), ,t x y ix y x y w

0.iw Следовательно, на основании проведенного исследования

функционала доказана теорема.

Теорема 3.3 Пусть выполняются условия (3.16), (3.67). Тогда решение

( , ), 1,iw x t i n , ( , , )x y t задачи (3.49), (3.2)–(3.8) и производные ( , , )t x y t ,

( , , ),x x y t ( , , )y x y t , ( , )iw x t , ( , )iw x t , ( , ), 1,iw x t i n устойчивы по

отношению к возмущениям начальных данных 0 0 0 0, , , ( , ,0),t x y x y

0 0 0( , ,0), , .i ix y w w

3.4 Нелинейная модель упругого тела. Cжимаемая среда.

Исследуем устойчивость нулевого решения ( , , ) 0,x y t ( , ) 0,iu x t

( , ) 0, 1,iw x t i n задачи (3.49), (3.2)–(3.6), (3.41), (3.42) по отношению к

возмущениям начальных данных (3.9), (3.10), (3.43). Рассмотрим

функционал

2 2 2 2 2 2 2

0

1\

222

0

1

2 2 2 2 2

0

( ) 2 ( ( , , )

1( , , )) ( , ) ( , ) ( , )

2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) .

i

i

i

i

cn

t x y

iG J b

cn

i i i i i

i b

i i i i i i i i i

t a V a dxdy a V x y t

ax y t w x t dx E F u x t w x t

M u x t w x t D w x t w x t N t w x t

(3.70)

Найдем производную от Φ по t

101

2 2 2

\

2

0 0

1

0 0

22

1

( ) 2 ( )

2 ( ( , , ) ( , , )) ( , )

( ( , , ) ( , , )) ( , )

2 1

2

i

i

i

i

t tt x xt y yt

G J

cn

t t i

i b

i

cn

i i i i i i i i i i

i b

i i i

t a V a dxdy

a V x y t x y t w x t

x y t x y t w x t dx

aE F u w u w w M u u

M w w

2

0

( )( ) .

2

ii i i i i i i i i i

N tD w w w N t w w w w dx

(3.71)

Для функций ( , , )x y t и ( , ), ( , ), 1,i iu x t w x t i n , удовлетворяющих

уравнениям (3.49) и (3.6), (3.41), равенство (3.71) примет вид

2 2 2 2

\

( ) 2 2 ( )t xt xx xx yy x xt

G J

t V V a a V

2 2

0 0

1

0 0

22 2

1

2 ( , , ) ( , , ) ( , )

( , , ) ( , , ) ( , )

2 1 1( , ) ( , )

2 2

i

i

i

i

cn

y yt t t i

i b

i

cn

i i i i i i i i i i i i

i b

a dxdy a V x y t x y t w x t

x y t x y t w x t dx

aE F u w u w w u E F u x t w x t

2 0 0

2

0 0

2 1 0

2

( , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( )

( )( )

2

i i i i t t

x x i i i i i

i i i i i i i i i i i

ii i i i i i

Fu x t w x y t x y t

V x y t x y t E F w x t u x t w x t

D w I w N t w w w

N tD w w w N t w

0 .i i i iw w w dx

(3.72)

Подставляя (3.14), (3.15), (3.46), (3.53) в (3.72), получим 2

2 2 2 2

2 2 1

1

2 ( )( ) .

2

i

i

cni

i i i i i i i i i

i b

a N tt w Fu I w w dx

Пусть выполняются условия (3.16), тогда справедливо неравенство

(3.17).

102

Оценим Φ(0) сверху, используя неравенства (3.18), (3.19) и

очевидное неравенство 2 22ab a b :

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

1\

222

0 0 0 0

1

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 2 2

0

(0) 2 ( ( , ,0)

1( , ,0)) ( , ) ( , )

2

( , ) ( , ) (0)

i

i

i

i

cn

t x y

iG J b

cn

i i i i i

i b

i i i i i i i i i

t x

a V a dxdy a V x y

ax y w dx E F u x t w x t

M u x t w x t D w w N w dx

a V

2 2 2 2 2

0 0 0 0

1\

222 2 2 2

0 0 0

1 1

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

( ( , ,0) ( , ,0))

1( , ) ( , )

2

( , ) ( , ) (0)

i

i

i i

i i

cn

y

iG J b

c cn n

i i i i i

i ib b

i i i i i i i i i

a dxdy a x y x y dx

aa V w dx E F u x t w x t

M u x t w x t D w w N w dx

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

1\

( ( , ,0) ( , ,0))i

i

cn

t x y

iG J b

a V a dxdy a x y x y dx

222

0 0

1

2

2 2 200 0 0

1 1

1( , ) ( , )

2

(0)( , ) ( , ) .

i

i

cn

i i i i

i b

i ii i i i i

i i

aE F u x t w x t

N VM u x t w x t D w dx

(3.73)

Здесь введены обозначения 0 ( , ,0),t t x y 0 ( , ,0),x x x y 0 ( , ,0),y y x y

0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0),i iw w x0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0).i iw w x

Оценивая Φ( )t снизу, получим оценку (3.55), поэтому производя

аналогичные преобразования, придем к неравенству (3.68). Учитывая

(3.17), (3.68), (3.73), приходим к неравенству

(1)2 2 2 2 2 2 23 0

0 0 0(1)1 2 \

222 2 2

0 0 0 0

1 1

2

2 2

0 0

1

( , )( )

1( ( , ,0) ( , ,0)) ( , ) ( , )

2

(0)( , ) ( , )

i i

i i

n

i t x y

i i i G J

c cn n

i i i i

i ib b

i

i i i i

i

yw x t a V a dxdy

c b

aa x y x y dx E F u x t w x t

N VM u x t w x t D

200

1

.ii

i

w dx

(3.74)

103

Таким образом, если выполняются условия (3.16), (3.67), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (3.56) можно сделать вывод:

функции ( , , )x y t , ( , , )t x y t , ( , ), 1,iw x t i n устойчивы по отношению к

возмущениям начальных данных. Из неравенства Φ( ) Φ(0)t , согласно

(3.70), следует, что функции ( , , )x x y t , ( , , )y x y t , ( , ), ( , ),i iu x t w x t

( , ), 1,iw x t i n устойчивы по отношению к возмущениям начальных

данных. Из оценки (3.74) следует, что решение ( , ), 1,iw x t i n устойчиво

по отношению к возмущениям начальных данных

0 0 0 0 0 0 0, , , ( , ,0), ( , ,0), , ,t x y i ix y x y u u 0 0 0, , .i i iw w w Следовательно, на

основании проведенного исследования функционала доказана теорема.

Теорема 3.4 Пусть выполняются условия (3.16), (3.67). Тогда решение

( , ), 1,iw x t i n , ( , , )x y t задачи (3.49), (3.2)–(3.6), (3.41), (3.42) и

производные ( , , )t x y t , ( , , ),x x y t ( , , )y x y t , ( , )iu x t , ( , )iw x t , ( , )iw x t ,

( , ), 1,iw x t i n устойчивы по отношению к возмущениям начальных данных

0 0 0 0 0 0 0, , , ( , ,0), ( , ,0), , ,t x y i ix y x y u u 0 0 0, , .i i iw w w

104

4 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ВИБРАЦИОННОГО УСТРОЙСТВА,

РАСПОЛОЖЕННЫХ ВНУТРИ ПРОТОЧНОГО КАНАЛА

ПАРАЛЛЕЛЬНО

4.1 Линейная модель упругого тела. Несжимаемая среда.

Рассматривается плоское течение в вибрационном устройстве,

моделируемом прямолинейным каналом 2

0{( , ) :0 ,G x y R x x

00 }y y

с горизонтальными недеформируемыми стенками. Внутри

канала имеются деформируемые упругие элементы. Скорость

невозмущенного однородного потока равна V и направлена вдоль оси Ox .

Рассматривается дозвуковой режим протекания a V , где a – скорость

звука в невозмущенном потоке жидкости. Деформируемыми являются

пластины при 1y y и

2y y при [ , ]x b c (рис. 4.1). Введем обозначение

2

0( , ) : (0, ),i iJ x y R y y y [ , ] , 1,2x b c i , 1 2J J J .

Рисунок 4.1 – Канал, внутри которого содержатся деформируемые элементы

Введем обозначения: ( , ), ( , ), 1,2,i iu x t w x t i – функции, определяющие

деформации элементов в направлении осей Ox и Oy соответственно

(продольные и поперечные составляющие деформации элементов);

( , , )x y t – функция, определяющая потенциал скорости возмущенного

потока газа; ( , ), 1,iP x t i n – аэрогидродинамические воздействия на

элементы.

Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

0,xx yy ( , ) \x y G J , 0,t (4.1)

что соответствует модели несжимаемой среды, линеаризованным

граничным условиям

( , , ) ( , ) ( , ), 1,2, ( , ), 0y i i ix y t w x t Vw x t i x b c t (4.2)

0( , , ) 0,y x y t 0(0, ),x x 0,t (4.3)

( ,0, ) 0,y x t 0(0, ),x x 0,t (4.4)

и условию отсутствия возмущений на входе и выходе из канала

105

(0, , ) 0,y t 0( , , ) 0,x y t 0(0, ),y y 0.t (4.5)

Аэродинамические воздействия на элементы выражаются через

потенциал скорости ( , , )x y t по формулам

( , ) ( ( , , ) ( , , )) ( ( , , ) ( , , )),

( , ), 1,2, 0,

i t i t i x i x iP x t x y t x y t V x y t x y t

x b c i t

(4.6)

где 0 0

( , , ) lim ( , , ), ( , , ) lim ( , , ).i i

t i t x i xy y y y

x y t x y t x y t x y t

Предположим, что концы упругих элементов закреплены либо жестко,

либо шарнирно, тогда при x b и x c выполняется одно из условий:

1) ( , ) ( , ) 0i iw x t w x t , 2) ( , ) ( , ) 0, 1,2, 0i iw x t w x t i t . (4.7)

Рассмотрим линейную модель упругого тела. Тогда уравнения малых

колебаний упругих элементов, моделируемых упругими пластинами, с

учетом силового воздействия потока ( , )iP x t на них имеют вид

2

1 0

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ), ( , ), 1,2, 0.

i i i i i i i i i

i i i i i

D w x t M w x t N t w x t I w x t

w x t w x t P x t x b c i t

(4.8)

Сжимающие или растягивающие элементы силыiN могут зависеть от

времени. Например, при изменении теплового воздействия на пластины с

течением времени ( )iN t имеют вид (2.9).

Получили связанную краевую задачу (4.1)–(4.8) для трех неизвестных

функций – деформации упругих элементов ( , ), 1,2iw x t i и потенциала

скорости жидкости (газа) ( , , )x y t .

Зададим начальные условия:

1 2( ,0) = ( ), ( ,0) = ( ), ( , ), 1,2,i i i iw x f x w x f x x b c i (4.9)

которые должны быть согласованы с краевыми условиями (4.7).

Зададим также начальное условие:

3( , ,0) = ( , ), ( , ) \ ,x y f x y x y G J (4.10)

которое должно быть согласовано с краевыми условиями (4.3), (4.4), (4.5).

Исследуем устойчивость нулевого решения ( , , ) 0,x y t ( , ) 0,iw x t

1,2i задачи (4.1)–(4.8) по отношению к возмущениям начальных данных

(4.9), (4.10). Рассмотрим функционал

22 2

1\

22 2 2 2

0

1

( ) 2 ( ( , , ) ( , , )) ( , )

1( ) ,

c

x y i i i

iG J b

c

i i i i i i i i

i b

t dxdy V x y t x y t w x t dx

M w D w w N t w dx

(4.11)

где 0

( , , ) lim ( , , ).i

iy y

x y t x y t

Найдем производную от Φ по t

106

2

1\

( ) 2 2 ( ( , , )

( , , )) ( , ) ( ( , , ) ( , , )) ( , )

c

x xt y yt t i

iG J b

t i i i i i

t dxdy V x y t

x y t w x t x y t x y t w x t dx

22

0

1

2 ( )( ) .

2

c

ii i i i i i i i i i i i i

i b

N tM w w D w w w N t w w w w dx

(4.12)

Для функций ( , ), 1,2iw x t i , удовлетворяющих уравнениям (4.6), (4.8),

равенство (4.12) примет вид

\

2

1

2

1

2

( ) 2

2 ( , , ) ( , , ) ( , )

2( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

( )

x xt y yt

G J

c

t i t i i

i b

c

i i i i t i

i b

t i x i x i i i i i i

i

t dxdy

V x y t x y t w x t

x y t x y t w x t dx w x y t

x y t V x y t x y t D w I w

N t

2

1 0 0( ) ( ) .2

ii i i i i i i i i i i i i i i

Nw w w D w w t w N t w w w w dx

(4.13)

Произведем интегрирование с учетом условий (4.2)–(4.5). Применяя

формулу Грина и учитывая, что при бесциркуляционном обтекании

( , ) 0J

f x y dy

, получим

0 0

\ \ \ \

0 0

0 0 \ \

( , , ) ( , , ) (0, , ) (0, , ) ,

t xx t x xt x t x t x xt xx

G J G J G J G J G J

y y

t x t x xt x xt x

G J G J

dxdy dxdy dxdy dy dy dxdy

x y t x y t dy y t y t dy dxdy dxdy

0

0

\ \ \

\ 0

2

0 0

10

( ,0, ) ( ,0, )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

t yy t y yt y t yyG J G J G J G

x

t y yt y t y

J G J

x c

t y t i y i

i b

c

t i y i

i b

dxdy dxdy dxdy dx

dx dxdy x t x t dx

x y t x y t dx x y t x y t dx

x y t x y t dx

2 2

1 1\

( , , ) ( , )

c

yt y t i i

iG J b

dxdy x y t w x t

107

2

1 \

2

1 \

( , ) ( , , ) ( , ) ( , )

( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) .

c

i t i i i yt y

i b G J

c

t i t i i i yt y

i b G J

Vw x t dx x y t w x t Vw x t dx dxdy

x y t x y t w x t Vw x t dx dxdy

Следовательно, с учетом уравнения (4.1) получим

\ \

2

1

2

1

( , , ) ( , , ) ( , ) ( , )

( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) .

x xt y yt t xx yy

G J G J

c

t i t i i i

i b

c

t i t i i i

i b

dxdy dxdy

x y t x y t w x t Vw x t dx

x y t x y t w x t Vw x t dx

(4.14)

Произведем интегрирование с учетом условий (4.7):

2, , ,

( , , ) ( , , ) ( , )

( , , ) ( , , ) ( , ) , 1,2.

c c c c c c

i i i i i i i i i i i

b b b b b b

c

i i i

b

c

x i x i i

b

w w dx w w dx w w dx w dx w w dx w w dx

x y t x y t w x t dx

x y t x y t w x t dx i

(4.15)

Подставляя (4.14), (4.15) в (4.13), получим 2

2 2 2

2 1

1

2 ( )( ) .

2

c

ii i i i i i

i b

N tt w I w w dx

Пусть выполняются условия

( ) 0iN t , 2 0,iβ 1 0,iβ 1,i n , (4.16)

тогда

Φ( ) 0t Φ( ) Φ(0).t (4.17)

Проведем оценки для функционала с учетом граничных условий (4.7).

Воспользуемся неравенствами Рэлея [171] и Коши-Буняковского:

2 2

1( , ) ( , ) , 1,2,

c c

i i i

b b

w x t dx w x t dx i (4.18)

2 2

1( , ) ( , ) , 1,2,

c c

i i i

b b

w x t dx μ w x t dx i (4.19)

2 2( , ) ( ) ( , ) , 1,2,

c

i i

b

w x t c b w x t dx i (4.20)

108

где 1iλ ,

1iμ – наименьшие собственные значения краевых задач для

уравнений , ,ψ λψ ψ μψ ( , ), 1,2x b c i с краевыми условиями

(4.7).

Оценим Φ(0) сверху, используя неравенства (4.18), (4.19) и

очевидное неравенство 2 22ab a b :

22 2

0 0

1\

22 2 2 2

0 0 0 0 0 0

1

(0) 2 ( ( , ,0)

1( , ,0)) (0)

c

x y i

iG J b

c

i i i i i i i i i i

i b

dxdy V x y

x y w dx M w D w w N w dx

22 2 2

0 0

1\

2 22 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

1 1

( ( , ,0) ( , ,0))

1(0)

c

x y i i

iG J b

c c

i i i i i i i i i

i ib b

dxdy x y x y dx

V w dx M w D w w N w dx

(4.21)

2

2 2 2

0 0

1\

222 200 0

1 1 1

( ( , ,0) ( , ,0))

(0)1.

c

x y i i

iG J b

c

i ii i i i

i i ib

dxdy x y x y dx

N VM w D w dx

Здесь введены обозначения 0 ( , ,0),x x x y 0 ( , ,0),y y x y 0 ( ,0),i iw w x

0 ( ,0),i iw w x0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0).i iw w x

Оценим Φ( )t снизу:

22 2

1\

22

1

1

( ) 2 ( ( , , ) ( , , )) ( , )

1( ) .

c

x y i i i

iG J b

c

i i i i

i b

t dxdy V x y t x y t w x t dx

D N t w dx

(4.22)

Для оценки двойного интеграла разобьем область \G J на три области 2

1 {( , ) :G x y R 00 ,x x 10 }y y , 2

2 {( , ) :G x y R 00 ,x x 1 2}y y y , 2

3 {( , ) :G x y R 00 ,x x 2 0}y y y . Согласно неравенству Коши-

Буняковского

1 1 2 2

3 3

2 22 2 2 2

2 2

0 0

22 2

2

0

, ,

.

x x

G G G G

x

G G

dxdy dxdy dxdy dxdyx x

dxdy dxdyx

(4.23)

Согласно неравенству Коши - Буняковского имеем

109

1 1 1

2

2 21

y y y

y y

y y y

dy dy dy

, где

10 y y .

Следовательно,

1 1

22 2

1 1 1

0

( , , ) ( , , ) ( ) ( ) .

y y

y y

y

x y t x y t y y dy y y dy

Интегрируя от 0 до 1y по переменной y , получим

1 12

221

1

0 0

( , , ) ( , , ) .2

y y

y

yx y t x y t dy dy

Интегрируя от 0 до 0x по переменной x , окончательно находим

1 1

22

12

1

2( , , ) ( , , ) .y

G G

dxdy x y t x y t dxdyy

(4.24)

Согласно неравенству Коши - Буняковского также имеем

1 1 1

2

2 21

y y y

y y

y y y

dy dy dy

, где

1 2y y y .

Следовательно,

2

1 1

22 2

1 1 1( , , ) ( , , ) ( ) ( ) .

yy

y y

y y

x y t x y t y y dy y y dy

Интегрируя от 1y до

2y по переменной y , получим

2 2

1 1

22

22 1

1( , , ) ( , , ) .2

y y

y

y y

y yx y t x y t dy dy

Интегрируя от 0 до 0x по переменной x , окончательно находим

2 2

22

12

2 1

2( , , ) ( , , ) .y

G G

dxdy x y t x y t dxdyy y

(4.25)

Согласно неравенству Коши - Буняковского имеем

2 2 2

2

2 21

y y y

y y

y y y

dy dy dy

, где

1 2y y y .

Следовательно,

2 2

1

22 2

2 2 2( , , ) ( , , ) ( ) ( ) .

y y

y y

y y

x y t x y t y y dy y y dy

Интегрируя от 1y до

2y по переменной y , получим

2 2

1 1

22

22 1

2( , , ) ( , , ) .2

y y

y

y y

y yx y t x y t dy dy

110

Интегрируя от 0 до 0x по переменной x , окончательно находим

2 2

22

22

2 1

2( , , ) ( , , ) .y

G G

dxdy x y t x y t dxdyy y

(4.26)

Согласно (4.25), (4.26) получим

2 2

22 1

12

2 1

2 ( )( , , ) ( , , )y

G G

tdxdy x y t x y t dxdy

y y

2

21

22

2 1

2 1 ( )( , , ) ( , , ) ,

G

tx y t x y t dxdy

y y

(4.27)

где 1( ) (0,1)t – положительный параметр.

Согласно неравенству Коши - Буняковского имеем

2 2 2

2

2 21

y y y

y y

y y y

dy dy dy

, где

2 0y y y .

Следовательно,

0

2 2

22 2

2 2 2( , , ) ( , , ) ( ) ( ) .

yy

y y

y y

x y t x y t y y dy y y dy

Интегрируя от 2y до

0y по переменной y , получим

0 0

2 2

22

0 2 2

2( , , ) ( , , ) .2

y y

y

y y

y yx y t x y t dy dy

Интегрируя от 0 до 0x по переменной x , окончательно находим

3 3

22

22

0 2

2( , , ) ( , , ) .y

G G

dxdy x y t x y t dxdyy y

(4.28)

Применяя (4.23), (4.24), (4.27), (4.28) для (4.22), получим неравенство

1

2

2

22

2

12 2

0 1

22

2

1 122

0 2 1

22

2

1 222

0 2 1

2( ) ( , , ) ( , , )

2( , , ) ( , , )

21 ( , , ) ( , , )

G

G

G

t x y t x y t dxdyx y

x y t x y t dxdyx y y

x y t x y t dxdyx y y

3

22

2

22 2

0 0 2

2 22

1

1 1

2( , , ) ( , , )

( )

12 ( ( , , ) ( , , )) ( , ) ( ) .

G

c c

i i i i i i i

i ib b

x y t x y t dxdyx y y

V x y t x y t w x t dx D N t w dx

(4.29)

111

Введем обозначения

1( ) ( )i i i iK t D N t , 00, (0, ] [ , ),

( , )( , ), ( , ),

i

i

x b c xf x t

w x t x b c

тогда

2 2

2

1

1 1

12 ( ( , , ) ( , , )) ( , ) ( )

c c

i i i i i i i

i ib b

V x y t x y t w x t dx D N t w dx

0 0 0

0 0 0

01

1

2

1 1 1 1 1 1

0 0 0

2

2 2 2 2 2 2

0 0 0

1 1

1 2 10 0

12 ( , , ) ( , ) 2 ( , , ) ( , ) ( ) ( , )

12 ( , , )) ( , ) 2 ( , , ) ( , ) ( ) ( , )

2 2( , , ) ( , )

x x x

x x x

xy y

y

V x y t f x t dx V x y t f x t dx K t f x t dx

V x y t f x t dx V x y t f x t dx K t f x t dx

V Vdy x y t f x t dx dy

y y y

02

0 01 2

1

1 1

0

2 22 21 1 1 1

1 2 10 0 0

( , , ) ( , )

( ) 1 ( )( ) ( , ) ( ) ( , )

x

x xy y

y

x y t f x t dx

t tdy K t f x t dx dy K t f x t dx

y y y

0 0 02

1 2

0 0 02

1 2

2 2 2 2

2 1 0 20 0

2 23 32 2 2 2

2 1 0 20 0

2 2( , , )) ( , ) ( , , ) ( , )

( ) (1 ( ))( ) ( , ) ( ) ( , )

( ) ( )

x y xy

y y

x y xy

y y

V Vdy x y t f x t dx dy x y t f x t dx

y y y y

t tdy K t f x t dx dy K t f x t dx

y y y y

(4.30)

1 2

1 2

1 1 1 1

1 2 1

2 22 21 1 1 1

1 2 1

2 2( , , ) ( , ) ( , , ) ( , )

( ) 1 ( )( ) ( , ) ( ) ( , )

G G

G G

V Vx y t f x t dxdy x y t f x t dxdy

y y y

t tK t f x t dxdy K t f x t dxdy

y y y

2 3

2 3

2 2 2 2

2 1 0 2

2 23 32 2 2 2

2 1 0 2

2 2( , , )) ( , ) ( , , ) ( , )

( ) 1 ( )( ) ( , ) ( ) ( , ) ,

( ) ( )

G G

G G

V Vx y t f x t dxdy x y t f x t dxdy

y y y y

t tK t f x t dxdy K t f x t dxdy

y y y y

где 2 3( ) (0,1), ( ) (0,1)t t – положительные параметры.

Согласно (4.30) из (4.29) получим неравенство

1

2

22

2

12 2

0 1

22 22

1 1 1 1 1 2

1 1 0

2( ) ( , , ) ( , , )

2 ( )( , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

G

G

t x y t x y tx y

V tx y t f x t K t f x t dxdy t

y y x

112

2

1 1 12

1 2 12 1

2 2( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , )

( )( )

Vx y t x y t x y t f x t

t y yy y

2

22 22

1 1 1 2

2 1 1 0

2

2 2 22

1 2 12 1

1 ( )( ) ( , ) 1 ( )

( )

2 2( , , ) ( , , ) ( , , )) ( , )

1 ( ) ( )

G

tK t f x t dxdy t

y y t x

Vx y t x y t x y t f x t

t y yy y

(4.31)

3

22 23

2 2 2 2

2 1 1 0 0 2

223

2 2 2 2 2

0 2 0 2

( ) 2( ) ( , )

( ) 1 ( ) ( )

2 1 ( )( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( ) ( , ) .

( )

G

tK t f x t dxdy

y y t x y y

V tx y t x y t x y t f x t K t f x t dxdy

y y y y

Введем обозначения 2

(1) (1) (1) (1) (1) 1 211 22 12 23 332 2 2

0 1 1 1 1

2 2 ( ) ( ), , , ( ) .

V K t td d d d d t

x y y y y

(4.32)

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t 1( , , ),x y t

1( , )f x t в (4.31). Соответствующая матрица формы имеет вид:

(1) (1)

11 12

(1) (1) (1)

12 22 23

(1) (1)

23 33

0

0 ( )

d d

d d d

d d t

.

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(1) (1)

1 11 0,d 2

(1) (1) (1) (1)2

2 11 22 12 2 2

0 1

20d d d

x y

, (4.33)

(1) (1) (1) (1)2 (1)

3 33 2 23 11( ) ( ) 0.t d t d d (4.34)

Согласно (4.32) условия (4.33) выполняются. Неравенство (4.34) примет

вид: 2 2 2

0 11 2 2 2

2 0 1

2( ) .

2 ( )

V x yK t

t x y

(4.35)

Введем обозначения

2(2) (2) (2)

11 22 122 22

0 2 1 2 1

(2) (2) 1 223 33

1 2 1 2 1 1

2 2, ,

( )(1 ( )), ( ) .

( )( ) ( )

d d dx y y y y

V K t td d t

t y y y y t

(4.36)

113

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t

1( , , ),x y t

1( , )f x t в (4.31). Соответствующая матрица формы имеет вид:

(2) (2)

11 12

(2) (2) (2)

12 22 23

(2) (2)

23 33

0

0 ( )

d d

d d d

d d t

.

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(2) (2)

1 11 0,d

2(2) (2) (2) (2)2

2 11 22 12 22

0 2 1

20d d d

x y y

, (4.37)

(2) (2) (2) (2)2 (2)

3 33 2 23 11( ) ( ) 0.t d t d d (4.38)

Согласно (4.36) условия (4.37) выполняются. Неравенство (4.38) примет

вид:

2 2 20 2 1

1 22 2

2 1 0 2 1

2( ) .

2 (1 ( )) ( )

V x y yK t

t t x y y

(4.39)

Из неравенств (4.35), (4.39) найдем оптимальную функцию 2( )t ,

обеспечивающую наиболее широкую область значений параметров,

входящих в условия (4.35), (4.39). Для этого приравняем их правые части

2 22 2 2 20 2 10 1

22 2 2 2 2

2 0 1 2 1 0 2 1

2 2.

2 ( ) 2 (1 ( )) ( )

V x y yV x y

t x y t t x y y

Тогда получим

2 2 2

1 2 1 1 0

2 22 2 2 2 2

1 2 1 0 1 2 1 1 0

( ) 2( ) .

2 ( ) 2

t y y y xt

y y y x t y y y x

(4.40)

Подставляя (4.40) в (4.35), (4.39), получим, что оба эти условия

примут вид:

22 2 2 2 2 2 2

2 1 0 1 0

1 2 2

1 2 1 1

2 2( ) .

2 ( ) 2

V y y x V y xK t

t y y y

(4.41)

Введем обозначения

2(3) (3) (3)

11 22 122 22

0 2 1 2 1

(3) (3) 2 323 33

1 2 1 2 1 1

2 2, ,

( ) ( ), ( ) .

1 ( ) ( ) 1 ( )

d d dx y y y y

V K t td d t

t y y y y t

(4.42)

114

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t

2( , , ),x y t

2( , )f x t в (4.31). Соответствующая матрица формы имеет вид:

(3) (3)

11 12

(3) (3) (3)

12 22 23

(3) (3)

23 33

0

0 ( )

d d

d d d

d d t

.

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(3) (3)

1 11 0,d

2(3) (3) (3) (3)2

2 11 22 12 22

0 2 1

20d d d

x y y

, (4.43)

(3) (3) (3) (3)2 (3)

3 33 2 23 11( ) ( ) 0.t d t d d (4.44)

Согласно (4.42) условия (4.43) выполняются. Неравенство (4.44) примет

вид:

2 2 20 2 1

2 22 2

1 3 0 2 1

2( ) .

2 (1 ( )) ( )

V x y yK t

t t x y y

(4.45)

Введем обозначения

2(4) (4) (4)

11 22 122 2 2

0 0 2 0 2

(4) (4) 2 323 33

0 2 2 1

2 2, ,

( ) ( )

( )(1 ( )), ( ) .

d d dx y y y y

V K t td d t

y y y y

(4.46)

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t

2( , , ),x y t

2( , )f x t в (4.31). Соответствующая матрица формы имеет вид:

(4) (4)

11 12

(4) (4) (4)

12 22 23

(4) (4)

23 33

0

0 ( )

d d

d d d

d d t

.

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(4) (4)

1 11 0,d 2

(4) (4) (4) (4)2

2 11 22 12 2 2

0 0 2

20

( )d d d

x y y

, (4.47)

(4) (4) (4) (4)2 (4)

3 33 2 23 11( ) ( ) 0.t d t d d (4.48)

Согласно (4.46) условия (4.47) выполняются. Неравенство (4.48) примет

вид: 2 2 2

0 0 22 2 2 2

3 0 0 2

( ) 2( ) .

2 (1 ( )) ( )

V x y yK t

t x y y

(4.49)

115

Из неравенств (4.42), (4.49) найдем оптимальную функцию 3( )t ,

обеспечивающую наиболее широкую область значений параметров,

входящих в условия (4.45), (4.49). Для этого приравняем их правые части

2 2 2 2 2 20 2 1 0 0 2

22 2 2 2 2

1 3 0 3 0 0 22 1

2 ( ) 2.

2 (1 ( )) ( ) 2 (1 ( )) ( )

V x y y V x y y

t t x t x y yy y

Тогда получим

3

22 2

0 2 2 1 0

22 2 2 2 2

1 2 1 0 2 0 0 2 2 1 0

( )

( ) 2.

(1 ( )) ( ) 2 ( ) 2

t

y y y y x

t y y y y x y y y y x

(4.50)

Подставляя (4.50) в (4.45) и (4.49), получим, что оба эти условия

примут вид:

22 2 22 2 2 22 1 00 2 0

2 2 2

0 2 1 2 1

2( ) 2( ) .

2( ) 2(1 ( ))

V y y xV y y xK t

y y t y y

(4.51)

Из неравенств (4.41), (4.51) исключим функцию 1( )t :

22 2 2

1 2 1 0

1 2 2 2 2 2

2 1 1 1 1 0

2( ) ,

2 ( ) 2

yV y y xt

y y K t y V y x

22 2 2

0 2 2 1 0

1 2 2 2 2 2

2 1 2 0 2 0 2 0

( ) 2( ) 1 .

2 ( )( ) ( ) 2

y y V y y xt

y y K t y y V y y x

Следовательно, окончательно получим условия устойчивости

22 2 2

1 2 1 0

2 2 2 2 2

2 1 1 1 1 0

2(0,1);

2 ( ) 2

yV y y x

y y K t y V y x

(4.52)

22 2 2

0 2 2 1 0

2 2 2 2 2

2 1 2 0 2 0 2 0

( ) 2(0,1);

2 ( )( ) ( ) 2

y y V y y x

y y K t y y V y y x

(4.53)

1

2 2 2 2 2

1 1 1 0

0 2

2 2 2 2 2

2 0 2 0 2 0

2 1

22 2 2

2 1 0

2 ( ) 2

( )

2 ( )( ) ( ) 2

.2

y

K t y V y x

y y

K t y y V y y x

y y

V y y x

(4.54)

116

Так как при условиях (4.52)–(4.54) все квадратичные формы в (4.31)

положительно определены, то из (4.31) окончательно получим оценку

Φ( ) 0t .

Используя метод Лагранжа, с учетом неравенства (4.34) оценим

квадратичную форму относительно ( , , ),x y t 1( , , ),x y t

1( , )f x t в (4.31) (1)

231 1 1(1)

2

( ( , , ), ( , , ), ( , )) ( , ).F x y t x y t f x t f x t

Из (4.31) с учетом (4.20) получим 0

1

(1) (1)2 23 3 1

1 1(1) (1)

2 20

( ) ( , ) ( , )

x

G

yt f x t dxdy f x t dx

(1) (1)2 23 1 3 1

1 1(1) (1)

2 2

( , ) ( , ).( )

c

b

y yw x t dx w x t

c b

(4.55)

Учитывая (4.17), (4.21), (4.55), окончательно приходим к неравенству

(1) 2

2 2 23 11 0 0(1)

12 \

222 2 20

0 0

1 1 1

( , ) ( ( , ,0)( )

(0)1( , ,0)) .

c

x y i

iG J b

c

i ii i i i i

i i ib

yw x t dxdy x y

c b

N Vx y dx M w D w dx

(4.56)

Аналогично, используя метод Лагранжа, с учетом неравенства (4.48)

оценим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t 2( , , ),x y t

2( , )f x t в (4.31)

(4)23

2 2 2(4)

2

( ( , , ), ( , , ), ( , )) ( , ).F x y t x y t f x t f x t

Из (4.31) с учетом (4.20) получим 0

3

(4) (4)2 23 3 0 2

2 2(4) (4)

2 20

(4) (4)2 23 0 2 3 0 2

2 2(4) (4)

2 2

( )( ) ( , ) ( , )

( ) ( )( , ) ( , ).

( )

x

G

c

b

y yt f x t dxdy f x t dx

y y y yw x t dx w x t

c b

(4.57)

Учитывая (4.17), (4.21), (4.57), окончательно приходим к неравенству

(4) 2

2 2 23 0 22 0 0(4)

12 \

222 2 20

0 0

1 1 1

( )( , ) ( ( , ,0)

( )

(0)1( , ,0)) .

c

x y i

iG J b

c

i ii i i i i

i i ib

y yw x t dxdy x y

c b

N Vx y dx M w D w dx

(4.58)

Таким образом, если выполняются условия (4.16), (4.52)–(4.54), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (4.31) можно сделать вывод:

117

функции ( , , )x y t , ( , ), 1,2iw x t i устойчивы по отношению к возмущениям

начальных данных. Из неравенства (4.17), согласно (4.11), следует, что

функции ( , , )x x y t , ( , , )y x y t , ( , ), ( , ), 1,2i iw x t w x t i устойчивы по

отношению к возмущениям начальных данных. Из оценок (4.56), (4.58)

следует, что решение ( , ), 1,2iw x t i устойчиво по отношению к

возмущениям начальных данных 0 0 0 0, , ( , ,0), ( , ,0), , .x y i i i ix y x y w w

Следовательно, на основании проведенного исследования функционала

доказана теорема.

Теорема 4.1 Пусть выполняются условия (4.16), (4.52)–(4.54). Тогда

решение ( , ), 1,2iw x t i , ( , , )x y t задачи (4.1)–(4.8) и производные

( , , ),x x y t ( , , )y x y t , ( , )iw x t , ( , )iw x t , ( , ), 1,2iw x t i устойчивы по

отношению к возмущениям начальных данных 0 0, , ( , ,0),x y ix y

0 0( , ,0), , .i i ix y w w

4.2 Нелинейная модель упругого тела. Несжимаемая среда.

Рассмотрим нелинейную модель упругого тела. Тогда уравнения

малых колебаний упругих элементов, моделируемых упругими

пластинами, с учетом силового воздействия потока ( , )iP x t на них имеют

вид

2

2

2

2 1 0

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,

2

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i

E F u x t w x t M u x t Fu x t

E F w x t u x t w x t D w x t M w x t

N t w x t I w x t w x t w x t P x t

( , ), 1,2, 0.x b c i t

(4.59)

Предположим, что концы упругого элемента закреплены либо жестко,

либо шарнирно, тогда при x b и x c выполняется одно из условий:

1) ( , ) ( , ) ( , ) 0i i iw x t w x t u x t , 2) ( , ) ( , ) ( , ) 0, 1,2i i iw x t w x t u x t i . (4.60)

Зададим начальные условия (4.9), (4.10) и

4 5 6( , ,0) = ( , ), ( ,0) = ( ), ( ,0) = ( ), 1,2,t i i i ix y f x y u x f x u x f x i (4.61)

которые должны быть согласованы с краевыми условиями (4.3)–(4.5),

(4.60).

Исследуем устойчивость нулевого решения ( , , ) 0,x y t ( , ) 0,iu x t

( , ) 0, 1,2iw x t i задачи (4.1)–(4.6), (4.59), (4.60) по отношению к

возмущениям начальных данных (4.9), (4.10), (4.61). Рассмотрим

функционал

118

22 2

1\

222 2 2

1

2 2 2

0

( ) 2 ( ( , , ) ( , , )) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( , ) ( , ) ( ) ( , ) .

c

x y i i i

iG J b

c

i i i i i i i

i b

i i i i i i

t dxdy V x y t x y t w x t dx

E F u x t w x t M u x t w x t

D w x t w x t N t w x t

(4.62)

Найдем производную от Φ по t

2

1\

( ) 2 2 ( ( , , )

c

x xt y yt t i

iG J b

t dxdy V x y t

( , , )) ( , ) ( ( , , ) ( , , )) ( , )t i i i i ix y t w x t x y t x y t w x t dx

2

2

1

2

0

2 1

2

( )( ) .

2

c

i i i i i i i i i i

i b

ii i i i i i i i i i i i i

E F u w u w w M u u

N tM w w D w w w N t w w w w dx

Для функций ( , ), ( , ), 1,2i iu x t w x t i , удовлетворяющих уравнениям (4.6),

(4.59), равенство примет вид

2

1\

22 2

1

( ) 2 2 ( ( , , )

( , , )) ( , ) ( ( , , ) ( , , )) ( , )

2 1 1( , ) ( , )

2 2

c

x xt y yt t i

iG J b

t i i i i i

c

i i i i i i i i i i i i

i b

t dxdy V x y t

x y t w x t x y t x y t w x t dx

E F u w u w w u E F u x t w x t

2

2

( , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

i i i i t i t i

x i x i i i i i i

Fu x t w x y t x y t

V x y t x y t E F w x t u x t w x t

(4.63)

2 1 0

2

0

( )

( )( ) .

2

i i i i i i i i i i i

ii i i i i i i i i i

D w I w N t w w w

N tD w w w N t w w w w dx

Произведем интегрирование с учетом условий (4.60):

119

2 2 2

2 2

1 1, ,

2 2

1 1.

2 2

c c c c

i i i i i i i i i

b b b b

c c

i i i i i i i i

b b

u u dx u dx u u w dx u u w dx

w w u w dx w w u w dx

(4.64)

Подставляя (4.14), (4.15), (4.64) в (4.63), получим 2

2 2 2 2

2 2 1

1

2 ( )( ) .

2

c

ii i i i i i i i i

i b

N tt w Fu I w w dx

Пусть выполняются условия (4.16), тогда справедливо неравенство

(4.17).

Оценим Φ(0) сверху, используя неравенства (4.18), (4.19) и

очевидное неравенство 2 22ab a b :

22 2

0 0 0

1\

222 2 2

0 0 0 0

1

(0) 2 ( ( , ,0) ( , ,0))

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

c

x y i i i

iG J b

c

i i i i i i i

i b

dxdy V x y x y w dx

E F u x t w x t M u x t w x t

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

\

2 22 2 2

0

1 1

222 2 2

0 0 0 0

1

2 2

0 0 0

(0)

( ( , ,0) ( , ,0))

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

(0)

i i i i i i x y

G J

c c

i i i

i ib b

c

i i i i i i i

i b

i i i i i

D w w N w dx dxdy

x y x y dx V w dx

E F u x t w x t M u x t w x t

D w w N

2 2 2

0 0 0

\

i x y

G J

w dx dxdy

(4.65)

22 22 2

0 0

1 1

2

2 2 200 0 0

1 1

1 1( ( , ,0) ( , ,0)) ( , ) ( , )

2

(0)( , ) ( , ) .

c c

i i i i i i

i ib b

i ii i i i i

i i

x y x y dx E F u x t w x t

N VM u x t w x t D w dx

Здесь введены обозначения 0 ( , ,0),x x x y 0 ( , ,0),y y x y 0 ( ,0),i iu u x

0 ( ,0),i iu u x 0 ( ,0),i iw w x0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0).i iw w x

Оценивая Φ( )t снизу, получим оценку (4.22), поэтому производя

аналогичные преобразования, придем к неравенствам (4.55), (4.57).

Учитывая (4.17), (4.47), (4.55), приходим к неравенству

120

(1)

2 2 23 11 0 0(1)

2 \

22 22 2

0 0

1 1

( , )( )

1 1( ( , ,0) ( , ,0)) ( , ) ( , )

2

x y

G J

c c

i i i i i i

i ib b

yw x t dxdy

c b

x y x y dx E F u x t w x t

(4.66)

2

2 2 200 0 0

1 1

(0)( , ) ( , ) .i i

i i i i i

i i

N VM u x t w x t D w dx

Учитывая (4.17), (4.47), (4.57), приходим к неравенству

(4)

2 2 23 0 22 0 0(4)

2 \

22 22 2

0 0

1 1

( )( , )

( )

1 1( ( , ,0) ( , ,0)) ( , ) ( , )

2

x y

G J

c c

i i i i i i

i ib b

y yw x t dxdy

c b

x y x y dx E F u x t w x t

(4.67)

2

2 2 200 0 0

1 1

(0)( , ) ( , ) .i i

i i i i i

i i

N VM u x t w x t D w dx

Таким образом, если выполняются условия (4.16), (4.52)–(4.54), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (4.31) можно сделать вывод:

функции ( , , )x y t , ( , ), 1,2iw x t i устойчивы по отношению к возмущениям

начальных данных. Из неравенства Φ( ) Φ(0)t , согласно (4.62), следует,

что функции ( , , )x x y t , ( , , )y x y t , ( , ), ( , ), ( , ), 1,2i i iu x t w x t w x t i устойчивы

по отношению к возмущениям начальных данных. Из оценок (4.66), (4.67)

следует, что решение ( , ), 1,2iw x t i устойчиво по отношению к

возмущениям начальных данных 0 0 0 0, , ( , ,0), ( , ,0), , ,x y i i i ix y x y u u

0 0 0, , .i i iw w w

Следовательно, на основании проведенного исследования

функционала доказана теорема.

Теорема 4.2 Пусть выполняются условия (4.16), (4.52)–(4.54). Тогда

решение ( , ), 1,2iw x t i , ( , , )x y t задачи (4.1)–(4.6), (4.59), (4.60) и

производные ( , , ),x x y t ( , , )y x y t , ( , )iu x t , ( , )iw x t , ( , )iw x t , ( , ), 1,2iw x t i

устойчивы по отношению к возмущениям начальных данных

0 0, , ( , ,0),x y ix y

0 0 0 0 0( , ,0), , , , , .i i i i i ix y u u w w w

4.3 Линейная модель упругого тела. Сжимаемая среда.

Рассмотрим модель сжимаемой среды, тогда потенциал

удовлетворяет уравнению 2 22 ( ),tt xt xx xx yyV V a ( , ) \x y G J , 0.t (4.68)

121

Исследуем устойчивость нулевого решения ( , , ) 0,x y t ( , ) 0,iw x t

1,2i задачи (4.68), (4.2)–(4.8) по отношению к возмущениям начальных

данных (4.9), (4.10). Рассмотрим функционал

22 2 2 2 2 2 2

1\

2 22 2 2 2

0

1

( ) 2 ( ( , , )

( , , )) ( , ) ( ) .

c

t x y i

iG J b

c

i i i i i i i i i i

i b

t a V a dxdy a V x y t

ax y t w x t dx M w D w w N t w dx

(4.69)

Найдем производную от Φ по t

2 2 2

\

22

1

22

0

( ) 2 ( )

2 ( ( , , ) ( , , )) ( , )

( ( , , ) ( , , )) ( , )

2 ( )( ) .

2

t tt x xt y yt

G J

c

t i t i i

i b

i i i

c

ii i i i i i i i i i i i i

i b

t a V a dxdy

a V x y t x y t w x t

x y t x y t w x t dx

a N tM w w D w w N t w w w w w dx

2

1

(4.70)

Для функций ( , , )x y t и ( , ), 1,2iw x t i , удовлетворяющих уравнениям

(4.68) и (4.6), (4.8), равенство (4.70) примет вид

2 2 2 2

\

22 2

1

2 2

1

( ) 2 2 ( )

2 ( , , ) ( , , ) ( , )

2( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) (

t xt xx xx yy x xt

G J

c

y yt t i t i i

i b

c

i i i i t i

i b

t i x i x

t V V a a V

a dxdy a V x y t x y t w x t

ax y t x y t w x t dx w x y t

x y t V x y t

2

2

1 0 0

, , )

( ) ( ) ( ) .

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i i

x y t D w I w

N t w w w D w w N t w N t w w w w dx

(4.71)

Произведем интегрирование с учетом условий (4.5). Применяя

формулу Грина, получим

0 0

2 2 2

\ \

2 2

0

0 0

2

( , , ) (0, , ) 0.

t xt t t txG J G J G J

y y

t t

dxdy dxdy dy dy

x y t dy y t dy

(4.72)

Подставляя (4.14), (4.15), (4.72) в (4.71), получим 2 2

2 2 2

2 1

1

2( ) ( ( ) ) .

c

i i i i i i i

i b

at N t w I w w dx

122

Пусть выполняются условия (4.16), тогда справедливо неравенство

(4.17).

Оценим Φ(0) сверху, используя неравенства (4.18), (4.19) и

очевидное неравенство 2 22ab a b :

22 2 2 2 2 2 2

0 0 0

1\

2 22 2 2 2

0 0 0 0 0

1

22 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

1\

(0) 2 ( ( , ,0)

( , ,0)) ( ,0) (0)

( ( , ,0) ( , ,0))

c

t x y i

iG J b

c

i i i i i i i i i i

i b

c

t x y i i

iG J b

a V a dxdy a V x y

ax y w x dx M w D w w N w dx

a V a dxdy a x y x y dx

22 2

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

1 1

(0)

c c

i i i i i i i i i

i ib b

aa V w dx M w D w w N w dx

2

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

1\

( ( , ,0) ( , ,0))

c

t x y i i

iG J b

a V a dxdy a x y x y dx

22 22 200 0

1 1 1

(0).

c

i ii i i i

i i ib

N VaM w D w dx

(4.73)

Здесь введены обозначения 0 ( , ,0),t t x y 0 ( , ,0),x x x y 0 ( , ,0),y y x y

0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0),i iw w x0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0).i iw w x

Оценим Φ( )t снизу:

22 2 2 2 2 2 2

1\

2 22

1

1

( ) 2 ( ( , , )

( , , )) ( , ) ( ) .

c

t x y i

iG J b

c

i i i i i i

i b

t a V a dxdy a V x y t

ax y t w x t dx D N t w dx

(4.74)

Применяя (4.23), (4.24), (4.27), (4.28) для (4.74), получим неравенство

1

2

2

2 22

2 2 2 2

12 2

0 1

2 22

2 2 2 2

1 122

0 2 1

2 22

2 2 2 2

1 222

0 2 1

2( ) ( ) ( , , ) ( , , )

2( ) ( , , ) ( , , )

21 ( ) ( , , ) ( , , )

t

G

t

G

t

G

at a V x y t x y t dxdy

x y

aa V x y t x y t dxdy

x y y

aa V x y t x y t dxd

x y y

y

123

3

2 22

2 2 2 2

22 2

0 0 2

22 22 2

1

1 1

2( ) ( , , ) ( , , )

( )

2 ( ( , , ) ( , , )) ( , ) ( ) .

t

G

c c

i i i i i i i

i ib b

aa V x y t x y t dxdy

x y y

aa V x y t x y t w x t dx D N t w dx

(4.75)

Введем обозначения

1( ) ( )i i i iK t D N t , 00, (0, ] [ , ),

( , )( , ), ( , ),

i

i

x b c xf x t

w x t x b c

тогда

0 0 0

0

22 22 2

1

1 1

22 2 2

1 1 1 1 1 1

0 0 0

2 2

2 2 2

0

2 ( ( , , ) ( , , )) ( , ) ( )

2 ( , , ) ( , ) 2 ( , , ) ( , ) ( ) ( , )

2 ( , , )) ( , ) 2 ( , , )

c c

i i i i i i i

i ib b

x x x

x

aa V x y t x y t w x t dx D N t w dx

aa V x y t f x t dx a V x y t f x t dx K t f x t dx

a V x y t f x t dx a V x y t

0 02

2

2 2 2

0 0

( , ) ( ) ( , )

x xa

f x t dx K t f x t dx

0 01 2

1

0 01 2

1

2 2

1 1 1 1

1 2 10 0 0

2 22 22 2

1 1 1 1

1 2 10 0 0

2 2( , , ) ( , ) ( , , ) ( , )

( ) (1 ( ))( ) ( , ) ( ) ( , )

x xy y

y

x xy y

y

a V a Vdy x y t f x t dx dy x y t f x t dx

y y y

a t a tdy K t f x t dx dy K t f x t dx

y y y

0 0 02

1 2

0 0 02

1 2

2 2

2 2 2 2

2 1 0 20 0

2 22 23 3

2 2 2 2

2 1 0 20 0

2 2( , , )) ( , ) ( , , ) ( , )

( ) (1 ( ))( ) ( , ) ( ) ( , )

( ) ( )

x y xy

y y

x y xy

y y

a V a Vdy x y t f x t dx dy x y t f x t dx

y y y y

a t a tdy K t f x t dx dy K t f x t dx

y y y y

(4.76)

1 2

1 2

2 2

1 1 1 1

1 2 1

2 22 22 2

1 1 1 1

1 2 1

2 2( , , ) ( , ) ( , , ) ( , )

( ) (1 ( ))( ) ( , ) ( ) ( , )

G G

G G

a V a Vx y t f x t dxdy x y t f x t dxdy

y y y

a t a tK t f x t dxdy K t f x t dxdy

y y y

2 3

2 3

2 2

2 2 2 2

2 1 0 2

2 22 23 3

2 2 2 2

2 1 0 2

2 2( , , )) ( , ) ( , , ) ( , )

( ) (1 ( ))( ) ( , ) ( ) ( , ) ,

( ) ( )

G G

G G

a V a Vx y t f x t dxdy x y t f x t dxdy

y y y y

a t a tK t f x t dxdy K t f x t dxdy

y y y y

где 2 3( ) (0,1), ( ) (0,1)t t – положительные параметры.

124

Согласно (4.76) из (4.75) получим неравенство

1

2

2 22

2 2 2 2

12 2

0 1

2 2 22 2 2 2 22

1 1 1 1 1 2

1 1 0

2( ) ( ) ( , , ) ( , , )

2 ( )( , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )

t

G

t

G

at a V x y t x y t

x y

a V a tx y t f x t K t f x t dxdy t a V

y y x

2

2 22

1 1 12

1 2 12 1

2 22 2 2 2 22

1 1 1 2

2 1 1 0

2 22

2 22

1 2 12 1

2 2( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , )

( )( )

(1 ( ))( ) ( , ) 1 ( ) ( )

( )

2 2( , , ) ( , , ) ( , ,

1 ( ) ( )

t

G

a a Vx y t x y t x y t f x t

t y yy y

a tK t f x t dxdy t a V

y y t x

a a Vx y t x y t x y t

t y yy y

3

2

2 2 22 2 2 2 23

2 2 2 2

2 1 1 0 0 2

)) ( , )

( ) 2( ) ( , ) ( )

( ) 1 ( ) ( )t

G

f x t

a t aK t f x t dxdy a V

y y t x y y

(4.77)

2 2

223

2 2 2 2 2

0 2 0 2

2 (1 ( ))( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( ) ( , ) .

( )

a V a tx y t x y t x y t f x t K t f x t dxdy

y y y y

Введем обозначения 2 2 2 2 2

(1) (1) (1)

11 22 122 2 2

0 1 1

2 2(1) (1) 1 223 33

1 1

( ) 2 2, ,

( ) ( ), ( ) .

a V a ad d d

x y y

a V a K t td d t

y y

(4.78)

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t 1( , , ),x y t

1( , )f x t в (4.77). Соответствующая матрица формы имеет вид:

(1) (1)

11 12

(1) (1) (1)

12 22 23

(1) (1)

23 33

0

0 ( )

d d

d d d

d d t

.

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(1) (1)

1 11 0,d 2 2 2 2

(1) (1) (1) (1)2

2 11 22 12 2 2

0 1

2( )0

a V ad d d

x y

, (4.79)

(1) (1) (1) (1)2 (1)

3 33 2 23 11( ) ( ) 0.t d t d d (4.80)

Согласно (4.78) условия (4.79) выполняются. Неравенство (4.80) примет

вид:

125

2 2 2 2 2 2

0 11 2 2 2 2 2

2 0 1

( ) 2( ) .

2( ) ( )

V x y a V aK t

a V t x y

(4.81)

Введем обозначения

2 2 2 2 2(2) (2) (2)

11 22 122 22

0 2 1 2 1

2 2(2) (2) 1 223 33

1 2 1 2 1 1

( ) 2 2, ,

( )(1 ( )), ( ) .

( )( ) ( )

a V a ad d d

x y y y y

a V a K t td d t

t y y y y t

(4.82)

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t

1( , , ),x y t

1( , )f x t в (4.77). Соответствующая матрица формы имеет вид:

(2) (2)

11 12

(2) (2) (2)

12 22 23

(2) (2)

23 33

0

0 ( )

d d

d d d

d d t

.

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(2) (2)

1 11 0,d

2 2 2 2(2) (2) (2) (2)2

2 11 22 12 22

0 2 1

2( )0

a V ad d d

x y y

, (4.83)

(2) (2) (2) (2)2 (2)

3 33 2 23 11( ) ( ) 0.t d t d d (4.84)

Согласно (4.82) условия (4.83) выполняются. Неравенство (4.84) примет

вид:

2 2 2 2 2 20 2 1

1 22 2 2 2

2 1 0 2 1

( ) 2( ) .

2( ) (1 ( )) ( )

V x y y a V aK t

a V t t x y y

(4.85)

Из неравенств (4.81), (4.85) найдем оптимальную функцию 2( )t ,

обеспечивающую наиболее широкую область значений параметров,

входящих в условия (4.81), (4.85). Для этого приравняем их правые части

2 2 2 2 2 2

0 1

2 2 2 2 2

2 0 1

2 2 2 2 2 20 2 1

22 2 2 2

2 1 0 2 1

( ) 2

2( ) ( )

( ) 2.

2( ) (1 ( )) ( )

V x y a V a

a V t x y

V x y y a V a

a V t t x y y

Тогда получим

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 0

2 22 2 2 2 2

1 2 1 0

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 0

( ) ( ) 2( ) .

( ) 2

( ) ( ) 2

t y y a V y a xt

y a V y y a x

t y y a V y a x

(4.86)

126

Подставляя (4.86) в (4.85), (4.86), получим, что оба эти условия

примут вид:

22 2 2 2 2 2

2 1 0

1 2 2 2

1 2 1

2 2 2 2 2 2 2

1 0

2 2 2

1

( ) 2( )

2 ( )( )

( ) 2.

2( )

V a V y y a xK t

t a V y y

V a V y a x

a V y

(4.87)

Введем обозначения

2 2 2 2 2(3) (3) (3)

11 22 122 22

0 2 1 2 1

2 2(3) (3) 2 323 33

1 2 1 2 1 1

( ) 2 2, ,

( ) ( ), ( ) .

1 ( ) ( ) 1 ( )

a V a ad d d

x y y y y

a V a K t td d t

t y y y y t

(4.88)

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t

2( , , ),x y t

2( , )f x t в (4.77). Соответствующая матрица формы имеет вид:

(3) (3)

11 12

(3) (3) (3)

12 22 23

(3) (3)

23 33

0

0 ( )

d d

d d d

d d t

.

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(3) (3)

1 11 0,d

2 2 2 2(3) (3) (3) (3)2

2 11 22 12 22

0 2 1

2( )0

a V ad d d

x y y

, (4.89)

(3) (3) (3) (3)2 (3)

3 33 2 23 11( ) ( ) 0.t d t d d (4.90)

Согласно (4.88) условия (4.89) выполняются. Неравенство (4.90) примет

вид:

2 2 2 2 2 20 2 1

2 22 2 2 2

1 3 0 2 1

( ) 2( ) .

2( ) (1 ( )) ( )

V x y y a V aK t

a V t t x y y

(4.91)

Введем обозначения

2 2 2 2 2(4) (4) (4)

11 22 122 2 2

0 0 2 0 2

2 2(4) (4) 2 323 33

0 2 2 1

( ) 2 2, ,

( ) ( )

( )(1 ( )), ( ) .

a V a ad d d

x y y y y

a V a K t td d t

y y y y

(4.92)

Рассмотрим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t

2( , , ),x y t

2( , )f x t в (4.77). Соответствующая матрица формы имеет вид:

127

(4) (4)

11 12

(4) (4) (4)

12 22 23

(4) (4)

23 33

0

0 ( )

d d

d d d

d d t

.

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия положительной

определенности квадратичной формы

(4) (4)

1 11 0,d 2 2 2 2

(4) (4) (4) (4)2

2 11 22 12 2 2

0 0 2

2( )0

( )

a V ad d d

x y y

, (4.93)

(4) (4) (4) (4)2 (4)

3 33 2 23 11( ) ( ) 0.t d t d d (4.94)

Согласно (4.92) условия (4.93) выполняются. Неравенство (4.94) примет

вид: 2 2 2 2 2 2

0 0 22 2 2 2 2 2

3 0 0 2

( ) ( ) 2( ) .

2( ) (1 ( )) ( )

V x y y a V aK t

a V t x y y

(4.95)

Из неравенств (4.91), (4.95) найдем оптимальную функцию 3( )t ,

обеспечивающую наиболее широкую область значений параметров,

входящих в условия (4.91), (4.95). Для этого приравняем их правые части

2 2 2 2 2 20 2 1

22 2 2 2

1 3 0 2 1

( ) 2

2( ) (1 ( )) ( )

V x y y a V a

a V t t x y y

2 2 2 2 2 2

0 0 2

2 2 2 2 2

3 0 0 2

( ) ( ) 2.

2( ) (1 ( )) ( )

V x y y a V a

a V t x y y

Тогда получим

22 2 2 2 2

0 2 2 1 0

3 2 2 2 2 2 2

1 2 1 0 2 0

22 2 2 2 2

0 2 2 1 0

( ) ( ) 2( ) .

(1 ( )) ( ) ( ) 2

( ) ( ) 2

y y a V y y a xt

t y y a V y y a x

y y a V y y a x

(4.96)

Подставляя (4.96) в (4.91) и (4.95), получим, что оба эти условия

примут вид:

2 2 2 2 2 2 2

0 2 0

2 2 2 2

0 2

22 2 2 2 2 2

2 1 0

2 2 2

1 2 1

( ) ( ) 2( )

2( )( )

( ) 2.

2(1 ( )) ( )

V a V y y a xK t

y y a V

V a V y y a x

t y y a V

(4.97)

Из неравенств (4.87), (4.97) исключим функцию 1( )t :

128

22 2 2 2 2 2

1 2 1 0

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 1 1 1 0

( ) 2( ) .

2 ( )( ) ( ) 2

yV a V y y a xt

y y K t a V y V a V y a x

22 2 2 2 2 2

0 2 2 1 0

1 2 2 2

2 1 2 0 2

2 2 2 2 2 2 2

0 2 0

( ) ( ) 2( ) 1 .

2 ( )( )( )

( ) ( ) 2

y y V a V y y a xt

y y K t y y a V

V a V y y a x

Следовательно, окончательно получим условия устойчивости

22 2 2 2 2 2

1 2 1 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 1 1 1 0

( ) 2(0,1);

2 ( )( ) ( ) 2

yV a V y y a x

y y K t a V y V a V y a x

(4.98)

22 2 2 2 2 2

0 2 2 1 0

2 2 2

2 0 2

2 1 2 2 2 2 2 2 2

0 2 0

( ) ( ) 2(0,1);

2 ( )( )( )

( ) ( ) 2

y y V a V y y a x

K t y y a Vy y

V a V y y a x

(4.99)

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 0

0 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 0 2 0 2 0

2 ( ) ( ) ( ) 2

( )

2 ( )( )( ) ( ) ( ) 2

y

K t y a V V a V y a x

y y

K t y y a V V a V y y a x

2 1

22 2 2 2 2 2

2 1 0

.( ) 2

y y

V a V y y a x

(4.100)

Так как при условиях (4.98)–(4.100) все квадратичные формы в (4.77)

положительно определены, то из (4.77) окончательно получим оценку

Φ( ) 0t .

Используя метод Лагранжа, с учетом неравенства (4.80) оценим

квадратичную форму относительно ( , , ),x y t 1( , , ),x y t

1( , )f x t в (4.77) (1)

231 1 1(1)

2

( ( , , ), ( , , ), ( , )) ( , ).F x y t x y t f x t f x t

Из (4.77) с учетом (4.20) получим 0

1

(1) (1)2 23 3 1

1 1(1) (1)

2 20

(1) (1)2 23 1 3 1

1 1(1) (1)

2 2

( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ).( )

x

G

c

b

yt f x t dxdy f x t dx

y yw x t dx w x t

c b

(4.101)

Учитывая (4.17), (4.73), (4.101), окончательно приходим к неравенству

129

(1)

2 2 2 2 2 2 23 11 0 0 0(1)

2 \

22 2

1

22 22 200 0

1 1 1

( , )( )

( ( , ,0) ( , ,0))

(0).

t x y

G J

c

i i

i b

c

i ii i i i

i i ib

yw x t a V a dxdy

c b

a x y x y dx

N VaM w D w dx

(4.102)

Аналогично, используя метод Лагранжа, с учетом неравенства (4.94)

оценим квадратичную форму относительно ( , , ),x y t 2( , , ),x y t

2( , )f x t в (4.77)

(4)23

2 2 2(4)

2

( ( , , ), ( , , ), ( , )) ( , ).F x y t x y t f x t f x t

Из (4.77) с учетом (4.20) получим 0

3

(4) (4)2 23 3 0 2

2 2(4) (4)

2 20

(4) (4)2 23 0 2 3 0 2

2 2(4) (4)

2 2

( )( ) ( , ) ( , )

( ) ( )( , ) ( , ).

( )

x

G

c

b

y yt f x t dxdy f x t dx

y y y yw x t dx w x t

c b

(4.103)

Учитывая (4.17), (4.73), (4.103), окончательно приходим к неравенству

(4)

2 2 2 2 2 2 23 0 22 0 0 0(4)

2 \

22 2

1

22 22 200 0

1 1 1

( )( , )

( )

( ( , ,0) ( , ,0))

(0).

t x y

G J

c

i i

i b

c

i ii i i i

i i ib

y yw x t a V a dxdy

c b

a x y x y dx

N VaM w D w dx

(4.104)

Таким образом, если выполняются условия (4.16), (4.98)–(4.100), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (4.77) можно сделать вывод:

функции ( , , )x y t , ( , , )t x y t , ( , ), 1,2iw x t i устойчивы по отношению к

возмущениям начальных данных. Из неравенства Φ( ) Φ(0)t , согласно

(4.70), следует, что функции ( , , )x x y t , ( , , )y x y t , ( , ), 1,2iw x t i устойчивы

по отношению к возмущениям начальных данных. Из оценок (4.102),

(4.104) следует, что решение ( , ), 1,2iw x t i устойчиво по отношению к

возмущениям начальных данных 0 0 0 0, , , ( , ,0), ( , ,0), ,t x y i i ix y x y w

0.iw

Следовательно, на основании проведенного исследования функционала

доказана теорема.

130

Теорема 4.3 Пусть выполняются условия (4.16), (4.98)–(4.100). Тогда

решение ( , ), 1,2iw x t i , ( , , )x y t задачи (4.68), (4.2)–(4.8) и производные

( , , )t x y t , ( , , ),x x y t ( , , )y x y t , ( , )iw x t , ( , )iw x t , ( , ), 1,2iw x t i устойчивы по

отношению к возмущениям начальных данных 0 0 0, , , ( , ,0),t x y ix y

0 0( , ,0), , .i i ix y w w

4.4 Нелинейная модель упругого тела. Cжимаемая среда.

Исследуем устойчивость нулевого решения ( , , ) 0,x y t ( , ) 0,iu x t

( , ) 0, 1,2iw x t i задачи (4.68), (4.2)–(4.6), (4.59), (4.60) по отношению к

возмущениям начальных данных (4.9), (4.10), (4.61). Рассмотрим

функционал

22 2 2 2 2 2 2

1\

22 22

1

2 2 2 2 2

0

( ) 2 ( ( , , )

1( , , )) ( , ) ( , ) ( , )

2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) .

c

t x y i

iG J b

c

i i i i i i

i b

i i i i i i i i i

t a V a dxdy a V x y t

ax y t w x t dx E F u x t w x t

M u x t w x t D w x t w x t N t w x t

(4.105)

Найдем производную от Φ по t

2 2 2

\

22

1

2 22

1

( ) 2 ( )

2 ( ( , , ) ( , , )) ( , )

( ( , , ) ( , , )) ( , )

2 1

2

t tt x xt y yt

G J

c

t i t i i

i b

i i i

c

i i i i i i i i i i

i b

i i i i

t a V a dxdy

a V x y t x y t w x t

x y t x y t w x t dx

aE F u w u w w M u u

M w w D

2

0

( )( ) .

2

ii i i i i i i i i

N tw w w N t w w w w dx

(4.106)

Для функций ( , , )x y t и ( , ), ( , ), 1,2i iu x t w x t i , удовлетворяющих

уравнениям (4.68) и (4.6), (4.59), равенство (4.106) примет вид

2 2 2 2

\

22 2

1

( ) 2 2 ( )

2 ( , , ) ( , , ) ( , )

t xt xx xx yy x xt

G J

c

y yt t i t i i

i b

t V V a a V

a dxdy a V x y t x y t w x t

131

2 2

2 2

1

( , , ) ( , , ) ( , )

2 1 1( , ) ( , )

2 2

i i i

c

i i i i i i i i i i i i

i b

x y t x y t w x t dx

aE F u w u w w u E F u x t w x t

2 ( , ) ( , , ) ( , , )i i i i t i t iFu x t w x y t x y t

(4.107)

2

2 1 0

2

0

1( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( )

( )( ) .

2

x i x i i i i i i

i i i i i i i i i i i

ii i i i i i i i i i

V x y t x y t E F w x t u x t w x t

D w I w N t w w w

N tD w w w N t w w w w dx

Подставляя (4.14), (4.15), (4.64), (4.72) в (4.107), получим 2 2

2 2 2 2

2 2 1

1

2 ( )( ) .

2

c

ii i i i i i i i i

i b

a N tt w Fu I w w dx

Пусть выполняются условия (4.16), тогда справедливо неравенство

(4.17).

Оценим Φ(0) сверху, используя неравенства (4.18), (4.19) и

очевидное неравенство 2 22ab a b :

22 2 2 2 2 2 2

0 0 0

1\

22 22

0 0 0

1

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 2 2 2

0 0

(0) 2 ( ( , ,0)

1( , ,0)) ( , ) ( , )

2

( , ) ( , ) (0)

c

t x y i

iG J b

c

i i i i i i

i b

i i i i i i i i i

t x

a V a dxdy a V x y

ax y w dx E F u x t w x t

M u x t w x t D w w N w dx

a V a

22 2 2 2

0

1\

222 22 2 2 2

0 0 0

1 1

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 2

0 0 0

( ( , ,0) ( , ,0))

1( , ) ( , )

2

( , ) ( , ) (0)

c

y i i

iG J b

c c

i i i i i

i ib b

i i i i i i i i i

t x y

G

dxdy a x y x y dx

aa V w dx E F u x t w x t

M u x t w x t D w w N w dx

a V a

22 2

1\

22 22

0 0

1

( ( , ,0) ( , ,0))

1( , ) ( , )

2

c

i i

iJ b

c

i i i i

i b

dxdy a x y x y dx

aE F u x t w x t

132

2

2 2 200 0 0

1 1

(0)( , ) ( , ) .i i

i i i i i

i i

N VM u x t w x t D w dx

(4.108)

Здесь введены обозначения 0 ( , ,0),t t x y 0 ( , ,0),x x x y 0 ( , ,0),y y x y

0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0),i iw w x0 ( ,0),i iw w x 0 ( ,0).i iw w x

Оценивая Φ( )t снизу, получим оценку (4.74), поэтому производя

аналогичные преобразования, придем к неравенству (4.77). Учитывая

(4.17), (4.101), (4.103), приходим к неравенствам

(1)2 2 2 2 2 2 23 11 0 0 0(1)

2 \

222 22 2 2

0 0

1 1

2

2 2 00 0

1 1

( , )( )

1( ( , ,0) ( , ,0)) ( , ) ( , )

2

(0)( , ) ( , )

t x y

G J

c c

i i i i i i

i ib b

i ii i i i

i i

yw x t a V a dxdy

c b

aa x y x y dx E F u x t w x t

N VM u x t w x t D w

2

0 .i dx

(4.109)

(4)

2 2 2 2 2 2 23 0 22 0 0 0(4)

2 \

222 22 2 2

0 0

1 1

( )( , )

( )

1( ( , ,0) ( , ,0)) ( , ) ( , )

2

t x y

G J

c c

i i i i i i

i ib b

y yw x t a V a dxdy

c b

aa x y x y dx E F u x t w x t

(4.110)

2

2 2 200 0 0

1 1

(0)( , ) ( , ) .i i

i i i i i

i i

N VM u x t w x t D w dx

Таким образом, если выполняются условия (4.16), (4.98)–(4.100), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (4.77) можно сделать вывод:

функции ( , , )x y t , ( , , )t x y t , ( , ), 1,2iw x t i устойчивы по отношению к

возмущениям начальных данных. Из неравенства Φ( ) Φ(0)t , согласно

(4.105), следует, что функции ( , , )x x y t , ( , , )y x y t , ( , ), ( , ),i iu x t w x t

( , ), 1,2iw x t i устойчивы по отношению к возмущениям начальных

данных. Из оценок (4.109), (4.110) следует, что решение ( , ), 1,2iw x t i

устойчиво по отношению к возмущениям начальных данных

0 0 0 0 0, , , ( , ,0), ( , ,0), , ,t x y i i i ix y x y u u 0 0 0, , .i i iw w w Следовательно, на

основании проведенного исследования функционала доказана теорема.

Теорема 4.4 Пусть выполняются условия (4.16), (4.98)–(4.100). Тогда

решение ( , ), 1,2iw x t i , ( , , )x y t задачи (4.68), (4.2)–(4.6), (4.59), (4.60) и

производные ( , , )t x y t , ( , , ),x x y t ( , , )y x y t , ( , )iu x t , ( , )iw x t , ( , )iw x t , ( , ),iw x t

1,2i устойчивы по отношению к возмущениям начальных данных

0 0 0 0 0, , , ( , ,0), ( , ,0), , ,t x y i i i ix y x y u u 0 0 0, , .i i iw w w

133

5 ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ

ПРИ СТРУЙНОМ ОБТЕКАНИИ

5.1 Математическая модель

Рассматривается плоская задача о колебаниях упругой пластины при

дозвуковом одностороннем обтекании ее потоком идеального газа (в

модели несжимаемой среды) с отрывом струи по схеме Кирхгофа. Пусть в

плоскости xOy отрезок ][0,l оси Ox соответствует упругой пластине,

которая в точке 0=x соединена с жесткой недеформируемой пластиной,

занимающей положение ,0)(0,= xy . В бесконечно удаленной точке

скорость газа равна V и направлена вдоль оси Ox .

Рис. 5.1. Струйное обтекание пластины

Введем обозначения: ( , , )x y t – потенциал скорости газа; ( , )w x t ,

( , )u x t – функции, определяющие прогиб пластины в направлении осей Oy

и Ox соответственно (поперечная и продольная составляющие деформации

пластины); = ( , )h h x t – функция, определяющая форму свободной

поверхности; ( , )P x t – аэродинамическая нагрузка на пластину.

Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа 2= 0, ( , ) ={( , ) :| |< , > 0},xx yy x y H x y R x y (5.1)

условиям непротекания

( ,0, ) = 0, ( ,0);y x t x (5.2)

( ,0, ) = ( , ) ( , ), (0, );y x t w x t Vw x t x l (5.3)

( ,0, ) = ( , ) ( , ), ( , ),y x t h x t Vh x t x l (5.4)

условию постоянства давления на свободной поверхности

( ,0, ) ( ,0, ) = 0, ( , ).t xx t V x t x l (5.5)

Условие жесткого закрепления пластины в точке 0=x имеет вид

(0, ) = 0.w t (5.6)

Условие стыковки пластины и свободной поверхности примет вид

( , ) = ( , ).h l t w l t (5.7)

Потенциал удовлетворяет условию отсутствия возмущений в

бесконечно удаленной точке 2 2 2 2| | = ( ) = 0.x y t (5.8)

Аэродинамическое воздействие на пластину выражается через

потенциал скорости ( , , )x y t по формуле

( , ) = ( ( ,0, ) ( ,0, )), (0, ).t xP x t x t V x t x l (5.9)

134

Рассмотрим нелинейную модель упругого тела. Тогда уравнения

малых колебаний упругой пластины с учетом силового воздействия потока

P на нее имеют вид

2

2

2

2 1 0

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,

2

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), (0, ).

EF u x t w x t Mu x t Fu x t

EF w x t u x t w x t Dw x t Mw x t

Nw x t Iw x t w x t w x t P x t x l

(5.10)

В силу несжимаемости поток вектора скорости через вещественную

ось равен нулю, поэтому граничные значения (5.2) – (5.4) должны

удовлетворять условию

0

( ,0, ) = ( ) ( ) = 0.

l

y

l

x t dx w Vw dx h Vh dx

(5.11)

Для сходимости несобственного интеграла в (5.11) потребуем, чтобы для

достаточно больших значений x

,)(|| xtAhVh (5.12)

где )(tA – неотрицательная функция времени t , 0t ; 1> .

5.2 Определение силового воздействия потока

В верхней полуплоскости H введем комплексный потенциал

= ( , ) =W f z t i (где ,= iyxz – функция тока) и рассмотрим в ней

аналитическую функцию ( , ) =z y xif z t i . Пользуясь условиями (5.2) –

(5.4), (5.8), представим ),( tzifz в H с помощью интеграла Щварца в виде

,),(1

),(1

=),( 110 z

dth

iz

dtw

itzif

l

l

z

(5.13)

1 1( , ) = ( , ) ( , ), ( , ) = ( , ) ( , ).w x t w x t Vw x t h x t h x t Vh x t (5.14)

Введем обозначения

2 1

0 0

( , ) = ( , ) = ( ( , ) ( , )) ,w t w x t dx w x t Vw x t dx

2 1( , ) = ( , ) = ( ( , ) ( , )) .h t h x t dx h x t Vh x t dx

Поскольку 0=)(0,2 tw , а в силу условий (11), (12)

2 2 2( , ) ( , ) = 0, lim ( , )ln( ) = 0,w l t h l t h t z

то, интегрируя в (5.13) сначала по z , а затем по частям, будем иметь

135

).(),(1

),(1

=),( 1220

tCz

dth

z

dtwtzf

l

l

(5.15)

Продифференцируем (5.15) по t и перейдем по формулам Сохоцкого к

пределу при ),( lxz . Отделяя вещественню часть, получим с учетом

условия (5.8):

2 2

0

1 1( ,0, ) = .

l

t

l

w d h dx t

t x t x

(5.16)

Из выражения (5.13) при ),( lxz найдем

1 1

0

1 1( ,0, ) = ( , ) ( , ) .

l

x

l

d dx t w t h t

x x

(5.17)

Условие (5.5), таким образом, принимает вид

),,(,),(=),( 330

lxx

dth

x

dtw

l

l

(5.18)

,)(==),( 2

0

12

3 wVwVdxwVwVwt

wtxw

x

(5.19)

.)(==),( 21

23 hVhVdxhVhVh

t

htxh

x

(5.20)

Выразим ),(3 txh из (5.18). Пусть xx 1/=,1/= 11 , тогда 0 0

1 1 13 3 32 1 1

1 1 1 1 1 11/ 1/

1 1( , ) = , = , ,

( ) ( )l l l

d d x dh x t h t h t

x x x

и, следовательно, (5.18) можно представить в виде

.1

),(=,11

1

3011

13

1

0

1/

x

dtw

x

dth

l

l

(5.21)

Полученное равенство будем рассматривать как интегральное уравнение

относительно функции

thth ,

11=),(

~

1

3

1

1

. Оно имеет следующие

решения [120]:

1) решение, не ограниченное на обоих концах отрезка [–1/l,0];

2) решение, ограниченное на одном из концов отрезка [–1/l,0];

3) решение, ограниченное на обоих концах отрезка [–1/l,0], при

условии, что

0.=1

),())(1/( 1

3011

10

1/

x

dtw

xlx

dx l

l

(5.22)

Решения, не ограниченные на левом конце отрезка не подходят по

смыслу рассматриваемой задачи. Решение 3) налагает дополнительное

условие на w . В дальнейшем будем пользоваться решением 2) уравнения

136

(5.18):

),,(,)(

),(=),( 30

3

lx

xl

dtw

lxtxh

l

(5.23)

ограниченным на левом и не ограниченным на правом конце отрезка

,0]1/[ l , и полученным обращением интеграла типа Коши в левой части

уравнения (21).

Интегрируя в (5.23) по частям с учетом (5.6), (5.19), (5.20), и затем

дифференцируя полученное равенство по x , получим дифференциальное

уравнение относительно функции ),( txh

),(,)),(),(2),((1

)(0,=2

2

0

22

lxdx

ltwVtwVtw

lx

lx

l

x

twVhVhVh

l

(5.24)

при условии

),(=),( tlwtlh (5.25)

Преобразуем теперь правую часть выражения для давления (5.9). Исходя

из выражений (5.13), (5.15), предельным переходом при )(0, lxz

получим соответственно:

1 1

0

1 1( ,0, ) = ( , ) ( , ) ,

l

x

l

d dx t w t h t

x x

2 2

0

1 1( ,0, ) = ( , ) ( , ) .

l

t

l

w d h dx t t t

t x t x

Следовательно,

3 3

0 0

1 1= ( , ) ( , ) , (0, )

l l

t x

d dV w t h t x l

x x

. (5.26)

Преобразуя интегралы в (5.26) методом интегрирования по частям, с

учетом условий (5.6), (5.7), (5.11), (5.25) будем иметь: 2

3 3

0

1 1= ln | | ln | | (0, )ln .

l

t x

l

w h VV x d x d w t x

Учитывая равенства

,)(0,

),(1

=),(2

3

0

3

l

ltwVd

lt

w

lt

h l

0),>0;>(,)(ln

=)(

)(ln22

22

0

bab

bad

b

a

и проводя ряд преобразований, получим выражение для давления (5.9):

137

2

3

=0

0

2 2

( )( , ) = ( ) = ( , )ln

| |

(0, ) ( )ln ,

l

t x y

w l x lP x t V t d

x

V w t l x l

x

(5.27)

).(0,),,(),(2),(=),( 23 lxtxwVtxwVtxwtxx

w

Если решение системы уравнений (5.27), (5.10) найдено, то отыскание

функции ),( txh , определяющей границу свободной поверхности, сводится

к решению дифференциального уравнения (5.24) с краевыми условиями

(5.7), (5.25). При этом функции ),( txw и ),( txh должны также

удовлетворять условиям (5.11), (5.12). Далее, если функция ),( txh найдена,

то, полагая в (5.15) iyxz = и отделяя вещественную часть, получим

потенциал ( , , )x y t .

3.3 Исследование устойчивости

Введем обозначение

x

xll

xllxK ,ln),( .

Тогда аэрогидродинамическая нагрузка (5.27) примет вид

2

2

0

( , )

(0, )( ,0) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) .

l

P x t

V w tK x w t Vw t V w t K x d

(5.28)

Интегрируя по частям, запишем (5.28) в виде

2

0 0

( , )( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) .

l lV K x

P x t w t Vw t K x d w t d

(5.29)

Подставляя (5.29) в систему (5.10), окончательно получим

2

2

2

2 1 0

0

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,

2

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) 2 ( , ) ( , )

l

EF u x t w x t Mu x t Fu x t

EF w x t u x t w x t Dw x t Mw x t

Nw x t Iw x t w x t w x t

Vw t Vw t K x d

2

0

( , )( , ) ,

(0, ).

lK x

w t d

x l

(5.30)

138

Получим достаточные условия устойчивости тривиального решения

( , ) 0, ( , ) 0w x t u x t системы интегро-дифференциальных уравнений (5.30)

по отношению к возмущениям начальных условий.

Введем функционал: 2

2 2 2 2

0

1( ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ( , )) ( , )

2

l

t EF u x t w x t M u x t w x t Dw x t

2 2

0

42 2 2

2 1 2

1

( , ) ( , ) 4 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )

2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ),i

i

Nw x t w x t M u x t u x t M w x t w x t

F u x t w x t I w x t dx I t

(5.31)

2

1 2

0 0 0 0

2

3 4

0 0 0

( ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

2 2 ( , )( ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( ) ,

l l l l

l l l

VI t dx w x t w t K x d I t dx w x t w t K x d

w x tI t dx w x t w t K x d I t dx

l x

где параметр 0 . Найдем производную от по t :

2

0

2 2

0 2

4

1 2

1

1( ) 2

2

2 2 2

( ),

l

i

i

t EF u w u w w Muu Mww Dw w Nw w

ww M u M uu M w M ww F u u

ww I w w dx I t

(5.32)

Для функций ),( txw , ( , )u x t , являющихся решением системы уравнений

(5.30), равенство (5.32) примет вид:

2 2

2

0

2

2 1 0

2

0 0

1 1( ) 2

2 2

1

2

( , )( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )

l

l

t EF u w u w w u EF u w Fu

w EF w u w Dw Nw Iw w w

V K xw t Vw t K x d w t d

2 2

0 2

12 2

2

l

Dw w Nw w ww M u u EF u w Fu

139

2 2

2 1 0

0

2 4

2 1 2

10

1

2

( , ) 2 ( , ) ( , )

( , )( , ) 2 ( ).

l

l

i

i

M w w EF w u w Dw Nw

Iw w w w t Vw t K x d

V K xw t d F u u ww I w w dx I t

(5.33)

Граничные условия для функций ),( txw , ( , )u x t могут иметь вид

1) жесткое неподвижное защемление:

;0),(=),(=),( txutxwtxw (5.34)

2) жесткое подвижное защемление:

;0),(=),(=),( txutxwtxw (5.35)

3) шарнирное неподвижное закрепление:

( , ) = ( , ) = ( , ) 0.w x t w x t u x t (5.36)

Пусть на левом конце пластины при = 0x имеют место условия (5.34)

или (5.35), что согласуется с условием (5.6), а на правом конце пластины

при =x l – условия (5.34) или (5.35) или (5.36). Тогда, интегрируя по

частям, получим

2

0 0 0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0

2 2 2

0 0 0

, , ,

, , ,

1 1,

2 2

l l l l l l

l l l l l l

l l l

ww dx w w dx ww dx w dx ww dx w w dx

ww dx w dx ww dx w w dx ww dx w dx

uu dx u dx u u w dx u u w

0

2 2

0 0 0 0

,

1 1, ,

2 2

l

l l l l

dx

uu dx u u dx u u w dx u u w dx

2 2

0 0

2 2 2

0 0

1 1,

2 2

1 1.

2 2

l l

l l

w w u w dx w w u w dx

w w u w dx w u w dx

Учитывая эти выражения, равенство (5.33) примет вид 2

2 2 2 2 2

2 2 1

0

1( ) 2 2 2

2

l

t EF u w Fu Iw w M u

140

42 2 2 2

0

1

( )i

i

M w w D w N w dx I t

(5.37)

2

0 0 0 0

2

0 0 0 0

2 2 ( , )( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 2 ( , )( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

l l l l

l l l l

V K xdx w x t w t Vw t K x d dx w x t w t d

V K xdx w x t w t Vw t K x d dx w x t w t d

Пользуясь симметричностью ядра ),(),( xKxK , найдем )4,1()( itI i .

,),(),(),(2

),(),(),(),(),(),(

),(),(),(),(),(),()(

0 0

0 00 0

0 00 01

l l

l ll l

l ll l

dxKtwtxwdx

dxxKtxwtwddxKtwtxwdx

dxKtwtxwdxdxKtwtxwdxtI

(5.38)

l l

dxKtwtxwdxV

tI0 0

2

2 ,),(),(),(2

)(

(5.39)

l ll l

dxKtwtxwdxdxKtwtxwdxtI0 00 0

3 ,),(),(),(2

),(),(),(2

)(

(5.40)

ll

dxxl

txwdx

xl

txwVtI

004

),(),(4)(

. (5.41)

Учитывая условия (5.34)–(5.36) и, что

),(),(

2 xKxK

l

xl

x, получим

0 0 0 0

( , ) 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

l l l lK x l x

dx w x t w t d dx w x t w t K x dl

0 0 0 0

0 0 0 0

2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ,

( )( )

l l l l

l l l l

l xdx w x t w t d dx w x t w t K x d

l

w x t w tdx d dx w x t w t K x d

l l x

(5.42)

,),(),(),(2

),(),(

),(2

),(),(),(

),(),(

0 00 0

0 00 0

dxKtwtxwdxdl

xltwtxwdx

dxKl

xltwtxwdxd

xKtwtxwdx

l ll l

l ll l

(5.43)

141

.),(),(),())((

),(),(),(),(),(

2),(),(),(

2),(),(

),(),(),(),(),(),(

0 00 00 0

0 00 0

0 00 0

l ll ll l

l ll l

l ll l

dxKtxwtwdxdxll

twtxwdxdxKtxwtwdx

dl

xltwtxwdxdxK

l

xltwtxwdx

dxK

twtxwdxdxKtwtxwdx

(5.44)

.),(),(),(

2),(),(),(

2),(),(

),(),(),(),(),(),(

0 0

0 00 0

0 00 0

l l

l ll l

l ll l

dxKtxwtwdx

dl

xltwtxwdxdxK

l

xltwtxwdx

dxK

twtxwdxdxKtwtxwdx

Из последнего равенства следует

.1

),())((

1),(),(

2),(),(),(),(),(2

2

00 0

0 00 0

dxxl

txwdlxl

twtxwdx

dl

xltwtxwdxdxKtwtxwdx

ll l

l ll l

(5.45)

Подставляя равенства (5.38)–(5.45) в (5.37), будем иметь 2

2 2 2 2 2

2 2 1

0

2 2 2 2

0

2

0 0 0 0

1( ) 2 2 2

2

2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2( , ) ( , ) ( , )

l

l l l l

t EF u w Fu Iw w M u

M w w D w N w dx

Vdx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

dx w x t w t K x d

0 0 0 0

0 0 0 0

22

0 0 0

2( , ) ( , ) ( , )

4 ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) ( , )

2 1 2 ( , ) ( , )( , )

( )( )

l l l l

l l l l

l l l

dx w x t w t K x d

V w x t w x tdx dx dx w x t w t K x d

l x l x

V V w x t w tw x t dx dx d

l x l l x

142

2

0 0 0 0

0 0 0 0

2 2

0 0

2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

4 ( , ) ( , ) 4( , ) ( , ) ( , )

( )( )

4 2( , ) ( , ) ( ,

l l l l

l l l l

l l

Vdx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

V w x t w t Vdx d dx w t w x t K x d

l l x

V l x Vdx w x t w t d dx w x

l

0 0

2

2 2 2 2 2

2 2 1

0

2 2 2 2

0

2

0 0 0

2

) ( , ) ( , )

12 2 2

2

2 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 ( , ) (

l l

l

l l l

t w t K x d

EF u w Fu Iw w M u

M w w D w N w dx

Vdx w x t w t K x d w x t dx

l x

V w x t wdx

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0

, ) 4( , ) ( , ) ( , )

( )( )

4 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

l l l l

l l l l

t Vd dx w t w x t K x d

l l x

V l x Vdx w x t w t d dx w x t w t K x d

l

(5.46)

Введем обозначение ).(sup,),()( 101),0(0

xKKdxKxKlx

l

Произведем

оценку интегралов, используя неравенства 222 baab , 0),( xK ,

),(),( xKxK :

,),(2

)(),(2

),(),(2

),()),(),((),(),(),(2

0

20

01

2

0 0

2

0 0

22

0 0

lll l

l ll l

dxtxwK

dxxKtxwdxKtxwdx

dxKtwtxwdxdxKtwtxwdx

2 22 2

0 0 0 0

2 2 22 2 20

1

0 0 0 0

0 0

2( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ( , )) ( , )

2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ,

4 2( , ) ( , ) ( , )

l l l l

l l l l

l l

V Vdx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

V V V Kdx w x t K x d w x t K x dx w x t dx

Vdx w t w x t K x d dx

2 2 2

0 0

( ( , ) ( , )) ( , )

l l

V w t w x t K x d

143

22 2

0 0 0 0

22 2

1 1

0 0

2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 2( , ) ( ) ( , ) ( )

l l l l

l l

Vdx w x t K x d dx w x t K x d

Vw x t K x dx w x t K x dx

22 20 0

0 0

2 2( , ) ( , ) ,

l lV K K

w x t dx w x t dx

,),(),(21

),(2

1),(

2

1),(

2

1),(

2

))((

),(),(21),(

2

0

2232

0

32

0

3

2

0

32

00

0 0

22

0

dxtxwlV

dxxltxwV

dxxl

txwV

dxxl

txwV

dxxl

txwV

dxxl

txwV

dxll

twtxwdx

Vdx

xltxw

V

lll

lll

l ll

.),(),(

))(,())(,(2

))((),(),(4

),(),(4

0 0

222

222

0 0

222

0 0

2

0 0

2

dxtwlV

dxtxwlV

dxltwltxwdxV

dlxltwtxwdxV

dl

xltwtxwdx

V

l l

l l

l ll l

Подставляя эти оценки в (5.46), получим 3 2 2 2

2 2 2 202 1 0

0

4( ) 2

lK V l V l

t Iw M w w D w

2 22 2 20

2

(4 )2 .

V K lN w Fu M u dx

(5.47)

Пусть выполняются неравенства

0,02223

2

lVlVD , (5.48)

тогда, используя неравенства Рэлея

2 2 2 2

1 1

0 0 0 0

2 2

1

0 0

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ,

( , ) ( , ) ,

l l l l

l l

w x t dx w x t dx w x t dx w x t dx

u x t dx u x t dx

(5.49)

где 1 1, – наименьшие собственные значения краевых задач ( )x

( )x , )()( xx с краевыми условиями (5.34)–(5.36) для

144

функции ( , )w x t , 1 наименьшее собственное значение краевой задачи

( ) ( )x x с краевыми условиями (5.34)–(5.36) для функции ( , )u x t ,

получим

2 2 202 1 1 0 2 1

0

4( ) 2 2

lK

t I M w w F M u

3 2 2 2 2 220

1

(4 ).

V l V l V K lD N w dx

(5.50)

Если выполняются условия

02 1 1 2 1

3 2 2 2 2

1 0 11

40, 2 0,

(4 )0,

KI M F M

V l V K l lD N

(5.51)

то из (5.50) получим

0)( t .

Проинтегрируем это выражение от 0 до t

)0()( t . (5.52)

Подставим выражение для ( )0 в неравенство (5.52)

2

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

2 2 2

0 0 2 0 1 0 2 0

2

0 0 0 0

1( ) ( ) 4

2

2 2

( ,0) ( ,0) ( , ) ( ,0) ( ,0) ( , )

2( ,0) ( ,

l

l l l l

t EF u w M u w Dw Nw w M u u

M w w F u w I w dx

Vdx w x w K x d dx w x w K x d

dx w x w

2

0 0 0

2 ( ,0)0) ( , ) .

l l lw x

K x d dxl x

(5.53)

Здесь индекс 0 снизу означает, что значение берется при t 0 .

Используя неравенства (5.49), неравенство 222 baab и учитывая,

что

l l

dxKwxwdx0 0

0),()0,()0,( ,

Получим 2

2 2 2 2

0 0 0 0 2 0

0

22 2 200 2 0 0

1( ) 2 2 2

2

(1 ) 4( )

l

t EF u w M u M u F u

K lM M w D I w N w

145

2

2 200 1 0 0 0

0

2 2 2 200 0 2 0 0

1

2

(1 )2 2 2

lK

M w dx EF u w

KM u M u F u M M w

(5.54)

220

2 0 1 0

1 1

1 4 1.

l KD I N M w dx

С другой стороны, учитывая, что

l l

dxKtwtxwdx0 0

0),(),(),( ,

получим

2

2 2 2

0

2 2 2 2

2 2 0 1

2

0 0 0 0

1( ) ( ) 4

2

2 ( ) ( ) 2

2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

l

l l l l

t EF u w M u w M uu

F u D I w Nw w M ww dx

Vdx w x t w t K x d dx w x t w t K x d

Используя первое неравенство (5.49), неравенство 222 baab , будем

иметь

2 2 202

0

22 20 0

1 2 1 0 1

( ) 4 2

2 .

lK

t Mu M uu F u M w

V K KD I N w w M ww dx

(5.55)

Пусть выполняются условия 2

0 01 2 10, 0.

K V KM D I N

(5.56)

Используя неравенство Рэлея

2 2

1

0 0

( , ) ( , ) ,

l l

w x t dx w x t dx (5.57)

где 1 наименьшее собственное значение краевой задачи ( ) ( )x x

с краевыми условиями (5.34)–(5.36) для функции ( , )w x t и третье

неравенство (5.49), получим

2 2 2 202 1 2 2 2

0

( ) 4 2 (1 ) 2

lK

t Mu M uu F u F u M w

220

1 1 2 1 2V K

D I N w M ww

(5.58)

146

220 0

1 1 1 2 1 0 1(1 ) ,V K K

D I N w dx

где параметры 1 (0,1) , 2 (0,1) выбираем так, чтобы выполнялись

неравенства

2 1 2

22 20 0 0

1 1 1 2 1 0 1

(1 ) 2 0,

(1 ) 0.

F M

K V K KM D I N M

(5.59)

Учитывая неравенствa (5.59) и то, что

2 2 2 2

0 0

( , ) ( , ) , ( , ) ( , )

l l

w x t l w x t dx u x t l u x t dx ,

окончательно получим 2

2 202 2 1 1 2 1

0

22 22 2 1 0

1 2 1

( ) 2

2.

lV K

t F u D I N w dx

F V Ku D I N w

l l

(5.60)

Используя оценки (5.54), (5.60), получим неравенство 22

2 2 22 2 1 01 2 1 0 0

0

2 1( , ) ( , )

2

lF V K

u x t D I N w x t EF u wl l

2 2 2 200 0 2 0 0

220

2 0 1 0

1 1

(1 )2 2 2

1 4 1,

KM u M u F u M M w

l KD I N M w dx

(5.61)

Таким образом, если выполняются условия (5.48), (5.51), (5.56), (5.59),

то Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (5.58) можно сделать

вывод: функции ( , ), ( , ), ( , )u x t w x t w x t устойчивы по отношению к

возмущениям начальных данных. Из оценки (6.61) следует, что решение

( , ), ( , )w x t u x t устойчиво по отношению к возмущениям начальных данных

0 0 0 0 0 0, , , , ,u u u w w w . Следовательно, на основании проведенного

исследования функционала доказана теорема.

Теорема 5.1. Если найдутся числа 0 , 1 (0,1) , 2 (0,1) , такие,

что выполняются условия (5.48), (5.51), (5.56), (5.59) и краевые условия

имеют вид (5.34)–(5.36), тогда решение ( , ), ( , )w x t u x t системы уравнений

(5.30) и производные ( , ), ( , ), ( , )u x t w x t w x t устойчивы по отношению к

возмущениям начальных значений 0 0 0 0 0 0, , , , ,u u u w w w .

147

6 ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОГО

ТРУБОПРОВОДА

6.1 Линейная математическая модель

Пусть на плоскости Oxy , упругому трубопроводу – полому стержню,

внутри которого протекает жидкость (газ) – соответствует на оси Ox

отрезок [0, ]l . Скорость жидкости равна V и имеет направление,

совпадающее с направлением оси Ox , и может зависеть от времени t .

Например, при движении пульсирующей жидкости, подаваемой от насоса

в трубопровод, скорость можно представить в виде

0 1( ) cosV t V V pt , (6.1)

где 0 1,V V – постоянные составляющие скорости жидкости (

0 1V V ). Многие

исследования посвящены исследованию динамической устойчивости

трубопровода по параметру p при 0 1V V , например, работа [243]. В

данной главе получим условия динамической устойчивости по Ляпунову

для произвольных законов изменения скорости, а не только для

гармонических.

Будем считать, что прогиб трубопровода и возмущение однородного

потока малы. Введем обозначение: ( , )w x t – упругие перемещения точки

оси трубопровода в направлении оси Oy (поперечные колебания

трубопровода) (рис.6.1).

Рисунок 6.1 – Полностью упругий трубопровод

Рассмотрим линейную модель упругого тела. Тогда уравнение малых

колебаний упругого трубопровода с учетом аэродинамического

воздействия потока на него имеет вид:

2

0 * *

* * 0 1 2

( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )

2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,

[0, ], 0.

Dw x t M M w x t N t M V t w x t

M V t w x t M V t w x t w x t w x t Iw x t

x l t

(6.2)

Коэффициенты 0 * 2, , ,M M D вычисляются по формулам:

2 2 2 4 4

0 * 0 0 * 0 * * 0

* 0

, , ,4

, .

M R R M R I R R

D EI R R h

Здесь *M – масса жидкости (газа) на единицу длины;

* – плотность

жидкости (газа); * 0, ,R R h – внешний и внутренний радиусы трубопровода и

148

толщина; 0M – масса металла на единицу длины трубы; D – изгибная

жесткость трубопровода; E , 0 – модуль упругости и плотность

трубопровода; ( )N t – сжимающая (растягивающая) трубопровод сила;

I – момент инерции сечения трубопровода; 2 1, – коэффициенты

внутреннего и внешнего демпфирования; 0 – коэффициент жесткости

слоя обжатия.

В уравнении (6.2) первое слагаемое это погонная сила упругости,

второе – погонная сила инерции поперечных колебаний, третье – сумма

погонной центробежной силы и осевого сжимающего усилия, четвертое –

погонная сила Кариолиса; пятое – погонная сила от продольных

колебаний; шестое – погонная сила реакции слоя обжатия, седьмое и

восьмое – погонные силы внешнего и внутреннего демпфирования.

Предположим, что концы упругого трубопровода закреплены либо

жестко, либо шарнирно, тогда при 0x и x l выполняется одно из

условий:

1) ( , ) ( , ) 0w x t w x t , 2) ( , ) ( , ) 0w x t w x t . (6.3)

Для определенности исследуем устойчивость в случае шарнирного

закрепления обоих концов трубопровода:

(0, ) = (0, ) = ( , ) = ( , ) = 0.w t w t w l t w l t (6.4)

Сжимающая ( 0N ) или растягивающая ( 0N ) элемент сила N

может зависеть от времени. Например, при изменении теплового

воздействия на трубопровод с течением времени ( )N t имеет вид:

0 TN t N N , /2

/2

, ,

h

T T

h

N E T z t dz

(6.5)

где T – температурный коэффициент линейного расширения, ( , )T z t –

закон изменения температуры по толщине стенок трубопровода, 0N –

постоянная составляющая усилия, созданная при закреплении

трубопровода.

Например, в работе [243] исследована динамическая устойчивость

двухпараметрических решений уравнения (6.2) при заданных

гармонических законах изменения скорости жидкости (6.1) с параметром

p и изменения осевой силы

0 1( ) cosN t N N t

с параметром , где 0 1,N N – постоянные составляющие усилия

0 1( ).N N

В данной главе получим условия динамической устойчивости по Ляпунову

для произвольных законов изменения осевой силы, а не только для

гармонических.

149

6.2 Исследование устойчивости

Исследуем устойчивость нулевого решения ( , ) 0w x t уравнения (6.2)

с учетом граничных условий (6.4). Введем функционал:

2 2 2 2

2 0 * *

0

( ) ( , ) ( , ) ( ( ) ( )) ( , )

l

t D I w x t M M w x t N t M V t w x t

2

0 1 0 *( , ) 2 ( , ) ( , ) ,w x t M M w x t w x t dx (6.6)

где 0 – некоторый положительный параметр.

Найдем производную от ( )t по переменной t :

2

2 0 * *

0

2

* 0 1

2

0 * 0 *

( ) 2 2 ( ( ) 2 ( ) ( ))

2( ( ) ( )) 2

2 2 .

l

t D I w w M M ww N t M V t V t w

N t M V t w w ww

M M w M M ww dx

Интегрируя по частям, с учетом (6.4) получим

0 0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0

2

0 0 0 0

, ,

, , ,

, 0, 0.

l l l l l

l l l l l l

l l l l

w w dx ww dx w wdx w w dx ww dx

ww dx w dx ww dx w wdx ww dx w dx

ww dx w dx ww dx ww dx

(6.7)

Тогда для функции ( , )w x t , являющейся решением уравнения (6.2),

выражение для ( )t принимает вид:

2

2 * *

0

2

* 0 1 2 *

2 2

* 0 1 0 *

2

* *

( ) 2 2 ( ) ( ) 2 ( )

( ) ( ( ) 2 ( ) ( ))

2( ( ) ( )) 2 2

2 ( ) ( ) 2 ( )

l

t D I w w w Dw N t M V t w M V t w

M V t w w w Iw N t M V t V t w

N t M V t w w ww M M w

w Dw N t M V t w M V t w

* 0 1

2 2

2 * 1 0 * 2

0

( )

2 ( ) 2 ( )

l

M V t w w w

Iw dx M V t V t w w M M w Iw

2 2 2 2

* * 00.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .N t M V t V t N t M V t w Dw w dx (6.8)

Используя неравенство Рэлея [171], получим

150

2 2 2 2

1 1

0 0 0 0

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ,

l l l l

w x t dx w x t dx w x t dx w x t dx (6.9)

где 1 1, – наименьшие собственные значения краевых задач ,

с краевыми условиями, соответствующими (6.4).

Тогда из (6.8) получим оценку

2

1 2 1 0 * *

0

2 2

1 * *

( ) 2 ( ) 2 ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

l

t I M M w M V t V t w w

D N t M V t V t N t M V t w dx

(6.10)

Квадратичная форма под знаком интеграла в (6.10) относительно

( , ), ( , )w x t w x t будет положительно полуопределенной при выполнении

неравенств

1 2 1 0 *

2

1 * *

1 2 1 0 * *

0,

4 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 ( ) .

I M M

D N t M V t V t N t M V t

I M M M V t V t

(6.11)

Согласно (6.11) неравенство (6.10) примет вид ( ) 0t . Интегрируя от 0 до

t, получим:

( ) (0).t (6.12)

Согласно (6.6) начальное значение функционала имеет вид

2 2 2 2

2 0 0 * 0 * 0

0

2

0 1 0 0 * 0 0

(0) ( (0) (0))

2 ,

l

D I w M M w N M V w

w M M w w dx

(6.13)

где введены обозначения 0 0 0= ( ,0), = ( ,0), = ( ,0),w w x w w x w w x

0 = ( ,0).w w x

Проведем оценку функционала с учетом граничных условий (6.4).

Используя неравенства Рэлея [171] и Коши-Буняковского, получим

2 2 2 2

1

0 0 0

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ,

l l l

w x t dx w x t dx w x t l w x t dx (6.14)

где 1 – наименьшее собственное значение краевой задачи с

краевыми условиями,соответствующими (6.4).

Оценим ( )t с помощью первого неравенства (6.9) следующим

образом

2 2 2

2 1 * 0 *

0

2

0 1 0 *

( ) ( ) ( )

2 .

l

t D I N t M V t w M M w

w M M ww dx

(6.15)

151

Введем положительный параметр (0,1) . Тогда (6.15) запишем в

виде

2 2

2 1 * 0 *

0

2 2

0 * 0 1

2 2

2 1 *

( ) ( ) ( ) 2

(1 ) ( ) ( ) .

l

t D I N t M V t w M M ww

M M w w

D I N t M V t w dx

(6.16)

Пусть для любого момента времени t выполняется условие

2

* 2 1( ) ( )N t M V t D I , (6.17)

тогда, применяя первое неравенство (6.14), получим

2 2

2 1 * 1 0 1

0

2

0 * 0 *

2 2

2 1 *

( ) ( ) ( )

2

(1 ) ( ) ( ) .

l

t D I N t M V t w

M M w M M ww

D I N t M V t w dx

(6.18)

Квадратичная форма под знаком интеграла в (6.18) относительно

( , ), ( , )w x t w x t согласно критерию Сильвестра будет положительно

определенной при выполнении неравенства

2 2

2 1 * 1 0 1 0 *( ) ( ) 4 .D I N t M V t M M

(6.19)

Учитывая (6.19), из (6.18) получим

2 2

2 1 *

0

( ) (1 ) ( ) ( ) .

l

t D I N t M V t w dx (6.20)

Применяя второе неравенство (6.14), окончательно получим нижнюю

оценку функционала

2 2

2 1 *

1( ) ( ) ( ) ( , )t D I N t M V t w x t

l

(6.21)

при любом [0, ]x l в любой момент времени 0t .

Согласно (6.12), (6.13), (6.21) получим оценку самого решения

уравнения (6.2):

2 2

2 0202 1 *

( , )(1 ) ( ) ( )

ll

w x t D I wD I N t M V t

(6.22)

2 2 2 2

0 * 0 * 0 0 1 0 0 * 0 0( (0) (0)) 2 .M M w N M V w w M M w w dx

Таким образом, если выполняются условия (6.11), (6.17), (6.19), то

Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (6.18) можно сделать вывод:

функции ( , ), ( , )w x t w x t устойчивы по отношению к возмущениям

152

начальных данных. Из оценки (6.22) следует, что решение ( , )w x t

устойчиво по отношению к возмущениям начальных данных 0 0 0 0, , , .w w w w

Следовательно, на основании проведенного исследования функционала

доказана теорема.

Теорема 6.1 Пусть для любого момента времени t найдутся числа

0, (0,1), при которых будут выполнены условия (6.11), (6.17), (6.19).

Тогда решение ( , )w x t уравнения (6.2) и производные ( , ), ( , )w x t w x t

устойчивы по отношению к возмущениям начальных значений

0 0 0 0, , ,w w w w , если ( , )w x t удовлетворяет краевым условиям (6.4).

6.3 Исключение параметров

Исключим параметры , из условий устойчивости. Так как

(0,1), то достаточным условием выполнения неравенства (6.19) будет

условие

2 2

2 1 * 1 0 1 0 *( ) ( ) 4 .D I N t M V t M M

(6.23)

Для исключения параметра составим систему неравенств (6.11),

(6.17), (6.23)

1 2 1 0 *

2

1 * *

1 2 1 0 * *

2

* 2 1

2 2

2 1 * 1 0 1 0 *

0,

4 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) 4 .

I M M

D N t M V t V t N t M V t

I M M M V t V t

N t M V t D

D I N t M V t M M

(6.24)

Разрешим систему (6.24) относительно параметра . Так как

0 * 2 10, 0M M I ,

то первое и третье линейные неравенства однозначно разрешаются

относительно параметра: 2

1 2 1 * 1

0 * 2 1

( ) ( ), .

I N t M V t D

M M I

(6.25)

Разрешая четвертое неравенство (6.24) относительно параметра,

получим квадратное неравенство

2 2

0 * 2 1 1 1 1 1 0 * 14 ( ) ( ) 0.M M I D N t M V t (6.26)

Учитывая, что 0 * 2 1 1 10, 0M M I , получим неравенство 2 0a b c , где 0, 0,a b c R , 0 . (6.27)

Имеем решение (6.27) только в одном случае

153

2 40, .

2

b b acc

a

Подставляя параметры , ,a b c из (6.26), получим условия

2 2 1 1 11 1 0 * 1

0 *

2 2

2 1 1 1 0 * 1 1 0 * 1

0 *

( ) ( ) 0,8

16 ( ) ( ).

8

ID N t M V t

M M

I M M D N t M V t

M M

(6.28)

Разрешая третье неравенство (6.24) относительно параметра ,

получим квадратное неравенство

2 2 2

1 * 0 * 1 *

1 2 1 * 0 * *

* * 1 2 1

4 ( ) ( ) 4 ( ) ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( )

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0.

D N t M V t M M D N t M V t

I N t M V t V t M M M V t

M V t N t M V t V t I

(6.29)

Введем обозначения

2 2

1 * 0 * 1 *

1 2 1 * 0 * *

4 ( ) ( ) , 4 ( ) ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) ,

a D N t M V t M M b D N t M V t

I N t M V t V t M M M V t

* * 1 2 1

22

1 * 1 2 1 *

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) .

4( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

16

c M V t N t M V t V t I

b acD N t M V t I N t M V t V t

2 2

0 * * 1 * 0 *

* * 1 2 1

0.5 ( ) ( ) ( )

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) .

M M M V t D N t M V t M M

M V t N t M V t V t I

(6.30)

Рассмотрим три случая.

I. Пусть выполняется условие 2

1 *( ) ( ) 0D N t M V t . (6.31)

Тогда получим квадратное неравенство 2 0a b c , где 0, ,a b R c R , 0 . (6.32)

Так как 0 0, 0 , то в силу (6.30) первое неравенство (6.28) и

второе неравенство (6.25) выполняются.

Решение неравенства (6.32) распадается на два случая:

1)2 4

0, .2

b b acc

a

Подставляя коэффициенты , ,a b c из (6.30), получим неравенства

154

* * 1 2 1

2

1 * 1 2 1 * 0 *

2

1 * 0 *

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( )

M V t N t M V t V t I

D N t M V t I N t M V t V t M M

D N t M V t M M

*

2

1 * 0 *

0.5 ( ).

2 ( ) ( )

M V t

D N t M V t M M

(6.33)

Таким образом, исключая параметр из системы (6.25), (6.28), (6.31),

(6.33), получим условия устойчивости:

2 1 2 11 *

0 *

2 1 1 1* * 1 2 1

0 *

2 2

2 1 1 1 0 * 1 1 0 * 1

0 *

2

1 * 1 2 1 * 0 *

1

( ) ( ) 0, 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,8

16 ( ) ( )0,

8

( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

2

ID N t M V t

M M

IM V t N t M V t V t I

M M

I M M D N t M V t

M M

D N t M V t I N t M V t V t M M

D N

2

* 0 *

*

2

1 * 0 *

( ) ( )

0.5 ( )0.

2 ( ) ( )

t M V t M M

M V t

D N t M V t M M

(6.34)

Последние три неравенства (6.34) выполняются, поэтому

окончательно получим систему

2

1 *

* * 1 2 1

( ) ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0.

D N t M V t

M V t N t M V t V t I

(6.35)

2) 2 24 4

0, 0, 0, ,2 2

b b ac b b acb c

a a

.

Подставляя коэффициенты , ,a b c из (6.30), получим неравенства

2

1 * 1 2 1

* 0 * *

* * 1 2 1

2

1 * 1 2 1 * 0 *

2

1 * 0 *

( ) ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0, 0,

( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( )

D N t M V t I

N t M V t V t M M M V t

M V t N t M V t V t I

D N t M V t I N t M V t V t M M

D N t M V t M M

155

*

2

1 * 0 *

0.5 ( ),

2 ( ) ( )

M V t

D N t M V t M M

(6.36)

2

1 * 1 2 1 * 0 *

2

1 * 0 *

( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( )

D N t M V t I N t M V t V t M M

D N t M V t M M

*

2

1 * 0 *

0.5 ( ).

2 ( ) ( )

M V t

D N t M V t M M

Таким образом, исключая параметр из системы (6.25), (6.28), (6.31),

(6.36), получим условия устойчивости:

2 2

1 * 1 * 1 2 1

* 0 * *

* * 1 2 1

2

1 * 1 2 1 * 0 *

2

1 * 0 *

( ) ( ) 0, ( ) ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0, 0,

( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( )

D N t M V t D N t M V t I

N t M V t V t M M M V t

M V t N t M V t V t I

D N t M V t I N t M V t V t M M

D N t M V t M M

* 1 2 1 2 1 1 1

20 * 0 *1 * 0 *

2 2

2 1 1 1 0 * 1 1 0 * 1

0 *

0.5 ( )min ,

82 ( ) ( )

16 ( ) ( ).

8

M V t I I

M M M MD N t M V t M M

I M M D N t M V t

M M

(6.37)

В остальных случаях решений нет.

II. Пусть выполняется условие 2

1 *( ) ( ) 0D N t M V t . (6.38)

Тогда получим квадратное неравенство 2 0a b c , где 0, ,a b R c R , 0 . (6.39)

Решение неравенства (6.39) распадается на три случая:

1) 0, 0.b c

Подставляя коэффициенты ,b c из (6.30), получим неравенства

2

1 * 1 2 1 * 0 *

* * * 1 2 1

( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

0.5 ( ) 0, ( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0.

D N t M V t I N t M V t V t M M

M V t M V t N t M V t V t I

(6.40)

Таким образом, исключая параметр из системы (6.25), (6.28), (6.38),

(6.40), получим условия устойчивости:

156

201 *

1

2

1 * 1 2 1

* 0 * *

* * 1 2 1

2

* 1 1 2 1 2 1 1 1

2 1 0 * 0 *

2 1 1 1

( ) ( ) 0,

( ) ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) ( )min ,

8

D N t M V t

D N t M V t I

N t M V t V t M M M V t

M V t N t M V t V t I

N t M V t D I I

M M M M

I

2 2

0 * 1 1 0 * 1

0 *

16 ( ) ( ).

8

M M D N t M V t

M M

(6.41)

2) 2 4

0, .2

b ac bc

a

Подставляя коэффициенты , , ,a b c из (6.30), получим неравенства

* * 1 2 1

2

1 * 1 2 1

2

1 * 0 *

* 0 * *

2

1 * 0 *

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) ( )

2 ( ) ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ).

2 ( ) ( )

M V t N t M V t V t I

D N t M V t I

D N t M V t M M

N t M V t V t M M M V t

D N t M V t M M

(6.42)

Таким образом, исключая параметр из системы (6.25), (6.28), (6.38),

(6.42), получим условия устойчивости:

201 *

1

* * 1 2 1

2

1 * 1 2 1

2

1 * 0 *

* 0 * *

2

1 * 0 *

2

* 1

2

( ) ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) ( )max

2 ( ) ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ),

2 ( ) ( )

( ) ( )

D N t M V t

M V t N t M V t V t I

D N t M V t I

D N t M V t M M

N t M V t V t M M M V t

D N t M V t M M

N t M V t D

I

1 2 1 2 1 1 1

1 0 * 0 *

2 2

2 1 1 1 0 * 1 1 0 * 1

0 *

min ,8

16 ( ) ( ).

8

I I

M M M M

I M M D N t M V t

M M

(6.43)

157

3) 2 2

2 4 40, 0, 4 0, 0, , .

2 2

b b ac b b acb c b ac

a a

Рассмотрим отдельно два случая

3а) 2

2 40, 0, 4 0, 0, .

2

b b acb c b ac

a

Подставляя коэффициенты , , ,a b c из (6.30), получим неравенства

* * 1 2 1

2

1 * 1 2 1 * 0 *

*

2

1 * 1 2 1

2

1 * 0 *

* 0 * *

1

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

0.5 ( ) 0, 0,

( ) ( )

2 ( ) ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( )

2

M V t N t M V t V t I

D N t M V t I N t M V t V t M M

M V t

D N t M V t I

D N t M V t M M

N t M V t V t M M M V t

D

2

* 0 *

.( ) ( )N t M V t M M

(6.44)

Таким образом, исключая параметр из системы (6.25), (6.28),

(6.38),(6.44), получим условия устойчивости:

201 *

1

2

1 * 1 2 1

* 0 * *

* * 1 2 1

221 * 1 2 1* 1

22 1 1 *

( ) ( ) 0,

( ) ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0, 0,

( ) ( )( ) ( )min

2 ( ) ( )

D N t M V t

D N t M V t I

N t M V t V t M M M V t

M V t N t M V t V t I

D N t M V t IN t M V t D

I D N t M V t

0 *

* 0 * *

2

1 * 0 *

1 2 1 2 1 1 1

0 * 0 *

2 2

2 1 1 1 0 * 1 1 0 * 1

0 *

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ),

2 ( ) ( )

,8

16 ( ) ( ).

8

M M

N t M V t V t M M M V t

D N t M V t M M

I I

M M M M

I M M D N t M V t

M M

(6.45)

158

3б) 2

2 40, 0, 4 0, , .

2

b b acb c b ac

a

Подставляя коэффициенты , , ,a b c из (6.30), получим неравенства

* * 1 2 1

2

1 * 1 2 1 * 0 *

*

2

1 * 1 2 1

2

1 * 0 *

* 0 * *

1

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

0.5 ( ) 0, 0,

( ) ( )

2 ( ) ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( )

2

M V t N t M V t V t I

D N t M V t I N t M V t V t M M

M V t

D N t M V t I

D N t M V t M M

N t M V t V t M M M V t

D

2

* 0 *

.( ) ( )N t M V t M M

(6.46)

Таким образом, исключая параметр из системы (6.25), (6.28), (6.38),

(6.46), получим условия устойчивости:

201 *

1

2

1 * 1 2 1

* 0 * *

* * 1 2 1

221 * 1 2 1* 1

22 1 1 *

( ) ( ) 0,

( ) ( )

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0, 0,

( ) ( )( ) ( )max ,

2 ( ) ( )

D N t M V t

D N t M V t I

N t M V t V t M M M V t

M V t N t M V t V t I

D N t M V t IN t M V t D

D N t M V t M

0 *

* 0 * *

2

1 * 0 *

1 2 1 2 1 1 1

0 * 0 *

2 2

2 1 1 1 0 * 1 1 0 * 1

0 *

0.5 ( ) ( ) ( ) 0.5 ( )

2 ( ) ( )

min ,8

16 ( ) ( ).

8

M

N t M V t V t M M M V t

D N t M V t M M

I I

M M M M

I M M D N t M V t

M M

(6.47)

В остальных случаях решений нет.

III. Пусть выполняется условие 2

1 *( ) ( ) 0D N t M V t . (6.48)

Тогда получим линейное неравенство

159

0b c , где ,b c R , 0 . (6.49)

Так как 0 0, 0 , то в силу (6.48) первое неравенство (6.28) и

второе неравенство (6.25) выполняются.

Решение неравенства (6.29) распадается на три случая:

1) 0, 0.b с

Подставляя коэффициенты ,b c из (6.30), получим неравенства

* * 0 *

* * 1 2 1

0.5 ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0.

M V t N t M V t V t M M

M V t N t M V t V t I

(6.50)

Таким образом, исключая параметр из системы (6.25), (6.28), (6.48),

(6.50), получим условия устойчивости:

2

1 *

* * 0 *

* * 1 2 1

( ) ( ) 0,

0.5 ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0.

D N t M V t

M V t N t M V t V t M M

M V t N t M V t V t I

(6.51)

2) 0, 0, .c

b сb

Подставляя коэффициенты ,b c из (6.30), получим неравенства

* * 0 *

* * 1 2 1

* * 1 2 1

* * 0 *

0.5 ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ).

4 0.5 ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

M V t N t M V t V t M M

M V t N t M V t V t I

M V t N t M V t V t I

M V t N t M V t V t M M

(6.52)

Таким образом, исключая параметр из системы (6.25), (6.28), (6.48),

(6.52), получим условия устойчивости:

2

1 *

* * 0 *

* * 1 2 1

* * 1 2 1

* * 0 *

2 1 11 2 1

0 *

( ) ( ) 0,

0.5 ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( )

4 0.5 ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

min ,

D N t M V t

M V t N t M V t V t M M

M V t N t M V t V t I

M V t N t M V t V t I

M V t N t M V t V t M M

II

M M

2

1 2 1 1 1 0 0 *

0 *

16.

8

I M M

M M

(6.53)

160

3) 0, 0, .c

b cb

Подставляя коэффициенты ,b c из (6.30), получим неравенства

* * 0 *

* * 1 2 1

* * 1 2 1

* * 0 *

0.5 ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ).

4 0.5 ( ) 0.5 ( ) ( ) ( )

M V t N t M V t V t M M

M V t N t M V t V t I

M V t N t M V t V t I

M V t N t M V t V t M M

(6.54)

Таким образом, исключая параметр из системы (6.25), (6.28), (6.48),

(6.54), получим условия устойчивости:

2

1 *

* * 0 *

* * 1 2 1

( ) ( ) 0,

0.5 ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) 0,

( ) 4 0.5 ( ) ( ) ( ) 0.

D N t M V t

M V t N t M V t V t M M

M V t N t M V t V t I

(6.55)

На основании проведенного исследования можно сформулировать теорему

6.1 в следующем виде.

Теорема 6.2 Пусть для любого момента времени t выполняется одна

из систем (6.35), (6.37), (6.41), (6.43), (6.45), (6.47), (6.51), (6.53), (6.55).

Тогда решение ( , )w x t задачи (6.2), (6.4) и производные ( , ), ( , )w x t w x t

являются устойчивыми по отношению к возмущениям начальных данных

0 0 0 0, , , .w w w w

6.4 Нелинейная математическая модель. Исследование

устойчивости.

Рассмотрим нелинейную модель упругого тела. Тогда уравнения

малых колебаний упругого трубопровода с учетом аэродинамического

воздействия потока на него имеют вид

2

0 * 2

2

0 *

2

* 2 1 0

*

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,

2

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 ( ) ( , )

EF u x t w x t M M u x t Fu x t

EF w x t u x t w x t Dw x t M M w x t

N t M V t w x t Iw x t w x t w x t

V t M w x t M

* ( ) ( , ) 0, [0, ], 0.V t w x t x l t

(6.56)

Предположим, что концы упругого трубопровода закреплены либо

жестко, либо шарнирно, тогда при 0x и x l выполняется одно из

161

условий:

1) ( , ) ( , ) ( , ) 0w x t w x t u x t , 2) ( , ) ( , ) ( , ) 0w x t w x t u x t . (6.57)

Для определенности исследуем устойчивость в случае шарнирного

неповижного закрепления обоих концов трубопровода:

(0, ) = (0, ) = (0, ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = 0.w t w t u t w l t w l t u l t (6.58)

Рассмотрим устойчивость нулевого решения ( , ) 0, ( , ) 0w x t u x t

системы уравнений (6.56) с учетом граничных условий (6.58). Введем

функционал:

2

2 2 2

0 *

0

2 2 2 2

2 2 *

1( ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ( , ))

2

2 ( , ) ( , ) ( ( ) ( )) ( , )

l

t EF u x t w x t M M u x t w x t

F u x t D I w x t N t M V t w x t

(6.59)

2

0 1 0 * 0 *( , ) 4 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ,w x t M M u x t u x t M M w x t w x t dx

где 0 – некоторый положительный параметр.

Найдем производную от ( )t по переменной t :

2

0 *

0

2

2 2 *

2 2

* 0 1 0 *

2

0 * 0 * 0 *

1( ) 2 ( )

2

12 ( ( ) 2 ( ) ( ))

2

( ( ) ( )) 2

2 .

l

t EF u w u w w M M uu ww

F u u D I w w N t M V t V t w

N t M V t w w ww M M u

M M uu M M w M M ww dx

(6.60)

Для функций ( , ), ( , )w x t u x t , являющихся решением системы

уравнений (6.56), выражение для ( )t принимает вид:

2 2

2

0

2 2

* 2

1 0 * * 2 2

1 1( ) 2

2 2

1( ) ( )

2

2 ( ) ( ) 2

l

t EF u w u w w u EF u w Fu

w EF w u w Dw N t M V t w Iw

w w V t M w M V t w F u u D I w w

2 2

* * 0 1

2 2 2

0 * 2 0 *

1( ( ) 2 ( ) ( )) ( ( ) ( ))

2

12 2

2

N t M V t V t w N t M V t w w ww

M M u u EF u w Fu M M w

(6.61)

162

2 2

* 2

1 0 * *

1( ) ( )

2

2 ( ) ( ) .

w EF w u w Dw N t M V t w Iw

w w V t M w M V t w dx

Интегрируя по частям, с учетом (6.58) получим

0 0

= ,

l l

ww dx w w dx 2 2

0 0 0 0

= , = ,

l l l l

ww dx w dx ww dx w dx

2

0 0 0 0 0 0

= , = , = ,

l l l l l l

ww dx w w dx uu dx u dx uu dx u u dx

2

0 0 0 0 0 0

= , = , = ,

l l l l l l

ww dx w w dx ww dx w dx ww dx w wdx

2 2

0 0 0 0

1 1= 0, = 0, = ,

2 2

l l l l

ww dx ww dx u u w dx u u w dx

2 2 2 2

0 0 0

1 1 1= , =

2 2 2

l l l

w w u w dx w u w dx u u w dx

2 2 2

0 0 0

1 1 1= , = .

2 2 2

l l l

u u w dx w w u w dx w w u w dx

Используя эти неравенства, из (6.61) получим

2 2 2 2

2 0 * 2 1 0 *

0

2 2 2

* *

2

2 2

* 0

( ) 2 2

0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) 2 ( ) 2 .

2

l

t Fu M M u Iw M M w

D w N t M V t V t N t M V t w

M V t V t w w EF u w w dx

(6.62)

Используя неравенство Рэлея [171], получим

2 2 2 2

1 1

0 0 0 0

2 2 2 2

1 1

0 0 0 0

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ,

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ,

l l l l

l l l l

w x t dx w x t dx u x t dx u x t dx

w x t dx w x t dx w x t dx w x t dx

(6.63)

где 1 1 1, , – наименьшие собственные значения краевых задач

= , = , = с краевыми условиями (6.58) для функции

163

( , )w x t , 1 – наименьшее собственное значение краевой задачи = с

краевыми условиями (6.58) для функции ( , )u x t .

Тогда из (6.62) получим оценку

2 2

2 1 0 * 2 1 1 0 *

0

2 2

1 * *

2

* 0

( ) 2 2

0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 ( ) .

l

t F M M u I M M w

D N t M V t V t N t M V t w

M V t V t w w w dx

(6.64)

Квадратичная форма под знаком интеграла в (6.64) относительно

( , ), ( , )w x t w x t

будет положительно полуопределенной при выполнении

неравенств (6.11). Пусть выполняется условие

2 1 0 *2 0,F M M (6.65)

тогда, учитывая (6.11), неравенство (6.64) примет вид ( ) 0t . Интегрируя

от 0 до t, получим:

( ) (0).t (6.66)

Согласно (6.59) начальное значение функционала имеет вид

2

2 2 2

0 0 0 * 0 0

0

2 2 2 2

2 0 2 0 * 0

2

0 1 0 0 * 0 0 0 * 0 0

1(0) ( )

2

2 ( (0) (0))

4 2 ,

l

EF u w M M u w

F u D I w N M V w

w M M u u M M w w dx

(6.67)

где введены обозначения 0 0 0 0= ( ,0), = ( ,0), = ( ,0), = ( ,0),u u x u u x u u x w w x

0 0 0= ( ,0), = ( ,0), = ( ,0).w w x w w x w w x

Оценим ( )t с помощью первого неравенств (6.63) следующим

образом

2 2 2

2 1 * 0 *

0

2 2

2 0 * 0 *

2

0 1 0 *

( ) ( ) ( )

2 4

2 .

l

t D N t M V t w M M w

F u M M uu M M u

w M M ww dx

(6.68)

Введем положительные параметры (0,1), (0,1) . Тогда (6.68)

запишем в виде

2 2

2 1 * 0 *

0

2 2

0 * 0 1

( ) ( ) ( ) 2

l

t D N t M V t w M M ww

M M w w

(6.69)

164

2 2

2 0 * 0 *

2 2 2

2 2 1 *

2 4

2(1 ) (1 ) ( ) ( ) .

F u M M uu M M u

F u D N t M V t w dx

Пусть для любого момента времени t выполняется условие (6.17),

тогда, применяя второе и третье неравенства (6.63), получим

2 2

2 1 * 1 0 1

0

2

0 * 0 *

2 2

2 1 0 * 0 *

2 2 2

2 2 1 *

( ) ( ) ( )

2

2 4

2(1 ) (1 ) ( ) ( ) .

l

t D N t M V t w

M M w M M ww

F u M M uu M M u

F u D N t M V t w dx

(6.70)

Квадратичная форма под знаком интеграла в (6.70) относительно

( , ), ( , )w x t w x t согласно критерию Сильвестра будет положительно

определенной при выполнении неравенства (6.19), а квадратичная форма

под знаком интеграла в (6.70) относительно ( , ), ( , )u x t u x t согласно

критерию Сильвестра будет положительно определенной при выполнении

неравенства

2 1 0 *8 0F M M . (6.71)

Учитывая (6.19), (6.71), из (6.70) получим

2 2 2

2 2 1 *

0

( ) 2(1 ) (1 ) ( ) ( ) .

l

t F u D N t M V t w dx (6.72)

Используя неравенство Коши-Буняковского, получим

2 2 2 2

0 0

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ,

l l

u x t l u x t dx w x t l w x t dx (6.73)

Применяя (6.73), из (6.72) окончательно получим нижнюю оценку

функционала

2

2

2 2

2 1 *

2( ) (1 ) ( , )

1( ) ( ) ( , )

t F u x tl

D N t M V t w x tl

(6.74)

при любом [0, ]x l в любой момент времени 0t .

Согласно (6.66), (6.67), (6.74) получим оценку:

2

2

2

2 2 2

2 1 * 0 0

0

2(1 ) ( , )

1 1( ) ( ) ( , )

2

l

F u x tl

D N t M V t w x t EF u wl

(6.75)

165

2 2 2 2 2 2

0 * 0 0 2 0 2 0 * 0

2

0 1 0 0 * 0 0 0 * 0 0

( ) 2 ( (0) (0))

4 2 .

M M u w F u D I w N M V w

w M M u u M M w w dx

Таким образом, если выполняются условия (6.11), (6.65), (6.17), (6.19),

(6.71), то Φ( ) 0, Φ( ) 0t t . На основании неравенства (6.70) можно сделать

вывод: функции ( , ), ( , ), ( , ), ( , )u x t u x t w x t w x t устойчивы по отношению к

возмущениям начальных данных. Из оценки (6.75) следует, что решение

( , ), ( , )u x t w x t устойчиво по отношению к возмущениям начальных

данных0 0 0 0 0 0 0, , , , , , .u u u w w w w Следовательно, на основании проведенного

исследования функционала доказана теорема.

Теорема 6.3 Пусть для любого момента времени t найдутся числа

0, (0,1), (0,1), при которых будут выполнены условия (6.11),

(6.65), (6.17), (6.19), (6.71). Тогда решение ( , ), ( , )u x t w x t системы

уравнений (6.56) и производные ( , ), ( , ), ( , ), ( , )u x t u x t w x t w x t устойчивы по

отношению к возмущениям начальных значений 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,u u u w w w w ,

если ( , ), ( , )u x t w x t удовлетворяют краевым условиям (6.58).

166

7 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

ДЕФОРМИРУЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ

СВЕРХЗВУКОВОМ РЕЖИМЕ ОБТЕКАНИЯ

7.1 Математическая модель

Пусть на плоскости Oxy , в которой происходят совместные

колебания потока идеального газа и упругой пластины, пластине

соответствует положение = 0, [0, ]y x l . Скорость потока параллельна оси

Ox и равнаV ( >V a , где a – скорость звука в невозмущенном потоке,

* = >1V

Ma

– число Маха). На рис. 7.1 представлены примеры обтекания

конструкций с упругим элементом сверхзвуковым потоком газа: а)

двустороннее обтекание рассекателя с образованием ударной волны; б)

одностороннее обтекание защитного экрана с образованием волны

разрежения.

Рисунок 7.1 – Примеры обтекания конструкций с упругим элементом

сверхзвуковым потоком газа

Введем обозначения: ( , ), ( , )u x t w x t – функции, определяющие

прогиб элемента в направлении осей Ox и Oy (продольная и поперечная

составляющие деформации элемента); 0= = > 0a const

0( =1 при

одностороннем обтекании, 0 = 2 при двустороннем обтекании).

Рассмотрим нелинейную модель упругого тела. Тогда уравнения

малых колебаний упругого элемента, моделируемого упругой пластиной, с

учетом аэродинамического воздействия потока на нее имеют вид

2

2

2

2 1 0

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) = 0,

2

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( ( , ) ( , )) = 0, (0, ).

EF u x t w x t Mu x t Fu x t

EF w x t u x t w x t Dw x t Mw x t

N t w x t Iw x t w x t w x t

w x t Vw x t x l

(7.1)

167

Сжимающая или растягивающая элемент сила N может зависеть от

времени. Например, при изменении теплового воздействия на пластины с

течением времени ( )N t имеет вид (2.9).

Аэродинамическая нагрузка определяется выражением ( )w Vw ,

справедливым при достаточно больших скоростях сверхзвукового потока

V .

Предположим, что концы упругого элемента закреплены либо жестко,

либо шарнирно, тогда при 0x и x l выполняется одно из условий:

1) ( , ) ( , ) ( , ) 0w x t w x t u x t , 2) ( , ) ( , ) ( , ) 0w x t w x t u x t . (7.2)

Для определенности исследуем устойчивость пластины в случае

шарнирного неповижного закрепления обоих концов пластины:

(0, ) = (0, ) = (0, ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = 0.w t w t u t w l t w l t u l t (7.3)

Для остальных способов закреплений концов пластины исследование

устойчивости производится аналогично.

Зададим также начальные условия:

1 2 3 4( ,0) = ( ), ( ,0) = ( ), ( ,0) = ( ), ( ,0) = ( ),w x f x w x f x u x f x u x f x (7.4)

которые должны быть согласованы с граничными условиями (7.3).

Таким образом, получена начально-краевая задача (7.1), (7.3), (7.4)

для определения двух неизвестных функций ( , ), ( , )w x t u x t .

7.2 Исследование устойчивости

Получим достаточные условия устойчивости тривиального решения

( , ) 0,w x t ( , ) 0u x t системы дифференциальных уравнений (7.1) по

отношению к возмущениям начальных условий (7.4).

Пусть 1 1 1, , – наименьшие собственные значения [171] краевых

задач = , = , = с краевыми условиями (7.3) для

функции ( , )w x t , 1 – наименьшее собственное значение краевой задачи

( ) = ( )x x с краевыми условиями (7.3) для функции ( , ).u x t

Теорема 7.1 Если функции ( , ), ( , )w x t u x t удовлетворяют краевым

условиям (7.3) и найдется число > 0 такое, что для любого момента

времени > 0t выполняются условия

0 1 2 1> 0, > 0, 0, 0, 0, ( ) > 0,M D D N t (7.5)

2

2 1 0 1 1 1 22 > 0, ( ) > ,F M D I N t M (7.6)

2 1 1 > 0,I M (7.7)

2 2

2 1 1 1

14 ( ) ( ) 0,

2I M D N t N t V

(7.8)

то решение ( , ), ( , )w x t u x t системы уравнений (7.1) и производные ( , )w x t ,

( , )u x t устойчивы по отношению к возмущениям начальных данных

0 0 0 0 0 0 0, , , , , , .u u u w w w w

168

Доказательство. Введем функционал 2

2 2 2 2

0

2 2

0

2 2 2 2

2 1 2

1( ) = ( , ) ( , ) ( ( , ) ( , )) ( , )

2

( ) ( , ) ( , ) 4 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )

2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

l

t EF u x t w x t M u x t w x t Dw x t

N t w x t w x t M u x t u x t M w x t w x t

F u x t w x t I w x t w x t dx

(7.9)

где > 0 – некоторый постоянный положительный параметр.

Проведем оценки для функционала с учетом граничных условий (7.3).

Используя неравенство Рэлея, получим

2 2 2 2

1 1

0 0 0 0

2 2 2 2

1 1

0 0 0 0

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ,

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) .

l l l l

l l l l

w x t dx w x t dx u x t dx u x t dx

w x t dx w x t dx w x t dx w x t dx

(7.10)

Учитывая, что первое слагаемое под знаком интеграла в функционале

(7.9) неотрицательно, и применяя первое неравенство (7.10), получим

2 2 2

1 2

0

2

0 1

2

2

( ) ( ( , ) ( , )) ( ) ( ) ( , )

( , ) 4 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )

2 ( , ) .

l

t M u x t w x t D I N t w x t

w x t M u x t u x t M w x t w x t

F u x t dx

(7.11)

Пусть выполняются условия (7.5). Тогда, используя второе и третье

неравенства (7.10), получим следующую оценку функционала

2 2

2 1

0

2

2

0 1 1 1 2

( ) ( , ) 4 ( , ) ( , ) 2 ( , )

( , ) 2 ( , ) ( , )

( ) ( , ) .

l

t Mu x t M u x t u x t F u x t

Mw x t M w x t w x t

D I N t w x t dx

(7.12)

Получили две квадратичные формы относительно ( , ), ( , )u x t u x t и ( , ),w x t

( , )w x t с матрицами

0 1 1 1 22 1

2, .

( )2 2

M MM M

M D I N tM F

Согласно критерию Сильвестра квадратичные формы будут положительно

определенными, если все угловые миноры положительны, т. е.

выполняются условия (7.6).

Начальное значение функционала примет вид

169

2

2 2 2

0

2 2 2

2 0 1

2

2

1(0) = ( ,0) ( ,0) ( ( ,0) ( ,0))

2

( ,0) (0) ( ,0) ( ,0)

4 ( ,0) ( ,0) 2 ( ,0) ( ,0) 2 ( ,0) .

l

EF u x w x M u x w x

D I w x N w x w x

M u x u x M w x w x F u x dx

(7.13)

Найдем производную от функционала (7.9) по переменной t:

2

0

2

2

0

1( ) = 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , )

2 ( ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 4 ( , ) 4 ( , ) (

l

t EF u x t w x t u x t w x t w x t

Mu x t u x t Mw x t w x t Dw x t w x t N t w x t

N t w x t w x t w x t w x t M u x t M u x t u x

, )t

2

22 ( , ) 2 ( , ) ( , ) 4 ( , ) ( , )M w x t M w x t w x t F u x t u x t (7.14)

1 22 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) .w x t w x t I w x t w x t w x t w x t dx

Для функций ( , ),u x t ( , )w x t , удовлетворяющих системе (7.1), из (7.14)

получим равенство:

2

0

1( ) = 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

l

t EF u x t w x t u x t w x t w x t

2

2

12 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2u x t EF u x t w x t Fu x t

212 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2w x t EF w x t u x t w x t Dw x t

2 1 0( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )N t w x t Iw x t w x t w x t w x t Vw x t

2

02 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 2 ( ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )Dw x t w x t N t w x t N t w x t w x t w x t w x t

2 2

2

12 ( , ) 4 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2M u x t u x t EF u x t w x t Fu x t

2 212 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2M w x t w x t EF w x t u x t w x t Dw x t

2 1 0( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )N t w x t Iw x t w x t w x t w x t Vw x t

2 1 24 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )F u x t u x t w x t w x t I w x t w x t

170

2 ( , ) ( , ) .w x t w x t dx

(7.15)

Интегрируя по частям, с учетом граничных условий (7.3), находим

0 0

0 0 0 0

= = = ,

l l l ll l

ww dx ww w w dx w w w w dx w w dx

2 2

0 0

0 0 0 0

= = = ,

l l l ll l

ww dx ww w w dx w w w dx w dx

2 2

0 0 0 0 0 0

= , = , = ,

l l l l l l

ww dx w dx ww dx w w dx uu dx u dx

2

0 0 0 0 0 0

= , = , = ,

l l l l l l

uu dx u u dx ww dx w w dx ww dx w dx

2 2

0 0 0

1 1= 0, =

2 2

ll l

ww dx u u w dx u u w

2 2

0 0

1 1= ,

2 2

l l

u u w dx u u w dx

2 2 2 2

0 00

1 1 1= =

2 2 2

ll l

w w u w dx ww u w w u w dx

2 2 2 2

0 0 0

1 1 1= , =

2 2 2

ll l

w u w dx u u w dx u u w

2 2 2

0 0 0

1 1 1= , =

2 2 2

l l l

u u w dx u u w dx w w u w dx

2 2 2

0 00

1 1 1= = .

2 2 2

l l l

ww u w w w u w dx w w u w dx

Используя эти неравенства, из (7.15) получим

2 2 2

2 1

0

2

2 2

2

( ) = 2 ( , ) 2 ( , ) ( , )

1( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )

2

l

t Fu x t M u x t M w x t

Iw x t Vw x t w x t EF u x t w x t

(7.16)

2 2 2

0

1( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) .

2Dw x t N t N t w x t w x t dx

Используя оценки (7.10), будем иметь

171

2 2

2 1 2 1 1

0

( ) 2 2 ( , ) ( , )

l

t F M u x t I M w x t

(7.17)

2

1

1( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) .

2Vw x t w x t D N t N t w x t dx

Получили две квадратичные формы относительно ( , )u x t и

( , ), ( , )w x t w x t . Вторая квадратичная форма имеет матрицу

2 1 1

1

1

2.

1 1( ) ( )

2 2

I M V

V D N t N t

Квадратичные формы будут положительно полуопределенными, если все

главные миноры неотрицательны, т.е. выполняются условия

2 1 2 1 1 1

12 0, 0, ( ) ( ) 0

2F M I M D N t N t (7.18)

и условие (7.8).

Первое условие (7.18) выполняется в силу первого условия (7.6). Так

как слагаемое 2 2V в условии (7.8) строго положительно, то второе и

третье неравенства (7.18) должны быть строгими. Более того, в силу (7.8)

достаточно строгого выполнения хотя-бы одного из них. Потребуем

выполнения условия (7.7).

Следовательно, при выполнении первого условия (7.6) и условий

(7.7), (7.8), из (7.17) окончательно получим оценку

( ) 0.t (7.19)

Так как при условиях (7.5), (7.6), (7.7), (7.8) функционал (7.9)

удовлетворяет условиям ( ) 0t , ( ) 0t , то решение ( , )w x t , ( , )u x t и

производные ( , )w x t , ( , )u x t устойчивы по отношению к возмущениям

начальных условий. Таким образом, теорема доказана.

7.3 Анализ условий устойчивости

В условия (7.6), (7.7), (7.8) входит неизвестный параметр > 0 .

Следовательно, применение теоремы 7.1 состоит в том, чтобы подобрать

такое значение параметра > 0 , при котором одновременно выполняются

все неравенства (7.5), (7.6), (7.7), (7.8) в любой момент времени > 0t . Для

удобства использования теоремы 7.1 исключим параметр из системы (7.6),

(7.7), (7.8):

2 1 2 1 1

2 2

2 1 1 1

2

0 1 1 1 2

2 > 0, > 0,

2 2 ( ) 2 ( ) 0,

( ) > .

F M I M

I M D N t N t V

D I N t M

(7.20)

172

Для этого разрешим каждое неравенство системы (7.20) относительно :

2 1 2 1 1

2

1 2 1 1 1

2 2

2 1 1

2

1 1 1 2 0 1 1

2 < , < ,

4 ( ( )) 2 2 ( ) ( )

2 ( ) 0,

( ) < 0.

M F M I

M D N t I D N t MN t

N t I V

M I D N t

(7.21)

Получили два линейных и два квадратных неравенства. Так как > 0M , то

линейные неравенства однозначно разрешаются относительно :

2 1 2 1 1< , < .2

F I

M M

Так как 14 ( ( )) > 0M D N t («ветви» параболы направлены вверх), то для

неположительности первого квадратного выражения его дискриминант

должен быть положителен, т.е. должно выполняться условие

2 1 1 1 12 ( ) ( ) > 2 ( ) ,I D N t MN t V M D N t (7.22)

а параметр должен находиться между корнями квадратного трехчлена.

Так как 0 1 1> 0, ( ) > 0M D N t , то дискриминант второго

квадратного выражения всегда положителен и больше чем

2

1 1 1 2 .I Следовательно, один корень положительный, а другой

отрицательный. Так как параметр > 0 должен находится между корнями

квадратного трехчлена, то достаточно потребовать, чтобы он был меньше

положительного корня.

Введем обозначения:

1 2 1 1 2 2 1 1 1= , = ;I I (7.23)

1 1( ) = ( ).D t D N t (7.24)

Учитывая сказанное, из (7.21) получим систему неравенств,

разрешенную относительно :

2 1 11 2

1 1 1

22 2

1 1 1 1 1

3

1

22 2

1 1 1 1 1

4

1

2

2 2 1 1 0

5

> 0, < = , < = ,2

2 ( ) ( ) > 2 ( ),

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( )( ) = ,

4 ( )

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( )( ) = ,

4 ( )

4 ( )< ( ) =

2

F

M M

D t MN t V MD t

D t MN t D t MN t M V D tt

MD t

D t MN t D t MN t M V D tt

MD t

M D tt

.

M

(7.25)

173

Выписывая из системы (7.25) неравенства для параметра :

1 2 3 4 5> 0, < , < , ( ), ( ), < ( ),t t t

получим

3 1 2 4 5max 0, ( ) < < min , , ( ), ( ) .sup inf inft tt

t t t (7.26)

Заметим, что в случае

3 3 1 2 4 5 4max 0, ( ) = ( ), min , , ( ), ( ) = ( )sup sup inf inf inft t tt t

t t t t t

неравенства будут нестрогими.

Исключая из (7.26) параметр и добавляя условия (7.5), (7.22), из

(7.25) окончательно получим условия устойчивости:

0 1 2 1

1 1 1

22 2

1 1 1 1 1

1

2

2 2 1 1 01 2 1

1 1

> 0, > 0, 0, 0, 0, ( ) > 0,

2 ( ) ( ) > 2 ( ),

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( )max 0, <sup

4 ( )

4 ( )< min , , ,inf

2 2

2 ( )inf

t

t

t

M D D N t

D t MN t V MD t

D t MN t D t MN t M V D t

MD t

M D tF

M M M

D t

2

2 2

1 1 1

1

( ) 2 ( ) ( ) 4 ( ).

4 ( )

MN t D t MN t M V D t

MD t

(7.27)

Таким образом, получена система неравенств (7.27), явно содержащая

параметры механической системы, и теорему 7.1 можно записать в

следующем виде.

Теорема 7.2 Если функции ( , ), ( , )w x t u x t удовлетворяют краевым

условиям (7.3) и для любого момента времени > 0t выполняются условия

(7.27), то решение ( , ), ( , )w x t u x t системы уравнений (7.1) и производные

( , )w x t , ( , )u x t устойчивы по отношению к возмущениям начальных

данных 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , .u u u w w w w

7.4 Оценка амплитуды деформаций

В большинстве случаев при проектировании аэроупругих

конструкций для обеспечения надежности эксплуатации и продления срока

их службы необходимо иметь представление не только об устойчивости их

упругих элементов, но и об амплитуде этих колебаний, которая не должна

превышать предельно допустимых значений. Произведем оценку функций

деформаций ( , ), ( , )w x t u x t в случае устойчивости колебаний пластины в

174

зависимости от начальных условий. Для этого введем два параметра

1 2( ), (0,1)t , где первый параметр переменный, а второй постоянный.

Тогда неравенство (7.11) запишем в виде

2 2 2

1 2 1

0

2 2

1 2 1 0 1

2

2 2

2

2 2

( ) ( ( , ) ( , )) ( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) (1 ( )) ( , ) ( , )

4 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , )

2 (1 ) ( , ) .

l

t M u x t w x t D I N t t w x t

D I N t t w x t w x t

M u x t u x t M w x t w x t F u x t

F u x t dx

(7.28)

Пусть выполняются условия (7.5). Тогда, используя второе и третье

неравенства (7.10), из (7.28) получим следующую оценку функционала:

2 2

1 2 1 2 2

0

2 2

2 2 1

2

2

0 1 1 1 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 ( , )

( , ) 4 ( , ) ( , ) 2 (1 ) ( , )

( , ) 2 ( , ) ( , )

(1 ( )) ( ) ( , ) .

l

t D I N t t w x t F u x t

Mu x t M u x t u x t F u x t

Mw x t M w x t w x t

t D I N t w x t dx

(7.29)

Получили две квадратичные формы относительно ( , ), ( , )u x t u x t и ( , ),w x t

( , )w x t с матрицами

2 2 1

2,

2 2 (1 )

M M

M F

0 1 1 1 1 2

.(1 ( )) ( )

M M

M t D I N t

Так как 0M , то для положительной полуопределенности квадратичных

форм достаточно потребовать, чтобы определители матриц были равны

нулю (условие полного квадрата). Следовательно, получим равенства

2 1 2(1 ) 2 = 0,F M

2

0 1 1 1 1 2(1 ( )) ( ) = .t D I N t M

Выражая отсюда параметры 1 2, , находим

2 12

2 1

2

1 1 2 0 1

1

1 1 2

2= ,

( )( ) = .

( )

F M

D I N t Mt

D I N t

(7.30)

Учитывая, что квадратичные формы положительно полуопределены,

из (7.29) получим

175

2 2

1 2 1 2 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 ( , ) .

l

t D I N t t w x t F u x t dx (7.31)

Используя неравенство Коши-Буняковского, согласно краевым

условиям (7.3), получим оценки:

2 2 2 2

0 0

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) .

l l

w x t l w x t dx u x t l u x t dx (7.32)

Применяя (7.32), из (7.31) имеем

2 22 21 2 1

1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ).

Ft D I N t t w x t u x t

l l

(7.33)

Следовательно, согласно (7.19), (7.33) получим оценку

(7.34)

где (0) определено в (7.13), 1 2( ),t определены в (7.30), принадлежит

интервалу (7.26).

Рассматривая неравенство (7.33) относительно каждой

составляющей деформации, окончательно оценим их амплитуду

1 2 1 2 2

(0) (0)| ( , ) | , | ( , ) | .inf inf

( ) ( ) ( ) 2

l lw x t u x t

D I N t t F

(7.35)

7.5 Пример механической системы

Рассмотрим одностороннее обтекание пластины (0 =1 ). Рабочая

среда – воздух: плотность =1 кг/м3; скорость звука = 331a м/с;

0= = 331a Па*с/м. Пластина изготовлена из алюминия: модуль

упругости 10= 6,9 10E Па; плотность = 2700 кг/м

3; температурный

коэффициент линейного расширения 5= 2,22 10T

1C; коэффициент

Пуассона = 0,34 ; коэффициент затухания 02 = 0,05 . Считаем, что слой

обжатия отсутствует: коэффициент жесткости слоя обжатия 0 = 0 (Па/м);

коэффициент затухания 01 = 0 с

–1.

Возьмем следующие варьируемые параметры механической

системы: толщина пластины = 0,05h м; длина пластины =1l м, скорость

потока воздуха = 600V м/с.

Следовательно, погонная масса пластины = =135M h кг/м2;

2= = 7,58 101

hF

м; момент инерции 3

5

2= =1,18 10

12(1 )

hI

м3;

изгибная жесткость пластины 5= = 8,13 10D EI H*м; коэффициент

внутреннего демпфирования 4

2 02= 2 = 6,82 10Emh Па*с; коэффициент

2 22 21 2 1

21( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) (0),

FD I N t t w x t u x t

l l

176

внешнего демпфирования 1 = 0 Па*с, так как

01 = 0 . Пусть температура

изменяется по гармоническому закону

, =10 sin10 ( ).T z t t C

Тогда, согласно (2.9), получим 4

0( ) = (10 sin10 ) = 7,66 10 (10 sin10 ),TT t Eh t t 4( ) = 1,16 10 (10 sin10 ).TN t t

Пусть при закреплении пластина растянута на 0,5%, тогда постоянная

составляющая усилия, созданная при закреплении пластины 7

0 = 0,005 = 2,61 10N EF Па*м.

Следовательно, найдем продольное усилие ( ) :N t

7 5

0= ( ) = 2,73 10 1,16 10 sin10TN t N N t t (Па*м)

с производной 6= 1,16 10 cos10N t t (Па*м/c). Область значений

функций 7 7 6 6[2,718 10 ;2,742 10 ], [ 1,16 10 ;1,16 10 ]N t N t .

Наименьшие собственные значения краевых задач = ,

= , = с краевыми условиями (7.6) для функции ( , )w x t ,

согласно [36], равны 2 4

2 4

1 1 12 4= = = , = =

l l

; наименьшее

собственное значение краевой задачи ( ) = ( )x x с краевыми

условиями (7.3) для функции ( , )u x t равно 2

2

1 2= =

l

.

Подставим все параметры в систему (7.25). Рассчитаем согласно

(7.23), (7.24) демпфирующие и прочностную характеристики:

1 2 1 1 2 2 1 1 1= = 409,3, = = 409,3,I I 7 5

1 1( ) = ( ) = 3,53 10 1,16 10 sin10 .D t D N t t

Очевидно, что 1( ) > 0D t для любого момента времени t . Заметим также,

что в отличие от случая дозвукового обтекания пластин, рассмотренного в

главах 1–6, основное демпфирование идет от потока, а не за счет

внутреннего трения.

С помощью системы Mathcad рассчитаем коэффициенты системы

неравенств (7.25):

2 1 11 2< = =188,99; < = = 3,03;

2

F

M M

9

1 1 12 ( ) ( ) 2 ( ) 1,32 10 > 0;D t MN t V MD t

3 4 5( ) 1,07; ( ) 1,98; < ( ) 1605,74.t t t

Параметр (1,07;1,98) . Неравенство (7.26) выполняется, следовательно,

согласно теореме 7.2, решение ( , ), ( , )w x t u x t системы уравнений (7.1) и

177

производные ( , )w x t , ( , )u x t устойчивы по отношению к возмущениям

начальных данных (7.4).

Произведем оценки амплитуды деформаций (7.35). Пусть начальные

условия (7.4) имеют вид:

6 5

1 2

2 2( ) = 5 10 sin , ( ) = 1 10 sin ,

x xf x f x

l l

7 8

3 4

2 2( ) =1 10 sin , ( ) = 5 10 sin .

x xf x f x

l l

Начальные условия согласуются с краевыми условиями (7.3). Применяя

(7.35), получим оценки 5 3| ( , ) | 2,93 10 , | ( , ) | 4,45 10 .w x t u x t

178

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты исследований, представленные в монографии, вносят

вклад в решение научной проблемы, связанной с разработкой

математических методов исследования устойчивости деформируемых

упругих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии,

имеющей важное значение в различных технических приложениях.

Результаты исследований позволяют обеспечить повышенный

теоретический уровень расчетного анализа взаимодействия

деформируемых элементов с потоком жидкости или газа и повысить

эффективность решения задач рационального проектирования

конструкций.

Построены математические модели конструкций с деформирумыми

элементами, отражающие расширенный спектр свойств исследуемых

объектов и характер их взаимодействия. Рассмотрены модели

трубопроводов, крыловых профилей и вибрационных устройств.

Дана методика исследования устойчивости деформируемых элементов

конструкций, основанная на построении функционалов для связанных

систем дифференциальных уравнений с частными производными,

описывающих деформации элементов.

На основе разработанных моделей и методик получены достаточные

условия динамической устойчивости деформируемых элементов

трубопроводов, крыловых профилей и вибрационных устройств,

налагающие ограничения на типы закреплений, скорость потока, значения

продольных усилий, а также другие параметры механических систем

(прочностные, геометрические, инерционные, демпфирующие).

179

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Абзалилов Д. Ф. Проектирование крылового профиля экраноплана

в диапазоне режимов обтекания // Изв. вузов. Авиационная техника. –

2006. – № 5. – С. 22-25.

2. Агеев Р. В., Могилевич Л. И., Попов В. С. Колебания стенок

щелевого канала с вязкой жидкостью, образованного трехслойным и

твердым дисками // Проблемы машиностроения и надежности машин. –

2015. – № 1. – С. 3-11.

3. Агеев Р. В., Кузнецова Е. Л., Куликов Н. И., Могилевич Л. И.,

Попов В. С. Математическая модель движения пульсирующего слоя

вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник Пермского

национального исследовательского политехнического университета.

Механика. – 2015.– № 3. – С. 17-35.

4. Алгазин С. Д. Численно-аналитическое исследование флаттера

пластин и пологих оболочек: дисс. … доктора физ.-мат. наук. – М., 1999. –

237 с.

5. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Исследование собственных значений

оператора в задачах панельного флаттера // МТТ, 1999. – № 1. – С. 170-176.

6. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Численно-аналитические исследование

флаттера пластины произвольной формы в плане // ПММ, 1997. – Т.60. –

Вып.1. – С.171-175.

7. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Численное исследование флаттера

прямоугольной пластины // ЖПМТФ, 2003. – Т.44, №5. – С. 35-42.

8. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Флаттер пластин и оболочек. – М.:

Наука, 2006. – 247 с.

9. Александров А. В., Потапов В. Д. Основы теории упругости и

пластичности. – М.: Высшая школа, 1990. – 400 с.

10. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. –

М.: Машиностроение, 1978. – 311 с.

11. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. – М.:

Наука, 1975.– 446 с.

12. Андреев А. С., Аминаров А. В., Вельмисов П. А. Метод

функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости уравнения нейтрального

типа // Научно-технический вестник Поволжья. – 2011. – № 5. – С. 38-43.

13. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Об устойчивости решений

системы интегродифференциальных уравнений в одной задаче

аэроупругости // Журнал Средневолжского математического общества. –

Саранск, 1998. – Т. 1, № 1. – C. 88-92.

14. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость вязкоупругих

элементов тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом

воздействии // Деп. в ВИНИТИ 06.08.98, N2522-В98. – 131с.

180

15. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость вязкоупругих

элементов стенок проточных каналов. – Ульяновск: УлГТУ, 2000. – 115 с.

16. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость вязкоупругих

элементов несущей поверхности в дозвуковом потоке // Журнал

Средневолжского математического общества. – 2007. – Т. 9, № 1. –

С. 69-80.

17. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Покладова Ю. В.

Математические модели механической системы «трубопровод – датчик

давления» // Вестник Саратовского государственного технического

университета. – 2007. – № 3(27), Вып. 2. – С. 7-15.

18. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость решений системы

нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных

производных // Журнал Средневолжского математического общества. –

2008. – Т. 10, № 2. – С. 79-87.

19. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость решений интегро-

дифференциального уравнения в частных производных с запаздыванием //

Журнал Средневолжского математического общества. – 2008. – Т. 10, № 1.

– С.11-19.

20. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Покладова

Ю. В. Математическое моделирование механической системы

«трубопровод – датчик давления». – Ульяновск: УлГТУ, 2008. – 188 с.

21. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Динамика и устойчивость упругих

пластин при аэрогидродинамическом воздействии. – Ульяновск: УлГТУ,

2009. – 220 с.

22. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Математическое моделирование

динамики и устойчивости упругих элементов крыла // Вестник

Саратовского государственного технического университета. – 2009. –

№ 1(37), Вып. 1. – С. 7-16.

23. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Исследование динамической

устойчивости упругих элементов стенок канала // Вестник Саратовского

государственного технического университета. – 2009. – № 2(39), Вып. 1. –

С. 7-17.

24. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость решений одного

класса нелинейных дифференциальных уравнений в аэроупругости //

Журнал Средневолжского математического общества. – 2009. – Т. 11, № 2.

– С.35-42.

25. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Критерий определения порядка

галеркинского приближения решения начально-краевых задач // Журнал

Средневолжского математического общества. – Саранск, 2010. – Т. 12,

№ 1. – С. 7-23.

26. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Решетников Ю. А.

Математическое моделирование одной динамической системы типа

181

«тандем» // Журнал Средневолжского математического общества. –

Саранск, 2010. – Т. 12, № 3. – С. 18-27.

27. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Исследование динамики и

устойчивости упругого элемента конструкции при сверхзвуковом

обтекании // Вестник Саратовского государственного технического

университета. – 2011. – № 3(57), Вып. 1. – С. 59-67.

28. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Математическое моделирование

динамики и устойчивости деформируемых элементов конструкций при

аэрогидродинамическом воздействии // Вестник Нижегородского

университета им. Н.И.Лобачевского. – 2011. – № 4, Ч. 5. – C. 2058-2059.

29. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Исследование динамической

устойчивости упругих элементов стенок канала // Вестник Самарского

государственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. –

2011. – № 1(22). – С. 179-185.

30. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Семенова Е. П. О решениях

интегро-дифференциальных уравнений в задаче динамики одной

аэроупругой системы типа «тандем» // Вестник Самарского

государственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. –

2011. – № 2(23). – С. 266-271.

31. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Сагдеева Ю. К. Сравнительный

анализ условий динамической устойчивости упругого элемента канала при

взаимодействии с потоком сжимаемой и несжимаемой среды // Журнал

Средневолжского математического общества. – 2012. – Т. 14, № 1. –

С. 45-52.

32. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Казакова Ю. А. Устойчивость

решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости //

Вестник Самарского государственного технического университета. Серия

«Физико-математические науки». – 2013. – № 2 (31). – С. 120-126.

33. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Судаков В. А. Исследование

динамической устойчивости защитного экрана при сверхзвуковом

обтекании потоком газа // Журнал Средневолжкого математического

общества. – 2013. – Т. 15, № 3. – С. 20-29.

34. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Судаков В. А. Математическое

моделирование динамики защитного экрана при взаимодействии со

сверхзвуковым потоком газа // Журнал Средневолжского математического

общества. – 2013. – Т. 15, № 3. – С. 52-60.

35. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Судаков В. А. Об устойчивости

решений начально-краевой задачи о динамике защитного экрана при

взаимодействии со сверхзвуковым потоком газа // Вестник Ульяновского

государственного технического университета. – 2013. – №3(63). – С. 45-52.

36. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Математическое моделирование в

задачах динамической устойчивости деформируемых элементов

182

конструкций при аэрогидродинамическом воздействии. –Ульяновск:

УлГТУ, 2013. – 322 с.

37. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Математическое моделирование

динамики упругого элерона крыла при дозвуковом обтекании //

Автоматизация процессов управления. – 2015. – № 3 (37). – С. 47-57.

38. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Захарова А. Б. Динамика и

устойчивость упругого элерона крыла при дозвуковом обтекании //

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-

математические науки. – 2015. – № 3 (31). – С. 22-39.

39. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Тамарова Ю. А. Динамическая

устойчивость упругого элемента проточного канала // Известия высших

учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки,

2015. – № 3 (31). – С. 40-55.

40. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Исследование устойчивости

решений некоторых классов начально-краевых задач аэрогидроупругости

// Вестник национального исследовательского ядерного университета

«МИФИ». – 2015. – Т. 3, № 6. – С. 661-670.

41. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Судаков В. А. Mathematical

modeling of the problem about dynamic stability of the shield in a supersonic

gas flow // ROMAI Journal. – Romania, 2015. – V. 10, № 1. – P. 221-235.

42. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Исследование динамики одной

аэроупругой системы типа «тандем» // Журнал Средневолжского

математического общества. – 2015. – Т. 17, № 1. – С. 8-21.

43. Анкилов А. В., ВельмисовП. А. Функционалы Ляпунова в

некоторых задачах динамической устойчивости аэроупругих конструкций.

– Ульяновск: УлГТУ, 2015. – 146 с.

44. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Об устойчивости одной задачи

аэроупругости // Проблемы математического анализа. – 2016. – Вып. 85. –

С. 17-27.

45. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Тамарова Ю. А. Исследование

динамики и устойчивости упругого элемента проточного канала // Журнал

Средневолжского математического общества. – 2016. – Т. 18, № 1. –

С. 94-107.

46. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Исследование устойчивости

вязкоупругого элемента конструкции при сверхзвуковом обтекании //

Журнал Средневолжского математического общества. – 2016. – Т. 18, № 3.

– С. 80-90.

47. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость решений начально-

краевой задачи аэрогидроупругости // СМФН, 2016. – № 59. – С. 35-52.

48. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Динамическая устойчивость

упругой пластины при струйном обтекании // Журнал Средневолжского

математического общества. – 2017. – Т. 19, № 1. – С. 116-127.

183

49. Арутюнян Н. Х., Дроздов А. Д., Колмановский В. Б. Устойчивость

вязкоупругих тел и элементов конструкций // Итоги науки и техники:

Механика деформируемого твердого тела. – М.: ВИНИТИ, 1987. – Т.19. –

C. 3-77.

50. Арутюнян Н. Х., Колмановский В. Б. Теория ползучести

неоднородных тел. – M.: Наука, 1983. – 336 c.

51. Бабаев А. Э. Нестационарные волны в сплошных средах с

системой отражающих поверхностей. – Киев: Наукова думка, 1990. – 176 с.

52. Бадалов Ф. Б., Усманов Б. Ш. Вибрации наследственно-

деформируемого крыла с элероном в воздушном потоке // Докл. Акад. наук

Респ. Узбекистан, 2005. – № 1. – С. 53-57.

53. Бадалов Ф. Б., Усманов Б. Ш. Прямая и вариационная постановка

и методика решения задачи о вибрации наследственно-деформируемого

крыла с элероном // Пробл. мех. – 2005.– № 1. – С. 30-35.

54. Бадалов Ф. Б., Усманов Б. Ш. Новые нелинейные постановки

задачи изгибно-элеронного флаттера крыла самолета // Докл. акад. наук

респ. Узбекистан. – 2005. – № 6. – С. 30-33.

55. Бадокина Т. Е., Бегматов А. Б., Вельмисов П. А., Логинов Б. В.

Методы теории бифуркаций в многопараметрических задачах

гидроаэроупругости // Дифференциальные уравнения. – 2018. – Т. 54, № 2.

– С. 147-155. https://doi.org/10.1134/S0012266118020015.

56. Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел. – М.: Наука, 1980.

– 255 с.

57. Баничук Н. В., Бирюк В. И., Сейранян А. П., Фролов В. М.,

Яремчук Ю. Ф. Методы оптимизации авиационных конструкций. – М.:

Машиностроение, 1989.– 296 с.

58. Баранцев Р. Г. Влияние критических частот на постановку задачи о

колебании тонкого крыла в потоке газа // Дальневосточный

математический жрнал. – 2003. – Т. 5. № 2. – С. 226-230.

59. Барметов Ю. П., Дободейч И. А. К расчету нестационарных

течений сжимаемой жидкости в трубопроводе // Изв. вузов. Авиационная

техника. – 2006. – № 1. – С. 18-21.

60. Барулина К. А., Кондратов Д. В., Могилевич Л. И. Модель

гидроупругости трех соосных упругих оболочек свободно опертых по

концах с вязкими несжимаемыми жидкостями между ними в условиях

вибрации // Техническое регулирование в транспортном строительстве. –

2015. – № 3 (11). – С. 120-125.

61. Барштейн М. Ф., Бородачев Н. М., Блюмина Л. Х. и др. (под ред.

Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича) Динамический расчет сооружений на

специальные воздействия (справочник проектировщика). – М.: Стройиздат,

1981. – 215 с.

184

62. Белоусов В. П. Устойчивость крыла авиационного профиля //

Механика процессов и машин: Сборник научных трудов. Омск. гос. техн.

ун-т. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2002. – С. 76-79, 253-255.

63. Белоцерковский С. М., Кочетков Ю. А., Красовский А. А.,

Новицкий В. В. Введение в аэроавтоупругость. – М.: Наука, 1980. – 384 с.

64. Белоцерковский С. М. Численное моделирование в механике

сплошных сред. – М.: Наука, 1985.– 520 с.

65. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное

обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. – М.: Наука, 1978. –

352 с.

66. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло

в нестационарном потоке газа. – М.: Наука, 1971. – 768 с.

67. Белоцерковский С. М., Ништ М. И., Пономарев А. Т., Рысев О. В.

Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ. – М.: Машиностроение,

1987. – 240 с.

68. Белоцерковский С. М., Котовский С. М., Ништ М. И.

Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного

обтекания тел. – М.: Наука, 1988. – 232 с.

69. Белубекян В. М., Минасян М. М. О нелинейном флаттере пластин

в сверхзвуковом потоке газа // Изв. Нац. АН Армении. Мех. – 1999. – Т. 52,

№ 5. – С. 38-45.

70. Бисплингхофф Р. Л., Эшли Х., Халфман Р. Л. Аэроупругость. – М.:

ИЛ, 1958. – 860 с.

71. Блинков Ю. А., Кузнецова Е. Л., Могилевич Л. И., Рабинский Л. Н.

Волны деформаций в вязкоупругой физически нелинейной

цилиндрической оболочке, содержащей вязкую жидкость и окруженной

упругой средой // Механика композиционных материалов и конструкций. –

2015. – Т. 21, № 2. – С. 251-261.

72. Блинкова А. Ю., Блинков Ю. А., Иванов С. В., Могилевич Л. И.

Нелинейные волны деформаций в геометрически и физически нелинейной

вязкоупругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую

несжимаемую жидкость и окруженной упругой средой // Известия

Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика.

Информатика. – 2015. – Т. 15, № 2. – С. 193-202.

73. Блинков Ю. А., Месянжин А. В., Могилевич Л. И. Математическое

моделирование волновых явлений в двух геометрически нелинейных

упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую

несжимаемую жидкость // Известия Саратовского университета. Новая

серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2016. – Т. 16, № 2. –

С. 184–197.

74. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы

в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1975.– 503 с.

185

75. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой

устойчивости. – М.: Физматгиз, 1961. – 339 с.

76. Болотин В. В., Гришко А. А. Устойчивость и послекритическое

поведение аэроупругих систем с учетом дополнительного демпфирования

// Изв. А.Н. Мех. тверд. тела РАН. – 2003. – № 5. – С. 164-175.

77. Болотин В. В., Гришко А. А., Kounadis A. N., Gantes Ch., Roberts

J. B. Influence of initial conditions on the postcritical behavior of a nonlinear

system // Nonlinear Dynamics. – 1998. – V. 15. – P. 63-81.

78. Болотин В. В., Гришко А. А., Kounadis A. N., Gantes Ch., Roberts

J. B. Non-linear panel flutter in remote post-critical domains // Nonlinear

mechanics. – 1998. – V. 33, № 5. – P. 753-765.

79. Болотин В. В., ГришкоА. А., Kounadis A. N., Gantes Ch., Roberts

J. B. The fluttering panel as a continuous nonlinear nonconservative system //

Journal of vibration and control. – 2001. – V. 7. – P. 233-247.

80. Болотин В. В., Гришко И. А., Митричев Т. В. Устойчивость тонкой

панели с прикрепленными элементами в сверхзвуковом потоке // Прикл.

механика. – 1999. – Т. 1, № 2. – С. 3-10.

81. Болотин В. В., Радин В. П., Гирков В. П., Щугорев А. В.

Устойчивость участка трубопровода с упругой опорой // Известия РАН.

Механика твердого тела. – 2009. – № 1. – С. 174-185.

82. Буйвол В. Н. Колебания и устойчивость деформируемых систем в

жидкости. – Киев: Наукова думка, 1975. – 190 с.

83. Быкова Т. В., Грушенкова Е. Д., Могилевич Л. И., Скородумов

Е. С. Динамика взаимодействия упругой геометрически нерегулярной

пластины со слоем вязкой жидкости и абсолютно твердым подвижным

вибратором опоры // Математическое моделирование, компьютерный и

натурный эксперимент в естественных науках. – 2017. – № 1. – С. 64–77.

84. Ванько В. И., Феоктистов В. В. Аэродинамическая неустойчивость

системы профилей // Вестн. МГТУ. Сер. естеств. Науки. – 1998. – № 1. –

C. 25-33.

85. Веденеев В. В. Высокочастотный флаттер прямоугольной

пластины // Изв. РАН. МЖГ. – 2006. – № 5. – С. 173-181.

86. Веденеев В. В. О высокочастотном флаттере пластины // Изв.

РАН. МЖГ. – 2006. – № 2. – С. 163-172.

87. Веденеев В. В. Нелинейный высокочастотный флаттер пластины //

Изв. РАН. Мех. жидк. и газа. – 2007. – № 5. – С. 197-208.

88. Вельмисов П. А. Асимптотические уравнения газовой динамики.–

Саратов: СГУ, 1986. – 135 с.

89. Вельмисов П. А., Дроздов А. Д., Колмановский В. Б. Устойчивость

вязкоупругих систем. – Саратов: СГУ, 1991. – 179 с.

90. Пат. 2062662 Российская Федерация, МПК6 В 06 В 1/18, 1/20.

Гидродинамический излучатель / Вельмисов П. А., Горшков Г. М., Рябов

186

Г. К.; заявитель и патентообладатель Ульяновский гос. техн. ун-т. –

№ 5038746/28; заявл. 20.07.92; опубл. 27.06.96, Бюл. №18.

91. Вельмисов П. А., Колмановский В. Б., Решетников Ю. А.

Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с

жидкостью. // Дифференциальные уравнения. – 1995. – Т. 30, Вып. 11. –

C. 1966-1981.

92. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А. Устойчивость вязкоупругих

пластин при аэрогидродинамическом воздействии. – Саратов: СГУ, 1994. –

176 с.

93. Вельмисов П. А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин

при гидродинамическом воздействии // Математическое моделирование. –

1995. – Т. 7, № 5. – С. 38-39.

94. Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Решетников Ю. А.

Математическое моделирование механической системы «трубопровод -

датчик давления» // Датчики и системы. – 2003. – № 6. – С. 12-15.

95. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Ходзицкая Ю. В.,

Горбоконенко В. Д. Математические модели механической системы

«трубопровод - датчик давления» // Вестник Ульяновского

государственного технического университета. – 2003. – № 1-2(21-22). –

С. 22-25.

96. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. Математические модели одной

гидроупругой системы // Журнал Средневолжского математического

общества. – 2006. – Т. 8, № 2. – С. 93-98.

97. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П.

Математическое моделирование динамики упругого элемента датчика

давления // Вестник Ульяновского государственного технического

университета. – 2010. – № 3(51). – С. 19-25.

98. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П.

Математическое моделирование динамической системы «трубопровод -

датчик давления» // Вестник Ульяновского государственного технического

университета. – 2010. – № 2(50). – С. 17-23.

99. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П.

Математическое моделирование упругой динамической системы типа

«тандем» при дозвуковом обтекании // Вестник Ульяновского

государственного технического университета. – 2010. – № 2(50). –

С. 36-45.

100. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П. О некоторых

математических моделях механической системы «трубопровод - датчик

давления» // Вестник Ульяновского государственного технического

университета. – 2010. – № 1(49). – С. 39-45.

101. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В., Серебрянникова Е. С.

Математическое моделирование системы «трубопровод - датчик давления»

187

// Журнал Средневолжского математического общества. – 2010. – Т. 12,

№ 5. – С. 85-93.

102. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А. Математическое

моделирование динамической системы типа «тандем» из двух крыловых

профилей // Вестник Ульяновского государственного технического

университета. – 2011. – № 2(54). – С. 23-28.

103. Вельмисов П. А., Киреев С. В. Математическое моделирование в

задачах статической неустойчивости упругих элементов конструкций при

аэрогидродинамическом воздействии. – Ульяновск : УлГТУ, 2011. – 199 с.

104. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. О некоторых математических

моделях механической системы «трубопровод – датчик давления» //

Вестник Самарского государственного технического университета. Серия:

Технические науки. – 2011. – № 1. – С. 137-145.

105. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В., Серебрянникова Е. С.

Математическое моделирование систем динамического контроля за

изменением давления // Журнал Средневолжского математического

общества. – 2012. – Т. 14, № 2. – С. 22-33.

106. Вельмисов П. А., Молгачев А.А. Математическое моделирование

в задачах динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных

каналов. – Ульяновск : УлГТУ, 2012. – 184 с.

107. Вельмисов П. А., Судаков В. А., Анкилов А. В. Численный

эксперимент в задаче о динамике защитного экрана при сверхзвуковом

обтекании потоком газа // Вестник Ульяновского государственного

технического университета. – 2013. – № 3(63). – С. 38-45.

108. Вельмисов П. А., Анкилов А. В., Семенова Е. П. Динамическая

устойчивость нелинейных аэроупругих систем // Автоматизация процессов

управления. – 2017. – № 4(50). – C. 48-58.

109. Вельмисов П. А., Анкилов А. В. Динамическая устойчивость

деформируемых элементов конструкций при сверхзвуковом режиме

обтекания // Вестник Самарского гос. техн. университета: серия физ.-мат.

науки. – 2018. – Т. 22, № 1. – С. 96-115. https://doi.org/10.14498/vsgtu1588.

110. Вельмисов П. А., Анкилов А. В. О динамической устойчивости

нелинейной аэроупругой системы // Известия Иркутского

государственного университета. Серия Математика. – 2018. – Т. 23. –

С. 3-19. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.23.3

111. Вельмисов П. А., Анкилов А. В., Покладова Ю. В.

Математическое моделирование динамики и устойчивости аэроупругих

систем \\ Вестник РАЕН. – 2019. – Т. 19, № 2. – С. 48-52.

112. Вестяк А. В., Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Нестационарное

взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой // Итоги науки

и техники. Механика деформируемого твердого тела. – M.: ВИНИТИ,

1983. – Т. 15. – C. 69-148.

188

113. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. – М.:

Наука, 1967. – 984 с.

114. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек – М.:

Наука, 1972. – 432 с.

115. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи

аэроупругости. – М.: Наука, 1976. – 415 с.

116. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи

гидроупругости. – М.: Наука, 1979. – 320 с.

117. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. – М.: Физматгиз,

1963. – 880 с.

118. Галиев Ш. У. Динамика взаимодействия элементов конструкций

с волной давления в жидкости. – Киев: Наукова думка, 1977. – 172 с.

119. Галиев Ш. У. Динамика гидроупругопластических систем. –

Киев: Наукова Думка, 1981. – 276 с.

120. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. – М.: Изд-во физ-мат лит., 1963. –

640 с.

121. Гимадиев Р. Ш., Ильгамов М. А. Статическое взаимодействие

профиля мягкого крыла с потоком несжимаемой жидкости // Авиационная

техника, 1998. – № 1. – С. 43-48.

122. Глазатов С. Н. О периодических трансзвуковых течениях вязкого

газа// Сибирск. математ. журнал. – 1997. – Т. 38, № 1. – С. 69-77.

123. Гонткевич В. С. Собственные колебания оболочек в жидкости. –

Киев: Наукова думка, 1965. – 103 с.

124. Горшков А. Г. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми

преградами // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого

тела. – М.: ВИНИТИ, 1979. – Т. 13. – С. 105-186.

125. Горшков А. Г., Кузнецов В. Н., Селезов И. Т. Цилиндрическая

оболочка в нестационарном потоке вязкой жидкости // МТТ. – 1996. – № 3.

– С. 89-95.

126. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Нестационарняя аэрогидро-

упругость тел сферической формы. – М.: Наука, 1990. – 260 с.

127. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. – М.:

Наука, 1978. – 360 с.

128. Григолюк А. Г. (ред.) Аэрогидроупругость / Пер. с англ. – М.:ИЛ,

1961. – 101 с.

129. Григолюк А. Г., Лампер Р. Е., Шандаров Л. Г. Флаттер панелей и

оболочек // Итоги науки. Механика. – М.:ВИНИТИ, 1965. – Т. 2. – C. 34-90.

130. Григолюк Э. Г., Горшков А. Г. Нестационарная гидроупругость

оболочек. – Л.: Судостроение, 1975. – 208 с.

131. Григолюк Э. Г., Горшков А. Г. Взаимодействие упругих

конструкций с жидкостью. – Л.: Судостроение, 1976. – 200 с.

189

132. Григолюк Э. Г., Горшков А. Г. Погружение упругих оболочек

вращения в жидкость // Итоги науки и техники. Мех. деформ. тверд. тела. –

М.: ВИНИТИ, 1977. – Т.10. – C. 63-113.

133. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений. – М.: Изд-во

иностр. лит., 1960. – 421 с.

134. Гузь А. Н., Кубенко В. Д. Теория нестационарной

аэрогидроупругости оболочек. – Киев: Наукова думка, 1982. – 400 с.

135. Гузь А. Н., Кубенко В. Д., Бабаев А. Э. Гидроупругость систем

оболочек. – Киев: Вища школа, 1985. – 208 с.

136. Гулин Б. В., Ильгамов М. А. Обзор исследований по теории

взаимодействия мягких оболочек с потоком жидкости и газа // Статика и

динамика гибких систем. – М.: Наука, 1987. – С. 5-35.

137. Гуляев В. В., Овчинников В. В., Попов В. М., Филимонов С. В.

Методика расчета аэроупругих характеристик элементов летательного

аппарата с учетом сжимаемости воздуха // Научный Вестник МГТУ ГА. –

2007. – № 111. – С. 27-32.

138. Девнин С. И. Гидроупругость конструкций при отрывном

обтекании. – Л.: Судостроение, 1975. – 192 с.

139. Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания. – М.: Физматиздат,

1960. –580 с.

140. Денисова И. В., Индейцев Д. А., Клименко А. В. К вопросу об

устойчивости вязкоупругой пластины в потоке жидкости // Прикл. мех. и

техн. физ. – 2006. – Т. 47, № 5.– С. 66-75.

141. Довгий С. О., Баланчук О. М., Буланчук Г. Г. Колебания крыла

конечного размаха // Bicн. Харкiв. нац. ун-ту. – 2003. – № 590. –

С. 102-107.

142. Ершов Б. А., Кутеева Г. А. Применение вариационного принципа

конформных отображений в решении одной плоской динамической задачи

гидроупругости // Вестник СПб. ун-та. – 1999. – Сер. 1, № 5. – С. 83-88.

143. Ершов Б. А., Кутеева Г. А. Колебания идеальной жидкости в

прямоугольном сосуде с упругой вставкой на стенке. Учет внутреннего

трения в материале вставки // Вестник СПбУ. – 2005. – Сер. 1, Вып. 2. –

С. 86-95.

144. Звягин А. В. Движение вязкой жидкости в канале с упругими

границами // Вестн. МГУ. – 2005. – Сер.1, № 1. – С. 50-55.

145. Ильгамов М. А. Колебания упругих оболочек, содержащих

жидкость и газ. – М.: Наука, 1969. – 184 с.

146. Ильгамов М. А. Введение в нелинейную гидроупругость. – М.:

Наука, 1991. – 195 с.

147. Ильгамов М. А., Лукманов Р. Л., Зарипов Д. М. Механизм

возбуждения гидроупругих колебаний трубопровода // Труды института

механики. Вып.3. УНЦ РАН. – Уфа: Гилем, 2003. – С. 21-52.

190

148. Ильюшин А. А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших

сверхзвуковых скоростей // ПММ, 1956. – Т. 20, Вып. 6. – С. 733-755.

149. Ильюшин А. А., Кийко И. А. Закон плоских сечений в

сверхзвуковой аэродинамике и проблемы панельного флатера // МТТ. –

1995. – № 6. – С. 138-142.

150. Ильюшин А. А., Кийко И. А. Колебания прямоугольной

пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа // Вестник Московск.

ун-та. Сер.1. Математика. Механика. – 1995. – № 5.– С. 40-45.

151. Ильюшин А. А., Кийко И. А. Новая постановка задачи о флаттере

пологой оболочки // ПММ. – 1995. – Т. 58, Вып. 3. – С. 167-171.

152. Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории

термовязко-упругости. – М.: Наука, 1970. – 280 с.

153. Кадыров А. К., Кийко И. А. Флаттер упругой полосы переменной

толщины // Изв. Тульского гос. ун-та. Сер. мат., мех., инфор. – 2005. –

Т. 11, Вып. 2.

154. Казакевич М. И. Аэродинамическая устойчивость надземных и

висячих трубопроводов. – М.: Недра, 1977. – 200 с.

155. Казакевич М. И. Аэродинамика мостов. – М.: Транспорт, 1987. –

240 с.

156. Калиткин Н. К. Численные методы. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат.

лит., 1978. – 512 с.

157. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего

анализа. – М.-Л.: Физматгиз, 1962. – 696 с.

158. Каплунов С. М., Смирнов Л. В. Динамика конструкций

гидроупругих систем. – М.: Наука, 2002. – 397 с.

159. Кармишин А. В., Скурлатов Э. Д., Старцев В. Г., Фельдштейн

В. А. Нестационарная аэроупругость конструкций. – М.: Машиностроение,

1982. – 240 с.

160. Качанов Л. М. Теория ползучести. – М.: Физматгиз, 1960. – 455 с.

161. Келдыш М. В., Гроссман Е. П., Марин Н. И. Вибрации на

самолете. – М.: Оборонгиз, 1942. – 56 с.

162. Кийко И. А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и

пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой

скоростью // ПММ. – 1999. – Т. 63, Вып. 2. – С. 317-325.

163. Кийко И. А. Флаттер вязкоупругой пластины // ПММ. – 1996. –

Т. 60, Вып. 1. – С. 172-175.

164. Кийко И. А., Кудрявцев Б. Ю. Нелинейные аэроупругие

колебания прямоугольной пластины // Вестник МГУ. Сер. 1, Математика,

механика. – 2005. – № 1. – С. 68-71.

165. Кийко И. А., Показеев В. В. Колебания и устойчивость

вызкоупругой полосы в потоке газа // Докл. РАН. – 2005. – Т. 401, № 3. –

С. 342-348.

191

166. Кийко И. А., Показеев В. В. Колебания и устойчивсть упругой и

вязкоупругой консольно закрепленной полосы в потоке газа // Пробл.

машиностр. и автоматиз. – 2006. – № 3. – С. 55-59.

167. Кийко И. А., Показеев В. В. К постановке задачи о колебаниях и

устойчивости полосы в сверхзвуковом потоке газа // Механика жидкости и

газа. – 2009. – № 1. – С. 159-166.

168. Клюшников В. Д. Лекции по устойчивости деформируемых

систем. – М: МГУ, 1986. – 224 с.

169. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. – Киев: Наукова думка,

1970. – 307 с.

170. Колкунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек. – М.: Высшая

школа, 1987. – 256 с.

171. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. – М.: Наука, 1968. –

503 с.

172. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические

режимы регулируемых систем с последствием. – М.: Наука, 1981. – 448 с.

173. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. – М: Высшая школа,

1976. – 277 с.

174. Коренев Б. Г., Резников Л. М. Динамические гасители колебаний.

Теория и технические приложения. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит.,

1988. – 304 с.

175. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. – М.:

Мир, 1972. – 274 с.

176. Кравчук А. С., Майборода В. П., Уржумцев Ю. С. Механика

полимерных и композиционных материалов. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат.

лит., 1985. – 303 с.

177. Красильщикова Е. А. Тонкое крыло в сжимаемом потоке. – М.:

Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. – 223 с.

178. Краховецкий Н. Н. Устройства для размешивания жидких

компонент. – Патент №2211082, Российская Федерация. – 2003.

179. Крыжевич Г. Б. Гидроупругие колебания крыла малого

удлинения // Вопросы динамической прочности, вибрации и безопасности

эксплуатации корпусов судов: Сборник статей. ЦНИИ им. акад. А.Н.

Крылова. – СПб., 2005. – С. 160-167.

180. Кубенко В. Д. Нестационарное взаимодействие элементов

конструкций со средой. – Киев: Наукова думка, 1979. – 184 с.

181. Кудрявцев Б. Ю. Исследование задачи о флаттере прямоугольной

пластины в уточненной постановке // Тр. Моск. конф. молодых ученых

«Научно-технические проблемы развития московского мегаполиса». – М.:

ИМАШ РАН, 2003. – С. 60-65.

192

182. Кудрявцев Б. Ю. Флаттер упругой пластины, находящейся в

потоке газа, при умеренных сверхзвуковых скоростях // Изв. Тул. гос. ун-

та. Сер. мат., мех., информ. – 2005. – Т. 11, Вып. 3.

183. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций

комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

184. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их

математические модели. – М.: Наука, 1977. – 407 с.

185. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1987. –

840 с.

186. Майлс Дж. У. О флаттере панели с учетом пограничного слоя //

Механика: сб. переводов. – 1959. –№ 5. – С. 97-122.

187. Майлс Дж. У. Потенциальная теория неустановившихся

сверхзвуковых течений. – М.: физ.-мат.лит., 1963. – 272 с.

188. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные

методы. – М.: Наука, 1981. – 416 с.

189. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. – М.:

Наука, 1976. – 319 с.

190. Милославский А. И. Неустойчивость прямолинейного

трубопровода при большой скорости жидкости, протекающей через него. –

Харьков, 1981. Деп. в ВИНИТИ 11.11.81. N5184-81. – 21 c.

191. Минасян Н. М. О флаттере пластин и оболочек при малых числах

Маха сверхзвукового газа // Проблемы тонких деформируемых тел:

сборник науч. трудов. – Ин-т механики НАН Армении. Ереван: Гитутюн,

2002. – С. 215-223.

192. Минасян Н. М. Флаттер упругой пластинки при малых

сверхзвуковых скоростях потока газа: сравнительный анализ // Изв. АН

Армении. Механика. – 2001. – Т. 54, № 3. – С. 65-72.

193. Мнев Е. И., Перцев А. К. Гидроупругость оболочек. – Л.:

Судостроение, 1970. – 365 с.

194. Мовчан А. А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе //

ПММ. – 1956. – Т. 20, Вып. 2. – С. 211-222.

195. Мовчан А. А. Об устойчивости панели, движущейся в газе //

ПММ. – 1957. – Т. 21, № 2. – С. 231-243.

196. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. –

М.: Наука, 1981. – 400 с.

197. Могилевич Л. И. Динамика взаимодействия сдавливаемого слоя

вязкой несжимаемой жидкости с упругой трехслойной пластиной // Изв.

РАН. Мех. тверд. Тела. – 2008. – № 5. – С. 114-123.

198. Могилевич Л. И., Попова А. А., Попов В.С. Динамика

взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с ламинарным потоком

жидкости внутри нее применительно к трубопроводному транспорту //

Наука и техн. транс. – 2007. – № 2. – С. 69-72.

193

199. Могилевич Л. И., Попов В. С., Христофоров А. В.

Математические вопросы гидроупругости трехслойных элементов

конструкций. – Саратов, 2012. – 123 с.

200. Мокеев В. В. Конечно-элементное решение задачи

гидроупругости для вязкоупругой жидкости // Пробл. машиностр. и надеж.

машин. – 2005. – № 2. – С. 79-86.

201. Морозов В. И., Пономарев А. Т., Рысев О. В. Математическое

моделирование сложных аэроупругих систем. – М.: физ.-мат. лит., 1995. –

736 с.

202. Морозов В. И., Овчинников В. В. Нелинейные задачи

аэроупругой устойчивости крыла при отрывном обтекании // Изв. РАН.

МТТ. – 2003. – № 6. – С. 158-170.

203. Морозов В. И., Овчинников В. В. Проблемы аэроупругой

устойчивости авиационных конструкций при отрывном обтекании //

Полет. – 2005.– № 2. – С. 11-17.

204. Найфэ А. Методы возмущений. – М.: Мир, 1976. – 455 с.

205. Новичков Ю. Н. Флаттер пластин и оболочек // Итоги науки и

техники. МДТТ. – М.: ВИНИТИ, 1978. – Т. 11. – С. 67-122.

206. Пальмов В. А. Реологические модели в нелинейной механике

деформируемых тел // Успехи механики (ПНР). – 1980. – № 3. – С. 75-115.

207. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих

систем. – М.: Наука, 1987. – 352 с.

208. Пирумов У. Г., Росляков Г. С. Газовая динамика сопел. – М.:

Наука, гл. ред. физ.-мат.лит., 1990. – 364 с.

209. Писаренко Г. С. Колебания механических систем с учетом

несовершенной упругости материала. – Киев: Наукова думка, 1970. – 379 с.

210. Под ред. Биргера И. А., Пановко Я. Г. Прочность, устойчивость,

колебания. Справочник в трех томах. – М.: Машиностроение, 1968. – Т. 1.–

831 с., Т. 2.– 464 с., Т. 3.– 567 с.

211. Под ред. Коренева Б. Г., Рабиновича И. М. Справочник по

динамике сооружений. – М.: Стройиздат, 1972. – 511 с.

212. Показеев В. В. Флаттер вязкоупругой прямоугольной пластины //

Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат. – 2005. – Т. 11, № 3. –

С. 132-138.

213. Показеев В. В. Флаттер упругой и вязкоупругой консольно

закрепленной полосы // ПММ. – 2008. – Т. 72, № 5. – С. 625-632.

214. Показеев В. В. Флаттер упругой или вязкоупругой платины в

непоршневой теории колебаний // Пробл. машиностр. и автоматиз. – 2008.

– № 1. – С. 77-80.

215. Постников В. С. Внутреннее трение в металлах. – М.:

Металлургия, 1975.– 351 с.

194

216. Потапенко Э. Н. Вибрация пластины на поверхности идеальной

жидкости бесконечной глубины // ДАН. – 1995.– Т. 335, № 6. – С. 712-715.

217. Петров В. В., Овчинников И. Г., Иноземцев В. К.

Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного

неоднородного материала. – Саратов: СГУ, 1989. – 158 с.

218. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.:

Наука, 1988. – 712 с.

219. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука,

1966. – 752с.

220. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.

– М.: Наука, 1977. – 383 с.

221. Рапопорт И. М. Колебания упругой оболочки, частично

заполненной жидкостью. – М.: Машиностроение, 1967. – 357 с.

222. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. – М.: Стройиздат, 1968. –

416 с.

223. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. –

М.-Л.: Гос.изд-во технико-теорет. лит-ры, 1950. – 443 с.

224. Смирнов А. И. Аэроупругость. – М.: МАИ, 1971. – 184 с.

225. Смирнов А. И. Аэроупругая устойчивость летательных

аппаратов. – М.: Машиностроение, 1980. – 231 с.

226. Соколов В. Г., Березнев А. В. Уравнения движения

криволинейного участка трубопровода с потоком жидкости // Изв. вузов.

Нефть и газ. – 2005. – № 6.– С. 76-80.

227. Соколов В. Г., Разов И. О. Параметрические колебания и

динамическая устойчивость магистральных газопроводов при наземной

прокладке // Вестник гражданских инженеров. – 2014. – № 2 (43). –

С. 65–68.

228. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической

физики. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. – 735 с.

229. Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и

технике. – М.: Мир, 1985. – 254 с.

230. Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука. Гл. ред.

физ.-мат. лит., 1987. – 320 с.

231. Фершинг Г. Основы аэроупругости. – М.: Машиностроение, 1985.

– 600 с.

232. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. – М.:

Мир, 1988. – 352 с.

233. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы

математических вычислений. – М.: Мир, 1980. – 280 с.

234. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. – М.:

Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. – 711 с.

195

235. Фролов К. В., Антонов В. Н. Колебания оболочек в жидкости. –

М.: Наука, 1983. – 143 с.

236. Фын Я. Ц. О двумерном флаттере панели // Механика: сб.

переводов. – М.: ИЛ, 1959. – № 1. – С. 75-106.

237. Фын Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости. – М.: Физматгиз,

1959. – 490 с.

238. Худояров Б. А. Численное исследование нелинейного флаттера

вязкоупругих пластин // Прикл. мех. – 2005. – Т. 41, № 5. – С. 91-96.

239. Худояров Б. А. Численное исследование нелинейного флаттера

вязкоупругих трехслойных пластин // Электрон. моделир. – 2006. – Т. 28,

№ 1. – С. 13-18.

240. Худояров Б. А. Численное исследование влияния реологических

параметров на критические время и скорость флаттера пластины // Прикл.

мех. – 2008. – Т. 44, № 6. – С. 97-105.

241. Челомей С. В. О динамической устойчивости упругих систем //

Докл. АН СССР, 1980. – Т. 252, № 2. – C. 307-310.

242. Челомей С. В. О динамической устойчивости упругих систем при

протекании через них пульсирующей жидкости // Известия АН СССР.

Механика твердого тела. – 1985. – № 5. – С. 170-175.

243. Челомей С. В., Щеглов Г. А. О динамической устойчивости

прямого трубопровода, нагруженного переменной осевой силой при

протекании через него пульсирующей жидкости // Известия Российской

академии наук. Механика твердого тела. – 1998. – № 6. – С. 175-185.

244. Шестаков А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем

с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1990. – 320 с.

245. Шклярчук Ф. Н., Айхам Алшебель Математическая модель

аэроупругости стреловидного крыла для расчета аэродинамических

нагрузок // Изв. вузов. Авиац. техн. – 2003. – № 1. – С. 13-18.

246. Abdelbaki A. R., Paidoussis M. P., Misra A. K. A nonlinear model for

a hanging tubular cantilever simultaneously subjected to internal and confined

external axial flows // Journal of Sound and Vibration. – 2019. – V. 449. – P.

349–367.

247. Ageev R. V., Mogilevich L. I., Popov V. S. Vibrations of the walls of

a slot channel with a viscous fluid formed by three_layer and solid disks //

Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2015. – V. 43, № 1. –

P. 3-11.

248. Akulenko L. D., Nesterov S. V. High-precision methods in eigenvalue

problems and their applications. – L.: Chapman and Hall/CRS, 2005. – 239 c.

249. Ankilov A. V., Velmisov P. A. On stability of viscoelastic elements of

thin-shelled constructions under aerohydrodynamic action // J. «Nonlinear

Dunamics, Chaos, Control and Their Applications to Engineering Sciences».

196

Vol.6: Applications of Nonlinear Phenomena. – Rio de Janerio, Brasil, 2002. –

P. 78-87.

250. Ankilov A. V., Velmisov P. A. Stability of the solutions of one class

of aerohydroelasticity problems // J. «Applications of Mathematics in

Engineering and Economics». – American Institute of Physics, USA, 2008. –

P. 414-426.

251. Ankilov A. V., Velmisov P. A. Mathematical modelling of dynamics

and stability of elastic elements of vibration devices // Proceeding of 1st IFAC

Conference on modelling, identification and control of nonlinear systems

(MICNON 2015, Saint Petersburg, Russia, 24-26 June 2015). – IFAC-

PapersOnLine. – Volume 48, Issue 11, 2015. – P. 970-975.

252. Ankilov A. V., Velmisov P. A. Investigation of dynamic stability of

elastic aileron of wing in subsonic flow // Proceeding of 7th International

Conference on Physics and Control (PHYSCON 2015, Istanbul, Turkey, 19-22

August, 2015). IPACS Electronic library: http://lib.physcon.ru/

file?id=279ab6b355ce

253. Ankilov A. V., Velmisov P. A. Stability of solutions to an

aerohydroelasticity problem // Journal of Mathematical Sciences (United States)/

– 2016. – V. 219, Issue 1. – P. 14-26.

254. Askari E., Jeong K.-H., Amabili M. Hydroelastic vibration of circular

plates immersed in a liquid-filled container with free surface // Journal of sound

and vibration. – 2013. – V. 332, № 12. – P. 3064–3085.

255. Balakrishnan A. V. Toward a mathematical theory of aeroelasticity //

IFIP. – 2005. – № 166. – P. 1-25.

256. Bendiksen O. O., Seber G. Finite element nonlinear wing flutter

calculation in direct Eulerian-Lagrangian formulation // J. AIAA. – 2008. –

V. 46, № 6. – P. 1331-1341.

257. Bendiksen O. O., Seber G. Calculation of aeroelastic vibrations taking

into account the nonlinearities of the structure and gas // J. Sound and Vibr. –

2008. – V. 315, № 3. – P. 664-685.

258. Blinkov Y. A., Blinkova A. Y., Evdokimova E. V., Mogilevich L. I.

Mathematical modeling of nonlinear waves in an elastic cylindrical shell

surrounded by an elastic medium and containing a viscous incompressible liquid

// Acoustical Physics. – 2018. – V. 64, № 3. – P. 274–279.

259. Bolotin V. V., Petrovsky A. V., Grishko A. A., Secondary bifurcations

and global instability of an aeroelastic nonlinear system in the divergence

domain // Journal Sound and Vibration. – 1996. – V. 191, № 3. – P. 431-451.

260. Cai Ming, Liu Jike, Li Jun The use of the method of harmonic balance

with increments to solve the flutter problem of a wing profile with several strong

nonlinearities // Appl. math. and mech. – 2006. – V. 27, № 7. – P. 953-958.

261. Dowell E. H. Aeroelasticity of plates and shells. – Leyden: Noordhoff

internat. publ., 1975. – 139 p.

197

262. Dowell E. H. Panel flutter: a review of the aerolastic stability of plates

and shells // AIAA Journal. – 1970. – V. 8, № 3. – P. 385-399.

263. Dowell E. H. Flutter infinitely long plates and shells. Part. I: Plate.

Part. II: Cylindrical shell // AIAA Journal. – 1966. – V. 5, № 8. – P. 1370-1377;

№ 9. – P. 1510-1518.

264. Dowell E. H. Nonlinear oscillations of a fluttering plate //AIAA

Journal. – 1966. – V. 5, № 7. – P. 1267-1275.

265. Dowell E. H., Ilgamov M. Studies in nonlinear acrolasticity. – New-

York, Springer-Verlag, 1988. – 455 p.

266. Faal R. T., Derakhshan D. Flow-Induced Vibration of Pipeline on

Elastic Support // Procedia Engineering. – 2011. – № 14. – P. 2986–2993.

267. Fazakas Gergely, Gausz Tamás, Szöke Dezsö Simulation of

aeroelastic oscillations of an airplane wing // Proceedings of the 7 Mini

Conference on Vehicle System Dynamics, Identification and Anomalies,

Budapest, 6-8 Nov., 2000: VSDIA 2000 Budapest: Budapest Univ. Techol.

AndEcon. [2001]. – C. 437-442.

268. Florea Razvan, Hall Kenneth C., Dowell Earl H. Analysis of

eigenvalues and lower order models of transient transonic potential flow around

profiles to determine flutter boundaries // J. Aircraft. – 2000. – V. 37, № 3. –

P. 454-462.

269. Gatica G. N., Heuer N., Meddahi S. Coupling of mixed finite element

and stabilized boundary element methods for a fluid-solid interaction problem in

3D // Numer. Methods Partial Differ. Equations. – 2014. – V. 30, № 4. –

P. 1211–1233.

270. Gregory R. W., Paidoussis M. P. Unstable oscillation of tubular

cantelevers conveging fluid // Theory and Experiments. Proc. Roy. Soc. A. –

1996. – V. 293. – P. 512-542.

271. Kheiri M., Paidoussis M. P. Dynamics and stability of a flexible

pinned-free cylinder in axial flow // Journal of Fluids and Structures, 2015. –

V. 55. – P. 204–217.

272. Kondratov D. V., Kondratova J. N., Mogilevich L. I., Rabinsky L. N.,

Kuznetsova E. L. Mathematical model of elastic ribbed shell dynamics

interaction with viscous liquid pulsating layer // Applied Mathematical Sciences.

– 2015. – V. 9, № 69-72. – P. 3525-3531.

273. Kontzialis K., Moditis K., Paidoussis M. P. Transient simulations of

the fluid-structure interaction response of a partially confined pipe under axial

flows in opposite directions // Journal of Pressure Vessel Technology,

Transactions of the ASME. – 2017. – № 139 (3). – P. 1-8.

274. Xia Jin-zhu. Hydroelasticity theories of slender floating structures //

J. of hydrodynamics. Ser. B, 2(1995). – P. 104-110.

198

275. L. B. de Monvel, I. D. Chueshov Non-linear oscillations of a plate in a

flow of gas. C. R. Acad. Sci. Paris. – 1996. – V. 322, Serie 1, – P. 1001-1006.

Mathematical Problems in Mechanics.

276. Liu F., Cai J., Zhu Y., Tsai H. M., Wong A. S. F. Calculation of wing

flutter by the combined methods of fluid dynamics and structural dynamics // J.

Aircraft. – 2001. – V. 38, № 2. – P. 334-342.

277. Loginov B. V., Velmisov P. A., Trenogin V. A. Bifurcation and

stability in some problems of continua mechanics // ZAMM Zeitschrift fur

Angewandte Mathematik und Mechanik. – 1996. – V. 76, S. 2. – P. 241-245.

278. Mesarič Mihael, Kosel Franc Aileron dynamic balance optimization //

Strojn. vestn. – 2002. – V. 48, № 1. – P. 41-48.

279. Moditis K., Paidoussis M., Ratigan J. Dynamics of a partially

confined, discharging, cantilever pipe with reverse external flow // Journal of

Fluids and Structures. – 2016. – № 63. – P. 120–139.

280. Mogilevich L. I., Popova A. A., Popov V. S. On the dynamic

interaction of an elastic cylindrical shell with a fluid laminar stream inside in

application to pipeline transportation // Science and technology in transport. –

2007. – № 2. – P. 69–72.

281. Mogilevich L. I., Popov V. S., Popova A. A., Christoforova A. V.,

Popova E. V. Mathematical modeling of three-layer beam hydroelastic

oscillations // Vibroengineering Procedia. – 2017. – V. 12. – P. 12–18.

282. Mogilevich L. I., Popov V. S., Popova A. A. Longitudinal and

transverse oscillations of an elastically fixed wall of a wedge-shaped channel

installed on a vibrating foundation // Journal of Machinery Manufacture and

Reliability. – 2018. – V. 47 (3). – P. 227–234.

283. Moshkelgosha E., Askari E., Jeong K.-H., Shafiee A. A. Fluid-

structure coupling of concentric double FGM shells with different lengths //

Journal of structural engineering and mechanics. – 2017. – V. 61 (2). –

P. 231–244.

284. Naumova N., Ivanov D., Voloshinova T., Ershov B. Mathematical

modelling of cylindrical shell vibrations under internal pressure of fluid flow //

International Conference on Mechanics «Seventh Polyakhov's Reading». –

2015. – P. 167–169.

285. Paidoussis M. P. The Canonical problem of the fluid-conveying pipe

and radiation of the knowledge gained to other dynamics problems across

applied mechanics // J. Sound and Vibr. – 2008. – № 3 (310). – P. 462–492.

286. Qin Zhanming, Librescu Liviu Control of wing flutter at subsonic

flight speeds // [Conference on «Smart Structures and Materials: Smart

Structures and Integrated Systems», San Diego, Calif., 18-21 March, 2002]

Proc. SPIE. – 2002. – P. 281-292.

287. Shubov M. A. Asymptotic analysis of aircraft model in subsonic air

flow // IMA J. of applied mathematics. – 2001. – № 66. – P. 319-356.

199

288. Shubov M. A. Asymptotics of aeroelastic modes and basis property of

mode shape for aircraft wing model // J. of the Franklin Institute 338. – 2001. –

P. 171-185.

289. Tian, Fang-Bao FSI modeling with the DSD/SST method for the fluid

and finite difference method for the structure // Comput. Mech. – 2015. – V. 54,

№ 2. – P. 581-589.

290. Thomson J. Application of dynamics to physics and chemistry //

London. MacMillan and Co., 1888. – 326 p.

291. Thompson J. M. T. Instabilities and Catastrophes in Science and

Engineering. – Wiley-Interscience Publication, John Wiley Sons, Chichester (in

Russian, М.: Мир, 1985. – 254 с.)

292. Velmisov P. A. Stability of viscoelastic bodies accounting aging and

interaction with fluid or gas // ZAMM Zeitschrift fur Angewandte Mathematik

und Mechanik, 1996. – Т. 76, S. 2. – P. 249-252.

293. Velmisov P. A., Ankilov A. V., Semenova E. P. Dynamic stability of

deformable elements of one class of aeroelastic constructions // AIP Conference

Proceedings. – 2016. – V. 1789, Is. 1. – P. 020021-1– 020021-12.

294. Velmisov P. A., Ankilov A. V. Dynamic stability of plate interacting

with viscous fluid // Cybernetics and physics. – 2017. – V. 6, № 5. – P. 262-270.

295. Velmisov P. A., Ankilov A. V., Semenova E. P. Mathematical

modeling of aeroelastic systems // AIP Conference Proceedings. – 2017. –

V. 1910. – P. 040010-1– 040010-8.

296. Velmisov P. A., Tamarova Yu. A. Asymptotic research of transonic

gas flows // AIP Conference Proceedings. – 2017. – V. 1910. – P. 040002-1–

040002-8.

297. Velmisov P. А., Ankilov A. V, Pokladova Y. V. Stability of solutions

of initial-boundary value problems in aerohydroelasticity // AIP Conference

Proceedings. – 2018. – V. 2048. – P.040011-1–040011-10;

https://doi.org/10.1063/1.5082083.

298. Velmisov P. A., Mizher U. J., Semenova E. P. Asymptotic study of

nonlinear viscous gas flows // AIP Conference Proceedings. – 2018. – V. 2048.

– P.040012-1–040012-11; https://doi.org/10.1063/1.5082085.

299. Velmisov P. A., Ankilov A. V. Stability of solutions of initial

boundary-value problems of aerohydroelasticity // Journal of Mathematical

Sciences (United States). – 2018. – V. 233, Is. 6. – P. 958-975.

https://doi.org/10.1007/s10958-018-3975-x

300. Velmisov P. A., Ankilov A. V., Tamarova Yu. A. Mathematical

modeling in problems of dynamics and stability of some aeroelastic systems //

AIP Conference Proceedings. – 2019. – V. 2172. – P. 030010-1–030010-12.

301. Velmisov P. A., Ankilov A. V. About dynamic stability of deformable

elements of vibration systems \\ Cybernetics and physics. – 2019. – V. 8, № 3. –

P. 175–184.

200

302. Wu Xiao-sheng, Wu Jia-sheng The numerical method for calculating

the flutter of swept wing // Trans Beijing Inst. Technol. – 2007. – V. 27, № 5. –

P. 385-389.

303. Yan Feng, Liang Qiang, Yang Yongnian Method for calculating the

loads acting on the elastic wing of an aircraft with its real deformations // J.

Northwest. Polytechn. Univ. – 2005.– V. 22, № 6. – P. 786-789.

304. Yang Guowei, Lu Xiyun, Zhuang Lixian, Weishäupl Caroline,

Laschka Boris Nonlinear analysis of dynamic stability and prediction of wing

jolting // J. Aircraft. – 2002. – V. 39, № 1. – P. 84-90.

305. Yang Qingzhen, Shi Yongqiang, Xiao Jun, Zhou Xinhai The solution

of the non-stationary coupled problem of eroelasticity for the lattice of profiles //

Chin. J. Appl. Mech. – 2006. – V. 23, № 2. – P. 167-171.

306. Yatasaki Masahide, Isogai Koji, Uchida Takefumi, Yukimura Itsuma

Two-dimensional stall flutter // AIAA Journal. – 2005. – V. 42, № 2. –

P. 215-219.

307. Ye Zhengyin, Wang Gang, Yang Yongnian, Yang Bingyuan Method

for calculating the aeroelastic characteristics of wings based on the solution of

Euler equations // J. Northwest. Polytechn. Univ. – 2002. – V. 20, № 2. –

P. 257-261.

308. Zhang Weiwei, Fan Zewen, Ye Zhengyin, Yang Bingyuan Improved

engineering method for calculating the aeroelasticity characteristics of

supersonic and hypersonic wings // J. Northwest. Polytechn. Univ. – 2003. –

V. 21, № 6. – P. 687-691.

309. Zvyagin A. V., Gur’ev K. P. A fluid-saturated porous medium under

the action of a moving concentrated load // Moscow University Mechanics

Bulletin. – 2017. – V. 72 (2). – P. 34-39.

201

202

Научное издание

АНКИЛОВ Андрей Владимирович

ВЕЛЬМИСОВ Петр Александрович

ФУНКЦИОНАЛЫ ЛЯПУНОВА В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ

АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ

ЛР №020640 от 22.10.97 Подписано в печать 27.12.2019. Формат 60х84/16.

Усл. п. л. 11,86. Тираж 150 экз. Заказ 42. ЭИ № 1443.

Ульяновский государственный технический университет 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.

ИПК «Венец» УлГТУ, 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.