n-subgrup q-fuzzy dan ideal q-fuzzy pada n-grup …repository.ub.ac.id/155313/1/amaluddin.pdf ·...

N-SUBGRUP Q-FUZZY DAN IDEAL Q-FUZZY

PADA N-GRUP

SKRIPSI

oleh:

AMALUDDIN

135090400111009

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2017


PADA N-GRUP

SKRIPSI

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains dalam bidang Matematika

oleh:

AMALUDDIN

135090400111009

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2017

iii

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI


PADA N-GRUP

oleh:

AMALUDDIN

135090400111009

Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji

dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains dalam bidang Matematika

Pembimbing

Dr. Noor Hidayat, M.Si

NIP. 196112041988021001

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Brawijaya

Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si, M.Si, Ph.D

NIP. 197509082000031003

v

LEMBAR PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Amaluddin

NIM : 135090400111009

Jurusan : Matematika

Penulis Skripsi berjudul : N-Subgrup Q-Fuzzy dan Ideal

Q-Fuzzy pada N-Grup

dengan ini menyatakan bahwa:

1. isi Skripsi yang saya buat adalah benar-benar karya sendiri

dan tidak menjiplak karya orang lain, selain nama-nama

yang termaktub di isi dan tertulis di Daftar Pustaka dalam

Skripsi ini.

2. Apabila di kemudian hari ternyata Skripsi yang saya tulis

terbukti hasil jiplakan, maka saya bersedia menanggung

segala risiko yang akan saya terima.

Demikian pernyataan ini dibuat dengan penuh kesadaran.

Malang, 19 Januari 2017

Yang menyatakan,

Amaluddin

NIM. 135090400111009

vii


PADA N-GRUP

ABSTRAK

Himpunan fuzzy pada suatu himpunan tak kosong merupakan

himpunan yang setiap unsur-unsurnya memiliki nilai derajat

keanggotaan pada interval [0,1] yang ditentukan oleh fungsi

keanggotaan tertentu. Jika setiap unsur-unsurnya merupakan hasil

kali kartesian dari suatu himpunan tak kosong dan himpunan Q maka

disebut sebagai himpunan Q-fuzzy. Suatu himpunan Q-fuzzy disebut

subgrup Q-fuzzy jika memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Suatu

subgrup Q-fuzzy disebut N-subgrup Q-fuzzy atau subgrup normal

Q-fuzzy jika memenuhi aksioma tertentu. Suatu subgrup normal

Q-fuzzy disebut ideal Q-fuzzy jika memenuhi aksioma tertentu. Suatu

grup disebut N-grup jika terdapat pemetaan tertentu dan berlaku

aksioma-aksioma tertentu. Irisan tak kosong dari N-subgrup Q-fuzzy

pada suatu N-grup merupakan N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup

tersebut. Irisan tak kosong dari ideal Q-fuzzy pada suatu N-grup

merupakan ideal Q-fuzzy pada N-grup tersebut. Penjumlahan dari

suatu ideal Q-fuzzy dan N-subgrup Q-fuzzy pada suatu N-grup

merupakan N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup tersebut.

Kata kunci: nearring, N-grup, himpunan fuzzy, himpunan Q-fuzzy,

N-subgrup Q-fuzzy, subgrup normal Q-fuzzy, ideal

Q-fuzzy

ix

Q-FUZZY N-SUBGROUP AND Q-FUZZY IDEAL OF

AN N-GRUP

ABSTRACT

Fuzzy set of a non empty set is the set of all elements had a degree of

membership value in the interval [0,1] which is determined by the

specific membership function. If any of its elements is the Cartesian

product of a not empty set and the set Q, then is called a Q-fuzzy set.

A Q-fuzzy set is called Q-fuzzy subgroup if it satisfied certain

axioms. A Q-fuzzy subgroup is called Q-fuzzy N-subgroup or

Q-fuzzy normal subgroup if it satisfied certain axiom. A Q-fuzzy

normal subgroup is called Q-fuzzy ideal if it satisfied certain axiom.

A group is called N-group if there exist a specific mapping and

applied certain axioms. The non empty intersection of Q-fuzzy

N-subgroup of an N-group is again N-subgroup Q-fuzzy of the

N-group. The non empty intersection of Q-fuzzy ideal of an N-group

is again Q-fuzzy ideal of the N-group. The algebraic sum of a

Q-fuzzy ideal and N-subgroup Q-fuzzy of an N-group is a

N-subgroup Q-fuzzy of the N-group.

Keyword: near-ring, N-group, fuzzy set, Q-fuzzy set, N-subgroup

Q-fuzzy, subgroup normal Q-fuzzy, ideal Q-fuzzy

xi

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah

memberikan rahmat dan anugerah-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan Skripsi berjudul “N-Subgrup Q-fuzzy dan Ideal

Q-fuzzy pada N-Grup”. Penulis menyadari bahwa selama proses

penyusunan Skripsi ini ada banyak pihak yang telah berkontribusi.

Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima

kasih atas segala bantuan dan dukungan kepada:

1. Dr. Noor Hidayat, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah

memberikan nasihat, saran, dan kritik yang sangat bermanfaat

untuk penulis serta selalu sabar dalam menjelaskan materi

kepada penulis selama proses penyusunan hingga Skripsi

dapat diselesaikan.

2. Drs. Abdul Rouf Alghofari, M.Sc., Ph.D dan Dra. Ari Andari,

M.Si, selaku dosen penguji I dan dosen penguji II, yang telah

memberikan saran dan kritik kepada penulis sehingga Skripsi

ini menjadi lebih baik.

3. Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc selaku Dosen Penasehat

Akademik penulis atas masukan dan arahan selama

perkuliahan.

4. Bapak Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si, M.Si, Ph.D selaku

Ketua Jurusan Matematika dan Ibu Isnani Darti, S.Si, M.Si

selaku Ketua Program Studi Matematika atas segala bantuan

yang diberikan.

5. Segenap dosen Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Brawijaya, yang telah

memberikan ilmu pengetahuan yang bermanfaat bagi penulis,

serta segenap staf dan karyawan Tata Usaha Jurusan

Matematika atas segala bantuannya.

6. H. Hasan Aidi (Bapak), Hj. Sumiati (Ibu), dan seluruh

keluarga besar yang selalu memotivasi, mendoakan, dan

mendukung setiap langkah yang diambil penulis selama ini.

7. Teman-teman Matematika 2013 yang selalu memberikan

dukungan, semangat, dan motivasi untuk penulis agar segera

menyelesaikan Skripsi ini dengan baik dan tepat waktu.

xii

Semoga Tuhan Yang Maha Esa memberikan anugerah dan

rahmat-Nya kepada semua pihak yang telah membantu

menyelesaikan Skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam

penulisan Skripsi ini masih terdapat kekurangan. Oleh sebab itu,

penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat disampaikan

melalui email [email protected]. Semoga Skripsi ini dapat

bermanfaat bagi berbagai pihak dan menjadi sumber inspirasi bagi

penulisan Skripsi selanjutnya.

Malang, Januari 2017

Penulis

mailto:[email protected]

xiii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL.......................................................................... i

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ........................................... iii

LEMBAR PERNYATAAN ............................................................. v

ABSTRAK ...................................................................................... vii

ABSTRACT ..................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ..................................................................... xi

DAFTAR ISI ................................................................................. xiii

DAFTAR SIMBOL ........................................................................ xv

DAFTAR TABEL ........................................................................ xvii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ............................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah .......................................................... 2

1.3 Tujuan ............................................................................ 2

BAB II DASAR TEORI

2.1 Grup ............................................................................... 3

2.2 Nearring ......................................................................... 9

2.3 N-grup .......................................................................... 11

2.4 Himpunan Fuzzy .......................................................... 13

2.5 Himpunan Bagian Fuzzy pada N-grup ......................... 15

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Himpunan Q-Fuzzy pada N-grup ................................. 25

3.2 N-Subgrup Q-Fuzzy pada N-Grup ................................ 26

3.3 Subgrup Normal Q-Fuzzy dan Ideal Q-Fuzzy pada

N-Grup ......................................................................... 35

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan .................................................................. 53

4.2 Saran ............................................................................ 53

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................... 55

xv

DAFTAR SIMBOL

Simbol Keterangan

Subgrup nomal

Support pada atau Q-support pada

Level subset pada atau Q-level subset

pada

Nilai minimal dari nilai dan

Nilai maksimal dari nilai dan

bax Nilai maksimal, dengan

xvii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Operasi penjumlahan pada ....................................... 3

Tabel 2.2 Operasi penjumlahan pada A ......................................... 6

Tabel 2.3 Operasi penjumlahan pada ....................................... 8

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Struktur aljabar merupakan salah satu ilmu matematika yang

berkembang cukup pesat. Secara umum, struktur aljabar dapat

didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri dari satu himpunan

atau lebih yang dilengkapi dengan satu operasi atau lebih dan

memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Contoh struktur aljabar yaitu

grup, ring, nearring, teori modul, dan lain-lain. Jika beberapa contoh

tersebut dikombinasikan, maka akan menghasilkan suatu konsep

baru. Misalnya hubungan antara grup dan nearring yang

menghasilkan grup nearring.

Himpunan fuzzy merupakan pengembangan dari himpunan

crisp. Himpunan crisp (tegas) membedakan anggotanya hanya

dengan nilai nol dan satu. Contohnya adalah himpunan manusia.

Himpunan manusia yang dibedakan berdasarkan jenis kelamin dapat

direpresentasikan dengan mudah menggunakan konsep himpunan

crisp. Akan tetapi, bagaimana merepresentasikan himpunan pada

manusia muda atau tua? Perbedaan manusia muda dan manusia tua

cukup relatif. Dalam hal ini, kondisi manusia muda dan manusia tua

tidak langsung terpisah hanya karena berbeda satu hari. Untuk kasus

seperti inilah diperlukan himpunan fuzzy (samar) yang dapat

memberikan pengelompokan dengan memberi nilai derajat

keanggotaan tertentu. Nilai derajat keanggotaan pada himpunan fuzzy

adalah bilangan real pada interval [0, 1].

Himpunan fuzzy diperkenalkan oleh Lofti A. Zadeh pada tahun

1965. Seiring perkembangan ilmu matematika, beberapa ahli

matematika telah mempelajari dan mengenalkan konsep himpunan

fuzzy pada struktur aljabar. Misalnya pada tahun 1971, Azriel

Rosenfeld dalam Barthakur dan Khargharia (2013) memperkenalkan

subgrup fuzzy pada suatu grup. Kim dan Kim (1996) mempelajari

tentang ideal fuzzy pada nearring. Massa‟deh (2013) mempelajari

tentang subgrup Q-fuzzy pada nearring. Barthakur dan Khargharia

(2013) mempelajari tentang N-subgrup Q-fuzzy, subgrup normal

Q-fuzzy, dan ideal Q-fuzzy pada N-grup, serta sifat-sifat yang ada di

dalamnya.

Pada Skripsi ini dikaji kembali beberapa definisi, contoh, dan

teorema yang berkaitan dengan N-subgrup Q-fuzzy, subgrup normal

2

Q-fuzzy, dan ideal Q-fuzzy pada N-grup yang dirujuk dari Barthakur

dan Khargharia (2013).

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan sebelumnya,

maka permasalahan yang akan dibahas dalam Skripsi ini, yaitu:

a. apa definisi N-subgrup Q-fuzzy, subgrup normal Q-fuzzy, dan

ideal Q-fuzzy pada N-grup?

b. bagaimana sifat-sifat yang terdapat pada N-subgrup Q-fuzzy

dan ideal Q-fuzzy pada N-grup?

1.3 Tujuan

Adapun tujuan penulisan Skripsi ini, yaitu:

a. dapat memahami definisi N-subgrup Q-fuzzy, subgrup normal

Q-fuzzy, dan ideal Q-fuzzy pada N-grup.

b. dapat menjelaskan sifat-sifat yang terdapat pada N-subgrup

Q-fuzzy dan ideal Q-fuzzy pada N-grup.

3

BAB II

DASAR TEORI

Pada bab ini dibahas beberapa definisi dan contoh tentang

grup, nearring, N-grup, himpunan fuzzy, dan himpunan bagian fuzzy

pada N-grup.

2.1 Grup

Grup merupakan salah satu contoh struktur aljabar. Hal ini

terjadi karena grup terdiri dari himpunan tak kosong, dilengkapi satu

operasi biner, dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Berikut ini

diberikan definisi dan contoh yang berkaitan dengan grup yang

dirujuk dari Andari (2015).

Definisi 2.1.1 Misalkan E adalah suatu himpunan tak kosong.

Himpunan E yang didefinisikan dengan satu operasi biner „ ‟

disebut grup, jika memenuhi aksioma berikut.

a. Sifat tertutup, dalam hal ini untuk setiap Eba , berlaku

Eba .

b. Sifat asosiatif, dalam hal ini untuk setiap Ecba ,, berlaku

)()( cbacba .

c. Terdapat elemen satuan, dalam hal ini terdapat Ee sehingga

untuk setiap Ea memenuhi aaeea .

d. Setiap elemen mempunyai invers, artinya untuk setiap Ea

terdapat Ea 1

sedemikian sehingga eaaaa 11 .

Contoh 2.1.2 Diberikan himpunan . Akan dibuktikan bahwa

merupakan grup terhadap operasi penjumlahan.

Bukti. Diberikan 3,2,1,0 .

Tabel 2.1 Operasi penjumlahan pada

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

4

Berdasarkan Tabel 2.1, dapat dilihat bahwa:

a. sifat tertutup terpenuhi, karena semua hasil penjumlahan dua

elemen di adalah elemen di juga.

b. Sifat asosiatif terpenuhi, karena jika diterapkan pada secara

lengkap maka dapat dibuktikan bahwa sifat asosiatif dipenuhi.

Contohnya, ambil ,2,0 ba dan 3c maka:

.1323)20()( cba

.110)32(0)( cba

Jadi, 1)()( cbacba . Dengan cara yang sama berlaku

untuk setiap cba ,, .

c. Memiliki elemen satuan. Dalam hal ini, 0e merupakan

elemen satuan di . Perhatikan Tabel 2.1, setiap elemen di

memenuhi: ;22002 ;11001 ;00000 dan

33003 .

d. Setiap elemen mempunyai invers di , yaitu:

- Invers 0 adalah 0 karena 00000 ;

- Invers 1adalah 3 karena 01331 ;


- Invers 3 adalah 1 karena 03113 .

Jadi, terbukti bahwa merupakan grup terhadap operasi

penjumlahan.

Contoh 2.1.3 Diberikan himpunan bilangan bulat yang

didefinisikan dengan operasi penjumlahan. Akan dibuktikan bahwa

merupakan grup.

Bukti. Akan dibuktikan bahwa merupakan grup.

Ambil sembarang . Karena maka jelas bahwa

. Jadi, sifat tertutup dipenuhi.

Ambil sembarang . .

.

Karena , maka sifat asosiatif dipenuhi. Ambil sembarang .

, maka .

, maka .

Jadi, terdapat elemen satuan yaitu .

5

Ambil sembarang .

, maka .

, maka .

Jadi, setiap memiliki invers yaitu .

Jadi, terbukti bahwa adalah grup.

Jika himpunan E merupakan suatu grup terhadap operasi biner

„ ‟, maka notasi grup tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk grup

.,E Jika pada grup ),( E memenuhi sifat komutatif, yaitu untuk

setiap Eba , berlaku abba , maka grup ),( E disebut

sebagai grup komutatif atau grup Abelian. Contohnya adalah grup

( ). Hal ini terjadi karena untuk setiap berlaku .

Jika suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi satu operasi

biner hanya berlaku sifat tertutup dan asosiatif, maka himpunan

tersebut disebut semigrup. Definisi dan contoh yang berkaitan

dengan semigrup diberikan sebagai berikut.

Definisi 2.1.4 Suatu himpunan tak kosong E yang didefinisikan

dengan satu operasi biner ‟ ‟, disebut semigrup jika berlaku aksioma

berikut.

a. Sifat tertutup, artinya untuk setiap Eba , berlaku Eba .

b. Sifat asosiatif, dalam hal ini untuk setiap Ecba ,, berlaku

)()( cbacba .

Contoh 2.1.5 Himpunan bilangan asli terhadap operasi

penjumlahan merupakan semigrup yang bukan grup. Alasannya

karena pada berlaku sifat tertutup dan asosiatif. bukan suatu

grup karena setiap elemen di tidak memiliki invers di . Selain itu,

juga tidak memiliki elemen satuan di .

Suatu grup E memiliki beberapa himpunan bagian. Jika

himpunan bagian tak kosongnya merupakan grup (dengan komposisi

yang sama dengan grup E), maka himpunan bagian tersebut disebut

subgrup pada grup E.

Definisi 2.1.6 Misalkan himpunan G yang didefinisikan dengan satu

operasi biner merupakan grup. Misalkan H adalah sembarang

himpunan bagian tak kosong dalam G. Himpunan H disebut subgrup

pada grup G jika H dengan operasi biner merupakan grup.

6

Contoh 2.1.7 Diberikan grup dan himpunan bagian

2,0A pada . Akan dibuktikan bahwa himpunan 2,0A pada

merupakan subgrup pada grup .

Bukti. Diberikan 3,2,1,0 dan 2,0A pada .

Tabel 2.2 Operasi penjumlahan pada A

+ 0 2

0 0 2

2 2 0

Berdasarkan Tabel 2.2, dapat dilihat bahwa:

a. sifat tertutup terpenuhi, karena semua hasil penjumlahan dua

elemen di A adalah elemen di A juga.

b. Sifat asosiatif terpenuhi, karena jika diterapkan pada A secara



.0222)20()( cba

.000)22(0)( cba

Jadi, 0)()( cbacba . Dengan cara yang sama berlaku

untuk setiap Acba ,, .

c. Memiliki elemen satuan. Dalam hal ini, Ae 0 merupakan

elemen satuan di A. Perhatikan Tabel 2.2, setiap elemen di A

memenuhi: 22002dan 00000 . e. Setiap elemen A mempunyai invers di A, yaitu:



Jadi, terbukti bahwa A merupakan grup terhadap operasi

penjumlahan. Oleh karena itu, terbukti bahwa himpunan 2,0A

terhadap merupakan subgrup pada grup .

Definisi 2.1.8 Misalkan ),( G adalah grup dan N adalah subgrup

pada G. subgrup N disebut subgrup normal jika berlaku

Nana 1 , untuk setiap .dan NnGa N subgrup normal

pada grup G biasa dinotasikan dengan GN .

7

Contoh 2.1.9 Diberikan suatu grup dan subgrup 2,0A

pada grup . Akan dibuktikan bahwa A merupakan subgrup

normal pada grup .

Bukti. Diberikan 3,2,1,0 . 2,0A merupakan subgrup pada

grup . Akan dibuktikan bahwa A merupakan subgrup normal.

Ambil setiap 1, aa dan An .

,0 ,0 ,0 1 aan maka Aana 00001 .

,3 ,1 ,0 1 aan maka Aana 0313011 .

,2 ,2 ,0 1 aan maka Aana 0222021 .

,1 ,3 ,0 1 aan maka Aana 0131031 .

,0 ,0 ,2 1 aan maka Aana 2020201 .

,3 ,1 ,2 1 aan maka Aana 2333211 .

,2 ,2 ,2 1 aan maka Aana 2202221 .

,1 ,3 ,2 1 aan maka Aana 2111231 .

Jadi, untuk setiap 1, aa dan An berlaku Aana 1 . Oleh

karena itu, terbukti bahwa A merupakan subgrup normal pada grup

.

Suatu grup dapat dipetakan ke grup yang lain. Operasi biner

yang didefinisikan pada grup-grup tersebut bisa sama maupun

berbeda. Pemetaan yang memetakan suatu grup ke grup lainnya

disebut sebagai homomorfisma grup jika memenuhi aksioma

tertentu. Berikut diberikan definisi dan contoh yang berkaitan dengan

homomorfisma grup.

Definisi 2.1.10 Misalkan ),( A dan ),( B , keduanya merupakan

grup. Didefinisikan pemetaan ,: BA maka

disebut

homomorfisma grup jika dan hanya jika memenuhi

),()()( baba

untuk setiap Aba , .

Contoh 2.1.11 Diberikan himpunan dan yang keduanya

dilengkapi dengan operasi penjumlahan. Didefinisikan pemetaan:

aaa 3)(

8

untuk setiap a . Akan dibuktikan bahwa pemetaan merupakan

homomorfisma grup.

Bukti. Diberikan 3,2,1,0 dan 1,0 . Pada Contoh 2.1.2

telah terbukti bahwa merupakan grup. Kemudian akan

dibuktikan bahwa merupakan grup terhadap operasi penjumlahan.

Tabel 2.3 Operasi penjumlahan pada

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

Berdasarkan Tabel 2.3, dapat dilihat bahwa

a. Sifat tertutup terpenuhi, karena semua hasil penjumlahan dua

elemen di merupakan elemen di juga.

b. Sifat asosiatif terpenuhi, karena jika diterapkan pada secara



.011110)( cba

.000110)( cba

Jadi 0)()( cbacba . Dengan cara yang sama

berlaku untuk setiap cba ,, .

c. Memiliki elemen satuan. Dalam hal ini, 0e merupakan

elemen satuan di . Perhatikan Tabel 2.3, setiap elemen di

memenuhi: 11001dan 00000 .

d. Setiap elemen mempunyai invers di , yaitu:



Jadi, terbukti bahwa merupakan grup terhadap operasi

penjumlahan. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa pemetaan

merupakan homomorfisma grup. Ambil sembarang ba, .

.

Jadi, untuk setiap ba, . Oleh karena

itu, terbukti bahwa pemetaan merupakan homomorfisma grup.

9

2.2 Nearring

Konsep nearring merupakan perumuman dari konsep ring.

Ring merupakan suatu struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak

kosong, didefinisikan dengan dua operasi biner, dan memenuhi

aksioma-aksioma tertentu. Jika pada ring R terdapat beberapa

aksioma tertentu yang tidak diperlukan, maka R tersebut disebut

sebagai nearring R. Berikut diberikan definisi nearring yang

diringkas dari Massa‟deh (2013) dan definisi ideal nearring yang

diringkas dari Kim dan Kim (1996).

Definisi 2.2.1 Misalkan adalah himpunan tak kosong. Himpunan

yang didefinisikan dengan dua operasi biner “ ” dan “ ” disebut

nearring jika untuk setiap memenuhi:

a. adalah grup (tidak harus komutatif),

b. ( ) adalah semigrup,

c. berlaku hukum distributif kiri, yaitu .

Jika pada poin c berbunyi berlaku hukum distributif kanan, yaitu

, maka disebut nearring kanan. Pada

Skripsi ini digunakan istilah nearring yang berarti nearring kiri.

Jika pada memiliki elemen identitas sehingga

, maka disebut nearring dengan elemen

identitas 1.

Contoh 2.2.2 Diberikan himpunan bilangan bulat . Pada

didefinisikan dua operasi biner, yaitu dan . Operasi didefinisikan sebagai operasi penjumlahan standar dan operasi didefinisikan sebagai perkalian standar. Akan dibuktikan bahwa

merupakan nearring dengan elemen identitas 1.

Bukti. Diberikan himpunan bilangan bulat .

a. Akan dibuktikan bahwa adalah grup.

Ambil sembarang , maka diperoleh . Jadi,

sifat tertutup dipenuhi.

Ambil sembarang .

.

.

Jadi, sifat asosiatif dipenuhi. Ambil sembarang .

, maka .

10

, maka .

Jadi, terdapat elemen identitas yaitu .

Ambil sembarang .

, maka .

, maka .

Jadi, setiap memiliki invers yaitu .

Jadi, terbukti bahwa adalah grup.

b. Akan dibuktikan bahwa adalah semigrup.

Ambil sembarang , maka diperoleh . Jadi,

sifat tertutup dipenuhi.

Ambil sembarang .

.

.

Jadi, sifat asosiatif dipenuhi. Jadi, terbukti bahwa merupakan semigrup.

c. Ambil sembarang . Akan dibuktikan bahwa pada

berlaku hukum distributif kiri.

Jadi, berlaku hukum distributif kiri.

d. Akan dibuktikan bahwa memiliki elemen identitas .

Ambil sebarang , maka diperoleh dan .

Jadi , sehingga merupakan elemen

identitas di .

Oleh karena itu, terbukti bahwa merupakan nearring dengan

elemen identitas .

Definisi 2.2.3 Misalkan ) , ,( R adalah nearring. Ideal pada R adalah

himpunan bagian I pada R sedemikian sehingga:

a. ),( I merupakan subgrup normal pada ),( R ,

b. IRI , dan

c. Irssir )( , untuk setiap Rsr , dan setiap Ii .

Jika memenuhi a dan b, maka I disebut ideal kiri. Jika memenuhi a

dan c, maka I disebut ideal kanan.

Contoh 2.2.4 Diberikan nearring seperti pada Contoh 2.2.2

dan merupakan himpunan bagian pada . Akan dibuktikan

bahwa merupakan ideal pada .

Bukti. Diberikan nearring dan .

11

a. Akan dibuktikan bahwa ( merupakan subgrup normal pada

. Ambil sembarang dan , sehingga diperoleh

.

Jadi, terbukti ( merupakan subgrup normal pada .

b. Akan dibuktikan bahwa memenuhi , artinya

untuk setiap dan . Ambil sembarang dan

, sehingga diperoleh .

Jadi, terbukti memenuhi .

c. Akan dibuktikan bahwa memenuhi , untuk

setiap dan setiap . Ambil sembarang dan

, sehingga diperoleh

.

Jadi, terbukti bahwa memenuhi , untuk setiap

dan setiap .

Oleh karena itu, terbukti bahwa M merupakan ideal pada .

2.3 N-grup

N-grup atau grup nearring merupakan grup yang dihasilkan

dari suatu pemetaan dan beberapa aksioma tertentu. Berikut ini

diberikan definisi tentang N-grup yang dirujuk dari Barthakur dan

Khargharia (2013).

Definisi 2.3.1 Misalkan dan berturut-turut adalah

nearring dan grup. Grup G disebut grup nearring atau N-grup kiri jika

terdapat pemetaan berikut.

sedemikian sehingga untuk setiap dan memenuhi:

a. ;

b. ; dan

c. .

Selanjutnya pada Skripsi ini digunakan istilah N-grup yang

berarti N-grup kiri.


dan grup . Akan dibuktikan bahwa merupakan -grup

dengan didefinisikan pemetaan berikut.

12

untuk setiap .

Bukti. a. Akan dibuktikan memenuhi untuk

setiap . Ambil sembarang . .

.

Jadi, memenuhi .

b. Akan dibuktikan memenuhi untuk setiap

. Ambil sembarang .

.

.

Jadi, memenuhi .

c. Akan dibuktikan memenuhi untuk setiap . Ambil

dan elemen satuan , maka .


Jadi, terbukti bahwa merupakan suatu -grup.


dan grup . Akan dibuktikan bahwa bukan merupakan

-grup dengan didefinisikan pemetaan berikut.

untuk setiap .

Bukti. a. Ambil sembarang .

.

.

Jadi, memenuhi .

Karena syarat pertama tidak berlaku maka syarat kedua dan ketiga

tidak perlu diperiksa. Hal ini membuktikan bahwa grup bukan

merupakan suatu -grup.

Definisi 2.3.4 Suatu himpunan bagian S pada N-grup E disebut

N-subgrup pada E jika S adalah subgrup dari grup ) ,( E dan

SNS .

Definisi 2.3.5 Subgrup S pada N-grup E disebut subgrup normal jika

Sxyx , untuk setiap ExSy dan .

13

Definisi 2.3.6 Subgrup normal S pada N-grup E disebut ideal pada

N-grup E jika untuk setiap , , SyNn dan Ex , memenuhi

Snxyxn )( .

Definisi 2.3.7 Misalkan E dan F, keduanya adalah N-grup. Pemetaan

FEf : disebut N-homomorfisma jika memenuhi:

a. )()()( yfxfyxf dan

b. )()( xnfnxf , untuk setiap Nn dan Eyx , .

Contoh 2.3.8 Diberikan -grup seperti Contoh 2.3.2. Kemudian

diberikan pemetaan f berikut.

Akan dibuktikan bahwa pemetaan f merupakan -homomorfisma.

Bukti. Diberikan N-grup dan pemetaan .

a. Ambil sembarang .

Jadi, terbukti bahwa .

b. Ambil sembarang , maka diperoleh

Jadi, .

Oleh karena itu, terbukti bahwa pemetaan f merupakan suatu

-homomorfisma.

2.4 Himpunan Fuzzy

Himpunan fuzzy merupakan himpunan yang setiap unsur-

unsurnya memiliki nilai derajat keanggotaan tertentu. Nilai derajat

keanggotaan pada himpunan fuzzy adalah bilangan real pada interval

[0,1]. Nilai derajat keanggotaan ini ditentukan oleh fungsi

keanggotaan tertentu. Berikut ini diberikan definisi himpunan fuzzy

pada suatu himpunan yang diringkas dari Kandasamy (2003) dan

definisi-definisi yang berkaitan dengan himpunan fuzzy yang

diringkas dari Barthakur dan Khargharia (2013) dan Zadeh (1965).

14

Definisi 2.4.1 Misalkan X adalah himpunan tak kosong. Himpunan

fuzzy (himpunan bagian fuzzy) pada himpunan X adalah pemetaan

]1,0[: X .

Suatu pemetaan dapat diartikan sebagai suatu himpunan

pasangan berurutan. Oleh karena itu, pemetaan pada Definisi 2.4.1

merupakan himpunan ( ) .

Contoh 2.4.2 Diketahui himpunan }5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0{X . Kemudian

didefinisikan pemetaan ]1 ,0[: Xf sedemikian sehingga

1)5(dan ;8.0)4( ;6.0)3( ;4.0)2( ;2.0)1( ;0)0( ffffff .

Berdasarkan definisi pemetaan f, maka pemetaan f disebut sebagai

himpunan fuzzy atau himpunan bagian fuzzy pada X.

Himpunan fuzzy (himpunan bagian fuzzy ) pada Contoh 2.4.2

adalah himpunan .

Definisi 2.4.3 Jika adalah himpunan bagian fuzzy pada himpunan

X, maka himpunan }0)(:{ xXx disebut support pada dan

dinotasikan dengan . Himpunan ]}1,0[,)(:{ ttxXx yang

dinotasikan dengan ,t disebut level subset pada X.

Contoh 2.4.4 Diberikan suatu himpunan }.6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0{X

Didefinisikan suatu pemetaan 1] ,0[: X sedemikian sehingga

;8.0)5( ;5.0)4( ;3.0)2( ;45.0)1( ;0)3()0( dan

9.0)6( . Tunjukkan himpunan dan himpunan 45.0 .

Jawab. Diketahui bahwa pada himpunan X didefinisikan suatu

pemetaan , 1] ,0[: X

sehingga dapat disimpulkan bahwa

pemetaan disebut himpunan bagian fuzzy pada X.

Jadi, himpunan = }0)(:{ xXx = }6 ,5 ,4 ,2 ,1{ dan himpunan

45.0 = }45,0)(:{ xXx = }.6 ,5 ,4 ,1{

Jika pemetaan merupakan himpunan fuzzy (himpunan

bagian fuzzy) pada himpunan , maka untuk setiap

pernyataan-pernyataan berikut berlaku.

a. min . b. max .

15

Contoh 2.4.5 Diberikan suatu himpunan }.6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0{X

Didefinisikan suatu pemetaan 1] ,0[: X sedemikian sehingga

;8.0)5( ;5.0)4( ;3.0)2( ;45.0)1( ;0)3()0( dan

9.0)6( . Berapakah nilai dan ?

Jawab.

min min

= max = max

2.5 Himpunan Bagian Fuzzy pada N-grup

Berikut ini diberikan definisi dan contoh yang berkaitan

dengan himpunan bagian fuzzy pada N-grup yang dirujuk dari

Barthakur dan Khargharia (2013).

Definisi 2.5.1 Misalkan E adalah N-grup. Pemetaan ]1,0[: E

disebut himpunan bagian fuzzy pada N-grup E.

Pemetaan pada Definisi 2.5.1 merupakan himpunan

( ) .


dan grup . Pada Contoh 2.3.2 telah terbukti bahwa

merupakan suatu -grup. Kemudian didefinisikan pemetaan

, sedemikian sehingga

{

Dengan demikian, pemetaan disebut sebagai himpunan bagian

fuzzy pada -grup .

Definisi 2.5.3 Himpunan bagian fuzzy pada N-grup E disebut

subgrup fuzzy pada N-grup E jika untuk setiap Eyx , memenuhi:

a. )()()( yxyx dan

b. ).()( xx

Contoh 2.5.4 Diberikan -grup seperti pada Contoh 2.3.2.

Kemudian didefinisikan pemetaan , sedemikian

sehingga

16

{

untuk setiap . Akan dibuktikan bahwa pemetaan merupakan

subgrup fuzzy pada -grup .

Bukti.

Berdasarkan pemetaan yang didefinisikan pada -grup , terbukti

bahwa pemetaan merupakan himpunan bagian fuzzy pada .

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa pemetaan merupakan subgrup

fuzzy pada -grup .


Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

17

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Jadi, memenuhi .

b. Ambil sembarang x .

Misalkan , maka . Jadi

diperoleh

Misalkan , maka

.

18

Jadi diperoleh

Misalkan , maka

.

Jadi diperoleh

Misalkan , maka

.

Jadi diperoleh

Jadi, memenuhi .

Jadi, terbukti bahwa pemetaan merupakan subgrup fuzzy pada

Definisi 2.5.5 Suatu subgrup fuzzy pada N-grup E disebut

N-subgrup fuzzy pada N-grup E jika untuk setiap Nn dan Ex

memenuhi

)()( xnx .



sehingga

{


-subgrup fuzzy pada -grup .

Bukti.

Pada Contoh 2.5.4 telah terbukti bahwa pemetaan merupakan

subgrup fuzzy pada -grup . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa

pemetaan merupakan -subgrup fuzzy pada -grup . Ambil

sembarang .

Misalkan .

19

Misalkan .

Misalkan

Misalkan .

Jadi, terbukti bahwa pemetaan merupakan -subgrup fuzzy pada

Definisi 2.5.7 Suatu himpunan bagian fuzzy pada N-grup E

disebut ideal fuzzy pada N-grup E jika memenuhi:

a. ),()()( yxyx

b. ),()( yxyx dan

c. )())(( xnaxan untuk setiap Eyxa ,, dan Nn .



sehingga

{


ideal fuzzy pada -grup .

Bukti.


bahwa pemetaan merupakan himpunan bagian fuzzy pada .

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa pemetaan merupakan ideal

fuzzy pada -grup .


Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

20

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

21

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

22

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Misalkan dan , maka

.

Jadi, diperoleh

Jadi, memenuhi .

b. Ambil sembarang .

(karena pada berlaku sifat komutatif)

(karena invers y pada adalah )

(karena 0 adalah elemen identitas pada )

Jadi, berlaku .

c. Ambil sembarang .

Pada Contoh 2.5.6 telah terbukti bahwa .


Jadi, terbukti bahwa pemetaan merupakan ideal fuzzy pada .

Definisi 2.5.9 Misalkan dan adalah himpunan-himpunan

bagian fuzzy pada N-grup E. Himpunan bagian fuzzy )( pada

N-grup E didefinisikan sebagai

Ebabaxbax

,:)()())(( .


Kemudian pada didefinisikan dua pemetaan yaitu pemetaan

dan pemetaan , sedemikian sehingga

23

{

dan {

untuk setiap . Akan ditentukan himpunan bagian fuzzy

pada -grup .

Jawab. Diberikan -grup dan dua pemetaan yaitu pemetaan

dan pemetaan . Akan ditentukan

himpunan bagian fuzzy ) pada -grup . Ambil sembarang

, sedemikian sehingga , untuk .

a. Ambil , maka pasangan yang diperoleh

yaitu:

, sehingga

, sehingga

, sehingga

, sehingga

Jadi,

7.02.0 ,5.0 ,2.0 ,7.0 ))(( x

x

b. Ambil , maka pasangan yang diperoleh

yaitu:

, sehingga

, sehingga

, sehingga

, sehingga

Jadi,

3.03.0 ,2.0 ,2.0 ,3.0 ))(( x

x

24

c. Ambil , maka pasangan yang diperoleh

yaitu:

, sehingga

, sehingga

, sehingga

, sehingga

Jadi,

6.02.0 ,2.0 ,6.0 ,5.0 ))(( x

x

d. Ambil , maka pasangan yang diperoleh

yaitu:

, sehingga

, sehingga

, sehingga

, sehingga

Jadi,

3.02.0 ,3.0 ,3.0 ,2.0 ))(( x

x

25

BAB 3

PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas beberapa definisi, contoh, dan teorema

tentang himpunan Q-fuzzy, N-subgrup Q-fuzzy, subgrup normal

Q-fuzzy, dan ideal Q-fuzzy pada N-grup yang diringkas dari

Barthakur dan Khargharia (2013).

3.1 Himpunan Q-Fuzzy pada N-grup

Himpunan Q-fuzzy merupakan pengembangan dari himpunan

fuzzy. Berikut diberikan definisi Himpunan Q-fuzzy pada N-grup

Definisi 3.1.1 Misalkan Q dan E berturut-turut adalah himpunan

dan N-grup. Pemetaan ]1,0[: QE disebut sebagai himpunan

Q-fuzzy pada N-grup E.

Pemetaan atau himpunan Q-fuzzy pada Definisi 3.1.1

adalah himpunan .

Contoh 3.1.2 Diberikan suatu himpunan dan -grup

seperti Contoh 2.3.2. Didefinisikan pemetaan , sedemikian sehingga

{

untuk setiap dan . Akan dibuktikan bahwa merupakan

himpunan Q-fuzzy pada -grup .

Bukti.

Ambil sembarang dan . Misalkan ambil dan

, maka

. Dengan cara yang sama,

jika mengambil sembarang dan , maka diperoleh

. Dengan demikian, pemetaan disebut sebagai

himpunan Q-fuzzy pada -grup .

Definisi 3.1.3 Jika adalah himpunan Q-fuzzy pada N-grup X, maka

himpunan ]}1,0[ ,),(: ,{ ttqxQqXx

yang dinotasikan

26

dengan ,t disebut sebagai Q-level subset pada . Himpunan

}0),(:,{ qxQqXx disebut sebagai Q-support pada

dan

dinotasikan dengan .

Contoh 3.1.4 Diberikan suatu himpunan Q-fuzzy pada -grup

seperti pada Contoh 3.1.2. Menurut Definisi 3.1.3, dapat disimpulkan

bahwa himpunan .

Himpunan .

3.2 N-Subgrup Q-Fuzzy pada N-Grup

Suatu himpunan Q-fuzzy pada N-grup E dapat disebut

N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E jika memenuhi ketentuan-

ketentuan tertentu.

Definisi 3.2.1 Misalkan adalah suatu himpunan Q-fuzzy pada

N-grup E. Pemetaan disebut N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E

jika untuk setiap , , QrNn dan Eyx , memenuhi:

a. ),,(),(),( ryrxryx

b. ),,(),( rxrx dan

c. ).,(),( rxrnx

Kondisi a dan b ekuivalen dengan ).,(),(),( ryrxryx


seperti pada Contoh 2.3.2. Kemudian didefinisikan pemetaan


{

untuk setiap dan . Akan dibuktikan bahwa pemetaan merupakan -subgrup Q-fuzzy pada -grup .

27

Bukti.


bahwa pemetaan merupakan himpunan Q-fuzzy pada .

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa pemetaan merupakan

-subgrup Q-fuzzy pada -grup .

a. Ambil sembarang dan .

Misalkan dan , maka

.

sehingga

Misalkan dan , maka

.

sehingga

Misalkan dan , maka

.

sehingga

Misalkan dan , maka

.

sehingga

28

Misalkan dan , maka

.

sehingga

Misalkan dan , maka

.

sehingga

Misalkan dan , maka

.

sehingga

Misalkan dan , maka

.

sehingga

Misalkan dan , maka

.

sehingga

29

Misalkan dan , maka

.

sehingga

Jadi, memenuhi .

b. Ambil sembarang dan .

Misalkan , maka . Jadi

diperoleh

Misalkan , maka

.

Jadi diperoleh

Misalkan , maka

.

Jadi diperoleh

Misalkan , maka

.

Jadi diperoleh

Jadi, memenuhi .

c. Ambil sembarang dan .

30

Misalkan .

Misalkan .

Misalkan

Misalkan .

Jadi, memenuhi .

Jadi, terbukti bahwa pemetaan merupakan -subgrup Q-fuzzy pada

-grup

Teorema 3.2.3 Himpunan Q-fuzzy pada N-grup E merupakan

N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E jika dan hanya jika t merupakan N-subgrup pada N-grup E, dengan ]1 ,0[t .

Bukti.

Diketahui adalah N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E. Akan

dibuktikan bahwa t merupakan N-subgrup pada N-grup E.

Akan dibuktikan merupakan subgrup pada N-grup E.

Ambil sembarang dan . Dari definisi

diperoleh dan , sehingga didapat

. Karena adalah N-subgrup Q-fuzzy

pada N-grup E, maka .

Karena didapat

dan

,

maka diperoleh . Jadi .

Akan dibuktikan bahwa . Ambil sembarang

, , dan . Dari definisi diperoleh

31

. Karena merupakan N-subgrup Q-fuzzy pada

N-grup E, maka . Karena didapat

dan

,

maka . Jadi .

Karena dan , maka terbukti bahwa t merupakan N-subgrup pada N-grup E.

Bukti ke kiri menggunakan bukti dengan kontradiksi.

Misalkan merupakan N-subgrup pada N-grup E dan

andaikan bukan N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E. Ambil

sembarang dan . Dari definisi diperoleh

dan , sehingga didapat

.

Karena bukan N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E, maka

. Karena

dan

,

maka diperoleh , sehingga mengakibatkan

. Hal ini kontradiksi dengan pemisalan adalah

N-subgrup pada N-grup E. Jadi pengandaian salah, sehingga

merupakan N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E.

Contoh 3.2.4 Diberikan suatu -subgrup Q-fuzzy pada -grup

seperti pada Contoh 3.2.2. Akan dibuktikan bahwa t merupakan

-subgrup pada -grup , dengan .

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa merupakan -subgrup pada -grup ,

dengan . Misalkan ambil maka

, dengan dan . Karena akan dibuktikan

bahwa merupakan -subgrup pada -grup , maka haruslah

merupakan himpunan bagian pada -grup . Jadi, dapat

didefinisikan sebagai

dan .

32

a. Akan dibuktikan bahwa merupakan -subgrup pada -grup

. Pada Contoh 2.1.7 telah terbukti bahwa merupakan

subgrup pada -grup .

b. Akan dibuktikan bahwa . Ambil sembarang

dan , maka diperoleh . Jadi,

.

Dengan cara yang sama berlaku untuk setiap . Jadi, terbukti

bahwa merupakan -subgrup pada -grup .


N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E jika dan hanya jika:

a. ),(),0( qxq

b. ),(),(),( qyqxqnymx ,

untuk setiap , , , QqNnm dan Eyx , .

Bukti.

Diketahui adalah N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E.

a. Ambil sembarang dan . Karena merupakan

N-subgrup Q-fuzzy, maka diperoleh

.

Jadi, terbukti .

b. Ambil sebarang dan . Karena

merupakan N-subgrup Q-fuzzy, maka diperoleh

Jadi, terbukti .

Akan dibuktikan bahwa merupakan N-subgrup Q-fuzzy pada

N-grup E.

a. Ambil sembarang , , dan . Hal ini

diperoleh . Karena

diketahui untuk setiap , , dan

berlaku

,

maka diperoleh .

Karena

dan

33

,

maka .

b. Ambil sembarang , , dan . Hal ini

diperoleh .

Karena diketahui untuk setiap , , dan

berlaku , maka

diperoleh .

Karena diketahui untuk setiap dan berlaku

,

maka diperoleh .

Karena

dan

,

maka diperoleh .

Jadi, terbukti bahwa merupakan N-subgrup Q-fuzzy pada

N-grup E.

Contoh 3.2.6 Diberikan suatu himpunan Q-fuzzy pada -grup

seperti pada Contoh 3.2.2. Akan dibuktikan bahwa jika merupakan

-subgrup Q-fuzzy pada -grup maka untuk setiap dan

memenuhi:

a. ,

b. .

Bukti.

Pada Contoh 3.2.2 telah terbukti bahwa merupakan -subgrup

Q-fuzzy pada -grup .

a. Akan dibuktikan bahwa untuk setiap dan

. Pada pembuktian Contoh 3.2.2, diantaranya berlaku:

Misalkan dan , maka

.

sehingga

Misalkan dan , maka

34

.

sehingga

Jika diketahui , untuk setiap , maka kedua

kasus diatas tidak berlaku. Hal ini mengakibatkan bukan

-subgrup Q-fuzzy pada -grup . Jadi, haruslah memenuhi

.

b. Akan dibuktikan memenuhi

untuk setiap , dan . Pada Contoh 3.2.2 telah

terbukti bahwa memenuhi dan

untuk setiap dan . Hal ini

mengakibatkan

Jadi,terbukti memenuhi .

Teorema 3.2.7 Irisan tak kosong dari N-subgrup Q-fuzzy pada

N-grup E merupakan N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E juga.

Bukti.

Misalkan himpunan N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E adalah

. Akan dibuktikan bahwa irisan tak kosong dari

N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E merupakan N-subgrup Q-fuzzy

pada N-grup E juga.


qyxqyx iIiIi

i , ,

qyqx iiIi

,,

,,

qyqx iIi

iIi

,,

qyqxIi

iIi

i

Jadi,

35

qyqxqyxIi

iIi

iIi

i ,,, .

b. Ambil sembarang , , dan .

qnxqnx iIiIi

i , ,

qxiIi

,

, qxIi

i

Jadi,

qxqnxIi

iIi

i ,,

.

Oleh karena itu, terbukti bahwa irisan tak kosong dari N-subgrup

Q-fuzzy pada N-grup E merupakan N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E

juga.

3.3 Subgrup Normal Q-Fuzzy dan Ideal Q-Fuzzy pada N-Grup

Suatu himpunan Q-fuzzy pada N-grup E dapat disebut

subgrup normal Q-fuzzy pada N-grup E jika memenuhi ketentuan-

ketentuan tertentu.

Definisi 3.3.1 Misalkan adalah himpunan Q-fuzzy pada N-grup E.

Pemetaan disebut subgrup normal Q-fuzzy pada N-grup E jika

untuk setiap Qr dan Eyx , memenuhi:

a. ),(),(),( ryrxryx dan

b. ).,(),( rxryxy




36

{

untuk setiap dan . Akan dibuktikan bahwa pemetaan merupakan subgrup normal Q-fuzzy pada -grup .

Bukti.

Berdasarkan pemetaan dapat disimpulkan bahwa

dengan dan

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa pemetaan merupakan subgrup

normal Q-fuzzy pada -grup .


Ambil sembarang , maka

.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh

37


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh

38


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh

Jadi, berlaku , untuk setiap

dan .


(karena pada berlaku komutatif)

(karena invers y pada adalah )

(karena 0 adalah elemen identitas pada )

Jadi, berlaku .

Oleh karena itu, terbukti bahwa pemetaan merupakan subgrup

normal Q-fuzzy pada -grup .

Suatu subgrup normal Q-fuzzy pada N-grup E dapat disebut

ideal Q-fuzzy pada N-grup E jika memenuhi ketentuan tertentu.

Definisi 3.3.3 Misalkan adalah himpunan Q-fuzzy pada N-grup E.

Pemetaan disebut ideal Q-fuzzy pada N-grup E jika untuk setiap

, , QrNn dan Eyx , memenuhi:

39

a. adalah subgrup normal Q-fuzzy pada N-grup E dan

b. ),(],)([ rxrnyxyn .




{

untuk setiap dan . Akan dibuktikan bahwa pemetaan

merupakan ideal Q-fuzzy pada -grup .

Bukti.

Berdasarkan pemetaan dapat disimpulkan bahwa

dengan dan

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa pemetaan merupakan ideal

Q-fuzzy pada -grup . a. Akan dibuktikan bahwa merupakan subgrup normal Q-fuzzy

pada -grup . Pada Contoh 3.3.2 telah terbukti bahwa pemetaan

merupakan subgrup normal Q-fuzzy pada -grup . b. Ambil sembarang dan .

Pada Contoh 3.2.2 telah terbukti bahwa .

Jadi, memenuhi .

Oleh karena itu, terbukti bahwa pemetaan merupakan ideal Q-fuzzy

pada -grup .

Lemma 3.3.5 Misalkan merupakan ideal Q-fuzzy pada N-grup E.

Pernyataan-pernyataan berikut berlaku.

40

a. ),,(),0( qxq untuk setiap Qq dan Ex

b. ),,(),( qxqx untuk setiap Qq dan Ex

c. merupakan ideal pada N-grup E.

Bukti.

Diketahui merupakan ideal Q-fuzzy pada N-grup E.

a. Ambil sebarang dan . Karena adalah ideal Q-fuzzy,

maka diperoleh

Jadi, memenuhi .

b. Ambil sebarang dan . Karena adalah ideal Q-fuzzy,

maka diperoleh

.

.

Karena diperoleh dan ,

maka memenuhi bahwa .

c. Akan dibuktikan merupakan ideal pada N-grup E.


diperoleh dan , sehingga diperoleh

. Karena merupakan ideal Q-fuzzy

pada N-grup E, maka . Karena

dan ,

maka . Jadi .

Ambil sebarang , , dan . Dari definisi

diperoleh . Karena merupakan ideal Q-fuzzy

pada N-grup E, maka . Karena

dan , maka diperoleh

. Jadi .

Ambil sebarang , , , dan . Dari

definisi diperoleh . Karena merupakan ideal

Q-fuzzy pada N-grup E, maka .

Karena dan , maka

diperoleh . Jadi .

Jadi terbukti merupakan ideal pada N-grup E.

41

Contoh 3.3.6 Diberikan ideal Q-fuzzy pada -grup seperti pada

Contoh 3.3.4. Akan dibuktikan bahwa memenuhi:

a. , untuk setiap dan

b. , untuk setiap dan

c. merupakan ideal pada -grup .

Bukti.

Pada Contoh 3.3.4 telah terbukti bahwa merupakan ideal Q-fuzzy

pada -grup .

a. Akan dibuktikan memenuhi untuk setiap

dan . Pada pembuktian Contoh 3.3.4, diantaranya berlaku

Jika diketahui , maka pembuktian diatas tidak

berlaku sehingga bukan ideal Q-fuzzy pada -grup . Jadi,

haruslah memenuhi .

b. Akan dibuktikan memenuhi untuk setiap

dan . Pada pembuktian Contoh 3.3.2, diantaranya

berlaku:


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh

Jika diketahui , maka pembuktian diatas ada

yang tidak berlaku sehingga bukan ideal Q-fuzzy pada -grup .

Jadi, haruslah memenuhi .

c. Pada Contoh 3.3.4 dapat dilihat bahwa untuk setiap

dan , sehingga disimpulkan bahwa untuk setiap dan . Karena akan dibuktikan bahwa

merupakan ideal pada -grup , maka haruslah merupakan

himpunan bagian pada -grup . Jadi, .

42

Akan dibuktikan merupakan subgrup pada -grup .

Karena dan merupaka suatu -grup, maka terbukti

bahwa merupakan subgrup pada -grup .

Akan dibuktikan merupakan subgrup normal pada -grup

. Ambil sembarang dan . Hal ini jelas bahwa

.

Jadi, terbukti merupakan subgrup normal pada -grup .

Akan dibuktikan merupakan ideal pada -grup . Ambil

sembarang dan .

.

Jadi, terbukti bahwa merupakan ideal pada -grup .


ideal Q-fuzzy pada N-grup E jika dan hanya jika t merupakan

ideal pada N-grup E, dengan ]1 ,0[t .

Bukti.

Diketahui adalah ideal Q-fuzzy pada N-grup E. Akan

dibuktikan bahwa t merupakan ideal pada N-grup E.

a. Akan dibuktikan merupakan subgrup pada N-grup E.


diperoleh dan , sehingga didapat

. Karena merupakan ideal Q-fuzzy

pada N-grup E, maka .

Karena

dan

,

maka diperoleh . Jadi .

b. Akan dibuktikan bahwa merupakan subgrup normal

pada N-grup E. Ambil sebarang , , dan .

Dari definisi diperoleh . Karena adalah

ideal Q-fuzzy pada N-grup E, maka

.

Karena dan , maka

diperoleh . Jadi, .

c. Akan dibuktikan bahwa merupakan ideal pada N-grup E.

Ambil sembarang , , , dan . Dari

43

definisi diperoleh . Karena merupakan

ideal Q-fuzzy pada N-grup E, maka

.

Karena dan ,

maka diperoleh . Oleh karena itu,

.

Jadi, terbukti bahwa merupakan ideal pada N-grup E.

Bukti ke kiri menggunakan bukti dengan kontradiksi.

Misalkan merupakan ideal pada N-grup E dan andaikan

bukan ideal Q-fuzzy pada N-grup E. Ambil sembarang

dan . Dari definisi diperoleh

dan , sehingga didapat .

Karena bukan ideal Q-fuzzy pada N-grup E, maka

.

Karena

dan

,

maka diperoleh , sehingga mengakibatkan

. Hal ini kontradiksi dengan pemisalan bahwa

merupakan ideal pada N-grup E. Jadi pengandaian salah,

sehingga merupakan ideal Q-fuzzy pada N-grup E.

Contoh 3.3.8 Diberikan suatu ideal Q-fuzzy pada -grup seperti

pada Contoh 3.3.4. Akan dibuktikan bahwa merupakan ideal pada

-grup , dengan .

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa merupakan ideal pada -grup , dengan

. Misalkan ambil maka

, Dengan , , dan . Karena akan

dibuktikan bahwa merupakan ideal pada -grup , maka

haruslah merupakan himpunan bagian pada -grup . Jadi, dapat

didefinisikan sebagai

dan . a. Akan dibuktikan bahwa

merupakan subgrup pada -grup .

Pada Contoh 2.1.7 telah terbukti bahwa merupakan subgrup

pada -grup .

44

b. Akan dibuktikan bahwa merupakan subgrup normal pada

-grup . Ambil sembarang dan . Hal ini jelas

bahwa

.

Jadi, terbukti merupakan subgrup normal pada -grup .

c. Akan dibuktikan merupakan ideal pada -grup . Ambil

sembarang dan .

.

Jadi, terbukti bahwa merupakan ideal pada -grup .

Dengan cara yang sama berlaku untuk setiap . Jadi, terbukti

bahwa merupakan ideal pada -grup .

Teorema 3.3.9 Irisan tak kosong dari ideal Q-fuzzy pada N-grup E

merupakan ideal Q-fuzzy pada N-grup E juga.

Bukti.

Misalkan himpunan ideal Q-fuzzy pada N-grup E adalah . Akan dibuktikan bahwa irisan tak kosong dari ideal Q-fuzzy pada

N-grup E merupakan ideal Q-fuzzy pada N-grup E juga.


qyxqyx iIiIi

i , ,

qyqx iiIi

,,

,,

qyqx iIi

iIi

,,

qyqxIi

iIi

i

Jadi,

qyqxqyxIi

iIi

iIi

i ,,, .


qyxyqyxy iIiIi

i , ,

qxiIi

,

45

, qxIi

i

.

Jadi,

qxqyxyIi

iIi

i ,,

.

c. Ambil sembarang , , dan .

qnyxynqnyxyn iIiIi

i ,)( ,)(

qxiIi

,

, qxIi

i

.

Jadi,

qxqnyxynIi

iIi

i ,,)(

.

Oleh karena itu terbukti bahwa irisan tak kosong dari ideal Q-fuzzy

pada N-grup E merupakan ideal Q-fuzzy pada N-grup E juga.

Teorema 3.3.10 Jika merupakan ideal Q-fuzzy pada N-grup E

dan merupakan N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E, maka )(


Bukti.

a. Ambil sembarang dan . qyx , QqEbaqbqa

bayx

,,:),(),(

),(),( )()(

qsrqvusrvuyx

),( ),,( ,

qsvqvrvusvyvrvux

Misalkan ),( ),,( ,

qsvqvrvuAsvyvrvux

.

),( ),,( ,

qsvqvrvuAsvyvrvux

),( ),( ),(),(,

qsqvqvrvqusvyvrvux

46

),( ),( ),(),( )()(

qsqvqrqusrvuyx

),( ),( ),(),( )()(

qsqrqvqusrvuyx

),( ),( ),(),( qsqrqvqu

sryvux

qyqx ,,

Jadi, qyqxqyx ,,, .

b. Ambil sembarang dan , dengan .

qx,

),(),( qbqabax

),(),( qbqbxbax

),()),(( )(

qbqbxbax

),(),( )(

qbqbxbax

qx,

Jadi, qxqx , , .

c. Ambil sembarang , , dan , dengan .

qx, ),(),( qbqabax

),(),)(( qnbqnbabnbax

),(),)(( )(

qnbqnbbanbannx

Misalkan .),(),)(( )(

qnbqnbbanAbannx

Jika diambil srban )( dan ,nbs maka

.),(),)(( )(

qnbqnbbanAbannx

),(),( qsqrsrnx

qnx,

Jadi, qxqnx , , .

Jadi, terbukti bahwa merupakan N-subgrup Q-fuzzy pada

N-grup E.

Contoh 3.3.11 Diberikan -subgrup Q-fuzzy pada -grup seperti

pada Contoh 3.2.2 dan ideal Q-fuzzy pada -grup seperti pada

47

Contoh 3.3.4. Akan dibuktikan bahwa merupakan


Bukti.

Akan ditentukan nilai , untuk setiap dan .

a. Ambil dan , maka pasangan yang

diperoleh yaitu:

, sehingga

, sehingga

, sehingga

, sehingga

Jadi,

qqqqqqx

x

6.02.0 ,

4.0 ,

2.0 ,

6.0 ),)((

b. Ambil dan , maka pasangan yang

diperoleh yaitu:

, sehingga

, sehingga

, sehingga

, sehingga

Jadi,

48

qq

.

qqqqx

x

2.020 ,

2.0 ,

2.0 ,

2.0 ),)((

c. Ambil dan , maka pasangan yang

diperoleh yaitu:

, sehingga

, sehingga

, sehingga

, sehingga

Jadi,

qqqqqqx

x

6.02.0 ,

2.0 ,

6.0 ,

4.0 ),)((

d. Ambil dan , maka pasangan yang

diperoleh yaitu:

, sehingga

, sehingga

, sehingga

, sehingga

Jadi,

49

qqqqqqx

x

2.02.0 ,

2.0 ,

2.0 ,

2.0 ),)((

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa merupakan


a. Diketahui dan , dengan .


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


50

.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh

51


.

Jadi diperoleh


.

Jadi diperoleh

Jadi, berlaku ,

untuk setiap dan .


Misalkan .

Misalkan .

Misalkan

Misalkan .

Jadi, memenuhi .

Jadi, terbukti bahwa pemetaan merupakan suatu -subgrup

Q-fuzzy pada -grup

53

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada Skripsi ini, maka diperoleh

simpulan sebagai berikut.

a. Misalkan pemetaan merupakan himpunan Q-fuzzy pada

N-grup E dan . Pemetaan merupakan N-subgrup

Q-fuzzy pada N-grup E jika dan hanya jika merupakan

N-subgrup pada N-grup E. Demikian juga pada ideal Q-fuzzy,

pemetaan merupakan ideal Q-fuzzy pada N-grup E jika dan

hanya jika merupakan ideal pada N-grup E.

b. Irisan tak kosong dari N-subgrup Q-fuzzy pada suatu N-grup

merupakan N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup tersebut.

Demikian pula pada ideal Q-fuzzy, irisan tak kosong dari ideal

Q-fuzzy pada suatu N-grup merupakan ideal Q-fuzzy pada

N-grup tersebut.

c. Misalkan E merupakan suatu N-grup. Penjumlahan dari suatu

ideal Q-fuzzy dan suatu N-subgrup Q-fuzzy pada N-grup E


4.2 Saran

Dalam Skripsi ini hanya membahas N-subgrup Q-fuzzy,

subgrup normal Q-fuzzy, dan ideal Q-fuzzy pada suatu N-grup. Oleh

karena itu, penulis memberikan saran kepada pembaca yang tertarik

pada permasalahan ini untuk mengembangkannya dengan mencari

karakteristik pada himpunan Q-fuzzy yang lain, misalnya subgrup

anti-Q-fuzzy dan subgrup normal anti-Q-fuzzy pada suatu N-grup.

55

DAFTAR PUSTAKA

Andari, A. 2015. Teori Grup. Universitas Brawijaya Press. Malang.

Barthakur, G. K., Khargharia, J. 2013. On Q-Fuzzy N-Subgroup and

Q-Fuzzy Ideal Of An N-Group. International Journal Of

Fuzzy Mathematics And System. Vol. 3, hal: 153-161.

Kandasamy, W. B. V. 2003. Smarandache Fuzzy Algebra. American

Research Press. Rehoboth.

Kim, S. D., dan Kim, H. S. 1996. On Fuzzy Ideals Of Near-Rings.

Bull. Korean Math. Soc. 33, hal: 593-601.

Massa‟deh, M. O. 2013. On Q-Fuzzy R-Subgroups Of Near-Rings.

International Mathematical Forum. Vol.8, hal: 387-393.

Zadeh, L. A. 1965. Fuzzy sets. Information And Control. Vol. 8, hal:

338-353.

n-subgrup q-fuzzy dan ideal q-fuzzy pada n-grup …repository.ub.ac.id/155313/1/amaluddin.pdf ·...

Documents