natjecateljsko programiranje luka kalinovčić, kalinovcic@gmail

Natjecateljsko programiranje

Luka Kalinovčić, [email protected]

Osnove

Domaća zadaća

� (A+B) mod M (A+B) mod M (A+B) mod M (A+B) mod M ≡≡≡≡ ((A mod M)+(B mod M)) mod M((A mod M)+(B mod M)) mod M((A mod M)+(B mod M)) mod M((A mod M)+(B mod M)) mod M

◦ (4+8) mod 3 (4+8) mod 3 (4+8) mod 3 (4+8) mod 3 = (1+2) mod 3 = 3 mod 3 = 0= (1+2) mod 3 = 3 mod 3 = 0= (1+2) mod 3 = 3 mod 3 = 0= (1+2) mod 3 = 3 mod 3 = 0

� (A(A(A(A−−−−B) mod M B) mod M B) mod M B) mod M ≡≡≡≡ ((A mod M)((A mod M)((A mod M)((A mod M)−−−−(B mod M)) mod M(B mod M)) mod M(B mod M)) mod M(B mod M)) mod M◦ (4(4(4(4−−−−8) mod 3 = (18) mod 3 = (18) mod 3 = (18) mod 3 = (1−−−−2) mod 3 = 2) mod 3 = 2) mod 3 = 2) mod 3 = ----1 mod 3 = 21 mod 3 = 21 mod 3 = 21 mod 3 = 2

� (A(A(A(A····B) mod M B) mod M B) mod M B) mod M ≡≡≡≡ ((A mod M) ((A mod M) ((A mod M) ((A mod M) ···· (B mod M)) mod M(B mod M)) mod M(B mod M)) mod M(B mod M)) mod M◦ (4(4(4(4····8) mod 3 = (18) mod 3 = (18) mod 3 = (18) mod 3 = (1····2) mod 3 = 2 mod 3 = 22) mod 3 = 2 mod 3 = 22) mod 3 = 2 mod 3 = 22) mod 3 = 2 mod 3 = 2

� (A/B) mod M (A/B) mod M (A/B) mod M (A/B) mod M ≡≡≡≡ ????????????

� (A/B) mod M (A/B) mod M (A/B) mod M (A/B) mod M ≡≡≡≡ ????????????

� Neka je P prost brojNeka je P prost brojNeka je P prost brojNeka je P prost broj

� (A/B) mod P (A/B) mod P (A/B) mod P (A/B) mod P ≡≡≡≡ (A(A(A(A····BBBB----1111) mod P) mod P) mod P) mod P

� xxxxPPPP----1111 mod P mod P mod P mod P ≡≡≡≡ 1111

� (x(x(x(x····xxxxPPPP----2222) mod P ) mod P ) mod P ) mod P ≡≡≡≡ 1111

� xxxxPPPP----2222 ≡≡≡≡ xxxx----1111

◦ xxxxPPPP----2 2 2 2 je modularni inverz broja x (modulo P)!je modularni inverz broja x (modulo P)!je modularni inverz broja x (modulo P)!je modularni inverz broja x (modulo P)!

� (A/B) mod P (A/B) mod P (A/B) mod P (A/B) mod P ≡≡≡≡ (A(A(A(A····BBBBPPPP----2222) mod P) mod P) mod P) mod P

� LaganoLaganoLaganoLagano

MOD = 31337;

x1 = A % MOD;

x2 = B % MOD;

for( int i = 0; i < K-2; ++i ) {

int x3 = ((long long)C*A +

(long long)D*B +

E) % MOD;

x1 = x2;

x2 = x3;

}

� VlakiVlakiVlakiVlakićććć

� Permutacije s ponavljanjPermutacije s ponavljanjPermutacije s ponavljanjPermutacije s ponavljanjimaimaimaima::::

( )6024mod

!!!

!⋅

++

CBA

CBA

� Dijeljenje!Dijeljenje!Dijeljenje!Dijeljenje! Kako izraKako izraKako izraKako izraččččunati?unati?unati?unati?

� Zapisati brojnik i nazivnik kao umnožak faktora.

� Pokratiti sve što se može.

� Kako znamo da je rješenje cijeli broj, sigurno ćemo sve brojeve u nazivniku pokratiti.

� Pomnožiti brojeve u brojniku

( )

32132121

87654321

!3!3!2

!332

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

++

ret = 1;

for( int i = 0; i < A+B+C; ++i ) {

for( int j = 0; j < A+B+C; ++j ) {

int g = gcd( gore[i], dole[j] );

gore[i] /= g;

dole[j] /= g;

}

ret = (ret * gore[i]) % (24*60);

}

Brzo potenciranje

Geometrijski niz

� (A(A(A(ANNNN) mod M ) mod M ) mod M ) mod M ≡≡≡≡ ??? ??? ??? ???

� Rekurzivna metodaRekurzivna metodaRekurzivna metodaRekurzivna metoda

� AAAA2009200920092009 = A = A = A = A ···· AAAA2008200820082008

� AAAA2008200820082008 = A= A= A= A1004100410041004 ···· AAAA1004100410041004

� AAAA1004100410041004 = A= A= A= A502502502502 ···· AAAA502502502502

� AAAA502502502502 = A= A= A= A251251251251 ···· AAAA251251251251

� AAAA251251251251 = A = A = A = A ···· AAAA250250250250

�…………

� SloSloSloSložžžženost O(log N)enost O(log N)enost O(log N)enost O(log N)

� Iterativna metodaIterativna metodaIterativna metodaIterativna metoda

� AAAA2009200920092009 = = = = AAAA1024102410241024 ···· AAAA512512512512 ···· AAAA256256256256 ···· AAAA128128128128 ···· AAAA64646464 ···· AAAA16161616 ···· AAAA8888 ···· AAAA1111

ret = 1;

while( n > 0 ) {

if( n % 2 == 1 ) ret = ret * A % M;

A = A * A % M;

n = n / 2;

} OVERFLOW? long long!OVERFLOW? long long!OVERFLOW? long long!OVERFLOW? long long!

� SloSloSloSložžžženost O(log N), ali brenost O(log N), ali brenost O(log N), ali brenost O(log N), ali bržžžže ode ode ode od

rekurzivne metoderekurzivne metoderekurzivne metoderekurzivne metode

� ((((1 + A + 1 + A + 1 + A + 1 + A + AAAA2222 + ... + + ... + + ... + + ... + AAAANNNN) mod M ) mod M ) mod M ) mod M ≡≡≡≡ ??? ??? ??? ???

� Rekurzivno rjeRekurzivno rjeRekurzivno rjeRekurzivno rješšššenjeenjeenjeenje

� Za parne N:Za parne N:Za parne N:Za parne N:◦ 1 + A + 1 + A + 1 + A + 1 + A + AAAA2222 + ... + + ... + + ... + + ... + AAAANNNN = 1 + A= 1 + A= 1 + A= 1 + A····((((1 + A + 1 + A + 1 + A + 1 + A + AAAA2222 + ... + + ... + + ... + + ... + AAAANNNN----1111))))

� Za neparne N:Za neparne N:Za neparne N:Za neparne N:◦ B = AB = AB = AB = A2222

◦ 1 + A + 1 + A + 1 + A + 1 + A + AAAA2222 + ... + + ... + + ... + + ... + AAAANNNN ====

◦ = (= (= (= (1 + 1 + 1 + 1 + AAAA2222 + ... + + ... + + ... + + ... + AAAANNNN----1111) + (A + A) + (A + A) + (A + A) + (A + A3333 + ... + + ... + + ... + + ... + AAAANNNN) =) =) =) =

◦ = (= (= (= (1 + 1 + 1 + 1 + AAAA2222 + ... + + ... + + ... + + ... + AAAANNNN----1111) + A) + A) + A) + A····((((1 + 1 + 1 + 1 + AAAA2222 + ... + + ... + + ... + + ... + AAAANNNN----1111) = ) = ) = ) =

◦ = (1 + A)= (1 + A)= (1 + A)= (1 + A)····((((1 + 1 + 1 + 1 + AAAA2222 + + + + AAAA4444 + ... + + ... + + ... + + ... + AAAANNNN----1111) =) =) =) =

◦ = (1 + A)= (1 + A)= (1 + A)= (1 + A)····((((1 + 1 + 1 + 1 + BBBB ++++ BBBB2222 + + + + ... + ... + ... + ... + BBBB(N(N(N(N----1)/21)/21)/21)/2))))

Euklidov algoritam

Prošireni Euklidov algoritam

� Primjer: GCD(1683, 873)Primjer: GCD(1683, 873)Primjer: GCD(1683, 873)Primjer: GCD(1683, 873)

1683168316831683 873873873873


1683168316831683 873873873873

1111


1683168316831683 873873873873 810810810810

1111


1683168316831683 873873873873 810810810810

1111 1111


1683168316831683 873873873873 810810810810 63636363

1111 1111


1683168316831683 873873873873 810810810810 63636363

1111 1111 12121212


1683168316831683 873873873873 810810810810 63636363 54545454

1111 1111 12121212


1683168316831683 873873873873 810810810810 63636363 54545454 9999

1111 1111 12121212 1111


1683168316831683 873873873873 810810810810 63636363 54545454 9999 0000

1111 1111 12121212 1111 6666

Uvjet za prekidUvjet za prekidUvjet za prekidUvjet za prekid

Rezultat!Rezultat!Rezultat!Rezultat!

GCD(1683, 873)GCD(1683, 873)GCD(1683, 873)GCD(1683, 873) = 9= 9= 9= 9

gcd( A, B ) {

r1 = A;

r2 = B;

while( r2 != 0 ) {

q = r1 / r2;

r3 = r1 – q*r2;

r1 = r2;

r2 = r3;

}

return r1;

}

int gcd( int A, int B ) {

if( B == 0 ) return A;

else return gcd( B, A%B );

}

return B ? gcd( B, A%B ) : A;

� Rekurzivna implementacijaRekurzivna implementacijaRekurzivna implementacijaRekurzivna implementacija

� ………… ili ili ili ili …………


1683168316831683 873873873873

1111 0000

0000 1111

1111····1683 + 01683 + 01683 + 01683 + 0····873 873 873 873 = 1683= 1683= 1683= 1683

0000····1683 + 1683 + 1683 + 1683 + 1111····873 873 873 873 = 873= 873= 873= 873


1683168316831683 873873873873 810810810810

1111

1111 0000 1111

0000 1111 ----1111

1111····1683 1683 1683 1683 −−−− 1111····873 873 873 873 = 810= 810= 810= 810


1683168316831683 873873873873 810810810810 63636363

1111 1111

1111 0000 1111 ----1111

0000 1111 ----1111 2222

----1111····1683 1683 1683 1683 + 2+ 2+ 2+ 2····873 873 873 873 = 63= 63= 63= 63


1683168316831683 873873873873 810810810810 63636363 54545454

1111 1111 12121212

1111 0000 1111 ----1111 13131313

0000 1111 ----1111 2222 ----25252525

13131313····1683 1683 1683 1683 −−−− 25252525····873 873 873 873 = 54= 54= 54= 54


1683168316831683 873873873873 810810810810 63636363 54545454 9999

1111 1111 12121212 1111

1111 0000 1111 ----1111 13131313 ----14141414

0000 1111 ----1111 2222 ----25252525 27272727

----14141414····1683 1683 1683 1683 + 27+ 27+ 27+ 27····873 873 873 873 = 54= 54= 54= 54


1683168316831683 873873873873 810810810810 63636363 54545454 9999 0000

1111 1111 12121212 1111 6666

1111 0000 1111 ----1111 13131313 ----14141414

0000 1111 ----1111 2222 ----25252525 27272727

----14141414····1683 1683 1683 1683 + 27+ 27+ 27+ 27····873 873 873 873 = 54= 54= 54= 54

extended_gcd( A, B ) {

r1 = A; x1 = 1; y1 = 0;

r2 = B; x2 = 0; y2 = 1;

while( r2 != 0 ) {

q = r1 / r2;

r3 = r1 – q*r2;

x3 = x1 – q*x2;

y3 = y1 – q*y2;

r1 = r2; x1 = x2; y1 = y2;

r2 = r3; x2 = x3; y2 = y3;

}

// vrijedi: x1*A + y1*B == r1

}

� Primjena:Primjena:Primjena:Primjena:

� RjeRjeRjeRješšššavanje modularnih jednadavanje modularnih jednadavanje modularnih jednadavanje modularnih jednadžžžžbi:bi:bi:bi:

� 7x 7x 7x 7x ≡≡≡≡ 4 (mod 17)4 (mod 17)4 (mod 17)4 (mod 17)

� 7x + 17y 7x + 17y 7x + 17y 7x + 17y = = = = 4444

� ProProProProšššširenim irenim irenim irenim Euklidovim algoritEuklidovim algoritEuklidovim algoritEuklidovim algoritom nađemo om nađemo om nađemo om nađemo rjerjerjerješšššenje enje enje enje temeljne jednadtemeljne jednadtemeljne jednadtemeljne jednadžžžžbe 7be 7be 7be 7xxxx’’’’ + 17+ 17+ 17+ 17yyyy’’’’ = 1= 1= 1= 1::::◦ 7777····5 5 5 5 + 17+ 17+ 17+ 17····((((----2)2)2)2) = 1= 1= 1= 1

� MnoMnoMnoMnožžžžimo s 4imo s 4imo s 4imo s 4◦ 7777····20202020 + 17+ 17+ 17+ 17····((((----8)8)8)8) = 4= 4= 4= 4

� Zaista: 7Zaista: 7Zaista: 7Zaista: 7····20202020 ≡≡≡≡ 4 (mod 17)4 (mod 17)4 (mod 17)4 (mod 17)

Množenje matrica

Linearne diferencijske jednadžbe

∑ ⋅= ),(),(),( jkBkiAjiC

112

211

33

12

21

969

534

435

=

×

112

211

33

12

21

� Fibonaccijev niz:Fibonaccijev niz:Fibonaccijev niz:Fibonaccijev niz:◦ F[0] = 1F[0] = 1F[0] = 1F[0] = 1

◦ F[1] = 1F[1] = 1F[1] = 1F[1] = 1

◦ FFFF[k] = F[k[k] = F[k[k] = F[k[k] = F[k----1] + F[k1] + F[k1] + F[k1] + F[k----2]2]2]2]

� Cilj je pronaCilj je pronaCilj je pronaCilj je pronaćććći matricu koja i matricu koja i matricu koja i matricu koja ćććće vektor e vektor e vektor e vektor

transformirati u vektortransformirati u vektortransformirati u vektortransformirati u vektor

−

−

1]F[k

2]F[k

−

F[k]

1]F[k


◦ F[1] = 1F[1] = 1F[1] = 1F[1] = 1


−

−

1]F[k

2]F[k

−

F[k]

1]F[k

??

??


◦ F[1] = 1F[1] = 1F[1] = 1F[1] = 1


−

−

1]F[k

2]F[k

−

F[k]

1]F[k

11

10

=

×

F[2]

F[1]

F[1]

F[0]

11

10

=

×

=

×

×

F[3]

F[2]

F[2]

F[1]

11

10

F[1]

F[0]

11

10

11

10

+=

×

1]F[k

F[k]

F[1]

F[0]

11

10k

� PrimjerPrimjerPrimjerPrimjer 1:1:1:1:◦ F[0] = 0F[0] = 0F[0] = 0F[0] = 0

◦ F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0

◦ FFFF[k] = 2[k] = 2[k] = 2[k] = 2····F[kF[kF[kF[k----1] 1] 1] 1] −−−− F[kF[kF[kF[k----2] + 52] + 52] + 52] + 5

−

−

1]F[k

2]F[k

−

F[k]

1]F[k

??

??

Trebamo u stanje dodati Trebamo u stanje dodati Trebamo u stanje dodati Trebamo u stanje dodati konstantu 1!konstantu 1!konstantu 1!konstantu 1!


◦ F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0


−

−

1

1]F[k

2]F[k

−

1

F[k]

1]F[k

???

???

???


◦ F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0


−

−

1

1]F[k

2]F[k

−

1

F[k]

1]F[k

100

521-

010


◦ F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0


◦ IzraIzraIzraIzraččččunajte Funajte Funajte Funajte F[0] + F[1] + F[2] + [0] + F[1] + F[2] + [0] + F[1] + F[2] + [0] + F[1] + F[2] + ………… + F[n]+ F[n]+ F[n]+ F[n]

� RjeRjeRjeRješšššenje: niz Senje: niz Senje: niz Senje: niz S pamti sumupamti sumupamti sumupamti sumu◦ SSSS[0] = 0[0] = 0[0] = 0[0] = 0

◦ S[k] = S[kS[k] = S[kS[k] = S[kS[k] = S[k----1] + F[k]1] + F[k]1] + F[k]1] + F[k]

� S[k] = S[kS[k] = S[kS[k] = S[kS[k] = S[k----1] + 21] + 21] + 21] + 2····F[kF[kF[kF[k----1] 1] 1] 1] −−−− F[kF[kF[kF[k----2] + 52] + 52] + 52] + 5


◦ F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0


◦ S[k] = S[kS[k] = S[kS[k] = S[kS[k] = S[k----1] + 21] + 21] + 21] + 2····F[kF[kF[kF[k----1] 1] 1] 1] −−−− F[kF[kF[kF[k----2] + 52] + 52] + 52] + 5

� Vektor stanja:Vektor stanja:Vektor stanja:Vektor stanja:

−

−

−

1

1]S[k

1]F[k

2]F[k


◦ F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0F[1] = 0


◦ S[k] = S[kS[k] = S[kS[k] = S[kS[k] = S[k----1] + 21] + 21] + 21] + 2····F[kF[kF[kF[k----1] 1] 1] 1] −−−− F[kF[kF[kF[k----2] + 52] + 52] + 52] + 5

−

−

−

1

1]S[k

1]F[k

2]F[k

−

1

S[k]

F[k]

1]F[k

1000

5121-

5021-

0010

natjecateljsko programiranje luka kalinovčić, kalinovcic@gmail

Documents