naturliga tal - learnify · negativa tal talet 1 är mindre än talet 2 talet 0 är mindre än 1....
TRANSCRIPT
Naturliga tal
1 2 3 4 5
Hur maringnga gubbar
Naturliga tals storlek
1 2 3 4 5
Fyra gubbar aumlr mindre aumln fem
Vad aumlr det minsta antal som kan finnas
Vilket aumlr det minsta tal som finns
1 2 3 4 5
Talet noll
1 2 3 4 50
Matematiken gjorde ett stort steg framaringt naumlr man infoumlrde talet nollTalet noll aumlr det minsta naturliga talet
0
Rationella tal
1 2 3 4 50
2513
Rationella tal kan uttryckas som braringk
Irrationella tal
1 2 3 4 50
Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk
3 e π
Hur litet kan naringgot bli
4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110
Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas
Hur litet kan naringgot bli
1 2 3 4 5
Mindre
1 2 3 4 5
Minst
1 2 3 4 5
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Naturliga tals storlek
1 2 3 4 5
Fyra gubbar aumlr mindre aumln fem
Vad aumlr det minsta antal som kan finnas
Vilket aumlr det minsta tal som finns
1 2 3 4 5
Talet noll
1 2 3 4 50
Matematiken gjorde ett stort steg framaringt naumlr man infoumlrde talet nollTalet noll aumlr det minsta naturliga talet
0
Rationella tal
1 2 3 4 50
2513
Rationella tal kan uttryckas som braringk
Irrationella tal
1 2 3 4 50
Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk
3 e π
Hur litet kan naringgot bli
4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110
Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas
Hur litet kan naringgot bli
1 2 3 4 5
Mindre
1 2 3 4 5
Minst
1 2 3 4 5
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Vilket aumlr det minsta tal som finns
1 2 3 4 5
Talet noll
1 2 3 4 50
Matematiken gjorde ett stort steg framaringt naumlr man infoumlrde talet nollTalet noll aumlr det minsta naturliga talet
0
Rationella tal
1 2 3 4 50
2513
Rationella tal kan uttryckas som braringk
Irrationella tal
1 2 3 4 50
Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk
3 e π
Hur litet kan naringgot bli
4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110
Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas
Hur litet kan naringgot bli
1 2 3 4 5
Mindre
1 2 3 4 5
Minst
1 2 3 4 5
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Talet noll
1 2 3 4 50
Matematiken gjorde ett stort steg framaringt naumlr man infoumlrde talet nollTalet noll aumlr det minsta naturliga talet
0
Rationella tal
1 2 3 4 50
2513
Rationella tal kan uttryckas som braringk
Irrationella tal
1 2 3 4 50
Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk
3 e π
Hur litet kan naringgot bli
4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110
Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas
Hur litet kan naringgot bli
1 2 3 4 5
Mindre
1 2 3 4 5
Minst
1 2 3 4 5
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Rationella tal
1 2 3 4 50
2513
Rationella tal kan uttryckas som braringk
Irrationella tal
1 2 3 4 50
Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk
3 e π
Hur litet kan naringgot bli
4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110
Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas
Hur litet kan naringgot bli
1 2 3 4 5
Mindre
1 2 3 4 5
Minst
1 2 3 4 5
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Irrationella tal
1 2 3 4 50
Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk
3 e π
Hur litet kan naringgot bli
4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110
Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas
Hur litet kan naringgot bli
1 2 3 4 5
Mindre
1 2 3 4 5
Minst
1 2 3 4 5
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Hur litet kan naringgot bli
4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110
Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas
Hur litet kan naringgot bli
1 2 3 4 5
Mindre
1 2 3 4 5
Minst
1 2 3 4 5
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Hur litet kan naringgot bli
1 2 3 4 5
Mindre
1 2 3 4 5
Minst
1 2 3 4 5
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Mindre
1 2 3 4 5
Minst
1 2 3 4 5
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Minst
1 2 3 4 5
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Mindre aumln ingenting
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot
Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot
Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte
fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Negativa tal
Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa
tal trots att de egentligen inte finns
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
De reella talen
Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )
-2 -1 0 1 2-3-4
minus14 -25 313
17
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Varfoumlr inte infoumlra en axel till
-1 1 2 3-2-3
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra
-1 1 2 3-2-3
Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i
i
2i
3i
-i
0
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
De komplexa talen
-1
i
2 3-2-3 1
2i
3i
-i
-2 + 3i
1 + i
3 + 2i
-3 + -i2 - i
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa
heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen
som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av
tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de
komplexa talen som foumlr de reella talen
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Samma raumlkneregler1 + 1 = 2
x + x = 2x
i + i = 2i
3 3 = 32
x x = x2
i i = i2
1 ndash 3 = -2
x ndash 3x = -2x
i ndash 3i = -2i
(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2
(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus
Egenskap hos det imaginaumlra talet i
2 1i = minus