CAPITOLUL 1NAVIGAŢIE ORTODROMICĂ

1.1 CONSIDERAŢII TEORETICE

1.1.1 GENERALITĂŢI

Din ce în ce mai mult se pune problema reducerii consumurilor în toate domeniile de activitate. În transporturile maritime, cea mai mare pondere în costuri o reprezintă combustibilul. Cu cât drumul este mai scurt între două porturi, cu atât costurile vor fi mai mici, iar nava va deveni mai eficientă din punct de vedere economic.

Drumul cel mai scurt între două puncte pe suprafaţa sferei terestre se numeşte ortodromă. Din cauză că ortodroma nu intersectează meridianele sub unghi constant, face ca aceasta să nu poată fi utilizată pentru navigaţie în mod direct pentru că în acest caz ar trebui ca timonierul să modifice în permanenţă drumul navei.

Există mai multe metode de rezolvare a problemelor de navigaţie ortodromică, toate având ca rezultat final lista de puncte intermediare ce trebuie introduse în cadrul unui plan de marş pentru navigaţia oceanică.

Executarea cu succes a unei traversade, atât sub aspectul siguranţei navigaţiei, cât şi al celui economic, constituie unul din examenele de maturitate profesională ale navigatorului. Alegerea soluţiei celei mai favorabile pentru drumul de urmat, măsurile de luat pentru siguranţa navigaţiei etc., trebuie să ţină seama de calităţile nautice ale navei, de factorii hidrometeorologici din zonă, de tipul mărfii încărcate la bord, de eventuale precauţii impuse de modul de stivuire şi amarare. Este deci de reţinut că drumurile recomandate pentru traversada oceanică, nu sunt valabile pentru toate navele, chiar pentru o aceeaşi navă acestea pot diferi în funcţie de condiţiile de încărcare sau de anumite particularităţi privind starea sa tehnică.

Pe mare, distanţa cea mai scurtă între punctul de plecare şi cel de destinaţie trebuie considerată cea care permite traversada în condiţii de deplină siguranţă şi în timpul cel mai scurt: riscul impus eventual de particularităţile zonei sau ale navei trebuie preluat în limite rezonabile, ţinând seama permanent de primatul criteriului de siguranţă.

1.1.2 CONSIDERAŢII INTRODUCTIVE

Ortodroma (Great Circle) este arcul de cerc mare care uneşte două puncte A şi B de pe suprafaţa sferei terestre.

Aceasta are următoarele proprietăţi principale cu importanţă în navigaţie:- reprezintă distanţa cea mai scurtă între două puncte pe sfera terestră;

9

- intersectează meridianele sub unghiuri diferite;- pe harta în proiecţie Mercator apare ca o curbă cu convexitatea înspre pol, la intersecţiile cu ecuatorul având puncte de inflexiune;

Ortodroma se confundă cu loxodroma când punctele A şi B se află pe acelaşi meridian sau pe ecuator; în aceste cazuri particulare ortodroma intersectează meridianele sub acelaşi unghi (0°, 180° respectiv 90° sau 270°).

În navigaţia oceanică, când punctul de plecare A şi cel de sosire B sunt situate la o distanţă mare, diferenţa dintre distanţa loxodromică m şi cea ortodromică M poate fi considerabilă. Diferenţa dintre m şi M creşte cu cât distanţa loxodromică este mai mare şi drumul loxodromic D este mai aproape de 90° (270°); deci, la aceeaşi distanţă loxodromică m, cu cât diferenţa de longitudine dintre cele două puncte este mai mare, latitudinea medie φm a celor două puncte este mai mare.

Figura 1 Elementele ortodromei pe sfera terestră

În navigaţia oceanică, dacă diferenţa m–M ia valori suficient de mari şi condiţiile hidrometeorologice sunt favorabile, se recomandă navigaţia pe ortodromă, deoarece oferă posibilitatea reducerii duratei traversadei, deci se va face economie de timp şi combustibil.

Deplasarea navei de-a lungul ortodromei nu este însă practic posibilă, deoarece aceasta intersectează meridianele sub unghiuri diferite, iar guvernarea navei se asigură prin menţinerea unui unghi constant faţă de direcţia nord, egal cu drumul loxodromic D.

De aceea, navigaţia ortodromică se execută pe loxodrome scurte, cât mai apropiate de ortodromă, astfel:

10

- se determină coordonatele unor puncte (Z1, Z2…) de pe ortodromă, situate la o diferenţă de longitudine constantă (de un număr întreg de grade), numite puncte intermediare;- navigaţia se execută pe loxodromele AZ1, Z1Z2 etc., care unesc punctele intermediare ale ortodromei;

Elementele caracteristice ale ortodromei: - distanţa ortodromică M egală cu lungimea arcului de cerc mare AB.

Prin cerc mare se înţelege cercul rezultat prin intersectarea suprafeţei sferei terestre cu un plan ce trece prin centrul sferei;

- punctele de intersecţie cu ecuatorul: cercul mare care conţine ortodroma, intersectează ecuatorul terestru în două puncte diametral opuse (diferenţa de longitudine dintre ele este de 180°);

- vertexul V este punctul de pe cercul mare care trece prin A şi B cel mai apropiat de polul geografic, deci punctul cu cea mai mare latitudine. Vertexurile sunt situate unul în emisfera nordică şi unul în cea sudică, având latitudine egală în modul iar diferenţa de longitudine dintre ele este de 180°. Diferenţa de longitudine dintre un vertex şi punctele de intersecţie cu ecuatorul este de 90°;

- drumul iniţial Di egal cu unghiul PAB, format între tangenta la meridianul şi tangenta la ortodromă în punctul iniţial (drumul instantaneu al navei dacă aceasta s-ar deplasa efectiv pe ortodromă în punctul de plecare);

- drumul final Df este unghiul format între tangenta la meridian şi tangenta la ortodromă în punctul final (complementul unghiului PBA, adică drumul instantaneu al navei dacă aceasta s-ar deplasa efectiv pe ortodromă în punctul de sosire).

11

Figura 2. Elementele ortodromei pe harta în proiecţie Mercator

1.1.3 CALCULUL DISTANŢEI ORTODROMICE

Considerăm o navă care pleacă din punctul A ( φA, λA ) înspre punctul B (φB, λB), având diferenţa de longitudine . Distanţa ortodromică M se obţine prin aplicarea formulei cosinusurilor laturilor în triunghiul sferic ABP, format între punctul de plecare A, cel de sosire B şi polul geografic P, în care se cunosc laturile ; şi unghiul sferic cuprins între ele APB=, astfel:

de unde: Formula se rezolvă logaritmic, pe părţi sau cu ajutorul oricărei table

utilizată în navigaţie pentru calculul înălţimii unui astru din latitudine, declinaţie şi unghi la pol, prin substituirea corespunzătoare a argumentelor de intrare în table.

1.1.4 CALCULUL DRUMULUI INIŢIAL Di ŞI AL DRUMULUI FINAL Df

Drumul iniţial Di se obţine prin aplicarea formulei cotangentelor în triunghiul sferic ABP pentru următoarele patru elemente consecutive: drumul

12

iniţial Di, latura: , unghiul sferic APB= şi latura , dintre care ultimele trei sunt cunoscute. Pe baza acestei formule se poate scrie:

,în care înlocuind şi împărţind la sin Δλ se obţine:

În mod similar, drumul final Df se obţine prin aplicarea formulei cotangentelor în triunghiul sferic BAP, din aceleaşi trei elemente consecutive cunoscute:

,

de unde: Aceste formule se rezolvă logaritmic, pe părţi sau cu orice tablă folosită

în navigaţie pentru calculul azimutului din latitudine, declinaţie şi unghi la pol, prin substituirea corespunzătoare a argumentelor de intrare în table.

Drumul iniţial şi cel final se citesc din tabla logaritmică ca valori cuadrantale şi se transformă apoi în sistem circular.

1.1.5 CALCULUL COORDONATELOR VERTEXULUI

Figura 3. Determinarea coordonatelor vertexului

Vertexul V se obţine prin tangentarea cercului mare determinat de punctele A( φA, λA ) şi B( φB, λB ) cu paralelul pp´ de latitudine maximă.

13

Coordonatele geografice ale vertexului se calculează prin rezolvarea unuia din cele două triunghiuri sferice VPA sau VPB, dreptunghice în V, care se formează între meridianul vertexului PV, arcul de cerc mare AB şi meridianul PA al punctului de plecare, respectiv PB al punctului de sosire.

Prin aplicarea formulei sinusurilor (sinusurile unghiurilor sunt proporţionale cu sinusurile laturilor opuse) în triunghiul sferic dreptunghic VPA se obţine:

şi deci latitudinea vertexului este dată de relaţia:

Aplicând aceeaşi regulă şi în triunghiul dreptunghic VPB se obţine: .

În calculul latitudinii vertexului se utilizează ambele formule pentru a verifica corectitudinea calculelor.

Longitudinea vertexului se obţine din suma algebrică: , unde ΔλV1 reprezintă diferenţa de longitudine dintre punctul de plecare A şi vertexul V, care se calculează prin rezolvarea aceluiaşi triunghi sferic dreptunghic VPA, astfel:

,

de unde: .În mod similar, se poate determina longitudinea vertexului prin

calcularea, mai întâi a diferenţei de longitudine dintre punctul de sosire B şi vertexul V , unde se determină cu formula:

.

Dacă au fost determinate corect şi , atunci valoarea numerică a diferenţei de longitudine este egală cu suma valorilor numerice ale diferenţelor de longitudine dintre punctul de plecare şi vertex ( ), respectiv punctul de

plecare şi vertex ( ). Adică: .

1.1.6 CALCULUL LATITUDINII PUNCTELOR INTERMEDIARE

Punctele intermediare se obţin prin intersecţia ortodromei cu meridiane separate de o diferenţă de longitudine constantă. Longitudinile punctelor intermediare sunt astfel determinate; problema care rămâne de rezolvat este de a calcula latitudinile acestor puncte.

14

Latitudinea φZ a unui punct intermediar oarecare Z se obţine prin rezolvarea triunghiului sferic VPZ (figura 3), dreptunghic în V, în care se cunoaşte cateta şi unghiul sferic

, de unde:

Punctele intermediare astfel determinate se poziţionează pe harta Mercator; segmentele de dreaptă AZ1, Z1Z2, Z2Z3 …, ZnB, etc. ce unesc punctul de plecare, punctele intermediare ale ortodromei şi punctul final reprezintă loxodromele pe care nava urmează să se deplaseze din A în B.

1.2 ALGORITM DE OPERAŢII

Pentru calculul cu ajutorul tablelor nautice a elementelor ortodromei se utilizează tipurile de calcul astfel:

A) 1. Calculul diferenţei de longitudine Δλ: λB= →Longitudinea punctului de sosire-λA = →Longitudinea punctului de plecare Δλ`= →Valoarea diferenţei de longitudine obţinută din calcul

Δλ= →Valoarea diferenţei de longitudine adevăratăΔλm= →Valoarea diferenţei de longitudine în minuteΔλ``= →Valoarea diferenţei de longitudine cu care se intră în tablă

Dacă din calcul rezultă Δλ`>180°, urmând ortodroma în sensul dat de semnul lui Δλ` ar însemna ca nava să se deplaseze pe porţiunea mai lungă a cercului mare pe suprafaţa sferică. În acest caz navigaţia se va face în sens invers lui Δλ` pe o valoare a diferenţei de longitudine de 360°- Δλ`= Δλ, rezultă astfel valoarea adevărată Δλ, atribuindu-i semn contrar faţă Δλ`. Apoi această valoare se va transforma în minute.

Dacă Δλ>90°, pentru a putea determina logaritmii funcţiilor trigonometrice cu ajutorul tablei, se va calcula complementul acestui unghi Δλ``=180°- Δλ.

2. Calculul diferenţei de latitudine Δφ: φB= →Latitudinea punctului de sosire-φA= →Latitudinea punctului de plecareΔφ= →Valoarea diferenţei de latitudine

Δφm= →Valoarea diferenţei de latitudine în minute

3. Calculul latitudinii crescânde Δφc:

15

φcB= →Latitudinea crescândă a punctului de sosire T4DH 90 -φcA= →Latitudinea crescândă a punctului de plecare 10=

10,00000 Δφc= →Diferenţa de latitudine crescândă -lg Δφc=

Scăzând din 10 pe lg Δφc se obţine cologaritmul → colg Δφc=

Se foloseşte cologaritmul lui Δφc pentru a evita efectuarea scăderii la punctul C.

B) Calculul distanţei ortodromice M:cosM=sin φA sin φB + cos φA cos φB cos Δλ = a+b

lg sin φA= lg cos φA=lg sin φB= lg cos φB= lg a= lg cos Δλ=

a=

φA şi φB au acelaşi semn→ a>0 ; φA şi φB au semne diferite→ a<0 lg b=

+ b=Δλ<90º→b>0; Δλ>90º→b<0 cosM

=

M`=

T67a DH 90 M= M= (mile marine)

Dacă cos M este pozitiv se determină M=M`; dacă cosM este negativ atunci M=180°-M`. Valoarea lui M astfel obţinută se transformă în minute de arc şi va fi egală cu distanţa ortodromică în mile marine.

C) Calculul drumului loxodromic D şi a distanţei loxodromice m:tgD=Δλ/ΔφC m=Δφ secD

lg Δλm= →lg a lui Δλ exprimat în minute lg Δφm=→lg a lui Δφ exprimat în minute

colg Δφc= →calculat la A.3. lg secD= D la precizie de zecime de min.

lg tgD= lg m=

D=în grade, minute, zecimi de minut,ca valoare cuadrantală

D=

în grade şi zecimi de grad ca valoare circulară

m= în minute Mm

Pentru stabilirea cadranului drumului loxodromic se utilizează următoarele reguli:D se află în cadran nordic dacă Δφ este pozitivăD se află în cadran sudic dacă Δφ este negativăD se află în cadran estic dacă Δλ este pozitivă D se află în cadran vestic dacă Δλ este negativă

16

D) Calculul diferenţei dintre distanţele loxodromică şi ortodromică m-M: m= →distanţa loxodromică în Mm

-M= →distanţa ortodromică în Mm m-M= →diferenţa între distanţa loxodromică şi distanţa ortodromică în Mm

E) 1 Calcul drumului iniţial DictgDi=tgφB cosφA cosecΔλ - sinφA ctgΔλ

x1 y1

lg tgφB=lg cosφA= lg sinφA=

lgcosecΔλ= lg ctgΔλ= lg x1= lg y1= x1=

+y1= ctgDi= Di= în grade, minute şi zecimi de

minut ca valoare cuadrantală Di= în grade şi zecimi de grad ca

valoare circularăSemnului lui x1 se stabileşte astfel: φBS→ x1 negativ;

φBN→ x1 pozitivSemnului lui y1 se stabileşte în funcţie de semnele funcţiilor trigonometrice din formulă şi ţinând cont de semnul minus din faţă: φAN→ sinφA pozitiv;

φAS→ sinφA negativ; Δλ>90º→ ctgΔλ negativă;

Δλ<90º→ ctgΔλ pozitivăPentru stabilirea cadranului drumului iniţial se utilizează următoarele reguli:Di se află în cadran nordic dacă ctgDi este pozitivăDi se află în cadran sudic dacă ctgDi este negativăDi se află în cadran estic dacă Δλ este pozitivă Di se află în cadran vestic dacă Δλ este negativă

2 Calcul drumului final Df:ctgDf=-tgφA cosφB cosecΔλ + sinφB ctgΔλ

x2 y2

lg tgφA= lg cosφB= lg sinφB=lgcosecΔλ= lgctgΔλ= lg x2= lg y2= x2= + y2=

ctgDf= Df= în grade, minute şi zecimi

de minut ca valoare cuadrantală

Df= în grade şi zecimi de grad ca valoare circulară

17

Semnului lui x2 se stabileşte astfel: φAS→ x2 pozitiv; φAN→ x2 negativSemnului lui y2 se stabileşte în funcţie de semnele funcţiilor trigonometrice din formulă: φBN→ sinφB pozitiv; φBS→ sinφB negativ; Δλ>90º→ ctgΔλ negativă; Δλ<90º→ ctgΔλ pozitivăPentru stabilirea cadranului drumului iniţial se utilizează următoarele reguli:Df se află în cadran nordic dacă ctgDf este pozitivăDf se află în cadran sudic dacă ctgDf este negativăDf se află în cadran estic dacă Δλ este pozitivă Df se află în cadran vestic dacă Δλ este negativăConfiguraţia grafică a elementelor ortodromei se va trasa astfel:

- se trasează meridianului Greneewich sau a meridianului de 180° (care dintre ele e traversat de porţiunea scurtă a ortodromei) în centrul reprezentării, pe verticală;

- pe orizontală trasează ecuatorul şi se figurează un sistem de coordonate geografic pentru poziţionarea punctului de plecare şi al punctului de sosire;

- se trasează Di în punctul de plecare şi Df în punctul de sosire;- ţinând cont că convexitatea ortodromei este înspre pol se trasează

ortodroma astfel încât aceasta să fie tangentă la Di şi Df;- se figurează vertexul dacă acesta se află între punctul de sosire şi cel de

plecare sau vertexurile dacă acestea se află în afara ortodromei;- se figurează ΔλV1 şi ΔλV2

F) Calculul coordonatelor vertexului:

F1) Calculul latitudinii vertexului φVcosφV1=cosφA sin Di cosφV2=cosφB sin Df

lg cosφA= lg cosφB= lg sin Di= Di la zecime de min. lg sin Df= Df la zecime de min.

lg cosφV1= lg cosφV2=φV1= φV2=

În cazul în care calculele au fost executate corect φV1 trebuie să rezulte egal în modul cu φV2. F2) Calculul longitudinii vertexului λV

ctgΔλV1= sinφA tgDi λV1=λA+ΔλV1

lg sinφA= λA= lg tgDi=Di la zecime de min. ΔλV1=lg ctgΔλV1= λV1= ΔλV1= λV1=

18

Semnul lui ΔλV1 se stabileşte în conformitate cu reprezentarea grafică ctgΔλV2= sinφB tgDf λV2=λB+ΔλV2

lg sinφB= λB=lg tgDf=Df la zecime de min. ΔλV2=

lgctgΔλV2= λV2=ΔλV2= λV2=

În cazul în care calculele au fost executate corect diferenţa de longitudine dintre λV1 şi λV2 va trebui să fie de 180°.

G) Calculul coordonatelor punctelor intermediare:Punct intermediar A Z1 Z2 …… BLongitudinea λZ= λA λ Z1 λ Z2 λB ΔλZ= λV- λZ= ΔλZ1 ΔλZ2

lg tgφV= lg cosΔλZ= lg tgφZ=

φZ= φA φ Z1 φ Z2 φB

Se calculează ΔλZ pe tip de calcul ca diferenţă dintre longitudinea celui mai apropiat vertex şi longitudinea punctului intermediar respectiv, astfel ΔλZ va rezulta mai mic de 90°.

Calc ΔλZλV=

- λZ= _ ΔλZ=

Punctele intermediare astfel obţinute se trasează pe hartă şi se determină drumurile intermediare şi distanţele ortodromice intermediare. Din cauză că pe drumurile intermediare nu se navighează ortodromic, ci pe porţiuni de loxodromă, câştigul de distanţă (m-M) în realitate va fi mai mic, deoarece M va fi înlocuit de suma distanţelor loxodromice intermediare, deci câştigul real de distanţă va fi: m- (m1+ m2+….).

Calculul efectiv se face pe un formular tipizat prezentat la anexa 1.

19

CAPITOLUL 2NAVIGAŢIE MIXTĂ

2.1 CONSIDERAŢII TEORETICE

Ortodroma fiind arcul de cerc mare care uneşte două puncte de pe suprafaţa terestră pe drumul cel mai scurt, poate trece în unele cazuri peste zone cu gheţuri, cu furtuni, condiţii hidrometeorologice nefavorabile sau chiar peste uscat. (Fig. 4).

Figura 4 Drumul mixt pe sfera terestrăÎn aceasta situaţie, traversada se execută sub forma unei navigaţii mixte,

şi anume:- se stabileşte un paralel de latitudine limita pp' care îndeplineşte

condiţiile desfăşurării unei navigaţii în condiţii de siguranţă de-a lungul traversadei;

- din punctul de plecare şi punctul de destinaţie se trasează arcele de cerc mare AV1 şi BV2, tangente la paralelul limita pp' (punctele de tangenta V1 şi V2 se numesc vertexurile drumului mixt);

- navigaţia se execută pe drumul mixt AV1V2B, respectiv pe ortodroma AV1, arcul de paralel V1V2 şi ortodroma V2B.

- pe ortodromele AV1 şi V2B navigaţia se execută pe segmente de loxodromă.

20

2.2 ELEMENTELE DRUMULUI MIXT

Având în vedere figura 4, elementele drumului mixt sunt următoarele:- drumul iniţial Di=PAV1; - drumul final Df=1800-PAV2; - longitudinile vertexurilor V1 şi V2, latitudinea lor fiind cunoscută,

stabilită de către navigator pe paralelul limită pp`;- distanţa pe prima ortodromă M1;- deplasarea est-vest e;- distanţa pe cea de a doua ortodromă M2;- distanţa totală pe drumul mixt d=M1+e+M2;- coordonatele punctelor intermediare pe cele două ortodrome Z1, Z2, etc.;

2.3 CALCULUL ELEMENTELOR DRUMULUI MIXT

1. Longitudinea V1 a primului vertex V1 se determină prin rezolvarea triunghiului sferic APV1, dreptunghic în V1, prin utilizarea formulei lui Gauss (cosinusul unghiului ascuţit este produsul cotangentei ipotenuzei cu tangenta catetei alăturate) în care se cunosc ipotenuza şi cateta

, astfel:

2. Drumul iniţial Di se obţine aplicând formula sinusurilor în triunghiului sferic

APV1, astfel:

Drumul iniţial se obţine în sistem cuadrantal după care se converteşte în sistem circular. 3. Distanţa ortodromică pe prima ortodromă: AV1=M1 se determină aplicând

formula lui Gauss (cosinusul ipotenuzei este produsul cosinusurilor catetelor) în triunghiului sferic APV1, dreptunghic în V1 , astfel:

4. Latitudinea celui de-al doilea vertex D:

21

5. Drumul final Df:

Drumul final se obţine în sistem cuadrantal şi se converteşte în sistem circular.

6. Distanta ortodromică V2B=M2:

7. Distanta V1V2 pe paralelul limită (deplasarea est-vest):

8. Distanţa totală d pe drumul mixt AV1V2B: d = M1 + e + M2

9. Latitudinea Z a unui punct intermediar Z de pe una din cele două ortodrome:, unde:

sau

2.4 ALGORITMUL DE OPERAŢII

Formularul de calcul este întocmit pentru situaţia în care calculul ortodromic a fost efectuat până la determinarea latitudinii vertexului, unde s-a decis că acesta are o valoare prea mare rezultând necesitatea trecerii la drumul mixt.

Plecând de la schiţa ortodromei, se construieşte în continuare o schiţă a drumului mixt ce va furniza informaţii despre semnul Δλv1 şi Δλv2 .

Deoarece, pentru determinarea coordonatelor punctelor intermediare nu este necesar să se calculeze drumul iniţial Di şi drumul final Df, formularul de calcul (anexa 2) nu mai include şi tipurile de calcul pentru determinarea acestora.

1. Calculul longitudinii vertexului 1 λv1 şi a distanţei ortodromice M1:cosΔλv1=tgφA ctgφ cosM1=sinφA cosecφlog tgφA= log sinφA=log ctgφ= log cosecφ=

log cosΔλV1= logcos M1=ΔλV1= M1=

λA= M1=λV1=

Se atribuie semn lui Δλv1 în funcţie de cum ar trebui să se deplaseze nava pe schiţă de la A la V1 . Dacă deplasarea ar trebui să se facă înspre est atunci Δλv1 va avea semnul +, iar dacă deplasarea ar trebui să se facă înspre vest Δλv1

22

va avea semnul - . Distanţa ortodromică M1 se obţine în grade, minute şi zecimi de minut şi apoi se transformă în minute, respectiv în mile marine.

2. Calculul longitudinii vertexeului 2 λv2 şi a distanţei ortodromice M2cosΔλV2=tgφBctgφ cos M2=sinφB cosecφ

log tgφB= log sinφB=log ctgφ= log cosecφ=

logcosΔλV2= logcos M2=ΔλV2= M2=

λB= M2=Se atribuie semn lui ΔλV2 după ce se studiază schiţa drumului mixt. Dacă,

la modul teoretic, nava deplasându-se de la B la V2 se deplasează înspre est, Δλv1

are semnul + iar înspre vest are semnul - . Distanţa ortodromică M2 se obţine în grade, minute şi zecimi de minut şi apoi se transformă în minute, respectiv în mile marine.

3. Calculul distanţei pe paralelul limită (deplasarea est-vest) e∆λV=λV2-λV1 e=∆λV cosφλV2= log ∆λVm=

-λV1= log cosφ=∆λV= log e=

∆λVm= e=Diferenţa de longitudine dintre cele două vertexuri ∆λV se transformă în

minute ∆λVm şi valoarea deplasării est-vest se obţine în mile ecuatoriale. Nevoile practice ale navigaţiei permit aproximarea milelor ecuatoriale cu mile marine, deci în final, valoarea deplasării est-vest poate fi aproximată ca distanţă măsurată în mile marine.

4. Calculul distanţei totale pe drumul mixt dd=M1+e+M2

M1= Mme= Mm

M2= Mmd= Mm

Această distanţă se compară cu distanţa loxodromică, analizând încă o dată dacă câştigul de distanţă impune navigaţia pe drumul mixt.

5. Calculul coordonatelor punctelor intermediare:Punct intermediar A Z1 Z2 …… V1

Longitudinea λZ= λA λ Z1 λ Z2 λV1

ΔλZ= λV1- λZ= ΔλZ1 ΔλZ2

23

lg tgφV= lg cosΔλZ= lg tgφZ=

φZ= φA φ Z1 φ Z2 φ

Punct intermediar V1 Z1 Z2 …… BLongitudinea λZ= λV1 λ Z1 λ Z2 λB

ΔλZ= λV2- λZ= ΔλZ1 ΔλZ2

lg tgφV= lg cosΔλZ= lg tgφZ=

φZ= φ φ Z1 φ Z2 φB

Modalitatea de calcul a punctelor intermediare pe cele două ortodrome nu diferă cu nimic faţă de cazul ortodromei clasice, numai că la finalul primei ortodrome se va afla vertexul 1, iar la începutul celei de a doua ortodrome vertexul 2.

CAPITOLUL 3METODE EXPEDITIVE DE REZOLVARE A

PROBLEMELOR DE NAVIGAŢIE ORTODROMICĂ3.1 PROIECŢIA GNOMONICĂ. GENERALITĂŢI

24

Proiecţiile gnomonice se mai numesc şi centrale deoarece ochiul observatorului în aceste proiecţii se consideră în centrul Pământului, iar suprafaţa de proiecţie este plană.

Planul de proiecţie este tangent la suprafaţa terestră într-un anumit punct. În funcţie de poziţia punctului de tangenţă al planului de proiecţie cu suprafaţa sferei terestre se deosebesc trei tipuri de proiecţii gnomonice: ecuatoriale (punctul se află pe ecuator), polare (punctul se află în unul din poli) şi oblice sau zenitale (un punct oarecare pe sfera terestră).

Proiecţia gnomonică nu este nici conformă (echivalenţa unghiurilor din realitate cu unghiurile din proiecţie), nici echivalentă (echivalenţa suprafeţelor din realitate cu suprafeţele din proiecţie) ci are o altă proprietate: ortodroma este o linie dreaptă. Deoarece ortodroma este definită pe sferă, proiecţiile gnomonice nu se construiesc decât având la bază ca model matematic al Pământului sfera terestră. Elipsoidul terestru nu se pretează la trasarea unei astfel de proiecţii.

În proiecţia gnomonică ecuatorială, meridianele apar ca linii drepte perpendiculare pe ecuator, paralelele sunt arce de hiperbolă ce au vârfurile şi focarele situate pe meridianul principal.

În proiecţia gnomonică polară meridianele apar ca linii drepte, convergente spre pol, iar paralelele sunt cercuri concentrice în polul respectiv.

În proiecţia gnomonică azimutală, meridianele apar ca linii drepte, convergente spre pol, iar paralelele apar ca o reţea de conice.

Amiralitatea Britanică publică 15 hărţi ce acoperă întregul glob la scările de 1:13,500,000 şi 1:26,500,000.

Numărul Hărţii

Descriere

5095 North Atlantic Ocean

5095a North Atlantic - True Bearings of Bishop Rock Light

5095b North Atlantic - True Bearings of Mona Passage

5095c North Atlantic - True Bearings of Gibraltar

5096 South Atlantic and Southern Oceans

5096a South Atlantic and Southern Oceans - True Bearings of Cape Town

5096b South Atlantic and Southern Oceans - True Bearings of Stanley Harbour

5097 North Pacific Ocean

5097a North Pacific - True Bearings of San Francisco

25

5097b North Pacific - True Bearings of Yokohama

5098 South Pacific and Southern Oceans

5098a South Pacific and Southern Oceans - True Bearings of Wellington

5098b South Pacific and Southern Oceans - True Bearings of Valparaiso

5098c South Pacific and Southern Oceans - True Bearings of Panama Appr.

5099 Indian and Southern Oceans

3.1.1 PROIECŢIA GNOMONICĂ ECUATORIALĂ

Planul de proiecţie este tangent la sfera terestră într-un punct situat pe

ecuator (figura 5).

Dacă se notează punct de tangenţă cu litera „Q” acesta este considerat punctul central al proiecţiei, iar meridianul PQP’ se numeşte meridianul principal al proiecţiei. Ecuatorul terestru proiectat pe planul de proiecţie va fi reprezentat de dreapta eqe’.

26

x

p

p’

x’

g’

y

F

b

b’

a

A A’

P

λ

B

O

P’

Q Q’

C

c

e

e’

y’

φ φ

λ

Figura 11 - 1

R

Figura 11-1 Figura 5. Proiecţia gnomonică ecuatorială

Un meridian oarecare PCP’ care face unghiul λ cu meridianul principal va fi reprezentat de verticalul gcg’, paralel cu meridianul principal şi perpendicular pe proiecţia ecuatorului eqe’.

Distanţa Qc dintre proiecţia meridianului principal PP’ şi proiecţia gcg’ a meridianului oarecare considerat, se poate determina din triunghiul OQc, dreptunghic în Q, cu relaţia următoare:

Se deduce că în proiecţia gnomonică ecuatorială:

- meridianele apar ca drepte paralele între ele şi perpendiculare pe ecuator;- distanţa de la meridianul principal la un meridian oarecare creşte

proporţional cu tangenta diferenţei de longitudine dintre acestea;- meridianele situate la 90o spre est şi spre vest de meridianul principal nu

sunt reprezentate în proiecţie deoarece tg 90o plasează proiecţia lor la infinit ( ).

Trebuie determinată în continuare situaţia proiecţiei paralelelor de latitudine pe planul de proiecţie. Pentru aceasta se consideră un paralel oarecare AA’ de latitudine φ. Punctul A aparţinând acestui paralel, aflat la intersecţia cu meridianul principal, se proiectează pe planul de proiecţie în punctul a de pe verticalul pQp’, la distanţa Qa de ecuator, dată de relaţia:

Punctul B al paralelului AA’ de latitudine φ, situat la intersecţia acestui paralel cu meridianul PCP’ care face unghiul λ cu meridianul principal, se proiectează în b’, pe dreapta gbg’ la o distanţă de ecuator cb.

Din triunghiul Ocb, dreptunghic în c, se obţine: ,

iar din triunghiul OQc, dreptunghic în Q:

Înlocuind valoarea lui Oc în relaţia anterioară, se obţine:

Se consideră un sistem de axe ortogonale x-x’ şi y-y’ cu centrul în punctul Q. Coordonatele punctului b pot fi exprimate în acest sistem de axe prin ecuaţiile parametrice următoare:

Pentru a trece de la ecuaţiile parametrice la ecuaţia explicită va trebuie eliminat parametrul . Pentru aceasta se scriu ecuaţiile de mai sus sub

următoarea formă:

27

Ridicând la pătrat ambele ecuaţii parametrice se obţine:

Dacă se scad egalităţile de mai sus membru cu membru, ţinând cont de faptul că , va rezulta relaţia următoare:

Relaţia de mai sus reprezintă ecuaţia canonică a unei hiperbole raportată la axele x şi y, având:

- semiaxa mare ;- semiaxa mică ;

- semidistanţa focală .

Aşadar, curba bab’, care reprezintă proiecţia paralelului AA’ pe planul de proiecţie, este un arc de hiperbolă cu vârful în a, dispus la distanţa faţă de centrul proiecţiei, distanţă egală cu semiaxa mare şi având focarul în F, situat la distanţa faţă de centrul proiecţiei.

Determinarea grafică a acestei hiperbole se poate face pe cale geometrică apelând la intersecţia unui con de rotaţie cu două pânze, realizat de infinitatea razelor care pleacă din centrul Pământului spre infinitatea punctelor care compun cercurile de latitudine egală cu şi , cu un plan paralel cu axa conului de rotaţie (figura 6).

Teorema lui Dandelin enunţă că: secţiunea făcută de un plan într-un con de rotaţie este o conică. Dacă intersecţia planului cu conul de rotaţie se face după două generatoare distincte, atunci conica este o hiperbolă.

Aşadar, în cazul de faţă, intersecţia planului cu conul de rotaţie se va face după o hiperbolă, fapt susţinut şi în demonstraţia anterioară.

28

Figura 6. Intersecţia unui con de rotaţie cu un planSe poate concluziona că intersecţiile succesive, de la ecuator spre

paralelul de latitudine φ, ale planului de proiecţie cu conul de rotaţie vor determina arce de hiperbolă. Ca urmare, în proiecţia gnomonică ecuatorială, reţeaua cartografică se prezintă conform figurii 7, unde:

- ecuatorul apare ca o linie dreaptă;- meridianele sunt drepte paralele între ele şi perpendiculare pe ecuator;- paralelele apar ca arce de hiperbolă;

Pe o hartă în proiecţie gnomonică ecuatorială se întâlnesc două scări:- scara longitudinilor - pe proiecţia ecuatorului;- scara latitudinilor, de-a lungul proiecţiei meridianului principal.

Figura 7 Reţeaua cartografică în proiecţie gnomonică ecuatorială

29

3.1.2 PROIECŢIA GNOMONICĂ POLARĂÎn această proiecţie, planul de proiecţie este tangent la unul din polii

tereştri, astfel că punctul central al proiecţiei este chiar unul din cei doi poli.

Caracteristice acestei proiecţii sunt următoarele:- meridianele apar dispuse radial faţă de centrul de proiecţie;- unghiul dintre două meridiane oarecare în proiecţie este egal cu diferenţa

de longitudine dintre ele;- paralelele de latitudine se prezintă sub forma unor cercuri concentrice

având centrul în polul la care este tangent planul de proiecţie. Raza unui cerc de latitudine, în proiecţie, se obţine din triunghiul OPa şi este dată de relaţia:

sau:

Relaţia de mai sus demonstrează că reţeaua de paralele este formată dintr-un ansamblu de cercuri concentrice ale căror raze cresc proporţional cu cotangenta latitudinii (figura 9).

30

Meridianul λA Paralelul φA

R

φO Q Q’

P’

Gr

A 0o

180

P b b’ 90o 90o

a

λ

B B’

Figura 11 - 4 Figura 8. Proiecţia gnomonică polară

Ecuatorul nu poate să apară în proiecţie deoarece el este proiectat la infinit ( ).

Reţeaua cartografică în proiecţia gnomonică polară apare astfel:- meridianele sunt drepte convergente spre pol;- paralelele sunt cercuri concentrice, a căror rază creşte proporţional cu

.

3.1.3 PROIECŢIA GNOMONICĂ OBLICĂ

Proiecţia gnomonică oblică se mai numeşte proiecţie zenitală sau orizontală. În această proiecţie, planul de proiecţie este tangent la suprafaţa terestră într-un punct oarecare situat între ecuator şi poli. Acest punct de tangenţă T (figura 10), de coordonate φ0 şi λ0 se numeşte centrul proiecţiei. Meridianul PTQP’ reprezintă meridianul principal al proiecţiei. Acest meridian este reprezentat în proiecţie de dreapta pTq perpendiculară pe proiecţia ecuatorului reprezentată de dreapta q’qq”.

Se consideră, în planul de proiecţie, un sistem de axe rectangulare x-x’ şi y-y’ a căror origine se găseşte în punctul T. Axa ordonatelor yTy’ va fi reprezentată de proiecţia meridianului principal, iar axa absciselor xTx’ va fi perpendiculară pe cea a ordonatelor în punctul T (figura 11).

31

PN

40oN

50oN

60oN

70oN

80oN

0o

180o

090o 090o

Figura 11 - 5 Figura 9 Reţeaua cartografică în proiecţie gnomonică polară

Se alege pe sfera terestră un punct oarecare M, de coordonate şi . Proiecţia

acestui punct în planul de proiecţie va fi punctul m. Coordonatele rectangulare plane ale punctului m în sistemul de axe considerat mai sus vor fi următoarele:

Polul P al emisferei terestre se proiectează în punctul p, situat la distanţa

Tp faţă de T, distanţă pe care o putem determina din triunghiul OTp, dreptunghic în T, astfel:

32

Figura 11 - 8

q’

x’

y’

q” q

x

m

T

α

P

Ecuator

Paralelul de latitudine φ

Meridian principal

Figura 11 - 8

m’

Figura 11 - 8 Figura 11. Planul de proiecţie

Figura 11 - 7

P’

P

O Q’

Q

A’ A

M

T

p

m

a

q q’

q”

α

φ0

Figura 10. Proiecţia gnomonică oblică

Coordonatele punctului p, care reprezintă proiecţia polului în planul de proiecţie, sunt redate în sistemul de axe xTy, astfel:

Dreapta după care se proiectează ecuatorul pe planul de proiecţie, q’qq”, perpendiculară pe axa yTy’, are ordonata

.Meridianele terestre apar ca drepte convergente spre proiecţia p a polului.Unghiul , dintre proiecţia meridianului principal pTq şi cea a unui

meridian oarecare pmm’ este dată de relaţia:

Pentru a trasa proiecţia unui meridian de longitudine oarecare , se uneşte proiecţia polului p cu punctul de intersecţie m’ a meridianului respectiv cu ecuatorul. Coordonatele punctului m’ aflat pe ecuator ( ), sunt date de relaţiile următoare:

Paralelele de latitudine apar în proiecţie ca nişte conice a căror axă mare este proiecţia meridianului principal. Forma fiecărei conice depinde de înclinarea planului de proiecţie şi de latitudinea a paralelului respectiv. Înclinarea planului de proiecţie este dată de unghiul TOP, unde (colatitudinea centrului proiecţiei).

Forma curbelor care redau paralelele de diferite latitudini (figura 12) este dată de următoarele expresii deduse din teorema lui Dandelin:

- pentru - paralelul apare de forma unei elipse;- pentru - paralelul apare de forma unei parabole;- pentru - paralelul apare de forma unei hiperbole.

Reţeaua cartografică în proiecţia gnomonică oblică apare astfel:

33

Figura 11 - 9

Ecuator

40o

60o

0o

90oE 90oW

PN

60o

18

0o

20o

Figura 12. Reţeaua cartografică în proiecţia gnomonică oblică

- meridianul principal este o dreaptă perpendiculară pe ecuator;- meridianele apar ca drepte convergente către pol. Meridianele care fac un

unghi de 90o cu meridianul principal, apar ca perpendiculare pe acesta;- paralelele apar ca o reţea de conice.

Concluzionând asupra proiecţiilor gnomonice prezentate se poate sublinia că:- proiecţia gnomonică este singura proiecţie care prezintă ortodroma ca o

linie dreaptă;- proiecţia gnomonică nu este conformă, deci nu permite măsurarea

direcţiilor;- proiecţia gnomonică polară este folosită cu succes pentru reprezentarea

zonelor de latitudini mari;- proiecţia gnomonică ecuatorială şi oblică sunt folosite pentru realizarea

hărţilor destinate navigaţiei ortodromice. Pe aceste considerente, proiecţia gnomonică mai este denumită şi proiecţia ortodromică.

3. 2 DETERMINAREA PUNCTELOR INTERMEDIARE ULILIZÂND HĂRŢI GNOMONICE

Proprietatea definitorie a hărţilor gnomonice: reprezentarea ortodromei ca o linie dreaptă facilitează foarte mult determinarea punctelor intermediare:

- se trasează pe harta gnomonică punctul de plecare A şi punctul de sosire B;

- se unesc cele două puncte, obţinându-se ortodoma AB;- la intersecţia acesteia cu reţeaua cartografică se determină punctele

intermediare pentru o diferenţă de longitudine constană;- se scot din hartă coordonatele acestor puncte şi se trasează pe o hartă în

proiecţie Mercator la scară mică pentru a determina drumurile şi distanţele loxodromice intermediare;

- se pot introduce coordonatele punctelor intermediare în planul de navigaţie al receptorului GPS sau al ECDIS pentru a se determina drumurile şi distanţele intermediare.În figurile de mai jos sunt redate loxodroma şi ortodroma în proiecţie

ortodromică şi Mercator pentru ruta Norfolk – Brest.

34

Figură 12. Ortodroma şi loxodroma în proiecţie gnomonică

Figură 13 Ortodroma şi loxodroma în proiecţie Mercator

35