NCEPTOSWDE MATEMATICA

PARA EL MAESTRO

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LA COMPRENSION DEL NUMERO Y LA EDUCACION DEL NIÑO SEGUN PIAGET

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Anatómica

Diversas circunstancias nos han impedido realizar el prometido examen crítico de los programas de quinto año. En general, hay acuerdo en considerar acertada la introducción de los nuevos temas —límite, continuidad, derivada— pero se cree que el programa ha quedado muy recargado por no haberse podado suficientemente la ¡jarte de trigonometría. Se juzga —también en general— que es adecuada la nuev'i ordenación dada al programa de astronomía que, disminuyendo el énfasis en las astronomía matemática, aumenta la importancia de la astrofísica, tal cual corresponde a la ciencia de nuestro tiempo. En nuestro próximo número, daremos a conocer la opinión de uno de nuestros lectores sobre los programas del último año de los establecimientos comerciales.

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ESTADISTICA EN PSICOLOGIA Y EDUCACION A!por Henry E. GarrettEsta obra fundamental de Garret presenta las bases del método estadístico. No omite nada importante ni se exliende más allá de lo necesario. Más de

¡Av. Forest - Es. As. 54 - 3353° Con sumo agrado informamos la llegada al país de nuestro asesor Georges Papy, que disertó para los docentes argentinos los días 4 y 5 de junio en Córdoba, 7 y S en Rosario, 10 y 12 en Buenos Air.?s y 11 y 14 en La Plata. Participó también de una reunión con jefes de profesorados oficiales y privados y autoridades educativas y científicas. No nos cabe ninguna duda del provecho de dicha visita para los docentes argentinos.

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EL ORIGEN DE LAS IDEASUNA OPINION !7 Ó? 'fck-t***'

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(Italia)

El hecho de que para Lobatschevsky la geometría sea exclusivamente la estruc tura del espacio físico, explica que, en su pensamiento y en su obra, al problema de la verificación experimental de la nueva geometría ocupe un lugar central, mientras que el puramente lógico del contralor de la compatibilidad de los nuevos axiomas sobre un modelo matemático tiene una posición subordinada, casi secundaria. Lobatschevsky, ciertamente, no ha llegado todavía ei\ forma completa al concepto moderno de “modelo” (de un sistema hipotético deductivo); se puede decir, empero, que sustancialmente posee ese concepto, que él permanece en la sombra en su obra tan sólo porque lo que quiere Lobatschevsky no es construir un sistema “ideal” que verifique su “geometría imaginaria”, sino saber si el espacio tísico real, aquél en el cual se desarrollan los fenómenos que observamos, es eucli- diano o no. El concepto de “modelo”, propio de la axiomática moderna, puede ser aclarado al lector no especializado. Cuando se definen, formal e implícitamente, los conceptos primitivos (por ej., punto, recta, congruencia, etc., en la planimetría) mediante sus propiedades y relaciones mutuas (axiomas) se entenderá por modelo una “representación” cualquiera del sistema estudiado, esto es, un sistema en el cual los entes y las operaciones fundamentales sean definidos de modo explícito, tengan un significado concreto, y en el cual se verifiquen los axiomas formales prefijados cuando por ellos se atribuya dicho significado concreto particular a los términos punto, recta, etc. Así, por ejemplo, si a la palabra “punto” se le da el significado de “par ordenado de números reales”, a la palabra “recta”, la de “conjunto de todos los pares que satisfacen a una ecuación de primer grado con dos incógnitas y coeficientes reales”, cuando por operaciones de movimiento se entien-

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c V-l" (Sobre los principios de la geometría”

En resumen: Lobatschevsky observa nueva trigonometría no es más

J.a una clase determinada de sustituciones lineales con coeficientes reales, se obtiene una representación, un “modelo’ del plano euclidiano, (pie es.el empleado en la geometría analítica ordinaria.

Ahora bien, Lobatschevsky comprende perfectamente, por ejemplo, que — cualesquiera sean en un sistema dado el significado concreto de las palabras punto, recta, movimiento— cuando estos conceptos satisfacen a los axiomas euclidianos (incluso el Postulado V), en tal sistema valdrá cualquier otra proposición de la geometría euclidiana.

‘'En lo que sigue ya no será necesario distinguir entre un triángulo límite o un polígono límite cualquiera y un triángulo i. un polígono rectilíneo, no bien se admita que la suma de los 3 ángulos es igual a ^ en un triángulo rectilíneo; sólo es necesario volver la atención al hecho de que los lados sean rectilíneos o curvilíneos.” (Cap. VIII de los Nuevos Principios: “La línea, la superficie y los triángulos límites”).

La esfera límite, u orisfera, del espacio de Lobatschevsky, es en suma, —y Lobatschevsky lo ve claramente— un “modelo” del plano euclidiano, cuando como punto se considere a un punto de la orisfera, como recta un oriciclo (círculo límite sobre la orisfera, y como movimiento un movimiento del espacio que haga deslizar sobre sí a la orisfera. El método axiomático, en este ejemplo de Lobatschevsky, es comprendido y aprovechado en su aspecto esencial; la capacidad de sintetizar diversas teorías •' concretas en un esquema único de relaciones forma les.

Por otra parte, como es notorio, Lobatschevsky se plantea el problema de la demostración lógica de la no contrariedad de la geometría imaginaria.

‘Si suponemos que una. contradicción cualquiera nos obligue en lo sucesivo a rechazar los principios aceptados por nosotros en esta nueva geometría, entonces esta contradicción podría esconderse sólo en las mismas ecuaciones “que ligan los lados y los ángulos de un triángulo”. Observamos, además, que tales ecuaciones se transforman en las de la trigonometría esférica tan pronto coloquemos, en lugares de los lados a, b, c, a VTj^ b vTT

primer “modelo” concreto de la geometría de Lobatschevsky pertenece al temático italiano Eugenio Beltrami (IS35- 1900), con su “Saggio de interprctazione del la g.eomertía non euclidea (1868). En él, Beltrami demuestra que es posible dar un “substracto real” (son sus palabras) a la hipótesis del ángulo agudo, examinando los espacios de curvatura constante negativa. Trataremos de ilustrar el modelo cte Beltrami de manera no “técnica” y no rigurosa, pero comprensible para el no matemático, limitándonos por simplicidad a planimetría, al problema de la interpretación concreta del plano de Lobatschevsky.

“Entre las operaciones fundamentales que usamos en la construcción de la geometría del plano, está la superposición de una figura sobre otra, esto es, el transporte de una figura sobre el plano. El plano admite el transporte de una figura sobre sí misma sin deformaciones, y, además, un punto cualquiera de una figura puede ser llevado a coincidir con un punto cualquiera del plano; luego, una vez fijado un punto sobre una figura, se la puede hacer girar en el plano en torno de él. Los mismos movimientos son posibles sobre la superficie esférica. Por este motivo, es igualmente posible construir una geometría sobre la esfera valiéndose del movimiento, de la superposición de las figuras. En tal construcción, las rectas se convierten en las líneas geodésicas de la superficie esférica, esto es, en las líneas que, sobre ella, semejantemente a las rectas en el plano, pasando por dos puntos representan la mínima distancia entre ellos; es bien sabido que tienen este papel sobre la superficie esférica las circunferencias de círculos máximos.

No existen otras superficies, fuera de la esfera y el plano, en el espacio euclidiano de tres dimensiones, sobre las cuales las figuras se puedan mover libremente sin deformación alguna. Si admitimos, empero, que una figura descrita sobre una superficie (por ejemplo, un triángulo geodésico, cuyos lados son arcos de la geo désica de dicha superficie) pueda ser “encorvada”, pueda ser sometida a flexio

oue, empero, no alteran las longitudes ,los ángulos, las áreas, casi como si fuera materializada por un velo flexible

pero inextensible; si, en suma, consideramos dos figuras iguales sobre una superficie cuando pueden ser superpuestas por un movimiento de la superficie en sí que no altere las distancias, los ángulos, las áreas, y que se limite a “encorvar”, a doblar la figura, entonces, la clase de las superficies que admiten movimientos en sí, “corrimientos sobre sí” que gozan de los mismos movimientos que llevan en sí el plano y la esfera, se vuelve más amplia. Deberá ser posible, por cuanto se ha dicho, llevar con uno de estos movimientos en sí de la superficie un punto de la superficie a cualquier otro punto de ella. Ahora bien, C. F. Gauss ha demostrado que eso es posible siempre que sea constante, en cada punto de la superficie, la así llamada curvatura total (o gaussiana) de la superficie. Tratemos de explicar, de la manera más elemental, qué representa la curvatura total de una superficie en uno de sus puntos.

La curvatura de una línea plana en uno de sus puntos P (regular, dotado de tangente determinada) es un número que expresa la mayor o menor separación entre la curva y la tangente en la vecindad del punto. Con mayor exactitud; considérese el círculo que pasa por P, que allí liene por tangente la tangente a la curva, y que pasa además por un punto Q de la curva próximo a P. Movamos al punto P sobre la curva hasta que llegue a coincidir con P; la posición límite del círculo ahora definido, cuando Q coincide con P, da el círculo osculador a la curva en P. La curvatura en P no es, entonces más que el inverso del radio del círculo osculador (radio de curvatura). Cuanto más se aparta la curva de la tangente (esto es, se aparta del camino rectilíneo) tanto más pequeño es el radio del círculo oscu lador y, por consiguiente, tanto mayor es la curvatura, en cambio, cuanto más se acerca la curva a la trayectoria rectilínea, tanto más crece el radio de curvatura y disminuye la curvatura, hasta alcanzar, para la recta misma, un radio de curvatura infinito y una curvatura nula. Es más difícil el problema de definir cuantitativamente, con un número, la medida y el modo en que una superficie curva se aparta en uno de sus puntos de la “trayectoria plana.” Se puede proceder

ma

que suqiie la trigonometría sobre la esfera de radio imaginario, su geometría tiene como modelo a Ja geometría sobre la esfera de radio imaginario que Taurinas había denominado logarítmico-esférica (Geome- triae prima elementa, 1826) reconociéndola como posible desde un punto de vista analítico, pero negándole validez geométrica. Lobatschevsky va más lejos que Taurinus (al cual, sin embargo, se asigna a veces el primer lugar entre los precursores inmediatos de la geometría no euclidiana) porque se libera de la concepción metafísica del espacio, porque comprende, por una parte, que la geometría ordinaria puede ser verificada localmente, como límite de una geometría más general y, por otra parte, que “en núes Ira mente no puede existir ninguna contradicción, si suponemos que algunas fuerzas en la naturaleza siguen una geometría y otras una geometría propia particular”. Empero, Lobatschevsky permanece también él ligado a una distinción neta entre ios “conceptos reales” y los “conceptos ideales “de la matemática” que sólo subsisten en nuestra imaginación”. En el capítulo III, Lobatschevsky refuta a los números irracionales como medidas de magnitudes geométricas, por su carácter de límite “ideal” de un proceso real do medidas, que, en efecto, no se puede prolongar hasta el infinito; análogamente, Lobatschevsky acepta a los números piejos como un instrumento auxiliar, útil para descubrir relaciones entre números i eales, pero se rehúsa a concederles validez de por sí; los considera “subsistentes sólo en nuestra imaginación”. En este residuo de empirismo unilateral está el • imite filosófico de Lobatschevsky; a este límite, en su concepción de la matemática, está ligado el hecho de que Lobatschevsky no haya profundizado en la demostración de la no contradictoriedad lógica cíe su nueva geometría, sobre la cual empero dio los primeros pasos.

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La Primera Interpretación de La Planimetría de Lobatschevsky

El mérito histórico de haber dado el

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lidad, la pseudoesfera no es del todo la imagen de todo el plano de Lobatschevs- ky sino sólo de una parte de él. Sera cesario esperar aun cierto tiempo para tener una imagen concreta del plano íntegro de Lobatschevsky. Empero, el paso decisivo estaba dado por Beltrami; la no contradictoriedad de los postulados de la geometría imaginaria de Lobatschevsky era reconducida a la no contradictoriedad de los postulados de la geometría ordinaria.

En otros términos: si aceptamos la geo metría euclidiana debemos igualmente aceptar la no euclidiana, puesto que esta ultima puede ser “realizada” sobre una superficie del espacio euclidiano cual la pseudoesfera. A los primeros postulados de la geometría (absoluta) se puede, por tanto, agregar tanto el postulado V de Euclides cuanto su negación, obteniendo dos sistemas de postulados distintos igualmente coherentes. Es, por ello, verdad. que “en los mismos conceptos (de la geometría anteriores al postulado V) no se alcanza todavía la verdad que se auería demostrar,” esto es, que el postulado V es lógicamente independiente de los precedentes. Su validez en el espacio físico ordinario no puede deducirse a priori. por medio de razonamientos, de las proposiciones precedentes que expresan las primeras propiedades geométricas de los cuerpos sólidos; “esa validez puede ser controlada, de modo semejante a las otras leyes físicas, sólo por experiencias, como, por ejemplo las observaciones astronómicas.” Las palabras iniciales do los Nuevos Principios son, al mismo tiempo, la síntesis de un gran descubrimiento, de una decisiva revolución científica.

mera edición italiana de los Nuevos Principios pueda seguir la aparición de alguna obra clásica de los “filósofos de la geometría”, que con tan agudo “sprit de íinesse” han realizado en el siglo pasado los grandes progresos del pensamiento matemático que han sido también conquistas de la filosofía, del conocimiento humano en general. Como complemento de los Nuevos Principios de Lobatschevs ky aparece naturalmente la propuesta de publicar, por ejemplo, la disertación de Bernhard Riemann, Ueber (lie Hypothc- sen wélch? cler Geometrie zu Grundc Lie gen (1S66).

No podemos, empero, concluir esta nota sin una breve advertencia sobre una interpretación del significado filosófico de la revolución no euclidiana de Lobatschevsky diametralmente opuesta a la que se expuso. Ella está expresada de modo particularmente neto y absoluto en la siguiente afirmación de E. T. Beh: “La evaluación hoy difundida de la matemática como creación libre de los matemáticos, puede remontarse directamente a las audaces creaciones de Lobatschevsky y de Bolyai. Exactamente en la misma forma en que el novelista inventa los caracteres, los diálogos y las situaciones —de las cuales a la vez es el autor y amo—, el matemático inventa arbitrariamente los postulados sobre los que basa su sistema matemático.” Que tal no era la idea de Lobatschevsky al cumplir su “ardua creación”, ha sido demostrado suficientemente, nos parece; queda empero, abierto el problema de si, de hecho, la creación de Lobatschevsky puede citarse, o no, como prueba de la teoría que ve en la matemática una libre creación de la mente de los matemáticos.

Convendrá elegir, como punto de referencia, el pensamiento del gran matemático y filósofo francés Iíenri Poincaré. En algunas de su obras epistemológicas, Poincaré parecería adherir sin vacilar a la teoría del idealismo extremo que concibe, la matemática como libre creación men tal (“cuanto más las construcciones (do las geometrías no usuales) se alejan de las concepciones más habituales y, por consiguiente, de la naturaleza y de las aoli- cacioncs, tanto más claramente es visible para nosotros lo que puede hacer la men-

Ahora bien, es bastante intuitivo que, imaginando una superficie como un velo flexible e inextensible, y curvándola sin rasgaduras ni dobleces (de modo que se conserve la métrica), un punto de la silla, se transformará en otro punto de la silla; un punto de la “colina” en un punto análogo, y lo mismo, un punto cilindrico. Podremos, si, extender (o, más exactamente, aplicar) una superficie cilindrica sobre una banda plana, pero no sobre un casquete esférico. Lo que ocurre es que cilindro y plano tienen en cada uno de sus puntos curvatura total nula, mientras la esfera tiene en cada uno de sus puntos curvatura (constante) positiva (la no aplicabilidad de la superficie esférica sobre el plano es, como es bien sabido, la gran dificultad de la cartografía). Precisamente Gauss ha demostrado que la curvatura total de una superficie en uno de sus puntos, no varía cuando se la somete a una deformación que la flexione sin alterar, empero, la longitud de Ios- arcos, los ángulos, las áreas. Claro es, entonces, que si sobre una superficie se puede correr sobre sí misma con flexiones pero sin extensión de las figuras trazadas sobre ella, de modo que cada uno de sus puntos puede ser llevado por uno do estos movimentos sobre cualquier otro de sus puntos, la curvatura total deberá ser siempre la misma en cada punto de la superficie.

Beltrami demostró que, además del pía no (superficie de curvatura total constante nula) y la esfera (superficie de curvatura constante positiva, existen también superficies de curvatura constante negativa (superficies pseudoesféricas) que admiten movimientos sí con flexión pero sin extensión, en todo semejantes a los del plano y de la esfera, sobre las cuales, por lo tanto, como sobre el plano y sobre la esfera, se puede hablar de congruencia de las figuras por superponibilidad. Beltrami demostró que si llamamos “plano” a una pseudoesfera, “punto” a un punto de la misma, “recta” a una geodésica sobre ella, “movimientos” a los movimientos sobre la pseudoesfera con flexiones pero sin extensiones, obtenemos exactamente la planimetría de Lobatschevsky (en particular, la suma de los ángulos interiores de un triángulo geodésico es menor que dos rectos). En rea-

así (Gauss). Se consideran todas las curvas sobre la superficie que sean secciones de la misma con un plano que pasa polla perpendicular a la superficie en uno de sus puntos regulares P (secciones normales por P), se demuestra que el radio de curvatura de las secciones normales por P admite un mínimo y un máximo, digamos R, y R=, correspondientes a dos planos perpendiculares entre sí; entonces, se llamará curvatura total en P de la superficie al número 1/R1 R-.

Se ve entonces que existen tres tipos fundamentales de puntos, según que la curva tura total sea nula, positiva o negativa. El nombre científico que les corres ponde es el de punto parabólico, elíptico, hiperbólico; podremos, no obstante, para que la cosa se comprenda mejor, llamarlos por un momento punto cilindrico, “colina” y “silla de montar.” Consideramos un cilindro circular recto ordinario; se ve rápidamente que en cada uno de sus puntos la curvatura total es nula. En efecto, las dos secciones normales por un punto a las cuales corresponde la curvatura máxima y mínima son, obviamente, la generatriz por el punto y la sección circular perpendicular al eje (y al plano por la generatriz normal al cilindro). De estas dos líneas, una, la generatriz, tiene curvatura nula y radio de curvatura infinito; por eso la expresión 1/RL Ra se anula, tendiendo uno de los dos radios de curvatura a infinito. Consideramos ahora, en cambio, la cima de una colina “redondeada”, o, si queremos, un punto sobre una esfera, sobre un elipsoide de rotación, etc.; todas las secciones normales tienen la concavidad vuelta hacia la misma parte con respecto a la normal a la superficie /orientada de cualquier manera); todos sus radios de curvatura tienen por eso el mismo signo, y, por tanto, la curvatura total de la superficie en el punto es positiva. Si en cambio consideramos el punto central de una silla de montar, o si que-

“paso” alpino, observamos enseguida que de las dos secciones normales ortogonales entre sí que dan las curvaturas máxima y mínima, una tiene la concavidad vuelta hacia lo alto y la otra hacia lo bajo, los radios de curvatura R,, Ra tiene signo opuesto y la curvatura total en el punto es negativa.

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No Convencionalismo de Geometría

Esta nota no Quiere ir más allá de un enouadramiento histórico de la obra de Lobatschewkv, de una exposición de sus opiniones filosóficas y de su valor v significado con respecto al tiempo de Lo- batschevskv v a los problemas que entonces se planteaban. Por ello, no hablaremos, ni sioinera de paso, de los impetuosos desarrollos de la geometría posteriores a Loba tschevskv, de la herencia de Lobatschevsky. Confiamos que a la pri-

remos un

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''

cado tanto el concepto de espacio como el de geometría, que hoy estos términos deben ser, acaso, usados en plural y no • más en singular: pero la riqueza y la variedad de los nuevos espacios y de las

geometrías está vinculada primeramente a la exigencia de estudiar nuevos fenómenos, nuevas transformaciones y operaciones que encontramos en nuestra experiencia y en nuestra actividad. La geometría se vuelve así no sólo la ciencia ele los movimientos rígidos de los cuerpos sólidos, sino de las deformaciones de las superficies con flexión pero sin extensión (Gauss), de los propiedades de las figu*

invariantes frente a las operaciones de proyección y sección (Poncelct), o por deformaciones y transformaciones cada vez más generales, como las que estudia la topología (Riemann, Betti, Poincaré). Del ser al pensamiento, y no del pensamiento al ser: éste nos parece el verdadero camino de la geometría, y de toda otra ciencia.

Frente a cierto foijmalishio extremo todavía de moda, frente a la estéril concepción de la matemática como puro juego mental (que amenaza y obstaculiza su progreso), el materialismo de Lobats- chevsky, incluso en sus límites, aparece

posición polémica de actualidad, y no sólo como objetivo de estudio histórico y crítico. La concepción puramente métrica de la geometría, el rechazo, de raíz empirista, de dar plena ciudadanía en la matemática a “entes ideales” como los números complejos, el interés exclusivo por la geometría del espacio físico, pertenecen, ciertamente, al pasado; pero la lucha de Lobatschevsky contra el puro formalismo, contra las “hipótesis arbitrarias,” contra el apriorismo metafísico, su esfuerzo dialéctico para construir nuevas estructuras geométricas en correspondencia con las nuevas estructuras físicas que la astronomía y la física molecular iban revelando, todo esto nos parece pertene cer al presente, nos parece que permite afirmar una actualidad de Lobatschevsky, no sólo como matemático, sino como matemático filósofo.

negación pura y simple de una realidad externa, independiente de nuestra conciencia, o un singular “paralelismo psico físico” entre la “libre creación” de la razón humana y las relaciones que conectan los hechos y los procesos que se desarrollan fuera de nuestra conciencia, independientemente de nuestros pensamientos.

Actualidad de Lobatschevsky Filósofo

metría euclidana; empero, en el fondo, las dos posiciones coinciden precisamente porque conciben la relación experiencia- ciencia, física-geometría, ser-pensamiento, de manera idealista, porque consideran la estructura del mundo externo como jellejo de la estructura de nuestra mente, y no viceversa.

Esta coincidencia sustancial nos parece que no es desmentida por la polémica de Poincaré contra los principios geométricos como ‘ideas eternas”.

“Preguntar qué geometría conviene adoptar, equivale a preguntar a que línea conviene llamar rocta... Evidentemente, cuando decimos que la recta euclidiana es una verdadera recta y que la recta no euclidiana no es una verdadera recta, que • remos decir simplemente que la primera idea intuitiva corresponde a un objeto más notable que la segunda... Interviene la experiencia: si la recta euclidiana objeto más notable que la recta no eucll- diana, es, sobre todo, porque ella difiere poco de ciertos objetos naturales notables, mientras la recta no euclidiana difiere mucho...”

te humana cuando se libera cada vez mas de la tiranía del mundo externo, dice, por ejemplo, Poincaré en Ciencia y ble* tocio, 1910). Con todo, la concepción básica de Poincaré, es la de las estructuras geométricas como convenciones oportunas y cómodas: encuadramicnto mental sí, de nuestras sensaciones, pero hecho no del todo arbitrariamente, sino siguiendo un criterio “económico,” por decirlo así. Son, sustancialmente como es notorio, las posiciones del empiriocriticismo de Ernesto Mach, lo que Poincaré aplica particularmente a la matemática, dedicando su atención de modo específico al problema de la relación entre estructuras geométricas y fenómenos físicos.

“Otro marco impuesto al mundo por nosotros es el espacio. ¿De dónde derivan los primeros principios de la geometría? ¿Nos son impuestos por la lógica? Lobatschevsky ha demostrado que no, creando las geometrías no euclidianas. ¿Nos es revelado el espacio por los sentidos? Ni siquiera esto es verdad, puesto que el espacio que nos muestran nuestros tidos difiere sustancialmente del espacio que nos muestra el geómetra. ¿Deriva la geometría de la experiencia? Una demostración profunda nos mostrará que no. Concluiremos, por tanto, que estos principios son convenciones; pero tales venciones no son arbitrarias y, trasportados a otro mundo (que llamo mundo no euelidiano y trato de imaginar) seríamos inducidos a aceptar otras”.

No es posible examinar detalladamente aquí el pensamiento de Poincaré, pero ya la frase citada hace ver cómo el convencionalismo de Poincaré coincide tancialmente con la concepción kantiana del espacio como “marco impuesto por nosotros al mundo (la espacialidad es nuestra). Un kantismo malicioso, modernizado, embebido de las más arduas quistas matemáticas; aluid et ichm, si se lo compara con la estética fundamental de Kant. La infinita variedad de los “mar-

geométricos” que puede crear la te para “disciplinar la multiplicidad de los objetos empíricos” (como dice Alber- gamo, comentando el pasaje de Poincaré) puede aparecer como posición filosófica distinta y opuesta a la kantiana de la unicidad, del valor absoluto de la

!

nuevasun

La historia de la matemática moderna y contemporánea, desde Lobatschevsky hasta hoy, no parece justificar de modo alguno la afirmación, de moda entre los formalistas y los idealistas, de que “el matemático inventa a su arbitrio los postulados, sobre los cuales basa su sistema.” La atención dedicada por los matemáti-

las geometrías más extrañas (no euclidianas, no arquimedianas, no argüe- sianas, etc.) tiene un significado bien distinto: no es la “liberación de la tiranía del mundo externo,” el libre desplegarse de las hipótesis arbitrarias, sino, bio, el delicado análisis de las relaciones cíe dependencia o independencia lógica de los diversos postulados o proposiciones que nuestra mente elabora a partir de la experiencia, de la estructura del mundo externo. El libro de matemática basado sobre postulados absolutamente arbitrarios, inventados caprichosamente con la única condición de la compatibilidad, debe ser —creo— escrito todavía: si ha sido escrito es probable que no encuentre lectores, ni siquiera entre los teóricos de la matemática, como “puro juego mental”.

ras

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es un

en cam-I*sen-

Ahora bien, es indudable que, como lo afirma y demuestra Poincaré, se puede dar una imagen euclidiana del espacio físico, así como una imagen no euclidana, según el significado concreto que se de a las palabras recta, movimiento, etc.; empero, esto no prueba, de ningún modo, a nuestro entender, el carácter cional

como

con-

conven-y puramente mental de los princi

pios de la geometría del espacio físico. Lo que importa no es la estructura geométrica a que se llega, sino el hecho de que tal estructura (euclidiana o no! refleje un hecho real entre los fenómenos físicos. Podrá ser objeto de una convención (lingüística) la línea a la que se atribuirá el nombre de recta, la operación a la que se asignará el nombre de movimiento: la estructura geométrica que resulto de estas convenciones de “vocabulario” nos es, empero, impuesta por la “tiranía del mundo externo,” no es un “marco impuesto al mundo por nosotros.” La tesis idealista, desde Kant a Mach y Poincaré, del espacio como “forma (subjetiva) de todos los fenómenos del sentido externo,” como esquema en el cual la mente enmarca la multiplicidad de las sensaciones y de los fenómenos, implica o la

Ni a este necesario análisis lógico do la relación entre postulados, por importante que sea, se le puede asignar preeminencia en la historia de la matemática moderna. Desde Gauss a Poncelet, Lobatschevsky, Riemann v el mismo Poincaré, los grandes geómetras que han creado nuevas disciplinas geométricas, no han partido de convenciones o postulados libremente inventados; han “geometri- -zado,” en cambio, nuevos aspectos de la realidad física. Han ampliado y modifi-

!sus*

con-

cos men-

f

¡geo-

1110

flexión. Los problemas de la enseñanza de la matemática han sido abordados de diversas maneras: principalmente, en el desarrollo de sesiones de trabajo, donde la experiencia de cada uno se ha brindado a lodos, sea en forma de exposiciones informativas, de relatos de experiencias en el aula, o de discusiones. Al margen de algunas Reuniones, algunos participantes dictaron realmente lecciones. Este método activo es de los más fructíferos, siendo los resultados obtenidos más convincentes que los largos discursos.

La Comisión ha publicado dos obras colectivas:

—La enseñanza de Ja matemática, por J. P1AGET, E. W BETH, J. DJEUDONNE, A. LICHNEROWICZ, C. CHOQUET, C. GATTEGNO (1955).

— El. material para la enseñanza de la matemática, por C. GATTEGNO, W. SERVAIS, E. CASTELNUOVO, J. L. NICO- LET, T. J. FLETCHER, L. MOTARD, L. CAMPEDELLI, A. BIGUENET, J. W. PESKETT y P. PUIG ADAM (1958).

Estas obras testimonian la colaboración internacional suscitada por la C.I.E.A.E.M. Uno de los resultados importantes obtenidos por la Comisión es, en efecto, gracias a la elección siempre renovada de los lugares de reunión en numerosos países, haber permitido a profesores de distinta ~ cionalidad, asistir a sus trabajos. Gracias a ella, la mayoría de las personas alistadas en los movimientos nacionales de renovación de la enseñanza, han aprendido nocerse y a cooperar. Los cambios de opinión que se desenvolvieron en ambiente de flanea cordialidad son, a menudo, el punto de partida de investigaciones posteriores.

Como ejemplo, citemos que en Bélgica, el programa Lenger-Servais de 195S pro poniendo una enseñanza moderna basada sobre las nociones de conjuntos, relaciones y topología en las escuelas normales froebe- lianas, fue ciertamente influido por los trabajos de la C.I.E.A.E.M. Lo mismo ocurrió en otros países. Desde entonces, cada Reunión permite a los participantes intercambiar los resultados obtenidos en sus diversas experiencias conducidas paralelamente. Esto explica como puede hacerse hoy simultáneamente, en numerosos países de distintos continentes. la reforma profunda de la enseñanza de la matemática.

(Sigue en la pág. 15)

de la matemática y las necesidades de la ciencia y la técnica moderna”, Weilerbach (Luxemburgo), abril de 1953.

6) “Las relaciones entre el pensamiento de los alumnos y la enseñanza de la matemática”, Cawl (Selva Negra), julio de 1953.

7) “La matemática moderna en la escuela”, Oosterbeek (Holanda), agosto de 1954.

8) “El alumno frente a la matemática. Una pedagogía que libera”, Bella- no, (Italia), abril de 1955.

9) “La enseñanza de las probabilidades y de la estadística en la universidad

la escuela”, Ramzau (Austria),

EL PANORAMA

la C. I. E. A. E. MR. y M. SERVRANSKX

(Congo)

El año 1966 presenció la 2(P Reunión Internacional de Profesores de Matemática organizada por la C.I.E.A.E.M. (Comisión Internationale por VEtude el Y Amelio- ration de VEnseignement des Mathémati•

2LOS CURSOS DE VERANOfeccionamiento en temas fundamentales de la matemática moderna, como a la metodología para trasladarlos al nivel secundario. Cada uno de los profesores asistentes era presumiblemente un trasmisor ante las autoridades y, especialmente, ante sus colegas de las enseñanzas recogidas en el curso de Enbalse Río Tercero.

En conclusión, creo que además de los profesores universitarios que dictaron los cursos, debieron incluirse profesores de institutos de formación de profesores, con mayor experiencia en enseñanza secundaria.

El curso estuvo a cargo de profesores de reconocida capacidad científica. Si bien ello es cierto, ningún educador pue de descuidar, para importir conocimientos, la parte pedagógica general.

No creo que el perfeccionamiento matemático docente debió realizarse en un plano teórico abstracto, teniendo en cuenta el corto tiempo disponible y la preparación general de la mayoría de los profesores asistentes. El curso se desarrolló con nivel estrictamente universitario.

Creo, por mi parte, que en la programación del curso debió asignarse tanta importancia a la actualización y per-

Señor Director:

El interrogante que Ud. plantea en la última “Carta al lector” creo que debe ser muy semejante al de cada uno del centenar de docentes que asistimos al V Curso do Matemática Moderna de Embalse Río Tercero, Córdoba, en enero de este año. Y por eso mismo me parece que debiera merecer una más exhaustiva disección por parte de la Revista.

Claro que nadie discute la necesidad de reforzar los conocimientos científicos —y más específicamente, matemáticos— de los docentes argentinos ocupados en asignatu-

que así lo exigen. Tampoco se pueden cuestionar méritos ciertos de los encargados de dictar cursos como los de Río III. Menos aún se puede pontificar sobre lo que debe hacer (o dejar de hacer) el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas cuando éste intenta buenas obras y no parlamentos. Pero si tantos y tantas cosas merecen ser comprendidas quizá la sospecha suya requiera prioridad: “tratándose de un curso para docentes, ¿no es primordial el aspecto pedagógico?”

Creo que en Embalse Río III se pretendió mucho y se logró poco. Apenas tres semanas para una idéntica cantidad de temas. Esto dejó como consecuencia que cada tema fuera asimilado epidérmicamente, dada la urgencia del tiempo. Es cierto, como alguien lo dijo a modo de justificación, que al menos se sentaban ciertas pautas generales para que cada uno de los asistentes pudiera particularizarlas o ampliarlas en el futuro. Pero a esto cabría responder que todo deja fruto, hasta semilla tirada impremeditadamente.

Nosotros no pretendíamos asistir a uu «curso con el solo objeto de recibir un puñado de conocimientos elementales a nivel de .alumnos secundarios. Ello hubiera sido un engaño para todos, organizadores y participantes, y el provecho hubiera sido dudoso. Pero no sé en qué medida es fructífero un vuelo veloz sobre conceptos que, en muchos casos, tienen un lejano paren

tesco con la cosa viva, movible y modifi- cable que anda en el aula diaria.

Lo pernicioso de situaciones como éstas (donde todos van con las mejores intenciones, organizadores y participantes) es que el docente sale con la convicción de que su cosecha no ha sido buena; al margen de si su examen resultó o no bueno, por cuanto esto es un hecho accesorio.

Faltó —y esto creo que es substancial— una mayor comunicación entre el personal (pie dictaba los cursos y los participantes (o entre estos mismos). Las reuniones en las que se pudieran intercambiar conocimientos y experiencias entre docentes de distintos puntos del país no existieron (salvo casos aislados). Todo quedó referido a una puntual asistencia a clases y a un examen final. Tal vez si el Consejo hubiera propuesto los temas con algunos meses de anterioridad, hubiera sugerido la bibliografía y nos congregaba algún par de días para rendir un examen, las consecuencias no serían muy distintas.

El interrogante suyo es el mismo que planteó la mayor parte de los asistentes. Y me parece que “Conceptos” debe internarse más en esto, no con el fin de hacer crítica gratuita sino para contribuir con quienes promueven cursos que deben apoyo. Y ese apoyo está también implícito en la señalización de los errores. O al menos, sino de los errores, de las omisiones. Y es necesario cuidar el ánimo del docente que si se recluye todo un mes de verano

con propósitos frívolos, precisamente. Si ese ánimo existe es condición fundamental no convertirlo en desánimo, porque es justamente este docente el que servirá de vehículo para difundir ese tan pregonado espíritu de la nueva matemática.

Bueno, perdóneme, pero he sentido la necesidad de corroborar, en lo que me toca, la impresión que traje de Río III y q es semejante, por lo que parece, a la que Uc*. recogió, como no podía ser de otro modo.

Jorge Lardit.

3rasde evaluación, que constituyeron el

fantasma que se veía venir con la desesperación del que, por muchas razones, le tiene miedo y no encuentra escapatoria, por encontrarse en manos de jovencitos envanecidos en el transitorio oficio de “jefes de trabajos prácticos”, los cuales algunas veces poseían un nivel real nulo en “trasmisión de conocimientos.”

Estuvimos, y estamos, orgullosos de los profesores que tuvimos. No podemos decir lo mismo de quienes tuvieron a su cargo las clases prácticas, licenciados en genera!. Pensamos que quizás hubiera sido mejor que los cursos de nivel 1 los dictaran profesores que conocieran exactamente al profesorado y su nivel, quedando los cursos de nivel 2 y 3 a cargo de investigadores natos, de fama universal, como los que tuvimos.

Aún no sabemos el resultado de los exá

menes

J.A.B.O.

Este nuevo tema promete suscitar nuevas colaboraciones y un interés siempre creciente para la investigación concreta.

Enseñar matemática es una tarea que exalta, pero que, hoy más que nunca, demanda de quien se consagra a ella, un es- tuerzo de adaptación constante a la evolución de esta ciencia, evolución largo tiempo ignorada. C.I.E.A.E.M. lo ha prendido perfectamente y su acción ha permitido a muchos docentes una toma de conciencia útil con respecto a los proble-

planteados.Reciban caluroso agradecimiento todos

los miembros de la Comisión que desde 1950 han asegurado por su dinamismo, su entusiasmo y sus preciosos conocimientos, el éxito de estas Reuniones. ¡Que la C.I.E.A. E.M. pueda proseguir esta carrera fructífera para el mayor bien de la juventud de el mundo!

(Viene de la pág. 13)La Comisión está actualmente presidida

j)or el profesor G. PAPY (Bruselas), la vicepresidenta es la señora A. Z. KRYGOWS- KA (Cracovia) y el secretario es el señor YV. SERVAIS (Morlanwelz). La entrada en la Comisión se hace por simple cooptación: la condición requerida es la participación en el esfuerzo común. Desprovista de ayuda económica, la Comisión vive por benévola devoción y actúa con toda independencia.

No hubo ninguna Reunión en 1967, pero ios miembros de la Comisión ya preparan activamente la próxima reunión, que se íealiza en España, en abril de 1968. El tema, cuya importancia parece cada día mayor a los que se ocupan de la reforma de "la enseñanza secundaria, es:

“La enseñanza de la matemática de 6 a 12 años’.

merecer

ino es

com-.

una ímas

ue

Alfredo J. Cossi1514

te* en introducir conjuntos universales relativos, vale decir, cuando se convenga en estudiar exclusivamente los elementos y los subconjuntos de cierto conjunto A previamente dado, puede llamarse a A conjunto universal para ese estudio. Pero hay que reconocer que la misma idea de conjunto universal relativo no es completamente feliz. Menos aún, desde el momento en que Grothendieck introdujo la noción de universo, que ha sido ampliamente adoptada por matemáticos y lógicos (véase, por ej.: J. Sonner, uOn the formal definition of ca- tegories).

Los universos de Grothendieck y Sonner no son conjuntos universales en el sentido tradicional, sino conjuntos suficientemente “amplios” como para permitir efectuar “dentro de ellos” todas las operaciones habituales de la teoría de conjuntos.

7. Las proyecciones de la teoría de conjuntos.

Hacia el final del párrafo 5 hemos indicado que lo usual en matemática es hacer teoría de modelos, y los modelos siempre se definen mediante la noción de* conjunto. Así, todas las nociones relacionadas con las estructuras del álgebra moderna son coh- juntistas: los grupos, los anillos, los espacios vectoriales, son sistemas formados por uno o varios conjuntos y una o varias operaciones que satisfacen a ciertos axiomas. Los homomorfismos algebraicos son funciones conjuntistas que satisfacen a ciertas propiedades (conservación de la estructura correspondiente). Otro tanto ocurre con las estructuras de tipo geométrico: espacios topológicos, espacios métricos, variedades diferenciables y analíticas, etc. Por ejemplo, espacio topológieo es lodo par (E, T) donde E es un conunto y T es una familia de subconjuntos de E tal que:

a) La unión (finita o infinita) de conjuntos pertenecientes a T es también un conjunto perteneciente a T.

b) La intersección de dos elementos de T es elemento de T.

c) El conjunto vacío y E pertenecen a T.Si se tiene en cuenta que, a su vez, las

estructuras algebraicas y las topológicas constituyen el fundamento de casi toda la matemática moderna, se comprende que no >ea aventurado afirmar que la matemática posee actualmente carácter conjuntista. Más aún: ciertos métodos específicos de la teo-

comprende* entonces que tampoco poseamos una definición adecuada de modelo de un sistema sintáctico. Parece ser que en estas cuestiones hay ([ue conformarse con perspectivas más modestas: podemos hablar de un sistema sintáctico particular, y podemos definir lo que es un modelo de ese sistema sintáctico. Pero las nociones absolutamente generales del sistema sintáctico y de modelo, por ahora se nos escapan. Podríamos intentar, entonces, definir la noción de modelo

determinado sistema sintác-

ORIENTACION

undamentación y proyección de a teoría de con untos *

JORGE BOSCH (Argsnt na)

para untico de conjuntos, por ejemplo, el de Bourbaki. Esto es factible, pero hasta ahora sólo se ha llegado a la siguiente desoladora conclusión: los modelos no son “esencialmente distintos” del sistema axiomático al que están referidos; en términos gruesos, hasta ahora no ha sido posible superar en forma satisfactoria el punto de vista sintácnico, en lo concerniente a la teoría de conjuntos. Hemos logrado purificar a la teoría de conjuntos de todo contacto vil con la experiencia, pero lo hemos logrado en forma tan drástica que la hemos purificado también de todo significado: sólo quedan una cuantas fórmulas vacías que se combinan de acuerdo con ciertas re-

juntos. En algunos de elos, como en el de Von Neumann-Bernays-Godel y el de Bourbaki, la misma palabra “conjunto” es prescindible, pues, resumiendo esquemáticamente, dichos sistemas operan de este modo: se introducen ciertos términos primitivos, entre los cuales figuran letras (o variables), x, y, z, etc. Desele el punto de vista intuitivo„ se supone que tales letras designan genéricamente a conjuntos, pero desde el punto de vista rigurosamente formal esas letras no representan nada, y se las maneja simplemente de acuerdo con los axiomas y las reglas que se han fijado en cada sistema. Se obtienen así sistemas axiomáticos sintácticos que, si se interpretan intuitivamente, dan cuenta de lo que acostumbramos a llamar “conjuntos” y “matemática conjuntista”, pero que, interpretados rigurosamente, constituyen sólo una combinatoria bien organizada, sin significado alguno. En estos sistemas sintácticos han desaparecido las referencias al concepto empírico de conjunto, y han desaparecido también (o, por lo menos, no han aparecido) las paradojas lógicas. Quedan así resueltos los problemas planteados en los párrafos 3 y 4, pero aparecen otros nuevos como los siguientes:

a) Los sistemas sintácticos por sí solos no suelen conformar a los matemáticos (y ni siquiera a los lógicos). Ante un sistema sintáctico, surge en forma natural el problema de hallar o construir modelos de ese sistema, porque los modelos causan la impresión intuitiva de proveer de significado al sistema sintáctico. Pero aquí se tropieza con una dificultad un tanto inusitada: no sabemos lo que es un modelo; en realidad no poseemos una definición lógicamente satisfactoria de sistema sintáctico xm general, y se

6. Los sistemas lógico-axiomáticos de la teoría de conjuntos.

La estructura de la teoría de conjuntos como sistema lógico-axiomático, resuelve simultáneamente los problemas planteados en los párrafos 3 y 4, a saber: la subordinación de la teoría matemática a una noción puramente empírica e intuitiva de conjunto, y la aparición de las paradojas lógicas.

Como lo que se desea es precisamente fundamentar la noción ele conjunto, no parece recomendable introducir una definición de este tipo: “Llamaremos teoría de conjuntos a un sistema formado por un conjunto de entes llamados conjuntos, y ciertas relaciones que satisfacen a tales axiomas”. Este método —de carácter más bien semántico— consistente en definir los modelos de la estructura que se desea estudiar, es muy útil y plausible cuando se trata de grupos, espacios topológicos, etc., que son entidades conceptualmente “posteriores” a la idea de conjunto. Definir un grupo como un sistema formado por un conjunto G y una operación, no choca a nuestras intuiciones lógicas básicas. Pero definir una teoría de conjuntos como un sistema formado por un conjunto y ciertas relaciones, tiene el aspecto de una petición de principio, sobre todo si lo que se desea es proveer de una fundamentación lógica al concepto de conjunto. Me apresuro a declarar que, a pesar de todo el problema no es tan sencillo v la polémica filosófica está abierta. De* todos modos, en lo que se refiere a la fundamentación lógica de la teoría de conjuntos, el camino natural parece ser el de los sistemas sintácticos.

Varios son los sitemas sintácticos puestos hasta ahora para la teoría de

glas de juego.b) Otro problema que surge es el si

guiente: hay ciertos conceptos intuitivos que* “reaparecen” en los diversos sistemas axiomáticos con mujj diferentes disfraces,, y en algunos“ no reaparecen”. Un ejemplo notable lo constituye el conjunto universal: en algunas teorías axiomáticas hay una clase universal (que no es conjunto), en otras hay varias clases universales de distintos niveles (teoría de los tipos de Russell-Whitehead), y en otras, no hay clase ni conjunto universales (Bourbaki). Por tanto, la pregunta ingenua: “¿Existe el conjunto universal?”, no puede contestarse escuetamente por sí o por no. La respuesta debe estar siempre referida a una determinada teoría axiomática de conjuntos.

Esta peculiar situación de la noción de conjunto universal hace poco aconsejable su introducción en niveles elementales de la enseñanza. No hay ningún Inconvenien-

r

1

pro-con-

0 Véase N? 5, págs. 9 a 11.

ló 17

ciclo histórico. En los últimos quince años ha alcanzado gran desarrollo un nuevo punto de vista: el que se relaciona con la teoría de las categorías y funtores. No se hasta que punto podrá hablarse, en los próximos años, de una primacía del punto de vista funtorial sobre el conjuntista. Es también probable que ambos sean superados por métodos totalmente nuevos. En todo caso, si nos decidimos a implantar el punto de vista conjuntista en la enseñanza media, conviene que nos apresuremos; sería triste que lográramos su implantación definitiva cuando ya haya sido superado completamente por la vanguardia del pensamiento matemático.

ría de conjuntos se han revelado de gran utilidad práctica en algunas teorías clásicas, y han permitido grandes avances que hubieran resultado prácticamente imposibles sin su ayuda. En este sentido, un ejemplo importante es la teoría de la integral, la cual a partir de E. Borel y II. Lebesgue se basa en la teoría de la medida, que puede ser a su vez considerada como un capítulo especial de la teoría de conjuntos.

El punto de vista conjuntista ha permitido a los matemáticos crear y manejar con soltura nociones extraordinariamente complejas, que resultan prácticamente intratables con los métodos tradicionales. El simple hecho de poder formar conjuntos con entes cualesquiera, luego nuevos conjunto- cuyos elementos son los conjuntos previamente definidos, etc., permite tratar en forma compacta y rigurosa cuestiones de complejidad inaccesible para la matemática pre- conjuntista. En particular, la sencilla y elemental noción de dase de equivalencia es de extraordinaria fecundidad en toda ia matemática.

Por otra parte, el punto de vista conjuntista ha permitido clarificar ciertas nociones brumosas de la matemática tradicional. Un matemático de la talla de Poincaré contraba todavía oscura —hace poco más de cincuenta años,— la elemental noción tle diferencial, de la que es posible dar ahora una descripción impecable mediante métodos conjuntistas. La geometría diferencial y el análisis tensorial han podido ser rigo- rizados en los últimos treinta años gracias a la aplicación sistemática de los métodos algebraico-conjuntistas.

Finalmente, la teoría de conjuntos hizo posible el estudio riguroso y sistemático del infinito. La aritmética trasfinita —creación personal y genial de Georg Cantor- descubrió un universo absolutamente para el pensamiento matemático.

Hoy el punto de vista conjuntista se halla tan plenamente difundido y sistematizado en toda la matemática que es de temer que esté ya a punto de concluir su

El f 5 matemáticoG, FAPY

(Bélgica}

MATEMATICA MODERNA FAMILIAR. La presentación de la matemática mediante el cine, que agrada a los alumnos, es en sí una ventaja.

Trasmitida por un medio de comunicación que los alumnos miran como usual, la matemática moderna se les aparece como más familiar y más simpática.

ALTA CALIDAD TECNICA REQUERIDA. Sólo los filmes técnicamente comparables a los que ven Jos niños cuando van al cine, producen tal impresión.

Los filmes escolares no pueden aparecer a sus ojos como obras misérrimas junto a las grandes producciones en tecnicolor.

El filme matemático (hbe, preferentemente, ser proyectado sobre una gran pantalla y emplear el color.

USO DEL FILME MATEMATICO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA MODERNA

EXPERIENCIA REDUCIDA

Los filmes didácticos sobre la matemática moderna son raros y pecan a menudo desde el punto de vista científico. La experiencia recogida en ese dominio es, pues, restringida. Las enseñanzas surgidas de un pequeño número de experiencias, a menudo repetidas, permiten, sin embargo, intentar poner en evidencia algunas de las ventajas del filme didáctico para la enseñanza de la matemática moderna y formular algunos votos sobre la producción de nuevos filmes.

BIBLIOGRAFIA

LIA OUBIÑA:

“Introducción a la teoría de conjuntos EUDEBA. Contiene un desarrollo riguroso y claro desde el punto de vista “ingenuo”, según la acepción dada en 2.

R. GODEMENT:

“Algebre”, HERMANN. Los primeros capítulos traen una exposición a la vez didáctica y rigurosa de los conceptos elementales de la lógica y de la teoría ele conjuntos.

N. BOURBAKI:

“Théorie des ensembles”, capítulos 1, 2, I1ERMANN, 1960. Da una fundamentaron lógico-axiomática muy rigurosa de la teoría de conjuntos. Es de difícil lectura.

J. SONNER:

“On the formal definition of categories” MATH ZEITSCHR, pág. SO, 163, 176; 1962. Artículo original en el cual da una fundamentación lógica de categorías y funtores basada en la axiomática de Bourbaki. Texto para especialistas.

FILMES DIDACTICOS. FILMES DOCENTES. TV. PANTALLA GRANDE Y

CONCENTRACION DEL ESPIRITUcn-Para no hablar sino de experiencias efec

tivamente controladas, dejaré a un lado los filmes que quieran ser enseñanzas por sí mimos. Esos filmes —sonoros, parlantes, en colores— sustituyen al profesor de manera permanente u ocasional.

No me ocuparé por más tiempo de los filmes de la televisión que ofrecen cursos a los alumnos o discusiones televisadas dirigidas por docentes. Adopto esta posición por razones de pura comodidad.

La producción de tales filmes o de tales emisiones de TV no está desprovista de interés.

En condiciones especiales, la televisión escolar ha alcanzado buenos resultados en Italia.

Ciertos filmes matemáticos de la televisión irlandesa son muy buenos. Las discusiones sobre la enseñanza de la matemática ante las cámaras de la televisión fran-

eonstituyen un medio potente para promover el re-adiestramiento indispensable del cuerpo docente.

Sin embargo, limitaré aquí mi propósito al filme didáctico usado por el docente en su clase.

El atractivo de las bellas y brillantes imágenes multicolores, la eliminación de las numerosas causas de dispersión, favorecen la concentración del espíritu. El filme contribuye potentemente a fijar y mantener la atención de los niños muy pequeños sobre una situación matemática-tarea umversalmente reconocida como difícil.

La concentración del espíritu se ve favorecida por la proyección sobre una pantalla muy grande, que ocupe todo el campo visual del niño y coloque al alumno en el centro del problema estudiado.

En la producción de nuevos filmes matemáticos, tratar de que sean proyectables sobre pantallas muy grandes.

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MANIPULACION FACIL Y DISCRETA

Después del cambio de opiniones e ideas que sigue espontáneamente a la visión de un filme matemático, es casi siempre deseable repasarlo... con la posbilidad de detener su desarrollo en una imagen y proyectarla lentamente sin deteriorar la película.

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3819

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I

permiten entrever ciertos flimes de GUIL- BAUT. El film de síntesis sería proyectado a los alumnos después del estudio y asimilación de la teoría.

Sensiblemente más larga que las otras tandas matemáticas, el film de síntesis podría estar dotado de acompañamiento sonoro y de un comentario hablado.

Al dar a los alumnos una visión panorámica de una teoría estudiada tales filmes favorecen la fijación de los resultados más importantes.

Al persuadir a los alumnos que ellos han comprendido bien tales filmes desempeñarán el papel de ayudantes psicológicos nada despreciables.

SONORIZACION. RITMO.Si se satura al niño con imágenes muy numerosas, se corre el riesgo de des valor i-

nusdio intestimable.

Muy a menudo, las lecciones de demostraciones con filmes alcanzan ese objetivo gracias a los servicios de un operador y están precedidas por una preparación minuciosa para coordinar la acción del educador y su ayudante. El operador rebobina para permitir las proyecciones repetidas y localizar las secuencias que se desea repasar.

Una visión realista impide esperar que todo docente de matemática se encuentre pronto “doblado” por un operador.

El empleo generalizado de los filmes en los cursos de matemática postula que el docente pueda actuar solo, mediante gestos simples que no requieren ninguna habilidad especial. La proyección de los filmes no puede provocar pérdida de tiempo. La manipulación debe ser tan discreta como sea posible para que no provoque ninguna dispersión de la atención de los alumnos.

Las condiciones que se acaban de enunciar no están actualmente cumplidas más (pie por los sistemas de proyecciones que emplean diapositivas.

Parece, pues, que se debe orientar la producción de los filmes matemáticos hacia la proyección de diapositivas.

Ciertos aspectos rítmicos de las teorías y de las demostraciones podrían ser subrayadas por un acompañamiento sonoro.

Las palabras —habladas o escritas— no debieran ser empleadas más que en ultimo extremo y exclusivamente bajo la forma de palabras aisladas lanzadas de manera per- cutora.

El ronroneo que acompaña habitualmente a los filmes documentales debiera ser estrictamente deslerrado.

zar un

jTRAVELL1NG Y TOPOLOGIA GENERAL.

El movimiento de la cámara —travelling— me parece un medio demasiado poco explotado en los filmes matemáticos— permitiría, sin duda, hacer comprender de manera sorprendente —por ejemplo— que un triángulo muy puntiagudo, pero desprovisto de su borde es la unión de un conjunto de discos abiertos y sin embargo todos redondos.

GRAFICOS MULTICOLORES Y CINE

El método de los gráficos multicolores parecen predestinado para el cine. Propone de inmediato la proyección de imágenes maravillosas.

El filme permite la presentación global de un gráfico y su modificación global.

Sin dificultad se imagina el beneficio que se obtendría estudiando con ayuda del cine la recíproca de la compuesta de un par de relaciones.

El filme debe permitir aquí ganar tiempo y obtener el shock de comprensión que favorezca la fijación.

DURACION DEL FILME MATEMATICO

La impresionante no intervención del docente desde la primera exhibición del filme mudo favorece la indispensable atención; pero ello no puede ser' mantenido largamente.

El filme didáctico, relativo a. un solo punto del curso de matemática moderna no debiera sino excepcionalmente durar más de cinco minutos. En este aspecto, los filmes de NICOLET —el Carlos Chaplin del filme matemático— siguen siendo modelos del género.

PARA UNA POLITICA EUROPEA DEL FILM DE MATEMATICA MODERNA

El principal obstáculo para el uso generalizado del filme en la enseñanza de la matemática moderna es el elevado costo de las producciones de calidad. Este precio de fábrica no podrá ser rebajado más que por la creación de un verdadero mercado europeo del filme de matemática moderna.

Para alcanzar tal objetivo es hora do poner las bases de una verdadera política europea del filme de matemática moderna.

La universalidad matemática moderna la predestina a la cooperación internacional.

La mayoría de los filmes debe ser mudos. ¡No se plantea ningún problema de lengua-

DIAPOSITIVAS Y PANTALLA GRANDE

EL FILME DE SINTESISInfortunamente, los procedimientos do

proyección de diapositivas usan habitualmente pantallas ridiculamente pequeñas.

Se impone, pues, adaptar esos procedí•• mientos de manera de conciliar el uso de diapositivas y la proyección sobre pantalla grande.

ENRIQUECIMIENTO DE LA INFORMACION. El filme matemático permite proyectar en muy corto tiempo cierto número de dibujos, figuras, situaciones, que es absolutamente imposibie presentar con cualquier otro medio.

Constituye, pues, un medio irreemplazable para enriquecer la información de los alumnos.

A menudo se ha subrayado la necesidad de hacer a posteriori la síntesis de la teoría estudiada:

Beba ce ría sabiendo lo que ella nos ha enseñado.

Por lo que sé, ningún filme matemático apunta a un objeto tal.

Nos parece que el cine conviene admirablemente para tal empresa, tal como lo

TRANSFORMACIONES LINEALESie!El estudio fundamental de los espacios

vectoriales introduce inevitablemente elProblema. Construir la imagen de ciertas

partes del plano vectorial por una transformación lineal que defina la imagen de una base.

Con los medios tradicionales —tanto en el cuaderno como en el pizarrón— esta empresa se vuelve rápidamente fastidiosa y finalmente, casi siempre irrealizable.

Sólo el recurso del cine puede permitir llevar a buen fin una empresa tal.

SITUACIONES FASTIDIOSAS

De manera más general, el cine debe permitir presentar situaciones que originen construcciones —aún cálculos— fastidiosas.

El travelling debe permitir captar las situaciones que “caen fuera del cuadro”.

A condición de evitar el doble empleo tan ridiculamente numeroso hoy, debe ser posible producir a menor precio filmes de matemática moderna utilizables en todas las clases europeas.T

En el CENTRO DE ESTUDIOS DE CIENCIAS, Chile 1481, B. A., Lucrecia Iglesias dictará a partir de Agosto un curso de Metodología de la enseñanza de la matemática moderna que comprende: Lenguaje conjuntista (conjuntos, relaciones, funciones), Estructuras algebraicas {grupo, anillo, cuerpo, espacio vectorial) y Campos numéricos. Este curso tendrá en cuenta los intereses de la enseñanza secundaria.

DISCERNIMIENTO EN LA PRODUCCION Y USO. Como con todo medio prodigiosamente potente, conviene actuar con gran discernimiento en la confección y empleo de los filmes matemáticos.

La información no puede reemplazar a la reflexión y al razonamiento. ;

•20 i 21¡

i

í

Está fuera de lugar intentar aquí el bosquejo de un programa. Todo lo que se puede hacer es indicar unos pocos principios.

Acostumbrar a nuestros alumnos a pensar tan pronto como sea posible en términos de conjuntos y operaciones. A muy pronta edad se les debe enseñar el uso del lenguaje y el «álgebra de los conjuntos, pues su simbolismo es simple y preciso. Los experimentos en la enseñanza han mostrado que a los alumnos les gusta usarlo.

Concurrentemente con el álgebra de conjuntos, se pueden enseñar elementos de lógica en vinculación con el análisis gramatical de su propio lenguaje. Se ha observado que estudiantes mayores de 19 años

incapaces de razonar; no pueden dar la negación de una proposición ni establecer correctamente una definición o un tearema, esto se debe, creemos, a que comenzaron demasiado tarde a entrenarse en este tipo de ejercicios.

Muy prontamente, también, nuestros alumnos deben captar claramente la noción de función. Para este fin, deben haber estudiado y construido diversos ejemplos extraídos de la vida, del álgebra, la aritmética, la geometría, la física, etc. Sabrán cómo componer funciones, tomar la función recíproca de una función dada, reconocer

transformación y un grupo de transformaciones. Progresivamente, se los introducirá en estructuras de equivalencia más amplias, y en estructas de orden, y topo- lógicas y algebraicas. Estas estructuras pueden ser estudiadas, en diversos niveles, desde el comienzo de la escuela secundaria («alrededor de los 12 años de edad).

El propósito es dar algunas herramientas a nuestros alumnos y enseñarles a usarlas. Nosotros mismos debemos evitar perdernos en generalidades; por lo contrario, debemos ir rectamente a los teoremas claves que incluyen gran número de* teoremas especiales con aplicaciones inmediatas.

Por ejemplo, muy temprano, en la geometría elemental se ha de encontrar la estructura afín del plano y se usará el álgebra vectorial. Después, de una manera u otra, se puede introducir el producto escalar, y esto reducirá a muy pocos cálculos simples las partes esenciales de la geometría métrica ordinaria.

Semejantemente, en el nivel universitario las herramientas más poderosas deberán sacarse a luz: teoremas sobre espacios

compactos, métrica de convergencia uniforme, teorema de Stone-Weierstrass, método de aproximaciones sucesivas, etc; los estudiantes serán entrenados para reconocer las estructuras implicadas en las proposiciones halladas; esto presupone que las definiciones y proposiciones elegidas destaquen siempre a las estructuras.

Mucho liemos dicho sobre matemática en general y poco sobre análisis en particular. La razón es que ya no es posible dividir la enseñanza de la matemática en sus parles clásicas de álgebra, geometría y análisis.

Las bases más apropiadas para la enseñanza del análisis, aún en niveles escolares, son: álgebra (álgebra de conjuntos, estudio del cuerpo fí, álgebra lineal, grupos) y topología. Las mismas bases algebraicas son necesarias para el estudio de la geometría, que en la escuela secundaria significa hoy el estudio de un espacio vectorial de dos o tres dimensiones dotadas de producto escalar.

Se vuelve, pues, esencial pensar en una c-nseñanza cuya textura principal serán las estructuras fundamentales. El álgebra y la

PROBLEMATICA ACTUAL

mpacto sobre la educación matemática moderna

G. CROQUET (Francia)

aportado simplificaciones y economía de pensamiento a todos los campos de los cuales se pueden beneficiar tanto el físico y el ingeniero como el futuro matemático.

Es obvio que los libros de texto para una renovación semejante, están aguardándose aún; enteramente absorbidos por sus sus investigaciones, los matemáticos profe- rionales han dejado una profunda grieta entre la investigación y la enseñanza. Pero en los últimos diez años, asustados por la visión del creciente abismo, han reaccionado. Primeramente, cambiaron su propia manera de enseñar; luego se volvieron a sus colegas de las escuelas secundarias y comenzaron un provechoso diálogo con ellos. Todavía necesitan acumular coraje p«ara una tarea urgente y esencial. El tiempo de la mera crítica y las indicaciones vagas ya ha pasado. Deben ahora sentarse

Desde tiempo inmemorial la enseñanza se ha adaptado a la evolución del conocimiento. Pero, algunas veces, esta adaptación se ha rezagado con gran detrimento tanto de la ciencia cuanto de la enseñanza. Durante los últimos cincuenta años, o algo •así, el progreso científico ha sido tan rápido que la demora en la adaptación resultó inevitable. En matemática, la “nueva visión'’ resultante del uso de la teoría de conjuntos y el método axiomático ha sido una revolución que provocó una urgente renovación de la enseñanza en todos los niveles: primario, secundario y universitario.

Se requiere esta renovación.Primero, por la matemática misma. Cier

tamente, no son las personas de edad avanzada ni .siquiera las de mediana edad quienes están produciendo el mejor trabajo; es imperativo que limpiemos el camino para la generación más joven. Para que °dlos puedan asimilar más fácilmente la matemática, debemos mostrarles claramente las gr«incks ideas simplifieadoras, enseñarles cómo manejar situaciones complejas mediante el conocimiento de las teorías unificadoras, las cuales tienden puentes entre los diversos campos. Esto requerirá sacrificios y resignación para abandonar '.ales y cuales elegantes teorías que, que pulidas por siglos de trabajo, aparecen ahora como ramas aisladas.

Segundo, por los que emplean las matemática (que son más numerosos cada día). Por una parte, cierto número de técnicas matemáticas, se han vuelto indispensables o útiles en la física e ingeniería: matrices, transformaciones de Fourier y Laplacc, ecuaciones diferenciales parciales, distribuciones, espacios hilbertianos, etcétera. Por la otra, la nueva matemática ha

° Traducción de Crislina Verdaguer de Banfi.

son

geometría se apoyarán entre sí, brindando el álgebra su simbolismo y sus operaciones y la geometría su lenguaje cargado de intuiciones. La geometría proveerá al análisis de su esqueleto topológico, la herramienta de convexidad y una interpretación conveniente de la integración y diferenciación; el análisis, a su vez, producirá para el álgebra una rica colección de grupos y de espacios vectoriales.

La actividad matemática como un todo

Poco hemos dicho sobre los métodos de investigación. Para concluir con este examen de la matemática emprendido para ayudar a resolver los problemas de la educación matemática, agreguemos unas palabras sobre un aspecto de la actividad matemática que no ha sido tratado para nada.

Toda actividad matemática está formada por ciclos, más pequeños o más «amplios, en cada uno de los cu«ales se puede reconocer groseramente las cuatro etapas siguientes: observación, matematización, deducción, aplicaciones.

Estas cuatro etapas son esenciales; en particular, una enseñanza puramente deductiva sería traumática y estéril.

(Sigue en la pág. 30)

una

y escribir los necesarios libros de textos, o ayudar a sus colegas, técnicos o profesores de escuelas secundarias, a escribirlos. El objetivo no ha de ser la copia de la producción de Bourbaki, concebida para estudiantes avanzados, sino la adaptación a cada nivel, del lenguaje, los métodos y las técnicas de la matemática de hoy.

Tercero, por aquellos que ni serán temáticos ni emplearán la matemática. Se concuerda universalmente en que por el estudio de esta disciplina ganarán una flexibilidad intelectual que no adquirirían de otra manera. La matemática moderna acaso :es dé más a ellos que a tos otrc-s. Puesto que no implica mucha técnica, pueden aprender la teoría de los conjuntos iación con la lógica y encontrarla atractiva y útil. La simplicidad de los sistemas axiomáticos multivalentes los convierten en accesibles para todos, y contienen una cantidad de aplicaciones variadas; no les parecerá mero juego.

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2322■

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I)

\

LO DIDACTICO Va', 2 a > x (cualquiera sea a, 2x > x)V a, 2 a > a (cualquiera sea a, 2 a > a)expresan ambas el mismo hecho: “El dobU de un número es siempre mayor que ese número \ lo que es verdad en 1N, pero falso en 111 (p.e.2.0 = 0; 2. (-3) < — 3, etcétera).

De este modo, dada una condición con una variable, el símbolo V, referido a ese variable, representa una operación lógica que transforma la condición en una proposición, verdadera o falsa, según si la condición es universal o no. A esta operación se le da el nombre de cuantificación universal y al respectivo símbolo se lo denomina cuantificador universal.

Muchas veces (cuando no hay peligro de confusión) se escribe el cuantificador después y no antes de la expresión cuantifiea- da. Por ejemplo en IR se tiene:

a- - 1 = (a + 1) (a — 1), VA

Aquí el símbolo V a puede leerse cualquiera sea a” o “para todo valor de a”, o simplemente “para todo a”.

Cuando se presente una condición con más de una variable y se quiera afirmar que esa condición es universal, úsase el símbolo V seguido de esas, variables (separadas por comas). Así, la expresión

(a + b)2 > a- + b\ Va, b

se tiene 2x > x)

b) Cuantificador de existencia. Para indicar que una condición en una variable es posible, se escribe antes de la condición el símbolo 1 es seguido de la variable y de una coma o dos puntos (o con esa variable en el índice). Supongamos que la va-, riable es la letra a; entonces, el símbolo ri x se lee: Existe por lo menos un x tal que” (y análogamente para otras variables). Por ejemplo, la expresión

~a, x vive en la Luna

se lee: “Extiste por lo menos un x tal que x vive en la Luna” es una proposición falsa en //, que también se puede traducir por “Algún ser vive en la Luna’. Análogamente, la expresión:

introducción a la lógica matemática!J. SEBAST1AO E. SILVA

(Portugal)

í(universal)2 x — 1 > 3 V a + 1 = x ^ 2 x — 1 > 3CONVENCION. Dadas varias condicio

nes Cj, C>, C;,,..., escribiremos Ct A G.

A C3 en vez de (Ct A C_.) A C3; Cx

A C, A C3 A C., en vez de (C, A Q»

A C3) A C,; etc. Análogamente para la

clis junción.24. Cuantificador es. Además de las

operaciones lógicas ya consideradas, pre- séntanse dos operaciones de importancia capital, cpie se aplican únicamente a expresiones preposicionales con variables. Estas dos operaciones desempeñan papeles correspondientes a los pronombres “todo” y “algún” del lenguaje corriente.

a) Cuantificador universal. Consideremos la condición “x es mortal” que, ya sabemos, es universal en II. En lenguaje- común se expresa este hecho diciendo “Todo hombre es mortal”. Pues bien, en el simbolismo de la lógica matemática se indica que- una condición en a* es universal, escribiendo antes de la condición el símbolo V a, seguido de una coma o de dos puntos: este símbolo se lee “cualquiera sea a”. Por ejemplo, la expresión

23. Propiedades de las operaciones lógicas sobre condiciones. Es fácil ver que las propiedades de las operaciones sobre valores lógicos se trasmiten automáticamente a las operaciones sobre condiciones. Así, la conjunción y la disjunción continúan siendo conmutativas y asociativas, y cada una de ellas es distributiva con respecto a la otra. Mantiénese la propiedad de la doble negación así como las primeras leyes de De Morgan. En cuanto a las propiedades, a A V = a; a A F= F; a V V= V; a V F = a, válidas cuando a=V o a=F, asumen ahora un nuevo aspecto. Así.

I. La conjunción de una condición cualquiera con una condición universal es equivalente a la primera.

II. La conjimción de una condición cualquiera con una condición imposible es también imposible.

De estas se deducen otras dos propiedades por DUALIDAD LOGICA, sustituyendo “conjunción” por “disjunción”, “universal” por “imposible” e “imposible” por “universal”.

Consideremos, por ejemplo,'- en IR, los sistemas:

•«1:

j■

\ a > a2

se lee: “Existe por lo menos una a tal que a > a2’, es una proposición verdadera en IR (“Algún número es mayor que su cuadrado”, pero falsa en 1N (“Ningún número es superior a su cuadrado”).

De este modo dada una condición sobre una variable, el símbolo ~ (referido a esa variable) representa una operación lógica que transforma la condición en una proposición, verdadera o falsa, según que la condición sea posible o imposible. Esta condición es llamada cuantificación existencial y el respectivo símbolo, cuantificador de existencia.

Para este símbolo también se adoptan convenciones análogas a las indicadas para el cuantificador universal con esta única diferencia: nunca podrá escribirse después de la condición cuantificada.

Ejemplos:” A, B: A es más joven que B AB es

alumno de A.•“ a* £ IR, x 3 A x2 = 9

25. Propiedades de los cuantificadores. Nuevos tipos de silogismos, Vemos cómo, los cuantificadores transforman condiciones en proposiciones. Cuando hay un cuantificador que incide sobre una variable, ésta se dice aparente o muda; en caso contrario, la variable se dice libre.

Por ejemplo, la letra x es variable libre en las condiciones2x = 3 (ecuación); x + 1 > a* (inecuación)

;

léase: “(asean a, b”, lo que es verdad en IN y falso en IR. Análogamente

(x + y)2 = x2 + 2 xy + y9, V a, ylo que es verdad en IN y en IR. Algunas veces, para evitar confusiones, se especifica debidamente el dominio de las variables. Así

(m + n)2 > ms + n2, V m, n 6 IN

(a + l)2 > -v2 + 1, V x > 0

b)2 > (a2 + b2) cualquiera

J2x - 1>3/x -r 1>X(2x - 1>3 (x + l=x

que se pueden escribir, respectivamente:

2a — 1 > 3 A x + 1 > x2 a — 1 > 3 A a + 1 = x

y como la condición a + 1 > a es universal y la condición a + 1 = a es imposible se tendrá:

2a - 1 > 3 A a + 1 > a s=± 2a - 1 > 3

2 x — 1 >3AxH-1 = x±5X + 1 = x(imposible).

Análogamente:

2a - 1 > 3 V a + 1 > a ^ a-i- 1 > a

Va, a es mortal

se lee “cualquiera, sea a, a es mortal”, que es una proposición verdadera en el universo H o, más generalmente, en el universo de los seres vivos.

Si la variable de la expresión fuera otra, en vez de la letra a, se escribe el mismo símbolo V seguido de esa variable. Así, la expresión.

ii

Aquí V ni, n 6 IN léese “cualquiera sean m, n pertenecientes a IN’*: V a > 0 se lee “cualquiera sea a > 0” o también “para todo a > 0 \

Otras veces, para condensar la escritura, se escriben las variables como subíndices del símbolo V. Ejemplo.

2 a > a (Para todo a > 0

V Fulano, Fulano es mortalse lee “Cualquiera sea Fulano, Fulano es mortal” lo que significa exactamente lo mismo que la proposición anterior. Análogamente, la;s expresiones:

Va > 0

2524

iClaro es que éstas son independientes de

las condiciones consideradas, esto es:La negación transforma el cuantificador

universal en cuantificador existenciai (seguido de negación) y viceversa; o bien en s'.mbolos:

pero es variable aparente en las proposiciones

Análogamente en el universo 1N, la expresión

menos una disciplina en que tendrá nota inferior a 6” equivale a afirmar: “Existe por lo menos un alumno de este grupo que en toda disciplina tendrá nota igual o superior a 6”.

28. Implicación formal. Consideremos, en el universo de las poblaciones portuguesas, las dos condiciones siguientes:

x es ciudad, x tiene consejo municipal. Ligándolas con el signo de implicación

material, obtiénese la nueva condición en x: x es ciudad x tiene consejo municipal. Pero, desde luego, se ve que esta condi

ción es universal. Por ejemplo, expresando las dos condiciones dadas, respectivamente, por los símbolos p(x) y cj(x), se tiene:

?ix ax = bes una condición en x que equivale a decir “a divide a b”. De otro modo, esta es una definición usual del tér